Deflexao de Vigas e Eixos_michel
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Universidade Estadual do Maranhão
Centro de Ciências Tecnológicas
Curso Engenharia de Produção
Disciplina Mecânica dos Sólidos
Professor Carlos Marinho
DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS
Ana Paula Mendes
Cód.: 101k129
Bernardo Gonçalves Júnior
Cód.: 101k228
Emanoel Marques
Cód.: 091k214
Marcelo Pestana
Cód.: 101k128
Michel de Oliveira
Cód.: 111K110
São Luís – MA
2012
2
Ana Paula Mendes
Cód.: 101k129
Bernardo Gonçalves Júnior
Cód.: 101k228
Emanoel Marques
Cód.: 091k214
Marcelo Pestana
Cód.: 101k128
Michel de Oliveira
Cód.: 111K110
DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS
Trabalho desenvolvimento
para obtenção da 3a nota da
disciplina Mecânica dos Sólidos,
ministrada pelo prof. Carlos
Marinho.
São Luís – MA
2012
3
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4
2. LINHA ELÁSTICA .................................................................................................. 4
3. RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA ................................................................. 6
4. INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA INTEGRAÇÃO
DIRETA ....................................................................................................................... 8
5. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................... 13
6. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE DESCONTINUIDADE ........................................ 17
7. CONCLUSÃO ........................................................................................................ 22
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 22
4
1. INTRODUÇÃO
Normalmente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão que uma
viga ou um eixo podem suportar quando submetidos a cargas. O interesse da
determinação da deflexão, em uma viga sujeita a um determinado carregamento, está no
fato de que as especificações do projeto de uma viga incluem um valor máximo
admissível para esta deflexão.
A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga em relação a
sua posição inicial. Devido a isto, deve-se freqüentemente limitar os valores de deflexão
de maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e deflexões
excessivas de vigas em prédios na construção civil. A determinação da máxima
deflexão flexional e inclinação em eixos são de extrema importância, visto que a
excessividade das mesmas pode resultar na falha do sistema mecânico.
Existem diversos métodos para determinar a deflexão e a inclinação em pontos
específicos de vigas e eixos. Os métodos analíticos incluem o método da integração
direta, método da superposição e o uso de funções de descontinuidade. O objetivo deste
trabalho é apresentar estes métodos.
2. LINHA ELÁSTICA
O diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada
área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. Ao fazer o digrama é
necessário saber como os vários tipos de apoio limitam a inclinação ou deslocamento.
Em geral, os apoios que resistem a forças, como um pino, limitam o deslocamento e os
que resistem a momento, como uma parede, limitam a rotação ou a inclinação, bem
como o deslocamento. Na Figura 1 tem-se dois exemplo típicos de linhas elásticas de
vigas (ou eixos) com carga.
Figura 1
5
Caso a linha elástica da viga seja difícil de traçar, sugere-se desenhar
primeiramente seu diagrama de momento fletor. A convenção de sinal estabelecida é
mostrada na Figura 2 abaixo, o momento fletor interno positivo tende a curvar a viga
com a concavidade para cima (Figura 2a), enquanto que o momento fletor negativo
tende a curvá-la com a concavidade para baixo (Figura 2b).
Figura 2
Dessa forma, se o diagrama de momento fletor for conhecido, será mais fácil
construir a linha elástica; por exemplo, considere a viga da Figura 3a e seu diagrama de
momento fletor, mostrado na Figura 3b abaixo. Devido aos apoios de rolete e de pino, o
deslocamento em B e D deve ser nulo. Na região de momento negativo, AC (Figura 3b),
a linha elástica deve ser côncava para baixo; n região de momento positivo, CD, ela
deve ser côncava para cima. Portanto, deve haver um ponto de inflexão no ponto C,
onde a curva muda a concavidade de cima para baixo, uma vez que se trata de um ponot
em que o momento fletor é nulo. Com base nesses fato, a linha elástica da viga é
desenhada em escala exagerada na Figura 3c.
Figura 3
6
Deve ser observado que os deslocamento ∆A e ∆E são especialmente críticos. No
ponto E a inclinação da curva elástica é nula, logo a deflexão da viga deve ser máxima.
O fato de ∆E ser realmente maior que ∆A ou não, depende das intensidade de P1 e P2 e
da localização do rolete em B.
3. RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA
Primeiramente, para deduzir a relação entre o momento fletor interno da viga e o
raio de curvatura ρ da linha elástica em um determinado ponto requer o uso de três
coordenadas. Como mostra a Figura 4a, a o eixo x e positivo para a direita, ao longo do
eixo longitudinal da viga, incialmente reto; ele é usado para localizar o elemento
infinitesimal que tem largura não deformada dx. O eixo v é positivo para cima a partir
do eico x; ele mede o deslocamento do centróide da área da seção transversal do
elemento. Finalmente uma coordenada y é usada para especificar a posição de uma fibra
no elemento da viga; ela é positiva para cima a partir do eixo neutro, como mostra a
Figura 4b.
Figura 4
Em seguida, limita-se a análise a um caso bem comum: uma viga incialmente
reta deforma-se elasticamente pelas cargas aplicas perpendicularmente ao seu eixo x,
localizado no plano de simetria x–v da área da seção transversal. Devido ao
carregamento, a deformação da viga é provocada tanto pela força de cisalhamento
interna como pelo momento fletor. Se a viga tiver comprimento muito maior que sua
7
altura a maior deformação será provocada pela flexão e, portanto, concentra-se a
atenção em seus efeitos.
Quando o momento fletor interno M deforma o elemento da viga, o ângulo entre
as seções transversais torna-se dθ (Figura 4b). O arco dx representa a parte da linha
elástica que intercepta o eixo neutro em cada seção transversal. O raio de curvatura
desse arco é definido como a distância ρ, medida do centro de curvatura O´ para dx.
Qualquer outro arco do elemento estará sujeito a uma deformação normal. Por exemplo,
a deformação no arco ds, localizado a uma distância y do eixo neutro, é ϵ = (ds´ –
ds)/ds. No entanto, ds = dx = ρdθ e ds´ = (ρ – y)dθ, assim, ϵ = [(ρ – y)dθ – ρdθ] / ρdθ,
ou:
Se o material é homogêneo e comporta-se de maneira linear-elástica, aplica-se a
lei de Hooke (ϵ = σ/E). Além disso, aplica-se a fórmula da flexão, σ = -My/I.
Combinando essas duas equações e substituindo-as na Eq. (1), tem-se:
Em que M é o momento fletor interno da viga no pronto em que ρ deve ser
determinado; E é o módulo de elasticidade do material; e I é o momento de inércia da
viga calculado em torno do eixo neutro.
O produto EI na Eq. (2), denominado rigidez à flexão, é sempre uma quantidade
positiva. O sinal de ρ depende, portanto, da direção do momento fletor. Como mostra a
Figura 5, quando M é positivo, ρ prolonga-se para cima da viga, isto é, na direção
positiva de v; quando M é negativo, ρ prolonga-se para baixo da viga, ou na direção
negativa de v.
Figura 5
8
4. INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA INTEGRAÇÃO
DIRETA
A linha elástica de uma viga é expressa matematicamente como v = f(x). Para
obter essa equação, deve-se primeiro representa a curvatura (1/ρ) em termo de v e x.
Segundo os livros de cálculo, essa relação consiste em:
Substituindo na Eq. (2), tem-se:
A Eq. (3) representa uma equação infinitesimal não-linear de segunda ordem.
Sua solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica, admitindo-se,
naturalmente, que as deflexões da viga ocorram somente devido à flexão. Por meio da
matemática superior, foram obtidas soluções da elástica apenas para casos simples de
geometria e carregamento de vigas.
A fim de facilitar a solução de um número maior de problemas de deflexão, a
Eq. (4) pode ser modificada. A maioria das normas de projeto da engenharia especifica
os limites de tolerância e estética das deflexões e, como resultado, as deflexões da
elástica para a maioria das vigas e dos eixos formam uma curva rasa.
Consequentemente, a inclinação da curva elástica determinada por dv/dx é muito
pequena e seu quadrado desprezível em comparação com a unidade. Portanto, a
curvatura pode ser aproximada por 1/ρ = d2v/dx
2. De acordo como essa simplificação, a
Eq. (4) pode ser escrita como:
Também é possível escrevê-la de duas formas alternativas. Se diferenciarmos
cada lado da equação em relação a x e substituirmos V = dM/dx (cisalhamento em cada
ponto = declive do diagrama de momento em cada ponto), tem-se:
(
)
Diferenciando novamente e usando –w = dV/dx (–intensidade da carga
distribuída em cada ponto = declive do diagrama de cisalhamento em cada ponto), tem-
se:
9
(
)
Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão é constante ao longo do
comprimento da viga. Logo, os resultados anteriores podem ser reordenados da seguinte
forma:
A solução de qualquer uma dessas equações requer integrações sucessivas para
se obter a deflexão v da linha elástica. Em cada integração é preciso introduzir uma
„constante de integração‟ e depois resolver todas as constantes para obter a solução
única de um problema em particular.
Ao aplicar as Eq. (8), (9) e (10), é importante usar os sinais adequados para M,
V e w, como estabelecido pela convecção de sinal usada na dedução dessas equações
(ver Figura 6a). Além disso, lembre-se de que a deflexão positiva v é para cima e, como
consequência, a inclinação positiva do ângulo θ é medida no sentido anti-horário a partir
do eixo x, que, por sua vez, é positivo para a direita. A razão de tal condição é mostrada
na Figura 6b; neste caso, os aumentos positivos dx e dv em x e v dão origem ao
aumento de θ no sentido anti-horário. Por outro lado, se x positivo for orientado para a
esquerda, então θ será positivo no sentido horário (Figura 6c).
Figura 6
10
As constantes de integração são determinadas pelo cálculo das funções de
cisalhamento, momento fletor, inclinação ou deslocamento em certo ponto da viga no
qual o valor de tal função seja conhecido. Esses valores são chamados condições de
contorno. Várias condições de contorno possíveis usadas com frequência para resolver
problemas de deflexão de vigas (ou eixos) estão relacionadas na Tabela 1 abaixo.
Tabela 1
Se uma única coordenada x não puder ser usada para expressar a equação da
inclinação ou da linha elástica, então devem ser usadas condições de continuidade para
calcular algumas constantes de integração.
Portanto, para determinar a inclinação e a deflexão da viga (ou do eixo) pelo método
da integração direta, usa-se o seguinte procedimento:
1. Lina Elástica
a. Desenhar uma vista exagerada da linha elástica da viga. Lembrar que
ocorrem inclinação e deslocamento nulos em todos os apoios fixos e
ocorre deslocamento nulo em todos os apoios de pino e de rolete.
11
b. Estabelecer os eixos de coordenadas x e v. O eixo x deve ser paralelo à
viga sem deflexão e pode ter origem em qualquer ponto ao longo dela,
com sentido positivo tanto para a direita como para a esquerda.
c. Se estiverem presentes diversas cargas descontínuas, estabelecer
coordenadas x que sejam válidas para cada região da viga entre as
descontinuidades. Escolher as coordenadas de modo que simplifiquem o
trabalho algébrico subsequente.
d. Em todo os casos, o eixo v associado positivo deve ser orientado para
cima.
2. Função do Carregamento ou do Momento Fletor
a. Em cada região em que haja uma coordenada x, expressar a carga w ou o
momento fletor M em função de x.
b. Em particular, supor que M sempre atua na direção positiva ao aplicar a
equação de equilíbrio de momento fletor para determinar M = f(x).
3. Inclinação e Linha Elástica
a. Desde que EI seja constante, aplicar tanto a equação de carga, Eq. (8),
que requer quatro integrações para obter v = v(x), como a equação de
momento, Eq. (10), que exige apenas duas integrações. É importante
incluir em cada integração uma constante de integração.
b. Calcular as constantes usando as condições de contorno para os apoios e
as condições de continuidade que se aplicam à inclinação e ao
deslocamento nos pontos em que as duas funções se encontram. Uma vez
que as constantes estejam determinadas e substituídas nas equações da
inclinação e da deflexão, podem-se determinar a inclinação e o
deslocamento em pontos específicos da linha elástica.
c. Verificar graficamente os valores numéricos obtidos comparando-os com
o desenho da linha elástica. Observar que os valores positivos da
inclinação serão no sentido anti-horário se a direção do eixo x for
positiva para a direita, e no sentido horário se a direção do eixo x for
positiva para a esquerda. Em qualquer caso, o deslocamento positivo é
para cima.
Exemplo:
A viga em balanço mostrada na Figura 7 está submetida a uma carga vertical P
na exterminada. Determinar a equação da linha elástica. EI é constante.
12
Figura 7
Solução:
Linha Elástica – A carga tende a defletir a viga como mostra a figura acima. Por
inspeção, tem-se que o momento fletor interno pode ser representado em toda a
viga por meio de uma única coordenada x.
Função do Momento Fletor – Pelo diagrama de corpo livre, com M atuando na
direção positiva (Figura 8), tem-se:
M = – Px
Figura 8
Inclinação e Linha Elástica – Aplicando a Eq. (10) e integrando duas vezes, tem-
se:
Para condições de contorno dv/dx = 0 em x = L e v = 0 em x = L, as Eq. (b) e (c)
tornam-se:
13
Assim, C1 = PL2/2 e C2 = –PL
3/3. Substituindo esses resultados nas Eq. (b) e (c)
com θ = dv/dx, tem-se:
5. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
A equação diferencial Eq. (8) satisfaz os dois requisitos necessários para a
aplicação do princípio da superposição de efeitos, ou seja, a carga w(x) relaciona-se
linearmente à deflexão v(x) e supõe-se que ela não altere significativamente a geometria
original da viga ou do eixo. Como resultado, as deflexões de uma série de cargas
separadas que atuam sobre uma viga podem ser superpostas. Por exemplo, se v1 for a
deflexão de uma carga e v2 a deflexão de outra, a deflexão total para ambas as cargas
atuando juntas é a soma algébrica v1 + v2. Usando resultados tabelados para vários
carregamentos de viga, como os mostrados nas tabelas 2 e 3 abaixo, ou aqueles
encontrados em vários manuais de engenharia, é possível determinar a inclinação e o
deslocamento em um ponto de uma viga sujeita a diversos carregamentos diferentes
adicionando algebricamente os efeitos de seus vários componentes.
14
Tabela 2
15
Tabela 3
Exemplo: Determinar o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga
mostrada na Figura 9. Considerar EI constante.
16
Figura 9
Solução:
O carregamento pode ser separado em duas partes como mostra a Figura 10
abaixo.
Figura 10
Assim, determina-se o deslocamento em C e a inclinação em A aplicando as
tabelas acima a cada parte.
Para a carga distribuída:
Para a força concentrada de 8kN:
17
O deslocamento total em C e a inclinação em A são as somas algébricas desses
componentes. Então:
6. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE DESCONTINUIDADE
As funções de singularidade são excelentes para manejar descontinuidades,
sendo que sua aplicação é uma simples extensão do método da superposição. Podem
simplificar bastante os problemas estaticamente indeterminados.
O método das funções de singularidade consiste em criar uma equação global de
momento fletor para a viga, e a partir dela determinar a deflexão e a inclinação da viga.
Primeiro, adota-se uma origem, que deve ser fixa, e todas as equações de momento
devem partir dela. No último ponto, a equação de momento inclui todos os termos, e
esta equação é que será utilizada. Assim obtém-se uma equação diferencial que
relaciona momento fletor e deflexão. Depois, integra-se a equação diferencial uma vez
para obter a equação da inclinação, e duas vezes para obter a deflexão (a inclinação é a
derivada primeira da deflexão em relação a posição).
Considere o exemplo da Figura 11: uma viga de comprimento L, biapoiada,
submetida a um carregamento qualquer. Define-se a equação de momento fletor para a
viga, com a origem em “a”.
Figura 11
18
Trecho ab:
2
².. 1
1
xqxRM ; 0 ≤ x ≤ L
A partir da equação de momento basta utilizarmos a equação diferencial
conhecida para determinarmos a deflexão y em qualquer x da viga, sabendo que as
condições de contorno são obtidas fazendo y = 0 nos apoios.
Mdx
ydIE
²
²..
Porém, há uma restrição na determinação desses parâmetros: Conforme as
funções de singularidade, deve-se utilizar corretamente os termos obtidos, pois foi
utilizada uma única equação, que por sua vez se originou de vários termos, que por sua
vez tinham restrições.
Por exemplo, considere a viga e o carregamento a seguir (Figura 12):
Figura 12
Para este carregamento, podemos desenvolver as seguintes equações:
Trecho ab:
xRM .1 ; 0 ≤ x ≤ 2
Trecho bc:
)2.(. 11 xPxRM ; 2 ≤ x ≤ 5
Trecho cd:
)5.()2.(. 211 xPxPxRM ; 5 ≤ x ≤ 7
Observe que a terceira equação (do último trecho) engloba as equações do
primeiro e do segundo trechos. Assim, podemos considerá-la como a equação global de
momento fletor da viga, com a ressalva de utilizarmos, no cálculo da deflexão, o
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segundo termo apenas para valores de x maiores do que 2 e o terceiro termo apenas para
valores de x maiores do que 5, conforme as funções de singularidade.
A equação do primeiro trecho vale para todos; a equação do segundo trecho só
não vale para o primeiro, e assim por diante. Por isso, quando há carga distribuída no
início da viga, é necessário completar o carregamento até o final, pois o termo que o
carregamento distribuído gera deve valer até o final. Observe o exemplo (Figura 13):
Figura 13
Para este carregamento, temos as equações (origem em a):
Trecho ab:
2
².. 11
xqxRM ; 0 ≤ x ≤ 4
O carregamento distribuído acaba em x = 4m, porém este termo valerá até o final
dos cálculos, por ser o primeiro trecho. Assim, deve-se completar o carregamento até o
final da viga, e deve-se também colocar o carregamento oposto ao que foi adicionado,
para que o resultado do carregamento seja equivalente ao original, ou seja, adiciona-se e
retira-se a mesma carga como artifício de cálculo.
Trecho bc:
2
)²4(.
2
².. 111
xq
xqxRM ; 4 ≤ x ≤ 6
Trecho cd:
)6.(2
)²4(.
2
².. 1111
xP
xq
xqxRM ; 6 ≤ x ≤ 8
Esta última equação é a que representa o momento fletor para este carregamento,
claro que obedecendo as restrições das funções de singularidade. Obedecendo essas
restrições, basta substituir x nas equações de deflexão e inclinação para determiná-las.
20
Exemplo: Para a viga de 10 m submetida a uma força F=100 kgf, determinar as
deflexões nas seções A, B (seção de entalhe) e C, assim como seus ângulos de
inclinação, sabendo que 4
1 1,0 mI e 4
2 2,0 mI .
Dados ²/10.1,2 6 cmkgfE
Figura 14
Solução:
Reações de apoio no engaste: a força vertical é igual a F = 100 kgf e M = 1000
kgf.m
Equação de momento fletor: há uma única para a viga:
1000.100 xM [kgf.m]
Como I varia com x, precisamos determinar a função xI
M, para então
podermos utilizar a relação xI
M
dx
ydE
²
².
Trecho AB:
5000.5002,0
1000100
x
x
I
M; 0 ≤ x ≤ 5
Trecho BC:
10000.10001,0
1000.100
x
x
I
M; 5 ≤ x ≤ 10
Existe uma descontinuidade no ponto x=5, como podemos ver no gráfico.
Necessita-se, então, expressar de forma única essa função, utilizando funções de
singularidade:
21
Figura 15
00 )5.(7500)5.(1000)5.(5000)5.(5005000.500 xxxxxI
M
)5.(500)5.(25005000.500 0 xxxxI
M
Resolvendo a equação diferencial:
)5.(500)5.(25005000.500²
². 0 xxxx
I
M
dx
ydE
1)²5.(250)5.(25005000².250. Cxxxxdx
dyE (1)
Mas como 00 10
C
dx
dyx
23
)³5.(250)²5.(1250².2500
3
³.250)(. C
xxx
xxyE
(2)
Mas como 00)0( 2 Cy
Substituindo os valores de x de B e C nas equações 1 e 2 :
myB 0248,0 ; radB
310.929,8
myC 089,0 ; radC
310.881,14
22
7. CONCLUSÃO
No presente trabalho foi mostrado alguns dos diversos métodos para
determinação da deflexão flexional e inclinação para eixos escalonados sujeitos há um
ou mais carregamentos.
Em projetos de eixos, dentre as diversas restrições que são impostas para que o
eixo possa trabalhar nas condições de operação necessárias, uma delas é a relação da
máxima deflexão flexional admitida e também para a máxima inclinação permitida para
o eixo. Por esses motivos que se torna necessário a determinação da deflexão flexional e
da inclinação do eixo.
Através da utilização dos métodos da energia, superposição e singularidade,
chegamos aos mesmos resultados, verificando-se assim que qualquer um dos métodos
pode ser aplicado, e que, dependendo da situação, um método em particular será de
mais fácil utilização.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Makron
Books, 1995.
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 5.º Ed., Editora Pearson Prentice Hall,
2004.
PROENÇA, A. R.; OLIVEIRA, G. A. e GOULART, G.R. Métodos de determinação
de deflexão flexional e inclinação: Aplicação em viga escalonada. Uberlândia, 2010.