DEFORMUOJAMO K ŪNO MECHANIKA

1 dalis

T U R I N Y S

1. Deformuojamojo kūno mechanikos objektas ir jos ryšys su kitais mokslais

2. Tamprumo teorijos sąvokos ir prielaidos

3. Įtempimų būvio teorija

4. Pusiausvyros diferencialin÷s lygtys

5. Deformuoto būvio teorija

6. Geometrin÷s lygtys

7. Tampraus kūno fizin÷s priklausomyb÷s

8. Tamprumo teorijos lygčių sistema

1. Deformuojamojo kūno mechanikos objektas ir jos ryšys su kitais mokslais

Kontinuumo mechanika viena iš fizikos sudedamųjų dalių (1 pav.). Klasikin÷je fizikoje mechanika arba kontinuumo mechanika nagrin÷jama

nepriklausomai nuo kitų jos skyrių kaip šilumos fizika, elektra, optika, fizin÷ medžiagotyra ir t. t.

Kontinuumu plačiąja prasme yra vadinama materiali sistema, nepertraukiamai pasiskirsčiusi erdv÷je. Kontinuumas apima ne tik materialius

kūnus, bet ir fizinius laukus. D÷l šios priežasties kontinuumo mechanika apima ne tik medžiaginių terpių mechaniką, bet ir įvairias tarp dalykines

disciplinas – termomechaniką, elektromechaniką ir pan. Prie “grynai” mechaninių disciplinų priskiriamos aeromechanika (dujų mechanika),

hidromechanika (skysčių mechanika) ir deformuojamojo kūno mechanika (DKM).

Taigi deformuojamas kūnas yra viena iš pagrindinių kontinuumo formų, o deformuojamojo kūno mechanika yra mokslas apie kūnų ir jų

materialiųjų dalelių pusiausvyrą, jud÷jimą ir deformavimąsi. Kūnui deformuojantis keičiasi atstumai tarp jo taškų, kampai tarp linijų, paviršių plotai ir

kūnų tūriai, materialias dalis siejančios j÷gos. Deformavimosi d÷l išorinių poveikių metu atsirandantys efektai, vadinami mechaniniais efektais.

Deformuojamas kūnas yra priešingyb÷ teorin÷je mechanikoje nagrin÷jamam absoliučiai kietam kūnui, kuriam judant atstumai tarp jo taškų

nesikeičia.

Kalbant apie mechanikos disciplinas ar jų skyrius, sutinkami du pavadinimai – matematin÷s ir taikomosios teorijos ar disciplinos. Matematin÷s

teorijos skirtos bendriesiems d÷sningumams aprašyti. Taikomosios teorijos įvertina papildomas prielaidas, supaprastina matematines teorijas ir yra

skirtos konkrečių inžinerinių problemų sprendimui.

Priklausomai nuo nagrin÷jamų reiškinių pobūdžio yra skiriamos determinuotos ir statistin÷s teorijos. Tradiciškai dominavo determinuotos

teorijos, kurias mes ir nagrin÷sime. Jos naudoja matematin÷s analiz÷s metodus. Vis tik pastaraisiais metais vis didesnį vaidmenį vaidina statistin÷s

teorijos, kurios paremtos tikimybiniais metodais.

Kontinualiųjų sistemų mechanika nagrin÷ja vientisą kūną, naudojant matematin÷s analiz÷s metodus. Nagrin÷jant be galo mažų matmenų

diferencialinį elementą kontinualiųjų sistemų matematiniai modeliai aprašomi diferencialin÷mis lygtimis. Priklausomai nuo kūno savybių išskiriamos

tamprumo teorija, plastiškumo teorija, valkšnumo teorija, klampumo teorija ir kitos disciplinos. Pastaruoju metu vis svarbesnę vietą užima kūnų ir

medžiagų irimą nagrin÷janti irimo mechanika.

Aprašant baigtinių matmenų kūnus, naudojami diskretinių sistemų mechanikos arba klasikin÷s statybin÷s mechanikos metodai, kurie aprašomi

kompiuteriniams skaičiavimams labiau pritaikytais algebriniais modeliais. Šiuolaikiniai kompiuteriniai mechanikos ir matematin÷s fizikos modeliai

daugiausia skirti kontinualiųjų sistemų diskretizacijai. Būtent funkcinių modelių išreiškimas algebrine forma ir algebrinių modelių sprendimas yra šio

kurso objektas. Savitą DKM modelių ir metodų grupę sudaro inžinerin÷s disciplinos, skirtos mechanikos taikymams inžinerijoje.

Kontinualiųjų sistemų mechanikos pagrindas – diferencialinio elemento samprata, kurios pagalba aprašomi makrokūnai. Šiuolaikin÷ms

technologijoms pasiekus neįtik÷tiną pažangą, reikia operuoti ne tik mikrometrų, bet ir nanometrų dydžio medžiagos dalel÷mis ar net pavieniais

atomais, o į diskretinių sistemų modeliavimą įvesti atomines sąvokas. Būtent tomis sąvokomis operuoja moderni mechanikos sritis – medžiagų

mechanika plačiąja prasme.

1 pav.

Fizika

Šilumos technika

Kontinuumo mechanika

Elektra

Termo- mechanika

Elektromechanika

Aeromechanika Deformuojamojo

kūno mechanika

Hidromechanika

Kontinualių sistemų

mechanika

Diskretinių sistemų mechanika

(statybin÷ mechanika)

Inžinerin÷s disciplinos (medžiagų

atsparumas) Tamprumo teorija

Plastiškumo teorija

Valkšnumo teorija

Irimo mechanika

Medžiagų mechanika

Fizin÷ medžiagotyra

2. Tamprumo teorijos sąvokos ir prielaidos

Kieto deformuojamo kūno mechanikos dalis nagrin÷janti kūnų tampriąsias savybes vadinama tamprumo teorija (TT). TT objektas – tamprus

kūnas, kurio taškuose nustatomi įtempimai, deformacijos ir poslinkiai, sąlygojami žinomo poveikio. Kūnas laikomas tamprus, jeigu pašalinus išorinį

poveikį jis sugrįžta į pirmykštį būvį.

Matematin÷s TT gimtadieniu priimta laikyti 1864 m., kai Navje paskelb÷ darbą, kuriame suformulavo TT lygčių sistemą. Pradžioje dominavo

prancūzų mokslininkai. Be Navje, galima pamin÷ti Klaiperoną, Puasoną, Sen-Venaną, Košį (Navier, Clapeyron, Cauchy, Poisson, Saint-Venant). Kai

kurie iš jų d÷st÷ Rusijoje, kur v÷liau irgi susiformavo garsi mechanikos mokykla.

TT nagrin÷ja tik statikos apkrovas, t.y. neįvertinamos j÷gos atsirandančios judant kūnui ir priklausančios nuo greičio ar pagreičio.

Nagrin÷sime klasikinę TT. Tamprus kūnas (2 pav.) bus laikomas apibūdintu, jei žinome jo išorinio paviršiaus S lygtį, tūrį V, tvirtinimo sąlygas

bei tamprumo savybes nusakančius dydžius (tamprumo modulis E, šlyties modulis G ir skersin÷s deformacijos (Puasono) koeficientas ν, ( )ν+=

12

EG )

Kūną veikiantys poveikiai gali būti išoriniai, pridedami paviršiuje S arba vidiniai, atsirandantys tūryje V. Paviršius S dalijamas į 2 dalis. Dalyje Sf

pridedami j÷gos poveikiai, o dalyje Su judesio poveikiai. Nuliniai poveikiai gali būti nagrin÷jami kaip atskiri atvejai: neapkrautas paviršius arba

įtvirtintas paviršius.

z

x

ySu

Sf

V

S

{ P}

2 pav

Išorin÷s j÷gos aprašomos:

paviršin÷mis j÷gomis { } { }Tzyx pppp ,,≡ , jų dimensija

2m

N .

ir tūrin÷mis j÷gomis { } { }Tzyx gggg ,,≡ -

3m

N (tai svorio arba inercijos j÷gos).

Nagrin÷sime nekintančias laike apkrovas.

Pagrindinis TT uždavinys – nustatyti įtempimus, deformacijas, poslinkius (apie juos kalb÷sime v÷liau) kūno tūryje V, kai kūno paviršius S, jo

medžiagos fizin÷s savyb÷s, išorinis statinis poveikis (tūrin÷s bei paviršin÷s j÷gos), tvirtinimo sąlygos yra žinomi. Pradiniai duomenys gali būti duoti ir

kitokia forma, t.y. ant dalies kūno paviršiaus S vietoje išorinių paviršinių j÷gų žinomi poslinkiai arba priklausomyb÷ tarp poslinkių ir paviršinių j÷gų ir

panašiai.

Kūnams nagrin÷ti taikysime pjūvio metodą. Juo galima nustatyti pjūvyje veikiančias vidines j÷gas. Be to, šis metodas leidžia vidines j÷gas nagrin÷ti kaip

išorines j÷gas.

Trumpai apie vidines j÷gas, įtempimą, poslinkius ir deformacijas.

Vidin÷s j÷gos – tai papildoma kūno dalelių sąveika, atsirandanti nuo išorinių j÷gų.

Įtempimas – vidinių j÷gų intensyvumo matas. Tai yra vektorius, kurio kryptis tokia pati, kaip ties tuo tašku veikiančių vidinių j÷gų, o didumas prilygsta

vidutinei j÷gai, tenkančiai ploto vienetui.

pA

FA

=∆∆

→∆ 0lim – pilnutinis įtempimas, σ

A

Fn

A=

∆∆

→∆ 0lim – normalinis įtempimas, τ

A

Ft

A=

∆∆

→∆ 0lim – tangentinis įtempimas, 22

τσp += .

F

F

F

A

A

w

t

3 pav.

Poslinkiai ir deformacijos (4 pav.)

∆

s

0

α

s

b

aπ/2

≈

≈

∆a

a

c

b

abα

≈

≈+s

c

bcα

s

4 pav.

Taško linijinis poslinkis - vektorius, kurio pradžia yra nedeformuoto kūno taške, o galas –

deformuoto (vektorius aa’).

Atkarpos kampinis poslinkis - kampas tarp atkarpos krypties nedeformuotame kūne ir tos

pačios atkarpos krypties jau deformuotame kūne (kampas α).

Linijin÷ deformacija ties kūno tašku kuria nors kryptimi – tos krypties atkarpos pokyčio

santykis su pradiniu atkarpos ilgiu, kai tas ilgis nykstamai mažas.

εs

ss

=∆

→0lim – linijin÷ deformacija

Kampin÷ deformacija – kampo tarp dviejų statmenų nykstamai trumpų atkarpų pokytis.

( ) abc

bcab

γcbaabc =∠−∠→→ 111

00

lim - kampin÷ deformacija.

Norint nustatyti įtempimų, deformacijų ir poslinkių nežinomas funkcijas, reikia disponuoti tam tikrų lygčių sistema. Tos lygtys turi susieti

ieškomas funkcijas su pradiniais duomenimis, aprašančiais kūną ir jį veikiančias j÷gas. Tai:

- pusiausvyros lygtys (algebrin÷s ir diferencialin÷s),

- geometrin÷s lygtys (diferencialinis ryšys tarp deformacijų ir poslinkių),

- fizikos (algebrin÷s) priklausomyb÷s.

Prielaidos (principai)

1. Medžiagos vientisumo prielaida (hipotez÷).

Teigia, kad medžiaga užpildo kūną tolygiai be tuštumų. Ši prielaida leidžia aprašyti kūną tolydin÷mis funkcijomis.

2. Medžiagos vienalytiškumo prielaida.

Teigia, kad medžiagos savyb÷s visuose kūno taškuose vienodos.

3. Medžiagos izotropiškumo prielaida.

Teigia, kad medžiagos savyb÷s visomis kryptimis yra vienodos.

4. Medžiagos idealaus tamprumo prielaida.

Teigia, kad ryšys tarp apkrovų ir deformacijų yra grįžtamojo pobūdžio.

5. Fizinio tiesiškumo prielaida (Huko d÷snis).

Teigia, kad ryšys tarp įtempimų ir deformacijų yra proporcingas.

6. Geometrinio tiesiškumo prielaida.

Teigia, kad kūno santykiniai pailg÷jimai maži, palyginti su vienetu, o linijiniai kūno taškų poslinkiai maži, palyginti su paties kūno matmenimis.

7. Neįtempto pradinio būvio principas.

Teigia, kad prieš pridedant išorinius poveikius kūne n÷ra jokių vidinių j÷gų.

8. Nepriklausomo j÷gų veikimo (superpozicijos) principas.

Teigia, kad j÷gų sistemos poveikio rezultatas lygus rezultatų nuo atskirų j÷gų sumai.

9. Pusiausvyrų išorinių j÷gų lokalinio efekto (Sen – Venano) principas.

Yra dvi šio principo formuluot÷s:

a) išorinių j÷gų sąlygoti įtempimai ir deformacijos kūno taške, pakankamai nutolusiame nuo j÷gų prid÷jimo vietos, nepriklauso nuo j÷gų

sistemos pobūdžio, o priklauso tik nuo j÷gų sistemos svarbiausiojo vektoriaus ir svarbiausiojo momento.

b) išorin÷s j÷gos, veikiančios nedidel÷je kūno paviršiaus ar

kūno tūrio srityje ir būdamos statiškai ekvivalentiškos,

sąlygoja įtempimus ir deformacijas, kurie tolstant nuo aptartos

srities (nuo taško A, žr. 5 pav.) greitai maž÷ja ir atstumu

didesniu už R lygus O.

5 pav.

Sen-Venano principas n÷ra griežtai matematiškai, kiekybiškai pagrįstas, tačiau turimi sprendiniai ir eksperimentai visiškai pateisina jo

teisingumą. Jis labai svarbus TT, ypač nagrin÷jant sprendimo metodus.

3. Įtempimų būvio teorija

Įtempimų didumas bet kuriame apkrauto elemento taške priklauso nuo to, kaip orientuotas pjūvis, kuriame tie įtempimai nagrin÷jami.

Kaitaliodami pjūvio kryptį sud÷tingai apkrautame elemente, ties vienu tuo pačiu tašku gautume įvairių įvairiausias įtempimų reikšmių kombinacijas.

Bet kuriai šių kombinacijų nusakyti pakanka žinoti įtempimus kuriose nors trijose statmenose plokštumose ir nagrin÷jamo pjūvio orientaciją tų

plokštumų atžvilgiu (kampus tarp pjūvio ir tų plokštumų).

Įtempimų, veikiančių įvairiose visaip einančiose per apkrauto kūno tašką plokštumose, visuma yra vadinama įtempimų būviu ties tašku.

Ties nagrin÷jamuoju apkrauto kūno tašku k statmenais ašims pjūviais, išpjauname be galo mažą stačiakampį gretasienį, kurio briaunų ilgis dx, dy,

dx (6 pav.).

Bendru atveju visuose šešiuose šio gretasienio šonuose veikia po tris įtempimų komponentus (σxx, σxy, σxz ir t.t.).

6 pav.

Kadangi atstumai tarp išpjauto gretasienio šonų yra nykstamai maži, priešinguose šonuose (nematomuose) veikia tokio pat didumo, tik priešingos

krypties įtempimai (įtempimai pažym÷ti štrichu yra lygūs įtempimams be štricho). Taigi įtempimų būviui ties bet kuriuo tašku nusakyti reikia žinoti iš

viso devynias įtempimų reikšmes. Įtempimų būvis gali būti aprašytas vektoriumi {σ}

{ } { }Tzyzxzyzyxyxzxyx ττσττσττσσ ,,,,,,,,= (1)

arba įtempimų matrica σ~ , vadinama tenzoriumi (stulpeliuose vienodas yra pirmasis indeksas, kuris rodo normal÷s kryptį)

zyzxz

zyyxy

zxyxx

σττ

τστ

ττσ

=σ~ (2)

Nesunku įrodyti, kad trys poros tangentinių įtempimų reikšmių yra tarpusavyje lygios:

yxxy ττ = , zyyz ττ = , xzzx ττ = (Tangentinių įtempimų dualumo d÷snis) (3)

Pvz: ( )∑ = 0zM . Įtempimai yra pasiskirstę visame gretasienio šono plote. Kadangi tas plotas yra nykstamai mažas, galima teigti, kad visuose

kiekvieno šono taškuose įtempimai vienodi ir prilygsta taško k įtempimams. Tod÷l atstojamąsias gauname dauginant įtempimo komponentus iš to šono

ploto

σxdydz, τxydydz, τxzdydz ir t.t.

Visos atstojamosios j÷gos prid÷tos prie gretasienio šonų centrų, tod÷l j÷gos, kurios susidaro iš normalinių įtempimų, veikia poromis viena prieš

kitą ir visiškai kompensuoja viena kitos poveikį. Tuo tarpu j÷gos, kurios susideda iš tangentinių įtempimų, sukuria j÷gų poras.

( )∑ = 0zM , 0=− dxdzdyτdydzdxτ yxxy arba yxxy ττ =

Įvertinant tangentinių įtempimų dualumo d÷snį (3) galime teigti, kad įtempimų būviui ties bet kuriuo tašku nusakyti reikia žinoti ne 9, bet 6

įtempimų reikšmes ir kad įtempimų tenzorius yra simetriškas pagrindin÷s diagonal÷s atžvilgiu.

Tada įtempimų būvis gali būti aprašytas

vektoriumi { } { }Tyzxzxyzyx τττσσσσ ,,,,,= (4)

arba tenzoriumi

zyzxz

yxy

x

σττ

στ

simσ

σ~ = . (5)

Be įtempimų statmenuose (normalin÷se) ašims x, y, z aikštel÷se, dažnai reikia žinoti įtempimus aikštel÷se bet kaip orientuotose ašių x, y, z

atžvilgiu.

Tangentinių įtempimų dualumo d÷snis

yxxy ττ = , zyyz ττ = , xzzx ττ =

Dviejuose statmenose plokštumose tangentinių įtempimų komponentai, statmeni tų plokštumų susikirtimo briaunai ties tašku yra vienodo didumo ir nukreipti arba abu į briauną arba nuo jos

Tam ties nagrin÷jamuoju apkrauto kūno tašku k išpjauname be galo mažą tetraedrą (7 pav.).

7 pav.

3 tetraedro plokštumos sutampa su koordinatin÷mis plokštumomis, o ketvirtoji yra

pasvirusi. Jos pad÷tis nusakoma normal÷s

{ n} = { nx, ny, nz}T, (6)

kur nx = cos(n, x), ny = cos(n, y), nz =cos (n, z). 1222 =++ zyx nnn

8 pav.

Įtempimas bet kaip orientuotoje plokštumoje (8 pav.)

{ } { }Tnznynxn pppp ,,= (7)

Pusiausvyros lygtis: ( )∑ = 0xF , (neįvertinant tūrinių j÷gų) 0ττσ =−−− zzxyyxxxnnx dAdAdAdAp ,

kur dAx = nxdAn , dAy = nydAn, dAz = nzdAn, dAn – bet kaip orientuotos plokštumos plotas.

Sutvarkę gauname zxzyxyxxnx τnτnσnp ++= . Analogiškai parašę kitas pusiausvyros lygtis gauname

++=

++=

++=

zzyzyxzxnz

zyzyyxyxny

zxzyxyxxnx

nnnp

nnnp

nnnp

σττ

τστ

ττσ

(8)

Matricin÷je formoje { } { }n~ ⋅σ=p arba { } [ ] { }σNp ⋅= (9)

kur

=

xyz

zxy

zyx

nnnnnn

nnnN

000000

000

Lygtys (9) – tai tetraedro pusiausvyros algebrin÷s lygtys. Kair÷je pus÷je vietoje pilnojo įtempimo komponentų gali būti įrašomos paviršin÷s

apkrovos.

Aikštel÷s, kuriose n÷ra tangentinių įtempimų, vadinamos svarbiausiomis. Normaliniai įtempimai, veikiantieji svarbiausioje aikštel÷je vadinami

svarbiausiaisiais.

Pasvirusioji aikštel÷ sutaps su svarbiausiąja, kai jos normal÷ sutaps su pn t.y.

σn = pn (žr. 8 pav.), tada

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

znznnz

ynynny

xnxnnx

nnpp

nnpp

nnpp

σ

σ

σ

(10)

įrašę (10) į (8) ir pertvarkę gauname:

( )( )

( )

=−++

=+−+

=++−

0σσττ

0τσστ

0ττσσ

znzyyzxxz

zzyynyxxy

zzxyyxxnx

nnn

nnn

nnn

(11)

Šioje sistemoje nežinomieji σn, nx, ny, nz. Vienu metu nx, ny, nz negali būti lygūs nuliui nes 1222 =++ zyx nnn . Lygtys (11) sudaro homogeninių

lygčių sistemą, kuri turi nenulinį sprendinį, kai jos determinantas lygus nuliui

0

σσττ

τσστ

ττσσ

det =

−

−

−

nzyzxz

zynyxy

zxyxnx

t.y.

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0τσστσστσστττ2σσσσσσ 222 =−−−−−−+−−− xynzzxnyyznxzxyzxynznynx (12)

Lygtis (12) – kubin÷ lygtis σn atžvilgiu, kurią galima užrašyti

0σσσ 32123 =−+− III nnn (13)

kur I1 = σx+σy+σz,

2222 τττσσσσσσ

στ

τσdet

στ

τσdet

στ

τσdet zyzxxyzyzxyx

zyz

zyy

zxz

zxx

yxy

yxxI −−−++=++= ,

2223 2det xyzxzyyzxzxyzxyzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

τσ-τσ-τστττσσσ

σττ

τστ

ττσ

I −+== .

Kubin÷s lygties (13) sprendiniai yra svarbiausieji įtempimai, kurie žymimi 1 > 2 > 3. Jie apskaičiuojami pagal tikslias Kardano formules,

arba skaitiniu Niutono metodu.

4. Pusiausvyros diferencialin÷s lygtys

Rašant algebrines pusiausvyros lygtis (8) laik÷me, kad įtempimai priešingose gretasienio plokštumose yra vienodi. Algebrin÷s lygtys leidžia

įvertinti išorines apkrovas ir neįvertina tūrinių apkrovų.

Dabar nagrin÷jimą patiksliname, t.y. įvertiname įtempimų tenzoriaus elementų pokyčius kintant plokštumų koordinat÷ms (8 pav.).

8 pav.

Pokyčiams nustatyti naudojamasi Teiloro eilut÷s nariais, atmetus aukštesnių eilių savybes (9 pav.):

dxx

d xx ∂

σ∂=σ ,

d

d

x

xσxσ σ

=xd x

x x

tikrasis pokytis

x

9 pav.

Užrašomos elemento, parodyto 8 pav., j÷gų projekcijų sumų į ašis pusiausvyros lygtys:

Pavyzdžiui ( )∑ = 0xF ,

dxdzdyy

ττdxdzτdydzdx

x

σσdydzσ

yxyxyx

xxx

∂

∂++−

∂

∂++− 0=+

∂

∂++ dVgdxdy

z

ττdxdzτ- x

zxzxzx

pertvarkę ir suprastinę iš dV = dxdydz gauname 0=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

xzxyxx gz

τ

y

τ

x

σ.

Analogiškai parašę ( )∑ = 0yF gauname 0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂y

zyyxy gz

τ

y

σ

x

τ, o parašę ( )∑ = 0zF – 0=+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zzyzxz g

z

σ

y

τ

x

τ.

Tokiu būdu gauname diferencialines pusiausvyros lygtis

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

xzxyxx gz

τ

y

τ

x

σ,

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂y

zyyxy gz

τ

y

σ

x

τ, (15)

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zzyzxz g

z

σ

y

τ

x

τ.

arba operatorine-matricine forma { } { } 0=+∇ gσ , (16)

kur ∇ =

xyz

zxy

zyx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

000

000

000

– diferencialinis operatorius.

Pusiausvyros lygtys (15) dar vadinamos Navj÷ (prancūzų matematikas, inžinierius Louis Navier, 1785-1836) vardu.

Šios diferencialin÷s pusiausvyros lygtys ir algebrin÷s pusiausvyros lygtys (9) leidžia paprastomis operacijomis (diferencijavimo arba

algebrin÷mis) tiksliai nustatyti, kokios išorin÷s paviršin÷s j÷gos {p} ir išorin÷s tūrin÷s j÷gos {g} sąlygoja įtempimų būvį, apibūdinamą įtempimais {σ}.

Tačiau šių diferencialinių lygčių neužtenka pagrindiniam TT uždaviniui išspręsti: esant duotoms išorin÷ms j÷goms, nustatyti įtempimų būvį, t.y.

įtempimų tenzorių σ~ , nes yra 3 lygtys, o nežinomųjų 6.

Algebrin÷s lygtys – tik kraštin÷s sąlygos. Uždavinys statiškais neišsprendžiamas. Įtempimų vektorius {σ} = { σx, σy, σz, τxy, τyz, τxz,}T vadinamas

statiškai galimu, jeigu tenkina šias priklausomybes.

5. Deformuoto būvio teorija Be įtempimų TT nagrin÷ja kūno deformacijas ir kūno taškų poslinkius.

Poslinkio komponentai žymimi u, v, w (10 pav.).

x

y

a

z

z

u

a

y

v

w

x

10 pav.

a(x, y, z), a'(x + u, y + v, z + w)

u = u(x, y, z)

v = v(x, y, z)

w = w(x, y, z)

taško poslinkiai yra taško koordinačių funkcijos. Remiantis medžiagos vientisumo prielaida teigiame, kad u, v ir w funkcijos

gali būti apskaičiuotos visuose taškuose.

Laikydami, kad deformacijos mažos, be galo mažojo gretasienio deformaciją galima išreikšti šešiomis deformacijomis (3 linijin÷s ir 3 kampin÷s)

yzxzxyzyx γγγεεε ,,,,, (11 pav.).

∆dy = dy

dy

x

x

dx

tg dxxyγxzγ

z

y

dx = dxεx ∆

ydz

γtg dzxz

yε

z

zdz = dz∆ε

yzγdyγtg yz

γxy

11 pav.

Gretasienio deformaciją galima vaizduoti įvairiai, bet kampin÷ deformacija bus ta pati (12 pav.).

a)

z

γ

y

zy

b)

γyz=

zyγz

y

12 pav.

c)

__21 γyz

y

z

γ2__1

yz

Šiuos deformacijų būvius (12 a, b, c pav.) atitinka tas pats įtempimų būvis.

Analogiškai įtempimų būviui, deformacijų būvis aprašomas deformacijų vektoriumi ir tenzoriumi:

deformacijų vektorius { } { }T

yzxzxyzyx γ,γγεεεε ,,,,=

deformacijų tenzorius

zyzxz

zyyxy

zxyxx

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

~ = ,

Deformacijų būvis – deformacijų visuma 3 kryptimis ir 3-ose plokštumose.

Linijin ÷s deformacijos trimis tarpusavyje statmenų ašių, status kampas tarp kurių nesikeičia, kryptimis yra svarbiausiosios deformacijos ε1, ε2, ε3,

kurios skaičiuojamos iš lygties

0εεε 322

13 =−+− III . (17)

Kubin÷s lygties (17) koeficientai apskaičiuojami

zxx εεεI ++=1 ,

zyz

zyy

zxz

zxx

yxy

yxx

εγ

γε

εγ

γε

εγ

γε

I

21

21

det

21

21

det

21

21

det2 ++= .

zyzxz

zyyxy

yxyxx

εγγ

γεγ

γγε

I

21

21

21

21

21

21

det3 = .

Analogija

yz

yz

xz

xz

xy

xy

z

z

x

y

x

x

γ

τ

γ

τ

γ

τ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

21

21

21

Matome, kad geometriškai deformacija gali būti aprašoma taškų poslinkiais arba gretasienių, į kuriuos gali būti sudalintas kūnas, deformacijų

vektoriumi ir tenzoriumi.

6. Geometrin÷s lygtys

Lygtys siejančios poslinkius su deformacijomis vadinamos geometrin÷mis lygtimis. Poslinkius laikysime žinomais.

Toliau nagrin÷jame mažas atkarpas, pvz. ilgio dx (13 pav.). Teigiame, kad atkarpos ilgio pokyčiui įtakos turi tik poslinkis u, o poslinkiai

v ir w nekeičia ilgio, d÷l jų atkarpa tik pasisuka. Atstumą tarp taškų a ir b’ galima išreikšti dvejopai

ab' = u + dx +∆dx (13 pav. viršutin÷ matmenų linija)

arba

ab' = dx + u + dxx

u

∂∂

(13 pav. apatin÷ matmenų linija)

x

dx

x

u +

a ba

y

z

b

u dx + dx∆

dx

u + du

ux

13 pav.

u + dx + ∆dx = dx+ u + dxx

u

∂∂

, arba dxdx

dudx =∆

dx

dxx

∆=ε (žr.11 pav.), tada

x

u

dx

dx

dx

du

dx

dxx ∂

∂==

∆=ε

x

ux ∂

∂=ε , analogiškai

z

uzy

vy ∂

∂=

∂∂

= εε ;

Tai pirmosios trys geometrin÷s lygtys:

x

ux ∂

∂=ε ,

z

uzy

vy ∂

∂=

∂∂

= εε ;

. 14 pav

Toliau nagrin÷jame gretasienio (14 pav.) projekciją į

plokštumą x - y.

Neįvertiname poslinkio w ir matmenų pokyčio,

įvertiname tik taškų a ir c poslinkius ir pradinio stataus

kampo pokytį. Kampin÷ deformacija

bcabxy ααγ += , kampai

y

udydy

y

utg abab ∂

∂=

∂∂

=α≅α / ,

x

vdxdx

x

vtg bcbc ∂

∂=

∂∂

=α≅α / , tada

x

v

y

uxy ∂

∂+

∂∂

=γ .

Kitas lygtis gauname analogiškai nagrin÷dami poslinkius ir stataus kampo pokyčius plokštumose y – z ir x – z. Jas galima užrašyti keičiant ašių ir poslinkių žym÷jimus

x .; uwvu xzy →→→→→→

y

w

z

vyz ∂

∂+

∂∂

=γ ,

x

w

z

uzx ∂

∂+

∂∂

=γ

dx

x

b

a

y

z

b

dy

u

u y

v x

a

c

c v α bc

α ab

dy dx

Tokiu būdu gaunamos šešios geometrin÷s deformacijų ir poslinkių darnos lygtys :

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

y

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

uz

w

y

v

x

u

zxyzxy

zyx

γγγ

εεε

,,

;; (18)

Kūno geometrin÷s lygtys (18) dar vadinamos Koši (prancūzų matematikas Augustin Cauchy, 1789-1887) vardu. Operatorine-matricine forma

Koši lygtys užrašomos

{ } { }ε=⋅∇ uT

, (19)

kur

{ } { }Tzxyzxyzyx γγγεεε=ε ,,,,, , – deformacijų vektorius, { } { } Twvuu ,,= – poslinkių vektorius,

xz

yz

xy

z

y

x

T

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

0

0

0

00

00

00

– diferencialinis operatorius.

Jeigu žinomi 3 poslinkiai tai pagal Koši formules lengvai nustatomi 6 deformacijų komponentai.

7. Tampraus kūno fizin÷s priklausomyb÷s

Pusiausvyros (NAVJE) ir geometrin÷s (KOŠI) lygtys galioja ir tampriam ir plastiškam bei valkšniam kūnui, jei tik galioja mažų deformacijų

prielaida. Kūnų skirstymas į tamprius ir netamprius prasideda tik tada, kai nusakome ryšį tarp deformacijų ir įtempimų.

Tai fizinis d÷snis, arba apibendrintas Huko (anglų fizikas Robert Hooke, 1630–1703) d÷snis:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

===

+−=

+−=

+−=

GGG

E

E

E

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

zxyy

zyxx

τ γ,

τ γ,

τγ

σσνσ1

ε

σσνσ1

ε

σσνσ1

ε

, (20)

Operatorine-matricine forma Huko d÷snis užrašomos { } [ ]{ }σ=ε D , (21)

arba [ ]D

zx

yz

xy

z

y

x

=

γ

γ

γ

ε

ε

ε

×

zx

yz

xy

z

y

x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

, kur E

D1

=

D – pasiduodamumo matrica.

1 -ν -ν

-ν 1 -ν

-ν -ν 1

0 0 0 2(1+ν)

0 0 0 0 2(1+ν)

0 0 0 0 2(1+ν)

Kai kada Huko d÷snis užrašomas { } [ ]{ } [ ]{ }ε=ε=σ − KD 1 , (22)

K =

kur [K] – standumo matrica,

λ − Lame (matematikas, inžinierius Gabriel Lame, 1795-1870) koeficientas ( )( )ν21ν1

νλ

−+⋅

=E

,

E – tamprumo modulis, G – šlyties modulis,

ν − Puasono (prancūzų mechanikas, fizikas ir matematikas Simeon Denis Poisson, 1781-1840) koeficientas

( )ν

ν-1λ

λ λ

λ ( )ν

ν-1λ

λ

λ λ ( )ν

ν-1λ

G

G

G

8. Tamprumo teorijos lygčių sistema

Duotas kūnas. Žinome įtvirtinimo sąlygas ir apkrovas. Reikia rasti 15 nežinomųjų funkcijų.

{ } { }Tzxyzxyzyx τ,τ,τ,σ,σ,σσ = , { } { }T

zxyzxyzyx γ,γ,γ,ε,ε,εε = , { } { }Twvuu ,,= .

Šiems nežinomiesiems rasti turime 15 lygčių.

Nežinomųjų skaičius

Lygtys { σ} { ε} { u} Lygčių skaičius

Statikos ( Navje)

{ } { } { }0σ =−∇ g 6 – – 3

Geometrin÷s (Koši)

{ } { }ε=∇ uT

6 3 6

Fizin÷s (Huko)

{ } [ ] { }σε ⋅= D arba { } [ ] { }εσ ⋅= K 6 6 6

Nežinomųjų 6 + 6 + 3 = 15 Lygčių 3+6+6=15

TT uždavinys yra išsprendžiamas iš principo. Prie šių lygčių būtina prijungti kraštines sąlygas:

statines [ ]{ } { }

[ ]{ } { }

=

=

u

f

ARN

ApN

ant σ

,ant σ;

ir

kinematines {u} = {0} ant Au.