Deformierbare Medien
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Deformierbare Medien
Ideales Gas:Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich.Formänderung ohne Arbeit
Ideale Flüssigkeit:Keine Volumenänderung (inkompressibel)Formänderung ohne Arbeit(reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte)
Fester KörperVolumenänderung erfordert (große) KraftFormänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen!
Deformierbare feste Körper
Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen:
Dehnungselastizität
2/l2/l l
d dd
Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F
Formel SI Einheit Anmerkung
1 N / m2 Dehnung
E 1 N / m2 Elastizitätsmodul
1Dehnung, relative Längen Änderung
1 N / m2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche)
Dehnung – Hookesches Gesetz
E
l
Δl
A
F
Formel Einheit Erläuterung
Spannung
1 Dehnung, relative Längenänderung
Elastizitätsmodul, Beispiele:
Material
Fe
Al
Glas
Holz (Esche)
Gummi
2m
N 1
l
l
E
2m
N 1
2N/m E
11102
10107
10106
101019101
E
Beispiele für Elastizitätsmoduli
Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material
• sowohl bei Dehnung
• als auch bei Verdichtung
Die Poisson-Zahl
• Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt.
• Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.
ist die Poisson-Zahl,
Die Poisson-Zahl
2/l2/l l
d dd
Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F
l
l
d
d
5,02,0
Elastizitätsmodul
Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz)
E
Elastizitätsmodul E
2
/
/
mNAF
E
Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m2 (=Pa Pascal) (!)
Typische Werte für E:Stahl: (100-200)*109 N/m2
Blei: 20*109 N/m2
Spannungs-Dehnungs-Diagramme
E-Modul und Zugfestigkeit
Scherspannung
Das Verhältnis der Scherkraft Fs zur Fläche A heißt Scherspannung
A
Fs
Scherwinkel
tan
x
Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung:
Schub- oder Torsionsmodul G:
/
/
x
AFG S
Beispiele: Gal=30 GNm-2, Gfe=70 GNm-2, Gstahl=84 GNm-2, GStahl==150 GNm-2
Torsion eines Drahts
Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt:
r
GG
Flächenelement dA eines Hohlzylinders
drrdA 2Die rücktreibende Tangentialkraft ist
drrr
GdAdFt
2
Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment
drr
GrdFdM t
3
2
Integration liefert das Drehmoment
4
0
3
22
RGdr
rGM
R
Festkörper und Flüssigkeiten• Die atomaren Baugruppen liegen in beiden
Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich
• Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil
Fest Flüssig
1
0,5
0
Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper
Kraft F
Volumenänderung ΔV
Druck p
Volumen V
Einheit
1Die relative Änderung des Volumens –ΔV/V ist proportional zum Druck p
K 1/Pa Kompressionsmodul
Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten
K
p
V
V
Einheit Kompressionsmodul K
Wasser
1 PaBenzol
Kupfer
Kompressionsmodul einiger Materialien
9102910111104,1
Kompressibilität: Beispiele
Hydraulische Kraftverstärkung
Fläche A2 Kraft F1
Fläche A1
Kraft F2
Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche
1
0,5
0
Druck p
Hydraulische Kraftverstärkung
Einheit
1 PaKonstanter Druck im System
1 NKraft an der Fläche 2
2
2
1
1
A
F
A
Fp
1
212 A
AFF
Hydraulische Presse
Für ‘masselose’ Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst.
121
1
2
2 FFA
F
A
F
Werden die Flächen A1 , A2 um die Strecken a1 , a2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W1) bzw. gewonnene (W2) Arbeit
iii aFW )2,1( i
iiiii
ii VpaA
A
FW
und es gilt 21 WW
dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist.
Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft
Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist
HAVm Die Gewichtskraft beträgt
gHAgmFG
Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p0=äußerer Druck)
ApgHAApF 0
Der Druck am Boden der Säule ist
0)( pHgHp Ändert man p0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip)
Flüssigkeitsmanometer
Flüssigkeitsbarometer
Bodendruck in Gefäßen
Auftrieb
Die Auftriebskraft
h1
h2
p(h1)
p(h2)
F(h1)
F(h2)
Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper
Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers
Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft
Einheit
1 N
Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1
Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2
1 N
Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht
Die Auftriebskraft
AhgF Fl 11
AhgF Fl 22
AhhgFFF FlA 1212
gVF KFlA
Bedingung fürs Schwimmen: ρK < ρFl
ρK
ρFl
Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben
Bedingung fürs Schweben: ρK = ρFl
ρK
ρFl
Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft
Bedingung fürs Sinken: ρK > ρFl
ρK
ρFl
Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten
Kräfte an einem Körper
Auftriebsmethode nach Archimedes
Goldene Krone ???
Hiero II,König von Syrakus
306-215 BC
Wiegen in Luft
Wiegen in Wasser
???
Archimedes287-212 BC
Heureka
Problem des Archimedes
Ideale stationäre Strömungen
Die Volumenstromstärke
10
5
0Zeit dt
• Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt
dV
v
A ds
Einheit
1 m3/s Volumenstromstärke
A 1 m Querschnittsfläche des Rohres
v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit
Die Volumenstromstärke
vAdt
dsA
dt
dVI
10
5
0Zeit dt
dV
v
A ds
Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen
dV dV
• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt
• Die Kontinuitätsgleichung besagt: • Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig
vom Querschnitt
10
5
0Zeit dt
Die Kontinuitätsgleichung
Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich
11 dsAdV 22 dsAdV
2p
dV
dV
1v2v
1A1ds
2ds2A
Einheit
1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt
1 m3/sDivision durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung
1 m3/s
Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt
Die Kontinuitätsgleichung
2211 dsAdsA
2211 vAvA
dt
dsA
dt
dsA 2
21
1
Der menschliche Blutkreislauf
Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können.
Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm . In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s-1.Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s-1.
Der Bernoulli Effekt
• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt
• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab
Der Bernoulli-Effekt
Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck
Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg
1ds
2ds
1F 2F
111 dsFW 222 dsFW
Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Kraft mal Weg
1 JArbeit gegen den Druck1111 dsApW 2222 dsApW
111 dsFW 222 dsFW
Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
A1
A2
1ds
2ds
Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt
1p2p
Einheit
1 m3/sKontinuitätsgleichung,v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten
1 m3 Konstante Volumina
Kontinuitätsgleichung beim Übergang
A1
A2
1ds
2ds
Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich
2211 vAvA
2211 dsAdsA
10
5
0Zeit dt
dtdsAdtdsA // 2211
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren1JdVpW 11 dVpW 22
Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
A1
A2
1ds
2ds
Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller
1111 dsApW 2222 dsApW
Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung
• Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich
• Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet
• Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten?
• A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird
1p2p
Volumen links Volumen rechts
1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung1J
1 J Energieerhaltung
dVpW 11 dVpW 22
…und um ein Volumen dV zu beschleunigen
dV
dV
Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt
211 2/1 mvWKin 2
22 2/1 mvWKin 2
222
11 2/12/1 mvdVpmvdVp
1v2v
1 JDie Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt
1 Pa
Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab
p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen
v1, v2 1m/sGeschwindigkeiten in beiden Bereichen
ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums
Die Bernoulli-Gleichung
212
12
2 )(2
1ppvv
212
12
2 )(2
1pdVpdVvvdV
Druckverteilung in Rohren
Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr)
Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m3), wenn bei einer Verengung von d1 = 80 mm auf d2 = 60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt?
Druckverteilung in Rohren
2211 AvAv
ss
mvdvA
5.390395.0
4
3
12
111
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt:
Der Volumenstrom ist somit
22
21
12
112 d
dv
A
Avv
Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung
222
211 22
vpvp
214
2
412
12221 1
22v
d
dvvpp
smdd
ppv /856.7
1/
242
41
211
Bernoulli-Gleichung
Energieänderungen
Energieänderungen
Energiebilanz
Bernoulli-Gleichung
Gesetz von Torricelli
Loch im Wassertank
Fragen zu deformierbaren Medien
1. An einem 1m langen Stahldraht (E=1011N/m2) der Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung?
2. Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (Rm=520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm hängen?
3. Eine Kugel (Vkugel=10-7 m3) wird in eine mit Wasser (k=5*10-10 Pa-1) gefüllte Kiste (Vkiste=10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?