Derivación Numérica - OpenCourseWare de la Universidad de...

1

Titulación:

Asignatura:

Autor:

Ingeniero Geólogo

Análisis Numérico

César Menéndez

Planificación:

Materiales:

Conocimientos previos:

Derivación Numérica

2 Teoría+1 Prácticas+0.5 Laboratorio

MATLAB

Tmas. básicos de Cálculo –

Desarrollos de Taylor – Sistemas

lineales –

Ultima actualización: 15/01/2008

Análisis Numérico por César Menéndez Fernández

2


Descripción del problema

Evaluación de la derivada de una función en

un punto a partir de los valores de la función

– Función muy compleja (difícil de calcular su

derivada)

– No se conoce la función sino sólo sus valores en

algunos puntos

– …

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


3


Objetivos

Conocer las diferentes formas de obtener

fórmulas de derivación numérica

– Interpolación

– Desarrollo de Taylor

– Coeficientes indeterminados

Aprender a obtener el error de la fórmula

Reconocer las ventajas de las fórmulas

centradas.

Comprender que el error depende no solo de

la fórmula numérica y de la función a derivar

sino del punto en que se calcula y del valor

de espaciado h.

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


4


Planteamiento y definiciones

Fórmulas de derivación numérica

– Obtención de los valores de los coeficientes

– Determinación o acotación del error cometido

Error– Una fórmula es de orden n cuando es exacta para polinomios

de grado menor o igual que n

– El error de truncamiento de la fórmula es

– Se denomina parte principal del error de truncamiento al infinitésimo de menor orden

0

n

i i

i

f a f x error

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducción

Obtención

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

0 0

: lim : lim 0k k

k kh h

error errorh cte h

h h

0

, 0,1,n

k

i i

i

f x x k n f a f x

2 5 6

1 2 3error k h k h k h


5


Ejemplo

La siguiente fórmula de derivación es de

orden 1 y con error de truncamiento O(h)

Descripción

Objetivos


Obtención

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

2

0

2 22

2

02

0

0 0 0

2!

11 0 1 1

11

12 2

2!lim lim lim2!h h h

f a h f a ff a h RN h h

h

f xh

f x x a h ah

f x x a a h a a hh

fhf a RN h ferror

h h h


6



Métodos para obtener reglas de derivación

numéricas

– Interpolación

– Desarrollo de Taylor

– Coeficientes indeterminados

Obtener tales que sea exacta para el mayor orden

posible

n nf x P x E x

2

1! 2!

h hf a h f a f a f

0

, 1,2 :n

k

i i

i

f x x k f a f x

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


7


Formulas de tipo interpolatorio

Se definen por el número de puntos del

polinomio interpolante

Las fórmulas genéricas se toman para puntos

equiespaciados, aunque su método de

obtención es válido para cualesquiera puntos

Motivación

0

1

01 !

nn

n i i

i

n n n nx

n k

k

n n

P x f x L x

f x P x E xf

E x x xn

df x P x e x e x E x

dx

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


8


Derivadas primeras (Acotación del error)

Acotación del error

– No es posible la acotación para cualquier valor de x

– Se acota en uno de los puntos de interpolación

1

0

1 1

0 0

1 1

000

1 !

1

1 ! 1 !

siendo 1 ! 1 !

n nx

n k

k

n nn nx x

k k

k k

n nn nnx x

k kkjk

k j

fd de x E x x x

dx dx n

df f dx x x x

n dx n dx

f fdx x x x

n dx n

1

01 !

n nx

i i kk

k i

fe x x x

n

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


9


Derivadas primeras (2 y 3)

2 puntos

– Equiespaciados

3 puntos

– Equiespaciados

1 01 01 0 1 1

0 1 1 0 1 0

1 2

0

0 1 001 ! 2!

n nx

i i kk

k i

f x f xx x x xP x f x f x P x

x x x x x x

f fe x x x e x x x

n

2

0 0 0

02!

f x h f x ff x h

h

1 2 0 2 0 1

2 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

1 2 0 2 0 1

2 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

2 2 2

x x x x x x x x x x x xP x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x xP x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x

3

0 2

0 0 0 0

3

0 2

1 1 1

1 3 12 2

2 2 3

1

2 6

ff x f x f x h f x h h

h

ff x f x h f x h h

h

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


10


Derivadas primeras: (4 y 5)

4 puntos

5 puntos

0 0 0 0 0 0

5

0 4

1 1 1 1 1 1

5

1 4

2 2 2 2 2

5

2 4

125 48 36 2 16 3 3 4

12

5

16 20 36 12 2 2 3

24

20

12 8 8 2

12

30

f x f x f x h f x h f x h f x hh

fh

f x f x h f x f x h f x h f x hh

fh

f x f x h f x h f x h f x hh

fh

4

0 3

0 0 0 0 0

4

1 3

1 1 1 1 1

111 18 9 2 2 3

6 4

12 3 6 2

6 12

ff x f x f x h f x h f x h h

h

ff x f x h f x f x h f x h h

h

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


11


Aplicación: f(x)=cos(x), calcular f’(/4) tomando h=0.5 y h=0.1

Pts h=0.5 h=0.1

2 -0.7413

3 -0.7096

-0.7059

4 -0.7070

-0.7072

5 -0.7071

-0.7071

-0.7071

4 4sin 0.7071f

4 4cos 0.5 cos

0.85110.5

4 4 4 4

111cos 18cos 0.5 9cos 1.0 2cos 1.5

3

0.7015

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

4 4 4

1 3 1cos 2cos 0.5 cos 1 0.7822

0.5 2 2

4 4

1cos 0.5 cos 0.5 0.6780

1

4 4 4 4

12cos 0.5 3cos 6cos 0.5 cos 1 0.7127

3

4 4

4 4

cos 1 8cos 0.510.7057

6 8cos 0.5 cos 1

f

4 4 4

4 4

6cos 0.5 20cos 36cos 0.510.7099

12 cos 1 2cos 1.5

4 4 4

4 4

25cos 48cos 0.5 36cos 110.6951

6 16cos 1.5 3cos 2


12


Derivadas orden superior

Acotación del error

– ¡ No se anula en los puntos de

interpolación !

– No es posible la acotación usando este método

12 2

2 20

12

20

1 1 2

20 0

1 !

1

1 !

12

1 ! 1 !

n nx

n k

k

n nx

k

k

n nn nx x

k k

k k

fd de x E x x x

dx dx n

d fx x

n dx

df fd dx x x x

n dx dx n dx

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


13


Obtención por desarrollo de Taylor

Plantea la obtención de las derivadas de cualquier orden en un punto a partir del desarrollo de Taylor de la función en otros puntos

Proceso:– Desarrollar en serie en los puntos conocidos en

torno al valor deseado

– Combinar las expresiones anteriores, anulando todos los términos posibles

– Obtener la expresión final de la formula y el error (cuando sea posible)

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


14


Ejemplo 1 (a)

Obtener f’(a) y f”(a) a partir de los valores de f(x) en {a-h,a,a+h}

– Desarrollamos por Taylor

– Combinamos los desarrollos

– Anulamos los términos no deseados

Derivada 1ª: anula términos en h2

Derivada 2ª: anula términos en h

2 3 1

2 3 1

1! 2! 3! !

1! 2! 3! !

nn

nn

f a f a f a ff a h f a h h h h I

n

f a f a f a ff a h f a h h h h II

n

0

1

2 1

2!

2 12 1 1

2 1 !

22 1

2 !

:

:

:

:

:

kk

k

kk

k

h f a h f a h f a

h f a

h f a

h f a

h f a

I II

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


15


Ejemplo 1 (b)

Derivada 1ª

Derivada 2ª

Derivada 3ª

3

1 2

2

1

2

23!

6h

hf a h f a h f a h f f

hf a f a h f a h f

2

42

1 2

2

1

24!

212

iv iv

iv

h

hf a h f a h f a f a h f f

hf a f a h f a h f a f

3 2

3 2

3 5

1 2

2

3 62

2 2

3 6 122

2 23! 5!

20

6 20

v v

v

h h

v

hh h

h hf a h f a h f a h f a f f

hf a f a h f a h f a f

h hf a f a h f a h f a h f a h f f

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


16


Derivadas de orden superior (2)

Derivada segunda– Laterales

– Centradas

Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada segunda en /4 tomando h=0.5 y h=0.1

2

0 1 0 12

4

0 2 1 0 1 22

12

116 30 16

12

f x f x f x f x hh

f x f x f x f x f x f x hh

0 0 1 22

2

0 0 1 2 32

12 9

12 5 4

f x f x f x f x hh

f x f x f x f x f x hh

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

BibliografíaPts Cent. h=0.5 h=0.1

3 No -0.6325

3 Si -0.7065

4 No -0.7128

5 Si -0.7071

4 4cos 0.7071f

2

1cos 2cos 0.5 9cos 1 0.2757

0.5 4 4 4

2

12cos 5cos 0.5 4cos 1 cos 1.5 0.7600

0.5 4 4 4 4

2

1cos 0.5 2cos cos 0.5 0.6925

0.5 4 4 4

4 4 4 4 4

1cos 1 16cos 0.5 30cos 16cos 0.5 cos 1

3

0.7066


17



Derivada tercera– Laterales

– Centradas

Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada tercera en /4 tomando h=0.5 y h=0.1

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad


4 No 0.8038

5 No 0.7211

5 Si 0.7053

7 Si 0.7071

4 4sin 0.7071f

3

1cos 3cos 0.5 3cos 1 cos 1.5 0.9686

0.5 4 4 4 4

2

1cos 1 2cos 0.5 2cos 0.5 cos 1 0.6640

0.5 4 4 4 4

4 4 4 4 42

15cos 18cos 0.5 24cos 1 14cos 1.5 3cos 2

0.5

1.1217

4 4 4

4 4 4

cos 1.5 8cos 1 13cos 0.510.7046

1 13cos 0.5 8cos 1 8cos 1

0 0 1 2 33

2

0 0 1 2 3 43

13 3

15 18 24 14 3

2



2

0 2 1 1 23

4

0 3 2 1 1 2 33

12 2

2

18 13 13 8

8


f x f x f x f x f x f x f x hh


18



Derivada cuarta– Laterales

– Centradas

Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada cuarta en /4 tomando h=0.5 y h=0.1

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad


5 No 0.5516

5 Si 0.7059

6 No 0.7223

7 Si 0.7071

4 4cos 0.7071ivf

4 4 4 4 44

1cos 4cos 0.5 6cos 1 4cos 1.5 cos 2 0.2042

0.5

4 4 4

4

4 4 4

3cos 14cos 0.5 26cos 110.6443

0.5 24cos 1.5 11cos 1 2cos 1.5

4 4 4 4 44

1cos 1 4cos 0.5 6cos 4cos 0.5 cos 1 0.6782

0.5

4 4 4 4

4 4 4

cos 1.5 12cos 1 39cos 0.5 56cos80.7059

3 39cos 0.5 12cos 1 cos 1.5

0 0 1 2 3 44

2

0 0 1 2 3 4 54

14 6 4

13 14 26 24 11 2

iv

iv

f x f x f x f x x f x hh

f x f x f x f x f x f x f x hh

2

0 2 1 0 1 24

4

0 3 2 1 0 1 2 34

14 6 4

112 39 56 39 12

6

iv

iv


f x f x f x f x f x f x f x f x hh


19


Obtención por el método de Coeficientes Indeterminados

Fija los puntos de la fórmula

Parte de una relación de coeficientes

Plantea un sistema para que la fórmula sea

exacta para el mayor orden posible (grado

del polinomio)

Obtiene el orden del error

0

0

22

0

0

1

0

1 0

1

2

n

i

i

n

i i

in

ni i

i i i

i

nnn n

i i

i

f x

f x x x

f a f xf x x a x

f x x na x

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


20


Ejemplo de obtención por coef. Indet.

Calcular f”(a) a partir del valor de f(x) en {a-h,a,a+h}– Sistema

– Solución

– ¿Orden?

1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 2 22

1 2 3

1 0 1 1 1

0

2

f x

f a f a h f a f a h f x x a h a a h

f x x a h a a h

21

1

22 2

2 2 23

23

2

11 1 1 0

20

2 1

12

h

a h a a hh

a h a a hh

f a f a h f a f a hh

3 3 33

2

4 4 44 2 2 2

2

16 2

112 2 12 2

f x x a a h a a hh

f x x a a h a a h a hh

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía


21


Obtención de fórmulas de mayor orden

Sea M un valor exacto y N0(h) la fórmula numérica que lo aproxima dependiendo del parámetro h, pudiéndose expresar como

Donde los coeficientes son constantes. Aplicándola para h/2, se tiene

y anulando entre ambas expresiones los términos en h1: 2(II)-(I),

se consigue aumentar la precisión de la fórmula. Repitiendo el proceso para anular h2:

Y por inducción se llega a

2 3

0 1 2 32 2 2 2 2

n

n

h h h h hM N k k k k II

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

2 3

0 1 2 3 0

n

nM N h k h k h k h k h N h h I

2 22 31 1 12 2 20 0 2 3

2 3 2

1 2 3 1

2 1 1 12

nn

n

n

n

hM N N h h k k h k h

N h k h k h k h N h h III

111 22 3

1 1 3

3 3

2 3 2

1114

4 1 2 4 1 4 1

n

n

n

n

n

hM N N h k h k h

N h k h k h N h h IV

1

1 1 1 1

1

donde

22 2

2 1 2 2 1

n

n

n

n n n n

n nn n

M N h h

h hN N h N N h

hN h N


22


Ejemplo

Dada la fórmula de derivación numérica

Aplicar la extrapolación de Richardson, tomado f(x)=cos(x) para calcular f’(/4) tomando h=0.5. Compararla con la solución exacta: -0.7071

En este caso

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

2 3

1 2 3 0

n

n

f a h f af a k h k h k h k h N h h I

h

1 1

1

1

2 donde

2 2 1

n nn

n n n n

hN N h

hM N h h N h N

h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)

0.5 -0.8511

0.25 -0.7877 -0.7243

0.125 -0.7494 -0.7111 -0.7067

0.0625 -0.7287 -0.7081 -0.7071 -0.7071

0.03125 -0.7180 -0.7073 -0.7071 -0.7071 -0.7071


23


Obtención de fórmulas de mayor orden

NOTA: Si la formula fuera

Este proceso generaría la relación

– Aplicar al ejemplo anterior tomando

2 2

1 1 1 1

1

donde

42 2

4 1 2 4 1

n

n

n

n n n n

n nn n

M N h h

h hN N h N N h

hN h N

Descripción

Objetivos


Obtención

- Interpolación.

- Taylor

- Coef. Indetermin.

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

2 4 6 2 2

0 1 2 3 0

n

nM N h k h k h k h k h N h h I

h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)

0.5 -0.6780

0.25 -0.6998 -0.7070

0.125 -0.7053 -0.7071 -0.7072

0.0625 -0.7066 -0.7071 -0.7071 -0.7071

0.03125 -0.7070 -0.7071 -0.7071 -0.7071 -0.7071

2 4 6 2 2

1 2 3 02

n

n

f a h f a hf a k h k h k h k h N h h I

h


24


Inestabilidad numérica de la derivación

Partiendo de la fórmula de derivación numérica

pero al operar con aritmética finita, se evalúa

siendo el error de representación del ordenador. El error total es por tanto

que tiene un mínimo para

Por tanto le precisión no mejora indefinidamente con la disminución del valor de h.En la práctica no podemos calcular el valor de h óptimo, ya que la cota del error de representacióndepende de la máquina y M depende de la función y del intervalo en estudio.

2 ( ) ( )

( ) , con ,3! 2

h f a h f a hf a N a h f N a h

h

1 21 2

( ) ( )( ) ( ), donde ,

2 2

f a h f a hf a h f a hN a h

h h

2

( ) , ( ) , , , con sup3! a h x a h

hE h f a N a h f a N a h N a h N a h M M f x

h

33

opthM

con Descripción

Objetivos


Obtención

Extrap. Richardson

Inestabilidad

Bibliografía

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