1

DEPARTMAN ZA ENERGETIKU, ELEKTRONIKU I TELEKOMUNIKACIJE

KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU SIGNALA

Analiza procesa i podataka na mrežama

02 Matrica susedstva grafa

Novembar 2020.

Cilj nastavne jedinice

Cilj nastavne jedinice je da se polaznici upoznaju sa konceptom matrice susedstva grafa i načinima na koje se iz ove matrice mogu dobiti informacije o mreži koju ona predstavlja.

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Zadaci nastavne jedinice

Razumeti način formiranja matrice susedstva grafa za zadatu mrežu, kao što je predstavljeno na času.

Objasniti kako se iz stepena matrice susedstva može dobiti broj puteva odgovarajućih dužina između parova čvorova u mreži, kao što je predstavljeno na času.

Navesti tri osobine mreže koje se mogu očitati iz matrice susedstva ili njenih stepena, od onih koji su predstavljeni na času ili drugih.

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

PRIMERI MREŽA Analiza procesa i podataka na mrežama

Mreža Čvorovi Grane Usmerena/ Neusmerena

Mreža glumaca

Mreža citata

Naučna saradnja

Email

Internet

Metabolizam E. Coli

Pozivi u mob. mreži

Transformatori

Proteinske interakcije

WWW

Primeri mreža

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Mreža Čvorovi Grane Usmerena/ Neusmerena

Mreža glumaca Glumci Zajednički film Neusmerena

Mreža citata Naučni radovi Citat Usmerena

Naučna saradnja Naučnici Koautorstvo Neusmerena

Email Email adrese Email poruka Usmerena

Internet Ruteri Internet veza Neusmerena

Metabolizam E. Coli Metaboliti Hem. reakcija Usmerena

Pozivi u mob. mreži Tel. brojevi Tel. poziv Usmerena

Transformatori Transformatori Vod, kabl Neusmerena

Proteinske interakcije Proteini Vezivanje Neusmerena

WWW Web stranice Link Usmerena

Primeri mreža

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Mreža Praktičan značaj

Mreža glumaca Zabava, najuticajniji glumci

Mreža citata Identifikacija pravaca istraživanja

Naučna saradnja Identifikacija istraživačkih grupa

Email Organizaciono istraživanje, radna efikasnost

Internet Slabe tačke, mincut, efikasna komunikacija

Metabolizam E. Coli Ključni metaboliti

Pozivi u mob. mreži Marketing

Transformatori Slabe tačke, mincut

Proteinske interakcije Mehanizmi stvaranja bolesti

WWW PageRank

Primeri mreža

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Primeri mrežnih podataka

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

http://networksciencebook.com/translations/en/resources/data.html

Mreža Čvorovi Grane Broj čv. N

Broj grana M

Glumci Zajedn. film 702 388 29 397 908

Naučni radovi Citat 449 673 4 689 479

Naučnici Koautorstvo 23 133 93 437

Email adrese Email poruka 57 194 103 731

Ruteri Internet veza 192 244 609 066

Metaboliti Hem. reakcija 1 039 5 802

Tel. brojevi Tel. poziv 36 595 91 826

Transformatori Vod, kabl 4 941 6 594

Proteini Vezivanje 2 018 2 930

Web stranice Link 325 729 1 497 134

Primeri mrežnih podataka

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

MATRICA SUSEDSTVA Analiza procesa i podataka na mrežama

Matrica susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Za zadati graf matrica susedstva A se formira na sledeći način

Primer: >> E=[ 1 2; 2 3; 2 4; 3 4];

>> G=graph(E(:,1), E(:,2));

>> plot(G)

Matrica susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

>> A=adjacency(G)

A =

(2,1) 1

(1,2) 1

(3,2) 1

(4,2) 1

(2,3) 1

(4,3) 1

(2,4) 1

(3,4) 1

Primeri topologija, N=6

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Matlab kod: formiranje matrice susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

N=6; I=eye(N);

% Izolovani cvorovi

A_I=zeros(N); G_I=graph(A_I);

% Kompletan graf

A_K=ones(N)-eye(N); G_K=graph(A_K);

% Linijski graf

A_P=[I(:,2:N) zeros(N,1)]+[I(2:N,:);zeros(1,N)];

G_P=graph(A_P);

% Zvezda

A_S=[0 ones(1,N-1); ones(N-1,1) zeros(N-1,N-1)];

G_S=graph(A_S);

Matlab kod: vizuelizacija matrice susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

figure(1);

subplot(1,4,1); image(A_I*20);

title('Izolovani cvorovi', 'FontSize', 16)

subplot(1,4,2); image(A_K*20);

title('Kompletan graf', 'FontSize', 16)

subplot(1,4,3); image(A_P*20);

title('Linijski graf', 'FontSize', 16)

subplot(1,4,4); image(A_S*20);

title ('Zvezda', 'FontSize', 16)

figure(2);

subplot(1,4,1); plot(G_I, 'NodeLabel', [], 'MarkerSize', 7);

subplot(1,4,2); plot(G_K, 'NodeLabel', [], 'MarkerSize', 7);

subplot(1,4,3); plot(G_P, 'NodeLabel', [], 'MarkerSize', 7);

subplot(1,4,4); plot(G_S, 'NodeLabel', [], 'MarkerSize', 7);

Matrica susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Elektrodistributivna mreža

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

>> E=importdata('powergrid.edgelist.txt');

>> N_zero=length(find(E(:,1)==0));

>> max_element=max(max(E));

>> E(1:N_zero,1)=(max_element+1)*ones(N_zero,1);

>> G=graph(E(:,1)', E(:,2)');

>> A=adjacency(G);

>> N=max_element+1;

>> image(A*50); colorbar;

Matrica susedstva za elektrodistributivnu mrežu

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

OSOBINE MATRICA SUSEDSTVA Analiza procesa i podataka na mrežama

Osobine matrice susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

1. Matrica susedstva je binarna matrica, sa vrednostima 0 i 1

2. Ako je graf neusmeren, matrica susedstva je simetrična

3. Broj jedinica u redu i matrice A jednak je broju suseda ki čvora i

Stepeni matrice susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

1.

2. broj zajedničkih suseda čvorova i i j

Primer:

Stepeni matrice susedstva

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

3. gde je broj trouglova u kojima učestvuje čvor i

4. broj puteva dužine 3 od čvora i do čvora j

Primer:

Broj puteva u mreži

APPM: 02 Matrica susedstva grafa

Teorema. Neka je data mreža G čija je matrica susedstva matrica A. Za proizvoljna dva čvora i i j, za proizvoljno k≥1, vrednost elementa Ak

ij je jednaka broju različitih puteva u mreži G između čvorova i i j dužine tačno k.

Dokaz. Putem indukcije. Fiksiramo dva čvora i i j.

• Za k=1, tvrđenje je tačno, Aij = broj puteva dužine 1 između i i j. • Pretpostavimo da tvrđenje važi za proizvoljno k≥1. • Za k+1 imamo:

24

DEPARTMAN ZA ENERGETIKU, ELEKTRONIKU I TELEKOMUNIKACIJE

KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU SIGNALA

Analiza procesa i podataka na mrežama

02 Matrica susedstva grafa

Novembar 2020.