Yleistä

Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan

oppimisesta

Derivaatta MA 08

Tangentin kulmakerroin on derivaatta kohdassa a.

Sekantti

Vaihtoehtoinen tapa derivaatan määritelmään

Esim.

Esim.

1. Missä kohdissa funktio ei ole derivoituva?

2. Missä kohdissa funktio ei ole jatkuva?

3. Mikä on funktion derivaatta muissa kohdissa?

Derivoimissääntöjä kurssilta 7

Derivaatta ja monotonisuusFunktio on kasvava, kun f ’ (x) > 0.

f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Derivaatta ja monotonisuusFunktio on vähenevä, kun f ’ (x) < 0.

f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

Funktion suurin ja pienin arvo Funktio saa pienimmän ja suurimman

arvonsa suljetulla välillä [a,b] joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä kohdissa, joissa derivaattaa ei ole

Kuva

f ’ (x) = 0

HUOM!

Funktion suurin ja pienin arvo voivat olla myös kohdissa, missä derivaattaa ei ole

Juurifunktiot –ja yhtälöt

Juurifunktion määritelmä s. 14 n pariton: voi aina ottaa parittoman juuren n parillinen: parillista juurta EI voi ottaa

negatiivisesta luvusta. Ts. xn ≥ 0, kun n on parillinen

Funktion määrittelyjoukko

HUOM! Parittoman juuren voi ottaa mistä tahansa luvusta.

Mutta parillisen juuren vain, jos luku on suurempaa tai yhtäsuurta kuin nolla

Esim.

Huom! 3 – 2x ≥ 0. Miksi?

Lue s. 17 alareuna

Murtopotenssifunktiot

Esim.

Derivointikaavan käyttöä

Derivointikaavan käyttöä

Esim.

Esim.

Suurin ja pienin arvo löytyvät aina derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Tai kohdista, missä derivaattaa ei ole.

Sovelluksia

Esim.

Esim.

Logaritmi

f(x) = 2x

Ilmaise luvut

8

5

1

1/16

luvun 2 potensseina

Logaritmin määritelmä

Luvun a k-kantainen logaritmi on eksponenttiyhtälön kx = a ratkaisu

a>0 ja k>0 ja lisäksi k erisuuri kuin 1

Logaritmifunktio

Esim.

Esim.

Kymmenkantainen logaritmi

Esim.

Logaritmikaavat

Logaritmikaavojen perustelua logk a = x eli kx = a Tästä seuraa, että as =(kx)s = kxs

Eli logk as = xs = sx = s logk a Opi s. 76 tulon logaritmin kaava

Esim.

Esim.

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen

Esim.

Esim.

Esim.

Neperin luku

Mikä luvun k tulee olla, jotta funktion kx derivaatta kohdassa 0 on 1.

f ’(0)<1

f ’(0)>1

Neperin luku

On nähtävissä, että luvun tulee olla lukujen 2 ja 3 välillä. Tämä luku on ns. Neperin luku

e ~ 2,718 S. 89

On osoitettavissa, että jos f(x) = kx, niin

f ’(x) = f ’(0)f(x)

Funktion ex kuvaaja ja tangentti pisteessä x=0

Siis f(x)= ex

ja f ’ (0) = e0 =1

Eli Dex = f ’(0)f(x) = 1*ex = ex

ex derivaatta

Luonnollinen logaritmi

kantalukuna neperin luku e ln x = lnex

Esim.

Esim.

Luonnollinen logaritmi

Esim.

Yhdistetty funktio

Yhdistetyn funktion derivoimissääntö

ef(x) derivoimissääntö

Eksponenttifunktion derivaatta

Esim.

Esim.

• Vihje 1. Heitä kaikki termit samalle puolelle

•Vihje 2. Laske suurin ja pienin arvo

Funktio lnx

Funktion lnx derivaatta

Esim.

Esim.

Derivoimissäännön yleistys

Esim.

Esim.

Käänteisfunktio

x ja y vaihtaa paikkaa käänteisfunktio lasketaan ratkaisemalla

yhtälöstä y = f(x) x-koordinaatti. kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y=x

suhteen. milloin käänteisfunktio on olemassa?

silloin, kun f(x) on aidosti kasvava tai vähenevä

Esim. tutut funktiot ex ja lnx ovat toistensa käänteisfunktioita. S. 133 enemmän