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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
Carlos Roberto Padovani
Carlos Roberto Padovani
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Carlos Roberto Padovani é professor titular de Bioestatística do Instituto de Bio -ciências, Unesp, câmpus de Botucatu, tendo atuado como professor e/ou orientador de Programas de Pós-Graduação da USP, Unicamp, Unesp, UFMT e UnB. Foi bol-sista produtividade do CNPq; membro da Comissão de Avaliação de Programas de Pós-Graduação junto à Capes; coordenador da Área de Ciências Biológicas junto à Runesp, presidente da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria. Atualmente ministra disciplinas da área de Estatística na graduação e de Bioestatística e Metodologia da Pesquisa Científi ca em vários programas de Pós-Graduação na Unesp, com orientações em nível de Mestrado e Doutorado e supervisão de Pós-Doutorado.
O texto apresenta noções básicas, históricas e conceituais de delineamentos experimen-tais, em particular dos planejamentos inteiramente casualizado e em blocos completos casualizados, complementado com os esquemas fatoriais, correlação e regressão linear simples e testes de aderência e associação para variáveis categorizadas. A abordagem não é realizada sob o aspecto tradicional de fórmulas e uso de “pacotes” computacionais para os cálculos estatísticos, mas sim, trazendo à realidade o planejamento e o desenvolvimento da experimentação aos alunos das áreas de Ciências Biológicas e da Saúde.
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Universidade Estadual Paulista
Reitor Julio Cezar Duriganr
Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara
Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun
Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini
Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagottol
Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
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São Paulo2014
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©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2014.
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
Padovani, Carlos RobertoDelineamento de experimentos / Carlos Roberto Padovani. –
São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista,Pró-Reitoria de Graduação, 2014
128 p. : tabs.
BibliografiaISBN: 978-85-7983-523-0
1. Planejamento Experimental. 2. Bioestatística. I. Título. II.Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação.
CDD 378.8161
P124d
Pró-reitorr Laurence Duarte Colvara
Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto
Assessoria José Brás Barreto de Oliveira Maria de Lourdes Spazziani Valéria Nobre Leal de Souza Oliva
Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes da Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari
Projeto gráfi co e diagramação Andrea Yanaguita
equipe
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PROGRAMA DE APOIO
À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-pedagógi-
co dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP,
por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a
Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção
de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio
às aulas, material audiovisual, homepages, soft wares, material artístico e outras
mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi-
lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado
sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade
acadêmica mais esta obra, “Delineamento de Experimentos”, de autoria do
Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani, do Instituto de Biociências do Câmpus de
Botucatu, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da
UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.
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SUMÁRIO
1. Delineamento de Experimentos 9 1.1. Introdução 9 1.2. Delineamento ou Planejamento ou Desenho (“Design”) do Experimento 13 1.3. Delineamentos Experimentais 17 1.4. Exemplos 18
2. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 20 2.1. Introdução 20 2.2. Modelo do Experimento DIC com Dados Balanceados 20 2.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 22 2.4. Independência dos Erros 23 2.5. Variância Constante (Homocedasticidade) 25 2.6. Normalidade dos Erros 26 2.7. Técnica da Análise de Variância (ANOVA) 29 2.8. Coefi cientes de Determinação e Variação de um Experimento 33 2.9. Comparações Múltiplas 34 2.10. Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 36 2.11. Respostas dos Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 38 2.12. Modelo do Experimento DIC com Dados Não Balanceados 40 2.13. Exercícios (DIC Não Balanceado) 43 2.14. Respostas dos Exercícios (DIC Não Balanceado) 44
3. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) 47 3.1. Introdução 47 3.2. Modelo do Experimento (Biológico) 49 3.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 50 3.4. Comparações Múltiplas 53 3.5. Exercícios (DBCC) 54 3.6. Respostas dos Exercícios (DBCC) 55
4. Esquemas Fatoriais 57 4.1. Introdução 57 4.2. Esquema Fatorial a*b no DIC 58 4.3. Exemplo de Fatorial a*b no DIC 63 4.4. Esquema Fatorial a*b no DBCC 65 4.5. Exemplo de Fatorial a*b no DBCC 68 4.6. Exercícios (Esquemas Fatoriais: DIC e DBCC) 71 4.7. Respostas dos Exercícios (Esquemas Fatoriais : DIC e DBCC) 72
5. Análise de Aderência e Associação 75 5.1. Introdução 75 5.2. Teste de Aderência 75 5.3. Teste de Homogeneidade 78 5.4. Teste de Independência 82
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5.5. Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 84 5.6. Respostas dos Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 87
6. Correlação Linear Simples 89 6.1. Introdução 89 6.2. Diagrama de Dispersão 90 6.3. Coefi ciente de Correlação 91 6.4. Teste de Hipótese da Correlação 94 6.5. Exercícios (Correlação Linear Simples) 95 6.6. Respostas dos Exercícios (Correlação Linear Simples) 98
7. Regressão Linear Simples 101 7.1. Introdução 101 7.2. Modelo de Regressão Linear Simples 102 7.3. Coefi ciente de Determinação 107 7.4. Teste do Coefi ciente (Angular) de Regressão 108 7.5. Exercícios (Regressão Linear Simples) 109 7.6. Respostas dos Exercícios (Regressão Linear Simples) 112
8. Bibliografi a 115
9. Tabelas 117
Tabela 9.1 Distribuição t de Student P t t t− < <( )= −⎡⎣ ⎤⎦0 0 1 a 117
Tabela 9.2 Distribuição Qui-quadrado P χ χ α202>( )=⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ 118
Tabela 9.3 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 01, 119
Tabela 9.4 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 05, 120
Tabela 9.5 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 10, 121
Tabela 9.6 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 01 1, ; : %ϕ ( )[ ] 122
Tabela 9.7 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 05 5, ; : %ϕ ( )[ ] 124
Tabela 9.8 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 10 10, ; : %ϕ ( )[ ] 126
Tabela 9.9 Valores críticos do coefi ciente de correlação linear de Pearson (teste bilateral) 128
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1.1 INTRODUÇÃO
Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) nasceu em Londres no dia 17 de
fevereiro de 1890 e bacharelou-se em Matemática pela Universidade de Cam-
bridge em 1912. Sua miopia exagerada salvou da convocação para o serviço mili-
tar na 1ª Guerra Mundial, defeito que possibilitou desenvolver um treinamento
matemático de alta abstração (visualização no plano imaginário) o que deve ter
contribuído para sua preferência pela apresentação hipergeométrica, possibili-
tando assim a exibir soluções singulares independentes de simbolismo algébrico.
No início do século XX, em 1919, após trabalhar dois anos como estatísti-
co e mais quatro como professor de matemática e física em escolas públicas
recebeu o convite para criar e chefi ar um laboratório de estatística na Estação
Experimental de Agricultura de Rothamstead, Inglaterra, onde permaneceu
até 1933.
Durante este período, unido a outros estatísticos e pelo contato diário
com problemas da área agrícola, Fisher desenvolveu os métodos de análise e
os delineamentos experimentais, conforme descreve SALSBURG(2009). Car-
acteriza-se por delineamento do experimento ou delineamento experimental
(experimental design, em inglês, diseño experimental, em espanhol) o modo
de dispor as parcelas no experimento, ou seja, a maneira de designar os trata-
mentos às unidades experimentais ou parcelas. A técnica mais fi sheriana trata-
se de análise de variância. Juntamente com a análise de covariância, também
de sua autoria, constitui-se no instrumental básico para interpretação dos re-
sultados dos experimentos planejados. Deve ser destacado que esses métodos
procedentes do cotidiano agrícola se tornaram universais e aplicáveis em todas
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as áreas de conhecimento: medicina, psicologia, engenharia, odontologia, bio-
logia, ecologia, entre outras.
Porém, como a formalização dos procedimentos ocorreu em um ambiente
agrícola, a origem dos termos técnicos da experimentação apresenta conota-
ção bem agronômica. Assim o termo parcela foi criado para designar a uni-
dade de área usada no experimento. Essa unidade de área era, originalmente,
uma faixa de terra ou um vaso. Hoje, parcela, tem um signifi cado mais geral,
pois, dependendo do experimento pode ser um animal, uma pessoa, uma peça
anatômica, um corpo de prova, entre várias outras possibilidades que podem
ser utilizadas como unidades experimentais. A terminologia mais utilizada,
atualmente consiste em designar parcela por unidade experimental, que con-
siste na unidade física ou biológica para conduzir o experimento.
De mesma maneira, o termo tratamento também foi introduzido pela área
agrícola. Indicava o que estava em comparação: fertilizantes, inseticidas, var-
iedades, nutrientes. Hoje o termo tratamento tem um signifi cado mais geral.
Muitos experimentos são feitos para comparar métodos, grupos, produ-
tos, máquinas, materiais e, inclusive, combinações destes. Mas o interesse, em
experimentação, nem sempre é de comparar tratamentos. Muitas vezes, pre-
tende-se apenas saber se determinado tratamento produz efeito (nesse caso,
compara-se um grupo que recebeu tratamento - Grupo Tratado – com um
grupo que não recebeu o tratamento – Grupo Controle ou Testemunha).
A respeito do grupo controle duas considerações quanto à sua constitu-
ição podem ser feitas: Controle Negativo e Controle Positivo. O grupo controle
negativo é composto por unidades experimentais que não recebem tratamento
(“virgem de tratamento”), ou recebem apenas placebo (substância inerte). No
entanto, o grupo controle positivo, constitui-se de unidades que recebem o
tratamento padrão ou convencional. Na prática, a terminologia grupo controle
ou testemunha é utilizada como sinônimo de controle negativo.
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Embora o uso de grupo controle já esteja consagrado em experimentação,
na área médica, torna-se fundamental discutir a ética de constituir o grupo
controle negativo. Neste sentido, a experimentação com seres humanos exige
um aprofundamento quanto às questões éticas do uso de placebo (controle
negativo), inclusive pelo fato de se caracterizar por omissão de tratamento.
A exequibilidade do experimento está subordinada ao princípio básico da
repetição, segundo o qual indica que se deve ter repetições do experimento
para que seja possível produzir uma medida de variabilidade que permitirá a
realização dos testes de hipóteses sobre a presença de efeitos dos tratamentos
ou à estimação desses efeitos. O número de unidades experimentais (parcelas
ou repetições) para cada tratamento deve ser determinado a partir de informa-
ções sobre a variabilidade das parcelas em termos da variável resposta (depen-
dente), custo e poder dos testes de signifi cância.
Em experimentação a proposta básica que se formula consiste em com-
parar grupos, não apenas unidades. As medidas experimentais do mesmo
grupo recebem o nome de repetições. Do ponto de vista estatístico é sem-
pre desejável que os experimentos tenham grande número de repetições por
grupo. Na prática, muitas vezes, o número de repetições fi ca limitado aos re-
cursos (físicos, fi nanceiros, materiais,...) disponíveis. Um dado importante que
deve ser considerado para o tamanho dos grupos, consiste em: quanto mais
homogêneo for o material - em termos de características que possam inter-
ferir nas observações ou medições que serão feitas - menor será o número de
repetições necessário para evidenciar o efeito signifi cativo de tratamentos.
No contexto experimental, defi ne-se fator como uma característica em es-
tudo da qual há interesse em verifi car a inferência sobre uma resposta do experi-
mento, conforme destacam ANDRADE & OGLIARI (2007). Os níveis do fator
constituem os tratamentos do estudo. Um fator é indicado como quantitativo
quando seus níveis são referentes a quantidades (doses de uma droga, níveis de
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adubação, etc). Por outro lado, um fator é referido qualitativo quando seus níveis
são relativos a atributos (diferentes dietas, variedades de capim, etc).
Defi nidos os fatores e seus respectivos níveis que serão designados como
os tratamentos do estudo, a unidade experimental (parcela) e a variável de-
pendente, torna-se necessário estabelecer qual o esquema de alocação dos
tratamentos às unidades experimentais será utilizado, ou seja, como deve ser
conduzido o delineamento experimental.
Para formar grupos tão iguais quanto possível é fundamental que os trata-
mentos sejam sorteados às unidades experimentais (casualização). Ou seja, o
que importa é entender que os tratamentos devem ser designados às unidades
experimentais por puro e simples sorteio. A casualização teve início em 1920
na área agronômica, porém, na pesquisa médica, só começou a ser aceita mui-
to mais tarde. A idéia de “sortear” os pacientes que irão receber o tratamento
pode levantar questões de ética. Os que fazem objeções ao uso de casualização
em experimentos médicos usam o argumento de que não é ético “sortear” o
tratamento para alguns pacientes e deixar outros sem tratamento. Ora, essa
objeção refere-se à condução do experimento e não à técnica de casualizar.
Não existem alternativas válidas para a casualização. O pesquisador que
escolhe as unidades por critério próprio por melhores que sejam as intenções,
introduz tendenciosamente nos resultados.
O princípio da casualização pode ser considerado como uma das maio-
res contribuições dos procedimentos estatísticos à ciência experimental, pois
nele está assegurada a fi dedignidade das conclusões. O efeito de proceder a
casualização constitui-se na garantia que parcelas (unidades experimentais)
com características diferentes tenham igual probabilidade de serem designa-
das para todos os grupos.
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1.2 DELINEAMENTO OU PLANEJAMENTO OU DESENHO (“DESIGN”) DO
EXPERIMENTO
O procedimento geral e comum na pesquisa científi ca consiste em formu-
lar hipóteses (afi rmativas sob julgamento) e verifi cá-las diretamente ou por suas
consequências. Neste sentido, faz-se necessário um conjunto de observações e o
planejamento de experimentos é então imprescindível para indicar o procedi-
mento que será utilizado para verifi car se as hipóteses são verdadeiras ou falsas.
As hipóteses são avaliadas por meio de métodos de tomada de decisão
estatística (teoria das probabilidades) cujos procedimentos quantitativos e
análises objetivas (teoria estatística) dependem da maneira sob a qual as ob-
servações foram obtidas. Procedimento bem distinto da matemática no qual
para calcular a área de uma fi gura plana, por exemplo, de um triângulo, basta
multiplicar sua base por sua altura e dividir por dois que se obtém de maneira
exata o valor numérico relativo à área desejada.
Nas áreas das ciências biológicas a situação é bem mais complexa, surgem
inúmeras causas de variação de controle impossível ou só parcialmente pos-
sível (variações genéticas, erros de medidas inerentes à precisão dos aparelhos,
efeitos sazonais, etc). Essas causas de variação, várias e às vezes até desconhe-
cidas ou mal conhecidas, acumulam variações nos dados observados que pos-
sibilitam alterar em menor ou maior intensidade os resultados das unidades
experimentais, cuja precisão deve ser discutida em termos probabilísticos de
quão prováveis são os valores encontrados. Neste contexto, troca-se a exatidão
da matemática pela construção probabilística das possibilidades dos resulta-
dos encontrados nos dados (precisão das informações estatísticas). O plane-
jamento experimental e a análise estatística dos resultados estão interligados
e, desta forma, devem ser considerados de maneira sucessiva nas pesquisas
científi cas de todas as áreas de conhecimento (Sampaio, 2010).
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Existe uma semelhança muito expressiva entre o médico e o estatístico
(“cuidador da saúde dos números”).
O primeiro passo para o médico é o diagnóstico (para o estatístico, o
planejamento); saber onde há necessidade de cura (qual o modelo para coleta
de dados). A primeira atitude dos médicos é examinar os sintomas – se você
chegar ao médico já pedindo determinado remédio, não será atendido; antes,
é preciso saber quais os sintomas aparentes do problema, detectando os sinto-
mas físicos (material e métodos) e emocionais (imparcialidade e não viés de
planejamento) – para fi nalmente realizar a prescrição.
Assim acontece com a estatística, a análise dos dados (prescrição de remé-
dio) deve acontecer após o conhecimento dos sintomas (características da pes-
quisa em estudo) para que se tenha o diagnóstico (modelo do delineamento
experimental).
Segundo Sir Ronald Aylmer Fisher, o arquiteto da estatística experimental:
“Chamar o especialista em estatística depois que o experimento foi feito pode
ser o mesmo que pedir para ele fazer um exame post-mortem. Talvez ele con-
siga dizer de que foi que o experimento morreu”.
A melhor maneira para a visualização sequencial destes aspectos consiste
em considerar a circularidade do método científi co, no qual pode-se verifi car
a necessidade e a importância do planejamento experimental juntamente com
a análise estatística de dados.
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Observações (2)
(Planejamento)
Formulação de hipóteses (1)
(Planejamento)
Verifi cação das hipóteses (3)
(Análise)
Desenvolvimento da Teoria (4)
Uma pesquisa científi ca estatisticamente planejada deve seguir a seguinte
sequência de passos quanto ao planejamento e execução:
1. Enunciado claro do problema e formulação das hipóteses que serão estuda-
das (as hipóteses científi ca e estatística devem manter uma correspondên-
cia perfeita e o enunciado apresentar-se de maneira clara e objetiva).
2. Indicação dos fatores (variáveis independentes – variáveis controladas
pelo pesquisador) do estudo (a escolha dos fatores e seus respectivos níveis
constituirão os tratamentos).
3. Indicação da unidade experimental (parcela). Deve ser defi nida no sentido
de minimizar o erro experimental.
4. Indicação das variáveis (variáveis respostas) que serão medidas na unidade
experimental (a distribuição probabilística associada à variável resposta é
essencial para a escolha do método de análise estatística).
5. Indicação das regras e procedimentos pelos quais os diferentes tratamen-
tos (combinação de níveis de fatores) serão atribuídos às unidades experi-
mentais (processo de casualização ou aleatorização).
6. Análise estatística dos dados do experimento (tem como objetivo verifi car
as hipóteses estabelecidas no início da pesquisa).
7. Descrição dos resultados analíticos com as medidas de precisão das estima-
tivas e o respectivo nível de signifi cância nas interpretações inferenciais.
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Para melhor entendimento das características e as etapas do planejamento
experimental, suponha que o interesse de um pesquisador consista em com-
parar duas dietas (normocalórica e hipercalórica) quanto ao desempenho
ponderal fi nal de ratos Wistar-Kyoto submetidos aos tratamentos (dietas) por
um período fi nal de 12 semanas.
Caracteriza-se que o experimento está planejado quando estão defi nidos:
i. a unidade experimental (animal – rato Wistar);
ii. a variável em análise (resposta) e a forma como será medida (variação per-
centual do ganho de peso, medido pela diferença 100( ) %PF PIPI
- ), sendo
PF o peso fi nal e PI o peso inicial;
iii. tratamentos em comparação (dieta normocalórica e dieta hipercalórica);
iv. forma de designar os tratamentos às unidades experimentais (por sorteio)
considerando que os animais são homogêneos;
v. o número de ratos de cada dieta será de 12 unidades.
Os itens iv e v formam os princípios básicos da experimentação: casualiza-
ção (fi dedignidade) e a repetição (exequibilidade).
As hipóteses de interesse da pesquisa são verifi cadas com a utilização de
métodos de análise estatística que dependem da maneira sob a qual as observa-
ções foram obtidas, ou seja, sob qual modelo de casualização dos tratamentos
às unidades experimentais os dados foram coletados. Portanto, planejamento
de experimentos e análise dos dados coletados sob o modelo operacional uti-
lizado não podem ser considerados isolados, pois a ordem dos acontecimentos
está em uma sequência dentro do desenvolvimento nas pesquisas.
O procedimento estatístico exigido ao analisar dados experimentais ou ob-
servacionais fundamenta-se em gerar modelos que explicitem as estruturas do
fenômeno biológico, as quais continuamente estão misturadas com variações
casuais, aleatórias ou acidentais. Quanto mais identifi cada e entendida forem
essas estruturas, maior conhecimento do fenômeno, assim como, melhores
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serão as informações sobre os possíveis comportamentos do mesmo. Ou seja,
tem-se uma aproximação consistente da realidade biológica expressa num
modelo considerado (modelo é uma expressão resumida de algum fenômeno).
A percepção biológica e a identidade estatística com o processo estocástico
ponderam admitir cada observação composta por duas partes: uma previsível
(controlada) e outra aleatória (não previsível).
Cada observação pode ser representada pelo modelo:
OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO , no caso aditivo, ou
OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL × ALEATÓRIO , no caso multiplicativo.
A parte previsível sistematiza o conhecimento que o pesquisador tem so-
bre o fenômeno, normalmente expressada por uma função matemática envol-
vendo parâmetros desconhecidos. À parte aleatória, dada sua característica de
não previsibilidade, exige-se que esteja sujeita a algum modelo probabilístico.
A partir destas considerações, seguindo o planejamento proposto para a
coleta de informações (dados) nas unidades experimentais, o procedimento
estatístico consiste em estabelecer estimativas para os parâmetros desconhe-
cidos (propostos na parte sistematizada previsível segundo as hipóteses e os
objetivos do pesquisador), baseando-se em amostras observadas.
1.3 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS
No contexto do planejamento de um experimento, torna-se essencial
defi nir a maneira como os tratamentos serão designados às unidades. O pro-
cesso de casualização envolvido no planejamento designando como os trata-
mentos serão alocados às unidades experimentais estabelecem o delineamento
do experimento. Nesse contexto, serão apresentados no presente texto, duas
situações comuns na área biológica, quais são: unidades homogêneas e uni-
dades heterogêneas, conforme descrito a seguir.
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i. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
Consiste em alocar de maneira inteiramente ao acaso os tratamentos às
unidades experimentais. Para sua realização, exigem-se unidades experi-
mentais homogêneas (similares).
ii. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC)
Consiste em considerar grupos similares (blocos) de unidades experimen-
tais, quando o conjunto é heterogêneo, e alocar casualmente os tratamen-
tos às unidades experimentais dentro dos blocos.
Na área biomédica o termo bloco é, geralmente, substituído por estrato.
1.4 EXEMPLOS
Para melhor entendimento de um planejamento experimental são apre-
sentados a seguir dois exemplos práticos.
4.1 Planeje um experimento para estudar (comparar) o uso de sobredoses de vi-
tamina B12 na diminuição de aterosclerose, em pacientes com a doença.
Unidade experimental: paciente com a doença.
Variável resposta: diminuição da aterosclerose (diâmetro do calibre em mm).
Tratamentos em comparação: dose padrão, sobredoses baixa, média e alta.
Designação dos tratamentos: por sorteio.
Número de repetições: oito doentes por tratamento.
4.2 Planeje um experimento para comparar quatro métodos de ensino da Linguagem
Americana de Sinais em alunos de uma turma homogênea de 120 alunos.
Unidade experimental: aluno da turma.
Variável resposta: nota de um teste padrão de linguagem (0 a 100 pontos
inteiros).
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Delineamento de Experimentos | 19
Tratamentos em comparação: métodos A, B, C, D.
Designação dos tratamentos: sorteio do aluno participante.
Número de repetições: 15 alunos por método.
Sob o aspecto dos delineamentos experimentais mais utilizados nos ex-
emplos práticos propostos em 1.4.1 e 1.4.2; o primeiro envolve como unidade
experimental o ser humano (paciente com doença) com suas características
biológicas heterogêneas, levando a necessidade do DBCC (são construídos
grupos de quatro pacientes com características biológicas tão próximas quanto
possível e então, procede-se o sorteio dos tratamentos). No segundo, como se
trata de uma turma homogênea, o DIC é mais apropriado.
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2DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)
2.1 INTRODUÇÃO
O primeiro planejamento experimental a ser abordado trata-se do Delin-
eamento Inteiramente Casualizado (DIC), bastante simples quanto ao proces-
so de alocação dos tratamentos às unidades experimentais. Para melhor desen-
volvimento didático será apresentado, primeiramente com dados balanceados
(mesmo número de repetições por tratamento) e, na sequência, com dados
não balanceados (ausência da consideração de mesmo número de repetições
por tratamento).
2.2 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS BALANCEADOS
Este delineamento consiste em designar os tratamentos às unidades ex-
perimentais por puro e simples sorteio, isto é, sem qualquer tipo de restrição
(equiprobabilidade para cada unidade experimental receber qualquer um dos
tratamentos). A operacionalização do procedimento de alocação dos tratamen-
tos fi ca condicionada à disponibilidade de parcelas similares no experimento
(parcelas homogêneas). O entendimento de similaridade ou semelhança não
deve ser confundido com igualdade (igualdade conceito muito matemático e
“nada” provável em biologia).
Esse plano experimental é tão mais efi ciente quanto maior for o grau de
homogeneidade entre as unidades experimentais em termos da variável de-
pendente. Se as unidades experimentais são heterogêneas, o número de parce-
las necessário para uma boa precisão pode ser muito grande (na prática deve-
se procurar outros planejamentos experimentais, tais como blocos ou utilizar
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS22 |
variáveis auxiliares – covariáveis, pois estes podem reduzir o erro experimen-
tal).
Sob o aspecto dos procedimentos de testes estatísticos é aconselhável o
balanceamento das repetições (todos tratamentos com igual número de
repetições), embora nem sempre isso seja possível (principalmente na pes-
quisa com seres humanos quando o uso de grupo controle tem restrições de
natureza ética).
O modelo estocástico que indica a forma da resposta biológica de uma
unidade experimental submetida a um dos tratamentos, isto é:
Resposta Biológica = Média Tratamento + Erro Casual Biológico, é descrito como
y (i ,...k j ,...,r)ij i ij= + = =μ ε e 1 1
sendo i o índice referente ao tratamento e j à unidade experimental.
2.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
A análise de variância (ANOVA), embora exija o cálculo de variâncias,
na verdade compara as médias dos tratamentos. Constitui-se numa extensão
do teste t de Student (que compara apenas duas e só duas médias) para um
número qualquer de médias. A estatística do teste para a ANOVA é calculada
por meio do teste F (Fisher-Snedecor).
A lógica de uma análise de variância consiste em considerar a variação
total existente nos dados desmembrada em duas partes: uma variação devida
aos tratamentos e outra devida ao acaso (ou resíduo). A idéia é comparar a
variação devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso.
Algumas pressuposições básicas precisam estar satisfeitas para o uso da
técnica da análise de variância, que são: i) os erros são variáveis aleatórias in-
dependentes; ii) a variância é constante (homogênea nos tratamentos); iii) a
distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 23
2.4 INDEPENDÊNCIA DOS ERROS
Uma regra prática consiste em utilizar um gráfi co de resíduos padroniza-
dos versus a ordem de coleta dos dados. Se a pressuposição de independência
estiver satisfeita, os resíduos devem fi car distribuídos casualmente ao redor de
zero, sem um padrão defi nido. Para a construção gráfi ca devem ser considera-
das as seguintes defi nições:
Resíduo ⇒ − •e y yij ij i= (resíduo relativo à j-ésima observação do i-ésimo
grupo), i k j r= =1 1,..., ; ,..., .
Resíduo padronizado ⇒ =ze
QMResijij
(resíduo padronizado relativo à j-
ésima observação do i-ésimo grupo ), onde QMRes signifi ca Quadrado Médio
Residual e tem seu valor dado por: QMRes S n S n kpool i ii
k
= = −( )⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −( )
=∑2 2
1
1 .
Para o entendimento da regra prática considere um conjunto homogêneo
de 20 animais e quatro dietas para a comparação das alterações de pesos, cujos
5 animais de cada dieta foram escolhidos por processo randômico (sorteio).
As dietas estudadas foram:
A: dieta padrão;
B: dieta padrão suplementada com amendoim;
C: dieta padrão suplementada com girassol;
D: dieta padrão suplementada com abóbora.
Os ganhos de peso(g) avaliados considerando a variação absoluta entre o
início e o fi nal do experimento, são apresentados na Tabela 2.1.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS24 |
Tabela 2.1 Ganhos de peso segundo dieta (g)
Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D25 31 22 3326 25 26 2920 28 28 3123 27 25 3421 24 29 28
A Tabela 2.2 apresenta o resultado da estatística descritiva dos dados:
Tabela 2.2 Estatística descritiva das dietas
Dieta A B C DMédia 23,0 27,0 26,0 31,0
Variância 6,5 7,5 7,5 6,5
Portanto,
QMRes Spool= = × + × + × + ×( ) −( )=2 4 6 5 4 7 5 4 7 5 4 6 5 20 4 7 0, , , , , .
Os resíduos estão apresentados na Tabela 2.3.
Tabela 2.3 Resíduos dos ganhos de peso segundo dieta (g)
Resíduo (eijj) Resíduo Padronizado (zijjz )
A B C D A B C D
2 4 -4 2 0,756 1,512 -1,512 0,756
3 -2 0 -2 1,134 -0,756 0,000 -0,756
-3 1 2 0 -1,134 0,378 0,756 0,000
0 0 -1 3 0,000 0,000 -0,378 1,134
-2 -3 3 -3 -0,756 -1,134 1,134 -1,134
O gráfi co bidimensional dos pares (ordem da observação; resíduo pa-
dronizado) está apresentado na Figura 2.1.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 25
01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
-1,890
-1,512
-1,134
-0,756
-0,378
0,000
0,378
0,756
1,134
1,512
1,890
Zij
Observação
Figura 2.1. Gráfi co dos resíduos padronizados zij
A inspeção gráfi ca dos resíduos permite indicar que a pressuposição de
independência pode ser aceita.
Em situações que se deseja um resultado mais objetivo, isto é, se há in-
teresse em um estudo mais avançado de delineamento de experimentos, re-
comenda-se aplicar o teste de Durbin-Watson para avaliar a signifi cância da
presença de dependência (autocorrelação) dos erros (Draper & Smith, 1998).
2.5 VARIÂNCIA CONSTANTE (HOMOCEDASTICIDADE)
Uma regra prática indicada por DEAN & VOSS (1999) sugere pressupor
que os resultados de uma ANOVA sejam considerados válidos desde que a
maior variância não exceda em três vezes a menor. BOX (1953) sugere que a
maior variância não deva exceder em quatro vezes a menor. No nível analítico,
no qual exige-se decisão mais objetiva, foram propostos diversos testes para a
igualdade de variâncias, destacando-se entre eles: Cochran, Hartley, Bartlett e
Levene. Em nosso caso, será utilizado o teste de Hartley que considera a razão
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS26 |
entre a maior e a menor variância, cuja estatística do teste é dada pela distri-
buição F.
Ou seja,
H k0 12
22 2: ...s s s= = = (Variâncias Homogêneas)
H1 : Existe s si i2 2¹ ’ , para i i¹ ’ (Variâncias Heterogêneas)
A estatística do teste é obtida considerando
F (S ,...,S )(S ,...,S )
~ Fk
k(glnum;glden)= max
min12 2
12 2 .
Sob a veracidade de H0 , a estatística F do teste de hipótese da homogenei-
dade de variâncias tem distribuição F (Fisher-Snedecor) com os parâmetros:
graus de liberdade do numerador (glnum) e graus de liberdade do denomina-
dor (glden).
A regra de decisão é a habitual, isto é, F F(α glnum;glden)> ; , rejeita-se
H0 ; caso contrário, não há rejeição.
No exemplo:
, t4 6ão
F SS
= = =
=
max(Smin(S
7,56,5
,ent
1
1
242
242 1 15
0 05
,..., ),..., )
,
,α ; portanto, não se rejeiglnum glden F= = =⇒ 390 05 4 4( , ; ; ) ta H0.
2.6 NORMALIDADE DOS ERROS
Um processo prático consiste em fazer um gráfi co de probabilidades nor-
mais (“NORMAL PROBABILITY PLOT”). O gráfi co de probabilidade normal
consiste em uma técnica gráfi ca que permite avaliar se existe ou não um conjun-
to de dados que apresenta aderência à distribuição normal de probabilidades.
Os dados são plotados em um gráfi co cartesiano para verifi car se os pontos
formam uma reta aproximada, levando-se em consideração que quanto mais
afastados da reta situarem os pontos, maior fuga da normalidade apresenta a
situação. Os resíduos padronizados ( Zij ) são colocados no eixo das abscissas
e os escores da distribuição normal padronizada [valores esperados obtidos
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 27
de P Z Fi( )£ ] no eixo das ordenadas, para i n=1, , . A cada i-ésimo resíduo,
associa-se a frequência percentual acumulada empírica F ini =−100 1
2( ) %, em
seguida calcula-se P Z Fi( )£ .
Na presença da normalidade, os pontos fi carão em torno de uma reta que
passa pela origem e tem coefi ciente angular 1. De maneira analítica, a hipótese
de que a distribuição dos erros é normal pode ser colocada em teste utilizando-
se os testes de aderência de: Kolmogorov-Smirnov(KS), Shapiro-Wilks(SW) e
Qui-quadrado(χ2).
Em linhas gerais, o pesquisador não precisa preocupar-se com a não-
normalidade, o teste estatístico F é bastante robusto, ou seja, pequenas trans-
gressões à pressuposição de normalidade não afetam, substancialmente, o re-
sultado da análise de variância ANOVA, a menos que a distribuição dos erros
tenha: i) curtose positiva; ii) assimetria. Nesses dois casos, têm-se falsas re-
jeições (mais diferenças signifi cantes do que, na realidade, existem).
Considerando o exemplo dos ganhos de peso segundo dieta com o total 20
animais, tem-se F i ii =− = −100 0 5
205 0 5( , ) % ( , )% . Com os valores dos resíduos pa-
dronizados ordenados em ordem crescente de magnitude constrói-se a Tabela 2.4.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS28 |
Tabela 2.4 Resíduos padronizados ordenados e escores esperados sob normalidade(Distribuição Z)
Ordem ( i ) Zij (ordenado) Fi (%) Escore Esperado
1 -1,512 2,5 -1,96
2 -1,134 7,5 -1,44
3 -1,134 12,5 -1,15
4 -1,134 17,5 -0,93
5 -0,756 22,5 -0,76
6 -0,756 27,5 -0,60
7 -0,756 32,5 -0,45
8 -0,378 37,5 -0,32
9 0,000 42,5 -0,19
10 0,000 47,5 -0,06
11 0,000 52,5 0,06
12 0,000 57,5 0,19
13 0,378 62,5 0,32
14 0,756 67,5 0,45
15 0,756 72,5 0,60
16 0,756 77,5 0,76
17 1,134 82,5 0,93
18 1,134 87,5 1,15
19 1,134 92,5 1,44
20 1,512 97,5 1,96
Para melhor entendimento do processo considere o resíduo padronizado
de menor magnitude (-1,512). A ordem associada ao valor é i =1 e, logo,
F1 5 1 0 5 2 5(%) ( , )% , %= − = . O escore esperado sob a distribuição normal pa-
dronizada é dado por P Z( , ) ,≤ =−0 025 1 96 . E assim, procede-se sucessiva-
mente até o escore padronizado de maior magnitude (1,512).
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 29
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
-2,5
EscoreEsperado
Zij
2.7 TÉCNICA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)
Quando se tem um experimento completamente ao acaso com um fator
fi xo (fonte de variação controlada em estudo), o interesse consiste em veri-
fi car a infl uência dos k níveis desse fator (k grupos ou k tratamentos) sobre
uma variável dependente (resposta) biológica Y em estudo. Uma maneira de
verifi car a existência dessa infl uência do fator consiste em comparar as médias
populacionais da variável Y sob os níveis do fator (tratamento = agente causal).
Um teste estatístico para verifi car a igualdade dessas k médias relativas aos
níveis do fator consiste na técnica da análise de variância (ANalysisNN Of O VAri-
ance, título em inglês que deriva a sigla ANOVA, utilizada na língua inglesa e,
muitas vezes na língua portuguesa). Embora o procedimento envolva o cálculo
de variâncias, seu objetivo fundamenta-se em comparar as médias dos níveis
do fator (tratamento).
A lógica da ANOVA para o delineamento inteiramente ao acaso é muito
simples, ou seja, resume-se em fracionar a variabilidade total dos dados em
duas fontes de variação ortogonais entre si, sendo uma devido a variação en-
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS30 |
tre os níveis do fator (variação entre tratamentos) e outra, devido a variação
dentro dos níveis (dentro de tratamentos). Esta última tem a fi nalidade espe-
cífi ca de estimar a variação atribuída ao acaso; enquanto a primeira, envolve
a variação do acaso acumulada, devido aos níveis de tratamento. Feito isso,
determina-se a razão da variação entre os níveis e a variação dentro dos níveis
e, se o resultado obtido for “muito grande” a conclusão é estabelecida a favor
das diferenças entre as médias dos níveis do fator (diferenças entre as médias
dos tratamentos).
Deve ser considerado que para a utilização da técnica da ANOVA, embora
o entendimento da lógica seja muito fácil, algumas pressuposições devem es-
tar satisfeitas, quais sejam: independência dos erros, normalidade dos dados
e homogeneidade de variâncias; conforme será mostrado a seguir a partir dos
dados da Tabela 2.5.
Considere um conjunto homogêneo de 20 animais e quatro dietas para a
comparação das alterações de pesos, cujos 5 animais de cada dieta foram escol-
hidos por processo randômico (sorteio). As dietas estudadas foram:
A: dieta padrão;
B: dieta padrão suplementada com amendoim;
C: dieta padrão suplementada com girassol;
D: dieta padrão suplementada com abóbora.
Tabela 2.5 Ganhos de peso segundo dieta
Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D
25 31 22 33
26 25 26 29
20 28 28 31
23 27 25 34
21 24 29 28
23 (2,55) (*) 27 (2,74) 26 (2,74) 31 (2,55)(*) média (desvio padrão)
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 31
Cada ganho de peso é uma resposta biológica do modelo geral
yij i ij i ij= + = + +μ ε μ τ ε , com i k=1,..., (número de tratamentos) e j r=1,...,
(número de repetições por tratamento), onde:
μ é a média geral comum a todas as observações defi nida como
, sendo
μi a média populacional de Y no i-ésimo tratamento;ri o número de repetições no i-ésimo tratamento (no caso balanceado é o
valor comum r para todos tratamentos);ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y e mede
o desvio da média μi em relação a m, isto é: τ μ μi i= − ;eij é o erro casual não observável (em nosso estudo, variável aleatória in-
dependente e identicamente distribuída como N 0 2,s( ) ).
Neste sentido, tem-se:
a) E Yij i i( )= + =μ τ μ
b) Var Yij=( )=s2
c) Y Nij i~ ,μ σ2( )Considerando satisfeitas as suposições de independência dos erros, nor-
malidade dos dados e homogeneidade das variâncias de tratamentos, a técnica
da ANOVA consiste em comparar a variação devida aos tratamentos (entre
tratamentos) com a variação devida ao acaso (ou resíduo, ou dentro de trata-
mentos).
Para o cálculo das causas de variação são determinadas:
a) Graus de liberdade (GL)
Total n n kr;Tratamento k ;
duo n k k r
= − == −
= − = −( )
11
1
, onde
Resí
b) Somas de quadrados (SQ)
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS32 |
SQTot y y y ny yi
k
ijj
r
i
k
ijj
r
= − = − ==
••= =
••=
••∑ ∑ ∑ ∑1
2
1 1
2 2
1
1( ) onde nn
y
SQTrat y y yr
ny
i
k
ijj
r
i
k
ij
ri
i
= =
=• ••
=
•••
=
∑ ∑
∑ ∑= − = − =
1 1
1
2
1
22
;
( )11
2
1
2
1
1
1
k
ii
k
i ijj
r
i
k
ij
ry -ny
yr
y
SQRes y
∑ ∑
∑
∑
•=
••
•=
=
=
= −
; onde
;
( yy y yr
SQTot SQTratij
r
i
k
ijj
ri
i
k
•= = =
•
=∑ ∑ ∑ ∑= − = −) .2
1 1
2
1
2
1
c) Quadrados Médios (QM)
QMTrat SQTrat kQMRes SQRes n k
= −= −
/ ( )/ ( )
1
F QMTrat QMRes= /
As quantidades obtidas anteriormente são dispostas na Tabela 2.6, denom-
inada tabela de análise de variância.
Tabela 2.6 Tabela geral de ANOVA de um DIC balanceado
Causa de variação GL SQ QM F
Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes/
Resíduo n k- SQRes QMRes
Total n-1 SQTot
O teste de hipóteses relativo à Tabela 2.6 consiste em:
H0 : Não existe efeito de tratamentos ⇔ = = = ⇔ = = = H Hk k0 1 0 10: ... : ...τ τ μ μ μ
H1 : Existe efeito de tratamentos ⇔ ≠ = Existe H i ki1 0 1: ( ,..., )t
Se F F k n k≥ − −( ; ; )a 1 , rejeita-se H0H . Caso contrário não há rejeição.
No exemplo, tem-se:
k = 4 (tratamentos) e r = 5 (repetições por tratamento);
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 33
y y•• ••= = =535 535 20 26 75, logo, / ,
y y y y y y y1 1 2 2 3 3 4115 23 135 27 130 26 15• • • • • • •= = = = = = =( ); ( ); ( ); 55 314( )y • =
SQTot = − =14587 00 14311 25 275 75, , ,
SQTrat= − =14475 00 14311 25 163 75, , ,
SQRes= − =275 75 163 75 112 00, , ,
QMTrat = =163 75 3 54 58, / ,
QMRes = =112 00 16 7 00, / ,
Tabela 2.7 ANOVA dos ganhos de peso
Causa de variação GL SQ QM F
Dietas 3 163,75 54,58 7,80 (p < 0,005)
Resíduo 16 112,00 7,00
Total 19 275,75
Conclui-se, no nível de signifi cância 5%, que existem diferenças entre as
médias das alterações (ganhos) de pesos segundo as dietas estudadas (rejeita-
se H0 1 2 3 4 0: t t t t= = = = ). Ou seja, os resultados experimentais (com base
no “p-value”) permitem rejeitar a hipótese de que as médias de tratamentos
são iguais, ao nível de signifi cância de 5%.
2.8 COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO E VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO
O coefi ciente de determinação ( R2) de um experimento é dado pela razão
entre a SQTrat (variação devida aos tratamentos) e a SQTot (variação total
dos valores observados), indicando a proporção da variação total explicada
pela variação devida aos tratamentos ( 0 12£ £R ).
O coefi ciente de variação ( CV ) de um experimento é dado pela razão entre
o desvio padrão (na ANOVA, consiste na raiz quadrada positiva de QMRes ) e
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS34 |
a média geral dos dados ( y·· ), indicando como os dados comportam-se (dis-
persão) em relação à média geral. A grandeza inversa do CV remete à idéia da
precisão dos dados experimentais.
No exemplo anterior, tem-se
= =R2 SQTrat SQTot/ , / , ,=163 75 275 75 0 5938
(59,38% da variação total é explicada pela variação de tratamentos);
CV QMRes y= = =••/ , / , ,7 00 26 75 0 0989
(9,89% estabelece-se como a dispersão relativa dos dados experimentais)
2.9 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS
A técnica da ANOVA permite ao pesquisador verifi car se existe efeito
dos tratamentos, mas não como as médias dos tratamentos diferem entre
si. Portanto, se constatar que existe efeito do fator em estudo, é interessante
complementar a análise a fi m de localizar as diferenças entre as médias dos
tratamentos. A resposta à complementação da ANOVA pode ser concretizada
(principalmente quando os níveis do fator são qualitativos) com um teste de
comparações múltiplas de médias.
Nessa linha de busca de uma resposta biológica mais interessante e in-
formativa foram propostos diversos testes que, em geral, levam o nome do
seu autor (Tukey, Duncan, Dunnet, Bonferroni, Scheff é, Newman-Keuls ou
Student-Newman-Keuls (SNK), e outros). Não existe um teste aceito como o
“melhor” deles; todos apresentam vantagens e desvantagens e situação mais
indicada para seu uso.
Os testes de comparações múltiplas permitem testar hipóteses do tipo:
H c ck k0 1 1 0: ...μ μ+ + = “versus” H c ck k1 1 1 0: ...μ μ+ + ≠ , com c ck1 0+ + =... . Essa
combinação linear de médias, que refl ete uma situação de interesse biológico,
é denominada contraste de médias.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 35
Na maioria das vezes, o interesse consiste na comparação de todas as dife-
renças entre médias de dois tratamentos. Dentro dessa linha de curiosidade a
opção será pelo método de Tukey.
O método de Tukey baseia-se na diferença honestamente signifi cante
(HSD=”Honestly Signifi cant Diff erence”), cujo princípio é encontrar a diferen-
ça mínima signifi cante que assegura a todas as comparações um nível comum
de signifi cância estabelecido a priori. Segundo Gomes (2009), o teste pode ser
utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre pares de médias.
No experimento com dados balanceados o teste de Tukey é exato com o
seguinte procedimento operacional:
0 0H e H , com 0 1: : .’ ’μ μi i i i i i’− = − ≠ ≠μ μ
Calcula-se ( ) ( ) ( )HSD q QMResrk= = ; ;α ϕα Δ α q k( ; ; )α ϕ é o quantil de or-
dem (1-α/2) da distribuição estatística denominada “studentized range” com
parâmetros k (número de tratamentos) e j= −n k (graus de liberdade do re-
síduo). Os valores de q, considerando a=0,01 e a=0,05, estão tabelados e são
encontrados em diversos livros de estatística experimental.
A regra de decisão é a habitual, ou seja:
Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança 100 1−( )a %
para a diferença de médias, cujos limites são dados por:
LI y y q QMResri i= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕk
LS y y q QMResri i= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕk
No exemplo relativo à Tabela 1, tem-se
q 0 05 4 16 4 05, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 5 4 05 7 005
4 79% % , , ,( )= ( )= =HSD .
Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante entre as mé-
dias dos ganhos de peso é da ordem de 4,79 unidades de peso. Neste sentido, as
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS36 |
únicas diferenças encontradas aconteceram entre as dietas A e D (8,00>4,79)
e C e D (5,00>4,79).
Uma maneira elegante e redacional (textos científi cos e biológicos) de
apresentar os resultados está disposta na Tabela 2.8.
Tabela 2.8 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo a dieta
DietaHSD
A B C D
23 (2,55)a(1) 27 (2,74)ab 26 (2,74)a 31 (2,55)b 4,79
(1) duas médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si (p>0,05) pelo teste de Tukey
2.10 EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)
A seguir são apresentados alguns exercícios para o entendimento do
planejamento experimental envolvido no DIC Balanceado (mesmo número de
repetições por tratamento) e também para o treinamento dos cálculos abran-
gidos na técnica da ANOVA e no teste de comparações múltiplas de Tukey. As
respostas dos exercícios são apresentadas no próximo item.
1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farmacolo-
gista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis 24
cobaias, bastante similares. Como você planejaria o experimento?
2. Explique com detalhes o procedimento que você faria para designar cinco
tratamentos (A, B, C, D, E) para 25 unidades experimentais (ratos) similares.
3. Num laboratório de biofísica são usados quatro voltímetros diferentes.
Para verifi car se os quatro voltímetros estão igualmente calibrados, mediu-
se a mesma força constante de 100 volts cinco vezes cada voltímetro. Os
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 37
dados estão na tabela abaixo. Faça uma análise de variância e interprete o
resultado (considerar α=0,05).
Voltagem segundo o voltímetro
Voltímetro
A B C D
117 115 118 125
120 110 123 121
114 116 119 123
119 115 122 118
115 114 118 118
4. Para detectar a presença de insetos daninhos nas plantações, colocam-se
papelões untados com uma substância pegajosa e examinam-se os insetos
capturados. Ao nível de 5% de signifi cância, que cores atraem mais inse-
tos? Os pesquisadores colocaram seus papelões de cada cor em posições
aleatórias em um campo de aveia, e contaram o número de insetos captu-
rados.
Cor do papelão Insetos Capturados
Azul 16 11 20 21 14 17
Verde 37 32 20 29 37 32
Branco 21 12 14 17 13 20
Amarelo 45 59 48 46 38 47
Obs.: Como a variável “número de insetos” (contagem) não apresenta distribuição normal (variável discreta), para a análise dos dados considerar os valores observados sob a transformação raiz quadrada.
5. Considere o seguinte quadro de ANOVA da PAM:
Fonte de variação Soma Quadrados GL QM F
Entre Grupos 800 3 ? ?
Intragrupos ? ? 33,33 -
Total 2000
a. Qual tipo de ANOVA está apresentado no quadro?
b. Qual a conclusão no nível de 5% de signifi cância?
c. Qual a redação científi ca mais adequada para a conclusão sobre o resul-
tado do teste estatístico empregado?
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS38 |
6. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-
pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de
Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).
Grupo Dosimetria Hg
Garimpeiros 24 19 25 23 13
Ribeirinhos 16 8 10 7 15
Índios 28 30 19 23 22
Controle 12 6 8 7 9
Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as
respostas médias dos grupos.
2.11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)
1. Cada grupo ( Controle, Droga 1 e Droga 2 ) será composto de oito coba-
ias alocadas por processo aleatório simples (casual ou randomizado ). A
variável resposta será comparada quanto às médias dos grupos pela téc-
nica da ANOVA complementada com o teste de comparações múltiplas de
Tukey, considerando o nível de 5% de signifi cância.
2. Os ratos são enumerados de 1 a 25 e, em uma urna são colocadas 25 eti-
quetas idênticas quanto ao tamanho, forma e cor sendo cinco marcadas
com a letra A, cinco com B, cinco com C, cinco com D e, fi nalmente cinco
com E. Em outra urna, são colocadas outras etiquetas enumeradas de 1
a 25, correspondente aos 25 ratos da pesquisa. Procede-se com a realiza-
ção de sorteios em ambas as urnas, formando 25 pares constituídos pelo
tratamento sorteado na primeira urna e o rato correspondente ao número
sorteado na segunda.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 39
3. Tabela 1. ANOVA para a força dos voltímetros
Causa de variação GL SQ QM F
Voltímetro 3 150,00 50,00 7,41 (p<0,005)
Resíduo 16 108,00 6,75
Total 19 258,00
Tabela 2. Média (desvio padrão) da força segundo tipo de voltímetro
A B C D
117,00 (2,55) ab 114,00 (2,35) a 120,00 (2,35) b 121,00 (3,08) b
DHS (5%) = 4,71
4. Tabela 1. ANOVA para a raiz quadrada do número de insetos capturados
Causa variação GL SQ QM F
Cor do papelão 3 33,72 11,24 43,57 (p<0,001)
Resíduo 20 5,16 0,26
Total 23 38,88
Tabela 2. Média (desvio padrão) do número de insetos capturados(*) segundo cor
Azul Verde Branco Amarelo
4,04 (0,47) a 5,56 (0,60) b 4,00 (0,47) a 6,85 (0,49) c
DHS (5%) = 0,82
(*) Variável sob a transformação raiz quadrada
5. a. ANOVA para DIC balanceado (10 animais por grupo).
b. F= 266,67/33,33 = 8,00 (p < 0,001); portanto rejeita-se a hipótese de
ausência de efeito de tratamentos.
c. No nível de 5% de signifi cância conclui-se que existe diferença entre as
médias da PAM nos grupos estudados.
6. Tabela 1. ANOVA para a dosimetria de mercúrio no sangue (ppb)
Causa variação GL SQ QM F
Grupo 3 871,20 290,40 17,47 (p<0,001)
Resíduo 16 266,00 16,63
Total 19 1137,20
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS40 |
Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria de mercúrio no sangue segundo ogrupo
Garimpeiros Ribeirinhos Índios Controle
20,80 (4,92) b 11,20 (4,09) a 24,40 (4,51) b 8,40 (2,30) a
DHS (5%) = 7,39
2.12 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS NÃO BALANCEADOS
Em algumas situações, pode acontecer que o número de unidades experi-
mentais disponível não seja múltiplo do número de tratamentos que se pre-
tende comparar ou, ainda, começar o experimento com dados balanceados e
algumas unidades, por algum motivo alheio à vontade do pesquisador, torna-
rem-se perdidas para o experimento. Nessas situações, os tratamentos podem
fi car com números de repetições total ou parcialmente diferentes, ou seja, ex-
perimento com número diferente de repetições (dados não balanceados).
Talvez a primeira sugestão, com base no que já foi visto, seria “descartar
utilizando critérios randômicos” unidades experimentais para se ter os dados
balanceados nos tratamentos. Mesmo sendo, do ponto de vista da Estatística
Experimental, melhor que todos os tratamentos apresentem o mesmo número
de parcelas (a análise é realizada por procedimento exato), a importância bi-
ológica das informações das unidades experimentais é mais imperativa que
a simplicidade dos cálculos matemáticos do procedimento e, neste sentido,
torna-se imprescindível um comportamento mais requintado para a situação.
Nessa situação, o caminho mais próximo às características da biologia aca-
ba sendo dado pelo procedimento anterior realizado com os dados balancea-
dos, adaptando-se as fórmulas dos cálculos aos experimentos com dados não-
balanceados. Esta nova maneira faz com que o processo exato seja direcionado
à forma aproximada.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 41
Portanto, a teoria desenvolvida no DIC balanceado passa a ser explicitada
com pequenas modifi cações nas somas de quadrados e no procedimento de
Tukey.
Tem-se:
SQTot y nyijj
r
i
k i
= − ••==∑∑ 2 2
11, onde ri consiste nas repetições do i-ésimo trata-
mento e yn
yijj
r
i
k i
••==
= ∑∑1
11
SQTrat yr
nyi
ii
k
= −•=
••∑2
1
2 y yi ijj
ri
•=
=∑1
SQRes y SQTot SQResijyr
i
k
j
r
i
ki
i
i
= − = −•
===∑∑∑ 2
111
2
.
O quadro da ANOVA permanece o mesmo do DIC para dados balancea-
dos.
Em relação ao teste de Tukey, calcula-se
k e
Se y yi i ii• •− ≥ ( )’ ’Δ a , rejeita-se a hipótese de igualdade de médias. Caso
contrário, não há rejeição.
A Tabela 2.9 mostra os ganhos de peso (kg) no fi nal do experimento re-
alizado para comparar três rações comerciais em um lote de animais (suínos)
homogêneos (PADOVANI, 2002).
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS42 |
Tabela 2.9 Ganho de peso (kg) segundo ração
Ração Ganho de Peso
A 7,12 6,91 6,30 6,72 6,68 6,80
B 8,15 8,45 8,92 9,15
C 6,58 7,04 6,46 7,12 7,06
r r r n1 2 36 4 5 15= = = =; ; ;
y y y y y1 2 340 53 34 67 34 26 109 46 7 297• • • •• ••= = = = =, , , , , ; ; ; ; 33
SQTot = − × = − =810 3948 15 7 2973 810 3948 798 7588 11 63602, , , , ,
SQTrat= + + − = − =40 536
34 674
34 265
798 7588 809 0319 798 75882 2 2, , , , , , 110 2731,
Tabela 2.10 Quadro da ANOVA do ganho de peso
Causa Variação GL SQ QM F
Ração 2 10,2731 5,1366 42,22 (P<0,001)
Resíduo 12 1,3629 0,1136
Total 14 11,6360
Coefi ciente de Variação do experimento: CV = =100 0 11367 2973
4 62,,
% , %
Coefi ciente de Determinação: R2 10 273111 6360
0 8829 88 29= =,,
, ( , %)
Teste de Tukey
a= 0 05, ; k = 3 (tratamentos); ϕ=12 (graus de liberdade do resíduo)
Δiii i
i i
i ir rr r
rr’’
’
’
, , ,= +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+3 77 0 11362
1 1 0 8985
Δ12 0 580= , ; Δ13 0 544= , ; Δ23 0 603= ,
y y A B1 2 126 755 8 6675 1 9125• •− = − = > ≠( ), , , Δ
y y A C1 3 136 755 6 852 0 097• •− = − = < =( ), , , Δ
y y B C2 3 238 6675 6 852 1 8155• •− = − = > ≠( ), , , Δ
A Tabela 2.11 mostra a média e o desvio padrão do ganho de peso segundo
a ração comercial administrada.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 43
Tabela 2.11 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo ração
Ração A Ração B Ração C
6,755(0,273)a(1) 8,668(0,452)b 6,852(0,307)a
(1) duas médias seguidas de uma mesma letra não diferem (P>0,05) pelo teste de Tukey.
2.13 EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)
1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farma-
cologista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis
24 cobaias, bastante similares. Discuta o uso de grupos com diferentes
repetições.
2. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-
pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de
Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).
Grupo Dosimetria Hg
Garimpeiros 24 19 25 23 18
Ribeirinhos 13 10 12 8
Índios 28 30 24 26 25
Controle 10 6 8 9
Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as
respostas médias dos grupos.
3. Considerar as seguintes avaliações nasométricas
[nasalância(%)=100*(energia acústica nasal) / (energia acústica nasal+energia otoacústica oral)]
do vocábulo “papai” isolado e inserido em frase (Di Ninno et al., Revista de
Atualização Científi ca PRÓ-FONO, v.13, n.1, p.71-77, 2001)
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS44 |
4. Faixa Etária Nasalância (%)
Criança 10,5 11,6 12,3 8,9 9,2 9,6 10,9 11,0
Adolescente 11,5 10,2 13,9 12,0 10,4 10,0 14,1
Adulto 18,5 16,6 20,2 17,8 21,8 17,4
Considerando o nível de signifi cância 5%, avaliar as diferenças entre as
respostas médias das nasalâncias.
2.14 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)
1. Do ponto de vista biológico, o grupo controle (animais que recebem o
placebo, ou seja, soro fi siológico por exemplo) é o referencial das com-
parações (padrão de referência para testar o efeito das drogas), logo deve
ser o grupo agraciado com mais animais. O restante dos animais pode ser
balanceado entre as duas drogas.
2. Tabela 1. Quadro da ANOVA da dosimetria de Hg
Causa variação GL SQ QM F
Grupos 3 1030,50 343,50 56,22 (p<0,001)
Resíduo 14 85,50 6,11
Total 17 1116,00
Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria segundo grupo
Garimpeiro Ribeirinho Índio Controle
21,80 (3,11) b 10,75 (2,22) a 26,60 (2,41) c 8,25 (1,71) a
DHS (G x R) = 4,82 DHS (G x I) = 4,54 DHS (G x C) = 4,82
DHS (R x I) = 4,82 DHS (R x C) = 5,08 DHS (I x C) = 4,82
3. Tabela 1. Quadro da ANOVA da nasalância
Causa variação GL SQ QM F
Faixas Etárias 2 256,01 128,01 49,81 (p<0,001)
Resíduo 18 46,28 2,57
Total 20 302,29
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 45
Tabela 2. Média (desvio padrão) da nasalância segundo faixa etária
Criança Adolescente Adulto
10,50 (1,19) a 11,73 (1,71) a 18,72 (1,94) b
DHS (Cr x Adol)=2,12 DHS (Cr x Adul)=2,21 DHS (Adol x Adul)=2,28
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 45delineamento_de_experimentos-prova4.indd 45 28/05/2014 15:50:1428/05/2014 15:50:14
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3DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS
CASUALIZADOS (DBCC)
3.1 INTRODUÇÃO
Quando o conjunto de unidades experimentais for relativamente heterogê-
neo (pequenos grupos de unidades similares, mas nenhum sufi cientemente
grande para um planejamento), o plano experimental inteiramente casualizado
torna-se pouco preciso, porque o erro experimental torna-se muito grande. A
partir das informações disponíveis, antes da realização do experimento, é pos-
sível agrupar as unidades experimentais em subconjuntos de unidades mais ho-
mogêneas, denominados blocos. A alocação das unidades experimentais entre
os tratamentos obedece a uma restrição imposta pelos blocos, ou seja, o procedi-
mento de casualização dos tratamentos às unidades experimentais é realizado
dentro de cada bloco. Quando todos os tratamentos aparecerem em todos os
blocos uma única vez, tem-se o Delineamento em Blocos Completo. Toda vez
que os tratamentos tornam-se presentes uma única vez em cada bloco, o número
de blocos coincide com o número de repetições (Banzatto & Kronka, 2006). Deve
ser observado, inclusive por possível confusão de nome, que a aleatorização está
sendo realizada nos tratamentos dentro dos blocos (restrição na casualização).
Na análise estatística de um experimento em blocos casualizados, ou como
normalmente se diz, um experimento em blocos, além dos fatores de interesse,
deve-se levar em conta o fator de controle experimental, blocos, diminuindo
desta maneira o erro experimental. Quanto maior for a heterogeneidade entre
blocos, maior será a efi ciência deste plano experimental em relação ao comple-
tamente aleatorizado. O delineamento em blocos também pode ser planejado
com repetições dos tratamentos dentro do bloco e além disso, de forma incom-
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS48 |
pleta. A análise estatística do delineamento em blocos completos ao acaso com
repetições torna-se relativamente fácil quando o número de unidades dentro
de cada bloco é múltiplo do número de tratamentos em comparação.
O termo bloco (sua origem é de fato agronômica, cujo objetivo referia-se
a faixa de terra de mesma fertilidade – fertilidade homogênea) tem um sen-
tido prático interessante na área biológica, ou seja, caracteriza-se como estrato
e tem como fi nalidade, o controle da homogeneidade dos animais quanto às
variáveis intervenientes.
No presente estudo os blocos são completos quanto aos tratamentos, isto
é, um bloco possui todos os tratamentos de interesse do estudo, alocados por
processo aleatório com uma repetição por bloco. A vantagem mais destacada
dos experimentos em blocos consiste em permitir o uso de unidades experi-
mentais heterogêneas. Os blocos controlam uma causa de variação e esta-
belecem uma restrição à casualização. Essa restrição à casualização devido à
constituição dos blocos indica para a não realização do teste estatístico para a
causa de variação blocos, ou seja, não faz sentido, pois se trata de uma fonte de
variação de controle e não de interesse para a comparação. Se a fonte colocada
como blocos está no interesse do pesquisador para comparação, o esquema de
fatores torna-se o procedimento adequado para a combinação dos níveis dos
dois fatores em estudo.
Em resumo, podem ser destacados:
a. A casualização ocorre dentro dos blocos (os blocos são estratos defi nidos
quanto à heterogeneidade das unidades experimentais e, portanto fi xados
como controles).
b. Os blocos são completos quanto aos tratamentos pesquisados (cada bloco
deve conter todos os tratamentos do estudo).
c. É essencial que os blocos reúnam unidades similares (unidades semelhantes
dentro de blocos asseguram aos tratamentos única fonte de variação).
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 48delineamento_de_experimentos-prova4.indd 48 28/05/2014 15:50:1428/05/2014 15:50:14
Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 49
d. Quanto maior a heterogeneidade entre blocos maior a efi ciência do delin-
eamento (a perda de heterogeneidade entre blocos indica a falta da neces-
sidade de controle local).
e. O tratamento aparece uma única vez dentro de cada bloco (razão de ser
denominado completo).
f. Os experimentos em blocos são feitos, essencialmente, para comparar
tratamentos (os blocos não são construídos para teste estatístico, mas
como necessidade de controle).
g. Não deve ser feito o teste estatístico de blocos (blocos são utilizados como
fonte de controle da heterogeneidade, sem qualquer interesse de comparação).
h. Fazer blocos signifi ca impor uma restrição como controle às unidades ex-
perimentais (a designação casual dos tratamentos às unidades experimen-
tais dentro de cada bloco).
i. Exemplos biológicos de blocos: posição na estufa, ninhada, faixa de idade,
faixa de peso, uma partida de animais (lote), entre outros.
3.2 MODELO DO EXPERIMENTO (BIOLÓGICO)
O modelo de DBCC com k tratamentos e t blocos é dado por:
y i k j tij i j ij i i= + + = + = =( )μ β ε μ μ τ ; 1 1,..., ; ,..., ; onde:
m é a média geral comum a todas as observações;
ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y ;
b j é o efeito do j-ésimo bloco experimental;
eij é o erro casual não observável (independente e identicamente distribuí-
do com N 0 2,s( ) ).
Neste sentido, para o modelo de efeitos fi xos, tem-se:
a) E Yij i j( )= + +μ τ β ;
b) Var Yij( )=s2 ;
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS50 |
c) Y Nij i i j~ ,μ τ β σ+ +( )2 .
3.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Todas as considerações realizadas para o DIC são também válidas para o
DBCC (independência dos erros; variâncias homogêneas e normalidade dos
dados).
Considere o seguinte conjunto de pesos de carcaças (kg) de coelhos (Ta-
bela 3.1) no acabamento segundo o tipo de dieta randomizada oferecida aos
animais.
Tabela 3.1 Peso de carcaças (kg) de coelhos segundo dieta
DietaRaça
Norfolk Angorá I Angorá II Nova Zelândia I Nova Zelândia II
Padrão 1,28 1,08 1,06 1,36 1,19
Padrão+Rami 1,45 1,15 1,28 1,50 1,41
Padrão+Alfafa 1,38 1,08 1,17 1,43 1,26
Padovani, C. R. (2002). Exercícios de Estatística Básica e Experimental. Depto. Bioestatística, IB/UNESP, Botucatu-SP, 40p.
Cada peso de carcaça (kg) é uma resposta biológica do sorteio de três di-
etas dentro dos conjuntos de três animais tornados homogêneos pelas raças,
cujo resultado biológico responde ao modelo:
yij i j ij= + + +μ τ β ε , com i k=1,..., (tratamentos) e j t=1,..., (blocos).
Neste modelo, a técnica da ANOVA consiste em fracionar a SQTotal em
três fontes de variação: a primeira referente aos tratamentos ( SQTrat ), a se-
gunda relativa aos blocos ( SQBloco ) e, por fi m, a expressa nas fl utuações ca-
suais ( SQRes ).
Para a construção da tabela geral de ANOVA segundo as causas de varia-
ção são determinados:
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Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 51
a) Graus de liberdade (GL)
Total n kt= − = −1 1 , onde n kt= ;
Tratamento k= −1 ;
Bloco t= −1 ;
Resíduo t k= −( ) −( )1 1 .
b) Somas de quadrados (SQ)
SQTot y y y nyijj
t
i
k
ijj
t
i
k
= −( ) = −••==
••==
∑∑ ∑∑2
11
2 2
11
; onde yn
yijj
t
i
k
••==
= ∑∑1
11;
SQTrat y y yt
nyij
t
i
ki
i
k
= −( ) = −• ••==
•
=•∑∑ ∑2
11
2
1
2 ; onde yt
yi ijj
t
•=
= ∑11
;
SQBloc y yyk
nyjj
t
i
kj
j
t
= −( ) = −• ••==
•••
=∑∑ ∑2
11
22
1
; onde yk
yj iji
k
•=
= ∑1
1;
SQRes SQTot SQTrat SQBloc= − − .
c) Quadrados médios (QM)
QMTrat SQTrat k= −( )1
QMBloco SQBloco t= −( )1
QMRes SQRes k t= −( ) −( )⎡⎣ ⎤⎦1 1
d) Estatística F
F QMTrat QMRes=
As quantidades obtidas são dispostas na Tabela 3.2 da ANOVA.
Tabela 3.2 Tabela geral de ANOVA de um DBCC
Causa de variação GL SQ QM F
Blocos t -1 SQBloc QMBloc —
Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes
Resíduo t k−( ) −( )1 1 SQRes QMRes
Total tk -1 SQTot
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS52 |
O teste de hipótese relativo à Tabela 3.2 consiste em:
H0H : Não existe efeito de tratamento H1:t1=tktt =...=0 H0H : m1=...=mk=m
H H ii1 0 0 1: : ,..., Existe efeito de tratamento Existe ⇔ ≠ =t kk( )
Sob a veracidade de H0 , a estatística F QMTratQMRes
= tem distribuição F
(Fisher-Snedecor) com parâmetros ( )k-1 (graus de liberdade do numerador)
e ( )( )t k- -1 1 (graus de liberdade do denominador).
A regra de decisão é a habitual, ou seja:
Se F F k t k≥ − −( ) −( )( )a ; ;1 1 1, rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
No exemplo, tem-se:
k = 3 (tratamentos) e t = 5 (blocos);
y•• =19 08, , logo, y•• = =19 08 15 1 272, , ;
SQTot = − =24 5678 24 2698 0 2980, , , ;
y y1 15 97 1 194• •= =( ), , ; y y2 26 79 1 358• •= =( ), , ; y y3 36 32 1 264• •= =( ), ,
SQTrat= − =24 3375 24 2698 0 0677, , ,
y• =1 4 11, ; y• =2 3 31, ; y• =3 3 51, ; y• =4 4 29, ; y• =5 3 86, ;
SQBloc= − =24 4907 24 2698 0 2209, , , ;
SQRes= − − =0 2980 0 2209 0 0677 0 0094, , , ,
A Tabela 3.3 apresenta o resultado da ANOVA.
Tabela 3.3 Tabela ANOVA para o peso das carcaças
Causa Variação GL SQ QM F (valor p)
Blocos 4 0,2209 0,0552
Tratamentos 2 0,0677 0,0339 28,25 (p<0,01)
Resíduo 8 0,0094 0,0012
Total 14 0,2980
Conclui-se, no nível de 5% de signifi cância, que existem diferenças entre
os pesos médios de carcaças dos coelhos segundo as dietas estudadas.
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Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 53
3.4 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS
O procedimento de comparações múltiplas de Tukey para o DBCC con-
siste nos seguintes passos:
H i i0 0: ’μ μ− = e H i i1 0: ’μ μ− ≠ , para i i¹ ’ .
Calcula-se a “Honestly Signifi cante Diference”
HSD q QMRestk t ka a a( )= ( )= −( ) −( )( )Δ ; ; 1 1
, onde t é o número de repetição de
tratamentos (coincide com o número de blocos) e ( )q k; ;α ϕ é o quantil de ordem
(1-a/2) da distribuição “studentized range” com parâmetros k (número de
tratamentos) e j= − −( )( )t k1 1 (graus de liberdade do resíduo).
A regra de decisão do teste de hipóteses é a habitual, ou seja:
Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança de Tukey
100 1( )%-a para a diferença de médias, cujos limites são dados por:
LI y y q QMResti i k= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕ ,
LS y y q QMResti i k= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕ
.
No exemplo relativo aos dados do peso das carcaças tem-se:
q 0 05 3 8 4 04, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 4 04 0 00125
0 063% , , ,( )= = .
Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante α=0,05 entre
os pesos médios das carcaças é 0,063kg. Os resultados das comparações estão
expressos na Tabela 3.4.
Tabela 3.4 Média e desvio padrão dos pesos segundo dieta
Dieta Padrão Padrão Suplementação Rami Padrão Suplementação Alfafa
1,194(0,128)a 1,358(0,142)c 1,264(0,145)b
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS54 |
Conclui-se, no nível de 5% de signifi cância, que as dietas modifi cam o peso
médio da carcaça dos coelhos e que entre elas, a dieta suplementada com rami
produz maior peso médio.
3.5 EXERCÍCIOS (DBCC)
A seguir são apresentados exercícios sobre o Delineamento em Blocos
Completamente Casualizados contendo planejamento, técnica da análise de
variância, teste de comparações múltiplas e, em especial, o último para apro-
fundamento das considerações apresentadas no capítulo.
1. Planeje um experimento para comparar dois testes de QI, usando dez pares
de gêmeos. Considere cada par de gêmeos como um bloco.
2. Faça a análise de variância dos dados apresentados na tabela a seguir, con-
siderando o nível de 5% de signifi cância:
Dados de um experimento em blocos ao acaso
BlocoTratamento
A B C
I 74 53 58
II 90 68 78
III 78 54 64
IV 98 72 74
3. Pretende-se verifi car a durabilidade de três marcas de tintas que tem preços
de custo bem diferentes. Para isso, foram selecionados seis muros, em que
cada terça parte foi pintada por uma marca sorteada nos terços. Após um
período de dez meses, foi atribuída a cada parte uma nota, resultante de
vários quesitos. Os resultados das notas são apresentados a seguir:
Marca Muro 1 Muro 2 Muro 3 Muro 4 Muro 5 Muro 6
A 8,5 8,9 8,8 8,2 8,6 8,9
B 9,1 9,4 9,1 9,6 9,0 9,3
C 7,3 7,6 7,8 7,5 6,1 7,2
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Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 55
Com esses dados, você diria (α=0,05) que uma das marcas é melhor que
as outras?
4. Supondo que haja interesse em calcular F QMBlocoQMRes
= em um experi-
mento, qual a interpretação biológica que sugere o resultado signifi cativo
(p<0,05)? E o não signifi cativo (p>0,05)?
3.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DBCC)
1. Considerando 10 pares de gêmeos (G1, G2), para cada par será efetuado o
sorteio dos dois testes de QI. Neste sentido, constituídos os pares por pro-
cesso randomizado dos testes de QI os dados coletados nos gêmeos serão
submetidos à técnica da análise de variância para o modelo experimental
em blocos completamente casualizados (10 blocos no presente estudo) en-
volvendo dois tratamentos independentes (dois testes de QI).
2.
Tabela 1. Tabela ANOVA
C. Variação GL SQ QM F
Blocos 3 847,58 282,53 -
Tratamentos 2 1144,50 572,25 71,26 (p<0,001)
Resíduo 6 48,17 8,03
Total 11 2040,25
Tabela 2. Média (desvio padrão) dos tratamentos
A B C
85,00 (11,02) b 61,75 (9,67) a 68,50 (9,15) a
DHS (5%)=7,47
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS56 |
3.
Tabela 1. ANOVA para a durabilidade
C. Variação GL SQ QM F
Blocos (Muro) 5 1,04 0,21 -
Tratamentos (Marca) 2 12,64 6,32 45,14 (p<0,001)
Resíduo 10 1,41 0,14
Total 17 15,09
Tabela 2. Média (desvio padrão) das marcas
A B C
8,65 (0,27) b 9,25 (0,23) c 7,25 (0,60) a
DHS (5%)=0,59
4. Se o resultado do teste estatístico for signifi cativo (p < 0,05) existe com-
provação biológica de heterogeneidade entre os blocos, corroborando com
a suspeita do pesquisador no controle fonte de variação bloqueada. Se o
resultado do teste estatístico for não signifi cativo (p > 0,05) existe compro-
vação biológica de homogeneidade entre os blocos, contradizendo com a
suspeita do pesquisador no controle fonte de variação bloqueada.
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4ESQUEMAS FATORIAIS
4.1 INTRODUÇÃO
Existem situações práticas na experimentação em que o interesse do pes-
quisador envolve o estudo de dois ou mais fatores combinados, cujos cruza-
mentos dos níveis dos fatores são os tratamentos empenhados nas compara-
ções. No presente texto, será apenas enfocado o caso de dois fatores, ou seja, A
e B. Será admitido que o fator A possui a níveis, e o fator B, b níveis.
Nos experimentos onde cada nível de um fator está combinado com to-
dos os níveis do outro, diz-se que os fatores obedecem a uma classifi cação
cruzada (experimentos cruzados). As combinações desses fatores resultam os
tratamentos do estudo, cuja confi guração recebe o nome de esquema fatorial
a*b (combinações entre os a níveis do fator A e b níveis do fator B).
O esquema de fatores mais simples consiste em considerar dois fatores A
e B, com dois níveis cada um, isto é, o esquema fatorial 2*2. No esquema fato-
rial dois por dois, Tabela 4.1, tem-se como resultado das combinações quatro
tratamentos, que são combinações de dois níveis do fator A com dois níveis
do fator B.
Tabela 4.1 Esquema fatorial 2*2
Fator AFator B
B1 B2
A1 A1 B1 A1 B2
A2 A2 B1 A2B2
Outras combinações dos fatores podem surgir à medida que o número de
níveis dos fatores tornam-se maiores. Ademais, o número de níveis dos fatores
não precisa ter o mesmo valor, ou seja, os níveis a do fator A podem ser nu-
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS58 |
mericamente diferente dos níveis b do fator B. Quando a=b, tem-se um arranjo
quadrático e, se a≠b, o arranjo é retangular. Uma notação interessante que se
utiliza quando o número de níveis é igual para os dois fatores (a=b; arranjo
quadrático) e descrita por 22, 32, 42,... O expoente indica o número de fatores
do estudo e a base da potência indica o número de níveis dos fatores. Por ex-
emplo, um fatorial 32 tem dois fatores em três níveis.
Três hipóteses básicas são avaliadas no esquema fatorial a*b, que são: i) a
interação (A*B) entre os fatores A e B; ii) o efeito do fator principal A e iii) o
efeito do fator principal B. Dependendo do resultado do teste de signifi cância
da interação A*B, duas novas hipóteses podem ser avaliadas: i) efeito do fator A
dentro de um nível fi xo de B e ii) efeito do fator B dentro de um nível fi xo de A.
Como o esquema fatorial é um arranjo dos níveis dos fatores (combina-
ções de níveis) ele pode ser delineado em vários tipos de experimentos. No
enfoque do texto, o esquema fatorial a*b será apresentado no Delineamento
Inteiramente Casualizado (DIC) e no Delineamento em Blocos Completos Ca-
sualizados (DBCC).
4.2 ESQUEMA FATORIAL A*B NO DIC
Considere a Tabela 4.2, genérica de observações yijk de um esquema fato-
rial a*b em um DIC com r repetições por tratamento.
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Esquemas Fatoriais | 59
Tabela 4.2 Esquema fatorial a*b com r repetições
Fator AFator B
B1 Bb
A1
y
y r
111
11
y
y
b
br
1 1
1
Aa
y
y
a
a r
11
1
y
y
ab
abr
1
O elemento yijk representa a k-ésima repetição do i-ésimo nível do fator A
e j-ésimo nível do fator B ( i a j b k r= = =1 1 1, , ; , , ; , , ).
O modelo de resposta é expresso por:yijk i j ij ijk= + + +( ) +μ θ γ θγ ε ;
onde:
m: efeito médio comum;
qi : efeito do i-ésimo nível de A;
g j : efeito do j-ésimo nível de B;
( )θγ ij : efeito de interação entre os níveis i e j dos fatores A e B, respectiva-
mente;eijk : erro casual independente, com distribuição N 0 2,s( ) .Considerando os fatores A e B de efeitos fi xos, tem-se a Tabela 4.3 da
ANOVA.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS60 |
Tabela 4.3 Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b no DIC
Causa de variação GL SQ QM F
Tratamentos ab-1 SQTrat QMTrat FTrat
a-1 SQA QMA FA
Desmembramentoda
SQTratamentosB b-1 SQB QMB FB
AxB a b−( ) −( )1 1 SQA B´ QMA B´ FA B´
Resíduo ab r−( )1 SQRes QMRes
Total abr -1 SQTot
Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por:
SQTot y nyijkk
r
j
b
i
a
= − •••===∑∑∑ 2 2
111, onde y
nyijk
k
r
j
b
i
a
•••===
= ∑∑∑1
111 e n abr= ;
SQTratyr
nyij
j
b
i
a
= −•==
•••∑∑2
11
2 , onde y yij ijkk
r
•=
=∑1
;
SQRes SQTot SQTrat= −
SQA ybr
nyi
i
a
= −••=
•••∑2
1
2 , onde y yi ijkk
r
j
b
••==
= ∑∑11
;
SQByar
nyj
j
b
= −• •
=•••∑
2
1
2 y yj ijkk
r
i
a
• •==
= ∑∑11
;
SQAxB SQTrat SQA SQB= − −
A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre a soma de
quadrados e os respectivos graus de liberdade.
Em relação aos testes de hipóteses, que serão apresentados a seguir, duas
situações interessantes para a discussão biológica devem ser consideradas: a
primeira consiste no caso onde os efeitos dos fatores A e B na variável resposta
(dependente) serão aditivos e, portanto, toda a informação biológica pode ser
obtida fazendo-se inferências apenas sobre as médias mi· e m·j· (médias margin-
ais); a segunda, onde existe efeito da interação entre os fatores A e B; onde para
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Esquemas Fatoriais | 61
avaliar os efeitos existentes na variável dependente, as inferências devem ser
feitas sobre todos os mij.
As hipóteses gerais com os respectivos testes estatísticos acompanhados
das regras de decisão são estabelecidas conforme detalhes na sequência.
HA a0 1 2 0: Não existe efeito do fator A⇔ = = = =θ θ θ…
HA0 a estatística do teste é dada por
F QMAQMRes
FA a res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual e jres ab r= −( )1 .
HB0 : Não existe efeito do fator B 1⇔ = = = =g g g2 0 b
Sob a veracidade de HB0 a estatística do teste é dada por
F QMBQMRes
FB b res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual.
HAxB0 : Não existe efeito de interação AxB⇔( ) = =( ) =θγ θγ
110
ab
Sob a veracidade de HAxB0 a estatística do teste é dada por
F QMA×BQMRes
FAxB a b res= −( ) −( )( )~ ;1 1 ϕ , com a regra de decisão habitual.
Toda vez que o resultado de algum teste de hipóteses possibilitar a rejeição
da hipótese nula, para melhorar a qualidade da informação biológica, torna-se
interessante complementar a técnica da ANOVA com algum procedimento de
comparações múltiplas para as médias. No caso, como já vem sendo rotina, a
continuidade tem sido realizada pelo teste de Tukey para os contrastes entre
todos os pares de médias. Neste sentido, duas considerações serão apresenta-
das; a primeira normalmente utilizada quando o resultado do teste de intera-
ção entre os fatores A e B mostrou-se não signifi cante; a segunda, quando o
resultado foi signifi cante.
Teste de Tukey para o caso FAxB não signifi cante pAxB >( )a
HA i i0 : ’μ μ• •= i i a, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias
dos níveis i e i’ do fator A.
Calcula-se ( ) ( )DMS q QMResbrA A a res
= ( )= ; ;α Δ α α ϕ e se y yi i A•• ••− ≥ ( )’ Δ a ,
rejeita-se a hipótese HA0 . Caso contrário, não há rejeição.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS62 |
μ μ• •HB j j0 : ’= j j b, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias
dos níveis j e j’ do fator B.
Calcula-se ( )( )DMS q QMResarB B b res
= ( )= ; ;α Δ α α ϕ e se y yj j B• • • •− ≥ ( )’ Δ a ,
rejeita-se a hipótese HB0 . Caso contrário, não há rejeição.
Teste de Tukey para o caso FAxB signifi cante pAxB <( )aH
A Bj ij i j0 /: ’μ μ= i i a j, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-
tas médias dos níveis i e i’ do fator A dentro do j-ésimo nível do fator B.
Calcula-se ( )( )DMS q QMResrA B A B a res/ / ; ;= ( )=α αΔ α μ e se y yij i j A B• •− ≥ ( )’ /Δ a ,
rejeita-se HA Bj0 /
. Caso contrário, não há rejeição.
HB Ai ij ij0 /
: ’μ μ= j j b i, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-
tas médias dos níveis j e j’ do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A.
Calcula-se ( )( )DMS q QMResrB A B A b res/ / ; ;= ( )=α αΔ α μ e se y yij ij B A• •− ≥ ( )’ /Δ a ,
rejeita-se HB Ai0 /
. Caso contrário, não há rejeição.
4.3 EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DIC
Considere o seguinte conjunto de dados de um esquema fatorial 2x2 em
um delineamento inteiramente casualizado para avaliar o perfi l cardiovascular
de ratos hipertensos submetidos a uma dieta hipercalórica (OLIVEIRA Jr, et
al., 2007, Arquivos Brasileiros de Cardiologia, v.89, Supl I, p.927).
Os dois fatores de interesse do estudo são Dieta e Hipertensão, tendo como
variável resposta escolhida para o desenvolvimento do exemplo a Pressão Ar-
terial Sistólica.
Fator A(Dieta): A1(Normocalórica) e A2(Hipercalórica);
Fator B(Hipertensão): B1(WKY-Controle) e B2(SHR-Hipertenso);
Isto é:
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Esquemas Fatoriais | 63
DietaHipertensão
Ausente(WKY) Presente(SHR)
Normocalórica(C) WKYC(A1B1) SHRC(A1B2)
Hipercalórica(OB) WKYOB(A2B1) SHROB(A2B2)
Pressão arterial sistólica (mm Hg) dos ratos
WKYC WKYOB SHRC SHROB yyyy
11
12
21
22
120 00 9 06160 00 5 83130 00 7 91210 0
•
•
•
•
= ±= ±= ±=
, ,, ,, ,, 00 4 53± ,
130 120 160 210
120 130 158 205
110 125 162 206
112 140 152 215
128 135 168 214
Quadro auxiliar para o cálculo das SQ
A(Dieta)
B(Hipertensão) Total(Fator A)
a b r ny= = = ==•••
2 2 5 20155 00
; ; ; ,
B1 (WKY) B2 (SHR)
A1 (C) 600 800 1400
A2 (OB) 650 1050 1700
Total(Fator B)
1250 1850 3100
A seguir são calculadas as somas de quadrados para construção da tabela
de ANOVA para o esquma fatorial no DIC.SQTot = + + − × = − =130 214 20 155 00 505796 00 480500 00 25296 002 2 2 , , , ,
SQTrat= + + + − × = −6005
8005
6505
10505
20 155 00 505000 00 480502 2 2 2
2, , 00 00 24500 00, ,=
SQRes= − =25296 00 24500 00 796 00, , ,
SQA=×+×− × = − =1400
2 517002 5
20 155 00 485000 00 480500 00 45002 2
2, , , ,000
SQB=×+×− × = − =1250
2 518502 5
20 155 00 498500 00 480500 00 180002 2
2, , , ,,00
SQAxB SQTrat SQA SQB= − − = 2000 00,
A Tabela 4.4 mostra o resultado da ANOVA.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 63delineamento_de_experimentos-prova4.indd 63 28/05/2014 15:51:2228/05/2014 15:51:22
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS64 |
Tabela 4.4 ANOVA para a PAS (mm Hg) dos ratos
Causa de Variação GL SQ QM F
Tratamento 3 24500,00 8166,67 164,15 (p<0,01)
A (Dieta) 1 4500,00 4500,00 90,45 (P<0,01)
B (Hipertensão) 1 18000,00 18000,00 361,81 (p<0,01)
AxB 1 2000,00 2000,00 40,20 (p<0,01)
Resíduo 16 796,00 49,75
Total 19 25296,00
Como o resultado do teste de interação entre os fatores A e B foi signifi -
cante (p<0,01), o procedimento de comparações múltiplas será efetuado con-
siderando o estudo do fator A fi xado o nível de B e, vice-versa.
DMS q QMResA B A Bj j/ / %; ;% % , , ,1 1
54 13 49 75
513 031 2 16( )= ( )= = =( )Δ mm Hg
DMS q QMResB A B Ai i/ / %; ;% % , , ,1 1
54 13 49 75
513 031 2 16( )= ( )= = =( )Δ mm Hg
das médias e os desvios padrão da hipertensão segundo dieta com as sig-
nifi câncias das comparações múltiplas (Teste de Tukey).
Tabela 4.5 Média e desvio padrão da PAS (mm Hg) segundo dieta e hipertensão
DietaHipertensão
Ausente Presente
Normocalórica 120,00(9,06) a(1)A(2) 160,00(5,83) a B
Hipercalórica 130,00(7,91) a A 210,00(4,53) b B
(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,01) quanto às respectivas dietas dentro da classede hipertensão.
(2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,01) quanto às classes de hipertensão dentro dadieta em consideração.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 64delineamento_de_experimentos-prova4.indd 64 28/05/2014 15:51:2728/05/2014 15:51:27
Esquemas Fatoriais | 65
4.4 ESQUEMA FATORIAL A*B NO DBCC
Considere a observação yijk de um esquema com dois fatores A (com a
níveis) e B(com b níveis) com os tratamentos casualizados em t blocos comple-t
tos (fator fi xo de controle).
O modelo de resposta é expresso por:
yijk i j ij k ijk= + + +( ) + +μ θ γ θγ β ε ;
onde:
m: efeito médio comum;
qi : efeito do i-ésimo nível de A ( i a=1, , );g j : efeito do j-ésimo nível de B ( j b=1, , );
( )θγ ij : efeito de interação entre os níveis i e j dos fatores A e B, respectiva-
mente;
bk : efeito do k-ésimo nível de bloco ( k t=1, , );eijk : erro casual independente, com distribuição N 0 2,s( ) .A disposição geral das observações pode ser feita conforme Tabela 4.6 a
seguir.
Tabela 4.6 Quadro genérico de um experimento em DBCC
BlocoTratamento
A1B1 … A1Bb … AaB1 … AaBb
Bloco 1 Y111 … y1b1 … ya11 … yab1
Bloco 2 Y112 … y1b2 … ya12 … yab2
Bloco t Y11t … y1bt … ya1t … yabt
Como anteriormente (DIC), considerando os fatores A e B fi xos tem-se, a
seguir, na Tabela 4.7 ANOVA para o esquema fatorial a*b no DBCC.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 65delineamento_de_experimentos-prova4.indd 65 28/05/2014 15:51:2828/05/2014 15:51:28
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS66 |
Tabela 4.7 Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b em DBCC
Causa deVariação
GL SQ QM F
Blocos t -1 SQBloc QMBloc -
Tratamentos ab-1 SQTrat QMTrat FTrat
a-1 SQA QMA FA
B b-1 SQB QMB FB
a b−( ) −( )1 1 SQA B´ QMA B´ FA B´
Resíduo ab t−( ) −( )1 1 SQRes QMRes
abt -1 SQTot
Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por:
SQTot y nyijkk
t
j
b
i
a
= − •••===∑∑∑ 2 2
111, onde y
nyijk
k
t
j
b
i
a
•••===
= ∑∑∑1
111
e n abt= ;
SQTratyt
nyij
j
b
i
a
= −•==
•••∑∑2
11
2 , onde y yij ijkk
t
•=
=∑1
;
SQBloc yab
nyk
k
t
= −••
=•••∑
2
1
2 y yk ijkj
b
i
a
••==
= ∑∑11
;
SQRes SQTot SQTrat SQBloc= − −
SQA ybt
nyi
i
a
= −••=
•••∑2
1
2 , onde y yi ijkk
t
j
b
••==
= ∑∑11
;
SQByat
nyj
j
b
= −• •
=•••∑
2
1
2 y yj ijkk
t
i
a
• •==
= ∑∑11
;
SQAxB SQTrat SQA SQB= − −
A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre as somas
de quadrados e os respectivos graus de liberdade.
As ponderações sobre os testes de hipóteses são as mesmas realizadas no
DIC, cujas hipóteses gerais são estabelecidas por:
HA0 : Não existe efeito do fator A 1⇔ = = = =q q q2 0 a
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 66delineamento_de_experimentos-prova4.indd 66 28/05/2014 15:51:3428/05/2014 15:51:34
Esquemas Fatoriais | 67
Sob a veracidade de HA0 a estatística do teste é dada por
F QMAQMRes
FA a res= −( )~ ;1 ϕ , com a regra de decisão habitual (rejeita-se H
A0 quan-
do F FA a res> −( ; ; )1α ϕ )) e jres ab t= − −( )( )1 1 .
HB0 : Não existe efeito do fator B 1⇔ = = = =g g g2 0 b
Sob a veracidade de HB0 a estatística do teste é dada por
F QMBQMRes
FB b res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual.
HAxB0 : Não existe efeito de interação AxB⇔( ) = =( ) =θγ θγ
110
ab
Sob a veracidade de HAxB0 a estatística do teste é dada por
F QMAxBQMRes
FAxB a b res= −( ) −( )( )~ ;1 1 ϕ , com a regra de decisão habitual.
À semelhança do DIC, têm-se os dois casos para o teste de comparações
múltiplas de Tukey.
Teste de Tukey para o caso FAxB não signifi cante pAxB >( )a
HA i i0 : ’μ μ• •= i i a, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias
dos níveis i e i’ do fator A.
Calcula-se ( )( )DMS q QMResbtA A a res
= ( )= ; ;α αΔ α ϕ e se y yi i A•• ••− ≥ ( )’ Δ a ,
rejeita-se a hipótese HA0 . Caso contrário, não há rejeição.
μ μ• •HB j j’0 : = j j b, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias
dos níveis j e j’ do fator B.
Calcula-se ( )( )DMS q QMResatB B b res
= ( )= ; ;α αΔ α ϕ e se y yj j B• • • •− ≥ ( )’ Δ a ,
rejeita-se HB0 . Caso contrário, não há rejeição.
Teste de Tukey para o caso FAxB signifi cante pAxB <( )a
HA Bj ij i j0 /
: ’μ μ= i i a j, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-
tas médias dos níveis i e i’ do fator A dentro do j-ésimo nível do fator B.
Calcula-se ( )( )DMS q QMRestA B A B a res/ / ; ;= ( )=α αΔ α ϕ e se y yij i j A B• •− ≥ ( )’ /Δ a ,
rejeita-se HA Bj0 /
. Caso contrário, não há rejeição.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 67delineamento_de_experimentos-prova4.indd 67 28/05/2014 15:51:5228/05/2014 15:51:52
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS68 |
HB Ai ij ij0 /
: ’μ μ= j j b i, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-
tas médias dos níveis j e j’ do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A.
Calcula-se S q( )α ϕ( )DM QMRest
B A B A b res/ / ; ;= ( )=α αΔ e se y yij ij B A• •− ≥ ( )’ /Δ a ,
rejeita-se HB Ai0 /
. Caso contrário, não há rejeição.
4.5 EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DBCC
Considere o seguinte conjunto de dados de um esquema fatorial 2x2 em
um delineamento em blocos completos casualizados para avaliar o efeito da
inibição prolongada de enzima de conversão da angiotensina sobre o diâmetro
diastólico do ventrículo esquerdo (DDVE), avaliado em mm, em ratos com so-
brecarga pressórica persistente (Bregagnollo et al.,2005, Arquivos Brasileiros
de Cardiologia, v.84, n.3, p.225-232). Os fatores A e B são droga (Lisinopril) e
momento de sacrifício, respectivamente:
Fator A (Droga): A1(bandagem aórtica (EA0)-não tratados) e A2(bandagem
aórtica (EA0)-tratados com lisinopril);
Fator B (Momento Sacrifício): B1(6ª semana) e B2(21ª semana).
Foram estabelecidos seis blocos correspondentes às faixas de peso do ani-
mal: Bloco1(70‒|75g), Bloco2(75‒|80g), Bloco3(80‒|85g), Bloco4(85‒|90g),
Bloco5(90‒|95g) e Bloco6(95‒|100g).
O esquema de fatores pode ser apresentado como a seguir:
DrogaMomento Sacrifício
6ª Semana (B1) 21ª Semana (B2)
Ausente (Não tratado) (A1) A1B1 A1B2
Presente (Lisinopril) (A2) A2B1 A2B2
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Esquemas Fatoriais | 69
Diâmetro Diastólico do Ventrículo Esquerdo (mm)
Faixa de pesoTratamento
A1B1 A1B2 A2B1 A2B2
70 –| 75g 7,8 9,8 8,0 8,6
75 –| 80g 7,2 10,0 7,6 8,8
80 –| 85g 8,4 9,9 8,3 8,5
85 –| 90g 7,8 10,8 7,5 8,4
90 –| 95g 8,0 9,6 8,6 8,9
95 –| 100g 7,6 8,7 8,0 7,8
Média (DP) 7,8(0,40) 9,80(0,68) 8,00(0,42) 8,50(0,39)
Quadro auxiliar para o cálculo das SQ
A(Droga)
B (Sacrifício)Total
(Fator A)
B1 B2
a b r ny= = = ==•••
2 2 6 248 525
; ; ; ,
A1 46,8 58,8 105,6
A2 48,0 51,0 99,0
Total(Fator B)
94,8 109,8 204,6
Na sequência são obtidos as somas de quadrados para a construção da
ANOVA para o esquema fatorial no DBCC.
SQTot = + + − × = − =7 8 7 8 24 8 525 1763 5 1744 215 19 2852 2 2, , , , , ,
SQTrat= + + + − × = −46 86
58 86
48 06
51 06
24 8 525 1758 78 17442 2 2 2
2, , , , , , ,2215 14 565= ,
SQA=×
+×− × = − =105 6
2 699 02 6
24 8 525 1746 03 1744 215 1 8152 2
2, , , , , ,
SQB=×+×
− × = − =94 82 6
109 82 6
24 8 525 1753 59 1744 215 9 3752 2
2, , , , , ,
SQAxB= − − =14 565 1 815 9 375 3 375, , , ,
y•• = + + + =1 7 8 9 8 8 0 8 6 34 2, , , , ,
y•• = + + + =2 7 2 10 0 7 6 8 8 33 6, , , , ,
y•• = + + + =3 8 4 9 9 8 3 8 5 35 1, , , , ,
y•• = + + + =4 7 8 10 8 7 5 8 4 34 5, , , , ,
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 69delineamento_de_experimentos-prova4.indd 69 28/05/2014 15:52:0928/05/2014 15:52:09
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS70 |
y•• = + + + =5 8 0 9 6 8 6 8 9 35 1, , , , ,
y•• = + + + =6 7 6 8 7 8 0 7 8 32 1, , , , ,
SQBloc=×+×+ +
×− × = −34 2
2 233 62 2
32 12 2
24 8 525 1745 82 17442 2 2
2, , , , , ,, ,215 1 605=
SQRes= − − =19 285 1 605 14 565 3 115, , , ,
Tabela 4.5 ANOVA para o DDVE
Causa de Variação GL SQ QM F
Blocos 5 1,605 0,321 -
Tratamentos 3 14,565 4,855 23,34 (p<0,01)
A (Droga) 1 1,815 1,815 8,73 (P<0,01)
B (Sacrifício) 1 9,375 9,375 45,07 (p<0,01)
AxB 1 3,375 3,375 16,23 (p<0,01)
Resíduo 15 3,115 0,208
Total 23 19,285
O resultado do teste de interação entre os fatores A e B mostrou-se signifi -
cante (p<0,01), logo, o teste de Tukey deve ser feito no desmembramento da
interação.
Considere α=0,05, então tem-se:
DMS q QMResA B A Bj j/ / %; ;% % , , ,5 5
63 01 0 208
60 565 2 15( )= ( )= = =( )Δ mm
DMS q QMResB A B Ai i/ / %; ;% % , , ,5 5
63 01 0 208
60 565 2 15( )= ( )= = =( )Δ mm
Tabela 5.6 Média e desvio padrão do DDVE (mm) segundo droga e momento desacrifício
Droga (Grupo)Momento de Sacrifício
6ª Semana 21ª Semana
Ausente (Controle) 7,80(0,40) a(1)A(2) 9,80(0,68) b B
Presente (Lisinopril) 8,00(0,42) a A 8,50(0,39) a A
(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos grupos, fi xada a semana de sacrifício.
(2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos momentos de sacri-fício, dentro do grupo.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 70delineamento_de_experimentos-prova4.indd 70 28/05/2014 15:52:1628/05/2014 15:52:16
Esquemas Fatoriais | 71
4.6 EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS: DIC E DBCC)
1. O consumo diário de ração em kg/dia, no período de crescimento-aca-
bamento de suínos foi observado em um esquema envolvendo tipos de
ração e formas de arraçoamento em um delineamento em blocos comple-
tos ao acaso. Considerando α=0,05 estudar o consumo médio diário em
função dos dois fatores.
Ração ArraçoamentoBloco
A B C D E
Farelada Livre (Vontade) 2,63 2,68 2,74 2,84 2,76
Farelada Controlada 2,45 2,36 2,44 2,50 2,40
Granulada Livre (Vontade) 2,32 2,25 2,16 2,24 2,38
Granulada Controlada 2,44 2,50 2,42 2,55 2,54
2. Um experimento visando verifi car o efeito do inseticida e do meio de cul-
tura em organismos biológicos foi planejado utilizando-se drosófi las e ob-
servando a longevidade (dias de sobrevida) destas moscas. Os tratamentos
utilizados foram os seguintes:
A1B1: atrazine e carência de glicose;
A1B2: atrazine e carência de hidrato de carbono;
A2B1: dalapon e carência de glicose;
A2B2: dalapon e carência de hidrato de carbono.
Tratamento Repetição
A1B1 49 50 51 54
A1B2 36 37 35 32
A2B1 38 31 35 37
A2B2 34 30 28 25
Considerando o nível de signifi cância 5% e os dados sob a transformação
raiz quadrada, avaliar a sobrevida média das moscas segundo os tipos de
inseticida e meios de cultura.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 71delineamento_de_experimentos-prova4.indd 71 28/05/2014 15:52:2028/05/2014 15:52:20
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS72 |
3. Organize os tratamentos de um esquema fatorial para estudar a interação
de uma droga administrada em três condutas diferentes (manhã, tarde,
noite) com bebida alcoólica.
4. Verifi car se existe interação signifi cante (p<0,05) entre os fatores A e B
estudados em um delineamento em blocos completos casualizados cujos
dados são apresentados a seguir.
Fator A Fator BBloco
I II III IV
A1 B1 16 17 19 12
A1 B2 24 23 27 22
A2 B1 22 21 23 22
A2 B2 33 35 35 32
4.7 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS : DIC E DBCC)
1.Tabela 1. ANOVA para o consumo de ração
C. Variação GL SQ QM F
Blocos 4 0,030 0,008 -
Tratamentos 3 0,546 0,182 45,50 (p<0,001)
Ração ( R ) 1 0,200 0,200 50,00 (p<0,001)
Arraçoamento ( A ) 1 0,008 0,008 2,00 (p>0,05)
R A´ 1 0,338 0,338 84,50 (p<0,001)
Resíduo 12 0,048 0,004
Total 19 0,624
Tabela 2. Média (desvio padrão) do consumo de ração segundo ração e arraçoa-mento
RaçãoArraçoamento
Livre Controlada
Farelada 2,730 (0,080) b B 2,430 (0,053) a A
Granulada 2,270 (0,084) a A 2,490 (0,058) a B
DHS (Ração/Arraçoamento) = 0,087 (letras minúsculas)DHS (Arraçoamento/Ração) = 0,087 (letras maiúsculas)
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 72delineamento_de_experimentos-prova4.indd 72 28/05/2014 15:52:2128/05/2014 15:52:21
Esquemas Fatoriais | 73
Tabela 1. ANOVA para os dias de sobrevida (*)
C. Variação GL SQ QM F
Tratamento 3 6,539 2,180 35,21 (p<0,001)
Inseticida ( I ) 1 2,967 2,967 47,86 (p<0,001)
Meio ( M ) 1 3,089 3,089 49,82 (p<0,001)
I M´ 1 0,483 0,483 7,79 (p<0,05)
Resíduo 12 0,743 0,062
Total 15 7,282
(*) Variável sob a transformação raiz quadrada
Tabela 2. Média (desvio padrão) da raiz quadrada da sobrevida segundo inseticida emeio de cultura
InseticidaMeio de cultura (carência)
Glicose Hidrato de Carbono
Atrazine 7,140 (0,150) b B 5,914 (0,184) b A
Dalapon 5,933 (0,264) a B 5,400 (0,348) a A
DHS (Inseticida/Meio) = 0,384 (letras minúsculas)DHS (Meio/Inseticida) = 0,384 (letras maiúsculas)
2. Fator A (Bebida Alcoólica): A1 (Ausente) e A2(Presente)
Fator B (Período de Administração): B1(Manhã), B2(Tarde) e B3(Noite)
Tratamentos: A1B1(Bebida Ausente e Período Manhã)
A1B2(Bebida Ausente e Período Tarde)
A1B3(Bebida Ausente e Período Noite)
A2B1(Bebida Presente e Período Manhã)
A2B2(Bebida Presente e Período Tarde)
A2B3(Bebida Presente e Período Noite)
3.Tabela 1. ANOVA para a variável estudada
C. Variação GL SQ QM F
Blocos 3 32,19 10,73 -
Tratamento 3 652,19 217,40 118,15 (p<0,001)
A 1 248,07 248,07 134,82 (p<0,001)
B 1 390,07 390,07 212,00 (p<0,001)
A B´ 1 14,05 14,05 7,64 (p<0,05)
Resíduo 9 16,56 1,84
Total 15 700,94
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 73delineamento_de_experimentos-prova4.indd 73 28/05/2014 15:52:2228/05/2014 15:52:22
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS74 |
F pINT = <7 64 0 05, ( , ) ; ou seja, o resultado do teste da interação dos fatores
A e B é signifi cante, indicando que há necessidade de estudo conjunto
dos fatores para a discussão dos resultados.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 74delineamento_de_experimentos-prova4.indd 74 28/05/2014 15:52:2528/05/2014 15:52:25
5ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO
5.1 INTRODUÇÃO
Considere o estudo de variáveis aleatórias (que podem ser qualitativas ou
quantitativas) cujos elementos da amostra podem ser classifi cados em catego-
rias, ou intervalos, ou ainda atributos. Em particular, o estudo será aprofun-
dado em tabelas de dupla entrada em que se apresenta a situação geral, em que
duas variáveis aleatórias qualitativas X e Y foram classifi cadas em c categorias c
para X e s categorias para Y.
5.2 TESTE DE ADERÊNCIA
Considere que se tem uma população π e que o objetivo proposto con-
siste em verifi car se ela segue uma distribuição especifi cada π0, ou seja, testar a
hipótese H0 0: p p= . Nesta situação, o teste estatístico comparará o número de
casos ocorridos (frequências observadas) em categorias especifi cadas, com o
número esperado (frequências esperadas) de casos sob a veracidade da hipó-
tese nula H0 .
O procedimento consiste em considerar classes, segundo as quais a variáv-
el X, característica em estudo da população, pode ser classifi cada (a variável X
pode ser qualitativa ou quantitativa).
A situação geral com c categorias pode ser apresentada conforme Tabela 5.1.c
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 75delineamento_de_experimentos-prova4.indd 75 28/05/2014 15:52:2628/05/2014 15:52:26
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS76 |
Tabela 5.1 Distribuição do número de casos segundo classe de X
Classe de X Número de casos
Classe 1 n fo1 1( )
Classe 2 n fo2 2( )
Classe c n foc c( )
Total n fo( )i
Lembrar que:n n n nc1 2+ + + =... , ou seja,fo fo fo foc1 2+ + + =... i (total de casos). O número de casos (ocorrências) da classe i, designado por ni , será nomindo de frequência observada na classe i e indicado por foi , com i c=1,..., .
As hipóteses são apresentadas como:
H c c0 1 0 2 0 01 2: ; ;p p p p p p= = = ; H ii1 0: Existe para algum ip p¹ .
As frequências esperadas (fe(( i) do modelo multinomial (c classes) são ob-c
tidas sob a veracidade de H0, especifi cadas na expressão: fe ni i= p0 ; onde n é
o número total de casos e p0i a proporção teórica da classe i expressa em H0 .
A estatística do teste, sob veracidade de H0 , é dada por
c c22
11
2=−( )
=−( )∑ fo fe
fei i
ii
c
c~ , com a regra de decisão habitual (isto é, χ χ α2
12≥ −( );c , re-
jeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição). Deve ser considerado a unilater-
alidade direita do teste, pois quanto maiores os afastamentos entre as frequên-
cias observadas e esperadas mais expressiva torna-se a falta de aderência dos
dados ao modelo proposto e, em consequência, mais provável a veracidade de
H1 em favor da rejeição de H0 .
O emprego apropriado do teste recomenda sua utilização somente quando
não existir mais de 20% das caselas com frequências esperadas menores que 5.
A prática biológica permite a junção de classes adjacentes para contornar essa
situação sempre que possível.
Na sequência serão apresentados dois exemplos para o estudo da aderência.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 76delineamento_de_experimentos-prova4.indd 76 28/05/2014 15:52:2728/05/2014 15:52:27
Análise de Aderência e Associação | 77
Exemplos
1. Um modelo genético especifi ca que animais de certa população devem
estar classifi cados em quatro categorias, nas proporções 8:1:1:2. Numa
amostra de 180 animais da população encontra-se 116, 15, 20 e 29 animais
de cada categoria, respectivamente. Verifi car, no nível de signifi cância 5%,
se os dados estão de acordo com o modelo genético especifi cado.
CategoriaFrequência Observada
C1 116H0 : Modelo Especifi cado 8:1:1:2
p p p p0 0 0 01 2 3 4
812
112
112
212
= = = =; ; ;
H1 : Existe p pi i¹ 0 , para pelo menos um i i( , , , )=1 2 3 4
C2 15
C3 20
C4 29
Total 180
Frequências Esperadas
Categoria 1 → fei = × =180 812
120 animais ,
Categoria 2 → fe2 180 112
15= × = animais ,
Categoria 3 → fe3 180 112
15= × = animais ,
Categoria 4 → fe4 180 212
30= × = animais .
Logo, tem-se
c22 2 2 2116 120
12015 15
1520 15
1529 30
300 133 0=
−( )+
−( )+
−( )+
−( )= +, ,0000 1 667 0 033 1 833+ + =, , ,
αχ χ
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ∴ = >( )( )
0 054
7 81 1 833 0 050 05 32 2,
, , ,, ;cp
Não há rejeição de H0 no nível de 5% de signifi cância. Ou seja, a amostra
de animais está em acordo com modelo genético especifi cado.
2. Considerando-se uma amostra de 100 descendentes de uma população,
verifi car (nível de 5% de signifi cância) a adequabilidade dos dados ao
modelo genético – Equilíbrio Hardy-Weinberg.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 77delineamento_de_experimentos-prova4.indd 77 28/05/2014 15:52:3928/05/2014 15:52:39
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS78 |
GenótipoFrequênciaObservada
AA 26
Aa 35
aa 39
Total 100
Frequência Esperada
Genótipo AA → fe1 100 14
25= × =
Genótipo Aa → fe2 100 12
50= × =
Genótipo aa → fe3 100 14
25= × =
Logo, tem-se
c22 2 226 25
2535 50
5039 25
250 04 4 50 7 84 12 38=
−( )+
−( )+
−( )= + + =, , , ,
αχ χ
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ∴ = <( )( )
0 053
5 99 12 38 0 050 05 22 2,
, , ,, ;cp
Para α=0,05, há rejeição de H0, ou seja, a população não segue o equilíbrio
Hardy-Weinberg.
5.3 TESTE DE HOMOGENEIDADE
Considere m populações π1, π2,..., πm distribuídas em c catego-c
rias mutuamente exclusivas. Objetiva-se verifi car se as m populações
(π1,...,πm) podem ser representadas por uma distribuição comum a todas
H m0 1 2: p p p= = =( ) contra a alternativa em que pelo menos duas são dis-
tintas H i i i i mi i1 1: ’; , ’ , ,’ Existe para p p≠ ≠ =( ) .
Contemplando as m populações em c categorias, as frequências obser-c
vadas podem ser apresentadas na tabela de dupla entrada m c x (Tabela de
Contingência m c x )
H0: Equilíbrio Hardy-Weinberg (Eq HW)
AA Aa aa
Aa Aa
¼ ½ ¼
= =; ;π π π0 0 01 2 3
14
12
14
=
1: Não há Eq HW na descendência
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 78delineamento_de_experimentos-prova4.indd 78 28/05/2014 15:52:4628/05/2014 15:52:46
Análise de Aderência e Associação | 79
Tabela 5.2 Resultados da categoria segundo população
População Categoria Total
C1 C2 ... Cc
P1 fo11 fo12 ... fo c1 fo1i
P2 fo21 fo22 ... fo c2 fo2i
Pm fom1 fom2 ... fomc fomi
Total foi1 foi2 ... fo ci foii
A hipótese de nulidade a ser testada é estabelecida como:
H
m
m
c c mc
0
11 21 1
12 22 2
1 2
:
p p pp p p
p p p
= = == = =
= = =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
��
� � ��⎪⎪⎪
, ou equivalentemente, π1= π2=...=πm; contra
a alternativa
H1 : pelo menos uma das igualdades não é verifi cada.
As frequências esperadas, considerando-se a hipótese H0 verdade são ob-
tidas como:
fe fofo fo
foi m j cij i j
i j= × =×
= =•• •
••
p
, para e 1 1,..., ,..., .
Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é dada por:
c c2
2
111 1
2=−( )
==−( ) −( )∑∑
fo fe
feij ij
ijj
c
i
m
m c~ , com a regra de decisão habitual. Ou seja,
χ χ α2
1 12≥ −( ) −( )( ); m c rejeita-se H0; caso contrário, não há rejeição.
Exemplos
1. Duas novas drogas vão ser testadas em 200 pessoas portadoras de rinite
alérgica. Metade das pessoas recebe a droga A e a outra metade recebe a
droga B. Considerando os dados apresentados a seguir, teste a hipótese de
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 79delineamento_de_experimentos-prova4.indd 79 28/05/2014 15:52:4928/05/2014 15:52:49
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS80 |
que as duas drogas são igualmente efi cazes para tratar a doença (adotar
a=0,05).Droga Efi caz Total
Não Sim
A 25 75 100
B 32 68 100
Total 57 143 200
H0 : Droga A Droga B=
H1 : Droga A Droga B≠
21
12 22
11==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
p pp p
Frequências Esperadas
fe1157 100
20028 5= × = ,
fe12143 100
20071 5= × = ,
fe2157 100
20028 5= × = ,
fe22143 100
20071 5= × = ,
c22 2 2 225 28 5
28 532 28 5
28 575 71 5
71 568 71 5
=−( )
+−( )
+−( )
+−( ),
,,
,,
,,
771 50 43 0 43 0 17 0 17 1 20
,, , , , ,= + + + =
αχ χ
===
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= ∴ = >( )( )
0 052
23 84 1 20 0 050 05 1
2 2
,, , ,, ;m
cp
No nível de 5% de signifi cância, não há rejeição de H0 . Isto é, as duas dro-
gas são igualmente efi cazes, no nível de 5% de signifi cância.
2. Foram consideradas as distribuições do tipo sanguíneo do sistema MN
em três populações (grupos) de indivíduos, conforme dados apresentados
abaixo:
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 80delineamento_de_experimentos-prova4.indd 80 28/05/2014 15:53:0128/05/2014 15:53:01
Análise de Aderência e Associação | 81
Grupo Tipo Sanguíneo Total
MM MN NN
Controle 50 40 50 140
Gastrite 15 15 25 55
Úlcera 25 22 8 55
Total 90 77 83 250
Verifi car, no nível de 5% de signifi cância, se há diferença entre os grupos
quanto a distribuição do tipo sanguíneo (isto é, se a patologia está asso-
ciada ao sistema sanguíneo).
H0 : Controle = Gastrite = Úlcera
H1 : Existe pelo menos uma diferença entre os grupos
A seguinte tabela de frequências esperadas pode ser elaborada:
Grupo Tipo Sanguíneo Total
MM MN NN
Controle 50,40 43,12 46,48 140
Gastrite 19,80 16,94 18,26 55
Úlcera 19,80 16,94 18,26 55
Total 90 77 83 250
c22 2 250 50 40
50 4040 43 12
43 128 18 26
18 26=
−( )+
−( )+ +
−( ),,
,,
,,
c2 0 0032 0 2258 0 2666 1 1636 0 2222 2 4878 1 3657 1 5114= + + + + + + +, , , , , , , , ++5 7649,
c2 13 01= ,
αχ χ
===
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= ∴ = <( )( )
0 053
39 49 13 01 0 050 05 4
2
,, , ,, ;m
cp 2
Há rejeição de H0, ou seja, no nível de 5% de signifi cância os grupos dife-
rem quanto a distribuição do tipo sanguíneo (a patologia está associada ao
sistema sanguíneo).
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 81delineamento_de_experimentos-prova4.indd 81 28/05/2014 15:53:0128/05/2014 15:53:01
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS82 |
5.4 TESTE DE INDEPENDÊNCIA
Uma situação muito interessante na área biológica consiste em considerar
duas características (variáveis biológicas) avaliadas numa amostra de indi-
víduos e, verifi car se a probabilidade de um indivíduo qualquer ser classifi cado
nas categorias i i m j j c=( ) =( )1 1,..., ,..., e simultaneamente, pode ser obtida pelo
produto das probabilidades marginais. Ou seja, verifi car se as duas caracter-
ísticas são independentes.
Considerando a tabela de dupla entrada com m linhas e c colunas, objeti-c
va-se testar as hipóteses:
H ij i j0 : p p p= ו • para todo par ( i j, ) as características estudadas são
independentes;
H ij i j1 : p p p≠ ו • para algum par ( i j, ) as características estudadas são
dependentes.
As frequências esperadas, considerando-se H0 verdade, são dadas por
fefo fo
foiji j= • •
••
. Resultado idêntico ao utilizado no teste de homogeneidade.
Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é expressa como
c c2
2
111 1
2=−( )
==−( ) −( )∑∑
fo fe
feij ij
ijj
c
i
m
m c~ , com a regra de decisão habitual.
Exemplos
1. A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma
amostra aleatória de vítimas de diferentes crimes. Utilizando a=0,05, verifi -
car se o tipo de crime é independente do fato do criminoso ser um estranho.
CriminosoCrime
TotalHomicídio Roubo Assalto
Estranho 15 400 230 645
Conhecido 45 100 210 355
Total 60 500 440 1000
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 82delineamento_de_experimentos-prova4.indd 82 28/05/2014 15:53:0128/05/2014 15:53:01
Análise de Aderência e Associação | 83
H ij i j0 : p p p= ×⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⇔• • = =
para todo
i 1,2;j 1,2,3 Independência entre criminoso ser estranho e tipo de crime;
H ij i j1 : p p p≠ ×⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⇔• • = =
para algum
i 1,2;j 1,2,3 Dependência entre criminoso ser estranho e tipo de crime.
Frequências Esperadas
fe1160 645
100038 7= × = , ; fe12
500 6451000
322 5= × = , ; fe13440 645
1000283 8= × = ,
fe2160 355
100021 3= × = , ; fe22
500 3551000
177 5= × = , ; fe23440 355
1000156 2= × = , .
c22 2 215 38 7
38 7400 322 5
322 5210 156 2
156 2=
−( )+
−( )+ +
−( )=
,,
,,
,,
c2 14 51 18 62 10 20 26 37 33 84 18 53 122 07= + + + + + =, , , , , , ,
αχ χ
===
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= ∴ = <(( )
0 052
35 99 122 07 0 0010 05 2
2
,, , ,, ;m
cp 2 ))
No nível de 5% de signifi cância existe dependência entre o tipo de crime
cometido e o fato do criminoso ser um estranho.
2. Os resultados da classifi cação de 100 pessoas segundo a cor dos olhos e do
cabelo foram os seguintes:
Cor do CabeloCor dos Olhos
TotalCastanhos Azuis Cinza
Claro 13 18 9 40
Escuro 24 24 12 60
Total 37 42 21 100
No nível de 5% de signifi cância a cor dos olhos está relacionada com a cor
do cabelo?H0 : Há independência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo p p pij = ×( )• •i j
H1 : Há dependência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo p p pij ≠ ×( )• •i j
Frequências Esperadas
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 83delineamento_de_experimentos-prova4.indd 83 28/05/2014 15:53:0528/05/2014 15:53:05
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS84 |
fe1140 37
10014 8= × = , ; fe12
40 42100
16 8= × = , ; fe1340 21
1008 4= × = ,
fe2160 37
10022 2= × = , ; fe22
60 42100
25 2= × = , ; fe2360 21
10012 6= × = , .
c22 2 213 14 8
14 818 16 8
16 812 12 6
12 6=
−( )+
−( )+ +
−( ),,
,,
,,
c2 0 22 0 09 0 04 0 15 0 06 0 03 0 59= + + + + + =, , , , , , ,
αχ χ
===
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= ∴ = >( )( )
0 052
35 99 0 59 0 050 05 2
2
,, , ,, ;m
cp 2
No nível de 5% de signifi cância não se rejeita H0, ou seja, existe inde-
pendência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo.
5.5 EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)
1. Suponha que um teste de aptidão verbal tenha sido aplicado a um grupo
de 120 adolescentes do gênero masculino e 100 do gênero feminino. Os
resultados estão a seguir. Qual a conclusão a respeito da associação entre
gênero e aptidão verbal no nível de 5% de signifi cância?
GêneroNível de Aptidão
TotalSuperior Médio Inferior
Feminino 25 55 20 100
Masculino 20 80 20 120
Total 45 135 40 220
2. Desejando-se colocar à prova a hipótese de que a idade da mãe tem cer-
ta infl uência sobre o nascimento de criança prematura, um pesquisador
verifi cou que, dentre 90 casos de prematuridade, 40 envolviam mães com
idade inferior a 18 anos; 15 envolviam mães de 18 a 35 anos e 35 mães com
idade acima de 35 anos. No nível de 5% de signifi cância, isto leva o pes-
quisador a manter sua hipótese?
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 84delineamento_de_experimentos-prova4.indd 84 28/05/2014 15:53:1528/05/2014 15:53:15
Análise de Aderência e Associação | 85
3. Em um teste quiquadrado, quanto maior a diferença entre frequências es-
peradas e observadas, maior chance temos de: a) aceitar (não rejeitar) H0
ou b) rejeitar H0? Explicar a resposta.
4. Considere o seguinte resultado quanto ao tabagismo dos pais e fi lhos
PaisFilhos
Tabagistas Não Tabagistas
Tabagistas 49 16
Não Tabagistas 106 79
Verifi car no nível de 5% de signifi cância a associação entre pais e fi lhos
quanto ao tabagismo
5. Conforme a herança mendeliana, a descendência de certo cruzamento de-
veria ser vermelha, preta ou branca na seguinte proporção: 9:3:4. Se um
experimento mostrou 74, 32 e 38 descendentes nessas categorias, a teoria
está confi rmada, sendo α=0,05?
6. A seguir são apresentados dados sobre a presença (ou não) de anomalia
em recém-nascidos vivos segundo o sexo.
SexoAnomalia
Ausente Presente
Masculino 586 14
Feminino 674 26
Verifi que, no nível de signifi cância 5%, se a proporção de recém-nascidos
vivos portadores de anomalia é a mesma nos dois sexos.
7. Com base nos dados apresentados a seguir, verifi car se a condição de vivo
ou natimorto é homogênea nos dois sexos, considerando-se a=0,01.
SexoCondição
Vivo Natimorto
Masculino 825 25
Feminino 960 40
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 85delineamento_de_experimentos-prova4.indd 85 28/05/2014 15:53:2028/05/2014 15:53:20
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS86 |
8. Considere a distribuição de ervilhas do cruzamento de plantas de sement-
es lisas e albume amarelo com plantas de sementes rugosas e albume verde.
Sementes Frequência
Amarelo-lisas 380
Amarelo-rugosas 100
Verde-lisas 130
Verde-rugosas 30
No nível de signifi cância de 5%, os resultados estão de acordo com a teoria
postulada por Mendel (9:3:3:1, para as classes de sementes).
9. Considere uma amostra do mês de nascimento de 200 políticos brasileiros.
Verifi car (α=0,05) a hipótese de que o mês de nascimento tem uma distri-
buição uniforme nos políticos brasileiros.
Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Frequência 16 18 13 15 16 12 20 20 18 14 18 20
10. Numa Universidade, os estudantes de dois programas de pós-graduação
diferentes são submetidos ao mesmo exame de conhecimentos de redação
científi ca. Os conceitos obtidos foram os seguintes:
Programa de PGConceito
Fraco Regular Bom Excelente
XY 16 8 20 9
WZ 18 12 26 22
No nível de signifi cância 5%, a distribuição dos conceitos é homogênea
nos dois programas?
11. Numa pesquisa 120 pares de gêmeos foram classifi cados segundo o sexo e
a ordem que ocorreu o nascimento.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 86delineamento_de_experimentos-prova4.indd 86 28/05/2014 15:53:2028/05/2014 15:53:20
Análise de Aderência e Associação | 87
Primeiro a nascerSegundo a nascer
Masculino Feminino
Masculino 38 22
Feminino 26 34
No nível de signifi cância 5% verifi car se o sexo e a ordem de nascimento
são independentes.
12. Foram amostrados 120 pares de gêmeos classifi cados de acordo com o
sexo com o seguinte resultado:
Situação Dois meninos Duas meninas Um menino e Uma menina
Frequência 34 38 48
Verifi car, no nível de signifi cância 5%, se a classifi cação do sexo está em
acordo com o modelo binomial B 2 12;( ) .
5.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)
1. c2 3 40 0 05= >, ( , )p
2. c2 11 67 0 01= <, ( , )p
3. Quanto mais os valores observados se afastam dos esperados, têm-se
maiores desvios (sendo o numerador do cálculo elevado ao quadrado) e,
portanto, aumenta a chance de rejeitar a hipótese de nulidade (H0).
4. c2 6 68 0 01= <, ( , )p
5. c2 1 64 0 05= >, ( , )p
6. c2 2 07 0 05= >, ( , )p
7. c2 1 52 0 05= >, ( , )p
8. c2 7 78 0 05= >, ( , )p
9. c2 5 08 0 05= >, ( , )p
10. c2 2 47 0 05= >, ( , )p
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS88 |
11. c2 4 82 0 05= <, ( , )p
12. c2 5 07 0 05= >, ( , )p
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 88delineamento_de_experimentos-prova4.indd 88 28/05/2014 15:53:2628/05/2014 15:53:26
6CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
6.1 INTRODUÇÃO
Nas áreas biológicas, em algumas situações, o pesquisador está interessado
em estudar a maneira como duas variáveis X e Y estão associadas e, mais ai-
nda, medir o seu grau de associação. Alguns exemplos que podem esclarecer
essa situação são bastante comuns em nosso cotidiano, quais são: afi rmar que
a pressão arterial aumenta quando a idade avança; a altura de uma árvore está
relacionada ao perímetro do tronco; o desempenho de um atleta melhora com
o treinamento, e assim por diante.
Em todas as situações estão sendo considerados, simultaneamente, os va-
lores de duas variáveis aleatórias mensuradas num mesmo indivíduo, isto é,
observações pareadas. Como já descrito anteriormente, busca-se verifi car qual
o sentido e a intensidade da associação entre as variáveis, mas jamais utilizar
essa busca como uma relação de causa e efeito. Ou seja, a observação de que
duas grandezas podem variar simultaneamente no mesmo sentido ou em sen-
tidos contrários, não implica a presença de um relacionamento causal entre
elas.
No presente texto será considerado que a associação entre as variáveis
pode ser estudada por meio de uma relação linear, ou seja, os pares de pontos
distribuídos na vizinhança de uma reta.
Para melhorar o entendimento entre correlação e causalidade, suponha,
por exemplo, uma associação positiva entre o consumo de líquido de uma ci-
dade e o número de internações por desidratação. A falácia da causalidade
poderia levar a diminuição de ingestão de líquido para diminuir o número
de internações por desidratação. Lógico, que neste caso, uma terceira ou mais
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS90 |
variáveis (temperatura, umidade relativa do ar,...) podem estar causando a cor-
relação entre consumo de líquido e número de internações. Essas variáveis são
denominadas de variáveis intercorrentes (não conhecidas) e a falsa correlação
que elas fornecem é chamada de correlação espúria.
6.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
O diagrama de dispersão consiste de um gráfi co bidimensional (sistema
de eixos cartesianos (X,Y)) onde são alocados os n pares de observações das
variáveis aleatórias X e Y.
O objetivo do diagrama de dispersão é possibilitar a visualização da rela-
ção existente entre as variáveis X e Y. Se os pontos estiverem localizados na viz-
inhança de uma reta há indicação de correlação, se X e Y crescem no mesmo
sentido, a indicação é no sentido de correlação positiva, caso a variação acon-
teça no sentido oposto (contrário), existe correlação negativa entre as variáveis.
A Tabela 6.1 apresenta o desempenho físico e psicológico de mulheres obesas
submetidas aos testes relativos à qualidade de vida das participantes.
Tabela 6.1 Desempenho físico e psicológico de mulheres obesas submetidas ao“Deep water running and quality of life in obese women (Arquivos Médicos do ABC,v.32, p.5-10, 2007)”
Mulher D. Físico (%) D. Psicológico (%)
M1 30 35
M2 40 50
M3 75 70
M4 50 50
M5 35 30
M6 60 65
M7 70 55
M8 55 55
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Correlação Linear Simples | 91
40
50
60
70
80
20
30
40 50 60 70 8020 30 90
D. Psicológico
D. Físico
Figura 6.1 Diagrama de Dispersão dos Domínios Físico (%) e Psicológico (%)
A inspeção visual, mostra de maneira subjetiva, a tendência linear nas
observações no sentido positivo, ou seja, as mulheres mostraram associação
direta nas respostas dos domínios físico e psicológico. A intensidade dessa as-
sociação pode ser mensurada, objetivamente, pelo coefi ciente de correlação
linear de Pearson, sendo que a intensidade será tanto maior quanto menor for
a dispersão dos pontos em relação à tendência linear.
6.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
A medida do grau (intensidade) de associação linear entre duas variáveis
aleatórias quantitativas (numéricas) pode ser estabelecida pelo coefi ciente de
correlação de Pearson, representado por r e expresso parar n pares (xi, yi) de
uma amostra aleatória das variáveis X e Y como:
rS
S Sxy
xx yy
= , onde
S SP X Y x x y y x y nxyxy i ii
n
i ii
n
= ( )= −( ) −( )= −= =∑ ∑,
1 1
;
S SQ X x x x nxxx ii
n
ii
n
= ( )= −( ) = −= =∑ ∑2
1
2 2
1
;
S SQ Y y y y nyyy ii
n
ii
n
= ( )= −( ) = −= =∑ ∑2
1
2
1
2 .
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS92 |
Algumas considerações interessantes podem ser feitas a respeito do valor
de r:
a) − ≤ ≤1 1r ;
b) r=+1 , correlação perfeita positiva (todos os pontos estão sobre uma
linha reta crescente);
c) r=−1 , correlação perfeita negativa (todos os pontos estão sobre uma
linha reta decrescente);
d) r = 0 ; correlação nula (ausência de associação linear entre as variáveis
X e Y);
e) r é adimensional.
A seguir serão apresentados dois exemplos para o cálculo da correlação
linear simples.
Exemplos
1. Considerando os dados da Tabela 6.1, tem-se:
xii
= + + ==∑ 30 55 415
1
8
, portanto, x = 51 875, ;
x ii
2 2 2
1
8
30 55 23375= + + ==∑ ;
S SQ Xxx = ( )= − × =23375 8 51 875 1846 8752, , ;
yii=∑ = + + =
1
8
35 55 410 , portanto, y = 51 25, ;
yii
2
1
82 235 55 22300
=∑ = + + = ;
S SQ Yyy = ( )= − × =22300 8 51 25 1287 52, , ;
x yi ii=∑ = × + × + + × = + + + =
1
8
30 35 40 50 55 55 1050 2000 3025 22625 ;
S SP X Yxy = ( )= − × × =, , , ,22625 8 51 875 51 25 1356 25 ;
logo r=×
= = ≈1356 251846 875 1287 5
1356 251542 0284
0 8795 0 88,, ,
,,
, ,
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Correlação Linear Simples | 93
A magnitude da associação linear entre as variáveis é da ordem de 0,88,
mostrando que as mulheres que tiveram maiores porcentagens no domínio
físico são também as de maiores valores percentuais no domínio psicológico.
2. Considere as seguintes notas em Bioestatística e Biofísica de 11 alunos de
Ciências Biológicas selecionados aleatoriamente entre todos os matricula-
dos, conforme Tabela 6.2
Tabela 6.2 Notas de 11 alunos em Bioestatística e Biofísica
Aluno A B C D E F G H I J K
Bioestatística (X) 6,7 8,1 6,5 4,2 5,3 4,0 7,1 6,4 6,0 6,8 4,9
Biofísica (Y) 9,2 6,5 8,1 7,5 8,5 7,8 7,7 7,9 8,1 8,2 8,5
xii=∑ =
1
11
66 0, , logo x = 6 0, ; yii=∑ =
1
11
88 0, , logo y = 8 0, ;
x xii
−( ) =( ) +( ) +( ) + −( ) + −( ) + −( )=∑ 2
1
112 2 2 2 2 20 7 2 1 0 5 1 8 0 7 2 0, , , , , , ++( ) +( )
+( ) +( ) + −( ) =
1 1 0 4
0 0 0 8 1 1 16 1
2 2
2 2 2
, ,
, , , , ;
y yii
−( ) =( ) + −( ) +( ) + −( ) +( ) + −( )=∑ 2
1
112 2 2 2 2 21 2 1 5 0 1 0 5 0 5 0 2, , , , , , ++ −( )
+ −( ) +( ) +( ) +( ) =
0 3
0 1 0 1 0 2 0 5 4 64
2
2 2 2 2
,
, , , , , ;
x x y yi ii
−( ) −( )=( )( )+( ) −( )+( )( )+ +=∑
1
11
0 7 1 2 2 1 1 5 0 5 0 1 0 8, , , , , , , (( )( )+ −( )( )=−0 2 1 1 0 5 2 07, , , , ;
r= −×
=− =−2 0716 1 4 64
2 078 64
0 24,, ,
,,
,
O coefi ciente de correlação negativo (-0,24) mostra que os alunos com
maiores notas em Bioestatística estão com menores notas em Biofísica, e vice-
versa. Porém, deve ser observado que o valor r=−0 24, expressa uma fraca
correlação linear negativa entre as variáveis.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS94 |
6.4 TESTE DE HIPÓTESE DA CORRELAÇÃO
Considerando as variáveis aleatórias X N x x~ ,μ σ2( ) e Y N y y~ ,μ σ2( ) , as
hipóteses a respeito da ausência ou presença de associação linear entre as
variáveis X e Y podem ser estabelecidas como:
H xy0 0: r = (ausência de associação linear entre as variáveis X e Y)
H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear entre as variáveis X e Y).
Sob a veracidade de H0 a estatística do teste é dada por: t r n
rt n= −
−−( )
2
1 2 2~ ,
com a regra de decisão habitual ( ou seja, se t tn
≥−( )a
2 2, , rejeita-se a hipótese
H0; caso contrário, não há rejeição).
Alternativamente, o valor do resultado do coefi ciente de correlação linear
de Pearson ( r ) pode ser comparado com os valores críticos da Tabela 9.9, com
a seguinte regra de decisão:
Se r r n> ( ; )a2
, rejeita-se H0 ao nível a (0,05 ou 0,01) de signifi cância estabe-
lecido. Caso contrário, não há rejeição da hipótese nula (ausência de associa-
ção linear entre X e Y).
Exemplos
1. Considerando os dados da Tabela 6.1 e a=0,05, tem-se
H xy0 0: r = (ausência de associação linear)
H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear)
t p=−
= = <( )0 88 6
1 0 88
2 1560 475
4 54 0 012
,
,
,,
, ,
== − =
=( )
0 058 2 6
2 450 025 6
,,, ;t
αϕ } ; t > 2 45, , portanto, rejeita-se H0.
No nível de signifi cância 5% existe associação linear entre os domínios
físico e psicológico.
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Correlação Linear Simples | 95
2. Considerando os dados das notas de Bioestatística e Biofísica da Tabela
6.2, tem-se:
H xy0 0: r = (ausência de associação linear)
H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear)
t p= −
− −( )=− =− >( )0 24 9
1 0 24
0 720 97
0 74 0 052
,
,
,,
, ,
==
=( )
0 059
2 260 025 9
,,, ;t
αϕ } ; t < 2 26, , não se rejeita H0.
No nível de signifi cância 5%, não foi possível mostrar associação linear en-
tre as notas de Bioestatística e Biofísica nos alunos de Ciências Biológicas.
6.5 EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)
1. Um antropólogo mediu a largura e o comprimento de 30 crânios amostra-
dos de uma população, obtendo um coefi ciente de correlação r=0,75. Su-
pondo α=0,05, verifi car se existe associação entre as variáveis.
2. Os valores das variáveis X e Y devem ser medidos na mesma unidade para
que se possa calcular o coefi ciente de correlação linear?
3. Considere a idade gestacional (semanas) e o peso ao nascer (kg), de uma
amostra casual de 10 recém-nascidos no HC/UNESP-Botucatu(SP).
Recém-nascido RN1 RN2 RN3 RN4 RN5 RN6 RN7 RN8 RN9 RN10
Idade Gestacional 34 35 37 32 42 40 41 39 28 38
Peso ao Nascer 1,60 1,70 2,00 1,55 4,30 3,00 3,40 3,30 1,25 2,35
No nível de signifi cância 5%, verifi car se existe associação linear entre a
idade gestacional e o peso ao nascer.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS96 |
4. Em um experimento com carneiros foram determinados os seguintes re-
sultados no plasma dos animais:
Carneiro 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Conc. Albumina (g%) 2,3 3,5 4,8 1,9 2,7 5,8 4,6 5,4 3,9
Horm. Crescimento (mμg/ml) 41,4 48,6 56,4 40,3 45,3 61,4 52,0 54,0 42,8
Verifi car se existe associação linear (a=0,05) entre a concentração de albu-
mina e o hormônio de crescimento no plasma de carneiros.
5. Apresenta-se a seguir uma matriz de correlação para instrução (X), salário
(Y) e idade (Z) de uma amostra de 50 indivíduos.
Variável
Variável Instrução Salário Idade
Instrução 1,00 0,60 -0,40
Salário 1,00 0,50
Idade 1,00
Quais são signifi cantes no nível 0,05?
6. A correlação entre aptidão matemática e línguas estrangeiras, baseada em
testes para medir aptidões, está por volta de 0,40. Qual deve ser o tamanho
de uma amostra de estudantes para estarmos certos (nível de signifi cância
5%) de que o valor do r obtido refutaria a hipótese r H0 0: r = ?
7. Como deve ser afetado o valor do coefi ciente de correlação r se trocarmosr
as variáveis X por Y e Y por X?
8. Dê um exemplo de duas variáveis que, sem dúvida, estão altamente rela-
cionadas mas para as quais o valor de r seria pequeno pelo fato de a relação r
não ser linear.
9. Considere os seguintes dados relativos a altura e peso de 10 estudantes de
uma sala de aula e verifi que, no nível de signifi cância 5%, se as variáveis
estão associadas linearmente.
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Correlação Linear Simples | 97
Estudante E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10
Altura 124 161 126 184 172 140 158 135 180 174
Peso 65 76 64 95 86 68 70 68 92 87
10. Indique o erro na conclusão
Fato: Há uma associação linear signifi cante (p<0,05) entre a renda pessoal
e o número de anos de escolaridade.
Conclusão: Mais instrução tem como resultado maior renda pessoal.
11. Como é afetado o valor do coefi ciente de correlação linear quando se adi-
ciona a mesma constante a cada valor da variável X?
12. Com base em uma amostra de 38 pares de valores foi obtido o coefi ciente
de correlação r=0,45. Teste (α=0,05) a hipótese de que o coefi ciente de cor-
relação das variáveis é zero.
13. Verifi car se existe associação signifi cativa (α=0,05) entre horas de estudo e
nota da prova, segundo os dados abaixo:
Aluno A B C D E F G H I K L M
Horas de estudo 4 1 3 5 8 3 6 7 7 6 2 4
Nota da prova 5 2 4 7 9 5 7 10 8 6 3 3
14. Um coefi ciente de correlação linear de Pearson, baseado em uma amostra
de tamanho 18, foi calculado como 0,45. Pode-se concluir, no nível de 5%
de signifi cância, que há associação entre as variáveis X e Y?
15. Para uma amostra de tamanho 11, determinar o valor mínimo do coefi -
ciente de correlação r, de modo que a hipótese de ausência de associação
linear entre X e Y( H0 ) seja rejeitada ao nível de confi ança 99% (isto é,
sempre que r r> ( , ; )0 01 11 ).
16. Nas questões seguintes aprofunde a discussão no erro de conclusão.
a. Fato: Há uma correlação linear signifi cativa entre a renda pessoal e o
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS98 |
número de anos de escolaridade. Conclusão: mais instrução tem como
resultado maior renda pessoal.
b. Fato: Indivíduos fazem um teste de habilidade verbal e um
teste de destreza manual; os pares de observação acusam
um coefi ciente de correlação linear muito próximo de zero.
Conclusão: Não há qualquer relacionamento entre os escores dos dois
testes.
17. Explique o que está errado na seguinte afi rmação: “Determinou-se uma
associação linear forte, expressa pelo valor r=1,16, entre a avaliação do en-
sino ministrado pela universidade indicada pelos estudantes e outra feito
por membros externos à instituição”.
6.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)
1. t p= <6 00 0 001, ( , )
2. Não. Basta que sejam variáveis quantitativas
3. r = 0 900, ; t p= <5 84 0 001, ( , )
4. r = 0 914, ; t p= <5 96 0 001, ( , )
5. t pINST SAL×( ) = <5 20 0 001, ( , )
t pINST IDADE×( ) =− <3 02 0 01, ( , )
t pSAL IDADE×( ) = <4 00 0 001, ( , )
6. No mínimo composta por 25 estudantes
7. O valor permanece inalterado
8. Quantidade de adubação no solo e produção
9. r = 0 949, ; t p= <8 52 0 001, ( , )
10. A conclusão está fazendo uma relação de causa e efeito, quando na reali-
dade existe apenas uma associação linear
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Correlação Linear Simples | 99
11. O valor permanece inalterado
12. t p= <2 70 0 05, ( , )
13. r = 0 921, ; t p= <7 48 0 01, ( , )
14. t p= >2 02 0 05, ( , )
15. r ³ 0 7348, ; portanto r = 0 7348, (valor mínimo)
16. a. Relação de causa e efeito para um indicativo apenas de associação.
b. b) Não há associação linear, fato que não exclui a possibilidade de outro
tipo de relação.
17. O valor de r não pode ser maior que a unidade.
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7REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
7.1 INTRODUÇÃO
Os fenômenos biológicos, quase que na plenitude das situações, podem
ser explicados por meio de modelos matemáticos e estocásticos (modelos
matemáticos que incorporam elementos probabilísticos). Um modelo comum
e de fácil entendimento biológico que tem sido utilizado para estudar a relação
funcional entre duas variáveis consiste na função linear simples Y a bX= +( ) .
Neste modelo, a idéia consiste em estudar a variação da variável aleatória
contínua Y (variável dependente, variável resposta ou variável exógena) em
função de uma variável fi xa X, isto é, determinística (variável independente,
variável explanatória ou variável endógena). Por exemplo, verifi car as quedas
na quantidade de açúcar no sangue de coelhos submetidos a doses diferentes
de insulina (doses controladas).
Para melhor entendimento, considere o seguinte experimento realizado na
área de Bioquímica. Um bioquímico colocou plasma humano em cinco tubos
de ensaio e depois adicionou procaína (quantidade fi xa em cada tubo). Essa
substância é um anestésico local que se decompõe por hidrólise. Para estudar a
velocidade da hidrólise, o pesquisador observou, em tempos defi nidos e dife-
rentes (4 min., 8 min., 12 min., 16 min. e 20 min.), a quantidade (moles/litro)
de procaína hidrolisada em cada tubo de ensaio.
Esquematicamente:
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS102 |
616
23
3341
4 min 8 min 12 min 16 min 20 min
Considerando o tempo com variável independente (X) e a quantidade de
procaína hidrolisada, como a variável dependente (Y), como estabelecer o
modelo da resposta linear de Y em função de X?
7.2 MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
A origem do termo regressão deve-se a Sir Francis Galton ( 1822-1911 ),
inglês de classe alta que estudou medicina em Cambridge e explorou a África
antes de se dedicar ao estudo da hereditariedade. A data do pioneirismo do
uso aconteceu por volta de 1885, quando estava investigando relações antro-
pométricas de sucessivas gerações, em resposta a seguinte interrogativa que
fazia: “Se as alturas das pessoas estão distribuídas normalmente em cada ge-
ração, e se a altura é hereditária, qual é a relação entre as gerações?”. Uma das
constatações verifi cada por Galton apontava que cada particularidade de um
homem é transmitida aos seus descendentes, mas, em média, numa intensi-
dade menor. Ou seja, embora pais com baixa estatura tendam a ter fi lhos tam-
bém com baixa estatura, os fi lhos têm altura média maior que seus pais. Fato
semelhante, em sentido reverso, ocorre com pais com estatura alta. Isto é, os
fi lhos apresentam estatura alta, mas, em média, menor que seus pais. Galton
chamou esse fenômeno de “regressão para a mediocridade”.
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Regressão Linear Simples | 103
Em sua análise, Galton denominou esse fenômeno de a altura mover-se em
direção à altura dos pais de regressão, e às vezes de reversão, expressado num
artigo de 1885, publicado no Journal of the Anthropological Institute (Bussab
& Morettin, 2003).
No contexto matemático, que não foi o caso de Galton, o ajuste de uma
linha reta a quaisquer dados de duas variáveis quantitativas pode ser feito pelo
método dos mínimos quadrados criado pelo matemático francês Legendre,
por volta de 1805, cujo procedimento de obtenção dos parâmetros envolvidos
no modelo linear será objeto de estudo no presente texto.
Em relação ao experimento da procaína, inicialmente, como análise ex-
ploratória, torna-se interessante representar os pares de pontos ( x yi i, ) em
um gráfi co no sistema cartesiano para verifi car se há uma tendência linear
nos dados. Caso exista a tendência, o passo seguinte consiste em estabelecer o
modelo de resposta linear Y a bX= + . Se não for verifi cada a tendência, a al-
ternativa seria procurar outros modelos (não-lineares), cujo enfoque não será
abordado neste texto.
Para o gráfi co considere a Tabela 7.1 de valores do tempo e da quantidade
de procaína hidrolisada.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS104 |
Tabela 7.1 Valores observados nos tubos de ensaio
Tempo (X) 4 8 12 16 20
Quantidade hidrolisada (Y) 6 16 23 33 41
4 8 12 16 20005
1015202530354045
QuantidadeHidrolisada(moles/litro)
Tempo (min)
Figura 7.1 Diagrama de dispersão dos dados
Como pode ser visualizado existe uma tendência linear nos valores ob-
servados no experimento. Então, indaga-se: como procurar a equação da reta
que “melhor” descreve a hidrólise da procaína em função do tempo que foi
adicionado no plasma? Ou seja, como proceder ao ajuste de uma regressão
linear simples (RLS) ao conjunto de dados?
Ajustar uma RLS aos dados signifi ca encontrar a equação da reta que
melhor descreve o fenômeno biológico. Um procedimento matemático que
permite encontrar esse modelo de resposta denomina-se Método de Mínimos
Quadrados (MQ), cujo objetivo consiste em minimizar a soma dos quadrados
dos erros (ou desvios).
Para o ajuste da RLS e, posteriormente, para os testes de hipóteses as se-
guintes pressuposições são básicas:
i. A relação entre as duas variáveis é linear.
ii. Os valores de X são fi xos, isto é, X é variável determinística.
iii. A variabilidade de Y, para qualquer valor dado de X, é sempre a mesma.
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Regressão Linear Simples | 105
iv. O erro de uma observação não está correlacionado com o erro de outra
observação (erros não correlacionados).
v. Para qualquer dado valor de X, Y tem distribuição condicional normal (
E y x x Var y x( )= + ( )=α β σ; 2 ).
Como descrito anteriormente, encontrar os estimadores de mínimos
quadrados para os parâmetros (a, b) do modelo, consiste em considerar uma
amostra aleatória de n pares x y i ni i, , , ,( ) = 1 ; e minimizar a quantidade de
informação perdida pelo modelo, ou seja, a soma dos quadrados dos erros
dada por:
SQ e y xii
n
i ii
n
α β α β,( )= = − +( )( )= =∑ ∑2
1
2
1
, com ei sendo o i-ésimo erro entre o
valor observado yi e o proposto pelo modelo E y x xi i( )= +α β .
Derivando SQ α β,( ) em relação a a e b e igualando a zero, tem-se que as
soluções α (ou a) e β (ou b) devem satisfazer:
α βn x yii
n
ii
n
ˆ ˆ+ == =∑ ∑
1 1
;
α βˆ ˆx x x yii
n
ii
n
i ii
n
= = =∑ ∑ ∑+ =
1
2
1 1
;
as quais produzem as soluções:
α βˆ ˆ= = −a y x ;
β= =bSS
xy
xx
; onde S x x x nxxx ii
n
ii
n
= −( ) = −= =∑ ∑2
1
2 2
1
e
S x x y y x y nxyxy i ii
n
i ii
n
= −( ) −( )= −= =∑ ∑
1 1
.
Portanto, o modelo de regressão ajustado é dado como:
= +α βy xˆ ˆ ˆ a bx y b x xi i i i= + = + −( ).
No experimento bioquímico, tem-se
n = 5 ; X : tempo(min); Y : quantidade hidrolisada (moles/L);
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS106 |
xii=∑ = + + + + =
1
5
4 8 12 16 20 60 , logo x =12 ;
xii
2 2 2 2 2 2
1
5
4 8 12 16 20 880= + + + + ==∑ ;
Sxx = − × = − =880 5 12 880 720 1602 ;
yii
= + + + + ==∑ 6 16 23 33 41 119
1
5
y = 23 8, ;
x yi ii
= × + × + × + × + × ==∑ 4 6 8 16 12 23 16 33 20 41 1776
1
5;
Sxy = − × × =1776 5 12 0 23 8 348, , ;
bSS
xy
xx
= = =348160
2 175, ;
a y bx= − = − × =−23 8 2 175 12 2 3, , , ;
logo, y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , isto é, QtHid tempoˆ , ,=− +2 3 2 175 .
O modelo y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , constitui-se num preditor da quantidade de
procaína hidrolisada para qualquer tempo considerado no intervalo de 4min
a 20min. Além disso, o valor 2,175 (denominado coefi ciente angular da re-
gressão) indica a variação da variável Y por unidade de variação em X, ou
seja, para cada minuto decorrido a quantidade de procaína hidrolisada tem
um acréscimo de 2,175 moles/litro.
O modelo estimado pode ser representado no sistema cartesiano por meio
de uma reta correspondente à relação linear encontrada entre as variáveis.
Então, considerando y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , tem-se:
= →4 2x yi i =− + ( )=3 2 175 4 6 4ˆ , , , ;
x yi i= → =− + ( )=20 2 3 2 175 20 41 2ˆ , , , .
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Regressão Linear Simples | 107
0
10
20
30
40
QuantidadeHidrolisada
Tempo
y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175
7.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
O coefi ciente de determinação (R2) indica a proporção da variação de Y
que é explicada pela reta de regressão, ou seja, uma medida de precisão do
modelo. Portanto, sendo uma proporção seu valor varia entre zero e um, inclu-
sive 0 12≤ ≤( )R . Fica mais prático interpretar quando seu valor é expresso em
porcentagem, sendo 0% o caso extremo de imprecisão do modelo e, oposta-
mente, 100% a retenção de toda informação do fenômeno biológico explicada
pelo modelo ajustado. Valores entre essas porcentagens limites são tão pouco
ou mais representativos quanto aos próximos dos extremos que se alinharem.
O cálculo do coefi ciente de determinação (R2) envolve a relação entre a soma
de quadrados devida à regressão e a soma total de quadrados expressa na se-
guinte fórmula: R SQRegressãoSQTotal
SS S
xy
xx yy
22
= = . Se não existisse qualquer variação
em torno da reta de regressão (todos os pontos observados estivessem sobre xx yy
a reta estimada), não haveria resíduos (erros) e, portanto, a soma de quadra-
dos devida à regressão coincidiria com a soma total de quadrados, resultando
R2 1 0 100= ( ), % . Difi cilmente essa condição acontece em biologia, uma vez que
existe sempre uma componente aleatória nas respostas biológicas.
No experimento bioquímico, tem-se:
xii=∑ =
1
5
60 , com x =12 ; yii
==∑ 119
1
5
, com y = 23 8, ;
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS108 |
xii
2
1
5
880==∑ ; yi
i
2
1
5
3591=∑ = ; x yi i
i
==∑ 1776
1
5
; resultando,
Sxx =160 ; Syy = 758 8, ; Sxy = 348 .
Logo, R22348
160 758 80 9975 99 75=
×= ( )
,, , % , mostrando que o modelo ajusta-
do explica 99,75% da variação da quantidade de procaína hidrolisada em fun-
ção do tempo.
7.4 TESTE DO COEFICIENTE (ANGULAR) DE REGRESSÃO
H0 0: b = (não existe RLS de Y em X)
H1 0: b ¹ (existe RLS de Y em X).
Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é dada por tn R
Rt n=
−( )− −( )
21
2
2 2~ ,
com a regra de decisão habitual (rejeita-se H0, quando t t n≥ −( )a 2 2; ). Alternati-
vamente o valor da estatística pode ser obtido como:
tb S
Sxx
e
= , onde Sn
SSSe yy
xy
xx
221
2=−( )
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
.
No experimento bioquímico, tem-se
H0 0: b = (ausência de RLS da quantidade de procaína hidrolisada sobre
o tempo)
H1 0: b ¹ (presença de RLS da quantidade de procaína hidrolisada sobre
o tempo).
n = 5 e R2 0 9975= , , então t p=−( )−
= <( )5 2 0 99751 0 9975
34 6 0 001,
,, , ;
a= 0 05, e n− =2 3 , tem-se t 0 025 3 3 18, ; ,( ) = , logo ( t t> ( )0 025 3, ; ) rejeita-se H0.
Alternativamente:
Sxx =160 ; Syy = 758 8, ; Sxy = 348 e b = 2 175,
Se2
215 2
758 8 348160
0 6333=−
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=, , Se = 0 7958,
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Regressão Linear Simples | 109
t p= = <( )2 175 1600 7958
34 6 0 001,,
, ,
Nesse sentido, conclui-se que existe regressão linear signifi cativa (p<0,001)
da quantidade de procaína hidrolisada em função do tempo.
7.5 EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)
1. Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a
potência de um antibiótico. Oito amostras de 50 gramas foram armazena-
das a diferentes temperaturas, e após uma semana mediu-se a potência. Os
resultados estão descritos a seguir.
Temperatura (ºC) 30 38 46 54 62 70 78 86
Potência 45 41 39 32 28 23 10 17
a. Faça a representação gráfi ca dos dados.
b. Ajuste a regressão linear simples da potência como função da tempera-
tura.
c. A que temperatura a potência seria nula?
2. Sejam X (duração da viagem, em dias) e Y(despesa, em US$, com viagem).
Para uma amostra de 102 viagens, obteve-se: x=∑ 510 ; y=∑ 7140 ;
x2 4150=∑ ; y2 740200=∑ e xy=∑ 54900 .
a. Qual a reta de regressão de Y em função de X?
b. Uma viagem irá durar sete dias. Qual a estimativa de despesa para a
viagem?
3. Para construir um modelo linear relacionando a quantidade de erros da-
tilográfi cos (Y) e o tempo de experiência (X) em meses, constituiu-se uma
amostra casual de 10 funcionários, obtendo-se os seguintes resultados nu-
méricos:
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS110 |
n =10 ; x = 6 0, ; y =17 0, ; Sxx =100 ; Syy = 644 e r=−0 993, .
a. Determine o modelo de regressão linear de Y em X.
b. No nível de signifi cância 5%, faça o teste de hipótese da regressão.
c. Encontre o valor do coefi ciente de determinação.
4. Os dados a seguir referem-se a precipitação anual (cm) e a produção de
algodão (kg/ha) de uma amostra de sete produtores de uma dada região do
estado.
Precipitação 160 140 130 100 70 50 40
Produção 620 510 450 280 140 80 30
No nível de signifi cância de 5%, verifi car se existe RLS da produção de
algodão em função de precipitação anual.
5. Se os fi lhos fossem exatamente 3 cm mais altos do que seus pais, como
fi caria a reta de regressão que daria a altura dos fi lhos em função da altura
dos pais?
6. Considere os dados da idade (em dias) e o peso (em gramas) de ratos ma-
chos da raça Wistar.
Idade 25 28 30 32 34 35 38 40 42 43 45 46 47 48 49 50
Peso 62 61 66 69 74 75 80 82 88 89 91 95 95 97 99 99
Considerando o modelo RLS para o peso em função da idade, quanto deve
ser o peso estimado de um rato com 33 dias de idade?
7. Suponha que, com base em 16 pares de observações, obteve-se as seguintes
informações: x∑ = 896 ; y∑ = 655 ; x2 52300=∑ ; y2 29652=∑ ;
xy∑ = 38368 . Qual é a proporção da variabilidade total dos dados que
pode ser explicada pela regressão de Y em X?
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Regressão Linear Simples | 111
8. Considere os valores de X e Y obtidos em uma amostra com cinco obser-
vações.
X 1 2 3 4 5
Y 16 12 8 7 5
Mostre com os dados que b rSS
yy
xx
=
9. Numa análise de RLS foram obtidos a partir de uma amostra de 6 pares de
valores X e Y, os seguintes resultados:
R2 1625
= ; sx = 3 (desvio padrão de X); sy = 5 (desvio padrão de Y); x = 3 e
y =10 .
a. Qual a equação de RLS de Y em X?
b. No nível de signifi cância 5%, teste as hipóteses H H0 10 0: :b b= × ≠ .
10. Para os pares (1,6);(2,5);(3,3);(4,3);(6,1), determine a equação de RLS de Y
em X. Qual a variação de Y por unidade de variação de X?
11. Um laboratório está interessado em medir a infl uência da temperatura so-
bre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50g cada foram guarda-
das a diferentes temperaturas, e após 15 dias mediu-se a potência (quadro
a seguir).
a. Faça a representação gráfi ca dos dados.
b. Ajuste a reta da potência como função da temperatura.
c. A que temperatura a potência seria nula?
Temperatura (ºC) Potência
30 38 43
50 32 26 33
70 19 27 23
90 14 21
12. Qual o indicador estatístico que fornece o acréscimo ou decréscimo de Y
esperado para cada variação unitária de X, numa relação linear entre Y e X?
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS112 |
13. Considere os seguintes pesos de pais e fi lhos, em kg.
Família F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10
Peso do Pai 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67
Peso do Filho 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67
a. Construir o diagrama de dispersão.
b. Estabelecer a regressão do peso do fi lho em função do peso do pai.
Verifi car a signifi cância considerando a=0,05.
14. Suponha que, com base em 16 pares de observações, obteve-se as seguintes
informações:
x y x y xy∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = =896 655 52330 29652 383682 2; ; ; ;
Utilizando essas informações, responda as questões a seguir:
a. Determine a regressão linear de Y em X.
b. Qual é a proporção da variabilidade total dos Y que pode ser explicada
pela regressão de Y em X?
15. Considere os seguintes resultados de uma pesquisa envolvendo registro de
armas automáticas e taxa de criminalidade em oito estados.
Armas automáticas 11800 8300 3600 1800 6900 2600 4200 5960
Taxa de criminalidade(%) 18,1 16,8 9,4 6,4 14,6 8,8 10,6 11,8
Qual a predição linear para a taxa de criminalidade (%) em um estado com
10000 armas automáticas registradas?
7.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)
1. b. POTÊNCIA TEMPERATURA= −64 158 0 600, , ; 30 86£ £TEMP
c. TEMPERATURA C=106 93, ˚
2. a. ( )Y DESPESA X DURAÇÃO( )= +10 12
b. ˆ $ ,Y DESPESA DIAS U7 94 00( )=
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Regressão Linear Simples | 113
3. a. ˆ , ,Y X= −32 12 2 52
b. t p= <( )23 74 0 001, ,
c. R2 0 986= ,
4. PROD PRECIPˆ , ,=− +181 528 4 900 t p= <( )27 01 0 001, ,
5. ALT FILHO ALT PAIˆ = +3
6. PESO IDADEˆ , ,= +17 011 1 661 , 25 50£ £IDADE .PESO DIASˆ ,33 71 824( )= gramas
7. R2 0 676= , (67,6% da variabilidade total dos dados é explicada pelo mod-
elo).
8. SXX =10 ; SYY = 77 2, ; SXY =−27
r=−0 9718, ; b=−2 7, ; r SS
YY
XX
=−2 7,
Ou seja, fi ca mostrado que b r SS
YY
XX
= .
9. a. ˆ , ,Y X= +6 01 1 33 , 1 6£ £X
b. t p= >( )2 67 0 05, , .
10. ˆ , ,Y X= −6 757 0 986 ; ou seja, para cada unidade de X há uma decréscimo
de 0,986 unidades em Y .
11. b. POT TEMPˆ , ,= −50 457 0 381 , 30 90£ £TEMP
c. TEMP C=132 43, ˚
12. Coefi ciente de regressão linear ( b )
13. b. PFILHO PPAIˆ , ,= +35 479 0 482 ; 62 70£ £PPAI ; t p= <( )2 34 0 05, ,
14. a. ˆ , ,Y X=− +2 8856 0 7826
b. R2 0 4654 46 54= =, , %
15. TAXACRIM ARMAS AUTˆ , ,= +5 304 0 0012 ; TAXACRIMˆ , %10000 17 304( )=
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9TABELAS
Tabela 9.1 Distribuição t de Student P t t t− < <( )= −⎡⎣ ⎤⎦0 0 1 a
Número de grausde liberdade
Nível de signifi cância para o teste bilateral (a)
0,01 0,05 0,10
1 63,657 12,706 6,314
2 9,925 4,303 2,920
3 5,841 3,182 2,353
4 4,604 2,776 2,132
5 4,032 2,571 2,015
6 3,707 2,447 1,943
7 3,499 2,365 1,895
8 3,355 2,306 1,860
9 3,250 2,262 1,833
10 3,169 2,228 1,812
11 3,106 2,201 1,796
12 3,055 2,179 1,782
13 3,012 2,160 1,771
14 2,977 2,145 1,761
15 2,947 2,131 1,753
16 2,921 2,120 1,746
17 2,898 2,110 1,740
18 2,878 2,101 1,734
19 2,861 2,093 1,729
20 2,845 2,086 1,725
21 2,831 2,080 1,721
22 2,819 2,074 1,717
23 2,807 2,069 1,714
24 2,797 2,064 1,711
25 2,787 2,060 1,708
26 2,779 2,056 1,706
27 2,771 2,052 1,703
28 2,763 2,048 1,701
29 2,756 2,045 1,699
30 2,750 2,042 1,697
40 2,704 2,021 1,684
60 2,660 2,000 1,671
120 2,617 1,980 1,658
∞ 2,576 1,960 1,645
Interpolações devem ser feitas com base nos recíprocos dos graus de liberdade (interpolação harmônica)
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 117delineamento_de_experimentos-prova4.indd 117 28/05/2014 15:55:2928/05/2014 15:55:29
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS118 |
Tabela 9.2 Distribuição Qui-quadrado P χ χ α202>( )=⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
Graus deliberdade
a
10% 5% 1%
1 2,71 3,84 6,64
2 4,60 5,99 9,21
3 6,25 7,82 11,34
4 7,78 9,49 13,28
5 9,24 11,07 15,09
6 10,64 12,59 16,81
7 12,02 14,07 18,48
8 13,36 15,51 20,09
9 14,68 16,92 21,67
10 15,99 18,31 23,21
11 17,28 19,68 24,72
12 18,55 21,03 26,22
13 19,81 22,36 27,69
14 21,06 23,68 29,14
15 22,31 25,00 30,58
16 23,54 26,30 32,00
17 24,77 27,59 33,41
18 25,99 28,87 34,80
19 27,20 30,14 36,19
20 28,41 31,41 37,57
21 29,62 32,67 38,93
22 30,81 33,92 40,29
23 32,01 35,17 41,64
24 33,20 36,42 42,98
25 34,38 37,65 44,31
26 35,56 38,88 45,64
27 36,74 40,11 46,96
28 37,92 41,34 48,28
29 39,09 42,56 49,59
30 40,26 43,77 50,89
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 118delineamento_de_experimentos-prova4.indd 118 28/05/2014 15:55:2928/05/2014 15:55:29
Tabelas | 119
Tabela 9.3 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 01,
Nº de graus deliberdade dodenominador
Nº de graus de liberdade do numerador
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022
2 98,50 99,00 99,20 99,20 99,30 99,30 99,40 99,40 99,40
3 34,10 30,80 29,50 28,70 28,20 27,90 27,70 27,50 27,30
4 21,20 18,00 16,70 16,00 15,50 15,20 15,00 14,80 14,70
5 16,30 13,30 12,10 11,40 11,00 10,70 10,50 10,30 10,20
6 13,70 10,90 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98
7 12,20 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72
8 11,30 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91
9 10,60 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35
10 10,00 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56
∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 119delineamento_de_experimentos-prova4.indd 119 28/05/2014 15:55:2928/05/2014 15:55:29
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS120 |
Tabela 9.4 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 05,
Nº de graus deliberdade dodenominador
Nº de graus de liberdade do numerador
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 161 200 216 225 230 234 237 239 241
2 18,50 19,00 19,20 19,20 19,30 19,30 19,40 19,40 19,40
3 10,10 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96
∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 120delineamento_de_experimentos-prova4.indd 120 28/05/2014 15:55:2928/05/2014 15:55:29
Tabelas | 121
Tabela 9.5 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 10,
Nº de graus deliberdade dodenominador
Nº de graus de liberdade do numerador
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 39,9 49,5 53,6 55,8 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74
120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68
∞ 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 121delineamento_de_experimentos-prova4.indd 121 28/05/2014 15:55:3028/05/2014 15:55:30
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS122 |
Tabel
a 9.6
D
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23
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1213
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1617
1819
190
135
164
186
202
216
227
237
246
253
260
266
272
277
282
286
290
294
214
,019
,022
,324
,726
,628
,229
,530
,731
,732
,633
,434
,134
,835
,436
,036
,537
,037
,5
38,
2610
,612
,213
,314
,215
,015
,616
,216
,717
,117
,517
,918
,218
,518
,819
,119
,319
,5
46,
518,
129,
179,
9610
,60
11,1
011
,50
11,9
012
,30
12,6
012
,80
13,1
013
,30
13,5
013
,70
13,9
014
,10
14,2
0
55,
706,
977,
808,
428,
919,
329,
679,
9710
,20
10,5
010
,70
10,9
011
,10
11,2
011
,40
11,6
011
,70
11,8
0
65,
246,
337,
037,
567,
978,
328,
618,
879,
109,
309,
498,
659,
819,
9510
,10
10,2
010
,30
10,4
0
74,
955,
926,
547,
017,
377,
687,
948,
178,
378,
558,
718,
869,
009,
129,
249,
359,
469,
55
84,
745,
636,
206,
636,
967,
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574,
714,
844,
955,
055,
155,
235,
315,
385,
455,
515,
575,
63
122,
523,
203,
623,
924,
164,
354,
514,
654,
784,
894,
995,
085,
165,
245,
315,
375,
445,
495,
55
132,
503,
183,
593,
884,
124,
304,
464,
604,
724,
834,
935,
025,
105,
185,
255,
315,
375,
435,
48
142,
493,
163,
563,
854,
084,
274,
424,
564,
684,
794,
884,
975,
055,
125,
195,
265,
325,
375,
43
152,
483,
143,
543,
834,
054,
234,
394,
524,
644,
754,
844,
935,
015,
085,
155,
215,
275,
325,
38
162,
473,
123,
523,
804,
034,
214,
364,
494,
614,
714,
814,
894,
975,
045,
115,
175,
235,
285,
33
172,
463,
113,
503,
784,
004,
184,
334,
464,
584,
684,
774,
864,
935,
015,
075,
135,
195,
245,
30
182,
453,
103,
493,
773,
984,
164,
314,
444,
554,
654,
754,
834,
904,
985,
045,
105,
165,
215,
26
192,
453,
093,
473,
753,
974,
144,
294,
424,
534,
634,
724,
804,
884,
955,
015,
075,
135,
185,
23
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Tabelas | 127
202,
443,
083,
463,
743,
954,
124,
274,
404,
514,
614,
704,
784,
854,
924,
995,
055,
105,
165,
20
242,
423,
053,
423,
693,
904,
074,
214,
344,
444,
544,
634,
714,
784,
854,
914,
975,
025,
075,
12
302,
403,
023,
393,
653,
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024,
164,
284,
384,
474,
564,
644,
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995,
03
402,
382,
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353,
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803,
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104,
214,
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634,
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754,
814,
864,
904,
95
602,
362,
963,
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563,
753,
914,
044,
164,
254,
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494,
564,
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674,
734,
784,
824,
86
120
2,34
2,93
3,28
3,52
3,71
3,86
3,99
4,10
4,19
4,28
4,35
4,42
4,48
4,54
4,60
4,65
4,69
4,74
4,78
∞2,
332,
903,
243,
483,
663,
813,
934,
044,
134,
214,
284,
354,
414,
474,
524,
574,
614,
654,
69
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS128 |
Tabela 9.9 Valores críticos do coefi ciente de correlação linear de Pearson (teste bilateral)
n a=0,05 a=0,01
4 0,95 0,99
5 0,878 0,959
6 0,811 0,917
7 0,754 0,874
8 0,707 0,834
9 0,666 0,798
10 0,632 0,765
11 0,602 0,735
12 0,576 0,708
13 0,553 0,684
14 0,532 0,661
15 0,514 0,641
16 0,497 0,623
17 0,482 0,606
18 0,468 0,59
19 0,456 0,575
20 0,444 0,561
21 0,433 0,549
22 0,423 0,537
23 0,413 0,526
24 0,404 0,515
25 0,396 0,505
26 0,388 0,496
27 0,381 0,487
28 0,374 0,478
29 0,367 0,47
30 0,361 0,463
35 0,335 0,43
40 0,312 0,402
45 0,294 0,378
50 0,279 0,361
60 0,254 0,33
70 0,236 0,305
80 0,22 0,286
90 0,207 0,269
100 0,196 0,256
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
Carlos Roberto Padovani
Carlos Roberto Padovani
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Carlos Roberto Padovani é professor titular de Bioestatística do Instituto de Bio -ciências, Unesp, câmpus de Botucatu, tendo atuado como professor e/ou orientador de Programas de Pós-Graduação da USP, Unicamp, Unesp, UFMT e UnB. Foi bol-sista produtividade do CNPq; membro da Comissão de Avaliação de Programas de Pós-Graduação junto à Capes; coordenador da Área de Ciências Biológicas junto à Runesp, presidente da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria. Atualmente ministra disciplinas da área de Estatística na graduação e de Bioestatística e Metodologia da Pesquisa Científi ca em vários programas de Pós-Graduação na Unesp, com orientações em nível de Mestrado e Doutorado e supervisão de Pós-Doutorado.
O texto apresenta noções básicas, históricas e conceituais de delineamentos experimen-tais, em particular dos planejamentos inteiramente casualizado e em blocos completos casualizados, complementado com os esquemas fatoriais, correlação e regressão linear simples e testes de aderência e associação para variáveis categorizadas. A abordagem não é realizada sob o aspecto tradicional de fórmulas e uso de “pacotes” computacionais para os cálculos estatísticos, mas sim, trazendo à realidade o planejamento e o desenvolvimento da experimentação aos alunos das áreas de Ciências Biológicas e da Saúde.
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