4 Grenzwerte von Funktionen

In diesem Kapitel sei D stets eine nichtleere Menge reeller Zahlen. 4.1 Definition de Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle

Beispiel 1 Es sei : ,f ( ) 2 3.f x x Wie verhalten sich die Werte der Funktion, wenn x sich der Zahl 4 nhert?

Das Schaubild zeigt, dass in diesem Fall ( )f x sich der Zahl 5 nhert.

Beispiel 2 Es sei : ,f 2 3, 4

( )1, 4

x xf x

x

. Wie verhalten sich die Werte dieser

Funktion, wenn x sich der Zahl 4 nhert?

Das Schaubild zeigt, dass auch in diesem Fall ( )f x sich der Zahl 5 nhert solange 4.x

Beispiel 3 Ist : \ 0 ,f 21

( ) ,f xx

und nhert sich x der Stelle 0, dann wachsen

die Werte von ( )f x ins Unendliche.

Beispiel 4 Fr dieselbe Funktion : \ 0 ,f 21

( ) ,f xx

lassen wir diesmal x gegen

wachsen und stellen fest, dass die Werte der Funktion gegen 0 streben. Es gilt nun, eine allgemeine Definition zu geben und die ungenauen Begriffe wie sich nhern, streben und ins Unendliche wachsen durch genaue zu ersetzen.

Definition Es sei : ,f D 0x ein Hufungspunkt von D und .l Man sagt, f

hat an der Stelle 0x den Grenzwert ,l wenn es zu jeder Umgebung V von l eine

Umgebung U von 0x derart gibt, dass ( )f x V fr alle ,x U D 0.x x

Man schreibt: 0

lim ( )x x

f x l

(lies: Limes f von x fr x gegen 0x ist .l )

Die Definition lsst sich wie folgt schreiben:

0

lim ( )x x

f x l V

( )l U 0( ),x so dass ( )f x V fr 0\x U D x

Dabei bezeichnet ( )a die Menge der Umgebungen von .a Bemerkungen 1) Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition des

Grenzwertes einer Folge. (Eine Folge ist nmlich eine auf definierte reelle Funktion und

ist Hufungspunkt von .) 2) Die Funktion f muss an der Stelle 0x , an der nach einem Grenzwert gefragt wird, nicht

definiert sein, wie auch Beispiel 3 von oben zeigt. Wenn f in 0x definiert ist, spielt der Wert

von f in 0x keine Rolle fr den Grenzwert von f an der Stelle 0x (vgl. Beispiel 2).

4.2 Charakterisierung des Grenzwertes einer Funktion mit Hilfe der Grenzwerte von Folgen Grenzwerte von Funktionen knnen mit Hilfe der Grenzwerte von Folgen charakterisiert werden, wie folgender Satz zeigt.

Satz 4.1 Es sei : ,f D 0x ein Hufungspunkt von D und .l Dann hat f

genau dann den Grenzwert l an der Stelle 0 ,x wenn fr jede Folge na von Zahlen aus

0\D x , die gegen 0x strebt, die Folge nf a gegen l strebt.

Beweis Es sei zuerst angenommen, dass 0

lim ( )x x

f x l

. Wir whlen eine beliebige Folge

na von Zahlen aus 0\D x , die gegen 0x strebt, und zeigen, dass die Folge nf a gegen l strebt. Dazu sei V eine beliebige Umgebung von l gewhlt. Nach der Definition

des Grenzwertes einer Folge an der Stelle 0x gibt es eine Umgebung U von 0x , so dass

( )f x V fr alle 0\ .x D x Da aber 0lim nn

a x

, gibt es laut Definition des

Grenzwertes einer Folge ein m derart, dass na U fr alle .n m Die Folge na

wurde jedoch aus 0\D x gewhlt, also gilt 0\na U D x fr alle .n m Nun folgt aus der Definition des Grenzwertes von f an der Stelle 0x , dass ( )nf a V fr alle ,n m

was jedoch bedeutet, dass die Folge nf a gegen l strebt. Umgekehrt sei nun angenommen, dass fr jede Folge na von Zahlen aus 0\D x , die

gegen 0x strebt, die Folge nf a gegen l strebt. Es gilt zu beweisen, dass f an der Stelle 0x den Grenzwert l hat. Dazu sei eine beliebige Umgebung V von l gewhlt. Es gilt

zu zeigen, dass es eine Umgebung U von 0x gibt, so dass ( )f x V fr alle

0\ .x U D x Wir nehmen das Gegenteil an: Fr jede Umgebung U von 0x existiere ein 0\ ,x U D x so dass ( ) .f x V

Fall 0 .x Whlt man die Umgebungen 0 01 1,nU x x

n n

von 0 ,x wo ,n

dann gibt es zu jedem n ein 0\na U D x derart, dass .nf a V Die Folge

na strebt offenbar gegen 0 ,x jedoch die Folge nf a nicht gegen .l Der Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war, also hat f an der Stelle 0x den Grenzwert .l

Fall 0 .x Whlt man die Umgebungen ,nU n von 0 ,x wo ,n dann gibt es zu

jedem n ein 0\na U D x derart, dass .nf a V Die Folge na strebt offenbar gegen 0 ,x jedoch die Folge nf a nicht gegen .l Der Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war, also hat f an der Stelle 0x den Grenzwert .l

Der Fall 0x wird hnlich behandelt und bleibt als bung.

Folgesatz Ist : ,f D 0x ein Hufungspunkt von D und gibt es zwei Folgen na

und nb in 0\D x , die gegen 0x streben, so dass die Folgen nf a und nf b verschiedene Grenzwerte haben, dann hat f keinen Grenzwert an der Stelle 0.x

Beispiel Satz 4.1 erlaubt es, Grenzwerte von Funktionen mit Hilfe von Grenzwerten von

Folgen zu berechnen. Whlt man z.B. im Falle der Funktion : ,f ( ) 2 3,f x x

eine beliebige Folge na aus \ 4 , die gegen 4 strebt, dann gilt: ( ) 2 3 2 4 3 5,n nf a a also ist

4lim ( ) 5.x

f x

Der Satz 4.1 hilft aber auch, bekannte Eigenschaften der Grenzwerte von Folgen auf Grenzwerte von Funktionen zu bertragen.

Satz 4.2 Es seien , :f g D und 0x ein Hufungspunkt von ,D so dass

01lim ( )

x xf x l

und

02lim ( ) .

x xg x l

1) Falls 1 2l l in definiert ist, dann gilt

0 0 0

1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( );x x x x x x

f x g x l l f x g x

2) Falls 1 2l l in definiert ist, dann gilt

0 0 0

1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( );x x x x x x

f x g x l l f x g x

3) Falls 1 2l l in definiert ist, dann gilt 0 0 0

1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( );x x x x x x

f x g x l l f x g x

4) Falls 1

2

l

l in definiert ist, dann gilt 0

0

0

1

2

lim ( )( )

lim ;( ) lim ( )

x x

x x

x x

f xf x l

g x l g x

5) Falls ( ) 0f x fr alle 0\x D x und 21ll ist in definiert, dann

020 0

lim ( )( )

1lim ( ) lim ( ) ;x x

g xlg x

x x x xf x l f x

6) Falls ( ) 0, ( ) 1,f x f x ( ) 0g x fr alle 0\ ,x D x 1 1 20, 1, 0l l l und 1 2logl l

in definiert ist, dann 0 00

( ) lim ( )lim log ( ) log lim ( ) .x x

f x f xx x x x

g x g x

Der Beweis ergibt sich sofort aus den entsprechenden Eigenschaften der Grenzwerte von

Folgen und Satz 4.2. So sei zum Beispiel fr 1) eine Folge na aus 0\D x gewhlt, die

gegen 0x strebt. Dann gilt 1lim ,nn

f a l

2lim nn

g a l

und da 1 2l l definiert ist, gilt

auch lim lim limn n n nn n n

f a g a f a g a

. Somit folgt:

0 0 0

lim ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) lim ( ),n n n nx x n n n x x x x

f x g x f a g a f a g a f x g x

womit 1) bewiesen ist. hnlich lsst sich der Bewies der Aussagen 2) - 6) fhren. Mit Hilfe von Satz 4.2 lassen sich auch Vergleichkriterien fr Grenzwerte von Funktionen aus jenen fr Folgen leicht ableiten.

Satz 4.3 Sind , :f g D und ist 0x ein Hufungspunkt von D , dann gilt:

i) Wenn ( ) ( )f x g x fr alle x D und 0

lim ( ) ,x x

g x

dann 0

lim ( ) ;x x

f x

ii) Wenn ( ) ( )f x g x fr alle x D und 0

lim ( ) ,x x

g x

dann 0

lim ( ) .x x

f x

Beweis: bung.

Es sei bemerkt, dass in diesem Satz die Bedingung ( ) ( )f x g x fr alle x D durch

eine schwchere ersetzt werden kann: Es gibt eine Umgebung V von 0 ,x so dass

( ) ( )f x g x fr alle x D V (ebenso die Bedingung von ii)).

Satz 4.4 (Einschnrungssatz) Sind , , : ,f g h D 0x ein Hufungspunkt von D

und ,l so dass ( ) ( ) ( ),f x g x h x x D und 0 0

lim ( ) lim ( ) ,x x x x

f x h x l

dann ist

0

lim ( ) .x x

g x l

Satz 4.5 Sind , : ,f g D 0x ein Hufungspunkt von D und ,l so dass

( ) ( )f x l g x fr alle x D und 0

lim ( ) 0,x x

g x

dann gilt 0

lim ( ) .x x

f x l

Beweise 4.4 und 4.5: bung Bemerkung Wie in Satz 4.3, gengt es auch in den Stzen 4.4 und 4.5, dass die

vorausgesetzten Ungleichungen blo in einer Umgebung von 0x stattfinden.

4.3 Charakterisierung des Grenzwertes einer Funktion mit und

Satz 4.6 Es sei : ,f D 0x ein Hufungspunkt von D und .l Dann gilt

0

lim ( )x x

f x l

genau dann, wenn es zu jedem 0 es ein 0 derart gibt, dass

( )f x l fr alle 0\ ,x D x die 0x x erfllen.

Beweis Wir nehmen zuerst an 0

lim ( )x x

f x l

und whlen ein beliebiges 0. Fr die

Umgebung 0 0( , )V x x von l gibt es eine Umgebung U von 0x derart, dass

( )f x V fr alle 0\ .x U D x Aber U enthlt ein offenes Intervall mit dem Zentrum 0x , also gibt es 0, so dass 0 0( , ) .x x U Fr alle 0\ ,x D x die

0x x erfllen, gilt nun 0\ ,x U D x also ( ) ,f x V das heit in diesem Fall jedoch ( ) .f x l

Fr den zweiten Teil des Beweises nehmen wir an, zu jedem 0 gbe es ein 0

derart, dass ( )f x l fr alle 0\ ,x D x die 0x x erfllen. Ist V eine beliebige Umgebung von ,l dann enthlt V ein offenes Intervall mit dem Zentrum ,l also

gibt es 0 mit 0 0( , ) .x x V Es sei 0 derart, dass ( )f x l fr alle

0\ ,x D x die 0x x erfllen. When wir 0 0( , ),U x x dann ist U eine

Umgebung von 0x und fr alle 0\x U D x ist 0 ,x x also ( ) ,f x l und damit ( ) .f x V Dieses bedeutet aber, dass

0

lim ( ) .x x

f x l

bungen 1) Schreibe mit Hilfe von und Aussagen, die quivalent sind zu 0

lim ( )x x

f x l

in folgenden Fllen:

a) 0 ,x ;l b) 0 ,x ;l c) 0 , ;x l d) 0 , ;x l

e) 0 , ;x l f) 0 , .x l

Beweise zwei der Aussagen. 2) ena, S. 110, Nr. 2) 5).