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1
Définition 1 :Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre réel ℓ tel que : ℓ=−+→ h
)a(f)ha(flim
0h ou encore
ℓ=−−
→ ax
)a(f)x(flim
ax
Le réel ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a , il noté )a('f
(*) Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une tangente T
d’équation : y = )a('f (x – a ) + f(a)
Le vecteur directeur de cette tangente : est
)a('f
1u
Exemple : Soit 3xx:f ֏ . Montrer que f est dérivable en a où a est réel quelconque.
=−−
→ ax
)a(f)x(flim
ax=
−−
→ ax
axlim
33
ax=
−++−
→ ax
)ax²a²x)(ax(lim
ax²a3)ax²a²x(lim
ax=++
→
alors f est dérivable en a et on a : ²a3)a('f =
Définition 2 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:]a-h ,a (h >0)
On dit que f est dérivable à gauche en a s’il existe un nombre réel 'ℓ tel que : 'h
)a(f)ha(flim
0hℓ=−+
−→ ou
encore 'ax
)a(f)x(flim
axℓ=
−−
−→
Le réel 'ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à gauche en a , il noté )a('f g .
Définition 3Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:[a ,h+a[ ( h>0)
On dit que f est dérivable à droite en x0 s’il existe un nombre réel ''ℓ tel que : ''h
)a(f)ha(flim
0hℓ=−+
+→ ou
encore ''ax
)a(f)x(flim
axℓ=
−−
+→
Le réel ''ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à droite en a , il noté )a('f d
Conséquences :
1°) f est dérivable en a si et seulement si )a('f g = )a('f d nombre fini
2°)Si f est dérivable à droite de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi
tangente Td d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T dd +−= et x a≥
3°)Si f est dérivable à gauche de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi
tangente Tg d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T gg +−= et x a≤
Interprétation graphiques : ∞=−−
→ ax
)a(f)x(flim
ax ou encore ∞=−+
→ h
)a(f)ha(flim
0h
Si : Interprétation graphique :
+∞=−−
+→ ax
)a(f)x(flim
ax ou −∞=
−−
−→ ax
)a(f)x(flim
ax
Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi tangente
verticale dirigé vers le haut d’équation : x = a
et y ≥ f(a)
+∞=−−
−→ ax
)a(f)x(flim
axou −∞=
−−
+→ ax
)a(f)x(flim
ax
alors Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi
tangente verticale dirigé vers le bas
d’équation : x = a et y ≤ f(a)
Exemple :
Etudier la dérivabilité de f à droite de point d’abscisse x = 0 et interpréter la résultat tel que : f(x) = x
=−−
+→ 0x
)0(f)x(flim
0x=
+→ x
xlim
0x+∞=
+→ x
1lim
0x
alors la courbe alors Cf admet en point ( )0,0M un demi tangente verticale dirigé vers le haut d’équation : x =
0 et y ≥ 0
Fiche de cours 4ème sciences
DerivabilitesDerivabilitesDerivabilitesDerivabilites
Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
Approximation affine : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
Si f est dérivable en a, alors : h)a('f)a(f)ha(f +≈+
On dit que h)a('f)a(f + est une approximation affine de )ha(f + , pour h voisin de zéro.
Exemple :Trouver une valeur approchée de 3)98.3(
Soit 3xx:f ֏ , a = 4 et h = -0.02 alors 100
)4('f2)4(f)02.04(f −≈− alors 04,63)98.3( 3 ≈
( le calculatrice donne : 044792,63 )
Fonction composée Si f est dérivable sur un intervalle I et g dérivable sur un intervalle )I(fJ ⊂ alors fg � est dérivable sur I et
on a pour tout x de I : ( ) ( ) )x(fg)x(f)x(fg �� ′×′=′
Théorème de Rolle Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et vérifiant f(a) = f(b) .
Si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = 0 .
Théorème des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = ab
)a(f)b(f
−−
Sens de variation : Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sue ]a,b[ Si f’(x) ≥ 0 sur ]a,b[ alors f est croissante sur [a,b] Si f’(x) >0 sur ]a,b[ alors f est strictement croissante sur [a,b]
Si f’(x) ≤ 0 sur ]a,b[ alors f est décroissante sur [a,b] Si f’(x) <0 sur ]a,b[ alors f est strictement décroissante sur [a,b]
Si f’(x) = 0 sur ]a,b[ alors f est constante sur [a,b]
Inégalités des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si : existe deux réels m et M tels que : m ≤≤≤≤ f’(x) ≤≤≤≤ M pour tout x de ]a,b[ alors : m ≤≤≤≤ab
)a(f)b(f
−− ≤M
Si pour tout x de ]a,b[ : k)x('f ≤ alors abk)x(f)b(f −≤−
Point d’inflexion : Soit x0 un réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0. Si f’ s’annule en 0x sans changer de signe alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.
Si f’’ s’annule en 0x , en changeant de signe , alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.
Extremum *)Si f admet un extremum local en 0x alors 0)x(f 0 =′
*)Si f ′ s’annule en 0x en changeant de signe alors f admet un extremum local en 0x .
Tableau de dérivé : Fonction f Fonction dérivée f’ Domaine de définition de f’
F(x)= k ( constante) F’(x) = 0 R
F(x)= x F’(x) = 1 R
F(x)=ax+b F’(x) = a R
F(x) = xn ( n *Z∈ ) F’(x) = nxn-1 R si n>0 ; R* si n <0
F(x) = x F’(x) = x2
1
R*+
F(x) = x
1 F’(x) = -
²x
1
R*
F(x) = cos(x) F’(x) = - sin(x) R
F(x) = sin(x) F’(x) = cos(x) R
F(x) = tan(x) F’(x) = 1 + tan²(x) =
)x²(cos
1 R-
∈Zk;
2kπ
F(x) = cos(ax+b) F’(x) = - a sin(ax+b) R
F(x)=sin(ax+b) F’(x) = a cos(ax+b) R
F(x)=tan(ax+b) F’(x) = a(1 + tan²(ax+b)
R-
∈−
Zk;a
b2k
π
3
Opérations sur les dérives Lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I
Fonction
Dérivée Conditions
u + v u’ + v’
k.u ( k =constante) k.u’
u.v u’.v + u.v’
v
1
²v
'v− 0v ≠ sur I
v
u
²v
'v.uv'.u −
0v ≠ sur I
un ( n *Z∈ ) n.u’.un-1 u > 0 sur I si n 0≤
u
u2
'u
u > 0 sur I
uv � ( )u'v'u �×