Demostraci´o per induccio´ Gimel - Welcome to LaCàN ... GRUP D’INNOVACIÓ MATEMÀTICA...

Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G

COMPETENCIA GENERICA: induccio

Demostracio per induccio

Imaginem que volem demostrar que

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

es cert per tot nombre natural n (∀n ∈ N).

El primer que es pot fer es seleccionar uns quants

nombres naturals (n=1,2,7,...) i veure que la igualtat

es certa per aquests valors. Aixo, pero, no es suficient

per assegurar que la propietat es certa ∀n ∈ N.

El problema que ens plantegem es demostrar una

propietat que fa referencia a TOTS els nombres

naturals.

Com es pot demostrar que una propietat es certa per

tot nombre natural sense haver de comprobar la

propietat pels infinits nombres?

Matematiques I

N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 1

Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Imaginem que tenim una fila infinita de fitxes de

domino, alineades i preparades per a ser tombades

Sabem per experiencia, que si les peces estan ben

col.locades, en caure la primera fitxa cauran totes.

Com es pot probar que totes les fitxes cauran?

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


1.- Sabem per experiencia que si colpegem una fitxa

de domino, aquesta caura.

2.- Tambe sabem que si una fitxa cau, i la seguent

esta ben col.locada, la seguent tambe caura.

INTUICIO: la intuicio ens diu que les fitxes aniran

caient una darrera l’altra infinitament.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


RESUM:

Si podem demostrar:

1.- que la primera fitxa del

domino cau

2.- que si una fitxa cau

la seguent caura

Llavors podem assegurar que totes les fitxes cauran.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


El problema que ens plantegem es demostrar una

propietat, diguem-ne P , que fa referencia a tots els

nombres naturals. Es a dir, volem veure que

P(n) es cert ∀n ∈ N.

Per veure que P(n) es certa ∀n ∈ N es suficient

veure que:

(a) Cas base: P(1) es cert

(b) suposant que P(n) es cert (hipotesi d’induccio),

veure que P(n+ 1) es cert.

Es a dir, veure que P(n) cert =⇒ P(n+ 1) cert

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Exemple

Anem a demostrar que per a tot nombre natural n es

compleix

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Per veure que la propietat es certa per a tot nombre

natural, hem de veure dues coses:

1r. cas base n = 1

2n. cert per a n = k =⇒ cert per a n = k + 1

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


1r. cas base n = 1:

la propietat es certa per a n = 1, ja que 1 = 1·22 .

2n. cert per a n = k =⇒ cert per a n = k + 1

Suposem que la propietat es certa per a n = k,

es a dir, suposem que es cert que:

1+2+ · · ·+k =k(k + 1)

2(hipotesi d’induccio)

Hem de veure que tambe es certa per a

n = k + 1. Per tant, volem veure que

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)(k + 2)

2

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Utilitzant la hipotesi d’induccio, sabem calcular

el valor dels k primers termes de la suma que

hem de realitzar:

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

=k2 + k + 2k + 2

2

=k2 + 3k + 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

Per tant queda demostrada la propietat ∀n ∈ N. #

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Exercici Proposat

Useu el principi d’induccio per veure que les

seguents igualtats son certes per tot nombre

natural:

(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2

(b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =

1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


R1.Demostrar que per a tot n ∈ N, es compleix:

(1 + 2 + . . . + n)2 = 13 + 23 + . . . + n3.

Dem. Per veure que la propietat es certa per a tots els nombres

naturals, utilitzarem el principi d’induccio.

Per tant, hem de veure dues coses:

1.- que es cert per n = 1.

2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.

Vegem primer que es compleix el cas base, es a dir, que la

propietat es certa per n = 1:

12 = 13X

Suposem ara que la propietat es certa per n = k, es a dir que:

(1 + 2 + . . . + k)2 = 13 + 23 + . . . + k3, (1)

vegem que la propietat es certa per n = k + 1, es a dir, volem

veure si es cert que:

(1 + 2 + . . . + k + (k + 1))2 = 13 + 23 + . . . + k3 + (k + 1)3.

Usant la propietat (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 tenim que:

(1+2+. . .+k+(k+1))2= (1+. . .+k)

2+(k+1)

2+2(1+. . .+k)(k+1).

Si tenim en compte que

1 + 2 + . . . + k =k(k + 1)

2,

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


i la hipotesi d’induccio, equacio (1), tenim que:

(1 + . . . + k + (k + 1))2

= (1 + . . . + k)2+ (k + 1)

2+ 2(1 + . . . + k)(k + 1)

= 13+ . . . + k

3+ (k + 1)

2+ 2

k(k + 1)

2(k + 1)

= 13+ . . . + k

3+ (k + 1)

2+ k(k + 1)

2

= 13+ . . . + k

3+ (k + 1)

2(1 + k)

= 13 + . . . + k3 + (k + 1)3,

com volıem veure.


1

1 · 2+

1

2 · 3+ . . . +

1

n · (n + 1)=

n

n + 1

Dem. El cas base es cert perque1

1 · 2=

1

2.

Suposem ara que es cert per n = k, es a dir,

1

1 · 2+

1

2 · 3+ . . . +

1

k · (k + 1)=

k

k + 1, (2)

anem a veure que tambe es cert per n = k + 1, es a dir, volem

veure que

1

1 · 2+

1

2 · 3+ . . . +

1

k · (k + 1)+

1

(k + 1) · (k + 2)=

k + 1

k + 2.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Fent servir la hipotesi d’induccio, equacio (2), tenim que:

1

1 · 2+

1

2 · 3+ . . . +

1

k(k + 1)+

1

(k + 1)(k + 2)

=k

k + 1+

1

(k + 1)(k + 2)=

1

k + 1(k +

1

k + 2)

=1

k + 1

k2 + 2k + 1

k + 2=

1

k + 1

(k + 1)2

k + 2=

k + 1

k + 2,

com volıem veure.


1 + 2 + 22+ 2

3+ . . . + 2

n= 2

n+1− 1

Dem. Per demostrar la propietat per induccio hem de veure:



Per n = 1 tenim que 1 + 2 = 3 = 22 − 1 X

Suposem ara que la propietat es certa per n = k, es a dir que

1 + 2 + 22+ 2

3+ . . . + 2

k= 2

k+1− 1,

anem a veure que es cert per n = k + 1, es a dir, vegem que

1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2k + 2k+1 = 2k+2− 1.

Fent servir la hipotesi d’induccio:

1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2k + 2k+1 = 2k+1 − 1 + 2k+1

= 2 · 2k+1 − 1 = 2k+2 − 1.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


R4.A partir de les igualtats:

1 +1

2= 2 −

1

2

1 +1

2+

1

4= 2 −

1

4

1 +1

2+

1

4+

1

8= 2 −

1

8

deduıu si existeix una “llei general” al respecte, per qualsevol

n ≥ 1. En cas afirmatiu, enuncieu-la i demostreu-la per induccio.

Dem. Anem a determinar primer el valor de l’expressio:

f(n) = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . . +

1

2n.

Per fer-ho donarem diferents valors a n:

f(1) = 1 +1

2= 2 −

1

2

f(2) = 1 +1

2+

1

4= 2 −

1

4

f(3) = 1 +1

2+

1

4+

1

8= 2 −

1

8

f(4) = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16=

31

16= 2 −

1

16

f(5) = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32=

63

32= 2 −

1

32

Per tant podem deduir que

f(n) = 2 −1

2n.

Per demostrar-ho per induccio hem de veure que:

1.- es cert per n = 1.

2.- si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


Per n = 1 tenim que:

1 +1

2=

3

2= 2 −

1

2.

Suposem ara que es cert per n = k, es a dir,

1 +1

2+ . . . +

1

2k= 2 −

1

2k, (3)

i vegem que es cert per n = k + 1, es a dir, volem veure que

1 +1

2+ . . . +

1

2k+

1

2k+1= 2 −

1

2k+1.

Usant la hipotesi d’induccio:

1 +1

2+ . . . +

1

2k+

1

2k+1= 2 −

1

2k+

1

2k+1= 2 −

1

2k+

1

2 · 2k

= 2 −1

2k(1 −

1

2) = 2 −

1

2k

1

2= 2 −

1

2k+1,

com volıem veure.

R5.Demostrar que n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es multiple de 9, per

tot n ≥ 1.

Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses:



Per n = 1 tenim que: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 4 · 9, i per

tant es multiple de 9.

Suposem que es cert per n = k, es a dir, que

k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 es multiple de 9, es a dir, existeix un

nombre natural p tal que:

k3+ (k + 1)

3+ (k + 2)

3= 9p.

Volem veure que tambe es cert per n = k+ 1, es a dir, que existeix

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


un nombre natural p tal que:

(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = 9p. (4)

Si desenvolupem el cub (k + 3)3 tenim que:

(k + 3)3= k

3+ 9k

2+ 27k + 27,

per tant

(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3

= (k + 1)3+ (k + 2)

3+ k

3+ 9k

2+ 27k + 27

= k3+ (k + 1)

3+ (k + 2)

3+ 9k

2+ 27k + 27.

Fent servir ara la hipotesi d’induccio, equacio (4), tenim que

(k + 1)3+ (k + 2)

3+ (k + 3)

3

= k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 9k2 + 27k + 27

= 9p + 9k2+ 27k + 27 = 9(p + k

2+ 3k + 3) = 9p,

on p = p + k2 + 3k + 3.

Per tant hem provat el que volıem.

R6.Demostrar que per a tot n ≥ 1,1

2+

1

4+ . . . +

1

2n< 1.

Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses:



Per n = 1 tenim que:1

2< 1, que es cert.

Suposem ara que es cert per n = k, es a dir, que

1

2+

1

4+ . . . +

1

2k−1+

1

2k< 1, (5)

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


i vegem que es cert per n = k + 1, es a dir, volem veure que:

1

2+

1

4+ . . . +

1

2k−1+

1

2k+

1

2k+1< 1.

Si multipliquem l’equacio (5) per 12 tenim que:

1

4+

1

8+ . . . +

1

2k+

1

2k+1<

1

2,

per tant1

2+

1

4+ . . . +

1

2k+

1

2k+1<

1

2+

1

2= 1,

com volıem veure.

R7.Proveu que 2n ≤ n! si n ≥ 4.

Dem. En aquest cas el cas base d’induccio es n = 4, per tant per

demostrar la propietat per induccio hem de veure:



Per n = 4 tenim que 24 = 16 < 24 = 4!, i per tant el cas base es

cert.

Suposem que 2k ≤ k!, anem a veure si es cert per n = k + 1, es a

dir, volem veure si

2k+1≤ (k + 1)!.

Usant la hipotesi d’induccio:

2k+1 = 2k· 2 ≤ k! · 2.

Llavors com que 2 < k + 1, ja que com a mınim k = 4,

2k+1

≤ k! · 2 < k!(k + 1) = (k + 1)!.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


R11.Considerem la sequencia de nombres definada per la formula

recursiva an = 2an−1 −a2n−1. Demostreu que an = 1− (1−a0)

2n .

Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses: que es

cert per n = 1 i que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per

n = k + 1.

Per n = 1 tenim que

a1 = 2a0 − a20 = 1 − 1 + 2a0 − a

20 = 1 − (1 − a0)

2,

i per tant el cas base es cert.

Suposem ara que es cert fins n = k, es a dir que,

ak = 1 − (1 − a0)2k

, (6)

anem a veure que es cert per n = k + 1, es a dir que

ak+1 = 1 − (1 − a0)2k+1

.

Si fem servir la definicio del terme ak+1 i la hipotesi d’induccio,

equacio (1), tenim que:

ak+1 = 2ak − a2k= 2(1 − (1 − a0)

2k ) − (1 − (1 − a0)2k )2

= 2 − 2(1 − a0)2k

− 1 − ((1 − a0)2k )2 + 2(1 − a0)

2k

= 2 − 1 − ((1 − a0)2k

)2= 1 − (1 − a0)

2k·2= 1 − (1 − a0)

2k+1.

R12.Els nombres de Fibonacci es defineixen de manera recursiva

segons:

f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 2,

de manera que els primers nombres de Fibonacci son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Demostreu les seguents propietats d’aquests nombres:

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


(a) ∀n ∈ N, f3n es parell.

(b) ∀n ∈ N, f4n es divisible per tres.

(a) Anem a veure que f3n es parell, ∀n ∈ N.

El cas base es n = 1. En aquest cas tenim que f3 = 2 que es parell.

Suposem que f3n es parell, per n = k, es a dir que f3n = 2p on

p ∈ N. Anem a veure que f3(k+1) tambe es parell, es a dir, volem

veure que existeix p ∈ N tal que f3(k+1) = 2p.

Per la definicio dels nombres de Fibonacci

f3(k+1) = f3(k+1)−1 + f3(k+1)−2 = f3k+2 + f3k+1.

De la mateixa manera fent servir la definicio dels nombres de

Fibonacci, f3k+2 = f3k+1 + f3k, i per tant

f3(k+1) = f3k+2 + f3k+1 = f3k+1 + f3k + f3k+1 = 2f3k+1 + f3k.

Llavors fent servir la hipotesi d’induccio

f3(k+1) = 2f3k+1 + f3k = 2(f3k+1 + p),

i per tant es un nombre parell (prenent p = p + f3k+1).

(b) Hem de veure que f4n es divisible per tres, o el que es el

mateix, que es un multiple de tres.

En aquest cas el cas base es f4 = 3 que es multiple de tres.

Suposem ara que f4k = 3p, p ∈ N. Anem a veure que f4(k+1)

tambe ho es.

f4(k+1) = f4k+3 + f4k+2 = f4k+2 + f4k+1 + f4k+2 = 2f4k+2 + f4k+1

= 2f4k+2 + f4k+1 = 2(f4k+1 + f4k) + f4k+1 = 3f4k+1 + f4k

= 3(f4k+1 + p),

que es un multiple de 3.

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


R13.Calculeu el valor de l’expressio2 + 4 + . . . + 2n

1 + 3 + . . . + (2n − 1)per a

tot n ∈ N i demostreu-ho per induccio.

Dem. Anem a determinar primer el valor de l’expressio:

f(n) =2 + 4 + . . . + 2n

1 + 3 + . . . + (2n − 1).

Per fer-ho donarem diferents valors a n:

f(1) =2

1

f(2) =2 + 4

1 + 3=

6

4=

2 · 3

22=

3

2

f(3) =2 + 4 + 6

1 + 3 + 5=

12

9=

3 · 4

32=

4

3

f(4) =2 + 4 + 6 + 8

1 + 3 + 5 + 7=

20

16=

4 · 5

42=

5

4

f(5) =2 + 4 + 6 + 8 + 10

1 + 3 + 5 + 7 + 9=

30

25=

5 · 6

52=

6

5

Per tant podem deduir que

f(n) =n(n + 1)

n2=

n + 1

n

Per fer la demostracio tenim dues opcions, o veure per separat que

2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1) i que 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 o be

demostrar que f(n) =n + 1

n.

Ho farem per separat perque sera mes senzill. Per tant hem de

veure que:

i) 2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1)

ii) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

i) 2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1)

Matematiques I


Gimel

GIM

EL

GR

UP

D’IN

NO

VA

CIÓ

MA

TE

MÀ

TIC

AE

-LE

AR

NIN

G


n = 1 : 2 = 1 · 2 es cert.

n = k =⇒ n = k + 1 : Suposem-ho cert per n = k, es a dir:

2 + 4 + . . . + 2k = k(k + 1).

Vegem que es cert per n = k + 1. Es a dir, volem veure que

2 + 4 + . . . + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2).

Llavors tenim que:

2 + 4 + . . . + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

que es el que volıem veure.

ii) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

n = 1 : 1 = 12 es cert.

n = k =⇒ n = k + 1 : Suposem-ho cert per n = k, es a dir:

1 + 2 + . . . + (2k − 1) = k2

i vegem-ho per n = k + 1. Es a dir, volem veure que

1 + 2 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2.

Llavors tenim que:

1 + 2 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)

2,

que es el que volıem veure.

LLavors, usant (i) i (ii) tenim que:

f(n) =2 + 4 + . . . + 2n

1 + 3 + . . . + (2n − 1)=

n(n + 1)

n2=

n + 1

n

com volıem veure.

Matematiques I


Demostraci´o per induccio´ Gimel - Welcome to LaCàN ... GRUP D’INNOVACIÓ MATEMÀTICA...

Documents

Transcript of Demostraci´o per induccio´ Gimel - Welcome to LaCàN ... GRUP D’INNOVACIÓ MATEMÀTICA...