Deformation Und Dehnung Deutsch2
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FINIT – ELEMENT -- BESTIMMUNG DER
ÜBERTRAGUNGSFUNKTION HYPERELASTICHER ELEMENTE
THEORIE
1. KINEMATIK DER FINITEN DEFORMATION
Wenn ein kontinuierlicher Körper eine verbundene offene Teilmenge eines dreidimensionalen
Euklidischen Punktraumes ausfüllt, kann man diese Teilmenge als Konfiguration dieses
Körpers bezeichnen. Im Folgenden soll nun eine arbiträre Konfiguration, als
Referenzkonfiguartion Br bezeichnet, definiert werden (Fig.1). Punkte werden in Br mittels
ihrer Ortsvektoren X relativ zu einem arbiträr gewählten Bezugspunkt (Ursprung) bestimmt,
wobei ∂Br die Grenze von Br angibt. Wird der Körper einer Konfiguration Br
quasistatistisch verformt, sodass er eine neue Konfiguration B mit neuer Grenze ∂Br ausfüllt,
wird diese Konfiguration B als aktuelle oder deformierte Konfiguration des Körpers
bezeichnet. Diese Deformation wird durch die Funktion X: Br → B ausgedrückt, welche die
Verschiebung von Punkt X in Br zu Punkt x in B beschreibt. Dies impliziert, dass
x = X(X), X Br (1)
wobei x der Ortsvektor von Punkt X in B ist. Diese Funktion X wird als Deformation von Br
zu B bezeichnet.
Angenommen X und x haben die Koordinaten Xα und xi im Cartesianischen
Koordinatensystem, wobei α,i {1,2,3} , sodass xi = xi(Xα). Der Deformationsgradientstensor
F wird ausgedrückt durch
F = ∂x/∂X = Grad x (2)
und hat eine Kartesianische Koordinationskomponente Fiα = ∂xi/∂Xα, Grad ist der
Gradientoperator in Br. F ist nicht-singulär und det F > 0.
J = det F (3),
wobei J die Jacobi-Determinante bezeichnet. Dies impliziert, dass
0 < J < ∞ (4)
Für ein Volumen, dass eine (isochore) Deformation erhält, ist
J = det F = 1 (5).
Ein Material, für welches Gl. 5 zwingendermaßen für alle Deformationsgradienten F erfüllt
werden muss, wird als inkomprimierbar betrachtet [1].
Die Gleichung
dx = FdX (6)
(in Komponenten: dxi = FiαdXα) beschreibt, wie ein infinitesimales Linienelement dX eines
Materials an Punkt X unter Deformation linear in das Linienelement dx bei x umgewandelt
wird.
Aus Gl. 6 ist ersichtlich, dass
|dx|² = (FM).(FM)|dX|² = (FTFM).M|dX|² (7).
wobei M der Einheitsvektor in Richtung dX ist.
|d𝐱|
|d𝐗|= 𝐅𝐌 = [𝐌. 𝐅𝑇𝐅𝐌 ]1/2 ≡ λ(M). (8)
Die Funktion λ(M) definiert die Ausdehnung in die Richtung M bei X. Diese wird beschränkt
durch die Ungleichungen
0 < λ(M) < ∞ (9)
Gibt es keine Ausdehnung in Richtung M dann gilt: λ(M) = 1 und somit:
(FTFM).M = 1 (10)
Gibt es keinerlei Ausdehnung in irgendeine Richtung-das heißt Gl. 10 gilt für alle M – gilt das
Material als nicht deformiert bei X. Daraus folgt, dass FTF = I, wobei I der Idenditätstensor
ist. Ein geeignetes Maß für Spannung ist deshalb FTF -- I, insofern als der Tensor
verschwindet, wenn das Material nicht gespannt ist. Der Tensor
𝐄 =1
2(𝐅𝑇𝐅 − 𝐈) (11)
wird als Greenscher Verzerrungstensor bezeichnet. ½ ist dabei ein Normalisierungsfaktor.
Der Deformationsgradientstensor F kann zerlegt werden in einen Rotationstensor R und einen
Dehnungstensor U, oder alternativ in den Deformationstensor R und den Dehnungstensor in
der räumlichen Konfiguration V [2].
Die Anwendung des Dekompositionstheorems bei F resultiert in
F = RU = VR (12)
Bei jedem x ist R(x) genau orthogonal und U(x) und V(x) sind symmetrisch, positiv definit.
Obige Dekomposition ist eindeutig, wie im Folgenden gezeigt wird:
𝐔 = (𝐅𝑇𝐅)1/2 , 𝐕 = (𝐅𝐅𝑇)1/2
(13)
U und V sind bekannt als rechter und linker Verzerrungstensor, wobei R der Rotationstensor
ist. In Anwendungen sind U und V schwierig zu berechnen, da sie Quadratwurzeln enthalten.
Infolgedessen wird Gebrauch der rechten und linken Cauchy-Green-Verzerrungstensoren
gemacht.
C = U² = FTF, B = V² = FF
T (14)
An dieser Stelle sollte noch angemerkt werden, dass
V = RURT und U = RCR
T (15)
2. HYPERELASTISCHES MATERIAL
In der klassischen linearen Elastizitätstheorie wird die Spannung σ als Funktion der linearen
Verformung angesehen. Dies wird als
σ = G (F) (16)
ausgedrückt, wobei G eine symmetrische tensorbewertete Funktion ist, definiert über den
Raum der Deformationsgradienten F. Materialien, für welche das Konstituentenverhalten eine
Funktion des momentanen Deformationszustandes sind, werden als elastisch bezeichnet.
In diesem Zusand ist jeder Spannungswert an einem Partikel X eine Funktion des
momentanen Deformationsgradienten F des damit assoziierten Partikels. Ein Körper, der aus
diesem Material besteht, kehrt zu seiner Ausgangsform zurück, wenn die Spannung auf null
zurückgesetzt wird.
Umgekehrt verhält es sich, wenn die durch die Spannungsgrößen eines
Deformationsprozesses verrichtete Arbeit nur vom Anfangszustand zu einer Zeit t0 und der
endgültigen Konfiguration zur Zeit t abhängig ist. Das Verhalten des Materials wird dann als
pfadabhängig bezeichnet und das Material selbst als hyperelastisch.
Ein Stoffgesetz für ein spezifisches Material bezieht Spannung auf eine Verformungsgröße
und ist notwendig um die Berechnung der internen Kraftkomponenten der Equilibriumskräfte
zu ermöglichen.
Ein typisches Stoffgesetz für hyperelastische Materialien wurde von der Berücksichtigung der
Verzerrungsenergie des Materials während der Deformation abgeleitet.
In dieser Theorie existiert eine Funktion W=W(F), bekannt als Verzerrungsenergie-(oder
Gespeicherte Engergie-)Funktion, definiert durch den Raum der Deformationsgradienten.
Die Verzerrungsenergiefunktion kann notiert werden als
W(X,t)=W(F(X,t),X) (17)
Aus Gl. 17 erhalten wir
𝐓R =𝜕W(𝐅)
𝜕𝐅 (18)
Gl. 18 ist bekannt als Stoffgesetz der Hyperelastizität und TR ist der Piola-Kirchhoff
Spannungstensor. Für ein unbegrenztes Material gilt:
𝐒 =𝜕W
𝜕𝐅 , σ = G (F), 𝐽−1𝐅
∂W
∂𝐅 (19)
Der Arbeitszuwachs in Gl. 19 wird in gespeicherte Energie umgewandelt und ist einfaches
tr(Sδ F) = W. tr impliziert dabei die Spur des Tensors.
C und B sind eindeutige Tensoren für jede gegebene Deformation und nur die prinzipiellen
Invarianten von C und B sind die selben für jedes F. Daraus folgt, dass die Spannungsenergie
eine isotrope skalarbewertete Funktion dieser Hauptinvarianten alleine sein muss [4]:
W = W(I1,I2,I3) (20)
wobei
I1 = tr B, I2 =1
2[I1
2 − 𝐭𝐫(B2), I3 = det B (21)
Die Ableitung von Gl. 19 nach C und die Anwendung von Gl. 14 ergibt das Stoffgesetz für
ein isotopes, hyperelastisches Material:
T = α01 + α1B + α2B² (22)
Durch Anwendung des Cayley-Hamilton-Theorems,
T = β01 + β1B +β-1B-1
(23)
Die drei Antwortfunktionen
αΛ = αΛ(I1,I2,I3) or BΓ = BΓ(I1,I2,I3) (24)
sind Materialfunktionen der Invarianten in Gl. 20, wobei
wobei Λ = 0,1,2; and Γ = 0,1,-1
Die Anwendung der Gl. 24 auf die Spannungsenergiefunktion resultiert in
𝛽0 = 2
√I3 I2
𝜕W
𝜕I2+ I3
∂W
∂I3 , 𝛽1 =
2
√I3
𝜕W
∂I1 , 𝛽−1 = −2 I3
𝜕W
∂I3 (25)
2.1 NICHT KOMPRIMIERBARES MATERIAL
Jede Deformation eines nicht komprimierbaren Materials wird den Beschränkungen aus Gl. 5
unterworfen. Da kein Ausmaß einer allumfassenden Spannung in der Lage ist, einen nicht
komprimierbaren Körper zu deformieren, kann angenommen werden, dass die Cauchysche
Spannung nur durch F alleine determiniert wird, jedoch innerhalb einer arbiträren isotropen
Spannung , zB T0 = -p1 [4]. Somit ergibt sich das Stoffgesetz für ein isotropes und
inkompressibles hyperelastisches Material
T = -p1 + β1B + β-1B-1
, (26)
wobei die Antwortfunktion BΓ = BΓ(I1,I2), for Γ = 1, -1 abhängig von der ersten und zweiten
Hauptinvariante von B ist. Weiters ist in Übereinstimmung mit Gl. 5 I3=1 für alle B. Die
Antwortfunktion zu Gl. 24 für nicht komprimierbares Material wird notiert als
𝛽1 = 2𝜕W
∂I1, 𝛽−1 = −2
𝜕W
∂I2 (27)
und die Spannungsenergiefunktion W ist gegeben mit W = W(I1,I2).
Gummi ist ein Beispiel für ein nicht komprimierbares, isotropes, hyperelastisches Material.
Weitere wären das Mooney-Rivlin-Material, für welches β1 und β-1 Konstanten sind und das
Neo-Hookean-Material, welches eine Variante des Mooney-Rivlin-Materials darstellt und für
das ß-1 = 0.
3. LINEARE SYSTEME
In der Vibrations- wie auch der Schalllehre besteht das Interesse von Berechnungen meist im
Herausfinden des Effekts einer bestimmten physikalischen Größe, dem Inputsignal, auf eine
andere physikalische Größe (dem Outputsignal) (siehe dazu Abb.2). Ein Beispiel hierfür wäre
die Berechnung der Vibrationsgeschwindigkeit v(t) in einer Struktur, wenn sie durch eine
gegebene Größe F(t) angeregt wird. Diese Problem kann durch die Anwendung der Theorie
der linearen zeitinvarianten Systeme (= LTI system theory).
Abb. 2: Lineares zeitinvariantes System mit Input – Output – Parameter
Ein lineares System kann mathematisch als ein System definiert werden, in dem die
Beziehung zwischen den Input- und Outputsignalen mittels linearer Differentialgleichungen
beschrieben werden kann [5]. Sind die Koeffizienten zeitunabhängig, d.h. konstant, gilt das
System als zeit-invariantes System.
Ein lineares System ist durch einige charakteristische Merkmale gekennzeichnet:
i. Das Überlagerungsprinzip impliziert, dass wenn das Signal α(t) ein Outputsignal
b(t) verursacht und das Inputsignal c(t) ein Outputsignal d(t) zur Folge hat, das
Inputsinalg a(t) +c(t) ein Outputsignal b(t) +d(t) ergeben würde.
ii. Das Homogenitätsprinzip besagt, dass die Multiplikation des Inputsignals α(t) mit
einer Konstanten α das Outputsignal ab(t) ergeben würde.
iii. Es ist ein frequenzkonservierendes System in dem Sinne, dass nur jene
Frequenzkomponenten im Outputsignal vorkommen können, die schon im
Inputsignal vorhanden waren.
Dieses Projekt involvierte lineare Schwingungen in einem mechanischen System. Diese Art
von Schwingung kommt in Systemen vor, in denen eine lineare Beziehung zwischen einer
Erregerkraft und der resultierenden Bewegung besteht, beschrieben durch Größen wie
Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
3.1 VERSCHIEDENE FREIHEITSGRADE VON SYTEMEN
Betrachten Sie die Systeme in den Abb. 3-4
Abb. 3 System mit n stufenförmig angeordneten Massen
Abb. 4 System mit Parallelschaltung
Wendet man Newton’s Gesetz der Bewegung speziell auf das in Abb. 4 gezeigte System an,
so erhält man die Zustandsgleichungen.
𝐌 𝑥 + 𝑫 𝑥 + 𝐊 𝑥 = 𝐅 (28)
wobei M, D und K die Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen repräsentieren, während
F die Störfunktion bezeichnet.
𝐌 =
𝑚1
000
0𝑚2
00
00
𝑚3
0
000
𝑚4
(29)
4. ÜBERTRAGUNGSFUNKTION (ÜTF)
Die Übertragungsfunktion beschreibt die Beziehung zwischen einem Outputsignal Y() eines
linearen Systems, ausgedrückt als eine Funktion der Kreisfrequenz , und dem
entsprechenden Inputsignal X().
H() = Y()/X() (30)
Gl. 30 besagt, dass Y() die Proportionalitätskonstante in einer linearen Relation zwischen
den komplexen Input- und Outputamplituden bildet. O.g. Gleichung stellt eine wichtige
Funktion für die Analyse von Geräusch- und Vibrationsproblemen dar. Handelt es sich bei
dem Inputsignal um eine Kraft, die auf eine Struktur einwirkt, erlaubt das Wissen über die
Übertragungsfunktion die Berechnung der resultierenden Vibration an verschiedenen Punkten
der Struktur.
Die Fourier-Integral-Transformation der Impuls-Responsefunktion wird folgendermaßen
notiert:
𝐻 𝑓 = ℎ 𝑡 exp −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡∞
∞ (31)
wobei f die Kreisfrequenz (gemessen in Zyklen pro Sekunde oder Hertz) ist. Diese
Übertragungsfunktion ist auch bekannt als Frequenztransferfunktion eines Systems. Da h(t) =
0 für t <0, kann das untere Ende der Integration in Gl. 30 auf null gesetzt werden.
Jegliche Art von Kraft- oder Bewegungsvariablen kann als Input- oder Outputvariable
verwendet werden, um eine Systemtransferfunktion zu definieren. In Vibrationsstudien
werden verschiedene Varianten verwendet, die zugehörigen Transferfunktionen werden dann
auch zB als Impedanzfunktion, Mobilitätsfunktion und Akzeleranzfunktion bezeichnet.
4.1 DER ANSATZ DER MECHANISCHEN IMPEDANZ
Variablen (zB Kraft) sowie derivierte Variablen (zB Geschwindigkeit und Akzeleranz),
werden – insofern in der Frequenzdomäne (als Fourierspektren) ausgedrückt – verwendet, um
die drei wichtigen Frequenztransferfunktionen auszudrücken: mechanische Impedanz,
Akzeleranz und ?????? Im Falle der Impedanzfunktion wird Geschwindigkeit als die
Inputvarialbe und die Kraft als Ausgangsvariable betrachtet; bei der Mobilitätsfunktion ist
genau das Gegenteil der Fall.
Spezifischerweise(
𝑀 = 1
𝑍 (32)
Tabelle 1 zeigt eine Übersicht einiger Transferfunktionen, die in der Vibrationsanalyse
Anwendung finden.
Definitionen wichtiger Mechanischer Transferfunktionen
Transferfunktion Definition
(in der Frequenz – Domäne)
1. Dynamische Steifigkeit
Kraft /Verschiebung
2. Rezeptanz, Dynamische Flexibilität Verschiebung/ Kraft
3. Impedanz (Z)
Kraft /Geschwindigkeit
4. Mobility (M)
Geschwindigkeit/Kraft
5. Akzeleranz Beschleunigung/Kraft
Tabelle 1
Übertragungsfunktionen kann auf zahlreiche verschiedene Arten graphisch dargestellt
werden. Eine Möglichkeit ist deren Aufteilung in reelle und imaginäre Teile:
H() = Re( H()) + i lm(H()), (33)
Eine andere mögliche Repräsentation der Übertragungsfunktion kann unter Bezug auf ihre
Amplitude und den Phasenwinkel erfolgen. Eine Figur, bei der die Amplitudenverstärkung
und die Phasenverschiebung eingetragen werden, wird üblicherweise als Bode -Diagramm
bezeichnet. Ein Polar-Plot, bei dem der reelle Teil von H() auf die x-Achse und der
imaginäre Teil von H() auf die y-Achse projiziert wird, ist das sogenannte Nyquist
Diagramm.
4.2 ÜBERTRAGUNGSFUNKTION IN NASTRAN
Nastran verwendet zwei verschiedene numerische Methoden für die
Übertragungsfunktionsanalyse [7]. Die direkte Methode löst die gekoppelten
Bewegungsgleichungen im Zusammenhang mit der antreibenden Frequenz
(Zwangsfrequenz). Die modale Methode verwendet die Eigenformen der Struktur um die
Bewegungsgleichungen zu reduzieren und zu entkoppeln (wenn modale Dämpfung oder keine
Dämpfung verwendet wird), die Lösung für eine spezielle Zwangsfrequenz ergibt sich durch
die Aufsummierung der individuellen modalen Antworten. Die Entscheidung für eine
Methode ist von der Problemstellung abhängig.
4.2.1 Direkte Übertragungsfunktionsanalyse
In der direkten Übertragungsfunktionsanalyse wird das strukturelle Verhalten bei diskreten
Erregungsfrequenzen durch das Lösen einer Reihe von gekoppelten Matrizengleichungen
mittels komplexer Algebra generiert. Den Ausgangspunkt bildet die Bewegungsgleichung der
gedämpften erzwungenen Schwingung mit harmonischer Erregung
𝑀 𝑥 𝑡 + 𝐵 𝑥 𝑡 + 𝐾 𝑥 𝑡 = 𝑃(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (34)
Für harmonische Schwingung wird eine harmonische Lösung der Form
𝑥 = 𝑢(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (35)
angenommen. Das vereinfacht Gl. 34 zu
−𝜔2𝑀 + 𝑖𝜔𝐵 + 𝐾 𝑢 𝜔 = 𝑃(𝜔) (36)
Die Bewegungsgleichung wird gelöst durch Einsetzen der Zwangsfrequenz . Gl. 36 stellt ein
System von Gleichungen mit komplexen Koeffizienten dar, wenn Dämpfung enthalten ist
oder die angewendeten Lasten Phasenwinkel aufweisen.
4.2.2 Modale Übertragungsfunktionsanalyse
Die modale Übertragungsfunktionsanalyse stellt einen alternativen Zugang zur Berechung des
Frequenzverhaltens einer Struktur dar. Diese Methode verwendet die Eigenformen der
Struktur um die Größe zu reduzieren, die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln (wenn
modale Dämpfung oder keine Dämpfung verwendet werden), und um die numerische Lösung
effizienter zu machen. Da die Eigenformen typischerweise als Teil des Strukturverlaufs
berechnet werden, ist das modale Frequenzverhalten eine natürliche Fortsetzung der normalen
Modalanalyse.
Als erster Schritt in der Formulierung sind die Variablen von physischen Koordinaten u() in
modale Koordinaten ξ(ω) umzuwandeln, unter der Annahme, dass
𝑥 = ϕ 𝜉(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (37)
Die Eigenformen [] werden verwendet um das Problem mittels Gegenüberstellung ihres
Verhaltens zum Verhalten der Gitterpunkte umzuwandeln. Gl. 37 repräsentiert die Gleichung
für den Fall der Verwendung aller Eigenformen, trotzdem werden alle Formen selten
verwendet, und somit stellt die Gleichung normalerweise eine Annäherung dar.
Eine weitere Formulierung würde für ein ungedämpftes System folgendermaßen notiert
werden:
−𝜔²[ϕ]𝑇𝑀 ϕ ξ 𝜔 + ϕ 𝑇[𝐾] [ϕ] ξ(ω) = [ϕ]𝑇𝑃(ω) (38)
Zuletzt werden die orthogonalen Eigenschaften der Eigenformen verwendet, um die
Bewegungsgleichung mit Bezug auf die generalisierten Masse- und Steifigkeitsmatrizen zu
formulieren, welche diagonale Matrizen sind. Diese diagonalen Matrizen haben keine nicht-
diagonalen Elemente, die die Bewegungsgleichen miteinander verkoppeln. Somit sind die
Bewegungsgleichungen in dieser Form ungekoppelt. In dieser (ungekoppelten) Form werden
die Bewegungsgleichungen als eine Reihe von ungekoppelten Systemen mit einem
Freiheitsgrad als
−𝜔²𝑚𝑖 𝜉𝑖 𝜔 + 𝑘𝑖 ξ 𝜔 = 𝑝𝑖 (𝜔) (39)
notiert. Die modale Form der Bewegungsgleichung der Übertragungsfunktion führt viel
schneller zu Ergebnissen als die direkte Methode weil es sich dabei ja um eine Serie von
ungekoppelten Systemen mit einem Freiheitsgrad handelt.
Sobald die individuellen Modalantworten ξi(ω) berechnet sind, werden physikalische
Antworten als Aufsummierung der Modalantworten unter Verwendung von
𝑥 = [ϕ]ξ(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (40)
regeneriert.
LITERATURE
1. Fu Y.B., Ogden R.W. “Nonlinear Elasticity: Theory and Applications”, Cambridge
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2. Bonet J., Wood D. R. “Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis”,
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3. Gurtin M.E. “Topics in Finite Elasticity” Society for Industrial and Applied
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4. Beatty, M.F. , “Topics in finite elasticity: hyperelasticity of rubber, elastomers, and
biological tissues—with examples”, Journal of Applied Mechanics Reviews, Vol. 40,
1987
5. Wallin H.P., Carlsson U., Åbom, Bodén H, Glav R., “Sound and Vibration” MWL
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6. de Silva C.W., “Vibration: Fundamentals and Practice” CRC Press LLC, 2000
7. MSC. Nastran Documentation, “Basic Dynamic Analysis User’s Guide”, Version 68