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Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick

Der Goldene Schnitt

Dario Jotanovic

Mathematisches ProseminarImplementierung mathematischer Algorithmen

Hochschule Darmstadt

19. Dezember 2013


Inhaltsangabe1 Geschichte2 Grundlagen

Teilung im goldenen Schnitt und ΦCharakteristische Eigenschaften von Φ

3 Fibonacci-ZahlenΦ und FibonacciLucas-FolgeBinet-Formel (MATLAB)Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von Φ (C++)

4 Geometrischer Trugschluß5 Anwendung

KunstArchitekturNatur

6 Fazit und Ausblick


Bekannt seit der AntikeLat. Übersetzung: proportio habens medium et duoextremaKepler: Teilung im äußeren und mittleren VerhältnisPacioli: 16. Jhd. divina proportio (göttliche Verhältnis)19. Jhd. Goldener Schnitt oder Goldenes Verhältnis

[1]

Abbildung :Euklid vonAlexandria,ca.3.Jahrhundertv.Chr. gelebt,griech.Mathematiker

[2]

Abbildung :JohannesKepler,1571-1630,deut.Mathematiker

[3]

Abbildung :Luca Pacioli,1445-1517,ita. Mathe-matiker


Das zweite Buch der Elemente; 11. Satz; von Euklid:

Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteckaus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt demQuadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.

[4]

Abbildung : Buch der Elemente, zwischen ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v.Chr.


Teilung im goldenen Schnitt und Φ

Definition (Der goldene Schnitt)Sei AB eine Strecke. Der Punkt P teilt AB im sog. goldenenSchnitt, falls die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke soverhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.

Phi Φ

Φ = (1+√

5)2 ≈ 1, 6180339887498948482045...


Charakteristische Eigenschaften von Φ

1 Φ2 = Φ + 12 1

Φ = Φ− 1 =√

5−12

3 Φ + 1Φ =√5


Φ und Fibonacci bei Google

[5]


Φ und Fibonacci

Wir betrachten folgende Zahlenfolgen:

un = Φn vn = (− 1Φ )n


un = Φn

un+2 = Φn+2

= Φn ∗ Φ2

= Φn ∗ (Φ + 1)= Φn+1 + Φn

= un+1 + un


vn = (− 1Φ)n

vn+2 = (−1Φ

)n+2

= (− 1Φ

)n ∗ (− 1Φ

)2

= (− 1Φ

)n ∗ ( 1Φ

)2

= (− 1Φ

)n ∗ [1− 1Φ

]

= (− 1Φ

)n + (−1)n+1 ∗ ( 1Φ

)n+1

= (− 1Φ

)n + (− 1Φ

)n+1

= vn + vn+1


Lucas-Folge

Definition (Lucas-Folge)Eine Folge a1,a2,a3, ... reeller Zahlen heißt eine Lucas-Folge, fallsfür alle n ≥ 1 gilt

an+2 = an+1 + an


Lucas-Folge

Hilfssatz (Lucas-Folge)Für jede Lucas-Folge (a1, a2, ...) und für jede natürliche Zahl k ≥ 2gilt

ak+1 = fk ∗ a2 + fk−1 ∗ a1


Spezielle Lucas-Folgen

Wir betrachten folgende spezielle Lucas-Folgen:

(u1, u2, ...) = (Φ,Φ2, ...) (v1, v2, ...) = (− 1Φ , (1Φ )

2, ...)


(u1, u2, ...) = (Φ, Φ2, ...)

Φn = un= fn−1 ∗ u2 + fn−2 ∗ u1= fn−1 ∗ Φ2 + fn−2 ∗ Φ= fn−1 ∗ (Φ + 1) + fn−2 ∗ Φ= (fn−1 + fn−2) ∗ Φ + fn−1= fn ∗ Φ + fn−1


(v1, v2, ...) = (− 1Φ , (1Φ)

2, ...)

(− 1Φ

)n = vn

= fn−1 ∗ v2 + fn−2 ∗ v1

=fn−1Φ2− fn−2

Φ= fn−1 ∗ (2− Φ)− fn−2 ∗ (Φ− 1)= fn−1 − (fn−1 + fn−2) ∗ (Φ− 1)= fn−1 − (Φ− 1) ∗ fn

= fn−1 −fnΦ


Binet-Formel

Satz (Binet-Formel)Für alle natürlichen Zahlen n gilt

fn =[Φn−(− 1

Φ)n]√

5 =( 1+√

52 )

n−( 1−√

52 )

n√

5


Bemerkungen zur Binet-Formel

1 De Moivre (franz. Mathematiker,1667-1754) entdeckt vorBinet (franz. Mathematiker,1786-1856) die Formel.

2 Jede natürliche Zahl n führt zu einem ganzzahligen Ergebnis3 Binet-Formel nutzen, um die Fibonacci-Zahlen asymptotisch

zu bestimmen

[6]

Abbildung : Abraham de Moivre[7]

Abbildung : Jacques Binet


Fibonacci-Quotient

fn fn+1 fn+1fn1 1 1.01 2 2.02 3 1.53 5 1.6666...5 8 1.68 13 1.62513 21 1.6153...21 34 1.6190...


Weitere Darstellungen von Φ

Φ = 1 + 1

1 +1

1 +1. . .

Φ =

√1 +

√1 +

√1 +√1 + . . .


Funktionswerte

0 5 10 151

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Iterationsschritte

Wer

t

Fibonacci−QuotientKettenbruchKettenwurzel


Genauigkeit der Nachkommastellen


Genauigkeit der Nachkommastellen

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

Iterationsschritte

Gen

auig

keit

der

Nac

hkom

mas

telle

n

Fibonacci−QuotientKettenbruchKettenwurzel


Weitere Darstellungen von Φ

Φ = 2 ∗ cos(π5 )

= 2 ∗ sin(π5 +π

2 )

= 2 ∗ sin(7π10 )

= 2 ∗ sin(3π10 )


Geometrischer Trugschluß

13

5

8

8 5

A B

CD

C

D

BA8

21


Kunst

[8]

Abbildung : Mona Lisa, 1503 - 1506, Leonardo Da Vinci, 1452-1519


Architecktur

[9]

Abbildung : Rathaus Leipzig


Natur

[10]

Abbildung : Ein Pferd, m=kleine Teilstrecke, M=große Teilstrecke


Fazit und Ausblick

Den goldenen Schnitt findet man fast überallVerwandte Themen:Das goldene RechteckDer goldene Winkel (Ψ ≈ 137,5◦)Die goldene SpiraleSiberner Schnitt (2a+ba =

ab ≈ 1 +

√2)

Effizientere Darstellungen für Φ?Was wird als nächstes entdeckt?


Danke für eureAufmerksamkeit !!!


Quellenangaben

Bilder:

[1] Euklid - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpg

[2] Kepler -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpg

[3] Pacioli -http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpg

[4] Elemente -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg

[5] Stand vom: 08.12.2013

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg


Quellenangaben

Bilder:

[6] de Moivre -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpg

[7] Binet - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons//af/Jacques_Binet.jpg

[8] Mona Lisa - http://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpg

[9] Rathaus - http://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpg

[10] Pferd - http://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Jacques_Binet.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Jacques_Binet.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpghttp://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpg


Quellenangaben

Literatur:

[11] A.Beutelspacher/B.Petri, Der Goldene Schnitt,Spektrum Akademischer Verlag, 1996:

Geschichte: Seite 9-12 (Vorwort)Teilung im goldenen Schnitt und Φ: Seite 15(Kapitel 1.1 Definition des goldenen Schnittes)Charakteristische Eigenschaften von Φ: Seite 18(Kapitel 1.2 Charakteristische Eigenschaften derZahl Φ)Phi und Fibonacci; Zahlenfolgen: Seite 91 (Kapitel6.2 Phi und Fibonacci)Lucas-Folgen; Spezielle Lucas Folgen: Seite 93(Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci)Binet-Formel; Bemerkungen zur Binet-Formel:Seite 93-94 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci)


Quellenangaben

Informationen

http://www.golden-section.eu/kapitel5.html

http://www.golden-section.eu/kapitel5.html

GeschichteGrundlagenTeilung im goldenen Schnitt und Charakteristische Eigenschaften von

Fibonacci-Zahlen und FibonacciLucas-FolgeBinet-Formel (MATLAB)Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von (C++)

Geometrischer TrugschlußAnwendungKunstArchitekturNatur

Fazit und Ausblick

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