Derivacion implicita
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INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICOANTONIO JOSE DE SUCRE
EXTENCION DE BARQUISIMETO
Rafael Angel Peña IzarraSencc 85 Diseño GraficoMateria:Matematica
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Derivación implícitaEn los cursos de cálculo la mayor parte de las
funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas
funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Derivacion implícita . Es una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada
la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo
miembro es cero.
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Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro,
utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
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Ejemplo
hasta ahora y teniendo presente que:x'=1.
En general y'≠1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos
y'.
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EjemplosDerivar las funciones:
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Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
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Ejemplo
Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita definida mediante la ecuación puede calcularse:
o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
siempre que
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El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la
habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.
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Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
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Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;