Der optische Kerr-Eﬀekt im Fabry-Perot Interferometer · Abstract The optical Kerr Eﬀect is...

Der optische Kerr-Effekt imFabry-Perot Interferometer

Diplomarbeit

Alexander KhalaidovskiMatrikelnummer: 2114787

Gottfried Wilhelm Leibniz Universitat HannoverInstitut fur Gravitationsphysik

Max-Planck-Institut fur Gravitationsphysik(Albert-Einstein-Institut)

23. Marz 2007

Referent: Jun. - Prof. Dr. Roman Schnabel

Korreferent: Prof. Dr. Karsten Danzmann

Zusammenfassung

Der optische Kerr-Effekt besitzt ein breites Anwendungsgebiet in der Messtechniksowie in der Quanteninformation und kann aufgrund der von ihm bewirkten inten-sitatsabhangigen Phasenrotation des weiteren zur Konstruktion stabiler Quetsch-lichtquellen genutzt werden. Weil dieser nichtlineare Effekt aufgrund seiner hoherenOrdnung jedoch nur schwach ausgepragt ist, konnte ein signifikanter Quetschgradbisher lediglich im Regime intensiver, gepulster Laserstrahlung erzeugt werden.Ein deutlicher Nachweis der Erzeugung Kerr-Effekt-gequetschter Zustande konti-nuierlicher Laserstrahlung in Festkorpern steht hingegen weiterhin aus.Das im Rahmen der vorliegenden Arbeit aufgebaute Experiment wurde mit kon-tinuierlicher Laserstrahlung betrieben. Dieses Experiment dient der Charakteri-sierung der Auswirkungen eines Kerr-Mediums auf die optischen Eigenschafteneines Fabry-Perot Interferometers. Als Kerr-Medium wird dabei ein MgO:LiNbO3 -Kristall verwendet, welcher in einem externen Resonator platziert wurde. Beioptimaler Phasenanpassung zwischen der Fundamentalen und der zweiten Harmo-nischen Mode des Lichtfeldes dienen solche Systeme gewohnlich der Frequenzver-dopplung bzw. der optisch-parametrischen Verstarkung. Schon eine geringe Varia-tion der Phasenanpassung erlaubt jedoch alternativ die Erzeugung eines optischenKerr-Effekts. Dieser sogenannte

”kaskadierte“ Prozess 2. Ordnung bewirkt, ebenso

wie sein auf der nichtlinearen Suszeptibilitat 3. Ordnung χ(3) basierendes Pen-dant, eine intensitatsabhangige Phasenverschiebung. Entsprechend ihrer geringenOrdnung konnen kaskadierte Nichtlinearitaten jedoch vergleichsweise hohe Werteerreichen.Die am Kerr-Fabry-Perot Resonator durchgefuhrten Messungen erbrachten denNachweis eines in den Konversionsminima einsetzenden kaskadierten Kerr-Effekts,welcher mit steigender Leistung zu einem kritischen und schließlich zu einemvermutlich multistabilen Verhalten des Systems fuhrte. Anschließend wurden dieoptischen Systemeigenschaften mit bzw. ohne Einfluss des Kerr-Effekts verglichen.Im dynamisch verstimmten Kerr-Fabry-Perot Resonator konnte eine Oszillationder Leistungsuberhohung (

”ringing“) beobachtet werden. Bei annahernd kritischer

Leistung ließ sich eine optische Verstarkung von Modulationssignalen demonstrie-ren. Ebenso konnte, zum ersten Mal in dieser Starke, eine Kerr-induzierte klassischeUnterdruckung des Amplitudenrauschens um bis zu 5 dB demonstriert werden.

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Abstract

The optical Kerr Effect is widely used in precision metrology as well as forquantum information processing. Furthermore, the intensity-dependent phaseshift can be used for the construction of stable squeezed light sources. Being aχ(3) effect, the nonlinearity is, however, comparatively week. Therefore, significantsqueezing factors could so far only be achieved with pulsed laser sources, whilstnoticeable continuos wave squeezing in birefringent crystals still remains anunsolved problem.The experiment constructed within the frame of the present thesis was operatedwith continuous laser radiation. It’s primary goal was to study how Kerr mediaaffect the optical properties of a Fabry-Perot cavity. For this purpose, a 7%MgO:LiNbO3 crystal was placed between two mirrors, resulting in a Kerr-Fabry-Perot interferometer. When the phase matching between the fundamental and thesecond harmonic mode of the light field is optimal, such systems are commonlyused as frequency doublers and optical parametric oscillators. A slight phasemismatch, however, leads to an intensity dependence of the refractive index andhence to self-action. This behaviour, formally identical to the self-action inducedby χ(3) media, is thus known as ”cascaded second-order nonlinearity”. Accordingto the lower nonlinearity order, cascaded nonlinearities may, however, reachcomparatively high values.Measurements with the Kerr-Fabry-Perot interferometer proved a characteristicKerr-like behaviour when the system was operated at a phase matching minimum.With increasing input power the cascaded nonlinearity also increased and leadto a critical and finally multistable behaviour. Changing the crystal temperatureand hence the phase-matching condition allowed a comparison of the opticalsystem’s properties with and without the presence of self-action effects. At criticalinput power, an optical amplification of internal modulation signals has beendemonstrated. Furthermore, for (to the best of our knowledge) the first time, aclassical noise suppression of up to 5 dB has been achieved solely by the means ofsecond harmonic generation (publication in preparation).

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Symbole und Abkurzungen

Symbol Bedeutung

c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

ν Frequenz

ω Kreisfrequenz

∆O Standardabweichung des Operators O

∆2O Varianz des Operators O

a†, a Quantenmechanischer Erzeuger- bzw. Vernichteroperator

X+, X− Operator der Amplituden- bzw. Phasenquadratur

V +, V − Amplituden- bzw. Phasenrauschspektrum

α Amplitude der koharenten Anregung

~P (NL) Nichtlineare dielektrische Polarisation

χ(k) Suszeptibilitatstensor (k+1)-ter Ordnung

deff effektiver nichtlinearer Koeffizient

no, ne ordentlicher bzw. außerordentlicher Brechungsndex

n0, n2 lineare bzw. nichtlineare Brechungsindexkomponente

ρ, τ Reflektivitats- bzw. Transmissionsamplitude

∆νFSR freier Spektralbereich eines Resonators

∆νFWHM Bandbreite eines Resonators

φ Verstimmungsparameter eines Resonators

F Finesse eines Resonators

w0 Radius der Strahltaille

P Lichtleistung

v

Symbol Bedeutung

AR Anti - Reflective (Coating)

DBS Dicroic Beam Splitter

DFG Difference - Frequency Generation

D-RSE Double - Resonant Sideband Extraction

EOM Elektro -Optischer Modulator

FPR Fabry - Perot Resonator

FSR Free Spectral Range

FWHM Full Width at Half Maximum

HR High Reflective (Coating)

KFPR Kerr - Fabry - Perot Resonator

L Linse

LiNbO3 Lithiumniobat

M Mirror

MC Modecleaner

NL Nonlinear

OPA Optical Parametric Amplification

OPO Optical Parametric Oscillation

OR Optical Rectification

PBS Polarizing Beam Splitter

PD Photodiode

PDH Pound -Drever -Hall (- Verfahren)

PTC, NTC Positive bzw. Negative Temperature Coefficient

QNL Quantum Noise Limit

RBW Resolution Bandwidth

SFG Sum -Frequency Generation

SHG Second -Harmonic Generation

SNR Signal-to-Noise Ratio

vi

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung i

Abstract iii

Symbole und Abkurzungen v

1. Einleitung 1

2. Vom klassischen Licht zur Quantenoptik 5

2.1. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Fock-Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Koharente Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Gequetschte Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Konzepte der nichtlinearen Optik 15

3.1. Nichtlineare dielektrische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Eigenschaften der nichtlinearen Suszeptibilitat . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Nichtlineare Effekte 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1. Aufwartskonversion (SHG und SFG) . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2. Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.3. Abwartskonversion (DFG, OPA und OPO) . . . . . . . . . . 31

3.3.4. OPA-Squeezing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Nichtlineare Effekte 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.1. Der intensitatsabhangige Brechungsindex . . . . . . . . . . . 35

3.4.2. Kerr-Squeezing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5. Kaskadierte Effekte 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Kerr-Medien in optischen Resonatoren 43

4.1. Der Fabry-Perot Resonator (FPR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Der Fabry-Perot Resonator mit Kerrmedium (KFPR) . . . . . . . . 51

4.3. Resonatordynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

vii

Inhaltsverzeichnis

5. Experimenteller Aufbau 595.1. Laserlichtvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1. Die Strahlungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.2. Funktionsprinzip der optischen Diode . . . . . . . . . . . . . 615.1.3. Der Modenfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.4. Stabilisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Das Kerr - Fabry - Perot Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.1. Praparation des Kerrmediums . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2. Justage und Charakterisierung des Kerr - Fabry - Perot Re-

sonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Experimente mit dem Kerr-Fabry-Perot Resonator 816.1. Polarisationsrotation der Grundwelle bei diskreten Phasenanpas-

sungstemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2. Untersuchung des optisch kritischen und multistabilen Verhaltens . 866.3. Kerr-induzierter Ringing-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4. Unterdruckung des Laserrauschens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5. Verstarkung resonatorinterner Phasenmodulationen . . . . . . . . . 996.6. Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. Ausblick 105

A. Detaillierte Darstellung des experimentellen Aufbaus 107

B. Schaltplan des verwendeten Temperaturcontrollers 109

Literaturverzeichnis 111

Selbstandigkeitserklarung 115

Danksagung 117

viii

1. Einleitung

Bereits ein halbes Jahr nach der Erfindung des Lasers im Jahre 1960 gelangFranken et al. mit der Frequenzverdopplung gepulster Rubinlaserstrahlung zumersten Mal die Demonstration nichtlinearer optischer Eigenschaften der Materie [1].Seitdem hat sich das Studium nichtlinearer Effekte und ihrer Einsatzmoglichlich-keiten in physikalischen Experimenten zu einem eigenstandigen Zweig der Physikentwickelt. Einer von ihnen ist die im allgemeinen als

”optischer Kerr-Effekt“

bezeichnete intensitatsabhangige Phasenrotation. Dieser Effekt wird sowohl bei derErzeugung ultrakurzer Laserpulse [2] als auch in der optischen Messtechnik sowiein Quanteninformationsprotokollen [3] ausgenutzt. Aufgrund seiner Natur fuhrtder optische Kerr-Effekt auch zu einer Kopplung von Amplituden- und Phasen-quadratur des beeinflussten Strahlungsfeldes. Bei der Wechselwirkung intensiverLaserstrahlen mit einem Kerr-Medium kann deren Quantenrauschen somit in einerbestimmten Quadratur unter das Vakuumrauschen abgesenkt werden, wahrend esin einer zu dieser orthogonalen Quadratur eine entsprechende Verstarkung erfahrt.Diese, als

”self-squeezing“ bezeichnete Eigenschaft gilt als ein vielversprechender

Ansatz zur weiteren Empfindlichkeitssteigerung interferometrischer Prazisionsmes-sungen [4, 5].Eine extreme Herausforderung an interferometrische Prazisionsmessungen stelltzweifellos der Nachweis von Gravitationswellen, deren Existenz schon im Jahre1916 von Albert Einstein vorausgesagt wurde. Bis heute konnten diese, von nichtkugelsymmetrisch beschleunigten Massen ausgesandte Verzerrungen der Raumzeitnicht direkt nachgewiesen werden. Gemaß den Vorhersagen der Allgemeinen Rela-tivitatstheorie verandern Gravitationswellen den Abstand zwischen Objekten. Auf-grund der hohen Steifheit der Raumzeit sind diese Abstandsanderungen jedoch sehrklein. Fur die starksten auf der Erde zu detektierenden Ereignisse wird eine relativeAbstandsanderung um schatzungsweise den Faktor 10−21 erwartet. Anschaulichbedeutet dies, dass auch die starkste auf den Abstand zwischen Sonne und Erdeeinwirkende Gravitationswelle diesen um weniger als einen Atomdurchmesser zuverandern vermag. Zuverlassige Messungen von derartiger Genauigkeit erforderndaher auch den Einsatz bis dato nicht existenter Messinstrumente.Im Laufe der letzten Jahre hat ein weltweites Netzwerk von Gravitationswellende-tektoren den Betrieb aufgenommen, um einen direkten Beweis fur die Richtigkeitder Allgemeinen Relativitatstheorie zu erbringen. Ein weiteres, im Weltraum po-sitioniertes Interferometer, dessen Messgenauigkeit nicht durch niederfrequentesterrestrisches Gravitationsrauschen limitiert sein wird, hat gegenwartig das finale

1

1. Einleitung

Entwurfsstadium erreicht [6]. Ein Start der Weltraummission ist fur das Jahr 2018geplant.Einer der Faktoren, der die heutigen Detektoren uber einen weiten Frequenzbe-reich in ihrer Empfindlichkeit limitiert, ist das Quantenrauschen des verwendetenLaserlichtes. Zur Sensitivitatssteigerung mussen daher neue Interferometertopolo-gien sowie Modifikationen der aktuellen Detektorkonstruktionen evaluiert werden.Eine solche, theoretisch in [5] untersuchte mogliche Modifikation ist der Ubergangvon der ursprunglichen Michelson-Topologie [7] auf ein Michelson-Interferometer,dessen Arme durch Fabry-Perot Resonatoren mit Kerr-Medien gebildet werden.Die Empfindlichkeit eines Interferometers auf optische Weglangenanderungen lasstsich durch sein Signal-zu-Rausch-Verhaltnis (SNR) beschreiben. Eine Steigerungdieses Verhaltnisses kann damit sowohl durch die Erhohung des Signaltransfers alsauch durch eine Rauschreduktion bzw. durch eine Kombination beider Verfahrenerreicht werden. Einer der die Empfindlichkeit von Gravitationswellendetektoren li-mitierenden Faktoren ist durch das Strahlungsdruckrauschen an den aufgehangtenSpiegelmassen gegeben. Weil auch der Strahlungsdruck eine intensitatsabhangigePhasenverschiebung und damit einen Kerr-Effekt bewirkt, kann durch den Einsatzvon Kerr-Medien eine Kompensation des Strahlungsdruckrauschens innerhalb be-stimmter Frequenzintervalle erreicht werden. Das durch den Kerr-Effekt induzierteself-squeezing fuhrt zudem zu einer Reduktion des Schrotrauschens der im In-terferometer propagierenden Laserstrahlen, so dass insgesamt eine nichtklassischeSteigerung der Interferometerempfindlichkeit uber einen weiten Frequenzbereicherreicht werden kann.Eine erfolgreiche Implementation der beschriebenen Modifikationen erfordert aller-dings den Einsatz von Medien mit hohen nichtlinearen Koeffizienten bzw. eine hoheLaserleistung. Da der Kerr-Effekt jedoch ein Effekt dritter Ordnung ist, ist er inder Regel nur schwach ausgepragt. Signifikantes Squeezing um bis zu 5 dB konnteaus diesem Grund bisher nur beim Einsatz intensiver, im Pulsregime betriebenenStrahlungsquellen in optischen Fasern [8] erreicht werden. Ein deutlicher Nachweisdes Kerr-Squeezings kontinuierlicher Laserstrahlung mithilfe von Festkorpern stehthingegen weiterhin aus.Eine interessante Alternative zu nichtlinearen Medien dritter Ordnung bietet derEinsatz von Kristallen, die sich durch eine hohe Nichtlinearitat zweiter Ordnungauszeichnen. Diese werden gewohnlich zur Frequenzverdopplung von Laserstrah-lung bzw. zur Konstruktion optisch-parametrischer Verstarker verwendet, wobeieine Phasenanpassung der im Kristall propagierenden Wellen sowohl uber dieTemperatur- als auch uber die Winkelabhangigkeit der zugehorigen Brechungs-indizes realisiert werden kann. Verstimmt man jedoch die zwischen Grundwelleund zweiter Harmonischen des Lichtfeldes realisierte Phasenanpassung, so kannin zunehmendem Maße eine intensitatsabhangige Phasenrotation der vom nicht-linearen Kristall transmittierten Grundwelle beobachtet werden. Diese erreichtim Konversionsminimum erster Ordnung schließlich ihren Maximalwert. Dem an-

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schaulichen Verstandnis dieses sogenannten”kaskadierten nichtlinearen Prozesses

zweiter Ordnung“ dient das in Abb. 1.1 dargestellte Mach-Zehnder Interferome-ter mit idealisierten, verlustfreien Spiegeln. Die ins Interferometer eingekoppelte

Abbildung 1.1.: Mach-Zehnder-Interferometer mit nichtlinearen Medien als Modell derkaskadierten Nichtlinearitat 2. Ordnung.

Grundwelle wird zunachst an dem als M1 bezeichneten Strahlteiler aufgespalten.Der reflektierte Anteil wird daraufhin im ersten nichtlinearen Medium vollstandigzur zweiten Harmonischen konvertiert, um schließlich im anderen Kristall eine tota-le Ruckkonversion zu erfahren und an M2 wieder mit dem von M1 transmittiertenAnteil uberlagert zu werden. Insgesamt findet also keine Konversion statt. Weilsich die Brechungsindizes und damit die optischen Wege der beiden Lichtstrah-len jedoch unterscheiden, erfahrt die insgesamt vom Interferometer transmittierteLichtwelle eine Phasenverschiebung, deren Große vom Anteil des zwischenzeitlichkonvertierten Lichts abhangig ist. Damit ist die kaskadierte Nichtlinearitat for-mal betrachtet mit einem optischen Kerr-Effekt identisch. Aufgrund des Großen-ordnungsunterschiedes beider Effekte erreichen die kaskadierten Nichtlinearitatenjedoch vergleichsweise hohe Werte. Sie gelten daher als eine vielversprechendeAlternative zu

”echten“ Kerr-Medien dritter Ordnung.

Neben dem Einsatz in der optischen Messtechnik bietet der kaskadierte Kerr-Effektauch eine interessante Alternative zur Konstruktion kontinuierlicher Quetschlicht-quellen. Anders als bei der optisch-parametrischen Oszillation benotigt das Kerr-Squeezing außer der Grundwelle keine weiteren Pumpfelder, so dass eine Nutzungtechnisch einfacher realisierbar zu sein scheint. Hohe Kerr-Nichtlinearitaten undder Einsatz intensiver Laserstrahlung konnen ferner die Erzeugung sichelformiggequetschter Zustande ermoglichen, welche sich durch eine nicht-Gauß’sche Quan-tenrauschstatistik auszeichnen. Solche Zustande, deren experimentelle Realisati-on bisher nicht gelungen ist, sind besonders fur die Quanteninformationstheorievon großem Interesse. So bilden nicht-Gauß’sche Operationen beispielsweise den

3

1. Einleitung

Grundbaustein samtlicher Protokolle, welche der Purifikation Gauß’scher Zustandedienen [9, 10]. Weitere Anwendungsfelder bieten die Untersuchung verschrankterZustande [11, 12] sowie die Quantenteleportation [13, 14].Die vorliegende Arbeit beschreibt die Konstruktion eines Kerr-Fabry-Perot In-terferometers im Rahmen des Teilprojektes B16 des Sonderforschungsbereiches407. Dabei prasentieren die folgenden beiden Kapitel eine theoretische Diskussionder beteiligten nichtlinearen Phanomene sowie der zu ihrem Verstandnis notwen-digen, quantenoptischen Grundlagen. Auf diesen aufbauend wird in Kapitel 4das Verhalten linearer Resonatoren ohne bzw. mit Kerr-Medium diskutiert unddie beiden Systeme miteinander verglichen. Kapitel 5 prasentiert daraufhin denkonkreten experimentellen Aufbau eines Kerr-Fabry-Perot Interferometers sowieder zu seiner Stabilisierung erforderlichen Regelungsschemata. Der Diskussion dergesammelten Messdaten und ihrem Vergleich mit den numerischen Simulationenwidmet sich schließlich Kapitel 6. Eine daran anschließende kurze Ubersicht derzukunftigen Experimententwicklung prasentiert die fur die nahe und ferne Zukunftgeplanten Schritte auf dem Weg zum Nachweis stark nichtklassischer Zustande deselektromagnetischen Feldes.

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2. Vom klassischen Licht zurQuantenoptik

Als Lord Maxwell 1864 der Welt sein neues vereinheitlichtes Modell der Elek-trodynamik vorstellte, galt die Physik als eine Wissenschaft,

”in der schon fast

alles erforscht sei und in der es gelte, nur noch einige unbedeutende Luckenzu schließen“. Mit diesen Worten suchte Prof. von Jolly den jungen talentiertenStudenten Max Planck zu uberzeugen, einem anderen Studienfach den Vorzugzu geben. Glucklicherweise ließ sich Planck jedoch nicht beirren und so leitete ereinige Jahre spater mit seinen Uberlegungen eine physikalische Revolution ein,welche schließlich zur Entwicklung der Quantenmechanik fuhrte, die sowohl dieGrundlagen der Physik als auch unser Weltbild fur immer verandern sollte.Ausgehend von Maxwells Gleichungen sollen in diesem Kapitel eine quantenme-chanische Beschreibung des elektromagnetischen Feldes sowie einige interessanteKonsequenzen vorgestellt werden. Weitere Details und umfangreiche theoretischeDiskussionen sollten am besten der einschlagigen Fachliteratur, so z. B. [15, 16, 17],entnommen werden.

2.1. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Bis ins letzte Jahrhundert hinein konnten die meisten physikalischen Effekte reinklassisch zufriedenstellend gedeutet werden und auch im Zeitalter der Quantenme-chanik bedient man sich noch immer gerne einfacherer halbklassischer Modelle,um die in der modernen Optik beobachteten Phanomene zu beschreiben. Beieiner ganzen Reihe von Effekten versagt eine solche Darstellung jedoch. Mochteman Phanomene wie die Lamb-Verschiebung, den Casimir-Effekt oder auch exo-tische Zustande des Lichtfeldes wie z. B. gequetschte Zustande akkurat erklaren,so muss auf eine Quantisierung des Strahlungsfeldes zuruckgegriffen werden. Aufden folgenden Seiten werden einige Grundkonzepte der Quantenmechanik und derElektrodynamik in Erinnerung gerufen, um auf ihnen aufbauend wiederum einequantisierte Beschreibung des elektromagnetischen Feldes abzuleiten.

5

2. Vom klassischen Licht zur Quantenoptik

Klassische Wellengleichung

Um eine Quantisierung des Strahlungsfeldes vorzunehmen, wird zuerst eine klassi-sche Beschreibung desselbigen benotigt. Diese ist durch die Gleichungen Maxwells

∇ ~B = 0 ∇ ~E = 0 (2.1 a, b)

∇× ~B − 1

c2

∂ ~E

∂t= 0 ∇× ~E +

∂ ~B

∂t= 0 (2.1 c, d)

gegeben, wobei ~E und ~B die elektrischen bzw. magnetischen Feldvektoren und cdie Lichtgeschwindigkeit im Vakuum sind.Wendet man auf Gl. (2.1d) den Rotationsoperator an, so erhalt man unter Beruck-sichtigung von (2.1a) und (2.1c) nach einer kurzen Rechnung die Wellengleichungdes elektrischen Feldes:

∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂t2= 0 . (2.2)

Ein beliebiges elektrisches Feld muss also per Definition die obige Gleichung erful-len. Eine der moglichen Losungen ist z. B.

~E(~r, t) = E0 ~p(~r, t)[α(~r, t)eiωt + α∗(~r, t)e−iωt

](2.3)

mit der Kreisfrequenz ω = 2πν und der komplexen dimensionslosen Amplitudeα(~r, t). Der Polarisationsvektor ~p beschreibt die Orientierung des elektrischenFeldes in der zu seiner Ausbreitungsrichtung senkrechten Ebene.Betrachten wir den einfachen Spezialfall einer in z-Richtung propagierenden mo-nochromatischen ebenen Welle, so ist die Amplitude α in jeder zur optischenAchse senkrecht orientierten Ebene zeitlich konstant und kann durch den folgendenAusdruck beschrieben werden:

α(z) = α(0)e−ikz . (2.4)

Dabei ist k = kz = 2π/λ die z-Komponente und damit der Betrag des Wellenvek-tors, der die Propagationsrichtung der Wellenfronten beschreibt.Setzt man (2.4) in (2.3) ein und nimmt o.B. d.A. eine konstante Polarisation inx-Richtung an, so resultiert die vertraute klassische Darstellung des elektrischenFeldes

Ex(z, t) = E0 cos(νt− kz) . (2.5)

Quantenmechanische Grundlagen

Wahrend es in der klassischen Physik selbstverstandlich ist, an einem Objektgleichzeitig eine beliebige Zahl unterschiedlicher Eigenschaften exakt vermessen

6


zu konnen, sind in der Quantenmechanik solche kontemporaren Messungen einerEinschrankung unterworfen. Ihr wohl bekanntester Spezialfall ist der 1927 vonWerner Heisenberg aufgestellte Zusammenhang

∆x∆p ≥ ~2

, (2.6)

der eine gleichzeitige beliebig prazise Orts- und Impulsmessung an einem Systemverbietet. Dabei bezeichnet ∆O die Standardabweichung eines Operators O , wel-che sich wie folgt aus seinen Erwartungswerten errechnet:

(∆O)2 ≡ ∆2O =⟨(O − 〈O〉)2⟩ =

⟨O2

⟩− 〈O〉2 . (2.7)

An dieser Stelle tritt die probabilistische Struktur der Quantenmechanik besondershervor: Exakte Messungen sind nur noch unter ganz bestimmten Bedingungenmoglich, an ihre Stelle treten durch Wahrscheinlichkeiten dominierte Ergebnisse.Erwartungswerte und Varianzen bekommen eine neue Bedeutung, denn sie ergebensich nicht langer aus experimentellen Unzulanglichkeiten sondern sind nun in denNaturgesetzen begrundet.Der Zusammenhang (2.6) lasst sich auch allgemein fur beliebige OperatorenO1,O2 formulieren:

∆O1∆O2 ≥1

2|〈[O1,O2]〉| . (2.8)

Die klassische Aussage ab = ba verliert fur quantenmechanische Operatoren ih-re universelle Gultigkeit. Lediglich voneinander unabhangige Großen vertauschenweiterhin in diesem Sinne und unterliegen somit keinen Einschrankungen bei einergleichzeitigen Messung.Betrachten wir anstelle der Orts- und Impulsoperatoren ihre Linearkombinationen

a =1√2~

(x + ip) und a† =1√2~

(x − ip) , (2.9)

so kann man zeigen, dass auch diese nicht miteinander vertauschen und dass furden Kommutator der beiden Großen[

a ,a†] = 1 (2.10)

gilt. Wie in Kapitel 2.2 gezeigt wird, ist es sinnvoll, diese als Vernichter- bzw.Erzeugeroperator zu bezeichnen.Offenbar sind die Operatoren (2.9) nicht hermitesch, sie entsprechen daher keinenrealen Observablen [18, S.125]. Es lassen sich jedoch mit ihrer Hilfe wiederum neueLinearkombinationen

X+ =1

2

(a + a†) , X− =

1

2i

(a − a†) (2.11)

7


definieren. Diese sind hermitesch und somit im Messprozess zugangliche Großen,welche in der Literatur als Amplituden- bzw. Phasenquadratur bezeichnet werden.Aus ihnen konnen durch weitere Linearkombinationen beliebige neue Quadratur-operatoren erzeugt werden

X θ = X+ cos (θ) + X− sin (θ) , (2.12)

wobei θ den Phasenwinkel zwischen den beiden Quadraturen bezeichnet.Abschließend sollen auch die Quadraturen auf Vertauschbarkeit untersucht werden.Unter Ausnutzung von (2.10) lasst sich leicht nachrechnen, dass[

X+,X−]=

i

2(2.13)

ist. Mit (2.8) folgt somit

∆X+∆X− ≥ 1

4. (2.14)

Besonders interessant sind Zustande, fur die das Gleichheitszeichen gilt unddie somit eine minimale Unscharfe aufweisen. Diese werden in Kapitel 2.2ausfuhrlicher vorgestellt.

Kanonische Quantisierung

Mit den soeben vorgestellten Werkzeugen lasst sich die klassische Beschreibungvon Licht nun leicht in eine quantenmechanische uberfuhren. Dieser als

”kano-

nische Quantisierung“ bezeichnete Prozess wurde erstmals von Dirac vorgestellt.Wird ein System klassisch im Sinne der Hamilton-Gleichungen durch die kanoni-schen Variablen q und p beschrieben, so geht man bei einer quantenmechanischenBeschreibung auf die Operatoren x und p uber. Die entsprechende Normierung

x =

√mω

~q , p =

1√m~ω

p . (2.15)

stellt die Dimensionlosigkeit beider Operatoren sicher. Betrachten wir fur dieQuantisierung nun das elektrische Feld

Ex (z, t) = E0 (ω) q (t) sin (kzz) (2.16)

in einem Resonator, welches ebenso wie (2.3) und (2.5) die Wellengleichung erfullt.Dabei ist q eine zeitabhangige Amplitude mit der Dimension einer Lange, wahrendE0 im wesentlichen von den Resonatoreigenfrequenzen und seinem Volumen ab-hangig ist. Damit ergibt sich das magnetische Feld zu

By(z, t) =E0

c2kz

q(t) cos (kzz) . (2.17)

8


Die zeitliche Ableitung der kanonischen Variable q entspricht in diesem Modelldem kanonischen Impuls eines Teilchens mit der Einheitsmasse m = 1.

q(t) = p(t) (2.18)

Die im Resonator gespeicherte Energie ergibt sich als Integral uber das Resona-torvolumen

H =1

2

∫dV

(ε0

~E2 +1

µ0

~B2

). (2.19)

Setzt man (2.16) und (2.17) in (2.19) ein, so folgt fur den Hamiltonian

H =1

2

(p2 + ω2q2

). (2.20)

Eine Strahlungsfeldmode entspricht also formal einem harmonischen Oszillator mitEinheitsmasse.Nun kann das Strahlungsfeld wie oben geschildert kanonisch quantisiert werden,indem die Variablen q und p nach (2.15) durch die Orts- und Impulsoperatorensubstituiert werden:

Ex(z, t) = E0

√~ωx (t) sin (kzz) . (2.21)

Weitere Details der Quantisierung eines harmonischen Oszillators finden sich injedem ausfuhrlichen Lehrbuch der Quantenmechanik, so z. B. in [18]. Es sei an-gemerkt, dass eine kanonische Quantisierung ein intuitiver Prozess ist und keinenfesten mathematischen Vorschriften gehorcht. Unterschiedliche Formulierungen einund desselben Problems konnen zu differierenden und gegebenenfalls fehlerhaftenquantenmechanischen Beschreibungen fuhren [19].Der Ausdruck (2.21) lasst sich mit Hilfe von (2.9) und (2.15) in die physikalischschonere Form

Ex(z, t) =~E0√

2ω(a + a†) sin (kzz)

= E′

0

(a(0)e−iωt + a†(0)eiωt

)sin (kzz)

(2.22)

uberfuhren. Dabei wurde die Zeitentwicklung der Erzeuger und Vernichteropera-toren a(t) = a(0)e−iωt, a†(t) = a†(0)eiωt mit berucksichtigt [17, S. 12 ff]. ImFolgenden wird zwecks Ubersichtlichkeit die Notation a = a(0), a† = a†(0)verwendet. Aus der Darstellung (2.22) folgt, dass sich der Operator des elektrischenFeldes in Anteile positiver und negativer Frequenz

E = E (+) + E (−) = E (+) +(E (+)

)†(2.23)

9


zerlegen lasst, welche direkt aus der Fouriertransformierten von (2.22) abgelesenwerden konnen.Schließlich empfiehlt es sich, auch bei der Beschreibung des elektrischen Feldesvon den experimentell nicht messbaren Erzeuger- und Vernichteroperatoren aufeine Quadraturdarstellung uberzugehen. Mit (2.11) ergibt sich das elektrische Feldzu

Ex(z, t) = 2E′

0 sin (kzz)X+ cos (ωt) + X− sin (ωt)

. (2.24)

Die Amplituden- und Phasenquadratur entsprechen somit Feldamplituden, diein ihrer Schwingung gegeneinander um 90 phasenverschoben sind. Aus diesemZusammenhang ergibt sich auch ihre Bezeichnung als Quadraturen.

2.2. Fock-Zustande

Nachdem eine quantenmechanische Beschreibung des Strahlungsfeldes realisiertwurde, sollen nun einige interessante Zustande dieses Feldes detaillierter untersuchtwerden. Dazu betrachten wir als Ausgangspunkt wieder eine Mode des quanten-mechanischen harmonischen Oszillators, deren Hamiltonoperator durch

H |n〉 = ~ω(a†a +1

2) |n〉 = En |n〉 (2.25)

gegeben ist. Dabei ist |n〉 ein Eigenzustand des Hamiltonians mit dem Energie-eigenwert En. Wenden wir nun (2.25) auf den Zustand a |n〉 an, so erhalten wirunter Ausnutzung der Kommutatorrelation (2.10)

Ha |n〉 = (En − ~ω)a |n〉 . (2.26)

Das bedeutet, dass auch der Zustand

a

N|n〉 = |n− 1〉 (2.27)

ein Energieeigenzustand ist. Der dazugehorige Energieeigenwert ist jedoch um einQuant geringer als der Eigenwert zu |n〉. Die Konstante N errechnet sich aus derNormierungsbedingung.Wird dieser Rechenschritt n-fach iteriert und die Energie des Systems in Schrittenvon ~ω erniedrigt, so erhalt man schließlich den Zustand

Ha |0〉 = (E0 − ~ω) |0〉 (2.28)

der geringsten Energie, den sogenannten Grund- oder auch Vakuumzustand.Da dessen Energiewert per Definition nicht unterschritten werden kann,

10

2.3. Koharente Zustande

folgt offensichtlich

a |0〉 = 0 . (2.29)

Betrachtet man den Erzeuger a†, so kann leicht nachgerechnet werden, dass seineAnwendung die Energie des Systems um ein Quant erhoht. Aus der Normierungs-bedingung folgt

a |n〉 =√

n |n− 1〉 und a† |n〉 =√

n + 1 |n + 1〉 . (2.30)

Damit kann jeder Zustand |n〉 der Energie En = (n~ω+ 12) auf den Vakuumzustand

zuruckgefuhrt werden

|n〉 =

(a†)n

√n!

|0〉 . (2.31)

Es liegt nahe, den Zustanden |n〉 die jeweilige Anzahl an Photonen der Energie~ω zuzuordnen. Daher werden diese auch als

”Anzahl“ - oder

”Fock“ -Zustande

bezeichnet. Sie bilden einen vollstandigen Satz orthogonaler Variablen.

2.3. Koharente Zustande

Ein Nachteil der Anzahl-Zustande ist, dass sie zwar eine wohldefinierte Amplitudeaufweisen, jedoch vollstandig in ihrer Phase verschmiert sind. Dies macht sieungeeignet, um reale Lichtquellen wie den Laser zufriedenstellend zu beschreiben.Weit zutreffender lasst sich das von einem Laser erzeugte Strahlungsfeld durch diesogenannten

”koharenten Zustande“ modellieren. Diese erhalt man durch Anwen-

dung des Verschiebungsoperators D(α) auf den Vakuumzustand:

|α〉 = D(α) |0〉

= eαa†−α∗a |0〉

= e−12|α|2

∞∑n=0

αn

√n!|n〉 .

(2.32)

Dabei ist α ∈ C mit der komplexen Feldamplitude der klassischen Optik ver-gleichbar. Offenbar setzt sich der koharente Zustand per Superposition aus denFock-Zustanden zusammen, es lasst sich diesem also keine wohldefinierte Anzahlvon Photonen mehr zuordnen.Man kann zeigen, dass koharente Zustande viele Eigenschaften mit dem klassischbeschriebenen Licht gemeinsam haben und dass sie die beste quantenmechanischeDarstellung von Laserlicht reprasentieren [15, S. 46-56].

11


Bemerkenswert ist, dass die Zustande |α〉 gemaß

a |α〉 = α |α〉 (2.33)

normierte Eigenzustande des Vernichteroperators a sind, und dass der Erwartungs-wert der Photonenzahl

〈n〉α =⟨α

∣∣a†a∣∣ α

⟩= α∗α (2.34)

in einem koharenzen Zustand durch das Betragsquadrat dessen komplexerAmplitude gegeben ist. Im Gegensatz zu den Fock-Zustanden sind zwei koharenteZustande jedoch nicht orthogonal zueinander∣∣∣〈α|α′〉

∣∣∣2 = e−|α−α′ |2 . (2.35)

Nichtsdestotrotz kann ein beliebiger Zustand |Ψ〉 in der Basis der koharentenZustande dargestellt werden, da fur stark unterschiedliche Photonenzahlen dasSkalarprodukt verschwindend geringe Werte annimmt.Betrachten wir schließlich noch die Quadraturoperatoren eines koharenten Zustan-des, so zeigt eine kurze Rechnung, dass fur ihre Varianzen der Zusammenhang

∆2X+α ∆2X−

α =1

16(2.36)

gilt. Koharente Zustande sind folglich Zustande minimaler Unscharfe, die Schwan-kung in einer beliebigen Quadratur betragt stets

∆2X θα =

1

4. (2.37)

2.4. Gequetschte Zustande

Betrachtet man die allgemeine Unscharferelation (2.8), so erkennt man, dass dieoben diskutierten koharenten Zustande trotz all ihrer interessanten Eigenschaftennur eine kleine Untermenge aller Zustande des Strahlungsfeldes bilden. Fernergehoren sie aufgrund der ihnen eigenen Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung sogarzu den

”klassischen“ Zustanden [17, S.150]. Man sieht allerdings leicht ein, dass

Gl. (2.8) auch die Existenz solcher Zustande zulasst, deren Varianzen im Gegensatzzu (2.37) den Wert von 1

4, der als

”Quantenrauschlimit“ (QNL) bezeichnet wird,

unterschreiten

∆2O <1

4. (2.38)

Fur die Varianz des anderen Operators folgt dabei entsprechend ∆2O′

> 14, so

dass insgesamt die Forderung (2.8) nicht verletzt wird. Aufgrund ihrer in einer

12

2.4. Gequetschte Zustande

Quadratur unter dem QNL liegenden Schwankung werden solche Zustande alsgequetscht (engl. squeezed states) bezeichnet.Trotz dieses gravierenden Unterschiedes uberrascht es kaum, dass auch gequetschteZustande wie die koharenten aus dem Vakuumzustand erzeugt werden konnen,wobei auf diesen zusatzlich noch der Squeeze-Operator

|α, ξ〉 = D(α) S(ξ) |0〉

= D(α) e12ξ∗a2− 1

2ξ(a†)2 |0〉 mit ξ = re2iθs

(2.39)

anzuwenden ist. Dabei bezeichnet θs die Orientierung der Squeezing-Achse wah-rend r das Maß des Squeezings beschreibt. In Gl. (2.39) kann selbstverstandlichauch auf die Anwendung des Verschiebungsoperators verzichtet werden, als Ergeb-nis erhalt man anstatt eines gequetschten

”hellen“ Zustands einen gequetschten

Vakuumzustand |0, ξ〉. Berechnen wir den Photonenerwartungswert dieses Zustan-des, so erhalten wir das bemerkenswerte Ergebnis, dass dieser im Gegensatz zum

”normalen“ Vakuumzustand von Null verschieden ist

〈n〉|0,ξ〉 = sinh2(r) . (2.40)

Analog gilt fur die gequetschten koharenten Zustande:

〈n〉|α,ξ〉 = |α|2 + sinh2(r) , (2.41)

∆2X+α,ξ = e−2r , (2.42)

∆2X−α,ξ = e+2r . (2.43)

Abbildung 2.1 zeigt einige Beispiele gequetschter Zustande mit unterschiedlichenParametern in einer sogenannten

”Phasor“ - Darstellung der Erzeuger- und Ver-

nichteroperatoren. Mathematisch bedeutet diese eine Separation des Quantenrau-schens vom klassischen Erwartungswert der Operatoren:

a(t) = α + δa(t) bzw. a†(t) = α∗ + δa†(t) . (2.44)

Dabei beschreibt α = 〈a〉 =⟨a†⟩∗ den zeitlich konstanten Erwartungswert des

Vernichteroperators, wahrend fur die Erwartungswerte der schnellen zeitlichenVariationen 〈δa(t)〉 =

⟨δa†(t)

⟩= 0 gilt. Das Einsetzen in (2.11) ergibt

X+(t) =1

2

(α + α∗ + δa(t) + δa†(t)

)≡ <(α) + δX+(t)

X−(t) =1

2i

(α− α∗ + δa(t)− δa†(t)

)≡ =(α) + δX−(t)

(2.45)

13


Abbildung 2.1.: Darstellung der Varianzen in einem Quadraturdiagramm. (a) Einkoharenter (blau) und ein mit r =0,4 in der Amplitudenquadratur gequetschter Va-kuumzustand. (b) Ein auf die gleiche Weise gequetschter ”heller“ Zustand mit derkoharenten Amplitude α . (c) Phasenquadratursqueezing mit r =0,5 . (d) Squeezing inder θ - Quadratur.

fur das zeitliche Verhalten der Quadraturoperatoren. In Ubereinstimmung mit die-ser Formulierung besteht ein im Phasorendiagramm illustrierter Zustand aus einemder koharenten Amplitude α entsprechenden, zeitlich konstanten

”Phasor“ sowie

zwei zeitlich variablen Termen δX±(t) , welche den sogenannten”Unscharfekreis“

aufspannen. Eine ausfuhrliche Diskussion der Methoden zur experimentellen Er-zeugung und Detektion kontinuierlicher gequetschter Zustande wurde den Rahmender vorliegenden Arbeit uberschreiten. Fur eine exzellente Darstellung sei an dieserStelle auf die Arbeiten [20, 21, 22] verwiesen.

14

3. Konzepte der nichtlinearen Optik

Seit jeher haben Edelsteine und Kristalle aller Art die Menschen in ihren Banngezogen. Wohl aus diesem Grund gehoren optische Experimente, welche sich inprimitiver Form schon bei den alten Agyptern wiederfinden, mit zu den altestenZweigen der Physik. Bis ins letzte Jahrhundert hinein konnten jedoch lediglichlineare Phanomene wie Brechung, Reflexion oder Streuung ausgiebig untersuchtwerden. Erst als T.Maiman 1960 mit dem Rubinlaser die Konstruktion der ers-ten koharenten optischen Lichtquelle gelang, ließen sich bis dato unvorstellbareEnergiemengen auf kleinstem Raum bundeln, um ganzlich neue Eigenschaften derMaterie zu demonstrieren: Die nichtlineare Optik war geboren [1, 23].Von Anfang an legte dieses relativ junge Gebiet der Physik eine rasante Entwick-lung an den Tag, so dass heute, gut 45 Jahre spater, kein Lehrbuch mehr allseine Auslaufer zu umfassen vermag. Ziel des vorliegenden Kapitels ist es, einenUberblick uber die zum Verstandnis dieser Arbeit notwendigen Grundlagen zuverschaffen. Auf diesen aufbauend prasentiert der zweite Kapitelabschnitt einetheoretische Diskussion derjenigen nichtlinearen Effekte, deren Beobachtung expe-rimentell im Laufe meiner Diplomarbeit realisiert werden konnte bzw. in Zukunftrealisiert werden soll. Die verbleibenden Phanomene werden in einer Ubersichtkurz erlautert, fur eine ausfuhrliche Diskussion empfehlen sich die Werke [24, 25].Eine umfangreiche Darstellung der Eigenschaften nichtlinearer Kristalle findet sichin Referenz [26].

3.1. Nichtlineare dielektrische Polarisation

Bei den Betrachtungen in Kapitel 2 gingen wir von einem elektromagnetischenFeld im Vakuum aus. Im nachsten Schritt wollen wir nun unsere Uberlegungenum die Frage erweitern, was passiert, wenn ein solches Strahlungsfeld mit Materiewechselwirkt.Bringen wir ein Dielektrikum in ein homogenes elektrisches Feld, so wirkt auf dieenthaltenen Ladungstrager die Kraft ~F = q ~E. Diese induziert eine Ladungstren-nung, die Ladungsschwerpunkte der Elektronenhullen fallen nicht langer mit denender Atomkerne zusammen. Die Große dieser Verschiebung wird durch das atomareDipolmoment

~p = e0~d (3.1)

15


beschrieben, das proportional zur Elementarladung e0 ist und in Richtung derAchse der Ladungstrennung zeigt. Diese Achse ist (unter Vernachlassigung andererWechselwirkungen) parallel zum außeren Feld orientiert. Eine handlichere Großestellt die Polarisation

~P = N~p (3.2)

als Beitrag aller Dipolmomente pro Volumeneinheit dar.Ist die Auslenkung der Ladungstrager aus ihrer Ruhelage klein, so ist gemaß demHookschen Gesetz die rucktreibende Kraft proportional zu |~d| . Somit hangt diePolarisation linear vom außeren Feld ab. Diese Naherung verliert fur zunehmendgroße Felder, wie sie z. B. mit einem Laserstrahl realisiert werden konnen, jedochihre Gultigkeit. In diesem Fall ist es vorteilhaft, die Polarisation als Funktion deselektrischen Feldes in eine Potenzreihe

~P = χ(1) ~E + χ(2) ~E2 + χ(3) ~E3 + . . . ≡ ~P (1) + ~P (NL) (3.3)

zu zerlegen. Im allgemeinen Fall sind ~P und ~E jeweils Tensoren 1. Stufe wahrendder k-te Beitrag der sogenannten

”Suszeptibilitat“ χ(k) durch einen Tensor

(k + 1)-ter Ordnung beschrieben wird. Einige Eigenschaften dieser fur dienichtlineare Optik so wichtigen Großen werden in den folgenden Abschnittenausfuhrlicher vorgestellt.In Kapitel 2.1 wurde eine Wellengleichung zur Beschreibung der elektrischenFelder im Vakuum hergeleitet. Analog erhalt man aus den Maxwell-Gleichungenin Materie

∇ ~B = 0 ∇ ~D = 4πρ

∇× ~H − 1c

∂ ~D∂t

= 4πc

~J ∇× ~E + 1c

∂ ~B∂t

= 0

eine verallgemeinerte Form der durch Gl. (2.2) gegebenen Wellengleichung:

∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂t2=

4π

c2

∂2 ~P

∂t2. (3.4)

Das Medium wurde dabei als quellen- und stromungsfrei angenommen:

ρ = 0 und ~J = 0 .

Betrachten wir abschließend ein isotropes nichtdispersives Material, so zeigt derlineare Anteil der Polarisation ~P (1) in Richtung von ~E, und Gl. (3.4) reduziert sichzu

∇2 ~E − εr

c2

∂2 ~E

∂t2=

4π

c2

∂2 ~P (NL)

∂t2, (3.5)

16

3.2. Eigenschaften der nichtlinearen Suszeptibilitat

wobei die relative Dielektrizitatskonstante εr = 1 + χ(1) den Zusammenhangzwischen ~E und ~P beschreibt. Bei Gl. (3.5) handelt es sich um eine inhomogene

Differenzialgleichung 2. Ordnung. Die nichtlineare Polarisation ~P (NL) treibtfolglich das elektrische Feld. Diese Aussage lasst sich derart interpretieren, dass

wann immer ∂2 ~P∂t2

6= 0 ist, Ladungen beschleunigt werden, welche ihrerseits selbstEnergie in Form von elektromagnetischer Strahlung emittieren. Bereits der erstenichtlineare Polarisationsterm fuhrt, wie in Kapitel 3.3 gezeigt wird, zur Emissionvon Strahlung mit verdoppelter Frequenz verglichen mit dem einfallendenelektrischen Feld. Somit verfallt einer der

”Erhaltungssatze“ der klassischen Optik,

nach dem bei der Wechselwirkung von Licht mit Materie keine neuen Frequenzenentstehen konnen.


Zur Beobachtung nichtlinearen Effekte bedarf es enormer Lichtintensitaten,d. h. dass die Suszeptibilitatsanteile hoherer Ordnung verglichen mit χ(1) ver-schwindend kleine Werte besitzen mussen. Bevor wir uns einer detaillierten Dis-kussion der Suszeptibilitatstensoren zuwenden, wollen wir daher mit einem einfa-chen Modell die zu erwartende Großenordnung der ersten nichtlinearen Beitrageabschatzen. Zu diesem Zweck lasst sich der aus der klasssischen Optik bekannteZusammenhang

n =√

1 + 4πχ(1) (3.6)

zwischen der linearen Suszeptibilitat und dem komplexen Brechungsindex n ver-wenden. Bei optischen Medien wie Glas nimmt dieser typischerweise Werte zwi-schen 1 und 3 an, so dass in erster Naherung χ(1) ≈ 1 angenommen werden kann.

Betrachten wir nun erneut das induzierte atomare Dipolmoment. Erreicht dasvon außen angelegte Feld E die Starke des inneratomaren Feldes Eat, so hangtdas Dipolmoment stark nichtlinear vom Feld ab, der erste Korrekturterm derPolarisation P (2) ist nun von derselben Großenordnung wie der lineare Anteil P (1).Drucken wir E in Einheiten der inneratomaren Bezugsgroße Eat aus, so erhaltenwir fur die Suszeptibilitat 2. Ordnung

χ(2) =χ(1)

Eat

. (3.7)

Als typische atomare Feldstarke errechnet man Eat = e0/a20 = 5, 2 · 109 V

cm, wobei

e0 die Elementarladung und a0 = ~2

mee2 den Bohr’schen Atomradius bezeichnen.

17


Damit resultiert fur den ersten nichtlinearen Beitrag zur Suszeptibilitat

χ(2) ≈ 1,9 · 10−10 cm

V, (3.8)

fur χ(3) erhalt man einen Wert von 3,8 · 10−20 cm2

V2 . Aufwendige Messungen annichtlinearen Kristallen haben gezeigt, dass die realen Suszeptibilitatswerte furviele optische Medien in dieser Großenordnung zu finden sind [26].

Formale Definition der Suszeptibilitatstensoren

Alle Phanomene der klassischen Optik lassen sich restlos mithilfe des linearenSuszeptibilitatsterms χ(1) beschreiben. Da dieser lediglich Effekte wie Dispersionberucksichtigt und keine Erkenntnisse uber nichtlineare Phanomene vermittelnkann, verzichten wir an dieser Stelle auf eine weitere Untersuchung und wendenuns der ersten nichtlinearen Suszeptibilitatskomponente zu. Die folgenden Uberle-gungen konnen jedoch mit geringem Aufwand auch auf die Suszeptibilitatstensorenhoherer Ordnung ubertragen werden.Fallen zwei Felder ~E1 und ~E2 in ein nichtlineares Medium ein, so fuhrt die Nichtli-nearitat 2. Ordnung u. a. zur Erzeugung eines Feldes ~E3, welches mit der Frequenzω3 = ω1 + ω2 oszilliert. Diesen Prozess bezeichnet man als Summenfrequenz-erzeugung. Eine vollstandige Beschreibung der Wechselwirkung der drei beteiligtenFelder setzt die Kenntnis der entsprechenden Polarisationsterme ~P (ωn) voraus.Aufgrund der formalen Definition des Suszeptibilitatstensors durch

Pi(ωn + ωm) =∑jk

∑P

χ(2)ijk(ωn + ωm; ωn, ωm)Ej(ωn)Ek(ωm) (3.9)

mussen also die insgesamt 12 Tensoren

χ(2)ijk(±ω1;±ω3,∓ω2), χ

(2)ijk(±ω1;∓ω2,±ω3), χ

(2)ijk(±ω2;±ω3,∓ω1),

χ(2)ijk(±ω2;∓ω1,±ω3), χ

(2)ijk(±ω3;±ω1,±ω2), χ

(2)ijk(±ω3;±ω2,±ω1)

mit jeweils 27 voneinandern unabhangigen Komponenten und somit 324 unter-schiedliche komplexe Zahlen bestimmt werden. In Gl. (3.9) beschreiben die Indi-zes ijk die kartesischen Feldkoordinaten, wahrend

∑P die Summation uber alle

unterscheidbaren Permutationen von ω1 und ω2 zum selben ω3 bezeichnet. DieSchreibweise χ(2)(ω3; ω1, ω2) hat sich im Laufe der Zeit etabliert und bedeutet, dasssich die erste Frequenzkomponente als Summe der beiden Nachfolgenden ergibt.

Dieses auf den ersten Blick nur schwer losbare Problem lasst sich glucklicherweiseunter Berucksichtigung physikalischer Randbedingungen sowie der Symmetrie-eigenschaften optischer Kristalle deutlich vereinfachen. Die folgenden Abschnitte

18


erlautern, warum in der Realitat die Angabe einiger weniger Zahlenwerte ausreicht,um im Rahmen des abgeleiteten Modells die Erzeugung von Summenfrequenzenvollstandig zu beschreiben. Der Leser, der mit den nichtlinearen Suszeptibilitats-tensoren und all ihren Symmetrieeigenschaften vertraut ist, kann diese Abschnitteuberspringen.

Physikalische Felder sind reell

Die nichtlineare Polarisation stellt eine physikalisch messbare Große dar. Damitkonnen ~P und ~E gemaß den Uberlegungen aus Kapitel 2.1 ausschließlich durchreelle Großen reprasentiert werden. Fur die Komponenten der Suszeptibilitats-tensoren χ

(2)ijk folgt daher

χ(2)ijk(−ωn − ωm;−ωn,−ωm) = χ

(2)ijk(ωn + ωm; ωn, ωm)∗ . (3.10)

Intrinsische Permutationssymmetrie

Bei der Definition der Suszeptibilitatstensoren in Gl. (3.9) haben wir dieFeldstarkekomponenten und die zugehorigen Frequenzen mit Summationsindizesversehen. Eine solche Bezeichnung stellt allerdings einen rein willkurlichen Prozessdar, da es fur einen nichtlinearen Kristall gleichgultig ist, mit welchem Buch-staben die Frequenz eines Lichtfeldes indiziert wurde. Die Bezeichnungen derbeiden Frequenzen und der zugehorigen kartesischen Komponenten konnen daheroffensichtlich beliebig vertauscht werden, ohne dass sich fur den physikalischenSachverhalt damit eine Anderung ergibt:

χ(2)ijk(ωn + ωm; ωn, ωm) = χ

(2)ikj(ωn + ωm; ωm, ωn) . (3.11)

Symmetrie verlustfreier Medien

Nun wollen wir die Auswirkung der nichtlinearen Medien auf die wechselwirken-den Felder untersuchen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass diese furdie betrachteten optischen Frequenzen im Wesentlichen transparent und damitverlustfrei sein sollen. Da Verluste oder Gewinne durch den Imaginarteil vonχ

(2)ijk beschrieben werden, ergibt sich als Konsequenz, dass alle Komponenten des

Suszeptibilitatstensors ausschließlich reeller Natur sein mussen.Weiterhin fuhrt die Annahme eines verlustfreien Mediums zu einer vollstandigenPermutationssymmetrie der Suszeptibilitatstensoren. Somit konnen alle Frequenz-komponenten zusammen mit den zugehorigen kartesischen Komponenten beliebiguntereinander vertauscht werden, wobei bei der Vorzeichenwahl berucksichtigt wer-den muss, dass die erste Komponente sich immer als Summe der beiden Folgenden

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ergibt. Damit resultiert z. B. der Ausdruck

χ(2)ijk(ω3 = ω1 + ω2) = χ

(2)kji(−ω2 = ω1 − ω3) , (3.12)

welcher jedoch nach Gl. (3.10) mit χ(2)kji(ω2 = −ω1 + ω3)

∗ gleichzusetzen ist.Insgesamt gilt mit Gl. (3.11) daher

χ(2)ijk(ω3 = ω1 + ω2) = χ

(2)kij(ω2 = ω3 − ω1) . (3.13)

Aus analogen Uberlegungen ergibt sich auch

χ(2)ijk(ω3 = ω1 + ω2) = χ

(2)jki(ω1 = −ω2 + ω3) . (3.14)

Ein Beweis der vollstandigen Symmetrie der Suszeptibilitatstensoren lasst sichaus der Analyse der Feldenergiedichte eines nichtlinearen verlustfreien Mediumsableiten [24, S. 34 ff.].

Kleinman-Symmetrie

Sehr haufig sind die Frequenzen ωi der eingestrahlten Felder viel kleiner alsdie kleinste Resonanzfrequenz des verwendeten optischen Mediums. In diesemFall sind die nichtlinearen Suszeptibilitaten weitgehend frequenzunabhangig, dasSystem reagiert in Analogie zu einem weit unterhalb seiner Resonanzfrequenzangeregten Pendel instantan auf eine Anregung von Außen. Auch ist das Mediumdann notwendigerweise verlustfrei, da eine Absorption weit ab von Resonanzenvernachlassigt werden kann. Damit lassen sich die Ausdrucke (3.13) und (3.14)erweitern zu

χ(2)ijk(ω3 = ω1 + ω2) =χ

(2)jki(ω3 = ω1 + ω2) = χ

(2)kji(ω3 = ω1 + ω2)

=χ(2)ijk(ω1 = ω2 − ω3) =. . . .

Bei festgehaltenen Frequenzkomponenten konnen nun die kartesischen Indizesbeliebig untereinander vertauscht werden und umgekehrt.

Reduzierter Suszeptibilitatstensor 2. Ordnung

Unter Berucksichtigung aller dargestellten Symmetrieuberlegungen reduziert sichdie Menge der freien Komponenten von χ(2) erheblich, was uns in die Lage versetzt,von der unhandlichen Tensordarstellung der Suszeptibilitat auf eine ubersichtlicheMatrixdarstellung uberzugehen. Dazu ersetzen wir zunachst die Komponentendes Suszeptibilitatstensors durch die sogenannten

”nichtlinearen Koeffizienten“

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dijk = 12χ

(2)ijk. Damit nimmt der Ausdruck (3.9) fur die Polarisation die Form

Pi(ωn + ωm) =∑jk

∑P

2dijkEj(ωn)Ek(ωm) (3.15)

an. Wenn Kleinmans Symmetriebedingung gultig ist, so sind die nichtlinearen Ko-effizienten u. a. symmetrisch in den beiden letzten Indizes, es gilt also dijk = dikj .Sie lassen sich daher in der reduzierten Form dil notieren, wobei l folgenderweisedefiniert ist:

jk : 11 22 33 23, 32 31, 13 12, 21

⇒ l : 1 2 3 4 5 6(3.16)

Der Suszeptibilitatstensor kann somit durch die nichtlineare Koeffizientenmatrix

dil =

d11 d12 d13 d14 d15 d16

d21 d22 d23 d24 d25 d26

d31 d32 d33 d34 d35 d36

(3.17)

dargestellt werden. Die Kleinman-Symmetrie erlaubt jedoch eine beliebigePermutation aller kartesischen Indizes, so dass der Ausdruck (3.17) unterVerwendung der Identitaten

d14 ≡ d123 = d213 ≡ d25 = d321 ≡ d36,

d12 = d26, d15 = d31, d16 = d21, d23 = d34, d24 = d32, d35 = d13

noch ein letztes Mal vereinfacht werden kann. Der die Erzeugung vonSummenfrequenzen beschreibende Term der nichtlinearen Polarisation zweiterOrdnung

Px(ω3)Py(ω3)Pz(ω3)

= 4

d11 d12 d13 d14 d15 d16

d16 d22 d23 d24 d14 d12

d15 d24 d33 d23 d13 d14

Ex(ω1)Ex(ω2)Ey(ω1)Ey(ω2)Ez(ω1)Ez(ω2)

Ey(ω1)Ez(ω2) + Ez(ω1)Ey(ω2)Ex(ω1)Ez(ω2) + Ez(ω1)Ex(ω2)Ex(ω1)Ey(ω2) + Ey(ω1)Ex(ω2)

hangt somit nur noch von 10 unterschiedlichen reellen Koeffizienten dil ab.

Raumliche Symmetrien nichtlinearer Kristalle

Die bis dato prasentierten Uberlegungen waren (ausgenommen der Frequenz-unabhangigkeit von χ(2)) allgemeiner Natur und sind somit fur alle Arten optischer

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Medien gleichermaßen gultig. Weitere signifikante Vereinfachungen der Darstel-lung (3.17) lassen sich zudem aus den speziellen Symmetrieeigenschaften der je-weiligen Kristalltypen ableiten. Um diese Aussage zu veranschaulichen, betrachtenwir als erstes Beispiel einen Kristall, dessen Struktur entlang der x- und y-Achsenidentisch sei und sich von derjenigen entlang der z-Achse unterscheide. Letzterebezeichnen Kristallographen daher als eine vierzahlige Symmetrieachse bezuglichder Rotation, denn die Symmetrieeigenschaften sind invariant unter einer Drehungum π/2, wahrend vier solcher Drehungen das System wieder in den Anfangszustanduberfuhren. Offensichtlich ist es fur ein derart gestaltetes Medium irrelevant, ob derPolarisationsvektor eines in z-Richtung einfallenden Feldes in x- oder y-Richtungzeigt. Fur die Komponenten des Suszeptibilitatstensors gilt damit χ

(2)zxx = χ

(2)zyy.

Insgesamt unterscheidet man in der Kristallographie sieben Kristallsysteme, dieihrerseits in 32 Punktgruppen zerfallen. Elemente jeder Gruppe sind invariantunter bestimmten Transformationen wie Spiegelung, Drehung oder Inversion. Beidem oben diskutierten Kristall handelt es sich um ein sehr einfach strukturiertesExemplar. Betrachten wir als zweites Beispiel daher ein optisches Medium mit einerdreizahligen Symmetrieachse bezuglich Rotation sowie einer Symmetrieebene m1

bezuglich Spiegelungen. Solche Kristalle zahlen zum System der trigonalen und zurSymmetrieklasse 3m. Der zu ihnen gehorende Suszeptibilitatstensor muss ebenfallsinvariant unter den bezeichneten Transformationen sein. Eine ausfuhrliche Analyseseiner Komponenten ergibt

dil =

0 0 0 0 d31 −d22

−d22 d22 0 d31 0 0d31 d31 d33 0 0 0

. (3.18)

Bekannte Vertreter der 3m-Gruppe sind u. a. BBO und LiNbO3. Abbildung 3.1zeigt ein Schema der diskutierten Kristallstruktur am Beispiel von LiNbO3 .

Als ein letztes Beispiel fur die Nutzlichkeit von Symmetrieuberlegungen betrachtenwir schließlich ein in y-Richtung polarisiertes elektrisches Feld Ey(ω), welches ineinem 3m-Kristall in x-Richtung propagiere. In diesem Fall lasst sich die gesamtenichtlineare Polarisation 2. Ordnung durch die Terme P

(2)y (2ω) = 2d22E

2y(ω) und

P(2)z (2ω) = 2d31E

2y(ω) und somit durch die Angabe lediglich zweier unterschied-

licher Zahlenwerte beschreiben. Im Falle einer komplexeren Geometrie kann dienichtlineare Polarisation gut mithilfe der effektiven Koeffizienten deff gemaß

P (ω3 = ω1 + ω2) = 4deffE(ω1)E(ω2) (3.19)

angegeben werden. Diese erlauben, eine schrage Propagation bezuglich der opti-schen Achse zu berucksichtigen. Spezielle Werte von deff fur den jeweiligen Kris-talltyp konnen umfassenden Tabellenwerken wie Referenz [26] entnommen werden.

Es bleibt anzumerken, dass bestimmte Symmetrien auch drastische Auswirkungenauf χ(2) haben konnen. So fuhrt z. B. die Inversionssymmetrie dazu, dass alle

22

3.3. Nichtlineare Effekte 2. Ordnung

Komponenten des Suszeptibilitatstensors verschwinden. InversionssymmetrischeKristalle oder auch herkommliche optische Medien wie Glas haben sich daher alsungeeignet fur eine Untersuchung von Nichlinearitaten gerader Ordnung erwiesen.

Abbildung 3.1.: Schematische Darstellung einer trigonalen Elementarzelle am Beispielvon LiNbO3 (mit freundlicher Genehmigung von A.Hellwig).


Nach ausfuhrlicher Diskussion der Suszeptibilitatstensoren wollen wir nun diemoglichen nichtlinearen Effekte in einem durch χ(2) charakterisierten optischenMedium betrachten. Um die Uberlegungen moglichst ubersichtlich zu halten, lassenwir dieses mit einem Lichtfeld

E(t) = E1e−iω1t + E2e

−iω2t + c. c. (3.20)

wechselwirken, welches sich per Superposition aus zwei ebenen Wellen mit denFrequenzen ω1 bzw. ω2 zusammensetzt. Die meisten Zusammenhange konnen indieser Darstellung ausreichend genau beschrieben werden. Eine Diskussion weitererinteressanter Effekte, welche aus dem gaußformigen Intensitatsprofil von Laser-strahlen resultieren, bieten die Werke [24, 27].Setzen wir Gl. (3.20) in den die Polarisation beschreibenden Ausdruck (3.3) ein,so folgt fur den ersten nichtlinearen Beitrag

P (2)(t) = χ(2)[E21e

−2iω1t + E22e

−2iω2t + 2E1E2e−i(ω1+ω2)t

+ 2E1E∗2e

−i(ω1−ω2)t + c. c.] + 2χ(2)[|E1|2 + |E2|2

]= P

(2)SHG(2ω1, 2ω2) + P

(2)SFG(ω1 + ω2) + P

(2)DFG(ω1 − ω2) + P

(2)OR(0).

(3.21)

23


Dieser hangt somit nicht langer nur von den Fundamentalfrequenzen ω1 und ω2

ab, sondern enthalt auch Beitrage, welche mit der Summe bzw. der Differenzder beiden Frequenzen oszillieren sowie einen konstanten Term. Die folgendenAbschnitte prasentieren dem Leser eine Diskussion der Eigenschaften und derpotentiellen Anwendungsgebiete dieser nichtlinearen Effekte.

3.3.1. Aufwartskonversion (SHG und SFG)

Die ersten drei Terme aus Gleichung (3.21) beschreiben physikalisch beinahe identi-sche Prozesse. Der einzige Unterschied ist, dass bei der Erzeugung der sogenannten

”zweiten Harmonischen“ (Second Harmonic Generation, SHG) das einfallende Feld

mit sich selbst wechselwirkt, wahrend bei der”Summenfrequenzerzeugung“ (Sum

Frequency Generation, SFG) zwei Felder mit zwei unterschiedlichen Frequenzengleichzeitig im Medium propagieren mussen. Wir wollen daher im Folgenden denallgemeineren Fall der SFG betrachten, der, fur ω1 = ω2 ausgewertet, bis auf einenkonstanten Vorfaktor mit der SHG identisch ist.Eine quantitative Beschreibung des Summenfrequenzfeldes lasst sich aus der nicht-linearen Wellengleichung (3.5) ableiten. Diese gilt separat fur jeden Frequenzanteildes Strahlungsfeldes und somit auch fur den im Medium erzeugten Anteil E3(ω3).Im Falle kleiner Nichtlinearitaten kann

E3(z, t) = A3(z)ei(k3z−ω3t) + c. c. (3.22)

mit

k3 =n3ω3

cund n3 =

√ε(1)(ω3) , (3.23)

als Losung der Wellengleichung angenommen werden. Dabei wurde in Erweite-rung zu Gl. (3.5) die Frequenzabhangigkeit der relativen Dielektrizitatskonstantemit berucksichtigt. Der nichtlineare Term in der Wellengleichung fuhrt zu einerlangsamen Anderung der Feldamplitude A3(z) mit der Raumkoordinate der Pro-pagationsrichtung. Im Grenzfall der linearen Wellengleichung (2.2) mit P (NL) → 0verschwindet diese Abhangigkeit, und A3 wird zu einer Konstante.Stellen wir auch die anderen beteiligten Felder

Ej(z, t) = Ej(z)e−iωjt + c. c. ≡ Ajei(kjz−ωjt) + c. c. mit j = 1, 2 (3.24)

auf diese Weise dar, so lasst sich die Amplitude der nichtlinearen Polarisationgemaß dem Zusammenhang (3.19) als

Pω3(z) = 4deffE1E2 = 4deffA1A2ei(k1+k2)z (3.25)

ausdrucken. Das Einsetzen von (3.22), (3.24) und (3.25) in die nichtlineare Wel-lengleichung ergibt schließlich unter Berucksichtigung der Zeitabhangigkeit der

24


Polarisation

P (2)(ω3, z, t) = Pω3(z)e−iω3t + c. c (3.26)

die Differenzialgleichung[d2A3

dz2+ 2ik3

dA3

dz

]ei(k3z−ω3t) = −16πdeffω

23

c2A1A2e

i[(k1+k2)z−ω3t] , (3.27)

welche einen Zusammenhang zwischen allen beteiligten Feldamplituden herstellt.Da in (3.22) eine langsame Anderung von A3 mit z angenommen wurde, darf imRahmen der slow-varying amplitude approximation wegen∣∣∣∣d2A3

dz2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣k3dA3

dz

∣∣∣∣ (3.28)

der erste Term aus Gl. (3.27) vernachlassigt werden. Somit erhalten wir fur dieAmplitude des Summenfrequenzfeldes den verhaltnismaßig einfachen Ausdruck

dA3

dz=

8πideffω23

k3c2A1A2e

i∆kz , (3.29)

wobei ∆k = k1 + k2 − k3 die Phasenbeziehung zwischen der Polarisation und demelektrischen Feld beschreibt. Naturlich mussen fur eine vollstandige Beschreibungauch die Anderungen der beteiligten Grundwellen berucksichtigt werden, dieihrerseits von der jeweils anderen Grundwelle sowie von der Oberwelle abhangigsind. Insgesamt erhalt man ein System gekoppelter Differenzialgleichungen

dA1

dz=

8πideffω21

k1c2A3A

∗2e

−i∆kz, (3.30)

dA2

dz=

8πideffω22

k2c2A3A

∗1e

−i∆kz, (3.31)

welches die Wechselwirkung der drei Strahlungsfelder beschreibt.Das durch (3.29) - (3.31) gegebene Gleichungssystem lasst sich besonders leichtunter der Annahme schwacher Konversion losen. Dann konnen die AmplitudenA1 und A2 als weitgehend konstant angenomen werden, und die Summenfrequenz-amplitude lasst sich gemaß

A3(L) =8πideffω

23A1A2

k3c2

∫ L

0

ei∆kzdz =8πideffω

23A1A2

k3c2

(ei∆kL − 1

i∆k

)(3.32)

aus dem Integral uber die Wechselwirkungslange L (also uber die Kristalllange)bestimmen.

25


Abbildung 3.2.: Abhangigkeit der Konversionseffizienz von der Phasenfehlanpassung imFall schwacher Konversion.

Fur die Intensitat des konvertierten Strahlungsfeldes folgt damit

I3 =n3c

2π|A3|2 =

32πn3d2effω

43|A1|2|A2|2

k23c

3

∣∣∣∣ei∆kL − 1

∆k

∣∣∣∣2=

512π5d2effI1I2

n1n2n3λ23c

L2sinc2

(∆kL

2

).

(3.33)

Offenbar wird fur ebene Wellen die maximale Konversion im Fall perfekter Pha-senanpassung (∆k = 0) erreicht. Die Emissionsbeitrage der atomaren Dipoleerfolgen in Phase mit der erzeugten Welle, so dass ein jeder von ihnen konstruktivzum propagierenden Feld beitragt. Die Gesamtintensitat ist daher proportionalzum Quadrat der beteiligten Dipolzahl. Abbildung 3.2 zeigt den Verlauf der Kon-versionseffizienz in Abhangigkeit von der Phasenanfehlpassung.Wird ein deutlicher Anteil der Grundwellen konvertiert, so verschwinden die raum-lichen Ableitungen von A1 und A2 nicht langer und das gekoppelte Gleichungs-system muss mithilfe elliptischer Jakobi-Funktionen gelost werden. Die Ableitungdieser Losungen ist recht langwierig und wird im Rahmen der vorliegenden Arbeitdaher nicht prasentiert. Einige interessante Konsequenzen sind jedoch in Abb. 3.3fur den Sonderfall der SHG dargestellt. So erkennt man, dass bei perfekter Pha-senanpassung die Grundwelle vollstandig in die 2. Harmonische konvertiert werdenkann, wahrend die Energie in den anderen Fallen periodisch zwischen den beiden

26


Feldern oszilliert. Dabei gehorcht die raumliche Entwicklung der zur Grund- bzw.Oberwelle gehorenden Losungen im Fall ∆k = 0 der einfachen Beziehung

|A1|2 ∝ sech2(z

l) bzw. |A3|2 ∝ tanh2(

z

l) , (3.34)

wobei l die charakteristische Strecke beschreibt, auf der beide Felder optimalmiteinander wechselwirken konnen. Daraus ergibt sich eine obere Grenze fur dieLange der Frequenzverdopplungskristalle. Die Verwendung langerer Exemplareware bestenfalls nutzlos, bei ∆k 6= 0 sogar schadlich fur die Konversionseffizienz.

Abbildung 3.3.: SHG -Konversionseffizienz in Abhangigkeit von Kristallange undPhasenfehlanpassung (letztere ansteigend von a nach d).

3.3.2. Phasenanpassung

Wie wir gesehen haben, ist es sowohl im Fall der schwachen als auch der starkenKonversion wesentlich, eine optimale Phasenanpassung zu erreichen. Diese bedeu-tet nach Gl. (3.23) jedoch nichts anderes als

n1ω1 + n2ω2 = n3ω3 = n3(ω1 + ω2) (3.35)

und speziell bei Frequenzverdopplung die Gleichheit der Brechungsindizes vonGrund- und Oberwelle

n1 = n3 . (3.36)

27


Abbildung 3.4.: SHG -Phasenanpassung am Beispiel von LiNbO3.

Abbildung 3.5.: Phasenanpassung im Bereich anomaler Dispersion.

28


Betrachten wir in Abb. 3.4 den typischen Verlauf des Brechungsindexes in Ab-hangigkeit der Frequenz, so ist offensichtlich, dass die Frequenzverdopplung imBeispielmedium kaum von großer Effizienz sein durfte. Die einfachste Moglichkeit,das Problem zu umgehen, ware die Ausnutzung des anomalen Brechungsindex-verlaufs in der Nahe von Resonanzen, wie er in Abb. 3.5 dargestellt ist. DieseLosung fuhrt jedoch zu neuen Problemen, denn auch die Absorption des Mediumswird in Resonanznahe sehr groß und eine effiziente Konversion lasst sich trotzhinreichender Phasenanpassung nicht erreichen.Eine elegantere und haufiger genutzte Technik der Phasenanpassung basiert aufden Eigenschaften doppelbrechender Kristalle. In diesen gelten fur die propagieren-den Wellen abhangig von ihrer Polarisationsrichtung unterschiedliche Brechungs-indizes. Fur die vorliegende Arbeit sind besonders uniaxiale Kristalle von großemInteresse. Diese Bezeichnung umfasst die Klassen mit trigonaler, tetragonaler undhexagonaler Struktur. Uniaxiale Medien konnen durch die Angabe der sogenann-ten

”optischen Achse“ (oft auch als z- oder c -Achse bezeichnet) charakterisiert

werden. So wird eine im Kristall propagierende Welle mit dem Wellenvektor~k als

”ordentlich“ bezeichnet, wenn ihre Polarisationsrichtung senkrecht auf der

durch z und ~k aufgespannten Ebene steht. Solche Strahlen erfahren entspre-chend den ordentlichen Brechungsindex no . Wellen, deren Polarisationsrichtung inder ~k − z-Ebene liegt, heißen dagegen

”außerordentlich“. Der Wert des zugehorigen

außerordentlichen Brechungsindexes ne ist eine Funktion des Winkels θ, welchender Wellenvektor mit der optischen Achse einschließt. Im Grenzfall θ → 0 sind dieWerte beider Brechungsindizes identisch.

Abbildung 3.6.: Verlauf des ordentlichen bzw. außerordentlichen Brechungsindexes vonLiNbO3 bei Raumtemperatur (T0 =20 C).

29


Abbildung 3.6 illustriert den Verlauf von no und ne am Beispiel von LiNbO3 .Solche Kristalle heißen per Konvention

”negativ uniaxial“, weil der Wert des außer-

ordentlichen Brechungsindexes fur alle Frequenzen kleiner als der des ordentlichenist. Wahlen wir die einfallende Welle gemaß den Uberlegungen aus Kapitel 3.2als ~E = Eye

ikxx, so gilt fur die Grundwelle der ordentliche Brechungsindex, wah-rend fur die senkrecht zu ihr polarisierte zweite Harmonische ne relevant ist.Suchen wir eine perfekte Konversion der Fundamentalen zu erreichen, so mussdie Bedingung no(ω) = ne(2ω) genau realisiert werden. Nur selten gelingt diesjedoch fur die Wunschwellenlange sofort mit einem unmanipulierten Kristall. Vielhaufiger dagegen geschieht das, was in Abb. 3.6 am Beispiel der Frequenzver-dopplung der Strahlung eines Nd:YAG Lasers in einem LiNbO3 -Kristall darge-stellt ist. Die Brechungsindizes fur die Fundamentale und die zweite Harmoni-sche nehmen sehr ahnliche Werte an, ohne jedoch genau ubereinzustimmen. Indiesem Fall kann die Temperaturabhangigkeit der Brechungsindizes zur Realisie-rung einer perfekten Phasenanpassung ausgenutzt werden (

”unkritische Phasen-

anpassung“). Stabilisiert man den Verdopplerkristall bei einer Temperatur von43 C, so andert sich der Verlauf von no und ne gemaß Abb. 3.7. Speziell giltno(1064 nm) = ne(532 nm), die Konversionseffizienz wird somit maximal. Sind diePolarisationen von Grund- und Oberwelle ausschließlich orthogonal zueinander,so spricht man von einer unkritischen Phasenanpassung des Typs I. Eine andereMethode, bei der die Fundamentale sowohl als e - als auch als o -Welle eingestrahltwird, um eine Konversion zu ermoglichen, nennt man hingegen Phasenanpassungvom Typ II.

Abbildung 3.7.: Verlauf des ordentlichen bzw. außerordentlichen Brechungsindexes vonLiNbO3 bei TPM =43 C.

30


Neben diesen existieren eine Reihe weiterer Moglichkeiten, die Brechungsindizes furbeide Lichtfelder in einem nichtlinearen Kristall anzugleichen. So kann z. B. auchdie Winkelabhangigkeit von ne ausgenutzt werden (

”kritische Phasenanpassung“).

Eine solche Methode hat jedoch im Vergleich zur temperaturgesteuerten Phasen-anpassung den Nachteil, dass ein walk-off zwischen ordentlich und außerordentlichpolarisierten Strahlen auftritt, welcher wiederum die Wechselwirkungslange derbeiden Felder stark herabsetzt.

3.3.3. Abwartskonversion (DFG, OPA und OPO)

Auf den ersten Blick unterscheidet sich der Differenzfrequenzterm in Gl. (3.21)nur geringfugig von den SFG - und SHG -Anteilen. Betrachtet man jedochdie Energieniveaudiagramme beider Prozesse, wie sie in Abb. 3.8 dargestelltsind, so verfallt die scheinbare Gleichheit und ein signifikanter Unterschiedwird sichtbar. Der linke Teil der Abbildung suggeriert, dass im Laufe eines

Abbildung 3.8.: Summen- bzw. Differenzfrequenzerzeugung im Energieniveausdiagramm(links bzw. rechts).

simultanen quantenmechanischen Prozesses zwei Photonen der Frequenzen ω1

und ω2 vernichtet werden, um ein Photon mit der Energie ~ω3 zu erschaffen. Diegestrichelten Linien entsprechen im Gegensatz zu den durchgezogenen keinemechten atomaren Energieniveau, weshalb sie oft auch als

”virtuelle“ Niveaus

bezeichnet werden. Fur den Prozess der DFG (rechts) fordert die Energieerhaltungjedoch, dass fur jedes erzeugte Photon mit der Differenzfrequenz ω3 = ω1 − ω2

ein hoherfrequentes Photon des Eingangsfeldes vernichtet und ein zusatzlichesPhoton mit der kleineren Frequenz ω2 erzeugt werden muss. Dabei absorbiertein Atom die Energie ~ω1 und springt in einen virtuellen Energiezustand,dessen Zerfall durch die Prasenz eines Strahlungsfeldes bei der Frequenz ω2

stimuliert wird. Wie Harris et al. 1967 gezeigt haben, ist eine solche Prasenzallerdings nicht zwingend notwendig. Auch in Abwesenheit eines Eingangsfeldesmit der Frequenz ω2 tritt eine Zwei-Photonen-Emission (ω1 → ω2, ω3) auf.Diese ist jedoch, da es sich um einen spontanen Emissionsprozess handelt,

31


quantitativ deutlich schwacher als beim induzierten Vorgang [28].Strahlt man in ein χ(2)-Medium ein starkes hoherfrequentes Feld und eine deutlichschwachere niederfrequente Komponente ein, so wird letztere offenbar durch dieDifferenzwellenerzeugung verstarkt. Der Prozess der DFG wird in der Literaturdaher auch haufig als

”optisch-parametrische Verstarkung“ (OPA) bezeichnet.

Der Ausdruck”parametrisch“ druckt dabei aus, dass der quantenmechanische

Anfangs - und Endzustand des Systems bei diesem Prozess identisch sind [24].Atome konnen daher nur fur Zeitintervalle von der Großenordnung τ ≈ ~/δE ausihrem Energieniveau in einen virtuellen Zustand angehoben werden. Vorgange,die auf Absorption von Strahlung (und damit auf einer Anregung atomarerEnergieubergange fur Zeiten t τ) beruhen, sind daher nicht-parametrischerNatur.Bringt man den nichtlinearen Kristall in einen Resonator, dessen Spiegel furdie beteiligten Frequenzen eine hohe Reflektivitat aufweisen, so vervielfachtsich die Wechselwirkungslange der Pumpwelle mit dem optischen Medium.Uberwiegt der bei jedem Durchgang erzeugte Anteil die durch den Kristall undden Auskoppelspiegel bedingten Verluste, so kann schließlich ein nennenswerterTeil der Pumpstrahlung konvertiert werden. Eine solche Konstruktion wird als

”optisch-parametrischer Oszillator“ bezeichnet.

3.3.4. OPA-Squeezing

Seit ihrer Erfindung in den 60-er Jahren werden OPA-Resonatoren zur Konstruk-tion von durchstimmbaren Lasern mit infraroten Emissionswellenlangen verwen-det. Des weiteren zeigten Wu, Kimble et al. im Jahre 1986, dass mit Hilfe deroptisch-parametrischen Verstarkung das Laserlichtrauschen in einer bestimmten

Abbildung 3.9.: Schematische Darstellung eines optisch-parametrischen Verstarkers(OPA -Resonator).

32


Quadratur bis unter das Quantenrauschlimit (QNL) abgesenkt werden kann [29].Zum Verstandnis dieses Prozesses platzieren wir in einem Gedankenexperimenteinen ideal phasenangepassten OPA-Kristall in einem Resonator und koppeln indiesen sowohl ein starkes Pumpfeld E1 ≡ E(ω1) als auch ein schwacheres SeedfeldE2 ≡ E(ω2) ein (Abb. 3.9). Die Zeitentwicklung der Felder in einer solchenAnordnung ist im Wesentlichen von den Spiegelparametern sowie von den internenVerlusten im Resonator abhangig. Im Folgenden soll g die gesamte nichtlineareVerstarkung und κ die Summe der Verluste fur die jeweilige Strahlungsfeldmodebezeichnen. Diese Verluste werden maßgeblich durch die Transmissionsraten vonEin- und Auskoppelspiegel bestimmt, beim Passieren des optischen Mediums ver-liert das Feld hingegen kaum an Intensitat. Ist g < κ, so haben wir in unseremGedankenexperiment einen OPA-Resonator aufgebaut, welcher in Abhangigkeitvon den Resonatorparametern den eingespeisten Seedstrahl zu verstarken oder ab-zuschwachen vermag. Der Grenzfall g = κ bezeichnet die Schwelle, oberhalb derereine optisch-parametrische Oszillation auftreten kann. Die Einschrankung g < κist dabei im Wesentlichen eine Bedingung an die Intensitat des eingekoppeltenPumpstrahls.Bleiben wir fortan unterhalb der OPO-Schwelle und betrachten die aus dem Reso-nator ausgekoppelte Seedfeld -Amplitude Eout

2 bezogen auf das Seedfeld in Abwe-senheit einer optisch-parametrischen Verstarkung Eout,g=0

2 . Nehmen wir weiterhino. B. d.A. an, die Amplitude des Seedfeldes sei ausschießlich positiv und reell. Da-mit lasst sich das Verhaltnis beider Feldamplituden durch den Verstarkungsfaktor

√G ≡ Eout

2

Eout,g=02

=1 + E1/|Eschwell

1 |1− |E1/Eschwell

1 |2(3.37)

ausdrucken. In dieser Darstellung dient E2 ahnlich wie beim Seitenbandmodell ausKapitel 5.1.4 als Phasenreferenz, auf die sich die Angabe der komplexen Pump-feldamplitude E1 bezieht. Letztere wurde in Gl. (3.37) auf den Schwellwert Eschwell

1

normiert, bei dessen Erreichen im System eine optisch-parametrische Oszillationeinsetzt. Sind Pump - und Seed - Strahl phasengleich, so kann E1 ausschließlichpositive reelle Werte annehmen und der in Abb. 3.10 dargestellte

”Gain“ beschreibt

eine optisch-parametrische Verstarkung des Seedfeldes. Durch eine exakt gegen-phasige Uberlagerung beider Felder kann hingegen eine optisch-parametrischeAbschwachung erreicht werden.Eine ausfuhrliche Analyse der quantenmechanischen Darstellung des Seedfeldesdemonstriert zudem ein außerst erstaunliches Resultat. Mit der Annahme einesbereits quantenrauschlimitierten Seedstrahls (V +

2,in = V −2,in = 1/4) konnen fur die

Schwankungsquadrate von Amplituden- und Phasenrauschen des ausgekoppelten

33


Abbildung 3.10.: Parametrische Verstarkung/Abschwachung in einem OPA als Funktionder auf den OPO - Schwellwert normierten Pumpleistung. Betrachtet werden die Sonder-falle einer phasengleichen (rot) bzw. exakt gegenphasigen (blau, ∆φ = π) Uberlagerungvon Pump- und Seedstrahl.

Feldes die Ausdrucke

V +2,out =

1

4+

E1/|Eschwell1 |

ω2/κ2 + (1− E1/|Eschwell1 |)2

,

V −2,out =

1

4− E1/|Eschwell

1 |ω2/κ2 + (1 + E1/|Eschwell

1 |)2

(3.38)

abgeleitet werden. Werden Pump- und Seed - Strahl in Phase uberlagert, so istE1/|Eschwell

1 | > 0 und das Phasenrauschen wird unter das Quantenrauschlimitabgesenkt, wahrend das Amplitudenrauschen entsprechend anwachst. Eine Uber-lagerung außer Phase fuhrt zu E1/|Eschwell

1 | < 0 und somit zum Amplituden -Squeezing. Interessant ist, dass in beiden Fallen ein Zustand minimaler Unscharfedurch die parametrischen Prozesse wieder in einen solchen uberfuhrt wird:

V +2,einV

−2,ein = V +

2,outV−2,out =

1

16. (3.39)

Eine vollstandige mathematische Darstellung des Squeezings optischer Felder fin-det sich in den Werken [21, 30].

34



Soll analog zum vorangegangenen Kapitel eine allgemeine Darstellung der nicht-linearen Polarisation und der zugehorigen Suszeptibilitatstensoren 3. Ordnungentwickelt werden, so muss

~P (3)(t) = χ(3) ~E(t)3 (3.40)

fur den allgemeinen Fall eines sich aus drei unterschiedlichen Frequenzkomponen-ten zusammensetzenden elektrischen Feldes ~E(ω1, ω2, ω3, t) diskutiert werden. Einederart vollstandig berechnete Polarisationsamplitude enthalt jedoch 44 komplexeBeitrage mit jeweils unterschiedlichen Oszillationsfrequenzen und ist explizit aus-geschrieben nicht besonders gut uberschaubar. Uberlassen wir daher eine ausfuhr-liche Diskussion der einschlagigen Fachliteratur und widmen uns dem einfacherenSonderfall eines monochromen Feldes Ex(t) = E0,x cos (ωt). Mit den Additions-theoremen fur trigonometrische Funktionen folgt fur die Polarisation

~P (3)(t) =1

4χ(3)E3

0,x cos (3ωt) +3

4χ(3)E3

0,x cos (ωt). (3.41)

Der erste Term beschreibt wieder eine Summenfrequenzerzeugung, nur dass auf-grund der hoheren nichtlinearen Ordnung die Frequenz in diesem Fall sogar ver-dreifacht wird. Der andere Anteil schwingt weiterhin mit der Grundfrequenz, fuhrtaber, wie in den folgenden Abschnitten gezeigt wird, zu einer Phasenverschiebungder einfallenden Welle.

3.4.1. Der intensitatsabhangige Brechungsindex

In inversionssymmetrischen optischen Medien wie Wasser, Glas oder GaAs ver-schwinden alle Polarisationsterme gerader Ordnung und unter der berechtigtenAnnahme χ(3) χ(5,7,...) konnen wir uns ausschließlich den durch χ(3) induziertennichtlinearen Effekten zuwenden. Zur weiteren Vereinfachung des Sachverhalts neh-men wir ein linear polarisiertes einfallendes Feld E(ω, t) ≡ E(ω)e−iωt = E0e

i(kz−ωt)

an und verzichten zunachst auf eine Betrachtung der Tensoreigenschaften dernichtlinearen Suszeptibilitat. Damit folgt fur die insgesamt im Medium induziertePolarisation

P tot =[χ(1)E(ω) + 3χ(3)(ω = ω + ω − ω)|E(ω)|2E(ω)

]e−iωt

≡ χeff E(ω)e−iωt .(3.42)

Alle beteiligten Frequenzen sind bis auf ihr Vorzeichen identisch, der Faktor 3ergibt sich aus der Summe uber ihre Permutationen. Das Einsetzen der Gl. (3.42)

35


in die nichtlineare Wellengleichung (3.5) ergibt unter Berucksichtigung des Zusam-menhangs n = c/c′ zwischen dem Brechungsindex und der Lichtgeschwindigkeit inMaterie c′ nach einer kurzen Rechnung

∂2

∂z2E0e

i(kz−ωt) − n20

c2

∂2

∂t2E0e

i(kz−ωt) =4π

c2

∂2

∂t23χ(3)|E(ω)|2E(ω)e−iωt

−ω2n2

c2E0e

i(kz−ωt) +ω2n2

0

c2E0e

i(kz−ωt) = −4π3χ(3)|E(ω)|2ω2

c2E0e

i(kz−ωt)

(3.43)

⇒ −n2E(ω, t) + n20E(ω, t) + 4π3χ(3)|E(ω)|2E(ω, t) = 0 .

Dabei bezeichnet n0 =√

1 + 4πχ(1) gemaß Gl. (3.6) den”klassischen“ Anteil des

Brechungsindexes fur geringe Bestrahlungsintensitaten. Nehmen wir ferner an, dassder gesamte Ausdruck fur den Brechungsindex von der Form

n = n0 + 2n2|E(ω)|2 (3.44)

sei, so ergibt das Einsetzen von

n2 = n20 + 4n2n0|E(ω)|2 +O(|E(ω)|4) (3.45)

in Gl. (3.43) fur seine nichtlineare Komponente

n2 =3πχ(3)

n0

. (3.46)

Wahlt man anstelle von (3.44) den experimentell direkt zuganglichen Ansatz

n = n0 + n′2I (3.47)

fur den Brechungsindex, so resultiert

n′2

n2

=4π

n0c(3.48)

als Verhaltnis der unterschiedlich definierten nichtlinearen Brechungsindizes.Offenbar hangt der Brechungsindex eines inversionssymmetrischen nichtlinearenKristalls von der effektiven Suszeptibilitat ab, die ihrerseits proportional zurIntensitat des eingestrahlten Lichtfeldes ist. Dieser Zusammenhang erinnert starkan den elektrooptischen Kerr-Effekt, der die Abhangigkeit des Brechungsindexeseines Mediums vom Betragsquadrat des an dieses Medium angelegten elektrischenFeldes beschreibt. Aus diesem Grund wird die nichtlineare Anderung von n mit derIntensitat in der Fachliteratur haufig auch als

”optischer Kerr-Effekt“ bezeichnet.

Betrachten wir nun die Auswirkungen einer solchen intensitatsabhangigen Wech-selwirkung auf den transmittierten Lichtstrahl. Legt eine ebene Welle E(z) im

36


Vakuum die Strecke s zuruck, so hat sich ihre Phase gegenuber dem Anfangszu-stand E(z0 = 0) um ∆ϕ = ks = 2π

λs verandert. Wird die gleiche Strecke in Materie

zuruckgelegt, so vergroßert sich die optische Weglange gemaß

L = n · s (3.49)

um den Brechungsindex des betrachteten Mediums:

E(L) = E0eikL = E0e

ikns . (3.50)

Setzen wir nun den oben gewonnenen Ausdruck (3.47) fur den Brechungsindex inGl. (3.50) ein

E(L) = E0eikns = E0e

ikn0seikn′2Is , (3.51)

so erkennen wir, dass der Lichtstrahl zusatzlich zur propagationsbedingten Pha-senverschiebung eine weitere, intensitatsabhangige Phasendrehung erfahrt. Damitist die Phase einer ebenen Welle in jedem Punkt des Kristalls uber die Beziehung

∆ϕz0→s = kn0s + n′2sI = ∆ϕ0 + ∆ϕKerr (3.52)

mit der Phase im Ausgangspunkt gekoppelt. In Kapitel 4.2 wird gezeigt, wieeine intensitatsabhangige Phasenverschiebung ausgenutzt werden kann, umdie Messgenauigkeit von Langenvariationen drastisch zu erhohen. Ebenfallsinteressant ist der besagte Effekt fur die Erzeugung und Propagation kurzer undultrakurzer Laserpulse in einem nichtlinearen Medium [24, S. 356 ff.].

3.4.2. Kerr-Squeezing

Eine weitere faszinierende Eigenschaft nichtlinearer Medien dritter Ordnung re-sultiert ebenfalls aus der intensitatsabhangigen Phasenverschiebung. Das Quan-tenrauschen eines Strahlungsfeldes wird beim Passieren eines Kerr-Mediums ineiner Quadratur gequetscht, wahrend es in einer anderen entsprechendes Anti-squeezing erfahrt. Dieser Effekt soll anhand eines koharenten Zustandes α imPhasorendiagramm illustriert werden (Abb. 3.11). Die rechte Pfeilschar zeigt einenkoharenten Zustand nach der Propagation durch einen linearen Kristall. Durchlauftder selbe Zustand einen Kerr-Kristall gleicher Dimensionen, so erfahrt er eine Pha-senrotation um den Winkel θ(I). Mit der Lange und Richtung des Rauschvektorsandert sich allerdings auch die Gesamtintensitat, welche zum Betrag des Summen-vektors proportional ist. Damit erfahren verschiedene Punkte des Unscharfekreiseseine unterschiedlich starke Drehung. Die am weitesten vom Ursprung entferntliegenden Regionen werden um den großten Winkel θ(Imax) rotiert, wahrend derzum Ursprung nachste Punkt die geringste Drehung um θ(Imin) erfahrt. Die gestri-chelten Pfeile in Abb. 3.11 deuten an, in welchem Maße der Unscharfekreis eines

37


Abbildung 3.11.: Intuitive Erklarung des Squeezings eines koharenten Zustands α beiPropagation in einem Kerr-Medium.

koharenten Zustandes beim Passieren eines verlustfreien Kerr-Kristalls deformiertwird. Offensichtlich ist der resultierende Zustand in einer Quadratur Y1 gequetscht.

Ein solch einfaches Modell beschreibt jedoch lediglich eine Naherung des quanten-mechanischen Sachverhaltes. Wahrend diese fur einen schwachen Kerr-Effekt nochals weitgehend gultig angesehen werden kann, versagt sie vollstandig im Fall einerstarken intensitatsabhangigen Phasendrehung. Exakte quantenmechanische Rech-nungen zeigen, dass die Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung des Rauschens eineskoharenten Zustands dann eine halbmondartige Form annimmt [31]. Dieser Effektwird in der Literatur daher auch haufig als

”Kerr-Sichel“ bezeichnet. In Abb. 3.12

ist ein koharenter Zustand nach Durchgang durch verschieden starke Kerr-Mediendargestellt. Es fallt auf, dass die Rauschverteilung solcher

”Sichelzustande“ nicht

langer durch Gaußkurven beschrieben werden kann. Der Kerr-Effekt erlaubt somittheoretisch die Realisierung nicht-Gauß’scher Zustande, welche ganz neue Mog-lichkeiten fur die Quanteninformationstheorie eroffnen [9, 10].Eine gute und ausfuhrliche quantitative Beschreibung des Kerr-Squeezings bietetz. B. der gleichnamige Artikel [32] von Andrew White.

3.5. Kaskadierte Effekte 2. Ordnung

Abschließend soll die Frequenzverdopplung als nichtlinearer Effekt zweiter Ord-nung erneut und mit flexibleren Randbedingungen diskutiert werden. Bei ihrerBetrachtung in Kapitel 3.3.1 sind wir vom einfachsten Sonderfall der fixed-fieldapproximation ausgegangen, in deren Zuge eine vernachlassigbare Konversion

38


Abbildung 3.12.: Quasiwahrscheinlichkeitsdichten stark Kerr-gequetschter Zustande.Die Linien kennzeichnen das 0,75 , 0,5 bzw. 0,25-fache des jeweiligen Maximalwertes [33].

der Grundwelle uber die Kristalldimensionen angenommen wurde. Die Feld-amplitude A1(z) konnte somit als konstant aproximiert werden, und die Losungvon Gl. (3.29) reduzierte sich auf ein simples Integral. Diese Annahme erlaubte unszwar eine anschauliche Rechnung, entzog uns jedoch gleichzeitig einige wichtigeInformationen uber die Wechselwirkung der Grundwelle mit dem nichtlinearenMedium. Aus diesem Grund wollen wir im nachsten Schritt eine komplexe Feld-amplitude der Grundwelle von der Form

A1 = |A1|eiφ(z) , |A1| = konst. (3.53)

zulassen. Die Intensitat bleibt somit weiterhin konstant, wahrend sich die Phaseder eingestrahlten Welle nun mit der Koordinate der Ausbreitungsrichtung andert.Eine solche Naherung ist aus anschaulichen Grunden unter dem Namen fixed-intensity approximation bekannt.Betrachten wir noch einmal die Differenzialgleichungen

dA1

dz= iΓ1A3A

∗1e

−i∆kz und (3.30*)

dA3

dz= iΓ3A1A1e

i∆kz (3.29*)

mit den Kopplungskonstanten

Γi =8πdeffω

2i

kic2, i = 1, 2 , (3.54)

welche die Wechselwirkung der beiden Lichtfelder bei der Erzeugung der zweitenHarmonischen beschreiben. Leiten wir Gl. (3.29*) ein weiteres Mal nach der Raum-

39


koordinate ab

d2A3

dz2= 2iΓ3

(dA1

dz

)A1e

i∆kz −∆kΓ3A21e

i∆kz (3.55)

und setzen in den ersten Term auf der rechten Gleichungsseite den Ausdruck(3.30*) und in den zweiten (3.29*) ein, so ergibt sich eine phasenunabhangigeDifferenzialgleichung, welche die Propagation des konvertierten Feldes im nicht-linearen Medium beschreibt:

d2A3

dz2= 2iΓ3

(iΓ1A3A

∗1e

−i∆kz)A1e

i∆kz + i∆kdA3

dz

= −2Γ1Γ3|A1|2A3 + i∆kdA3

dz.

(3.56)

Dieser Ausdruck kann unter Berucksichtigung der Randbedingungen

A3(0) = 0 unddA3

dz

∣∣∣∣z=0

= iΓ3A21(0) (3.57)

analytisch durch

A3(z) = iΓ3z|A1|2sinc

z ·

√(∆k

2

)2

+ 2Γ1Γ3|A1|2

ei∆kz2 (3.58)

gelost werden. Das Ergebnis ahnelt Gl. (3.32), jedoch ist die Phasenanpassung nuneine Funktion der Eingangsintensitat.Aufgrund der Annahme (3.53) beschreibt die zweite Differenzialgleichung

deiφ(z)

dz= iΓ1A3e

−iφ(z)e−i∆kz (3.30**)

die Phasenanderung der Grundwelle in Abhangigkeit von z . Setzen wir in diesedas oben gewonnene Ergebnis fur die Amplitude der zweiten Harmonischen ein, solasst sich durch Integration

φ(z) = φ(0) +∆kz

8 + (∆k)2

Γ1Γ3|A1|2

1− sinc

z ·

√(∆k

2

)2

+ 2Γ1Γ3|A1|2

(3.59)

als eine mogliche Losung gewinnen. Es verwundert kaum, dass auch die Phase dereingestrahlten Welle nun eine Funktion ihrer Intensitat ist.

40


Um diesen Effekt besser studieren zu konnen, betrachten wir den Fall”schlechtes-

ter“ Phasenanpassung einer SHG. Die Bedingung

∆k = ±2

√(mπ

z

)2

− 2Γ1Γ3|A1|2 , m ∈ Z (3.60)

fur ein Konversionsminimum lasst sich unmittelbar aus Gl. (3.58) ablesen. Fur dieintensitatsabhangige Phasenvariation folgt damit

φ(z) = φ(0)± Γ1Γ3z2|A1|2

2mπ

√1− 2Γ1Γ3z2|A1|2

(mπ)2

≈ φ(0)± Γ1Γ3z2|A1|2

2mπ,

(3.61)

denn das Produkt Γ1Γ3z2|A1|2 entspricht in seinem Wert ungefahr der Konversi-

onseffizienz, welche per postulatum nur kleine Werte annehmen soll. Vergleichenwir unser Ergebnis mit dem entprechenden Ausdruck

ϕ(z) = ϕ(0) +6πχ(3)

n0

|A1|2 (3.53*)

fur die intensitatsabhangige Phasenrotation eines χ(3)-Mediums, so ist offensicht-lich, dass beide formal gesehen identisch sind. Um die Effekte 3. und 2. Ordnungnominativ unterscheiden zu konnen, und weil sich die Bezeichnung

”Quasi-Kerr-

Effekt 2. Ordnung“ auf Dauer als unhandlich erwiesen hat, wird letzterer in denmeisten Fallen als

”kaskadierter Kerr-Effekt“ bezeichnet.

Dieser kaskadierte Effekt bietet zwei große Vorteile. Wie in Kapitel 3.2 gezeigtwurde, unterscheiden sich die nichtlinearen Suszeptibilitaten zweiter und dritterOrdnung betrachtlich in ihrer Großenordnung. Wahrend die Beobachtung des

”normalen“ Kerr-Effekts aufgrund der geringen Große von χ(3) die Verwendung

gepulster Laser mit hoher Intensitat erfordert, lasst sich der kaskadierte Kerr-Effekthingegen bereits mithilfe kontinuierlicher Laserstrahlung studieren. Geringere Leis-tungen bedeuten ihrerseits weniger hohe Anforderungen an die Laserquellen sowiean die zu verwendenden Optiken. Weiterhin erlaubt der kaskadierte Kerr-Effektdie Beobachtung von Effekten zweiter und dritter Ordnung an einem einzigen,leicht kontrollierbaren System. Die hieraus erwachsenden Vorteile werden ausfuhr-licher am Beispiel des im Rahmen meiner Diplomarbeit aufgebauten Experimentsin Kapitel 5.2.1 vorgestellt.

41


42

4. Kerr-Medien in optischenResonatoren

Nach Behandlung der theoretischen Eigenschaften nichtlinearer Medien wollenwir uns nun ihrer experimentellen Untersuchung zuwenden. Wie die im voran-gegangenen Kapitel prasentierte einfache Abschatzung gezeigt hat, benotigt manhierzu Lichtquellen mit hohen Ausgangsleistungen. Aus diesem Grund wurden bis-her lediglich im Pulsregime arbeitende Lasersysteme, welche die an die Leistungs-dichten gestellten Anforderungen erfullen, zum Studium des optischen Kerr-Effektseingesetzt. Um auch im kontinuierlichen Regime die erforderlichen Leistungsdich-ten zu erzielen, kann die Leistungsuberhohung in optischen Resonatoren nutzbargemacht werden. Platziert man das zu untersuchende Kerr-Medium in einemsolchen Resonator mit hochreflektiven Spiegelkomponenten, so reicht bereits dieEmissionsleistung eines vergleichsweise schwachen kontinuierlichen Lasersystemsvollstandig zur Beobachtung nichtlinearer Effekte hoherer Ordnung aus.

Im vorliegenden Kapitel werden zunachst die wichtigsten Eigenschaften linearerResonatoren sowie deren analytische Beschreibung mithilfe des Matrixformalis-mus erlautert. Auf diesen Grundlagen aufbauend konnen dann die Auswirkun-gen nichtlinearer Kristalle auf die Resonatoreigenschaften untersucht werden.Ein Vergleich mit einem kristallfreien Resonator demonstriert schließlich, dassder Einsatz solcher Kristalle zu einer spurbaren Empfindlichkeitssteigerung vonInterferometeranordnungen fuhren kann und damit eine ausgedehnte experimen-telle Untersuchung verdient.

4.1. Der Fabry-Perot Resonator (FPR)

Um die Rechnungen und Uberlegungen moglichst nachvollziehbar zu gestalten,wurde in dieser Arbeit Licht bisher lediglich durch ebene Wellen und Wellenpaketebeschrieben. Dieser Formalismus soll auch im aktuellen Kapitel beibehalten wer-den. Dazu betrachten wir im Folgenden ausschließlich Lichtstrahlen, die in einemlinearen Resonator entlang der optischen Achse propagieren, welche durch die zuihr senkrecht orientierten Optiken definiert wird. Ferner soll die gesamte Energiedes Strahlungsfeldes in einer Mode konzentriert sein. Beim Einkoppeln in denResonator ist zusatzlich eine korrekte Modenanpassung an eine der Resonator-eigenmoden zu beachten. Weiterhin vernachlassigen wir zunachst die Polarisation

43

4. Kerr-Medien in optischen Resonatoren

Abbildung 4.1.: Propagationsbedingte Amplitudenkopplung.

des eingekoppelten Strahlungsfeldes sowie die explizite Zeitabhangigkeit und kon-zentrieren uns auf die Anderung der Feldamplituden Ai mit der Raumkoordinate.Im Rahmen dieses Modells kann das Lichtfeld an jedem Punkt der optischen Achsedurch die Angabe einiger wenigen Propagationsmatrizen beschrieben werden. Be-trachten wir gemaß Abb. 4.1 die beiden Feldamplituden A1 und A′

2, welche zu denin +z bzw. −z - Richtung propagierenden Anteilen des Strahlungsfeldes gehoren.Schreiben wir diese in Form eines Vektors, so sind sie uber die einfache Beziehung(

A′1

A2

)=

(eikl 00 e−ikl

) (A1

A′2

)(4.1)

mit den entsprechenden Feldamplituden im Punkt z = l verknupft. Die Trans-fermatrix Tl berucksichtigt eine propagationsbedingte Phasenverschiebung, wobeidurch ihre Diagonalform eine eventuelle Kopplung beider Feldkomponenten aus-geschlossen wird.Ebenso einfach lasst sich die Kopplung zweier Lichtstrahlen A1 und A2 an einemverlustfreien Spiegel beschreiben (Abb. 4.2). Bezeichnen wir mit ρ bzw. τ die Am-plitudenreflektivitat bzw. die Amplitudentransmission. Diese erfullen die Bedin-gung

ρ2 + τ 2 = 1 (4.2)

an die Werte der Leistungstransmission bzw. -reflektivitat. Die durch Interferenzder einfallenden Strahlen am Spiegel entstehenden Anteile(

A3

A4

)=

(iτ ρρ iτ

) (A1

A2

)(4.3)

sind uber die Kopplungsmatrix Tm mit den eingestrahlten Amplituden verknupft.Die Imaginaritat der Hauptdiagonalelemente ist in dieser Darstellung erforderlich,

44


um gemaß

|A3|2 + |A4|2 = (τ 2 + ρ2)(|A1|2 + |A2|2)

⇒ Iin = Iout

(4.4)

die Energieerhaltung des Systems zu garantieren. Rein reelle Kopplungs-matrizen mit alternierenden Vorzeichen der Haupt- bzw. Nebendiagonaleintragewurden ebenfalls zu diesem Ergebnis fuhren. Naturlich konnen mit denTransfermatrizen Tm alternativ auch verlustfreie Strahlteiler beschrieben werden.

Abbildung 4.2.: Amplitudenkopplung am Spiegel.

Ein in Abb. 4.3 dargestellter”Fabry-Perot Resonator“ besteht aus zwei parallel

zueinander angeordneten Spiegeln, deren Mittelpunkte entlang der optischen Achseum den Abstand L gegeneinander versetzt sind. Mithilfe der KopplungsmatrizenTmi

konnen die Feldamplituden

(A1

A4

)=

(iτ1 ρ1

ρ1 iτ1

) (A0

A′3

)(

A2

A3

)=

(iτ2 ρ2

ρ2 iτ2

) (A′

1

0

) (4.5)

innerhalb und außerhalb des Resonators miteinander verknupft werden. ZwecksVereinfachung wurde dabei eine einseitige Einkopplung angenommen. Eine wei-tere Beziehung zwischen den Amplituden innerhalb des Resonators ist durch diePropagationsmatrix TL gemaß(

A′1

A′3

)=

(eikL 00 eikL

) (A1

A3

)(4.6)

45


Abbildung 4.3.: Schematische Darstellung eines Fabry-Perot Resonators.

gegeben. Damit lassen sich alle beteiligten Amplituden auf die in den Resonatoreingekoppelte Feldamplitude A0 zuruckfuhren. So folgt fur das resonatorinterneFeld:

A1 = iτ1A0 + ρ1A′3 mit d =

1

1− ρ1ρ2e2ikL

= iτ1A0 + ρ1eikLA3

= iτ1A0 + ρ1ρ2eikLA′

1

= iτ1A0 + ρ1ρ2e2ikLA1

= iτ11

1− ρ1ρ2e2ikLA0 ≡ iτ1dA0 .

(4.7)

Aus diesem lassen sich wiederum iterativ die verbleibenden Amplituden

A′1 = iτ1deikLA0 ,

A2 = −τ1τ2deikLA0 ,

A3 = iτ1ρ2deikLA0 ,

A′3 = iτ1ρ2de2ikLA0 und

A4 =(ρ1 − ρ2(ρ

21 + τ 2

1 )e2ikL)dA0 =

(ρ1 − ρ2e

2ikL)dA0

(4.8)

46


errechnen. Die Reflektivitats- und Transmissionsamplituden der gesamtenResonatoranordnung

ρFPR =A4

A0

=ρ1 − ρ2e

2ikL

1− ρ1ρ2e2ikLbzw. (4.9)

τFPR =A2

A0

=−τ1τ2e

ikL

1− ρ1ρ2e2ikL(4.10)

lassen sich unmittelbar aus den in (4.8) berechneten Großen ablesen. Ihre Betrags-quadrate beschreiben die Leistungsreflektivitat und -transmittivitat eines Fabry-Perot Resonators als Funktion der eingestrahlten Frequenz. Eine bemerkenswerteEigenschaft dieses Systems ist, dass die Gesamttransmission des Resonators furbestimmte Frequenzen einen Wert annehmen kann, der deutlich uber den Trans-missionswerten der einzelnen Spiegel liegt, wahrend sie fur andere fast auf Nullzuruckgeht. Erstere bezeichnet man als

”Resonanzfrequenzen“, wahrend man im

anderen Fall von der”Antiresonanz“ spricht. Der Verlauf einer solchen Resonanz

sowie die zugehorige Phasenverschiebung des reflektierten Feldes sind in Abb. 4.4dargestellt.Aus der Periodizitat von d

2(k + ∆kFSR)L− 2kL = 2π (4.11)

Abbildung 4.4.: Die rote Kurve zeigt die Leistungsreflektivitat eines Fabry-Perot Reso-nators, die blaue Kurve die zugehorige Phasenverschiebung des reflektierten Strahls.

47


Abbildung 4.5.: Resonanzfunktion eines Fabry-Perot Resonators mit ρ1 = ρ2 =0,95 .

lasst sich der Abstand zweier benachbarten Resonanzfrequenzen

∆νFSR =c

2L(4.12)

ablesen, welcher als”freier Spektralbereich“ (FSR) eines Resonators bezeichnet

wird. Abbildung 4.5 zeigt einen solchen FSR eines Beispielresonators. Dabei wurdedie Langenvariation des Resonators durch den Verstimmungsparameter

φ = 2kL =2ωL

cmod 2π (4.13)

ausgedruckt. Eine Verstimmung um φ = 2π entspricht somit dem Durchlauf einesfreien Spektralbereichs und lasst die Resonatoreigenschaften invariant. Alternativzur Langenvariation kann eine solche Verstimmung auch mittels periodischer Laser-frequenzmodulation erreicht werden.Aus den Gleichungen (4.7) - (4.10) resultiert, dass sowohl der Verlauf als auch derAbstand der Resonanzen durch den Faktor

|d|2 =1

(1− ρ1ρ2eiφ)(1− ρ1ρ2e−iφ)

=1

1 + ρ21ρ

22 − ρ1ρ2(eiφ + e−iφ)

≡ 1

1 + R2 − 2R cos φ

(4.14)

48


beschrieben werden. Dieser nimmt auf Resonanz (φ = 0) mit

|d|2max =1

(1−R)2(4.15)

seinen Maximalwert an. Damit folgt aus Gl. (4.10), dass die Gesamttransmissiondes Resonators weitaus hohere Werte als das Produkt der einzelnen Spiegeltrans-mittivitaten annehmen kann. Wird der Resonator hingegen gerade um φ = πverstimmt, so erreicht die vom Resonator transmittierte Leistung unter Annahmehoher Spiegelreflektivitaten mit

|d|2min =1

(1 + R)2≈ 1

4(4.16)

ihr Minimum und der FPR wird zu einem fast perfekten Spiegel.Neben dem Verstimmungsparameter ist die vom FPR transmittierte Leistung auchvon den Reflektivitaten der beiden Resonatorspiegel abhangig. Eine Extremwert-betrachtung zeigt, dass im Fall gleicher Spiegelparameter

ρ1 = ρ2 = ρ und τ1 = τ2 = τ (4.17)

die im Resonator gespeicherte und folglich auch die transmittierte Leistung ihrenMaximalwert erreichen. Einen derart konstruierten Fabry-Perot Resonator bezeich-net man als

”impedanzangepasst“. Abbildung 4.6 zeigt die Transmission eines

resonanten FPR als Funktion der Spiegelparameter, wobei die Reflektivitat dessogenannten

”Endspiegels“ M2 festgehalten und die des

”Einkoppelspiegels“ M1

in ihrem Wert variiert wurde. Bemerkenswert ist, dass in einem stark uberkop-pelten Resonator (T1 T2) die Phasenanderung in Resonanznahe annahernd 2πbetragt. Bei Erreichen der Impedanzanpassung andert der Gradient der Phasen-anderung sein Vorzeichen, letztere nimmt nun mit steigender Transmission desEinkoppelspiegels stetig ab, um schließlich in stark unterkoppelten Resonatorenfast vollstandig zu verschwinden.Eine weitere interessante Kenngroße ist die Breite der Resonanz bei der Halfte

ihres Maximalwertes (engl.: Full Width at Half Maximum, FWHM), welche sichunter Ausnutzung von Gl. (4.15) zu

∆νFWHM =c

4πL· 2φ 1

2=

c

2πLarccos

(1− (1−R)2

2R

)(4.18)

berechnen lasst. Diese wird alternativ auch als die”Bandbreite“ eines Resonators

bezeichnet. Der Kehrwert

F =∆νFSR

∆νFWHM

=π

arccos(1− (1−R)2

2R

) (4.19)

49


Abbildung 4.6.: Transmission durch einen Fabry-Perot Resonator in Abhangigkeitder Einkoppelspiegeltransmittivitat T1 bei festgehaltener EndspiegeltransmittivitatT2 =0,01 .

ihres Verhaltnisses zum freien Spektralbereich ist unter dem Namen”Finesse“

bekannt. Im Fall hoher Spiegelreflektivitaten lasst sich unter Verwendung trigo-nometrischer Identitaten der genaherte Ausdruck

F ≈ π

1−R(4.20)

fur die Resonatorfinesse ableiten, welcher fur F > 20 um weniger als 0,1% vondem durch Gl. (4.19) gegebenen exakten Wert abweicht [34].Betrachten wir abschließend die auf das eingekoppelte Feld bezogene Leistungs-uberhohung

∣∣∣∣A1

A0

∣∣∣∣2 =1− ρ2

1

(1− ρ1ρ2)2(4.21)

im Inneren eines resonanten Fabry-Perot Resonators, welche bei Impedanz-anpassung ihren Maximalwert erreicht. Ein Vergleich mit Gl. (4.20) zeigt, dassdie in einem solchen Resonator gespeicherte Leistung

∣∣∣∣A1

A0

∣∣∣∣2 =1

τ 2(4.22)

50

4.2. Der Fabry-Perot Resonator mit Kerrmedium (KFPR)

direkt proportional zur Resonatorfinesse ist:∣∣∣∣A1

A0

∣∣∣∣2 =Fπ

. (4.23)

Die Kenntnis der Finesse erlaubt somit eine einfache Ruckrechnung auf denLeistungswert innerhalb des Resonators.

4.2. Der Fabry-Perot Resonator mit Kerrmedium(KFPR)

Die im vorangegangenen Kapitel prasentierten Uberlegungen betrafen alle einen

”leeren“ linearen Resonator, bestehend aus zwei senkrecht zur optischen Ach-

se orientierten hochreflektiven Spiegeln. Erganzen wir diese Anordnung gemaßAbb. 4.7 um einen nichtlinearen Kristall, so mussen die oben abgeleiteten Zu-sammenhange unter neuen Randbedingungen diskutiert werden. Betrachten wirdazu exemplarisch die Auswirkungen einer Nichtlinearitat 2. Ordnung, gegeben inForm eines inversionsasymmetrischen Kristalls wie LiNbO3 , auf die Feldamplitu-den innerhalb und außerhalb des Resonators. Solche nichtlinearen Beitrage sindihrerseits stark von der Phasenanpassung der im Kristall propagierenden Felderabhangig. Soll diese zur Beobachtung unterschiedlicher Effekte variiert werden, soempfiehlt sich aufgrund der starren Resonatoranordnung eine temperaturgeregelteAnpassung der Brechungsindizes.Der Fall perfekter Phasenanpassung wird in den Kapiteln 3.3 und 3.4 im Detaildiskutiert und soll daher an dieser Stelle nicht weiter betrachtet werden. Abhangig

Abbildung 4.7.: Schematische Darstellung eines Fabry-Perot Resonators mit Kerr-Medium.

51


von den eingekoppelten Feldern konnen Summen- und Differenzfrequenzen oderauch eine optisch-parametrische Oszillation erzeugt werden. Zwar beeinflussenSpiegelparameter und Eingangsintensitat die Resonatorbandbreite sowie die Hoheder Resonanzen, ihre qualitative Struktur erfahrt jedoch keine Anderung.Verschlechtern wir bewusst eine zur Frequenzverdopplung realisierte Phasen-anpassung , so verkleinert sich auch die Konversionsrate, die schließlich bei demaus Gl. (3.60) fur m = 1 abzulesenden Wert ihr erstes Minimum erreicht. DerAnteil des zur zweiten Harmonischen konvertierten Lichts sinkt auf Null und dieim Kristall propagierenden Wellen erfahren eine zusatzliche intensitatsabhangigePhasenverschiebung

φ(l) = φ(0)± Γ1Γ3l2|A1|2

2π≡ φ(0)± θKerr|A1|2 , (3.61*)

wobei l die Kristalllange bezeichnet. Damit andert sich der Verstimmungs-parameter eines Fabry-Perot Resonators mit Quasi-Kerr-Medium zu

φ = 2kL± 2 θKerr|A1|2 = φ0 ± φKerr (4.24)

und die Propagationsmatrix TL, welche die Kopplung der Amplituden innerhalbdes Resonators beschreibt, nimmt die Form

TKerrL =

(ei(φ0+φKerr) 0

0 e−i(φ0+φKerr)

)(4.25)

an. Wiederholen wir die Berechnung (4.7) mit diesen neuen Randbedingungen,so erhalten wir fur die Leistung innerhalb des Resonators den selbstkonsistentenAusdruck

|A1|2 =τ 21

1 + R2 − 2R cos (2kL± 2 θKerr|A1|2)|A0|2 . (4.26)

Da eine analytische Losung nicht langer moglich ist, wurde das resonatorinterneLeistungsprofil numerisch fur verschiedene Werte der Eingangsintensitat berechnetund die Ergebnisse in Abb. 4.8 dargestellt. Wahrend die Resonanzform bei kleinenEingangsleistungen qualitativ weitgehend mit dem in Abb. 4.4 gezeigten Verlaufin einem leeren FPR ubereinstimmt, zeigt sie mit steigender Leistung eine immerstarkere Asymmetrie, bis schließlich bei I = Ikrit eine der Flanken des Airy-Peaks eine unendliche Steigung erreicht. Wird diese kritische Eingangsleistunguberschritten, so zeigt das System ein multistabiles Verhalten. Bei bestimmtenResonatorlangen existieren gleichzeitig mehrere Losungswerte fur |A1|2, welchedie obige Gleichung erfullen.

52

4.2. Der Fabry-Perot Resonator mit Kerrmedium (KFPR)

Abbildung 4.8.: Leistung im KFPR in Abhangigkeit von der Eingangsleistung(orange: Iein > Ikrit, rot: Iein = Ikrit, blau: Iein Ikrit).

Eine Bedingung an die kritische Leistung kann aus der Steigung von Gl. (4.26)abgeleitet werden. Diese lasst sich durch implizites Differenzieren gemaß

∂y

∂x=

∂F

∂x·(

∂F

∂y

)−1

fur F (x, y(x)) = 0 (4.27)

zu

m(|A1|2, L) =4|A1|2Rk sin (φ0 ± φKerr)

1 + R2 − 2R [cos (φ0 ± φKerr)± 2|A1|2 sin (φ0 ± φKerr)](4.28)

berechnen. Bei verschwindendem Funktionsnenner strebt die Steigung der Reso-nanz gegen Unendlich und das System erreicht den kritischen Zustand. Damitkonnen auch bei hoheren Eingangsleistungen diejenigen Verstimmungsfaktorenermittelt werden, die den kritischen Punkten eines bistabilen Airy-Peaks entspre-chen.Eine analoge Betrachtung ergibt fur die Reflektivitatsamplitude der Resonatoran-ordnung den Ausdruck

ρKFPR =A4

A0

=ρ1 − ρ2e

i(φ0+φKerr)

1− ρ1ρ2ei(φ0+φKerr), (4.29)

dessen Argument die Phasenbeziehung des vom Resonator reflektierten Lichteszum eingestrahlten Feld beschreibt (Abb. 4.9). Diese zeigt entsprechend dasselbe

53


Abbildung 4.9.: Ausgangsphasenverschiebung eines Fabry-Perot Resonators mit Kerr-Medium.

multistabile Verhalten wie die Feldamplitude innerhalb des Resonators. BeideEffekte lassen sich physikalisch mithilfe der Frage, welchen Einfluss das Kerr-Medium auf die Leistung im Resonator hat, verstehen. Befindet sich das Systemgemaß Abb. 4.8 in einem verstimmten Zustand links von der Resonanz, so fuhrt eineVergroßerung der Resonatorlange zunachst zu einem kleinen Anstieg der internenLeistung. Dieser bewirkt jedoch eine zusatzliche Kerr-induzierte Verstimmung,welche ihrerseits zu einem weiteren Leistungsanstiegt fuhrt und so weiter. Genausoverhalt es sich mit der auf das eingekoppelte Feld bezogenen Phase der reflektiertenWelle. Die positive Ruckkopplung mit dem Kerr-Medium bewirkt eine zusatzlichePhasenrotation und verzerrt so die in Abb. 4.4 dargestellte ursprungliche Phasen-beziehung.Offenbar reagiert ein Fabry-Perot Resonator mit Kerr-Medium nach Anpas-sung einiger externer Parameter viel empfindlicher auf eine Verstimmung alssein leeres Pendant. Dieser Sachverhalt kann fur den Aufbau eines Michelson-Interferometers mit stark erhohter Sensitivitat ausgenutzt werden. Ersetzen wir,wie in Abb. 4.10 dargestellt, bei einem traditionellen Aufbau [7] einen der End-spiegel durch einen KFPR, so andert sich die Phasenbeziehung der beiden amAusgang interferierenden Strahlen gemaß Gl. (4.29) als Funktion von Eingangs-leistung und Resonatorverstimmung. Wird im nachsten Schritt die Lichtintensitatin den Interferometerarmen dem kritischen Wert aus Gl. (4.28) angepasst, so mussder Resonator schließlich nur noch auf einem festen Arbeitspunkt (und zwar

54

4.3. Resonatordynamik

bei der durch ∂|A1|2∂L

|L=LKrit→∞ definierten kritischen Lange) stabilisiert werden.

Verandert nun ein außerer Einfluss wie z. B. eine Gravitationswelle auch nurmarginal den Spiegelabstand und damit die Resonatorverstimmung, so fuhrt dieszu einer großeren Phasenverschiebung des reflektierten Lichts und damit zu einerdeutlich starkeren Antwort des Systems auf das zu detektierende Signal als diesbei der Verwendung eines nicht modifizierten Fabry-Perot Resonators der Fallware. Das folgende Kapitel prasentiert einen konkreten experimentellen Aufbauzur Untersuchung von Kerr-sensibilisierten Interferometeranordnungen sowie eineAbschatzung der zu erwartenden Verstarkungsfaktoren.

Abbildung 4.10.: Michelson-Interferometer mit einem Kerr-Fabry-Perot Resonator undeinem planen Spiegel in den Interferometerarmen.


Bei den bisherigen Betrachtungen haben wir uns ausschließlich auf Resonatoren imGleichgewichtszustand konzentriert. Nach jeder infinitesimal kleinen Verstimmungließen wir dem System genugend Zeit, ein neues Gleichgewicht zu finden underhielten so schließlich die in den Abbildungen 4.4 - 4.8 dargestellten Resonanz-profile. Mathematisch formuliert bedeutet dies, dass bei der Berechnung derFeldamplituden innerhalb und außerhalb des Resonators zwar die momentanenResonatorlangen, jedoch nicht ihre Anderung mit der Zeit explizit berucksichtigtwurden. Messungen der Linienform und der spektralen Breite erfordern es jedoch,die Resonatorlange dynamisch zu verandern. Um akustische und thermische Ein-flusse zu minimieren, werden hierzu die Endspiegelposition mit Frequenzen von biszu 3 kHz periodisch variiert. Dabei werden die Resonatorlinien in nur wenigen µs

55


abgefahren. Im Folgenden werden daher abschließend die Auswirkungen der Reso-natordynamik auf die bisher abgeleiteten Zusammenhange diskutiert.Ausgehend von einer minimalen Resonatorlange L0 zur Zeit t0 = 0 kann diePosition des Endspiegels zur Zeit t durch den linearen Zusammenhang

L(t) = L0 + vt (4.30)

approximiert werden, wobei v die Spiegelgeschwindigkeit bezeichnet. Die zeit-abhangige Amplitude des vom Resonator transmittierten Feldes setzt sich somitgemaß

A2(t) =∞∑

n=1

An(t) =∞∑

n=1

A0τ1τ2Rn−1eiφn(t) (4.31)

per Superposition aus einer unendlich großen Anzahl von Teilwellen An zusammen.Diese reprasentieren diejenigen Anteile des Strahlungsfeldes, welche zur Auskoppel-zeit t gerade (n−1) Umlaufe im Resonator absolviert haben und somit neben einererfahrenen Phasenverschiebung um den Faktor R(n−1) gegenuber dem Anfangs-zustand A0 abgeschwacht wurden. Da fur große n die zugehorigen Feldamplitudensomit verschwindend geringe Werte annehmen, ist bei einer numerischen Auswer-tung des obigen Ausdruckes die Betrachtung von endlich vielen Summanden aus-reichend. Die durch Propagation und Spiegelbewegung bedingte Phasendifferenzder Teilwellen kann unter Annahme relativ kleiner Langenanderungen vt L0

durch die Beziehung

φn(t) = (2n− 1)2πν

cL(t)− n(n− 1)

2πvν

c∆νFSR

(4.32)

angegeben werden [35].Eine analytische Berechnung der vom Resonator transmittierten Strahlungs-intensitat It ∝ |A2|2 kann fur den durch Gl. (4.31) und Gl. (4.32) beschriebenenallgemeinen Fall nicht vorgenommen werden. Unter Annahme hoher Finessewertelasst sich die unendliche Summe jedoch durch ein kontinuierliches Integralausdrucken und auswerten. Nach weiteren Naherungen erhalt man schließlich einenwenig uberschaubaren Ausdruck fur die transmittierte Intensitat [36, Gl. (6)].Dieser ist proportional zum Betragsquadrat der komplexen Fehlerfunktion, derenArgument neben den Spiegelparametern im Wesentlichen von der Resonatorfinessesowie von der Spiegelgeschwindigkeit abhangig ist.Die Abbildung 4.11 zeigt die Ergebnisse einer numerischen Berechnung der(durch das Betragsquadrat von (4.31) gegebenen) transmittierten Intensitat furunterschiedliche Spiegelgeschwindigkeiten. Der betrachtete Resonator zeichnetsich durch eine Linienbreite von 250 kHz und einen Finessewert von ca. 630 aus.Offenbar legt das System beim Passieren der Resonanz ein oszillierendes Verhaltenan den Tag. Simulationen von Resonatoren mit geringen Finessewerten zeigten

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Abbildung 4.11.: Von einem Resonator mit F = 630 und ∆νFWHM = 250 kHz trans-mittierte Leistung als Funktion der Resonatorlange. Die rote Kurve zeigt eine Gleich-gewichtslosung. Die blaue bzw. grune Kurve resultieren unter Berucksichtigung derResonatordynamik [37]. Dabei betragt die Verstimmungszeit uber den Abstand, welcherder vollen Halbwertsbreite des Resonators entspricht, 4 µs (blau) bzw. 400 ns (grun).

hingegen, dass selbst bei hohen Spiegelgeschwindigkeiten kaum eine Abweichungvom Gleichgewichtsfall festzustellen ist. Dieses Phanomen lasst sich physikalischaus der folgenden Betrachtung erklaren. Weit ab von Resonanzen ist sowohl dieim Resonator gespeicherte Leistung als auch ihre Anderung mit der Verstimmungsehr klein und eine Berucksichtigung der Verstimmungsgeschwindigkeit fuhrtzu keinen signifikanten Abweichungen. Nahert man sich jedoch einer (steilen)Resonanzflanke, so hat der Resonator bei hohen Verstimmungsgeschwindigkeitennicht mehr genugend Zeit, um sich vollstandig zu fullen und ein entsprechendesinternes Feld aufzubauen. Dieser Gleichgewichtsverlust hat eine Schwebungzwischen dem eingekoppelten Laserfeld und dem Feld innerhalb des Resonatorszur Folge, welche in Form besagter Oszillationen experimentell beobachtet werdenkann. Obwohl diese keine feste Frequenz besitzen, erinnern sie doch in ihrerStruktur stark an eine abklingende Schwingung und sind daher unter dem Namen

”Ringing - Effekt“ in die Fachliteratur eingegangen.

Schon relativ geringe Verstimmungsgeschwindigkeiten fuhren also bei hoherResonatorfinesse zu Ungleichgewichtsphanomenen. Die Hohe der Resonanzennimmt merklich ab, wahrend sich ihre Halbwertsbreiten vergroßern. Dadurchgestaltet sich eine Messung der Resonatorfinesse, welche in Gl. (4.19) als

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Verhaltnis vom Abstand zweier Resonanzen zur Halbwertsbreite definiert wird, alsproblematisch und in zunehmendem Maße ungenau. Durch diese Schwierigkeitenmotiviert entwickelten L. Matone et al. ein theoretisches Modell, welches dieBerechnung der Spiegelgeschwindigkeiten aus dem transmittierten Leistungsprofilerlaubt, mit denen wiederum die Finessewerte ermittelt werden konnen [36].Bemerkenswert ist dabei, dass durch den Einfluß eines Kerr-Mediums derRinging-Effekt bereits in Fabry-Perot Resonatoren mit vergleichsweise geringenFinessewerten beobachtet werden kann. Der kaskadierte Kerr-Effekt fuhrt zu einerVerformung des Airy-Peaks, in deren Zuge eine der Flanken in Abhangigkeit vonder eingekoppelten Intensitat sehr hohe Steigungen erreichen kann. Ein solchesResonanzprofil ist bei korrekter Verstimmung dann prinzipiell mit dem einesHochfinesseresonators identisch. Aus den bei solchen Untersuchungen ermitteltenDaten kann wiederum die Kerr-Konstante des Mediums errechnet werden.Eine Betrachtung des Ringing-Effekts eroffnet damit effiziente und einfacheMoglichkeiten zur Untersuchung der Eigenschaften nichtlinearer Medien zweiterund dritter Ordnung.

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5. Experimenteller Aufbau

Bevor der Laserstrahl in den Kerr -Resonator eingekoppelt werden kann, musser zunachst aufbereitet werden, um eine moglichst effiziente Einkopplung sowieein rauscharmes Verhalten zu gewahrleisten. Des Weiteren mussen sowohlder Resonator selbst als auch einige andere in diesem Kapitel prasentierteKomponenten mithilfe von Regelungsschleifen bei festen Langen bzw.Temperaturen stabilisiert werden. Erst dann konnen die vorgeschlagenenExperimente durchgefuhrt und verwertbare Ergebnisse erzielt werden.Dementsprechend unterteilt sich auch das vorliegende Kapitel in zwei thematischeUnterabschnitte. Der erste beleuchtet die Laserstrahlfuhrung von der Lichtquellebis hin zum Resonator und erlautert die einzelnen Komponenten in Hinblickauf ihre Notwendigkeit fur das Experiment. Im anderen Abschnitt werden diekonkrete mechanische Konstruktion eines Kerr - Fabry - Perot Resonators sowieeinige der Systemcharakterisierung dienende Messverfahren vorgestellt.

5.1. Laserlichtvorbereitung

Abbildung 5.1 zeigt eine vereinfachte Darstellung des experimentellen Aufbaus zurspektralen und raumlichen Filterung des Laserlichts. Eine vollstandige Ubersichtder Versuchsanordnung befindet sich im Anhang A. Soweit nicht anders vermerkt

Abbildung 5.1.: Schematische Darstellung des experimentellen Aufbaus zur Laserlicht-vorbereitung.

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beziehen sich samtliche im aktuellen Kapitel angegebenen optischen Parameterauf die Zentralwellenlange von 1064 nm .

5.1.1. Die Strahlungsquelle

Als Strahlungsquelle dient ein Nd:YAG - Laser aus der Mephisto-Produktreiheder Firma InnoLight GmbH mit einer maximalen Emissionsleistung von 2,4 Wattbei einer Wellenlange von 1064 nm. Bei diesem speziellen System bildetdas laseraktive Medium, ein mit Nd3+- Ionen dotierter Yttrium-Aluminium-Granat-Kristall mit mehreren verspiegelten Flachen, selbst einen nicht-planarenRingoszillator (NPRO). Damit wird im Vergleich zur Platzierung in einem externenResonator eine besonders hohe mechanische Stabilitat erreicht. Ein auf der einenKristallseite aufgebrachter Piezoaktuator erlaubt zusatzlich eine Steuerung derResonatorlange und damit die Durchstimmbarkeit der Laserfrequenz im Bereicheiniger 100MHz. Weil letztere auch von der Kristalltemperatur abhangig ist,wurde das laseraktive Medium zusatzlich mit einem Peltier-Element kontaktiert,welches eine Temperaturstabilisierung von einigen 100 µK

minund folglich eine hohe

Langzeit-Frequenzstabilitat gewahrleistet.Wie alle Festkorperlaser zeichnet sich auch das verwendete System durch einestarke Relaxationsoszillation aus. Diese macht sich bei einer Frequenz vonca. 800 kHz durch einen deutlichen Anstieg des Amplitudenrauschens bemerkbar.

Abbildung 5.2.: Frequenzabhangiges Amplitudenrauschen des Nd:YAG-Lasers ohne(rot) bzw. mit (blau) Noise Eater (RBW = 50 kHz). Die orangefarbene Kurve zeigtdas Dunkelrauschen der zur Detektion verwendeten Photodiode.

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Zur Kompensation dieses Effekts verfugt das Lasersystem zusatzlich uber einensogenannten

”Noise Eater“. In dieser Kontrollelektronik wird ein Bruchteil

des vom NPRO emittierten Lichts detektiert. Die auf diese Weise erhaltenenInformationen ermoglichen eine Regelung des Stromes durch die als Pumpquelleverwendeten Laserdioden. Abbildung 5.2 demonstriert, dass mit dem NoiseEater eine Amplitudenrauschunterdruckung um uber 35 dB erreicht werdenkann. Fur weiterfuhrende Informationen uber die Eigenschaften nicht-planarerRingoszillatoren sei auf Referenz [38] verwiesen.

5.1.2. Funktionsprinzip der optischen Diode

Wie in Kapitel 4.1 beschrieben wird, wirkt ein Fabry-Perot Resonator beibestimmten Verstimmungsparametern als ein (fast) perfekter Spiegel. Das insolchen Fallen zum Laser zuruckreflektierte Licht wurde in diesen ruckkoppeln undso zu einer Stabilitatsminderung des Lasersystems fuhren. Zur Unterdruckungdieses unerwunschten Nebeneffekts wurde unmittelbar hinter dem Laser ein

”Faraday-Isolator“ in den Strahlengang integriert. Abbildung 5.3 illustriert die

Funktionsweise dieser oft auch als”optische Diode“ bezeichneten Komponente. Das

vom Laser emittierte, linear polarisierte Licht trifft zunachst auf ein λ/2-Plattchen(in Abb. 5.3 nicht eingezeichnet). Schließt die Polarisationsebene des einfallendenLichts mit der optischen Achse des Plattchens den Winkel ϕ ein, so bewirkt

Abbildung 5.3.: Skizze des Funktionsprinzips einer optischen Diode (mit freundlicherGenehmigung von A.Franzen).

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letzteres aufgrund von Doppelbrechungseffekten eine Polarisationsrotation umden Winkel α = 2ϕ . Somit kann die Richtung des elektrischen Feldvektorsum einen beliebigen Winkel und speziell in die Basisebene des polarisierendenStrahlteilers (PBS) gedreht werden, welche parallel zur Oberflache des optischenTisches orientiert ist. Eine entsprechende Polarisationsrichtung wird daher in dervorliegenden Arbeit als

”p-Polarisation“ bezeichnet, wahrend die senkrecht auf ihr

stehende Komponente den Namen”s-polarisiert“ tragt.

Beim PBS handelt es sich um einen Flintglaswurfel, der entlang der Diagonalflacheaufgeschnitten und mit einem Dunnschichtpolarisator versehen wurde, welcheraus einer Vielzahl dielektrischer Schichten mit einer Dicke von λ/2 besteht.Durch die spezielle Beschichtung wirkt der PBS auf s-polarisierte Strahlung wieein hochreflektiver Spiegel, wahrend er fur p-polarisiertes Licht transparent ist.Stimmen wir also das λ/2-Plattchen und den polarisierenden Strahlteiler sorgfaltigaufeinander ab, so kann der Laserstrahl mit vernachlassigbaren Verlusten in denFaraday-Rotator eingekoppelt werden. Dieser bewirkt aufgrund des Faraday-Effekts [39] eine Rotation der Polarisationsebene um den Winkel α′ = 45, derunabhangig von der Ausgangspolarisation oder der Propagationsrichtung ist. Einweiterer PBS, dessen Basis um 45 gegen die Tischflache verkippt wurde, lasst denLichtstrahl schließlich ungehindert passieren (Aus Grunden der Ubersichtlichkeitwurde in Abb. 5.3 auf seine Darstellung verzichtet).Anders ergeht es jedoch allen aus der Gegenrichtung einfallenden, von dennachfolgenden optischen Komponenten zuruckgeworfenen Lichtstrahlen. Dieseerfahren beim Passieren des Faraday-Rotators eine weitere Polarisationsdrehungund erreichen schließlich im s-polarisierten Zustand den ersten Strahlteiler,um von diesem senkrecht von der optischen Achse weg reflektiert zu werden.Mittels solcher, fur die verwendeten Wellenlangen kommerziell erhaltlichenKonstruktionen kann eine wirkungsvolle Extinktion der in den Laserzurucklaufenden Strahlen realisiert werden. Das im Experiment verwendete Systemder Firma LINOS Photonics erreicht laut Datenblatt eine Abschwachung um42,3 dB (und somit um den Faktor 17.000) bei maximalen Transmissionsverlustenvon 6,2 Prozent. Um die von Nd:YAG Lasern ebenfalls emittierte zirkularePolarisationskomponente zu minimieren, wurde des weiteren ein λ/4-Plattchen inden Strahlengang integriert.

5.1.3. Der Modenfilter

Die in Abb. 5.2 dargestellten Messergebnisse belegen, dass der Laserstrahl selbstmit eingeschaltetem Noise Eater noch betrachtliches Rauschen bei kleinenFrequenzen aufweist, das sich insbesondere bei der Detektion schwacher Signaleals außerst storend erweisen kann. Daher kommt vor der Einkopplung insInterferometer ein Modenfilter zum Einsatz, dessen theoretisches Funktionsprinzip

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bereits in Kapitel 4.1 erlautert wurde. Weil der Einsatz linearer Topologienaufgrund der Modenanpassung an den Resonator zwangslaufig eine Ausbildungparasitarer Resonatoren nach sich ziehen wurde, bietet sich gemaß Abb. 5.4 einRingresonatorschema zur Modenfilterung an.

Abbildung 5.4.: Querschnitt durch den von oben betrachteten Modenfilter. Der zu einemkompletten Umlauf gehorende optische Weg betragt 52 cm, weitere Details siehe Text.

Zur Erhohung der mechanischen Stabilitat sind die Resonatorspiegel auf einemmonolithischen Abstandshalter aus Aluminium befestigt. Eine hermetische Versie-gelung des Resonators sowie die Montage in einem Reinraumlabor der Klasse 1.000(maximale Staubpartikeldichte von 1000 Partikel

Fuß3 , maximaler Partikeldurchmesser0,5µm) verringern die Wahrscheinlichkeit einer nachtraglichen Verschmutzungder Resonatorspiegel, welche ihrerseits die Herabsetzung der Resonatorfinessezur Folge hatte. Zur Dampfung hochfrequenter akustischer Schwingungen ist derAluminiumhohlkorper zusatzlich mit einer Schicht selbstklebender Bitumenfolieverkleidet.Bislang wurden in den theoretischen Uberlegungen Lichtstrahlen zwecksVereinfachung lediglich durch ebene Wellen reprasentiert. Diese zeichnen sichinsbesondere durch eine unendliche Ausdehnung der Wellenfronten aus, so dasskeine adaquate Aussage uber raumliche Intensitatsprofile getroffen werden kann.Eine weitaus bessere Approximation realer Laserstralen bietet die Gauß’scheStrahlenoptik. In dieser wird das transversale Intensitatsprofil der Strahlen durcheine Gaußkurve beschrieben. Als Strahlradius definiert man den Abstand zuroptischen Achse, an dem die Leistung auf 1/e des Maximalwertes abgefallenist. Ferner zeichnen sich Gaußstrahlen durch ein longitudinales Lorentzprofilaus. Eine Fokussierung in einem einzigen Punkt, wie sie aus der geometrischenOptik bekannt ist, ist nicht langer moglich. Den minimalen, beugungsbegrenztenStrahlradius im Fokus bezeichnet man als Strahltaille w0 . Mit zunehmendemAbstand zum Fokus vergroßert sich der Strahlradius. Dabei ist die Krummungder Wellenfronten sowohl von dem Abstand zu w0 als auch vom Taillenradiussowie der Wellenlange der Laserstrahlung abhangig. Fur die Konstruktion stabiler

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Resonatoren muss nun beachtet werden, dass die Resonatorspiegel in ihremKrummungsradius exakt dem Krummungsradius der einfallenden Wellenfrontangepasst werden mussen. Geschieht dies nicht, so haben die Spiegel zusatzlicheinen Linseneffekt.Der als Modenfilter dienende Resonator besteht aus zwei planen Ein- bzw.Auskopplerspiegeln mit einer jeweiligen Reflektivitat von 99,4% sowie auseinem hochreflektiven Umlenkspiegel mit einem Krummungsradius von 2 m . DieEntfernung der Spiegel sowie deren Krummungsradien definieren eine stabileResonatormode bzw. die Position und Große der Strahltaille im Modenfilter [40].Eine Rechnung mit den geometrischen Abmessungen aus Abb. 5.4 demonstriert,dass sich die Resonatoreigenmode durch eine 477,18µm große Strahltailleauszeichnet, welche sich zwischen den beiden Kopplerspiegeln befindet.Der Anpassung des einfallenden Lichts an die Eigenmode des Filterresonatorsdient die in Abb. 5.1 schematisch als LMC bezeichnete Linsenkombination. DieBerechnung der raumlichen Positionen sowie der Brennweiten der einzelnen Linsenerfolgte, ausgehend von einer bekannten Strahltaillengroße im Laser, mittels desProgramms G.R.O.B. von A.Thuring. Weil alle in den Strahlengang integriertentransmissiven Optiken eine leichte Variation des Strahlprofils verursachen, musstendie theoretisch errechneten Linsenpositionen im Zuge einer Feinjustage an dieexperimentellen Gegebenheiten angepasst werden.Fur eine ideale Modenanpassung reicht allerdings die Anpassung derStrahltaillengroße alleine nicht aus. Auch die Propagationsachse der in denResonator eingekoppelten Strahlen muss der durch den Modenfilter definiertenEbene angepasst werden. Die entsprechende Strahllagekorrektur erfolgt mittelsdes Spiegelpaars MMC . Beide Umlenkspiegel sind jeweils in einer speziellenHalterung der Firma Radiant Dyes montiert, welche eine voneinander entkoppelteVerkippung sowohl in der x- als auch in der y-Ebene und somit eine beliebigeraumliche Variation der Strahllage gestattet.Der im Experiment verwendete Laser zeigt laut Datenblatt nur außerstgeringe Frequenzschwankungen (< 1MHz/min), so dass sich eine weitereFrequenzstabilisierung fur dieses Experiment als unnotig erweist. Daher kannder Modenfilter ohne weiteres auf die Laserfrequenz abgestimmt werden. Weilzu diesem Zweck ein durchstimmbarer Resonator erforderlich ist, wurdeder HR - Spiegel auf einen Ringpiezoaktuator aufgebracht, welcher eineLangenanderung ∆lmax um bis zu 5,7 µm erlaubt. Diese entspricht gemaß∆φmax = 2π · ∆lmax

λ≈ 5,4 · 2π einer maximalen Resonatorverstimmung uber

ca. funf freie Spektralbereiche (FSRMC = 577 MHz). Der Spannungsversorgung desPiezoaktuators dient dabei ein Hochspannungsverstarker, der ein dreieckformiges,im Folgenden als Rampe bezeichnetes Eingangssignal um den Faktor 20 aufmaximal 385 V zu verstarken vermag.Im Unterschied zu ebenen Wellen erfahren Gauß’sche Strahlen neben einerpropagationsbedingten Phasenrotation eine zusatzliche, unter der Bezeichnung

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”Guoy-Phase“ bekannte Phasenverschiebung. Diese wachst linear mit der durch

(n + m) gegebenen Ordnung der betrachteten TEMnm -Mode an und ist zueiner Frequenzverschiebung aquivalent [41, App. C-D]. Folglich unterscheidensich auch die (frequenzabhangigen) Resonanzbedingungen verschiedenerStrahlungsfeldmoden in Abhangigkeit von ihrer Ordnung. Hohere, unerwunschteModen konnen somit im FSR des Filterresonators nach ihrer Ordnung aufgelostwerden, sofern dieser keine Modenentartung aufweist. Fur eine optimaleModenanpassung an den Resonator, in deren Zuge die Leistung in den hoherenModen durch Variation von Strahllage und Taillengroße minimiert wird, istdie Betrachtung mindestens eines freien Spektralbereiches sinnvoll, wenn auchnicht zwingend erforderlich. Abbildung 5.5 zeigt die Aufnahme eines freienSpektralbereichs des Filterresonators, die eine erreichte Modenanpassung vonca. 96% belegt (Fur weitere Details siehe Kapitel 5.2.2).

Abbildung 5.5.: Darstellung der Modenanpassung des Laserstrahls an den Modenfilter.

Der in diesem Abschnitt vorgestellte Modenfilter wirkt in zweifacher Weiseauf den eingekoppelten Laserstrahl. Seiner Bezeichnung entsprechend bestehtseine Primarfunktion darin, den einfallenden Strahl von unerwunschten Modenzu bereinigen. Stabilisiert man den Modenfilter auf die Resonanz der TEM00

(im Folgenden als”locken“ bezeichnet), so wird nur diese im Resonatorinneren

uberhoht und entsprechend transmittiert, wahrend hohere Moden vom Resonatorreflektiert werden. Alle durch den Laser oder die optische Diode bedingtenStorungen werden effizient bereinigt. Schließlich bietet der Filterresonator eine

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Abbildung 5.6.: Vor (rot) bzw. hinter (blau) dem Modenfilter detektiertes Amplituden-rauschspektrum mit eingeschaltetem Noise Eater (RBW=50 kHz). In einem bestimmtenFrequenzintervall kann eine Rauschunterdruckung um bis zu 11 dB erreicht werden.

Abbildung 5.7.: Amplitudenrauschen bei ausgeschaltetem Noise-Eater (Zuordnung wieoben).

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ideale Strahlreferenz, auf deren Basis Modenanpassungsberechnungen fur weitereKomponenten realisiert werden konnen. Ein defekter oder uberholter Laser kannfolglich ohne Auswirkungen auf die Justage der hinter dem Modenfilter platziertenKomponenten ersetzt werden.Ebenso interessant ist das Rauschspektrum des transmittierten Laserstrahls, wie esin den Abbildungen 5.6 und 5.7 dargestellt ist. Nur Amplitudenrauschen, dessenFrequenz innerhalb der Bandbreite des Modenfilters liegt, wird nennenswerttransmittiert, wahrend die außerhalb der Linienbreite liegenden Anteilevom gelockten Resonator reflektiert werden. Dieser hat somit die Funktioneines Tiefpass-Filters, dessen Eckfrequenz von der Resonatorlange und denReflektivitaten der einzelnen Spiegel abhangig ist. Letztere variieren dabei mitder Polarisationsrichtung der einfallenden Strahlung. Wird p-polarisiertes Lichteingekoppelt, so kann der Resonator bei einer Linienbreite von ca. 1,1MHzim Low-Finesse-Modus (F ≈ 500) betrieben werden. Eine Rotation derPolarisationsebene um π/2 erlaubt bei Linienbreiten von ca. 50 kHz dagegeneinen High-Finesse-Modus Betrieb (F ≈ 11000) fur besonders rauschempfindlicheAnwendungen.

5.1.4. Stabilisierungsverfahren

Sowohl thermische als auch akustische Storeinflusse wirken sich auf die Resona-torlange aus und verhindern so eine stabile Experimentdurchfuhrung. Um denModenfilter stets fur das vom Laser emittierte Licht resonant zu halten, ist eineelektronische Regelung erforderlich. Zu diesem Zweck benotigt man eine Photo-diode, welche beispielsweise die vom Resonator reflektierte Leistung detektiert.Diese wird minimal, wenn die Resonatorlange die Resonanzbedingung erfullt.Zur Regelung der Resonatorlange wird ein Stellsignal benotigt, welches angibt,in welche Richtung die Regelung die Resonatorlange verandern muss, um dieResonanzbedingung zu erfullen. Eine Betrachtung der reflektierten Leistung alleineist zu diesem Zweck nicht ausreichend, weil diese auf beiden Seiten der Resonanzein symmetrisches Verhalten zeigt. Das einfachste und fruher haufig eingesetzteRegelverfahren besteht in einer periodischen Modulation der Endspiegelposition.Die so erhaltene Information uber die Richtung, in der das reflektierte Signal weiterabnimmt, kann fur eine elektronische Regelung benutzt werden.Ein effizienteres Verfahren wurde im Jahre 1946 von R.V.Pound zur Stabilisierungvon Mikrowellenoszillatoren entwickelt [42], um spater durch die Bemuhungenvon R.Drever und J.Hall modernisiert und weiter ausgebaut zu werden [43]. Esbasiert auf einer periodischen Modulation der Laserfrequenz mittels eines elektro-

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Abbildung 5.8.: In Resonanznahe vom Fabry-Perot Resonator reflektierte Leistung alsFunktion der Laserfrequenz. Oberhalb der Resonanz erhoht sich die reflektierte Leistungmit der Frequenz (rechts). Unterhalb der Resonanz fuhrt eine Frequenzerhohung zurVerminderung der refl. Leistung (links).

optischen Modulators1 und damit auf der Betrachtung der zeitlichen Ableitungdes von PD1 detektierten Signals. Vergroßern wir die Laserfrequenz, so erhohtsich oberhalb einer Resonanz auch der Anteil des reflektierten Lichtes, wahrend erunterhalb von Resonanzen in gleichem Maße zuruckgeht (Abb. 5.8). Vergleichen wirdas zur Frequenzmodulation benutzte Signal mit der detektierten Intensitatsmodu-lation, so konnen wir direkt eine Richtungsinformation ablesen: Eine gleichphasigeOszillation beider Signale bedeutet, dass die Resonatorlange reduziert werdenmuss, wahrend ein gegenphasiges Verhalten fur eine unterschrittene Optimallangespricht.Um eine sinnvolle elektronische Regelung zu ermoglichen, mussen diese Infor-mationen in ein eindeutiges Stellsignal ubersetzt werden, welches beispielsweiseunterhalb der Resonanzlange positiv und oberhalb davon negativ ist und somitexakt auf Resonanz einen Nulldurchgang aufweist. Technisch kann ein solchesSignal durch den Einsatz eines Mischers gewonnen werden. Dieser multipliziertden Lokaloszillator mit dem von der Photodiode detektierten Signal und extrahiertaus diesem so den Anteil, der die gleiche Frequenz wie der Lokaloszillator besitzt.Die bei der Multiplikation ebenfalls entstehenden, hoherfrequenten Anteile konnen

1Genaugenommen verandert ein EOM die Phase des Laserlichtes. Fur kleine Modulationstiefenist diese Phasenmodulation jedoch aquivalent zu einer Frequenzmodulation. Eine mathema-tische Darstellung der elektro-optischen Modulation bietet Referenz [21].

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Abbildung 5.9.: Abhangigkeit der PDH - Fehlersignalform von der Modulationsfrequenz.Dargestellt ist jeweils die Amplitude des Fehlersignals als Funktion der Resonatorver-stimmung. Im links illustrierten Fall liegt die Modulationsfrequenz innerhalb, im rechtenweit außerhalb der Resonatorbandbreite.

durch den Einsatz eines Tiefpassfilters unterdruckt werden. Das so erhaltene undgefilterte Signal enthalt die gefoderten Richtungsinformationen und kann nun imletzten Schritt einer Regelungselektronik zugefuhrt werden, welche die Steuerungder an den Piezoaktuator angelegten Spannung ubernimmt. Abbildung 5.9 zeigtzwei typische Fehlersignalformen in Abhangigkeit von der angelegten Modulations-frequenz. Eine ausfuhrliche mathematische Diskussion des Pound -Drever - Hall -Verfahrens bieten Referenz [44] sowie die darin zitierten Quellen.

Die fur den Modenfilter zwingend benotigte Stabilisierung bei seiner Resonanzlan-ge ist fur dass Kerr - Fabry - Perot Interferometer dagegen kontraproduktiv. Wiein Kapitel 4.2 gezeigt wird, reagiert ein auf der steilen Flanke gelockter Kerr -Resonator am empfindlichsten auf interne Phasenmodulationen. Abbildung 5.10

Abbildung 5.10.: Links: Resonanz (rot) mit zugehorigem PDH - Fehlersignal (blau).Aufgrund der Signalform kann der Resonator lediglich innerhalb eines schmalen Bereichsgelockt werden. Rechts: Ein als Fehlersignal dienender Airy - Peak erlaubt wahlweiseeinen stabilen Lock auf beiden Resonanzflanken.

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illustriert den Verlauf einer Beispielresonanz sowie das zugehorige Fehlersignal,dessen Nulldurchgang mit der maximal transmittierten Leistung ubereinstimmt.Addieren wir elektronisch einen konstanten Wert auf das Fehlersignal, so verschiebtsich die Position des Nulldurchgangs gegenuber dem Resonanzpeak und das Systemkann abseits von Resonanzen gelockt werden.Aufgrund des typischen PDH -Fehlersignalverlaufs erlaubt das oben geschilderteVerfahren lediglich eine Stabilisierung in Resonanznahe. Bei weiterer Verstim-mung kehrt sich das Vorzeichen des Stellsignals um, die Regelung erfolgt so-mit in die falsche Richtung der Antiresonanz. Fur eine Stabilisierung speziellauf den Resonanzflanken eignet sich dagegen der sogenannte

”Offset - Lock“, der

als Fehlersignal die in Reflexion detektierte Leistung verwendet. Diese wird miteinem Offset - Schieber um einen konstanten Wert verandert, dessen Variation eineVerschiebung des Nulldurchgangs gegenuber dem Verstimmungsparameter erlaubt(Abb. 5.10 rechts). Da beide Signale weiterhin Phasengleichheit aufweisen, schwin-det das Stellsignal mit zunehmender Resonanznahe. Eine Inversion des Fehler-signals ermoglicht schließlich einen stabilen Lock auf der anderen Resonanzflanke.

5.2. Das Kerr - Fabry - Perot Interferometer

Der Strahlaufbereitung folgt nun der Aufbau des Kerr - Fabry - Perot Interfero-meters (Abb. 5.11). Um eine Langenstabilisierung des Interferometerendspiegelszu ermoglichen, werden dem Laserstrahl durch den EOM2 Seitenbander bei einerFrequenz von 10 MHz aufgepragt. Der Modulator EOM3 (Modulationsfrequenz158, 5 MHz) wird im aktuellen Experimentstadium nicht benotigt. Er wurde jedoch

Abbildung 5.11.: Schematische Darstellung des hinter dem Modenfilter aufgebautenKerr - Fabry - Perot Interferometers.

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bereits in den Strahlengang integriert, um eine Stabilisierung des Kerr -Michelson -Interferometers zu ermoglichen, das als langfristiges Projektziel in Kapitel 1vorgestellt wurde.Trifft ein Laserstrahl auf den gerampten Kerr -Resonator, so wird er im Zeitmittelquasi verlustfrei in den Laser zuruckgekoppelt und bewirkt so eine Destabilisierungdes Lasersystems. Trotz umfassender Justage konnte bei hohen Betriebsleistungenmit dem direkt hinter dem Laser positionierten Isolator keine optimale Unter-druckung dieses zurucklaufenden Lichts erreicht werden. Aus diesem Grund befin-det sich hinter dem Modenfilter ein weiterer Faraday-Isolator der Firma LINOS,welcher gemaß den im Datenblatt angegebenen Spezifikationen eine zusatzlicheAbschwachung um 46 dB gewahrleistet. Die Anpassung der Polarisationsebenean den im Isolator enthaltenen Polarisationsstrahlteiler erfolgt mit einem λ/2 -Plattchen. Dieses erlaubt zudem eine bequeme Steuerung der ins Interferometereingekoppelten Lichtleistung.Zur Charakterisierung der leistungsabhangigen Eigenschaften eines KFPR wurdeim ersten Schritt des Experiments nach einer Modenanpassung durch die LinsenL5-L9 die maximal verfugbare Leistung in den Resonator eingekoppelt. Nach Aus-wertung der gesammelten Ergebnisse bezuglich einer kritischen Betriebsleistungkonnte der im Strahlengang positionierte hochreflektive Umlenkspiegel zwecksDetektion des vom KFPR reflektierten Lichts nun durch einen 90/10-Strahlteilermit zugehoriger Photodiode PD2 substituiert werden.Bevor die gesammelten Daten schließlich im nachsten und letzten Kapitel disku-tiert und mit den theoretischen Erwartungen verglichen werden konnen, soll andieser Stelle dem KFPR, der das Herzstuck der vorliegenden Arbeit bildet, einwenig Platz eingeraumt werden.

5.2.1. Praparation des Kerrmediums

Samtliche in Kapitel 4.2 besprochenen Konzepte konnen ohne Veranderung aufdie in Abb. 5.12 dargestellte Resonatorkonstruktion, welche im Folgenden alsOfen bezeichnet wird, ubertragen werden. Dies bedeutet insbesondere, dass einnichtlinearer Kristall 2. Ordnung einem

”echten“ Kerrmedium vorgezogen wird.

Die wichtigste dieser Entscheidung zu Grunde liegende Uberlegung basiert aufden in Kapitel 3.2 prasentierten Großenordnungsabschatzungen der nichtlinearenSuszeptibilitaten. Doch auch aus experimenteller Sicht bringt der Einsatz einesnichtlinearen Kristalls zweiter Ordnung diverse Vorteile mit sich. So sind zahlrei-che Systeme, die einen solchen Kristall beherbergen, aus fruheren Experimentenbekannt und ihr Verhalten wohlverstanden. Ein Studium des kaskadierten Kerr -Effekts erfordert lediglich den Aufbau einer SHG, wie sie bereits in den Arbeiten[20, 22] beschrieben wird, wobei sich die im folgenden Abschnitt diskutierten Adap-tionen als vorteilhaft erwiesen haben. Die eigens fur solche Systeme entworfeneKontrollelektronik erlaubt nach Anpassung an die individuelle Konstruktion eine

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unkomplizierte und außerst stabile Phasen- und Langenanpassung des Resonators.Schließlich uberfuhrt eine leichte Temperaturanderung das System in eine einfacheSHG, so dass ein zuverlassiger Vergleich der Systemeigenschaften mit bzw. ohneEinfluss des Kerr - Effekts vorgenommen werden kann.Der in Abb. 5.12 dargestellte Ofen besteht aus einem mit 7mol% MgO dotier-ten LiNbO3 -Kristall, der in einem Resonator platziert wurde. Beide Stirnflachendes Kristalls besitzen eine Antireflexbeschichtung, welche eine Transmission vonuber 99.9% fur die Wellenlange des Nd:YAG-Lasers sowie fur seine frequenz-verdoppelte Komponente sicherstellt. Dies erlaubt zusammen mit den hohenReflektivitaten von Einkoppler und Endspiegel (R1 = 0, 983 bzw. R2 > 0, 99975)eine effiziente Leistungsuberhohung im Inneren des Resonators. Aufgrund derrelativ hohen Absorptionswerte von MgO:LiNbO3 bei der zweiten Harmonischen(4 %

cmfur λ = 532 nm) ist weiterhin eine moglichst geringe Reflektivitat der

Resonatorspiegel bei 532 nm erstrebenswert. Diese sind daher mit T 532 nm1 = 0,99

bzw. T 532 nm2 = 0,98 weitgehend transparent fur grunes Licht, eine idealerweise

anzustrebende Antireflexbeschichtung konnte aus Fertigungsgrunden leider nichtrealisiert werden.

Abbildung 5.12.: Querschnitt der Ofenkonstruktion (links) mit maßstabsgetreuer Detail-abbildung (rechts). Der im Text diskutierte Macorblock wurde in beiden Abbildungenweggelassen, um die Sicht auf den Kristall sowie die anderen Komponenten freizugeben.

Die Steuerung der Phasenanpassung erfolgt uber die Variation der Kristall-temperatur. Zu diesem Zweck befindet sich auf jeder Seite des Kristallsein 10× 10 mm2 großes Peltier-Element der Firma Eureca GmbH. Eine auf dieKristalldimensionen zugeschnittene Lage Indiumfolie (6, 3× 2, 0× 0, 1 mm3) sorgtfur eine homogene thermische Kontaktierung und stellt uber das spater disku-tierte Modulationsplattchen eine Warmebrucke zwischen Kristall und Peltier -Element her. Die berechnete optimale Phasenanpassungstemperatur betragt in

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Abhangigkeit von der tatsachlich bei der Kristallzucht realisierten MgO - Dotierungzwischen 58 C und 62 C. Zur Temperaturregelung enthalt eines der Modulations-plattchen einen NTC (Negative Temperature Coefficient) - Sensor (SEMI 833 ETvon Hygrosens Instruments), dessen Widerstandswert bei 55 C mit 24,65 kΩbzw. mit 17,13 kΩ bei 65 C angegeben wurde. Die Wiederstandsanderung mitder Temperatur dient als Fehlersignal fur einen von H.Vahlbruch entworfenenTemperaturcontroller [45]. Dieser vergleicht den Widerstand des NTC - Sensorsmit einem am Controller vorgegebenen Wert und stabilisiert mit Hilfe des auf dieseWeise erhaltenen Stellsignals das ganze System auf die geforderten Temperatur.Ein im anderen Modulationsplattchen angebrachter PT-10000-Sensor (SMD 0805,Heraeus), dessen Widerstand sich durch eine lineare positive Temperaturabhan-gigkeit auszeichnet, ermoglicht bei Bedarf ein Auslesen der absoluten Kristalltem-peratur.Um eine optimale Unterdruckung von Temperaturschwankungen sicherzustellen,wurde nach Abschluss der Resonatormontage eine Transferfunktion des aus Con-troller und Ofen bestehenden Gesamtsystems vermessen. Diese beschreibt dieAntwort des Systems auf von außen eingekoppelte periodische Storungen unter-schiedlicher Frequenzen. Ziel des darauffolgenden Optimierungsverfahrens war,eine moglichst große Verstarkung bei kleinen Frequenzen sowie einen zu 1/ν pro-portionalen Durchgang durch Unity-Gain zu erhalten. Zu diesem Zweck wurde derTemperaturcontroller mit zwei Differenzierern (untere Eckfrequenz bei 300mHz

Abbildung 5.13.: Transferfunktion des aus Ofen und Temperaturcontroller bestehendenGesamtsystems. Die blaue Kurve zeigt die gemessene TF, die rote Kurve illustriertdie Auswirkungen der Schaltungsmodifikation. Das zur theoretisch berechneten Kurvegehorende Phasenverhalten ist grun dargestellt.

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bzw. bei 600mHz, obere Eckfrequenz jeweils bei 4Hz) sowie mit einem Integrator(Eckfrequenz bei 25mHz) ausgestattet. Abbildung 5.13 zeigt die am System gemes-sene Transferfunktion zusammen mit den theoretisch berechneten Auswirkungender elektronischen Modifikationen. Mit der auf diese Weise optimierten Kontroll-einheit lassen sich niederfrequente Temperaturschwankungen mit Frequenzen biszu 800mHz wirksam unterdrucken, die Phasenanpassung zeigt das geforderte zeit-lich stabile Verhalten. Weitere Details lassen sich dem in Anhang B beigefugtenSchaltplan entnehmen. Eine Einfuhrung in die Konzepte der Regelungstechnikbieten die Werke [46, 47].Zwecks zusatzlicher thermischer Stabilisierung liegt der Kristall auf einem Tisch-chen aus Macorkeramik auf. Dieses Material bildet mit einem Warmeleit-koeffizienten von nur 1,46 W

m·K einen optimalen thermischen Isolator und verhindertsomit einen Kontakt zwischen dem beheizten Kristall und der aus Aluminiumgefertigten U-formigen Tragerkonstruktion (Zum Vergleich: der thermische Leit-koeffizient von Aluminium betragt ca. 209 W

m·K , der von Kupfer sogar ca. 400 Wm·K).

Zwei weitere Macorblocke mit Aussparungen fur die Strahlfuhrung sowie fur dieelektronischen Verbindungen verdecken zu beiden Seiten des Resonators den freienZugang zum Kristall und verhindern so eine Kontamination seiner Oberflachedurch Schmutz- oder Staubpartikel.

Das im Rahmen der vorliegenden Arbeit aufgebaute Experiment modelliert un-ter Laborbedingungen einen Gravitationswellendetektor, dessen Messgenauigkeitmit diversen Ansatzen weiter erhoht werden soll. Da die Auswirkungen echterGravitationswellen viel zu gering sind, um von einem so kleinen System detektiertwerden zu konnen, mussen zur Aufnahme von Empfindlichkeitscharakteristikenentsprechend starke Gravitationswellen kunstlich simuliert werden. Eine theo-retische Analyse demonstriert, dass sich Gravitationswellen beim Passieren desInterferometers durch eine periodische Langenmodulation der Interferometerarmebemerkbar machen [34]. Dieser Effekt lasst sich in variabler Starke durch eineelektro-optische Modulation des resonatorinternen Strahlungsfeldes simulieren.Dazu befinden sich zu beiden Seiten des Kristalls 9, 9 × 9, 1 × 2, 5 mm3 großekupferne Modulationsplattchen. Zwischen diesen kann durch von außen angelegteSpannung ein in erster Naherung homogenes elektrisches Feld aufgebaut werden.Zur elektrischen Isolierung gegen das aus Kupfer und Aluminium gefertigte außereOfengehause sind beide Modulationsplatten ebenso wie der Kristall zwischenzwei Macorschichten eingebettet. Eine seitlich angebrachte Schraube dient schließ-lich der mechanischen Positionsstabilisierung des nichtlinearen Kristalls, wobeidie zwischen dieser und dem Peltier-Element positionierte Kupferplatte fur einegleichmaßige Druckverteilung sorgt und auf diese Weise stressinduzierte Doppel-brechungseffekte verhindert.

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5.2.2. Justage und Charakterisierung des Kerr - Fabry - PerotResonators

Nach Einbettung und Fixierung des Kristalls im Ofen kann nun um diesen herumein Fabry-Perot Resonator konstruiert werden. Dabei definieren die Resonator-spiegel durch ihren Krummungsradius von 25 mm eine stabile Resonatoreigenmode.Eine analytische Berechnung der zugehorigen Strahltaille erfordert zusatzlich dieBerucksichtigung der konkaven Grenzflachen des nichtlinearen Kristalls, die sichwie eine Linse auf den transmittierten Strahl auswirken, sowie die Einbeziehungder optischen Resonatorlange. Letztere kann bei Bedarf um bis zu 10 mm variiertwerden. Zu diesem Zweck liegen beide Resonatorspiegel auf einem Abstandshalteraus Messing auf, welcher seinerseits in einen aus Aluminium gefertigten Halte-rahmen eingeschraubt und in seiner Position verstellbar ist. Ein Aluminiumringsorgt fur die mechanische Lagestabilisierung der Spiegel und erlaubt gleichzeitigeinen gewissen Grad an Vorspannung, wahrend ein auf seiner Innenseite befestigterGummiring eine Deformation der Spiegel verhindert und zusatzlich einen große-ren Piezoaktuatorhub ermoglicht. Nach abgeschlossener Justage kann die gesamteKontruktion starr mit dem zentralen U-formigen Trager verschraubt werden.Approximieren wir den Brechungsindex des nichtlinearen Kristalls mitnMgO:LiNbO3

= 2,23, so kann die optische Lange L des Resonators Wertezwischen 53,2mm und 63,2mm annehmen. Nicht alle davon fuhren jedoch auto-matisch zur Ausbildung einer stabilen Eigenmode. Verletzen die Resonatorpara-meter das Stabilitatskriterium

0 ≤(

1− L

rC1

) (1− L

rC2

)≤ 1 , (5.1)

wobei rC1 = rC2 = 25 mm den Krummungsradius der Resonatorspiegel bezeichnen,so lassen sich nicht langer endliche reelle Losungen fur das interne Strahlungsfeldangeben und das System wird instabil [40]. Die Tatsache, dass auch dieAR-beschichteten Stirnflachen des nichtlinearen Kristalls einen Linseneffektverursachen, verkompliziert die Betrachtung zusatzlich.Die Simulationssoftware FINESSE von A.Freise [48] erlaubt eine numerischeBerechnung der beschriebenen Resonatoranordnung unter Einbeziehung samtlicherbekannter Parameter. Das Ergebnis dieser Berechnung sagt fur L = 61,095 mmeine stabile Eigenmode mit einer 28,2 µm großen Strahltaille bei L/2 voraus.Geringere Resonatorlangen fuhren zu schmaleren Strahltaillen und folglichzu starker divergierenden Strahlen. Ubersteigt der Strahldurchmesser anden kristallabgewandten Seiten der Macorblocke jedoch 1mm , so lassensich beugungsbedingte Interferenzerscheinungen beobachten, welche zurHerabsetzung der Resonatorstabilitat fuhren. Breitere Strahltaillen bedeutenhingegen eine geringere Fokussierung und somit eine Reduktion des kaskadiertenKerr - Effekts [49].

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Die Modenanpassung des in den Resonator eingekoppelten Strahls erfolgt mitinsgesamt funf Linsen (L5-L9 in Abb. 5.11), deren Positionen und Brennweitenunter Vorgabe der Simulationsergebnisse von G.R.O.B. ermittelt wurden. Weileine perfekte Resonatorjustage sowohl einen zur langen Kristallachse parallelenStrahlengang als auch die explizite Parallelitat aller optischen Komponentenzueinander erfordert, hat sich ein dreistufiger Abstimmungsprozess als sinnvollerwiesen. Im ersten Schritt wird der Kristall samt Tragerkonstruktion derartpositioniert, dass sich die Strahltaille annahernd in seiner Mitte befindet. Fallt derLaserstrahl unter einem von Null verschiedenen Winkel auf die Kristalloberflacheauf, so lassen sich an diversen Stellen im Strahlengang mit einem IR-Sichtgeratdie (schwachen) Ruckreflexe der antireflexbeschichteten Stirnflachen beobachten.Bringt man diese durch Variation der Strahllage sowie der Tragerposition auf demoptischen Tisch zur Deckung mit dem einfallenden Hauptstrahl, so kann eine zumStrahlengang parallele Ausrichtung des Kristalls garantiert werden.Als nachstes erfolgt die Montage des hochreflektiv beschichteten Endspiegels,dessen Lage auf dem Kristalltrager konstruktionsbedingt sowohl in der x- alsauch in der y-Ebene um bis zu 2 mm variiert werden kann. Eine eigens furdiesen Zweck entworfene Justiervorrichtung erlaubt eine mikrometergenauePositionsanpassung. Befinden sich alle drei Ruckreflexe im Einklang miteinander,so lasst sich auch der Einkoppler mit dem selben Verfahren auf Position bringen.Eine zusatzliche Justierhilfe bietet die in Transmission aufgebaute PhotodiodePDIR . Nach Abschluss einer solchen Vorjustage lasst sich der Resonator durch

Abbildung 5.14.: Darstellung der Modenanpassung des Laserstrahls an den Kerr - Fabry -Perot Resonator.

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Anpassung der Strahllage mittels des Spiegelpaares MOfen sowie mit einerFeinabstimmung der Spiegelpositionen auf die TEM00-Mode justieren. Einegeringfugige Verschiebung der Linsen im Strahlengang erlaubt im letzten Schrittdie Adaption der berechneten Werte an die realen Verhaltnisse und optimiert soein letztes Mal die Modenanpassung.

Vom theoretischen Standpunkt aus betrachtet lasst sich der eingekoppelte Strahlmit ein wenig Aufwand perfekt auf die Eigenmode des Resonators abstimmen. ImExperiment gelingt dies jedoch nur annahernd, weil die Resonatorkonstruktionaufgrund ihrer mechanischen Komplexitat diverse nichtregulierbare Freiheitsgradebesitzt. So kann beispielsweise die intrinsische Position des Kristalls nachEinbettung zwischen den Macor- und Kupferplattchen spater nicht mehrverandert und eine eventuelle Schieflage somit nicht kompensiert werden. Zudemlassen sich auch die Resonatorspiegel nur marginal durch Druckvariationen in derz-Ebene verkippen. Geringe herstellungs- und montagebedingte Ungenauigkeitenakkumulieren sich somit und fuhren zur Verschlechterung der Modenanpassung.Durch iterative Justage aller verfugbaren Freiheitsgrade konnte schließlich eineModenanpassung von 94,5% erreicht werden, wobei zusatzlich zu der in Abb. 5.14erkennbaren LaGuerre-Mode ein vom Rauschen uberdeckter Verlustanteil von 3%angenommen wurde.

Die in Kapitel 3.5 prasentierten Rechnungen belegen, dass die Große deskaskadierten Kerr - Effekts entscheidend von der realisierten Phasenanpassungabhangig ist. So zeigen die Resonanzkurven im Fall maximaler Konversionein vollkommen symmetrisches Verhalten, wahrend die leistungsabhangigePhasendrehung in den Konversionsminima erster Ordnung zur maximalenDeformation fuhrt. Ein gezieltes Ansteuern dieser fur das Experimentoptimalen Arbeitspunkte erfordert allerdings die Kenntnis der Konversionsratein Abhangigkeit von der Temperatur. Zur Charakterisierung dieses Sachverhalteswurde das System mit dem Pound-Drever-Hall-Verfahren auf Resonanz stabilisiert,um in Transmission den in die zweite Harmonische konvertierten Leistungsanteilals Funktion der Phasenanpassungstemperatur zu vermessen. Der amTemperaturcontroller angebrachte Steuerungswiderstand erlaubt dabei ein auf 1 Ωgenaues Ablesen, welches gemaß den im Datenblatt des NTC-Sensors angegebenenSpezifikationen einer Temperaturauflosung von ca. 1,3mK entspricht. Weil eineAngabe der relativen Temperatur durch die zugehorigen Widerstandswertedeutlich genauer ist und somit zu besser reproduzierbaren Ergebnissenfuhrt, hat sich ein zusatzliches Auslesen der absoluten Temperaturwerteals uberflussig erwiesen. Abbildung 5.15 zeigt daher den Verlauf der aufihren Maximalwert normierten Konversionseffizienz in Abhangigkeit vomKontrollwiderstand. Die Darstellung einiger relevanten Temperaturwerte,welche mit einer ungefahr zweiprozentigen Genauigkeit aus den eingestelltenRegelungswiderstandswerten abgeschatzt wurden, auf der oberen x-Achse,ermoglich schließlich eine bessere Einordnung auf der absoluten Temperaturskala.

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Abbildung 5.15.: In Transmission vermessene und auf ihren Maximalwert normierteLeistung der 2. Harmonischen als Funktion der Phasenanpassungstemperatur.

Eine weitere wichtige Kenngroße des Kerr - Fabry - Perot Resonators bildetgemaß der folgenden vereinfachten Modellvorstellung die leistungsabhangigeKonverionseffizienz im Fall optimaler Phasenanpassung. So lasst sich der imersten Konversionsminimum auftretende Kerr - Effekt derart verstehen, dassein großer Teil des in den Kristall eingekoppelten Lichts nach Durchlaufen derhalben Kristalllange zur zweiten Harmonischen konvertiert wird, um auf derverbleibenden Strecke eine totale Ruckkonversion zu erfahren. Obwohl letztendlichkein frequenzverdoppeltes Licht erzeugt wird, fuhren die unterschiedlichenoptischen Weglangen fur die Fundamentale bzw. zweite Harmonische beider Transmission durch den Kristall zu einer effektiven Phasenverschiebung.Eine analoge Betrachtung erklart im Fall vollstandiger Konversion im erstenKristalldrittel das erste Nebenmaximum.Obwohl ein solch einfaches Modell nicht imstande ist, die auftretenden Effektequantitativ zu beschreiben, zeigt es deutlich, dass mit dem Anteil der imKristall konvertierten Strahlung auch der kaskadierte Kerr - Effekt steigt. Eineerste Abschatzung der Konversionseffizienz, in deren Zuge das Verhaltnis vondem bei optimaler Phasenanpassungstemperatur erzeugten grunen Licht zureingekoppelten Leistung vermessen wurde, erfolgte daher bereits in einemrelativ fruhen Justagestadium bei einer geschatzten Modenanpassung von 72%.Die in Abb. 5.16 dargestellten Ergebnisse zeigen eine gute Ubereinstimmung

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Abbildung 5.16.: Messung der leistungsabhangigen Effizienz der Frequenzverdopplung.Die relativ großen Messunsicherheiten erklaren sich durch das verwendete Leistungs-messgerat (FM-GS mit 1000:1 Abschwacher, Coherent) mit einer Messungenauigkeitvon 7 % .

mit den theoretischen Simulationswerten, die unter Berucksichtigung derResonatorparameter eine maximale Konversionseffizienz von ca. 75% Prozent beieiner Eingangsleistung von ca. 500mW erwarten lassen.Erneute Messungen nach Abschluß der Resonatorjustage zeigten eine deutlicheAbnahme der maximalen Konversionsrate auf nur 55%. Der Grund fur diesenRuckgang konnte bisher nicht zweifelsfrei identifiziert werden.Sowohl die Lage der Strahltaille im Resonator als auch ihre Große wirken sichstark auf die maximal erreichbare Konversionseffizienz aus. Eine Optimierung derKonversionseffizienz erfordert somit eine iterative Variation beider Parameter,an die sich jeweils eine Neujustage des Kerr -Resonators anschließt. Insgesamthandelt es sich dabei um einen eher langwierigen Anpassungsprozess. AusZeitgrunden wurde diesem zunachst eine Charakterisierung des Kerr - Fabry -Perot Resonators vorgezogen. Zukunftige Vergleiche der im folgenden Kapiteldiskutierten Messdaten mit den am kunftigen, gemaß den Schilderungen ausKapitel 7 optimierten System aufgenommenen Ergebnissen, werden schließlicheine quantitative Aussage uber den Einfluss der Konversionseffizienz auf dievorgestellte Interferometertopologie erlauben.

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6. Experimente mit demKerr-Fabry-Perot Resonator

Zur Charakterisierung der Auswirkungen eines nichtlinearen Kristalls aufdas Reflexions- und Transmissionsverhalten eines Fabry - Perot Resonatorswurde zunachst die leistungsabhangige Verformung der transmittiertenResonanzkurven in Hinblick auf ein optisch multistabiles Verhalten untersucht.Im Zuge dieser Messungen konnte das Einsetzen des Ringing - Effekts bei hohenSpiegelgeschwindigkeiten beobachtet werden. Der unmittelbare Einfluss des Kerr -Kristalls auf das Amplitudenrauschen des vom KFPR reflektierten Laserstrahlssowie auf eine resonatorinterne Phasenmodulation konnten schließlich in Reflexionvermessen und die so gewonnenen Ergebnisse den numerischen Simulationengegenubergestellt werden.

6.1. Polarisationsrotation der Grundwelle beidiskreten Phasenanpassungstemperaturen

Schon bei der Vermessung der Konversionseffizienz in Abhangigkeit vonder Phasenfehlanpassung (Abb. 5.15) konnten bei mehreren diskretenTemperaturwerten starke Einbruche in der konvertierten Leistung detektiertwerden. Um diese zu verstehen, wurde der im vorangegangenen Kapitel diskutierteexperimentelle Aufbau gemaß Abb. 6.1 erweitert. Der dichroitische StrahlteilerDBS1 trennt die aus dem Resonator ausgekoppelte zweite Harmonische von dertransmittierten Grundwelle. Letztere wird am PBS1 zusatzlich in Abhangigkeitvon ihrer Polarisation aufgespalten, wobei der s-polarisierte Anteil von PD3 undder p-polarisierte von PD4 detektiert werden. Koppeln wir nun s-polarisiertesLicht in den phasenangepassten KFPR ein, so wird, abhangig von der Leistungder Grundwelle, ein gewisser Teil der Pumpstrahlung zur zweiten Harmonischenkonvertiert. Das vom Resonator transmittierte, nicht konvertierte Pumplichterfahrt eine Reflexion am PBS1, um von PD3 detektiert zu werden, wahrend vonPD4 keine Lichtleistung detektiert werden kann. Mit einem solchen Aufbau kanngleichzeitig die korrekte Platzierung des nichtlinearen Kristalls im Strahlenganguberpruft werden: Schließt der in den Kristall eingestrahlte Lichtstrahl einenvon Null verschiedenen Winkel mit der optischen Achse des Kristalls ein, so

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6. Experimente mit dem Kerr-Fabry-Perot Resonator

Abbildung 6.1.: Darstellung des modifizierten Experimentaufbaus. Die hinzugefug-ten Komponenten (PBS1, PBS2 und PD4) dienen der Untersuchung der temperatur-abhangigen Polarisationsrotation. Der HR - Spiegel Mflip wird fur die in Kapitel 6.4vorgestellten Messungen benotigt.

erfahrt das transmittierte Licht aufgrund von Doppelbrechungseffekten einePolarisationsdrehung, die als

”Pockels - Effekt“ bekannt ist [39]. Eine solche

temperaturunabhangige Polarisationsdrehung konnte an dem beschriebenenExperiment jedoch nicht beobachtet werden.Verandern wir langsam die Phasenanpassungstemperatur, so konnen beieinigen diskreten Temperaturwerten Einbruche in den von PD3 detektiertenResonanzkurven beobachtet werden. Die Momentaufnahme eines solchenProzesses ist in Abb. 6.2 dargestellt. Dabei setzen die beobachteten Einbrucheje nach Rampengradient immer auf einer der Resonanzflanken ein, um mitzunehmender Temperatur die gesamte Resonanz zu passieren und schließlichauf der anderen Flanke zu verebben. Die

”fehlende“ Strahlungsleistung

kann gleichzeitig von der Photodiode PD4 detektiert werden. Das zu denbeschriebenen Prozessen gehorende Temperaturintervall betragt dabei ca.20 - 30mK. Somit bewirkt der im Resonator platzierte nichtlineare Kristall einetemperaturabhangige Polarisationsrotation der eingekoppelten Pumpwelle, diewiederum eine Herabsetzung der Konversionseffizienz zur Folge hat.Obwohl der beschriebene Effekt theoretisch interessant ist, verhindert ergleichzeitig einen stabilen Lock bei bestimmten Phasenanpassungstemperaturenund fuhrt so zu experimentellen Einschrankungen. Um die Ursache derPolarisationsdrehung besser zu verstehen und folglich auch kompensieren zukonnen, wurden daher die im Folgenden beschriebenen Messungen durchgefuhrt.Als erstes wurden die Rotationstemperaturen sowie die relative Starke derPolarisationsdrehung in Abhangigkeit von der in den Resonator eingekoppelten

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6.1. Polarisationsrotation der Grundwelle bei diskreten Phasenanpassungstemperaturen

Abbildung 6.2.: Auswirkung der Polarisationsdrehung (Pein =1100mW, RT=403 Ω).Dargestellt ist der s-polarisierte Anteil der transmittierten Laserleistung. Die an demAiry-Peak ”fehlende“ Strahlungsleistung kann simultan mit PD4 detektiert werden.

Abbildung 6.3.: Die Kurve zeigt die Konversionseffizienz als Funktion der Phasen-anpassungstemperatur (vgl. Abb. 5.15). Auf dieser wurden diejenigen Temperaturwertemarkiert, bei denen Polarisationsdrehungen beobachtet wurden. Mit steigender Ein-gangsleistung tritt der Effekt vermehrt auf, eine Struktur ist jedoch nicht erkennbar(rot: Pein =0,5W, grun: Pein =0,8W, orange: Pein =1,1W, schwarz: Pein =1,4W).

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Lichtleistung vermessen. Abbildung 6.3 illustriert die Ergebnisse dieserMessungen. Obwohl ein stark intensitatsabhangiges Verhalten nachgewiesenwerden konnte, spricht nichts fur die Existenz einer bestimmten Schwellintensitat.Die erste Polarisationsrotation konnte bei einer Eingangsleistung von 193mWbeobachtet werden (RT = 2085 Ω), mit steigender Leistung kamen daraufhinweitere Temperaturpunkte hinzu. Aus den zur Verfugung stehenden Datenist keine besondere Symmetrie oder Struktur erkennbar. Auffallig ist, dassin der Nahe des Konversionsmaximums auch bei hohen Eingangsleistungenkeinerlei Polarisationsdrehungen beobachtet werden konnten. Dies konnteein Hinweis darauf sein, dass die Energieoszillation zwischen der Grundwelleund der zweiten Harmonischen mit dem zu erklarenden Prozess korrelliertist (Abb. 3.3). Einer solchen Annahme widerspricht jedoch die Beobachtungvon Polarisationsdrehungen vergleichbarer Starke bei Raumtemperatur, welchegegen eine Bindung der diskutierten Effekte an das zur SHG -Phasenanpassunggehorende Temperaturintervall zu sprechen scheint.Um eine eventuelle Polarisationsentartung des KFPR bei diskreten Temperatur-werten auszuschließen, wurde im nachsten Schritt die Polarisationsebene des inden Resonator eingekoppelten Lichts um 45 gedreht. Anschließend wurde dieModenanpassung an den Resonator bewusst verschlechtert, um zusatzlich eineAussage uber eventuell existierende Polarisationsentartungen hoherer Moden zuerlauben. Eine simultane Beobachtung beider Polarisationen erbrachte jedochauch bei steigender Dejustage keinerlei Nachweis fur eine Polarisationsentartungdes Resonators bei den zur Polarisationsrotation gehorenden Temperaturwerten.Zusatzlich erganzten wir den experimentellen Aufbau um einen weiteren PBS,dessen Basisflache senkrecht zum optischen Tisch orientiert war (Abb. 6.1). DieMontage auf einem µm- genauen Rotationsring (PRM1 der Firma Thorlabs)erlaubte eine vollstandige Anpassung der optischen Achse an die Strahllage. Somitkonnte garantiert werden, dass lediglich s-polarisiertes Licht in den Resonatoreingekoppelt wurde. Der Einsatz des Strahlteilers zeigte jedoch keine messbarenAuswirkungen auf das Ausmaß der untersuchten Rotationseffekte, so dass diegleichzeitige Anwesenheit beider Polarisationen im Resonator ebenfalls als Ursachedes diskutierten Effektes ausgeschlossen werden konnte.Auch eine Variation der an den Piezoaktuator angelegten Rampenfrequenzzwischen 50Hz und 2500Hz wirkte sich in keiner Weise auf die Polarisations-rotation bzw. auf die zugehorigen Temperaturwerte aus. Selbst im gelocktenZustand konnte der Rotationseffekt bei langsamer Temperaturvariation durchLockverlust bei den entsprechenden Temperaturwerten nachgewiesen werden.Der absorptionsbedingte Temperatureintrag in den nichtlinearen Kristall, derbei geringen Rampenfrequenzen eine Deformation der Resonanzkurven bewirkt,kann somit als Ursache ausgeschlossen werden. Ebensowenig kommt eine starktemperaturabhangige Variation der nichtlinearen Brechungsindexkomponente n2

in Frage. Diese zeigt sogar eine geringere Anderung mit der Temperatur als der

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6.1. Polarisationsrotation der Grundwelle bei diskreten Phasenanpassungstemperaturen

Abbildung 6.4.: Vergleich der Wellenlangen des auf Rotationstemperatur erzeugten,p-polarisierten Lichts (rot) mit einer Referenzmessung des s-polarisierten Lichts jenseitsdes Rotationseffektes (blau). Die gute Ubereinstimmung beider Messungen spricht gegeneine Beteiligung der optisch-parametrischen Oszillation an den Polarisationsdrehungen.

lineare Brechungsindex, ein resonantes Verhalten bei diskreten Temperaturwertenist nicht bekannt (Ein solch resonantes Verhalten konnte eine starke Verformungdes ordentlichen Brechungsindexverlaufs (Abb. 3.4) bewirken. Als Folge konntebei den zugehorigen Temperaturwerten eine Phasenanpassung von der Formno(ω)=no(2ω) auftreten. Damit konnte eine Frequenzverdopplung der Pumpwellemit anschließender Ruckkonversion gleichzeitig eine Polarisationsrotation derresultierenden Welle bewirken).Schließlich ersetzten wir die Photodiode PD3 durch ein im infraroten Bereicharbeitendes Spektrometer (Sentro - Spec - 2048 von GetSpec), um eine Beteiligungoptisch-parametrischer Oszillation an der Polarisationsrotation auszuschließen(siehe z. B. Referenz [50]). Das durch eine optische Faser ins Spektrometereingekoppelte Licht wird an einem Gitter nach seinen Wellenlangen aufgespaltenund die so erhaltenen Teilstrahlen daraufhin von einem 14 - bit CCD -Zeilensensordetektiert. Fruhere Untersuchungen belegen, dass das Gerat eine auf 200 pm genaueWellenlangenmessung gewahrleistet. Eine Temperaturvariation erbrachte auchbei hohen Eingangsleistungen und langen Integrationszeiten keinen Nachweis furdie Erzeugung infraroter Strahlung mit leicht gegen die Pumpwelle verschobenenWellenlangen. Abbildung 6.4 zeigt eine Messung der bei Stabilisierung aufRotationstemperatur transmittierten Pumpwelle sowie eine Referenzmessung weitjenseits des untersuchten Effektes.

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Somit erbrachten samtliche am derzeitigen Aufbau durchfuhrbaren Messungenkein Resultat, welches einen Hinweis auf die Ursache der Polarisationsrotationbei diskreten Temperaturwerten geben konnte. Grobe Justagefehler konntenjedoch ebenso wie physikalische Unzulanglichkeiten des Experimentaufbausausgeschlossen werden. Ein Nachweis des diskutierten Effekts in denExperimenten anderer Arbeitsgruppen verringerte die Wahrscheinlichkeit einessingularen, herstellungsbedingten Kristalldefekts als Grund fur die beobachtetenPolarisationsrotationen. Weitere Messverfahren, die eine Neumontage des KFPRzur Untersuchung der Effektbindung an den speziellen Kristall sowie an seinejeweilige Lage im Resonator erfordern, werden in Kapitel 7 vorgestellt.

6.2. Untersuchung des optisch kritischen undmultistabilen Verhaltens

Zum Studium des kaskadierten Kerr - Effekts musste der Resonator in denKonversionsminima erster Ordnung stabilisiert werden. Dem Auffinden dieserMinima dienten die in Abb. 6.3 prasentierten Messdaten. Die parallele Detektionder transmittierten Grundwelle sowie des zur zweiten Harmonischen konvertiertenAnteils ermoglichten dabei eine zusatzliche Feinjustage. Befand sich das Systemin einem Konversionsminimum, so konnten mit PD3 die vom Resonatortransmittierten Airy - Peaks in Abhangigkeit von der eingekoppelten Leistungvermessen werden. Eine Charakterisierung des multistabilen Verhaltens erfordertedie Vermessung der transmittierten Leistung sowohl bei der Vergroßerung als auchbei der anschließenden Verkleinerung der Resonatorlange, welche im Folgendenmit den Begriffen

”Vorwartsscan“ bzw.

”Ruckwartsscan“ bezeichnet werden.

Um ein moglichst lineares Verhalten des Piezoaktuators uber das gesamteRampenintervall zu gewahrleisten, erfolgten die ersten Messungen bei einerrelativ kleinen Rampenfrequenz von 70Hz. Uberstieg die Eingangsleistung jedocheinen bestimmten Wert (ca. 800mW), so machten sich in zunehmendem Maßeunerwunschte thermische Effekte bemerkbar (Abb. 6.5). Diese verursachten eineDeformation der Airy - Peaks und somit eine Verfalschung der Messergebnisse.Daher wurde im nachsten Schritt die Rampenfrequenz auf 2,5 kHz erhoht.Die Vermessung der Airy - Peaks in Vorwarts- und Ruckwartsrichtung erfolgtedabei jeweils an der selben Rampenposition, um trotz Piezo-Nichtlinearitat einemoglichst große Vergleichbarkeit der Messdaten zu gewahrleisten. Die gewahlteFrequenz ist groß genug, um auch bei maximaler Eingangsleistung thermischeStoreffekte zu minimieren und gleichzeitig zu gering, um eine deutlich nachweisbareund wiederum unerwunschte Deformation des Resonanzprofils durch das Einsetzeneines Ringing - Effekts zu bewirken. Die Abbildungen 6.6 und 6.8 zeigen die unterden genannten experimentellen Bedingungen aufgenommenen Meßdaten. Diese

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6.2. Untersuchung des optisch kritischen und multistabilen Verhaltens

Abbildung 6.5.: Bei einer Eingangsleistung von 1600 mW und einer Rampenfrequenzvon 75 Hz im Konversionsminimum 1. Ordnung beobachtete Deformation des Airy -Peaks.

demonstrieren eine sehr gute qualitative Ubereinstimmung mit der in Abb. 6.7 bzw.Abb. 6.9 dargestellten numerischen Simulation. Speziell fur die in Vorwartsrichtungaufgenommenen Kurven konnte eine sehr gute Anpassung der Simulationswertean die experimentellen Daten erreicht werden. Auffallig ist jedoch, dass die an dieMessdaten angepassten Simulationskurven eine Diskrepanz der beim Vorwarts-und Ruckwartsscan angenommenen Randbedingungen aufweisen. So musstebei der Simulation des Ruckwartsscans die angenommene Scangeschwindigkeitdeutlich reduziert werden. Eine solche Annahme stimmt quantitativ mit dem starknichtlinearen und richtungsabhangigen Verhalten des Piezoaktuators uberein.Trotz modifizierter Randbedingungen konnte fur den Ruckwartsscan jedochkein zufriedenstellender Angleich der simulierten an die tatsachlich gemessenenKurven realisiert werden. Daher erlauben die numerischen Simulationsergebnissebis dato lediglich einen qualitativen Nachweis der kaskadierten Nichtlinearitat.Eine quantitative Messung der nichtlinearen Brechungsindexkomponente zweiterOrdnung erfordert hingegen eine von der Scangeschwindigkeit und somit vonder Piezonichtlinearitat unabhangige Herangehensweise. Die Einbindung dertatsachlichen Kerr-Konstante in die numerische Simulation wird schließlich einenquantitativen Vergleich der theoretisch simulierten mit den am Experimentgemessenen Daten ermoglichen.

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Abbildung 6.6.: Bei 2,5 kHz in Vorwartsrichtung vermessene Airy - Peaks in Abhangig-keit von der Eingangsleistung.

Abbildung 6.7.: Qualitative numerische Simulation der beim Vorwartsscan in Abhan-gigkeit von der Eingangsleistung transmittierten Resonanzprofile [37].

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Abbildung 6.8.: Bei 2,5 kHz in Ruckwartsrichtung vermessene Airy - Peaks in Abhangig-keit von der Eingangsleistung.

Abbildung 6.9.: Numerische Simulation des Ruckwartsscans [37].

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Ein alternativer und intuitiv leichter nachvollziehbarer Nachweis der kaskadiertenNichtlinearitat gelingt mit dem Vergleich der in beiden SHG - Minima transmittier-ten Resonanzprofile. Wahrend der kaskadierte Kerr - Effekt in dem zum positivemKerrphasenbeitrag (φ = φ0 + φKerr) gehorenden Konversionsminimum zu der inAbb. 6.10 dargestellten,

”linksseitigen“ Verkippung des Airy - Peaks fuhrt, zeigt

das im anderen Minimum transmittierte Resonanzprofil bei gleichem Rampen-gradienten ein spiegelsymmetrisches Verhalten. Dieses dient somit als Nachweis ei-ner

”echten“ optischen Nichtlinearitat, da die bei hohen Eingangsleistungen auftre-

tenden, thermisch bedingten Deformationen ein von der Ordnung des Konversions-minimums unabhangiges, symmetrisches Verhalten demonstrieren.

Abbildung 6.10.: Transmissionspeaks des Resonators bei gleicher Richtung derSpannungsrampe, jedoch in unterschiedlichen Konversionsminima. Die gegensatzlicheVerformung ist ein Nachweis fur die optische Natur des beobachteten Effektes. DieEingangsleistung betragt 1800 mW.

Abbildung 6.11 prasentiert eine direkte Vermessung der optischen Multistabilitatdurch Vergleich der in beiden Scanrichtungen aufgenommenen Resonanzprofile.Offenbar ist der beim Vorwartsscan detektierte Airy - Peak sowohl hoher als auchbreiter als sein beim Ruckwartsscan aufgenommenes Pendant. Dieses Verhaltenerfullt das notwendige Kriterium einer optischen Multistabilitat. Zu beachten istallerdings, dass auch der Ringing - Effekt zu einer Deformation der Airy - Peaksfuhrt. Somit konnen auch Systeme, welche unterhalb der kritischen Leistungbetrieben werden, ein Hystereseverhalten an den Tag legen. Ein hinreichenderNachweis des optisch multistabilen Verhaltens erfordert somit eine detailliertere

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Abbildung 6.11.: Die rote Kurve zeigt den beim Vorwartsscan aufgenommenen Reso-nanzpeak (Pein=1800 mW, Rampenfrequenz 2,5 kHz). Der beim Ruckwartsscan aufge-nommene Peak (blau) wurde zwecks besseren Vergleichs an der Zeitachse gespiegelt. DasHystereseverhalten kann sowohl durch ein multistabiles Systemverhalten als auch durchRinging-Effekte begrundet sein.

Untersuchung und die dadurch ermoglichte saubere Trennung beider diskutiertenEffekte.Die in Abb. 6.11 dargestellten Messkurven zeigen Abweichungen vom theoretischzu erwartetenden Verhalten. So sollten die flachen Resonanzflanken exaktdeckungsgleich sein und keine Schnittpunkte aufweisen. Der Grund furdie beobachteten Uberschneidungen liegt in der zur Detektion eingesetztenPhotodiode: Sowohl der in Resonanznahe einsetzende Leistungsanstieg alsauch der anschließende Leistungsabfall sind sehr schnelle Prozesse, die eineDauer von einigen Nanosekunden haben. Zwar erlaubt die Photodiode eineschnelle Messung des Leistungsanstiegs. Ein durch elektronische Kapazitatenbegrundetes Tiefpassverhalten der Detektorschaltung verhindert jedoch eineebenso schnelle Vermessung der anderen Resonanzflanke. Eine Demonstrationdieses limitierenden Verhaltens bieten die in Abbildung 6.12 dargestellten, beiRaumtemperatur vermessenen Resonanzen. Beide Kurven zeigen im Vergleich zuden theoretisch erwarteten Werten ein deutlich asymmetrisches Verhalten. Weildiese Asymmetrien unabhangig von der Scanrichtung jeweils nach Uberschreitender Resonanz beobachtet werden, fuhrt eine Kerr-induzierte Verkippung derAiry - Peaks schließlich zu der in Abb. 6.11 erkennbaren Uberschneidung derbeiden Messkurven. Eine weitere Fehlerquelle bietet das stark nichtlineareVerhalten des Piezoaktuators. Dessen Ausdehnungsrate weist zusatzlich zu einem

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Abbildung 6.12.: Bei Raumtemperatur in beiden Scanrichtungen vermessene Resonanz-kurven. Unabhangig von der Scanrichtung ist die ansteigende Kurvenflanke deutlichsteiler als die abfallende Flanke nach Uberschreiten der Resonanz. Der Grund fur dieseAsymmetrie liegt in dem Tiefpassverhalten der Detektorschaltung.

linearen Anteil diverse, willkurlich verteilte Fluktuationen auf. Weil letztere voneiner Vielzahl an Parametern abhangig sind, konnten sie nicht zufriedenstellenddurch eine Kalibration erfasst und bei der Auswertung der Messergebnisserechnerisch kompensiert werden.Eine Untersuchung des Hystereseverhaltens in Abhangigkeit von der einge-koppelten Leistung fuhrte zu den in Abb. 6.13 dargestellten Ergebnissen. Sonimmt die beobachtete Hohendifferenz der beim Vorwarts- bzw. Ruckwartsscanvermessenen Airy - Peaks zwar mit der Eingangsleistung ab. Ein Verschwinden derHysterese (welches dem Unterschreiten des kritischen Leistungswert im Fall eineseventuell multistabilen Verhaltens entspricht) konnte jedoch auch bei geringenEingangsleistungen nicht beobachtet werden. Erneute, ebenfalls in Abb. 6.13dargestellte Messungen bei einer Scanfrequenz von 750Hz demonstrierten,dass eine Variation der Spiegelgeschwindigkeit direkten Einfluss auf dasMaß der beobachteten Hohendifferenzen hat. Somit scheint das beobachteteHystereseverhalten zumindest teilweise durch das Auftreten von Ringing -Effekten begrundet zu sein. Zukunftige Messungen erfordern somit eine detaillierteCharakterisierung des Zusammenhangs zwischen der kaskadierten Nichtlinearitatund dem mit dieser verknupften Ringing - Effekt. Eine Kenntnis beider Prozessewird schließlich einen zweifelsfreien Nachweis eines kritischen bzw. eventuellmultistabilen Systemverhaltens bei hohen Eingangsleistungen ermoglichen.

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Abbildung 6.13.: Hystereseverhalten in Abhangigkeit von der Eingangsleistung (Scan-frequenz 2,5 kHz). Dargestellt ist jeweils das beim Vorwarts- bzw. Ruckwartsscan (rotbzw. blau) transmittierte Resonanzprofil. Die Hohendifferenz beider Resonanzpeaks ist inForm ihres Quotienten im rechten unteren Bild dargestellt (orange). Eine Herabsetzungder Rampenfrequenz auf 750 Hz bewirkte einen deutlichen Ruckgang des Hysterese-verhaltens (grun).

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6.3. Kerr-induzierter Ringing-Effekt

Zur Untersuchung des Einflusses der Endspiegelgeschwindigkeit auf das Verhaltendes Kerr - Fabry - Perot Resonators wurden die im vorangegangenen Abschnittprasentierten Messungen in Abhangigkeit von der Rampenfrequenz, jedoch beiunveranderter Rampenhohe wiederholt. Die in Abb. 6.14 dargestellten, bei einerFrequenz von 2,5 kHz gesammelten Ergebnisse zeigen in Ubereinstimmung mit demtheoretischen Modell einen bei hohen Eingangsleistungen einsetzenden Ringing -Effekt. Sein geringes Ausmaß erlaubt jedoch noch keine zuverlassige Ruckrechnungauf die Variation der Flankensteilheit (vgl. Kapitel 4.3) und damit auf den nicht-linearen Koeffizienten des MgO:LiNbO3 -Kristalls. Die in der Abbildung ebenfallsdargestellte, den Messdaten angepasste numerische Simulationskurve demonstriert,dass die experimentell realisierte Parameterwahl die Messung eines deutlich star-keren, fur weitergehende Ruckrechnungen verwertbaren Ringing - Effekts erwartenlasst. Der Grund dafur, dass dieser nicht in seiner vollen erwarteten Starke ver-messen werden konnte, liegt in dem bereits im vorangegangenen Kapitel disku-tierten Tiefpassverhalten der Detektorschaltung. Die in Kapitel 4 prasentiertennumerischen Berechnungen zeigen, dass der Ringing - Effekt nach Uberschreitender Resonanz einsetzt und sich in Form einer nicht - periodischen Schwebung auf

Abbildung 6.14.: Rot: Vom KFPR transmittierter Airy-Peak mit schwachem Rin-ging - Effekt auf der rechten Resonanzflanke (Pein =1800mW, Scanfrequenz 2,5 kHz).Blau: Den Messdaten angepasste numerische Simulation [37]. Diese lasst einen deutlichstarkeren Ringing - Effekt bei den gewahlten Randbedingungen erwarten, der aufgrunddes Tiefpassverhaltens jedoch nicht aufgelost werden kann.

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6.4. Unterdruckung des Laserrauschens

der Resonanzflanke bemerkbar macht. Aufgrund zu hoher elektronischer Kapa-zitaten verschmieren die noch immer im Detektor gespeicherten, auf Resonanzerzeugten Ladungstrager jedoch eine Messung der abfallenden Resonanzflanke unddes dieser uberlagerten schnellen Schwebungssignals und verhindern somit seineadaquate Vermessung. Auch eine weitere Verstarkung des Ringing-Effekts durchErhohung der Endspiegelgeschwindigkeit bzw. der Eingangsleistung konnte mitdem diskutierten experimentellen Aufbau nicht realisiert werden, weil erstere durchdie Tragheit des Piezoaktuators und letztere durch die vom Laser vorgegebeneMaximalleistung beschrankt werden. Kapitel 7 prasentiert neben dem Einsatzeiner fur Zeitdomanenmessungen besser geeigneten Photodiode zusatzliche experi-mentelle Modifikationen fur ein weitergehendes Studium des Ringing - Effekts undseines Einflusses auf das Kerr - Fabry - Perot Interferometer.


Passiert ein bereits quantenrauschlimitierter Laserstrahl ein Kerr -Medium, sobewirkt dieses eine intensitatsabhangige Phasenrotation und damit einen inder X θ -Quadratur gequetschten Ausgangszustand (vgl. Abb. 3.11). Neben derErzeugung gequetschter Zustande lasst sich mithilfe des Kerr - Effekts jedochauch das uber dem Quantenrauschlimit liegende Amplitudenrauschen einesin den KFPR eingekoppelten Laserstrahls deutlich reduzieren. Ein Nachweisdieser sogenannten

”klassischen Rauschunterdruckung“ erfordert bis zu einer

bestimmten Frequenz keine balanced - Homodyndetektion, weil eine Messung amAusgangszustand (so z. B. mit der in Reflexion positionierten Photodiode PD2)automatisch in einer gequetschten Quadratur erfolgt.Zur Charakterisierung der klassischen Rauschunterdruckung wurde der KFPR beiden zur halben Resonanzhohe gehorenden Verstimmungsparametern stabilisiert.Daraufhin wurde das Rauschspektrum des vom Kerr -Resonator reflektiertenLichts bei unterschiedlichen Eingangsleistungen vermessen. Weil ein Lock aufbeiden Resonanzflanken durch Inversion des Fehlersignals aus elektronischenGrunden nicht realisiert werden konnte, wurde statt dessen das asymmetrischeVerhalten des optischen Kerr - Effekts in Abhangigkeit vom betrachtetenKonversionsminimum ausgenutzt. So konnte der KFPR bei RT = 350 Ω auf dersteilen bzw. bei RT = 2350 Ω auf der zugehorigen flachen Resonanzflanke gelocktund die gemessenen Amplitudenrauschspektren des reflektierten Laserstrahlsmiteinander verglichen werden. Eine quantitative Aussage uber die im Experimenteventuell realisierte Rauschunterdruckung erforderte des weiteren die Aufnahmeeines nicht vom Resonator beeinflussten Referenzspektrums. Ein zu diesemZweck im Strahlengang positionierter

”Flipspiegel“ erlaubte eine Uberbruckung

des KFPR und somit die direkte Vergleichsmessung an dem in den Resonatoreingekoppelten Laserstrahl. Um einen direkten Vergleich aller drei Messungen zu

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Abbildung 6.15.: Amplitudenrauschspektrum des reflektierten Laserstrahls bei einge-schaltetem Noise Eater. Die Eingangsleistung betragt 300 mW. Eine Stabilisierungauf der steilen Resonanzflanke bewirkt eine geringfugige Abschwachung des Rauschens(rot). Die blaue Kurve zeigt eine Referenzmessung des Laserlichtrauschens ohne Einflussdes Kerr -Resonators. Eine Stabilisierung auf der flachen Resonanzflanke bewirkt eineschwache Rauschverstarkung (RBW=10 kHz).

Abbildung 6.16.: Zuordnung wie oben, die Messung erfolgte mit ausgeschaltetem NoiseEater.

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Abbildung 6.17.: Amplitudenrauschspektrum des reflektierten Laserstrahls bei einge-schaltetem Noise Eater, Pein =600mW.

Abbildung 6.18.: Amplitudenrauschspektrum des reflektierten Laserstrahls bei ausge-schaltetem Noise Eater, Pein =600mW.

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Abbildung 6.19.: Amplitudenrauschspektrum des reflektierten Laserstrahls bei einge-schaltetem Noise Eater, Pein =1000mW. Die maximale Rauschunterdruckung betragtca. 5 dB .

Abbildung 6.20.: Amplitudenrauschspektrum des reflektierten Laserstrahls bei ausge-schaltetem Noise Eater, Pein =1000mW. Die maximale Rauschunterdruckung betragtca. 5 dB .

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6.5. Verstarkung resonatorinterner Phasenmodulationen

ermoglichen, wurde im Zuge der Referenzmessung die Laserleistung an den zuvorauf halber Resonanzhohe reflektierten Wert angepasst.Die Abbildungen 6.15 - 6.20 zeigen drei bei unterschiedlichen Eingangsleistungenaufgenommenen Messkurven. So bewirkt der bei kleinen Eingangsleistungenentsprechend schwache Kerr - Effekt im Fall Pein =300mW eine maximaleklassische Rauschunterdruckung von 1,5 dB . Diese steigt mit zunehmenderLichtleistung an. Bei einer Eingangsleistung von 1000mW konnte schließlichfur die innerhalb der Resonatorlinienbreite liegenden Frequenzen eineReduktion des Amplitudenrauschens um bis zu 5 dB nachgewiesen werden.Die leistungsunabhangige Uberschneidung der zur steilen Flanke gehorendenKurve mit der Referenzkurve bei einer Frequenz von ca. 2MHz begrundetsich durch die Auswirkung eines verstimmten Resonators auf das an diesemreflektierte Rauschen (Frequenzabhangige Rotation der Rauschquadratur inBezug auf den Trager). Ein Lock auf der flachen Resonanzflanke bewirkt hingegeneine geringfugige, weitgehend frequenzunabhangige Verstarkung des gemessenenAmplitudenrauschens. Basierend auf den vorgestellten Messergebnissen kannnun in Zukunft ein adaquates theoretisches Modell entwickelt werden, welcheseine Erklarung der beim Lock auf der flachen Resonanzflanke verstarktenRauschleistung sowie quantitative Vorhersagen der Rauschunterdruckung zuleisten vermag.

6.5. Verstarkung resonatorinternerPhasenmodulationen

Neben dem Nachweis eines optisch multistabilen Verhaltens soll das aufgebauteExperiment den Beweis dafur erbringen, dass der Einsatz von Kerr -Medien inInterferometern zu einer deutlichen Signalverstarkung bei bestimmten Frequenzenbeitragen kann. Zu diesem Zweck wurde der im KFPR propagierende Lichtstrahleiner Phasenmodulation unterzogen, welche sich als Amplitudenmodulationder von PD2 detektierten Leistung bemerkbar machte. Zur Modulation wurdeder um den Kerr - Kristall konstruierte EOM verwendet. Eine kontinuierlicheMessung uber große Frequenzintervalle hat sich als nicht sinnvoll erwiesen, weildie Modulationstiefe ein stark frequenzabhangiges Verhalten zeigte, das nichtdurch eine Kalibration kompensiert werden konnte. Daher wurden mehrerePunktmessungen bei unterschiedlichen Modulationsfrequenzen durchgefuhrt. Dieeingekoppelte Leistung betrug stets 900mW. Wie schon bei den in Kapitel 6.4diskutierten Messreihen wurde der Resonator mit einem Offset - Lock jeweils beiden zur halben Resonanzhohe gehorenden Verstimmungsparametern stabilisiertund daraufhin die zeitliche Variation der reflektierten Leistung vermessen.Abbildung 6.21 zeigt die Ergebnisse einer bei 500 kHz durchgefuhrten Messung.

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Dabei sind die Signalgroßen nicht nur von der Flankensteilheit und der gewahltenModulationsfrequenz, sondern auch von der Modulationstiefe sowie von deninternen Verlusten im Resonator abhangig. Mit den zur Verfugung stehendenDaten konnte keine adaquate numerische Simulation des Signals, welches inAbwesenheit des Kerr - Effektes zu erwarten ware, durchgefuhrt werden, so dasseine quantitative Aussage uber die erreichte Signalverstarkung bis dato nichtmoglich ist. Ein Vergleich der durchschnittlichen Amplitudenwerte prasentiertjedoch einen eindrucksvollen qualitativen Nachweis einer Kerr-induziertenoptischen Signalverstarkung.Weil die oben diskutierte Messung am stabilisierten Resonator vorgenommenwird, ist sie vollstandig unabhangig von der angelegten Rampenfrequenz undsomit auch vom nichtlinearen Verhalten des Piezoaktuators. Folglich bietet diesesMessverfahren eine zuverlassige Methode zur Bestimmung der nichtlinearenBrechungsindexkomponente des MgO:LiNbO3 -Kristalls. Erste Abschatzungenaus den zur Verfugung stehenden Daten lassen einen Wert von der Großenordnungvon 10−14 m2/W fur die nichtlineare Brechungsindexkomponente zweiter Ordnungerwarten. Eine kunftige Charakterisierung der internen Verluste sowie derSignalabhangigkeit von der gewahlten Modulationstiefe werden schließlich

Abbildung 6.21.: Zeitliche Variation der vom KFPR reflektierten Leistung. Eine Stabi-lisierung auf der steilen Resonanzflanke bewirkte das in rot dargestellte Signal, die blaueKurve wurde auf der flachen Resonanzflanke aufgenommen. Beide Messungen erfolgtenbei Stabilisierung auf halber Resonanzhohe, die Eingangsleistung betrug 900 mW, dieModulationsfrequenz 500 kHz . Der Quotient der Signalamplituden betragt ca. 2,1 .

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6.5. Verstarkung resonatorinterner Phasenmodulationen

Abbildung 6.22.: Dargestellt ist das Verhaltnis der auf der steilen bzw. auf der fla-chen Resonanzflanke detektierten Signale in Abhangigkeit von der Modulationsfrequenz.Dieses ist fur Modulationsfrequenzen < 5 MHz großer als Eins. Signale, deren Frequenzkleiner als die halbe Linienbreite des Resonators ist, erfahren eine optische Verstarkung.

Abbildung 6.23.: Numerisch berechneter Verlauf des frequenzabhangigen Signalverhalt-nisses. Fur Frequenzen / 6 MHz wird in Ubereinstimmung mit den experimentellenErgebnissen eine optische Signalverstarkung erwartet [37].

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die Extraktion zuverlassigerer Werte der nichtlinearen Koeffizienten aus dennumerischen Simulationsalgorithmen erlauben.Abbildung 6.22 zeigt die Abhangigkeit der Signalverstarkung von der Modu-lationsfrequenz. Zur Kompensation des nichtlinearen Modulationstiefenverlaufswurde dabei fur jede vermessene Frequenz das Verhaltnis der zur steilenbzw. flachen Resonanzseite gehorenden Messwerte eingezeichnet. Offenbar konntefur Frequenzen unterhalb von 5MHz eine optische Signalverstarkung erreichtwerden. Modulationssignale großerer Frequenzen erfuhren hingegen eine optischeAbschwachung. Die gesammelten Daten zeigen eine hervorragende qualitativeUbereinstimmung mit den unter Berucksichtigung der Resonatorparameterdurchgefuhrten numerischen Simulationen (Abb. 6.23).Eine intuitive Erklarung der frequenzabhangigen Signalverstarkung bzw.Abschwachung bietet die in Abb. 6.24 dargestellte Verformung der Resonanzunter dem Einfluß des kaskadierten Kerr - Effekts. Stabilisiert man den KFPRauf der steilen Resonanzflanke, so bewirkt eine Modulation, deren Frequenz ∆ωl

nicht uberschreitet, einen mit der Modulationsfrequenz zunehmenden Anstiegder detektierten Amplitudenmodulation. Diese erreicht bei ωmod = ∆ωl ihrMaximum und verringert sich im Fall noch großerer Modulationsfrequenzen.Weil die andere Resonanzflanke eine deutlich geringere Steigung aufweist,ist das Verhaltnis der beiden Signale fur Frequenzen < ∆ωl stets großer alseins. Innerhalb dieses Frequenzbereichs kann somit die maximale optische

Abbildung 6.24.: Die dargestellte Resonanzkurve illustriert, dass furModulationsfrequenzen < ∆Ωl eine optische Signalverstarkung erreicht werden kann(Detaillierte Erklarung siehe Text).

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6.6. Fazit

Signalverstarkung erreicht werden. Ubersteigt die Modulationsfrequenz den Wert∆ωl , so nimmt das auf der steilen Resonanzflanke detektierte Signal wiederab, wahrend das auf der flachen Flanke detektierte Signal weiter zunimmt: DieDifferenz der beiden Signale verkleinert sich nun mit steigender Frequenz. FurModulationsfrequenzen, die großer als die halbe Linienbreite des Resonators sind,kehren sich die Signalverhaltnisse sogar um. In diesem Fall bewirkt ein Lock aufder steilen Resonanzflanke eine Signalabschwachung. Fur Frequenzen, die deutlichgroßer als die Resonatorlinienbreite sind, strebt das Verhaltnis der auf beidenFlanken detektierten Modulationssignale schließlich gegen eins. Der Einsatz desKerr -Mediums bewirkt somit eine nachweisliche Empfindlichkeitserhohung desInterferometers innerhalb eines bestimmten, durch die Linienbreite des Resonatorsvorgegebenen Frequenzintervalls.

6.6. Fazit

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde ein Kerr - Fabry - Perot Interferometeraufgebaut, welches den grundlegenden Baustein eines Kerr - Effekt - verstarktenMichelson - Interferometers bildet. Messungen an dem System belegten einkritisches bzw. vermutlich multistabiles Verhalten bei hohen Eingangsleistungen.Auch konnte eine Oszillation der Leistungsuberhohung beobachtet werden, dieeine wichtige Hilfsgroße bei der Charakterisierung der optischen Eigenschaftendarstellt.Eine Empfindlichkeitssteigerung von Interferometern ist gleichbedeutend mit derVerbesserung ihres Signal-zu-Rausch-Verhaltnisses. Mit der Unterdruckung desLaserrauschens und der Verstarkung von Phasenmodulationssignalen konnten andem Experiment zwei essentielle Bestandteile einer solchen Sensitivitatssteigerungdemonstriert werden. Der Ausbau zu einem Kerr - Michelson - Interferometerwird schließlich eine weitere Erhohung der Messempfindlichkeit aufgrundselbstgequetschten Quantenrauschens sowie die Untersuchung in Hinblick aufdie Erzeugung nicht-Gauß’scher Zustande ermoglichen, deren experimentellerNachweis bis heute aussteht.

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7. Ausblick

Dieses Kapitel prasentiert eine abschließende Ubersicht uber die in der nahenZukunft geplanten Modifikationen des experimentellen Aufbaus, die ein umfassen-deres Verstandnis der diesem zu Grunde liegenden physikalischen Zusammenhangeermoglichen sollen. Daruber hinaus sind die Meilensteine, die auf dem Weg zumKerr -Michelson - Interferometer passiert werden mussen, skizziert.

Eine der Fragestellungen, die ausfuhrlicher untersucht werden sollen, beschaftigtsich mit der Ursache der temperaturabhangigen Polarisationsrotation. Der nachsteSchritt bei der Charakterisierung dieses Effektes besteht in der Untersuchungeventuell vorhandener, konstruktionsbedingter Symmetriebrechungen. So konntenbeispielsweise Asymmetrien in der mechanischen Konstruktion mit fur das Auf-treten der Polarisationsdrehungen verantwortlich sein. Auch eine asymmetrischethermische Kontaktierung der Peltier - Elemente konnte bisher nicht als Ursacheausgeschlossen werden. Solche Symmetrieuntersuchungen erfordern eine Neuorien-tierung des Kristalls im Kerr -Resonator ohne eine Veranderung an den restlichenKomponenten. Eine Wiederholung der in Kapitel 6.1 beschriebenen Messungenan dem modifizierten System wird zeigen, ob die Kristalllage im Resonator einenEinfluss auf das Ausmaß der Polarisationsdrehungen oder auf die zu diesen geho-renden diskreten Temperaturwerte hat. Auch eine Untersuchung anders dotierterund/oder geschliffener Kristalle verspricht eine tiefere Einsicht in die diesem Effektzu Grunde liegenden Ursachen.Ein wichtiges Hilfsmittel zur Charakterisierung des Kerr -Resonators bietet derbei hohen Eingangsleistungen einsetzende Ringing - Effekt. Dieser erlaubt eineRuckrechnung auf die Steigung der Resonanzflanke und damit auf die Große dernichtlinearen Brechungsindexkomponente zweiter Ordnung. Auch wenn bei opti-maler Parameterwahl ein schwacher Ringing - Effekt beobachtet werden konnte,erlaubte sein geringes Ausmaß bisher keine zuverlassige quantitative Bestimmungdes nichtlinearen Koeffizienten. Als Hauptgrund hierfur wurde das Tiefpassverhal-ten der eingesetzten Detektorschaltung identifiziert. Zuverlassige Messungen in derZeitdomane erfordern jedoch Detektoren, welche sowohl auf einen Leistungsanstiegals auch auf den zugehorigen Abfall in gleichem Maße reagieren und somit zur Auf-losung beider Resonanzflanken geeignet sind. Der Verzicht auf einen mechanischvorgespannten Piezoaktuator zugunsten von spannungsfrei gelagerten, mit Kleb-stoff verbundenen Komponenten soll zudem noch hohere Spiegelgeschwindigkeitensowie eine Verbesserung des nichtlinearen Hubprofils ermoglichen.

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7. Ausblick

Ebenso wie der kaskadierte Kerr - Effekt bewirkt auch der Ringing - Effekt eineleistungsabhangige Deformation der detektierten Resonanzprofile. Erst nach einersauberen Trennung der beiden Effekte kann ein leistungsabhangiges Hysterese-verhalten daher zur Bestimmung einer kritischen Eingangsleistung sowie als hin-reichender Beweis der optischen Multistabilitat herangezogen werden. Um hierfurein Studium der Systemeigenschaften bei bis zu 3W betragenden Eingangsleis-tungen zu ermoglichen, soll kunftig ein optischer Verstarker in den Strahlengangintegriert werden. Eine weitere Vergroßerung der Konversionseffizienz kann sichebenfalls positiv auf die Große der kaskadierten Nichtlinearitat auswirken. DieKonversionseffizienz ist in großem Maße von der Strahltaillengroße sowie derenPosition im Resonator abhangig. Die Einstellung der maximalen Konversions-effizienz erfordert daher eine iterative Variation der Resonatorparameter. ZurMinimierung des Einflusses von Luftperturbationen sowie akustischer Storungenwurde der Kerr -Resonator derart konstruiert, dass ein spaterer Messbetrieb unterVakuumbedingungen moglich ist.

Das im Laufe der vorliegenden Arbeit aufgebaute Kerr - Fabry - Perot Interferome-ter bildet den Grundbaustein des Kerr -Michelson - Interferometers, welches gemaßden in Referenz [5] publizierten Vorarbeiten im Rahmen des Teilprojekts B16 desSFB407 konstruiert werden soll. Ein zu dem in Kapitel 5 beschriebenen identischerResonator soll dabei die Funktion des zweiten Interferometerendspiegels uberneh-men. Eine moglichst verlustfreie Extraktion der im Interferometer erzeugten, Kerr -gequetschten Zustande erfordert zudem die Resonantmachung des Gesamtsystemsbei zwei vorher ausgewahlten Seitenbandfrequenzen. Zu diesen Zweck werden zweizusatzliche Spiegel in den Strahlengang integriert und derart positioniert, dassdie Bedingungen fur die

”doppelt-resonante Seitenbandextraktion“ (D-RSE) erfullt

sind [51]. Eine Charakterisierung der so erzeugten gequetschten Zustande mittelstomographischer Homodyndetektion [52] soll schließlich eine Aussage daruber er-moglichen, ob das modifizierte Interferometer zusatzlich als neuartige, effizienteQuelle stark nichtklassischer Zustande genutzt werden kann.

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A. Detaillierte Darstellung desexperimentellen Aufbaus

Umseitig findet sich eine detaillierte Darstellung des experimentellen Aufbaus. AusUbersichtlichkeitsgrunden wurden die in Kapitel 5 und 6 gewahlten Komponen-tenbezeichnungen beibehalten. Ebenfalls eingetragen sind die Brennweiten der zurModenanpassung verwendeten Linsen. Abbildung A.1 bietet eine Erlauterung derzur Experimentbeschreibung gewahlten Symbole.

Abbildung A.1.: Zur Experimentbeschreibung benutzte Symbole (Erstellt und freundli-cherweise zur Verfugung gestellt von A.Franzen)

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A. Detaillierte Darstellung des experimentellen Aufbaus

Abbildung A.2.: Vollstandige Darstellung des optischen Aufbaus. Ein Teil der Laser-lichtleistung wird einem anderen Projekt zur Verfugung gestellt.

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B. Schaltplan des verwendetenTemperaturcontrollers

Abbildung B.1.: Schaltplan des verwendeten Temperaturcontrollers (Teil 1, fur Detailssiehe Referenz [45])

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B. Schaltplan des verwendeten Temperaturcontrollers

Abbildung B.2.: Schaltplan des verwendeten Temperaturcontrollers (Teil 2)

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Selbstandigkeitserklarung

Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit allein und selbstandig und lediglich unterZuhilfenahme der genannten Quellen und Hilfsmittel angefertigt zu haben.

————————————Alexander KhalaidovskiMarz 2007

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Danksagung

Eine große Anzahl von Menschen hat auf vielfältige Weise zur Entstehung dieser Arbeitbeigetragen. Dafür möchte ich ihnen allen an dieser Stelle meinen herzlichen Dankaussprechen.

Zunächst gilt mein Dank Prof. Dr. Karsten Danzmann, der mir die Durchführung dieserDiplomarbeit und damit eine spannende und lehrreiche Zeit am Institut für Gravita-tionsphysik ermöglicht hat. Für die aktive und engagierte Betreuung, welche in dieserForm keinesfalls selbstverständlich ist, möchte ich mich bei Jun. - Prof. Dr. RomanSchnabel bedanken. Das angenehme Arbeitsklima, das er in seiner Arbeitsgruppe zuschaffen vermochte, hat ebenfalls dazu beigetragen, das vergangene Jahr zu einer ein-zigartigen und unvergesslichen Erfahrung werden zu lassen.

Ausgesprochen dankbar für die erstklassige Betreuung und die freundschaftliche Zu-sammenarbeit bin ich André Thüring. Die erfrischenden Diskussionen und seine ein-zigartige Art haben mir nicht nur ein tieferes Verständnis sondern vor allem seineunerschöpfliche Begeisterung vermitteln und näher bringen können.

Alexander Franzen danke für seine künstlerische Unterstützung sowie für die Bereit-stellung einer umfassenden Symboldatenbank, mit deren Hilfe selbst die komplizier-testen Experimente in Sekundenschnelle in einem graphisch mehr als ansprechendenDesign visualisiert werden können.

Für die hervorragende Zusammenarbeit und ihre ständige und unermüdliche Hilfs-bereitschaft danke ich Henning Vahlbruch, Boris Hage, Niko Lastzka, Moritz Mehmetund allen anderen Mitarbeitern des Instituts, deren bloße Aufzählung an dieser Stellekeineswegs der Dankbarkeit gerecht werden könnte, die ich für ihre Ratschläge, ihreHilfe in allen Fragen sowie die fröhlichen gemeinsamen Stunden empfinde.

Für das (nicht immer einfache) Korrekturlesen dieser Arbeit bedanke ich mich bei André,Boris, Georg, Gudrun, Henning Rehbein, Henning Vahlbruch, Johannes, Moritz, Romanund Stefan Goßler.

Prof. Dr. Klaus Hulek danke ich für die intensive Betreuung während meines gesamtenStudiums und für die ständige Bereitschaft, mir mit einem guten Rat zur Seite zustehen. Der Studienstiftung des deutschen Volkes gebührt mein ganz besonderer Dankfür die Fülle an einzigartigen Ereignissen, an denen ich durch meine Mitgliedschaft teil-haben durfte, für die Bekanntschaft und die anregenden Diskussionen mit einer Vielzahlgroßartiger junger Menschen sowie nicht zuletzt für die finanzielle Unterstützung beimeinem Studium.

Unter all meinen Freunden möchte ich ganz besonders Georg Kleine Büning und Johan-

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nes Will für Ihre Unterstützung, ihren Rückhalt und die wunderbare Zeit danken, diewir zusammen in den letzten Jahren erlebt haben. Sie haben es verstanden, meine Be-geisterung für die Physik zu wecken und jedes mal aufs Neue zu beflügeln. Ohne siewäre diese Arbeit um ihre Existenz ärmer.

Ksenia danke ich für ihre Freundschaft, ihre grenzenlose Geduld und für ihre Liebe!

Außerordentlich dankbar bin ich meinen Eltern. Nur ihnen habe ich zu verdanken, dassich in diesem wundervollen Land aufwachsen und immer ungehindert und sorgenfreimeine Interessen verwirklichen konnte.

Danke!

Der optische Kerr-Eﬀekt im Fabry-Perot Interferometer · Abstract The optical Kerr Eﬀect is...

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