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JUAN DE HERRERA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso 2016-‐‑2017

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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 3º ESO B

Unidades 10 y 11 – Geometría

PROFESOR: Pedro García Moreno

UNIDADES 10 Y 11

GEOMETRÍA

1. MEDIATRICES, BISECTRICES Y CIRCUNFERENCIAS

Actividades de clase

1.1. FIGURAS GEOMÉTRICAS

Identifica en las siguientes imágenes elementos geométricos conocidos. Recuerda que en cada imagen

puedes encontrar más de uno si la descompones o te fijas en los detalles.

a. Sede del Departamento de Defensa de EEUU.

b. Fotografía de un cucurucho de helado.

c. Fachadas de las Torres Puerta de Europa en Madrid

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d. Pista de atletismo y campo de fútbol

1.2. DISTANCIAS EN LA COMUNIDAD DE MADRID

Dado el siguiente plano de la Comunidad de Madrid, y considerando los pueblos como puntos sobre el

plano, traza:

a. El lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de Buitrago de Lozoya que de Móstoles.

b. ¿Dónde están todos los puntos cuya distancia a las Rozas es la misma que la de Móstoles a Las Rozas?

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1.3. BOLAS DE BILLAR

Se dan tres bolas de billar de colores azul (izquierda), amarillo (derecha) y rojo (debajo):

a. ¿Cuántas circunferencias pasan por las tres bolas? Dibújala (s). b. ¿Dónde hay que colocar una bola negra para que equidiste de las tres? c. Si ahora movemos la bola roja, traza el lugar geométrico de los puntos donde podríamos colocarla

para que distara lo mismo de la azul que de la amarilla.

1.4. GEOGEBRA

Traza la circunferencia que pasa por los puntos A(-‐‑1,3), B(4,-‐‑2) y C(8,5). Para ello:

• Utilizando la pestaña marcada en la imagen, introduce los tres puntos.

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• Selecciona la opción “Circunferencia dados tres de sus puntos” de la imagen

• Clica sobre cada uno de los puntos A, B y C

1.5. EL POLIGONO INSCRITO

Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando los vértices del polígono están sobre

la circunferencia. En al siguiente figura se muestra un hexágono regular cuyos vértices están sobre la

circunferencia de centro O y, por lo tanto, inscrito en ella. Traza las tangentes a la circunferencia por los

vértices del hexágono inscrito. ¿Qué polígono resulta si las unes entre sí?

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1.6. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA

Traza la circunferencia de centro P que es tangente a la recta r, determinando el punto de tangencia

1.7. GEOGEBRA

Dada la circunferencia del ejercicio 1.4 (circunferencia que pasa por los puntos A(-‐‑1,3), B(4,-‐‑2) y C(8,5)),

traza la tangente por C

• Selecciona la opción “tangentes” de la imagen

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• Clica primero sobre la circunferencia y luego sobre el punto C:

Actividades de refuerzo

1.8. TRIÁNGULOS (PISA)

Rodea con un círculo la figura que se ajusta a la siguiente descripción: El triángulo PQR es un triángulo

rectángulo con el ángulo recto en R. El lado RQ es menor que el lado PR. M es el punto medio del lado PQ

y N es el punto medio del lado QR. S es un punto del interior del triángulo. El segmento MN es mayor que

el segmento MS.

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1.9. Dados los puntos A, B y C, se pide dibujar:

a. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de B y C. b. Punto que equidista de A, B y C. c. Circunferencia que pasa por A, B y C.

1.10. RECTAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA

a. Dada la circunferencia de centro O de la imagen, traza las rectas tangentes a ella por los puntos A,

B, C D y E.

b. ¿Sabes cómo se llaman a los segmentos AB, CE y OE? Busca su definición.

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2. ÁNGULOS

.


2.1. ¿QUÉ ANGULOS FALTAN?

Halla el valor del ángulo o ángulos desconocidos en cada uno de los siguientes casos:

2.2. La figura está formada por dos cuadrados y dos triángulos ¿Cuánto

mide el ángulo OMA?

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2.3. ¿QUÉ ANGULOS FALTAN?

Halla el valor del ángulo o ángulos desconocidos en cada uno de los siguientes casos.

(Triángulo equilátero) (Cuadrado) (Octógono regular)

2.4. CDI-‐‑08

Hallar el ángulo A

2.5. Calcula el valor de A en la primera imagen y el de B en la segunda.

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2.6. Halla los ángulos de un cuadrilátero sabiendo que cada uno de ellos es el doble del anterior

Actividades de ampliación

2.7. En el triángulo ABC, AZAY = , BZBX = , CYCX = . ¿Cuánto mide al

ángulo A del triángulo?

2.8. Si QU es la bisectriz de TQR y RV es la bisectriz de URS, ¿cuánto

vale x?

2.9. En un trapecio isósceles con tres lados iguales inscribimos el rombo cuyos

vértices son los puntos medios de los lados del trapecio. Si el ángulo agudo del

trapecio mide 65º, ¿cuántos grados mide el ángulo agudo, x, del rombo?

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3. TEOREMA DE PITÁGORAS


3.1. BARCOS DE VELA (PISA)

Aproximadamente, ¿qué longitud debe tener la cuerda de

la vela-‐‑cometa para tirar de un barco en un ángulo de 45°

y estar a una altura vertical de 150 m, tal y como se

muestra en el dibujo de la derecha?

A. 173 m B. 212 m C. 285 m D. 300 m

3.2. LA BOMBILLA DE LA FAROLA

¿Cuánto tiene que medir la escalera para que pueda llegar a cambiar la bombilla de

la farola?

3.3. En las siguientes imágenes se muestra un triángulo equilátero y un rectángulo.

a. ¿Qué nombre recibe el segmento x en cada una de las figuras? b. Calcula el valor de x en cada caso.

3.4. TERNAS PITAGÓRICAS

Dadas las siguientes ternas de números, cuyos valores representan las longitudes de los lados de un

triángulo, ¿cuál o cuáles de ellas corresponde a un triángulo rectángulo?:

a. ( )2,1,3

b. ( )4,1,2

c. ( )3,5,4

d. ( )2,1,1

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3.5. Dados los siguientes polígonos:

a. ¿Cómo se llaman cada uno de los polígonos? b. Calcula el valor de x en cada caso

3.6. CDI-‐‑09

Una rampa tiene una longitud de 13 m y salva un desnivel de 5 m. ¿Qué longitud tiene la base de la rampa?

3.7. CDI-‐‑10

El patio del colegio de Ana tiene forma de rectángulo. Mide 40 metros de largo y 30 metros de ancho.

¿Cuánto mide la diagonal del patio?

3.8. CDI-‐‑11 En un triángulo rectángulo:

a. Uno de los catetos mide 3 m y la hipotenusa 5 m. Halla en metros la longitud del otro cateto.

b. Los dos catetos son iguales y la hipotenusa mide 2 cm. Halla en centímetros la longitud del cateto.

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4. FIGURAS PLANAS: PERÍMETROS Y ÁREAS

.


4.1. ¿CUÁL ES MÁS GRANDE?

Si tuviera que recortar en una cartulina los siguientes polígonos, ¿en cuál de ellos recorrería más distancia

la tijera?

4.2. Clasifica el siguiente polígono y calcula su perímetro y área

4.3. A PINTAR LA FACHADA

El plano siguiente muestra las dimensiones, en metros, de la fachada que Jorge quiere pintar de verde, en

la que hay una gran puerta cuadrada que no pintará.

a. ¿Cuánto mide la superficie a pintar? b. Si el precio de la pintura es de 3 €/m2, ¿cuánto le costará pintar la fachada?

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4.4. HEXÁGONO REGULAR (15 min)

En el hexágono regular de lado 6 cm, calcula:

a. El área y perímetro del triángulo OAB. b. El área y perímetro del trapecio ADEF c. El área y perímetro del rombo OBCD

4.5. CORTAMOS LAS ESQUINAS (10 min)

Si de un rectángulo de 9 cm de largo y 6 de ancho cortamos en las cuatro

esquinas un triángulo rectángulo de catetos de 3 cm, ¿qué área tiene la figura

que resulta?

4.6. LA NORIA

A la orilla del río se encuentra una

noria gigante. Fíjate en el dibujo y en

el diagrama que se muestra a

continuación.

La noria tiene un diámetro exterior

de 140 metros y su punto más alto se

encuentra a 150 metros sobre el

cauce del río. Da vueltas en el sentido

indicado por las flechas.

a. La letra M del gráfico señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra el punto M?

b. ¿Cuántos metros lineales de acero serán necesarios para construir el contorno (circunferencia)

de la noria?

4.7. RUEDA

La rueda de un coche tiene un radio de 33 centímetros. ¿Cuántos kilómetros ha

recorrido el coche si la rueda ha dado 80000 vueltas?

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4.8. CDI-‐‑11

En las figuras adjuntas el lado del cuadrado es de 12 cm. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?

(Tomar )14,3π =

4.9. Calcula el área de la siguiente figura:

4.10. LATAS EN UNA BANDEJA

En una bandeja circular queremos meter 7 latas de refresco, de 3 cm de radio cada

una de ellas. La lata del centro es tangente a cada una de las seis que la rodean,

siendo estos tangentes al contorno de la bandeja.

a. ¿Qué superficie de la bandeja queda sin ocupar por las latas? b. ¿Cuánto vale el perímetro de la bandeja?

4.11. EL COMECOCOS

Sabiendo que la boca de este comecocos está abierta un ángulo de 30º:

a. ¿Cuánto mide el área del comecocos? b. ¿Cuánto mide su perímetro?

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4.12. Dada la siguiente figura:

a. Calcula el área de la parte sombreada. b. Calcula su perímetro

4.13. Calcula el área de un segmento de 90º de amplitud en un círculo de 18 cm

de radio

4.14. ¿Cuánto vale el área de la zona sombreada, si el radio de la circunferencia

es de 10 cm?


4.15. CARPINTERO (PISA)

Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor de un parterre

en el jardín. Está considerando los siguientes diseños para el parterre.

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Rodea con un círculo Sí o No para indicar si, para cada diseño, se puede o no se puede construir el parterre

con los 32 metros de madera.

4.16. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 9 cm y 12 cm. En otro triángulo rectángulo, un cateto

mide 14,4 cm, y la hipotenusa, 15 cm. ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

4.17. El paralelogramo de la figura tiene 408 cm2 de área y

sus dimensiones son las que se indican. ¿Cuánto vale x?

4.18. PIZZA (PISA)

Una pizzería sirve dos pizzas redondas del mismo grosor y de diferente tamaño. La más pequeña tiene

un diámetro de 30 cm y cuesta 30 euros. La mayor tiene un diámetro de 40 cm y cuesta 40 euros. ¿Qué

pizza tiene mejor precio? Muestra tu razonamiento.

4.19. Calcula el área de la zona sombreada y el perímetro de la circunferencia

exterior.

4.20. CDI-‐‑14

Calcular el área de la parte sombreada de la figura sabiendo que todos los círculos

son iguales y que su radio mide 1 cm ( 14,3π = )

4.21. LA FINCA

Eres un tasador de terrenos. El precio del metro cuadrado en la zona es de 800 €. Si te encontraras con la

siguiente finca

a. ¿Cuál sería su precio? b. Si tuvieras que vallar la finca y el metro de valla costara 60€, ¿cuánto tendrías que pagar por ello?

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4.22. LAS FUENTES

En un terreno rectangular de 30 por 10 metros se construyen dos fuentes circulares, como se muestra en

la figura, y se planta césped en el terreno restante.

¿Qué superficie ocupa el césped?

4.23. (PISA) VERTIDO DE PETRÓLEO

Un petrolero chocó contra una roca del mar y produjo un agujero en los tanques

de almacenamiento de petróleo. El petrolero se encontraba a unos 65 km de

tierra. Unos días después el petróleo se había extendido tal y como se muestra

en el siguiente mapa.

Utilizando la escala del mapa, calcula la superficie (área) del vertido de petróleo

en kilómetros cuadrados (km2).

4.24. Calcula el área de la parte coloreada en cada uno de estos cuadrados de 12 m de lado:

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4.25. Calcula el perímetro y el área de la zona sombreada:


4.26. El pentágono de la figura tiene tres ángulos rectos. La medida, en cm, del

quinto lado es….

4.27. AZULEJO

Un azulejo rectangular, de colores gris y blanco, tiene por dimensiones 8 x 6 centímetros. Si P es el centro

del azulejo, ¿cuánto mide el área de la zona gris?

4.28. EL ESPEJO

Si a un espejo de forma rectangular de dimensiones 2 x 1,5 metros le queremos colocar un marco de las

mismas dimensiones y 10 cm de ancho, ¿qué cantidad de superficie queda de espejo?

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4.29. EL PATIO (PISA)

Nicolás quiere pavimentar el patio rectangular de su nueva casa. El patio mide 5,25 metros de largo y

3,00 metros de ancho. Nicolás necesita 81 ladrillos por metro cuadrado. Calcula cuántos ladrillos necesita

Nicolás para pavimentar todo el patio.

4.30. LA HELADERÍA (PISA)

Este es el plano de la heladería de María. Está renovando la

tienda. El área de servicio está rodeada por el mostrador

Nota: Cada cuadrado de la cuadrícula representa 0,5 metros ×

0,5 metros.

a. María quiere colocar un nuevo borde a lo largo de la

parte externa del mostrador. ¿Cuál es la longitud total

del borde que necesita? Escribe tus cálculos.

b. María también va a poner un nuevo revestimiento para suelo en la tienda. ¿Cuál es la superficie

(área) total del suelo de la tienda, excluidos el área de servicio y el mostrador? Escribe tus

cálculos.

c. María quiere tener en su tienda conjuntos de una mesa y cuatro sillas como el que se muestra en la figura. El círculo representa la superficie de suelo necesaria

para cada conjunto. Para que los clientes tengan suficiente

espacio cuando estén sentados, cada conjunto (tal y como

representa el círculo) debe estar situado según las siguientes

condiciones:

• Cada conjunto debe estar situado, al menos, a 0,5 metros de las paredes.

• Cada conjunto debe estar situado, al menos, a 0,5 metros de los otros conjuntos.

¿Cuál es el número máximo de conjuntos que María puede colocar en la zona de mesas sombreada

de su tienda?

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4.31. Calcula el área de las siguientes figuras:

4.32. BALDOSAS

Observa este tipo de baldosas cuadradas y sus

medidas. Dependiendo de la distancia x marcada, las

baldosas son distintas

a. Encuentra una expresión algebraica para el valor de área del cuadrado interior, en función de x.

b. En cierta baldosa, el área de este cuadrado interior es de 250 cm2. ¿Cuál es la distancia x que

separa las esquinas de los dos cuadrados que la forman?

4.33. Si el rectángulo ABCD tiene dimensiones 11 y 8 cm y DE vale 4 cm, ¿cuánto vale el área de la zona

sombreada? No nos hemos olvidado ningún dato.

4.34. LA CRUZ

Una cruz está formada por 5 cuadrados iguales. Si el segmento x mide 5 cm:

a. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado? b. ¿Cuánto mide, en cm2, el área de la cruz?

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4.35. SIETE FIGURAS

Observa el dibujo en esta cuadricula 12x12. Está compuesta por 3 cuadrados de

superficies 18 cm2, 20 cm2 y 26 cm2 respectivamente y por 4 triángulos:

a. Con estos datos, averigua los perímetros de las siete figuras. b. Comprueba que los cuatro triángulos tienen la misma área y que el dibujo

total ocupa 100 cm2.

4.36. OVEJA PASTANDO

Una oveja está atada en un prado a una barra de cinco metros de longitud con una cuerda de un metro, la

cual se desliza por la barra a través de una anilla. ¿Qué superficie de hierba se puede comer la oveja?

4.37. El radio del círculo P es dos tercios del radio del círculo Q y este es tres

cuartos del radio del círculo R. ¿Qué fracción del área del círculo R está

sombreada?

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4.38. POLEAS

Esta es la sección de un mecanismo formado por tres rodillos cilíndricos unidos por una polea. La

distancia entre los centros de cada rodillo es:

Si el radio “x” del rodillo de centro C es 3 cm mayor que el radio “y” del rodillo de centro B.

a. ¿Cuál es el radio de cada rodillo? Plantea un sistema de dos ecuaciones y resuélvelo. b. ¿Qué longitud tiene la circunferencia de cada rodillo? c. ¿Qué superficie tiene la sección de cada rodillo?

4.39. VUELO ESPACIAL (PISA)

La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dio aproximadamente

86.500 vueltas alrededor de la Tierra. La permanencia más larga de un astronauta en la Mir fue de 680

días.

La Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 400 kilómetros. El diámetro de la

Tierra mide aproximadamente 12.700 km y su circunferencia es de alrededor de 40.000 km (π × 12.700).

Calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir durante sus 86.500 vueltas mientras

estuvo en órbita. Redondea el resultado a las decenas de millón

4.40. PUERTA GIRATORIA (PISA)

Una puerta giratoria consta de tres hojas que giran dentro de un espacio circular. El diámetro interior de

dicho espacio es de 2 metros (200 centímetros). Las tres hojas de la puerta dividen el espacio en tres

sectores iguales. El siguiente plano muestra las hojas de la puerta en tres posiciones diferentes vistas

desde arriba.

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a. ¿Cuánto mide (en grados) el ángulo formado por dos hojas de la puerta?

b. Las dos aberturas de la puerta (la sección punteada en el dibujo) son del mismo tamaño. Si estas aberturas son demasiado anchas, las hojas

giratorias no pueden proporcionar un espacio cerrado y el aire podría

entonces circular libremente entre la entrada y la salida, originando

pérdidas o ganancias de calor no deseadas. Esto se muestra en el dibujo

de al lado. ¿Cuál es la longitud máxima del arco en centímetros (cm)

que puede tener cada abertura de la puerta para que el aire no circule nunca libremente entre la

entrada y la salida?

c. La puerta da 4 vueltas completas en un minuto. Hay espacio para dos personas en cada uno de los tres sectores. ¿Cuál es el número máximo de personas que pueden entrar en el edificio por la

puerta en 30 minutos?

A. 60

B. 180

C. 240

D. 720

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5. CUERPOS GEOMÉTRICOS: ÁREAS Y VOLÚMENES


5.1. POLIEDROS Y SUS ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

Identifica los poliedros y los cuerpos de revolución. ¿Qué poliedros son regulares? ¿Qué poliedro regular

falta? ¿Cuáles son prismas? ¿Y pirámides? Nombra los elementos más característicos de los poliedro o

cuerpos de revolución K, H, I, O.

5.2. GIRAMOS UNA SEMICIRCUNFERENCIA

Hacemos girar una semicircunferencia de 10 cm de diámetro alrededor su diámetro, obteniéndose una

esfera.

a) ¿Cuánto mide el radio de la esfera?

b) Localiza sobre la circunferencia dónde estará, al hacerla girar, el centro de la esfera.

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5.3 GIRAMOS UN RECTÁNGULO

Gira el cilindro alrededor de sus ejes “a” y “b”.

a. ¿Qué figuras obtienes? b. ¿Cuáles son sus radios?

5.4. GIRAMOS UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al girar el triángulo sobre su eje “e”?

¿Cuánto mide el radio de la base?

5.5. EL OCTAEDRO

Dado este octaedro regular de arista 6 cm:

a. ¿Cuánto mide la diagonal AB? b. ¿Cuánto mide la diagonal CD?

5.6. LA HORMIGA

Una hormiga quiere subir desde la base del cono hasta su vértice para coger

una miga de pan que allí se encuentra:

a. ¿Cómo se llama al camino más corto posible? b. ¿Cuánto recorrerá entre la subida y la bajada si va por el camino más

corto?

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5.7. CUERPOS GEOMÉTRICOS

Clasifica los siguientes cuerpos geométricos sólidos y

calcula el área de cada uno de ellos

5.8. NUESTRO PLANETA

Si el radio de la Tierra es de 6370 km y aproximadamente el 70% de la

superficie está cubierta por agua, ¿qué superficie, expresada en m2, ocupa el

agua? (emplea la notación científica para expresar el resultado)

5.9. LATA DE CONSERVAS

a. Calcula la cantidad de lámina de hojalata necesaria para fabricar un bote de

conservas, de forma cilíndrica, cuya base tiene un diámetro de 16

centímetros y cuya altura mide 20 centímetros.

b. Compramos láminas de 1 m2, ¿cuántas latas se podrían fabricar, como

mucho, con cada una de ellas?

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5.10. SOMBRERO DE FIESTA

Me he comprado un sombrero para ir a un cumpleaños. Como quiero

saber cuánto cartón se gasta en construir uno de ellos, con una regla

mido el diámetro del “agujero” por donde meto la cabeza y obtengo 18

cm. Además mido la altura del sombrero y obtengo 40 cm.

a. ¿Qué superficie de cartón se emplea? b. ¿Habría sido más fácil tomar otra medida del sombrero para

resolver los cálculos? ¿Cuál?

5.11. PISCINA DESMONTABLE

Una piscina tiene forma de hexágono, de arista 4 metros, y está

totalmente fabricada en plástico. Si la altura es de 1,20 m, ¿qué

cantidad de plástico se ha empleado en fabricarla, expresado en

m2?

5.12. LA CÁPSULA (2ª PARTE)

Una cápsula está formada por una semiesfera, un cilindro y un cono del

mismo radio, según se muestra en la figura.

a. ¿Cuántos litros de aire caben en su interior? b. ¿Cómo son los planos de simetría?

5.13. PIRÁMIDES DE KEOPS Y MICERINOS

Las pirámides de los faraones Keops y Micerinos se pueden encontrar

muy próximas en Gizeh, aunque con proporciones bien distintas.

La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de lado 230 metros y de

altura 147 metros. El lado de la base cuadrada de la pirámide de

Micerinos es 105 metros y la altura 65.

a. Calcula el volumen de cada una de ellas. b. ¿Cuántas veces es mayor la pirámide de Keops respecto a la de Micerinos? c. ¿Cuántos planos tiene una de estas pirámides?

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5.14. LA PISCINA (2ª PARTE)

Se diseña una piscina con las medidas indicadas en la figura (20 m de largo, 8 metros de ancho y una

profundidad que va desde 1 m, en su parte menos profunda, a 4 m, en su

parte más profunda).

a. ¿Qué cantidad de agua, en litros, cabe en la piscina? b. ¿Cuánto mide la superficie del fondo de la piscina? c. Se quiere recubrir el fondo y las paredes de la piscina con

azulejos cuadrados de 10 cm de lado, que vienen en cajas de 1000 unidades. ¿Cuál es la cantidad

mínima de cajas que se necesitarán?

d. Localiza los planos de simetría.

5.15. PELOTAS DE TENIS

Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de 6,6 cm de diámetro en la que

encajan hasta el borde.

a. Halla el volumen de la parte vacía. b. Localiza un plano de simetría horizontal.

5.16. EL DEPÓSITO DE AGUA

Un depósito de agua, totalmente cerrado, tiene la forma y dimensiones que se

muestran en el dibujo. Inicialmente el depósito está vacío. Después se llena con agua

a razón de un litro por segundo.

a. ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito? b. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la parte cónica? ¿Y la parte cilíndrica? c. ¿Qué cantidad de chapa se ha empleado en su construcción?

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5.17. ¿SE DESBORDARÁ?

En cierto depósito con forma de prisma caben 96 m3 de agua. La base del depósito, rectangular, mide 8 m

de largo y 4 m de ancho.

a. ¿Cuál es la altura total del depósito? El depósito no está lleno completamente y desde la superficie

del agua hasta el borde del depósito hay 40 cm.

b. ¿Qué altura alcanza el agua? c. ¿Qué volumen ocupa el agua que hay en el depósito? d. ¿Cuántos litros son necesarios para llenarlo?

Las previsiones del tiempo son que al lunes habrá tormenta y caerán 60 l/m2:

e. ¿Cuántos litros de agua entrarán en el depósito? ¿Se desbordará? f. ¿Cuántos centímetros subirá el nivel del agua con esa previsión de lluvias?

5.18. PLANOS DE SIMETRÍA (5 min)

Determina, al menos, dos planos de simetría de este poliedro


5.19. MIRANDO LA TORRE (PISA)

En las Figuras 1 y 2 de abajo se ven dos dibujos de la misma torre. En la Figura 1 se ven tres caras del

tejado de la torre. En la Figura 2 se ven cuatro caras.

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En el siguiente dibujo se muestra la vista del tejado de la torre

desde arriba. Se han señalado cinco posiciones en el dibujo.

Cada una de ellas está marcada con una cruz (×) y se han

denominado de P1 a P5. Desde cada una de estas posiciones,

una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número

determinado de las caras del tejado de la torre.

a. En la tabla siguiente, rodea con un círculo el número de caras que se

verían desde cada una de estas

posiciones.

b. (NO PISA) Si la apotema de la base mide 12 metros y cada una de las caras

laterales tiene una altura de 12 metros,

¿cuánto mide la torre de alto?

5.20. POLIEDROS

Dados los cinco poliedros siguientes, se pide.

a. Clasifícalos. ¿Hay alguno regular? b. ¿Cuántas aristas tienen las bases? ¿Y las caras? c. Clasifica los polígonos de las bases y de las caras laterales. d. En los poliedros B y C, dibuja las apotemas de las bases, las alturas de las caras y las alturas de los

poliedros.

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5.21. DADOS (PISA)

A la derecha, hay un dibujo de dos dados. Los dados son cubos con un sistema

especial de numeración en los que se aplica la siguiente regla: “El número total

de puntos en dos caras opuestas es siempre siete”

a. A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del otro.

El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba. ¿Cuántos puntos hay en total

en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1,

caras de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)?

b. Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos

dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver

cuatro recortes que se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las

caras.

¿Cuál de las siguientes figuras se puede doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la

suma de caras opuestas sea 7? Para cada figura, rodea con un círculo Sí o No en la tabla de abajo.

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5.22. CONSTRUYENDO BLOQUES (PISA)

A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se muestra en el siguiente gráfico:

Susana tiene muchos cubos pequeños como éste. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros

bloques. Primero Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en el gráfico A:

Luego Susana hace los bloques macizos que se muestran en los gráficos B y C:

a. ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se muestra en el gráfico B? b. ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para construir el bloque macizo que se muestra en

el gráfico C?

c. Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que realmente necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en el gráfico C. Se da cuenta de que podía haber

construido un bloque como el del gráfico C pegando los cubos pequeños, pero dejándolo hueco

por dentro. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque como el que

se muestra en el gráfico C, pero hueco?

d. Ahora Susana quiere construir un bloque que parezca un bloque macizo y que tenga 6 cubos pequeños de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Quiere usar el menor número posible de cubos dejando

el mayor hueco posible en el interior. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesitará Susana

para hacer este bloque?

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.23. Dada la siguiente pirámide de base cuadrada, se pide:

a. ¿Cómo se llaman a las longitudes dadas que miden 4 y 8 centímetros? b. ¿Cuánto mide “a”? ¿Cómo se llama a esta longitud?

5.24. Dada la siguiente pirámide de base hexagonal, se pide:

a. ¿Cómo se llaman a las longitudes que miden 8 y 9 centímetros? b. ¿Cuánto mide “b”? ¿Cómo se llama a esta distancia?

5.25. OBJETOS QUE ME RODEAN

Observa las siguientes imágenes de objetos reales e identifícalos con cuerpos de revolución. Señala sobre

cada uno de ellos sus elementos característicos (centro, radio, altura y/o generatriz, según corresponda)

5.26. LA CASA DE JUAN

Juan se quiere construir una casa, de las dimensiones y forma que se

muestra en la figura, empleando madera en su totalidad (tejado, paredes

y suelo) ¿Cuántos metros cuadrados de madera tiene que comprar,

suponiendo que no hay ni ventanas ni puertas?

5.27. Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm alrededor de cada uno de

ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno de ellos.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.28. APISONADORA

Una apisonadora tiene un rodillo de 1,2 metros de diámetro y 2,3 metros

de largo. ¿Qué superficie de tierra apisona en cada vuelta de rodillo?

5.29. Halla la superficie de este tronco de pirámide de bases

cuadradas:

5.30. LA PISCINA (1ª PARTE)

Se diseña una piscina con las medidas indicadas en la figura (20 m de

largo, 8 metros de ancho y una profundidad que va desde 1 m, en su parte

menos profunda, a 4 m, en su parte más profunda)

a. ¿Cuánto mide la superficie del fondo de la piscina? b. Se quiere recubrir el fondo y las paredes de la piscina con

azulejos cuadrados de 10 cm de lado, que vienen en cajas de 1000 unidades. ¿Cuál es la cantidad

mínima de cajas que se necesitarán?

5.31. LA CÁPSULA (1ª PARTE)

Una cápsula está formada por una semiesfera, un cilindro y un cono del

mismo radio, según se muestra en la figura. ¿Cuántos litros de aire caben en

su interior?

5.32. Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos, expresando los

resultados con las unidades adecuadas. y determina sus planos de simetría.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.33. Una circunferencia, cuya longitud es de 15,7 centímetros, gira alrededor de un diámetro generando

una esfera.

a. Obtén el radio de la circunferencia b. Calcula el volumen de dicha esfera.

5.34. Calcula el volumen del cuerpo de revolución que genera esta figura plana

al girar alrededor del eje indicado:

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.35. DORMITORIO

Calcula el volumen de una habitación de 2,30 m de altura, cuya planta tiene la

forma y dimensiones indicadas en la figura.

5.36. LECHE EN POLVO

Una empresa dona a una ONG 1000 LITROS de leche en polvo. Para envasarla,

utilizan unos botes como el de la figura.

¿Cuántas unidades se necesitan?

5.37. CDI

2015-‐‑2013-‐‑2011. Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base mide 2 m y la

altura 3 m. ¿Cuál es el volumen del depósito? ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito? (π=3,14)

2012. Un envase de un litro de leche tiene forma de prisma, la base es un cuadrado que tiene 10 cm

de lado.

a. ¿Cuál es, en cm3, el volumen del envase? b. Calcula la altura del envase en centímetros.

5.38. BOLAS DE PETANCA

En la caja de la figura se quieren guardar dos bolas para jugar a la petanca,

macizas, de 10 centímetros de radio, sin que éstas se puedan mover en su

interior. ¿Cuánto ocupa el aire que queda en la caja?

5.39. EL ACUARIO

Un acuario para peces es de forma cilíndrica y tiene 15 metros de altura y

8 metros de diámetro. Se ha diseñado un hueco cilíndrico en su interior,

de 4 m de diámetro, desde donde los visitantes pueden admirar los peces

del acuario. ¿Qué cantidad de agua, expresada en m3, cabe en el acuario?

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.40. RECIPIENTE DE PALOMITAS

Un recipiente de palomitas tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular como el de la figura. Calcula:

a. La altura del recipiente. b. El área lateral. c. El área total. d. El volumen.

5.41. LA MANGA PASTELERA

Una manga pastelera tiene forma aproximada de cono de radio

5 cm y altura 12 cm. ¿Qué cantidad de plástico se ha empleado

en fabricarla? (se supone toda de plástico y abierta por la base)

5.42. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cúbico de

14 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula:

a) La cantidad de agua que se ha derramado.

b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola.

5.43. GALILEO

Se cuenta que Galileo (siglo XVI) se planteó el problema de encontrar, a partir de una pieza rectangular,

el cilindro de mayor volumen. Imagina que haces tú lo mismo a partir de una hoja de papel de 30 o 40 cm,

obteniendo cilindros de dos tipos diferentes, según los procedimientos descritos en las figuras A y B.

a. Calcula, en cada caso, el radio del cilindro que obtendrías. b. ¿Cuál de los tres cilindros crees que tendrá mayor volumen? Calcula el volumen de cada cilindro

y comprueba si tu estimación es o no correcta.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.44. DEPÓSITO DE GAS METANO

Un depósito como el de la imagen está fabricado en acero y se emplea en el almacenamiento de gas

metano:

a. ¿Cuántos litros de gas cabe en su interior? b. ¿Qué superficie de acero se ha empleado en su construcción?

5.45. Calcula el volumen de una esfera cuya superficie mide 1256 centímetros cuadrados.


5.46. GIRAMOS UN TRAPECIO

Dado el siguiente trapecio, ¿qué cuerpo geométrico se obtiene al girar sobre

el eje “e”? Halla la generatriz

5.47. Cortamos un cubo por un plano que pasa por los puntos

MNC'A' (M y N son los puntos medios de las aristas AD y DC,

respectivamente). Calcula el área total del menor de los poliedros

que se forman.

5.48. ¿EN CUÁL CABE MÁS?

Un cilindro y un cono tienen la misma superficie total, 96π cm2, y el mismo radio, 6 cm. ¿Cuál de los dos

tendrá mayor volumen?

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




5.49. Una esfera y una semiesfera tienen el mismo volumen. ¿Qué relación existe entre sus radios?

5.50. Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a las bases y que pasa por el

punto medio de dos aristas. Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen.

5.51. Una esfera y una semiesfera tienen el mismo volumen. ¿Qué relación existe entre sus radios?

5.52. CUADRO DE UNA BICICLETA

El cuadro de una bicicleta, sin las horquillas, está compuesto por dos tubos de 55 cm de altura y 4 cm de

diámetro y otro de 60 cm de altura y 4 cm de diámetro. Si los tres tubos son de una aleación de aluminio

y titanio cuyo masa es de 211 mkg , ¿qué masa tendrá el cuadro de la bicicleta?

a. Halla las áreas de los seis primeros cuadrados de esta sucesión. ¿Cuál será su término general? b. Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados. c. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




6. EL GLOBO TERRÁQUEO. MAPAS

.


6.1. COORDENADAS GEOGRÁFICAS

a. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de todas las ciudades que figuran en el plano? b. Dos ciudades tienen la misma longitud, 15° E, y sus latitudes son 37° N y 22° S. ¿Cuál es la distancia

entre ellas?

c. Dos puntos, A y B, situados sobre el Ecuador, tienen de longitud 30º E y 15ºO, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre ambos?

6.2. ¿Cuántos grados abarca un huso horario? Si el radio de la Tierra es de 6370 km, calcula la superficie

de cada uno de los husos horarios de la Tierra.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA




6.3. MAPA DE HUSOS HORARIOS

Dado el siguiente mapa de husos horarios:

a. ¿Qué hora es en Canarias cuando en Londres son las 13 horas? b. ¿Qué hora es en Cuba cuando en Canarias son las 23,15 horas? c. ¿Qué hora es en Madrid cuando en la zona central de La India son las 21,45 horas? d. Roma está en el huso 1°E y Nueva York, en el 5°O. Si un avión sale de Roma a las 11 p.m. y el vuelo

dura 8 h, ¿cuál será la hora local de llegada a Nueva York?


6.4. Dado el siguiente mapa, se pide:

a. Localiza las coordenadas geográficas de las ciudades que aparecen en el mapa con las dadas. b. ¿Cuál es la distancia entre Quito y Kisangani, teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es de

6370 km?

c. Ayudándote del mapa de husos horarios dado en la actividad 6.3, calcula la diferencia horaria entre Nueva Delhi y Méjico.

I.E.S.

JUAN DE HERRERA





6.5. Calcula la distancia que recorre un avión que vuela entre un punto de Europa de coordenadas (8º E,

45º N) y otro de América de coordenadas (70ºO, 45º N), siguiendo el paralelo común.

6.6. Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametralmente opuestos en el

paralelo 45°. Puede hacerlo siguiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar

(ANB). ¿Cuál es la más corta?

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