Deformation de La Poutre Flechie

CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE…

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Fig.(1)

y

Pc

0’

L

z

zyz

φz

φzρ

B

B’

Axe avant déformation

Tangente

Axe de la poutreaprès déformation(ligne élastique)

y

z

z

y

z

y

z

y

M>0

M>0 M<0y >0y <0

M<0y <0y >0

Fig.(2)

Déformation de la poutre fléchie

1. Equations différentielles de l’axe élastique :

La détermination des déplacements des poutres fléchies est nécessaire pour deux

raisons. 1°- le constructeur doit savoir les déplacements sous l’effet des forces qui

agissent sur la poutre pour évaluer sa rigidité, en comparant ses déplacements avec

les déplacement admissibles 2°- la détermination des déplacements est demandée

dans les calculs des système hyperstatiques, largement utilisés dans les différentes

constructions.

Généralement on a deux types de déplacements :

1.1. Déplacement linéaires (y - flèche) : déplacements des points de l’axe de la

poutre selon la direction à cet axe. Vu que, y varie le long de l’axe de la poutre on

écrit y(z) au lieu de y. le déplacement max. est appelé flèche. On le note par ymax ou

fmax.

1.2. Angles de rotation ou (rotation) φ : angles entre les plans de la section droite

de la poutre avant et après la déformation, ou angles entre les directions de l’axe de

la poutre avant et après la déformation, L’angle φ dépend aussi de z c’est pourquoi

on écrit φ(z) au lieu de φ.


- 4 -

Pour déterminer la déformation d’une poutre on profite de l’équation :

xE

zM

1

(1)

Qui associe la courbure de l’axe au moment fléchissant et la rigidité de la section

( xE ).

Le cours de mathématique donne la formule suivante pour la courbure d’une ligne :

23

21

1

y

yK

(2)

Ou 2

2

''dz

ydy ;

dz

dyy '

Portons la valeur de K dans la formule (1), on obtient l’équation exacte de l’axe

fléchi d’une poutre (ligne élastique) :

xE

zM

dz

dy

dz

yd

)(

12

32

2

2

(3)

L’intégration de cette équation non linéaire présente de grandes difficultés,

pourtant, pour la plupart des problèmes pratiques, la quantité 222

tgdz

dy

Peut être négligée par suite de la petitesse des déformations devant l’unité.

(Les valeurs réelles de φ (angle de rotation)) est de l’ordre des millièmes de radian,

même si on adopte φ=0.01rd → φ2= 2y =0.0001<<1

En rejetant du dénominateur de la formule (3) 2y on obtient l’équation différentielle

approchée de l’axe fléchi (ligne élastique) :

)('' zMxyE (4)

L’équation différentielle (4) est simple sont intégration ne présente pas de

difficultés.

Le choix du signe est déterminé par le système de coordonnées adopté sur la (fig.2a)

on a les mêmes signes pour la courbure yK et le moment M, alors


- 5 -

y=0 Py=0

y=0 y=0

y’=0

y=y’=0

P

P1 P2

yg=ydgy = dy

y’d=y’g

Dans ce système de coordonnées l’équation (4) devient :

)('' zMxyE (5)

Pour le système de coordonnées adopté sur (fig.2.a) :

)('' zMxyE (6)

Par la suite nous utiliserons le système de coordonnées (fig.2.a) et l’équation

différentielle de la ligne élastique sous forme (5).

Pour calculer les angles de rotation 'ydz

dyz et les flèches (déplacements) y(z)

il faut intégrer l’équation(5)

En intégrant une fois on aboutit à l’équation de l’angle de rotation, avec C -première

constante d’intégration

cMdzxyE ' (7)

En intégrant une deuxième fois, on obtient l’équation des flèches :

DCZdzdzzMyE x (8)

Oŭ D est la deuxième constante d’intégration

- les constante d’intégration C et D sont déterminées à partir des conditions

d’appuis (conditions aux limites).le nombre de conditions ne doit pas être

inférieur à deux.

Par exemple :


- 6 -

P m

L

En calculant les constantes d’intégration, on peut déterminer à l’aide des équation

(7) et (8) l’angle de rotation φ et la flèche y dans une section quelconque.

Dans de nombreux cas d’après les critères de service, les flèches maximales d’une

poutre sont limitées. Par une grandeur définie, la flèches admissible fadm.

Celle-ci dépend de la destination de l’ouvrage ou de la machine.

Par exemple, pour les poutres de pont roulant on adopte

làf adm

700

1

600

1, ou l et la travée de la poutre.

En construction mécanique, la norme de la flèche maximale varie des limites assez

larges, on adopte suivant la destination de la pièce

làfadm

300

1

1000

1,

Les angles d’inclinaison maximaux des sections d’appuis des arbres sur les paliers à

rouleaux ne doivent pas dépasser 0,001 rd.


- 7 -

a

b

c

d

z

z

y

M0

T0

mq

2. Méthode des paramètres initiaux :

Considérons une partie de la

poutre, chargée par un certain

système de forces,

Soit xE constante

Dans une section courante (z) le

moment fléchissant

M(z) peut-être écrit :

6

)(

2

)²()()()(

310

00

dztgczqbzPazmZTMzM

dzczbzaz

(1)

Remarque :

1) le signe nx dit que le membre correspondant doit être pris en considération

uniquement pour les sections où Z > n.

2) Règle de signe: Un certain membre est positif, s’il provoque le moment

fléchissant positif dans une section considérée Z

Par exemple : tous les paramètres, représentés en (fig.1) sont Positifs l’équation de

le ligne élastique s’écrit :

xE

My

dz

yd

''

²

² (2)

En égalisons (1) et (2) nous obtenons :

62

²)(

1"

310

0

dztgczqbzPazmTzM

xEy dzczbzaz

(3)

L’intégration de cette équation donne :

C

dztgczqbzPazm

zTzM

xEz

dz

dydzczbzaz

2462

²)(

2

²1 43

00

(4)


- 8 -

Et la deuxième intégration :

DCZ

dztgczqbzPazmzT

zM

xEzy dzczbzaz

1202462

²

62

²1 5433

00

(5)

Pour Z=0 ; nous avons : C=φ0 et D=y0 où φ0 et y0 sont les valeurs de φ(z) et y(z) à

l’origine des cordonnées.

Donc l’équation (5) peut-être présentée sous forme :

L’intégration de cette équation donne :

!5!4!3!2

)²(

!3!2

²1)(

5433

000

dztgczqbzPazmzT

zM

xEzyzy dzczbzaz

(6)

Cette équation s’appelle l’équation universelle de la ligne élastique. (c à dire que

cette équation peut-être utilisée pour n’importe quel schéma de calcul).

Dans le cas de l’action simultanée de plusieurs forces extérieures l’équation de la

flèche d’après le principe de l’indépendance de l’effet des forces s’écrit :

!5!4!3!2!3!2

1 54323

0

2

000

dztgczqbzP

azm

zT

zM

xEzyzy

(7)

L’expression de φ(z) est déterminée par différentiation de l’équation y(z).

!4!3!2!1!2!1

1 4322

000

dztgczqbzP

azm

zT

zM

Ez

(8)


- 9 -

L’ordre de résolution du problème à l’aide de l’équation universelle est le

suivant :

1. on choisit l’origine des coordonnées à l’éxtrimite gauche de la poutre.

2. on détermine (si cela possible) les grandeurs des paramètres initiaux, c’est-à-

dir φ0, y0, T0, M0.

3. en utilisant la formule (7) on compose l’équation de y(z). φ(z) est obtenue

par différentiation de y(z).

4. les constantes y0 et φ0 (paramètres géométriques) si elles ne sont par connues

d’avance, se déterminent à l’aide des conditions d’appui. Les constantes T0,

M0 (paramètres statiques) sont déterminées à l’aide des conditions

d’équilibre statique.

5. si la poutre est sollicitée par une charge repartie dans une section

intermédiaire on la prolonge jusqu'à l’éxtrimité droite en ajoutant une charge

compensatrice afin de conserver l’état initial du chargement de la poutre.

Deformation de La Poutre Flechie

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