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DEFENSORIA PÚBLICA DO RS

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

SUMÁRIO

MATEMÁTICA 1. Conjuntos Numéricos Q (Racionais) e R (Reais), 3 - Números Naturais e Inteiros, 3 - Números Racionais, 15 - Números Reais, 20 2. Números e Grandezas Proporcionais, 22 - Razões e Proporções, 22 - Divisão Proporcional, 26 - Regras de Três, 30 - Porcentagem, 38 3. Juros Simples e Compostos, 46 - Juros Simples, 46 - Juros Compostos, 51 4. Sistema Legal de Medidas, 59

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO - Lógica Intuitiva (Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares,...), 68 - Uso das funções intelectuais (raciocínio verbal, sequencial, matemático, ...), 73

Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki

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INTRODUÇÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS A) NÚMEROS NATURAIS N = { 0, 1, 2, 3, ..., } B) NÚMEROS INTEIROS Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., } C) NÚMEROS RACIONAIS

Q= { a/b |||| a∈∈∈∈Z e b∈∈∈∈Z* }

∗∗ De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número inteiro ou um número fracionário. D) NÚMEROS IRRACIONAIS

I = { x |||| x∈∈∈∈R e x∉∉∉∉Q } = R – Q

E) NÚMEROS REAIS

R = { xx∈∈∈∈Q ou x ∈∈∈∈I } = Q ∪∪∪∪ I

N Z Q R


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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Q(RACIONAIS) E R(REAIS)

NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS

►MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplo e Divisor Se a divisão dos números naturais a e b é exata (resto zero), diz-se que:

1) a é múltiplo de b ou 2) a é divisível por b ou ainda 3) b é divisor de a.

Por exemplo, podemos dizer que 32 é múltiplo de 8, 32 é divisível por 8, ou ainda, 8 é um divisor de 32.

Conjunto dos Múltiplos Para obter os múltiplos de um número natural a qualquer, basta multiplicá-lo por todos os números naturais. Notação: M(a). Exemplos:

a) M(2) = { 0, 2, 4, 6,...} ( números pares ) b) M(3) = { 0, 3, 6, 9,...} c) M(0) = { 0 }

Conjunto dos Divisores Para obter os divisores de um número natural qualquer a, basta dividi-lo, sucessivamente, pelos números naturais a partir do 1 e verificar quais são as divisões exatas. Notação : D(a). Exemplos: a) D(4) = { 1, 2, 4 } b) D(15) = { 1, 3, 5, 15 } c) D(1) = { 1 } d) D(0) = { 1, 2, 3, ... }.

Critérios de Divisibilidade Podemos verificar se um número natural é divisível por outro, simplesmente dividindo o primeiro pelo segundo. Mas para números grandes, este processo pode ser muito trabalhoso. Por isso, veremos algumas regras práticas, ditas Critérios de Divisibilidade, mais utilizados na prática. ∗∗∗∗ Um número natural é: 1º) Divisível por 2: “Quando é par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 “. Exemplos: 134, 280, 576. 2º) Divisível por 3: “Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 3”.


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Exemplos: a) 135 é divisível por 3. b) 3574 não é divisível por 3.

3º) Divisível por 4: “Quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4”. Exemplos:

a) 4872 é divisível por 4. b) 301 não é divisível por 4. c) 35 700 é divisível por 4.

4º) Divisível por 5: “Quando termina em 0 ou 5”. Exemplos: a) 32 570 é divisível por 5. b) 895 é divisível por 5. c) 1346 não é divisível por 5. 5º) Divisível por 6: “Quando é divisível por 2 e por 3”. Exemplos:

a) 504 é divisível por 6. b) 2502 é divisível por 6. c) 6718 não é divisível por 6.

5º) Divisível por 9: “Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9”. Exemplos :

a) 7344 é divisível por 9 b) 5613 não é divisível por 9.

6º) Divisível por 10: “Quando termina em zero”. Exemplos :

a) 350, 32.700, 45.000, 62030, são divisíveis por 10. 7º) Divisível por 15: “Quando é divisível por 3 e por 5”. Exemplos :

a) 90, 120, 285 e 960 são divisíveis por 15. b) 365 não é divisível por 15.

Números Primos Um número primo é um número natural que admite exatamente dois divisores distintos. O conjunto dos números primos é o conjunto P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... }


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∗ Os números naturais que admitem mais de dois divisores são ditos números compostos ; ∗∗ O número 1 não é primo nem composto; ∗∗∗ O único número primo par é o 2. Decomposição em Fatores Primos ( ou Fatoração ) Divide-se o número dado, sucessivamente, pelos números primos, até obter o quociente 1. Exemplo: decompor 90 em fatores primos. 90 2 45 3 15 3 Logo, 90 = 2 . 32 . 5 5 5 1

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Exemplo: Obter o mínimo múltiplo comum de 6 e 9, ou seja, mmc(6,9). M(6) = { 0, 6, 12, 18, ...} M(9) = { 0, 9, 18, 27, ...} Os múltiplos comuns formam o conjunto intersecção M(6) ∩ M(9) = ................ = { 0, 18, 36, ...} e o mmc(6,9) é o menor número não nulo deste conjunto, ou seja, mmc(6,9) = 18. Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos Exemplo: obter mmc(6,8,15). 6, 8, 15 2 Daí, mmc(6,8,15) = 23 . 3 . 5 = 120 3, 4, 15 2 3, 2, 15 2 3, 1, 15 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Exemplo: Obter o máximo divisor comum de 6 e 20, ou seja, mdc(6,20). D(6)= { 1, 2, 3, 6 } D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } Os divisores comuns formam o conjunto intersecção D(6) ∩ D(20) = { 1, 2 } e o maior número deste conjunto é o mdc(6,20), ou seja, mdc(6,20) = 2. Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos

“Todo número natural não primo e maior que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos”.


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Exemplo: obter o mdc(18,60) 18, 60 2 9, 30 2 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 Os números em negrito são os divisores comuns. O produto deles é o mdc(18,60), ou seja, mdc(18,60) = 2 . 3 = 6.

EXERCÍCIOS

01) Dois trenzinhos de um zoológico saem do ponto inicial no mesmo instante. Se o 1º trenzinho parte de 20 em 20 minutos e o 2º de 25 em 25 minutos, após quanto tempo ocorrerá uma nova partida simultânea? Resp.: após 100 min 02) (ESAF) Numa corrida de automóveis, o 1º corredor dá a volta completa na pista em 10 s; o 2º em 11s e o 3º em 12s. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento que passarão juntos na linha de saída? Solução: 1º) mmc(10,11,12) = 660 s 2º) 660 /10 = 66 voltas; 660 / 11 = 60 voltas; 660 / 12 = 55 voltas Resp.: 66, 60 e 55 03) (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em a) 9 de dezembro de 2004 b) 10 de dezembro de 2004 c) 8 de janeiro de 2005 d) 9 de janeiro de 2005 e) 10 de janeiro de 2005 Solução: 1º) mmc(15, 18) = 90 dias 2º) Contando 90 dias a partir de 10/10/2004 chegaremos ao dia 08/01/2005. Resp.: c


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04) (FAURGS) O menor número inteiro que, ao ser dividido por 3, 5, 7 ou 9, deixa resto 2 é: a) um número par b) divisível por 21 c) menor que 100 d) maior que 900 e) maior que 300 e menor que 400

Solução: 1º) mmc(3,5,7,9)= 315 2º) 315 + 2 = 317. Resp.: e

05) (FCC) Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em grupos de 4, 5 ou 6 pessoas, sempre sobrarão 3 trabalhadores. A empresa pretende aumentar o número de seus trabalhadores para 80. Para isso, o número de novos trabalhadores que ela deverá contratar é

a) 12 b) 17 c) 20 d) 25 e) 60

Solução: 1º) mmc(4,5,6) = 60 2º) 60 + 3 = 63 3º) 80 – 63 = 17. Resp. : b

06) Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio plástico. Esses rolos, medindo 450 cm e 756 cm, serão divididos em pedaços iguais e de maior tamanho possível, não devendo haver sobras. Calcule: a) o comprimento de cada pedaço; b) o número de pedaços obtidos em cada rolo. Solução: 1º) mdc(450, 756) = 18 cm 2º) 450 / 18 = 25 pedaços; 756 / 18 = 42 pedaços. Resp.: a) 18 cm b) 25 e 42 . 07)(FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recepientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recepientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recepientes necessários para essa distribuição é

a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 Solução: 1º) mdc(132,156) = 12 comprimidos 2º)132/12 = 11 recepientes p/ analgésico; 156/12 = 13 recepientes p/ antibiótico. Total = 11 + 13 = 24 recepientes. Resp.: a


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08) Determine o número de divisores de a) 40 b) 72 c) N= am. bn, onde a e b são números primos Resp.: a)8; b)12; c) (m+1).(n+1). 09) O número natural N= 7.82.25p tem 154 divisores. Determine p. Resp.: p=5 10) O número natural N= 94816a, onde a é o algarismo das unidades, é divisível por 15. O valor de a é a)0 b)2 c)3 d)4 e)5 Solução: Se N é divisível por 15, N é divisível por 3 e por 5. Então: 1) N é divisível por 3 ⇒ 9+4+8+1+6+a = 28+a é divisível por 3; 2) N é divisível por 5 ⇒ ou a = 0, ou a = 5. Basta agora testar a em 28+a , para ver que, se a = 0 N não é divisível por 3, e, se a = 5, N é divisível por 3. Resp.: e 11) (FCC) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se lembrar por inteiro do número de seu telefone. Lembrava-se apenas do prefixo (constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada que lhe deu a seguinte informação: “lembro-me apenas de dois dos algarismos do número que você quer: o das dezenas que é 3, e o das centenas que é 4”. Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Solução: de acordo com o enunciado do problema, os últimos 4 números do telefone são x43y, sendo x43y um número div. Por 15. Então, x43y é div. Por 3 e por 5.

1) x43y é div. Por 3 ⇒ x+4+3+y = x+y +7 é div. Por 3; 2) x43y é div. Por 5 ⇒ ou y = 0, ou y = 5.

Se y = 0, x+y+7 = x+7 será div. Por 3 para x = 2, 5 ou 8 ( 3 possibilidades); se y = 5, x+y+7 = x+12 será div. Por 3 para x = 0,3,6 ou 9 ( 4 possibilidades). Assim, temos um total de 3+4 = 7 possibilidades. Resp.: c 12) (UFRGS) O resto da divisão do produto 123456 x 654321 por 6 é a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 Solução: como 123456x654321 é divisível por 6, porque o fator 123456 é divisível por 6, o resto na divisão de 123456x654321 por 6 é zero. Resp.: a 13) (UFRGS) O algarismo das unidades do número natural ( 610 + 1 ) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 Resp.: 7


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14) (FAURGS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo: I) 10n + 2 II) 2.10n + 1 III) 10n+3 – 10n Quais são divisíveis por 6? Resp.: Apenas I e III

P.M.S.

15) (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. Comprimento(m) Largura(m) Espessura(mm) B1 23,10 0,18 1,5 B2 18 0,18 1,5 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é

a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149

Solução: o menor número de folhas equivale a folhas com o maior comprimento possível. Assim, podemos usar o mdc. 1) mdc(2310, 1800) = 30 cm (transformamos m em cm); 2) 2310 / 30 = 77 folhas ; 1800 / 30 = 60 folhas. Total = 77 + 60 = 137 folhas. Resp.: b 16) (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 Solução: Problema semelhante ao anterior (“Pega ratão”). A menor quantidade de pacotes equivale a pacotes com o maior número possível de canetas em cada um.


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1) mdc(224,160)= 32 2) 224 / 32 = 7; 160 / 32 = 5

3)Total 7 + 5 = 12 pacotes. Resp.: c 17) (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? a) 33 b) 48 c) 75 d) 99 e) 165 Resp.: a

18) (FCC) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições X, Y e Z realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em a) julho de 2015 b) junho de 2014 c) julho de 2013 d) janeiro de 2012 e) fevereiro de 2011 Resp.: d 19) (FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o

a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 Resp.: c

20) (FCC) Suponha que num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Solução:

1) Como cada um dos 3 elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, temos as seguintes possibilidades: (4,4,4), (7,7,7), (4,4,7) ou (7,7,4) (não estamos considerando a ordem);

2) Totais de títulos vendidos pelo grupo: 12, 21, 15 e 18, respectivamente. Vemos que os totais são todos múltiplos de 3. Resp.: a


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►OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição Para quaisquer números inteiros a, b e c valem as seguintes propriedades : A1) Fechamento: (a+b) é um número inteiro A2) Associativa: (a+b) +c = a+ (b+c) A3) Elemento neutro: a + 0 = a ( zero é o elemento neutro na adição) A4) Elemento oposto ( ou simétrico ): a + (-a) = 0 (-a é o oposto de a) A5) Comutativa: a+b = b+a Subtração A subtração é a operação inversa da adição. Assim, por definição, a diferença entre dois números inteiros é igual a soma do primeiro com o oposto do segundo, ou seja, a – b = a + (-b). Multiplicação O sinal do produto de dois números inteiros segue a seguinte regra:

Exemplos (+5). (+10) = 50 (-3).(-15) = 45 (+6).(-8) = -48 Propriedades Para quaisquer números inteiros a, b, e c valem as seguintes propriedades: M1) Fechamento: (a . b) é um número inteiro M2) Associativa: a(b.c) = (a.b)c M3) Elemento neutro: a.1 = a ( 1 é o elemento neutro ) M4) Comutativa: a.b = b.a M5) Distributiva: a(b ± c) = a.b ± a.c Divisão O sinal do quociente de dois números inteiros segue a mesma regra de sinais dada na multiplicação, ou seja,

Exemplos (+8) : (+4) = 2 (-15) : (-3) = 5 (-60) : (+10) = -6 Propriedades Nenhuma das propriedades da multiplicação de inteiros vale na divisão.

sinais iguais ⇒ produto positivo; sinais diferentes ⇒ produto negativo.

sinais iguais ⇒ quociente positivo; sinais diferentes ⇒ quociente negativo.


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Observação: cuidado com o zero ! Para qualquer número inteiro a ≠ 0, temos 0 : a = 0. Mas a : 0 é impossível . Por exemplo, 0 : 3 = 0, mas 3 : 0 é impossível.; Potenciação Sendo a um número inteiro diferente de zero e n um número natural diferente de zero, define-se a potência an por an = a.a.a.a…..a ( produto com n fatores ) O sinal da potência an pode ser obtido pela seguinte regra prática :

Exemplos (-4)2 = 16 25 = 32 (-2)3 = -8 (-1)100 = 1 (-1)201 = -1 Notas 1ª) a0 = 1 ( a ≠ 0 ). 2ª) (-a)2 ≠ - a2 ( a ≠ 0) Por exemplo, (-3)2 = 9 e –32 = -9. Propriedades A potenciação de números inteiros goza das seguintes propriedades: P1) Fechamento: an é um número inteiro P2) Produto de potências de mesma base: am. an = am+n P3) Quociente de potências de mesma base : am: an = am-n P4) Potência de potência: (am)n = amn P5) Potência de um produto: (a.b)n = an. bn P6) Potência de um quociente: (a : b)n = an: bn

EXERCÍCIOS 01) (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão de n por 4 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp.: d “Dica” para os testes : 02, 03 e 04

quando o expoente é par, a potência é um número positivo; quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.

Algoritmo de Euclides Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, tem-se sempre 0 ≤≤≤≤ r <<<< b.


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02) (TJ) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem apenas um algarismo, os divisores possíveis são

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) 4, 5, 6 c) 7 d) 7, 8, 9 e) 8, 9

Solução : a = bq + 7, onde a= dividendo, b= divisor, q = quociente e resto = 7. De acordo com o Algoritmo de Euclides (dado acima), 7< b, ou seja, b> 7. Como o divisor deve ter apenas 1 algarismo, b = 8 ou 9. Resp.: e 03) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é? Resp.: 10 04) Numa divisão de inteiros, a soma do dividendo com o divisor é 62. O quociente é 5 e o resto é o maior possível. A diferença entre o dividendo e o divisor é a) 44 b) 45 c) 46 d) 57 e) 59 Resp.: a

05) (FAURGS) A soma dos números inteiros que tornam a fração x

x

−+

2

3 positiva

é a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

Resp.: a 06) Dividindo o número inteiro x pelo número inteiro y, obtém-se quociente 1 e resto 5. Se o quádruplo de y dividido por x dá quociente 2 e resto 8, então:

a) x+y = 32 b) y-x = 5 c) x-y = 5 d) x.y = 76 e) x = 2y Resp.: c

07) (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resp.: c


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08) (FCC) Bento e Caio tinham juntos R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, Bento tinha

a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d) R$ 52,00 e) R$ 50,00 Resp.: d

09) (FCC) Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em x caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas x-3 caixas e, com isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente. Nessas condições, o número de processos colocado em cada caixa foi a) 24 b) 22 c) 21 d) 17 e) 15 Resp.: a

10) (FCC) Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois técnicos judiciários-Casimiro e Domitila- prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento,as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: - primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; - em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de a) Casimiro era 18 b) Domitila era 14 c) Casimiro era 20 d) Domitila era 15 e) Casimiro era 24 Resp.: c

11) Usando os produtos notáveis (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 calcule: a) 1012 b) 992 Resp.: a) 10.201 b) 9.801 12) Calcule mentalmente, usando o produto notável (a+b)(a-b)= a2 – b2 : a) 62 – 52 b) 212 – 202 c) 512 – 502 d) 432 – 422 Resp.: a) 11 b) 41 c) 101 d) 85

13) Calcule a2 + 2ab + b2 sabendo que a+b = 10. Resp.: 100

14) (FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto é igual a 20, a soma de seus quadrados é igual a a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80 Resp.: d


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NÚMEROS RACIONAIS

Obs.: Ao ler o texto que segue, lembre sempre que número racional é um número inteiro ou fracionário. ►OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Adição A adição de números racionais goza das mesmas propriedades da adição de números inteiros: Fechamento, Associativa, Elemento neutro, Elemento oposto e Comutativa ( veja em Números Inteiros ). Multiplicação A multiplicação de números racionais goza das mesma propriedades da multiplicação de números inteiros, ou seja: Fechamento, Elemento neutro, Comutativa e Distributiva (veja em Números Inteiros), mais a propriedade do elemento inverso: M6) Elemento inverso: para todo número racional a ≠ 0, existe um número

racional a-1 = a

1 tal que a. a-1 = 1.

O número a-1 = a

1 é dito inverso de a.

Potenciação A potenciação de números racionais goza das mesmas propriedades da potenciação de números inteiros ( veja Números Inteiros ). ∗∗∗∗∗∗∗∗ Expoente negativo

Para todo número racional b

a ≠ 0, temos:

Exemplos:

a) 22

5

6

6

5

=

−

b) 3

7

3

7

7

311

=

=

−

c) 3-4 = 4

44

3

1

3

1

1

3=

=

−

n

=

a

b

b

a-n


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EXERCÍCIOS

01. Efetue: a) 2/5 + 3/5 – 1/5 b) 2/3 – 3/5 – ½ c) 4 – 3/2 + 2/3 d)3 –1/4 +2 + 1/5 Resp.: a) 4/5 b)-13/30 c) 19/6 d) 99/20

02. Efetue: a) 2/3 x 1/5 b) 2/5 x 4/3 c) 3/5 x (-2/7) d) (-1/6) x (-1/4)

Resp.: a) 2/15 b) 8/15 c) –6/35 d) 1/24

03. Efetue: a) 2/3 : 4/5 b) (-1/4) : (-1/5) c) 2/3 : (-2/3) d) (-3) : (-1/2)

Resp.: a) 5/6 b) 5/4 c) -1 d) 6

04. Efetue: a) (3/5)2 b) (-1/2)3 c) (-1/2)5 d) (3/7)0

Resp.: a) 9/25 b)-1/8 c)-1/32 d) 1

05.(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por

a) 1,25 b) 12,5 c) 1/80 d) 80 e) 125/100

Resp.: d

06. (FCC) Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por um número inteiro a) maior que 5 000 b) menor que 100 c) compreendido entre 100 e 400 d) compreendido entre 400 e 1 000 e) compreendido entre 1 000 e 5 000 Resp.: d 07. (FCC) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo que cada uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi a) R$ 729,99 b) R$ 882,00 c) R$ 918,00 d) R$ 1 089,00 e) R$ 1 260,00 Resp.: d 08. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que : 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e ¼ numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era a) 18 b) 24 c) 27 d) 30 e) 34


17

Resp.: b 09. (FCC) Certo dia, durante o almoço, o restaurante de uma empresa distribuiu aos usuários 15 litros de suco de frutas, que vem acondicionado em

pacotes que contêm, cada um, 3

1 de litro. Se todos os freqüentadores tomaram

suco, 17 dos quais tomaram cada um 2 pacotes e os demais um único pacote, o total de pessoas que lá almoçaram nesse dia é

a) 23 b) 25 c) 26 d) 28 e) 32 Resp.: d

10. (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era

a) 11,475 b) 39,25 c) 40,5 d) 42,375 e) 45,5 Resp.: c

11. Há 19 anos, uma pessoa tinha ¼ da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em anos está hoje entre

a) 22 e 26 b) 27 e 31 c) 32 e 36 d) 37 e 41 e) 42 e 46 Resp.: b

12. (FCC) Considere as seguintes equivalências de preços, em reais: O de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de ao de 5 cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser comprados com R$ 32,00? a) 102 b) 100 c) 98 d) 96 e) 94 Resp.: b 13. (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando o seguinte procedimento: - nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 Resp.: a


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►REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS RACIONAIS Todo número racional pode ser representado por uma forma decimal exata ou

periódica. Por exemplo, 7 = 7,0 e 5,02

1= são decimais exatas e

...33333,03

1= é uma decimal periódica ou uma dízima periódica.

A fração que origina uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica. A determinação da geratriz de uma dízima periódica é importante, já que não podemos operar diretamente com uma dízima periódica. Isso tiraria a precisão do nosso cálculo. Uma dízima periódica pode ser simples ou composta. Veremos através dos exemplos a seguir, como determinar a fração geratriz de uma dízima periódica qualquer( simples ou composta). Exemplo 1- Determine a geratriz das dízimas periódicas simples:

a) 0,555... b) 0,2323... c) 1,222... d) 1,4545...

Solução:

a) x= 0,555... ⇒ 10x = 5,555...

10x – x = 5,555... – 0,555... , ou seja, 9x = 5 ⇒ x = 9

5

b) x= 0,2323... ⇒ 100x = 23,2323...

100x – x = 23,2323… - 0,2323…, ou seja, 99x = 23 ⇒ x = 99

23

c) Basta fazer 1,222... = 1 + 0,222 = 1 + 2/9 = 11/9.

d) Fazer 1,454545... = 1 + 0,454545 = 1 + 45/99 = 16/11 .

Exemplo 2- Determine a geratriz das dízimas periódicas compostas:

a) 0,2555... b) 0,5333... c) 1,2444... d) 3,74151515...

Solução:

a) Basta fazer 0,2555... = ...10

...555,02

10

...555,2=

+= = 23/90

b) Fazer 0,5333... = ...10

...333,05

10

...333,5=

+= = 8/15

Regra Prática

Para obter a geratriz de uma dízima periódica do tipo 0, PPP... , onde P é o período , basta dividir o período P por 9, 99, 999, etc, conforme o número de algarismos do período seja, respectivamente, 1, 2, 3, etc.


19

c) Fazer 1,2444... = ...10

...444,012

10

...444,12=

+= = 56/45

d) 3,74151515...=

300.3

347.12

100

33

5374

100

99

15374

100

...151515,0374

100

...151515,374=

+=

+=

+=

►OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

01) Determine as somas: a) 0,004 + 1,006 b) 15,2 + 1,45 c) 1,0005 + 2,9995 d) 0,12 + 5 + 14,88 e)2,35 + 1,483 + 1

Resp.: a) 1,01 b) 16,65 c) 4 d) 20 e) 4,833

02) Determine as diferenças:

a) 0,4 – 0,008 b) 5,76 – 3 c) 2,547 – 1,5 d) 5 – 1,32 e) 8 – 3,6

f) 1- 0,042

Resp.: a) 0,392 b) 2,76 c) 1,047 d)3,68 e) 4,4 f) 0,958 03) Efetue:

a) 2,43 + 0,625 – 1,8 b) 3,65 + 2,35 – 5,095 c) 0,87 – 0,5 + 1,413 – 0,96

d) 1 – 0,4771 – 0,301 e) 10 + 4,2 + 6,5 – 0,8

Resp.: a) 1,255 b) 0,905 c)0,823 d) 0,2219 e)19,90

04) Determine os produtos:

a) 3,2 x 0,1 b) 6 x 1,5 c) 2,7 x 1,8 d) 7,68 x 0,054 e) 0,2 x 0,02 x 0,002 f) 1,24 x 0,3 x 6 g) 0,28 x 3,5 x 8 h) 0,4020 x 5

Resp.: a) 0,32 b) 9 c) 4,86 d) 0,41472 e) 0,000008 f) 2,232

g) 7,84 h) 2,01 05) Determine os quocientes exatos:

a) 213 : 15 b) 24 : 200 c) 1 : 40 d) 2,4 : 0,8 e) 25,872 : 12

f) 1,2 : 0,05 g) 0,0972 : 0,08 h) 13 : 325 I) 0,284 : 142 j) 79,3 : 26

k) 24,036 : 12 Resp.: a) 14,2 b) 0,12 c) 0,025 d) 3 e) 2,156 f) 24 g) 1,215 h) 0,04 I) 0,002 j) 3,05 k) 2,003

Os exercícios dados a seguir, tem por objetivo fazer uma breve revisão de como operar com números racionais representados na forma decimal.


20

06) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,1

(precisão de décimos):

a) 3 : 4 b) 1,25 : 0,4 c) 0,372 : 0,03 d) 1 : 3 e) 0,3407 : 0,42

f) 443,36 : 81,2

Resp.: a) 0,7 b) 3,1 c) 12,4 d) 0,3 e) 0,8 f) 5,4

07) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,01

(precisão de centésimos) :

a) 8 : 3 b) 0,0132 : 0,3 c) 0,188 : 1,2 d) 3,8797 : 1,5 e) 1,7153 : 0,9

f) 16,58 : 8 g) 51,6 : 15

Resp.: a) 2,66 b) 0,04 c) 0,15 d) 2,58 e) 1,90 f)2,07 g) 3,44

NÚMEROS REAIS

Os números que não admitem representação decimal exata nem periódica, ou seja, os números reais que não são racionais, são chamados de números irracionais. Por exemplo:

2 = 1,4142135623... , =π 3,14159265... , e=2,718282... (Nº de Euler). De um modo geral, o número do tipo p , onde p é um número primo sempre

é um número irracional. Por exemplo, 3 , 5 , 7 , são números irracionais. A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é o conjunto dos números reais, ou seja,

R = { xx∈∈∈∈Q ou x ∈∈∈∈I } = Q ∪∪∪∪ I

►INTERVALOS

01) Defina usando a notação de conjuntos e represente geometricamente (na reta orientada) os intervalos seguintes: a) [2, 5] = b) (1, 4) = c) [0, 3) = d) (-1, 5] = e) [0, +∞) = f) (-∞, 1] = g) (-2, +∞) = h) (-∞, 7) =

Observação: As propriedades das operações de Adição, Multiplicação e Potenciação de números reais são as mesmas dos números racionais.


21

02) Dados os intervalos A = [1, 4] e B = [2, 7], determine: a) A ∩ B b) A ∪ B c) A – B Resp.: a) [2, 4] b) [1, 7] c) [1, 2) ► RADICAIS 01) Propriedades da Radiciação no conjunto R:

P1) n ma = am/n P2) n a.b = nn ba. P3) n

ba

= n

n

b

a P4) ( n a )m = n m

a

P5) m n a = mn a

02) Simplifique:

1) 3 122

2) 3 23ba

3) 5 615 a.2

4) 4 6x512

5) 52y27x

Resp.: 1) 16 2) a 3 2b 3) 8a 5 a 4) 4x 4 2x2 5) 3xy2 y3

03) Simplifique: 1) 2 3 + 4 3

2) 5 + 5 5 - 7 5

3) 8 + 18 + 50

4) 2 . 3


22

5) 5 . 2

6)3 2 . 2 3

7) 2 . 3 3

8) 2 . 3 2 . 4 2

Resp.: 1) 6 3 2) - 5 3) 10 2 4) 6 5) 10 6) 6 6

7) 6 72 8) 212 2 .

2. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

►RAZÕES Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chama-se razão entre a e b ao

quociente b

a .

Na razão b

a (ou a : b) a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo

termo ou consequente. Exemplos: 1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades

de Tiago e de Rodrigo é 7

5

14

10= .

2. A razão entre 10

3 e

5

2 é

34

310

x52

10352

==

3. A razão entre um trimestre e um ano é 4

1.

4. A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é 2

5

24

60=


23

EXERCÍCIOS

1. Determine a razão entre

a) 3 e 7

6

b) 3

1e

2

1

c) 1,5 e 5

d) 7 e 2

13

Resp.: a) 2

7; b)

2

3; c)

10

3; d) 2

2. Numa razão igual a 2/5 o antecedente é 8. Determine a razão.

Resp.: 20

8

3. O triplo do conseqüente de uma razão igual a 3/7 é 63. Determine o antecedente e a razão inversa.

Resp.: 9 e 9

21

4. Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos por arremessos? Resp.: André 5. O perímetro de um triângulo é 28m e o lado de um quadrado mede 0,09hm. Qual é a razão entre os perímetros dessas figuras? Solução: como 0,09 hm = 9 m, o perímetro do quadrado é 4x9= 36m e a

razão entre os perímetros do triângulo e do quadrado é 9

7

36

28= .

Resp.: 9

7

6. Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto? Resp.: 1/5 e 1/6. 7. Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão original é a) 54/57 b) 30/33 c) 33/36 d) 42/45 e) 18/21 Resp.: d


24

►PROPORÇÕES Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões.

Uma proporção com duas razões é representada por d

c

b

a= ou a : b : : c : d

(lê-se “a está para b assim como c está para d”), sendo a e d os extremos e b e c os meios. Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Isto é: ⇒=d

c

b

a ad = bc

Aplicação: Calcular x na proporção 20

1x

5

3 += .

Pela propriedade fundamental, temos 5 (x+1) = 20.3 ⇒ 5 (x+1) = 60 ⇒ x+1 = 12 ⇒ x = 11. • Nota: Como consequência da propriedade fundamental, temos que, se

d

c

b

a= então:

a) a

c

b

d e

d

b

c

a== (troca dos meios ou dos extremos);

b) c

d

a

b= (inversão das razões).

EXERCÍCIOS Calcule o valor de x nas proporções:

01. 6,25

x

5

2=

02.

8

12

4

0,753

x

−=

−

03. x

4

32

4

32

3+

=−

Resp.: 1) 2,5 2) 5

24 3)

48

55


25

04. Uma foto de dimensões 3cm x 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura?

Resp.: 21cm

05. A soma dos perímetros de dois quadrados é 52m. Determine esses

perímetros sabendo que a razão entre eles é 10

3.

Resp.: 12m e 40m

06. A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de 1

3. Qual a idade de

cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos?

Resp.: 36 anos e 12 anos

07.(FDRH)Um pai tem 36 anos e sua idade é 5

4 da soma das idades de seus

dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas estão entre si como 4 está para 5?

Solução:

=

=+

5

4

36)(5

4

y

x

yx

Resolvendo este sistema obtemos x = 20 e y = 25.

Resp.: 20 anos e 25 anos.

08. (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa mistura?

a) 135 000

b) 32 400

c) 1 350

d) 324

e) 135

Solução: Numa mistura com 6 litros, a razão entre álcool e gasolina é 5

1 e a

razão entre a gasolina e o total da mistura é .6

5 Assim, podemos escrever a

proporção: 1626

5 x= , donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3.

Resp.: a


26

09. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 400,00

Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo

=+

=

680023

4

3

BA

B

A

obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400.

Resp.: e 10. (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão:

,

3

13

13

13

−−

−=m

h em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o

total de participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto afirmar que : a) h+m=158 b) h-m=68 c) 70<h<100 d) 50<m<70 e) m.h<4000 Resp.: b

►DIVISÃO PROPORCIONAL 01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões de números a) diretamente proporcionais; b) inversamente proporcionais. Solução: a) Os números serão diretamente proporcionais se

A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5. b) Os números serão inversamente proporcionais se

A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5.

kd

c

b

a=====

10

4

6

21

2 ( no caso, k=2).

2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2).


27

02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6. Solução: 1) x = 9k, y = 8k, z = 6k. 2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e z=6.4=24. Resp.: 36, 32 e 24. 03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4. Solução:

1) x = 2

k, y =

3

k, z =

4

k;

2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39. Resp.: 78, 52 e 39 04) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, sabendo que a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60. Solução: Substituíndo

===

kz

ky

kx

6

4

3

em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72.

Resp.: 72. 05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Calcule esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°. Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°. 06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que: -Alberico tem 36 anos; -Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem em 12 anos; -caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que a) as idades dos três somam 105 anos. b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. c) Corifeu tem 28 anos. d) Alberico deverá arquivar 120 processos. e) Benivaldo tem 35 anos. Resp.: d 07) Decomponha 520 em partes inversamente proporcionais a 8/5, 12/5 e 16/5. Resp.: 240, 160 e 120.


28

08) O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobre com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão? Solução:

substituindo

==

kz

kc

3

7 em c+z = 150 obtemos k = 15. Daí, c= 105 e z= 45.

Resp.: 105g de cobre e 45g de zinco. 09) Um pai tem 4 filhos na escola. No final do ano, como todos foram aprovados, distribuiu $3.700,00 entre eles, de maneira inversamente proporcional às suas faltas. Se o primeiro teve 2 faltas, o segundo 4, o terceiro 8 e o quarto 20, quanto recebeu cada um? Resp.: $2.000,00, $1.000,00, $500,00 e $200,00. 10) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a a) 1, 3 e 6. b) 1, 4 e 6. c) 1, 5 e 6. d) 1, 6 e 7. e) 1, 7 e 8. Resp.: c 11) (FCC) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi a) 87 b) 85 c) 70 d) 68 e) 65 Resp.: b

FCC

Atenção: Para responder às duas questões a seguir, use os dados do texto seguinte.

12) Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional, então, se Julião levou duas horas e 30 minutos para arquivar sua parte, Cosme arquivou a sua em a) 1h30min b) 1h40min c) 1h50min d) 2h10min e) 2h40min Resp.: b

Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente.


29

13) (FCC) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas por Julião e Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles cumpriram o total de 28 horas extras, é correto afirmar que a) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras b) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme c) Julião cumpriu 8 horas extras a mais que osme d) O número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme e) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião Rep.: b

14) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas participado com R$ 11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3 dias por semana. Após algum tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma. Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior capital é a) R$ 2.200,00 b) R$ 4.400,00 c) R$ 5.400,00 d) R$ 6.600,00 e) R$ 7.400,00 Solução:

====

kky

kkx

00027.3.9000

00022.2.11000

Substituíndo em x + y = 9 800 obteremos k =5

1 e daí, x = 22 000.

5

1=

=4.400,00. 15) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 5, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 6,3 e 4.

Solução: x = 4

10,

3

8,

6

5 kz

ky

k== =

2

5k. Substituindo em x + y + z = 360,

obtemos k = 60. A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150. Resp.: 50,160 e 150.

“Dica” : Se x é um número 1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ;

2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab

k;

3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo

tempo, escrevemos x =b

ak.


30

16) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é f) 4 meses g) 4 meses e meio h) 5 meses i) 5 meses e meio j) 6 meses Resp.: a 17) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos) João 36 8 Maria 30 12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 Resp.: c 18) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 Resp.: c

►REGRAS DE TRÊS São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais.

Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) quando os valores numéricos assumidos por elas são, respectivamente, números direta ou inversamente proporcionais.


31

Exemplos: 1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y:

Resp.: x = 8

Resp.: x=2, y=3,5

2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais. Determine x:

Resp.:x=12

Resp.: x=5

REGRA DE TRÊS Simples: Direta: envolve duas GDP

Inversa: envolve duas GIP

Composta: envolve mais de duas grandezas

Exemplos

1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?

5m 600

8m x

Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:

9605

8.600x

x

600

8

5==⇒=

Resp.: $ 960

2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h? 80km/h 4h

64km/h x

Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:

564

80.4x

4

x

64

80==⇒=

Resp.: 5 horas

A 20 30 40 B 4 6 x

A 10 8 14 B 2,5 x y

A 6 12 B 24 x

A 8 x B 10 16


32

3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças?

GIP GDP

4 máquinas 8 dias 600 peças

2 máquinas x dias 900 peças

Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP. Assim, temos:

24x900

600

4

2

x

8=⇒⋅=

Resp.: 24 dias

4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira?

8h 1000 m dif. 4 10d

xd 6h 2000 m dif. 3

20x3

4

2000

1000

8

6

x

10=⇒⋅⋅=

Resp.: 20 dias

EXERCÍCIOS

01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de farinha que se obtém com 480 kg de trigo?

Resp.: 408 kg

02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no mesmo instante, é 0,9 m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara tem 2 m de comprimento.

Resp.: 10m

03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas para avançar 77 mm?

Resp.: 14

04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são escoados em 8 minutos?

Resp.: 160


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05. (FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O número de hectares necessários para se plantar 200 mil sementes é...

Resp.: 4 06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?

a)2h7min b)2h5min c)1h57min d)1h43min e)1h36min

Solução:

1) Em 1h, A e B limpam juntos: 12

7

3

1

4

1=+ do salão.

2)

1............

12

7..........1

x

h

Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x

=7

12

12/7

1.1= h, ou seja x = 1h43min aproximadamente.

Resp.: d

07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, a) 1 hora e 40 minutos b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos c) 2 horas e 20 minutos d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos e) 2 horas e 54 minutos Resp.: b 08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Resp.: e 09. Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. Dois dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antônio, sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho, Antônio levaria ? Resp. : 50 dias


34

10. (FCC) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por dia. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por dia, a quantas pessoas? a) 71 b) 75 c) 78 d) 81 e) 85 Resp.: d 11. (FAURGS) Para se fazer a estimativa do número de pessoas presentes na apresentação de um conjunto musical, considerou-se que cada metro quadrado, do local da apresentação, foi ocupado por 5 pessoas. Se o conjunto apresentou-se em uma praça de 0,80 hectares, completamente lotada, o número estimado de pessoas presentes na praça é a) 4000 b) 4500 c) 25000 d) 40000 e) 45000 Resp.: d 12. (FAURGS) Em média, a massa de um grão de certo feijão é 2,4.10-2 g. Em 6 kg desse feijão, existem, portanto, a) 2.500 grãos b) 20.000 grãos c) 25.000 grãos d) 150.000 grãos e) 250.000 grãos Resp.: e 13.(FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O número de horas correspondente a esse tempo é a) 0,25.10-3 b) 2,5.10-3 c) 25.10-3 d) 2,5.10-1 e) 0,25.10 Resp.: b 14 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? a) 36 b) 35,5 c) 34 d) 33,3 e) 32 Resp.: a

15. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de voltas da primeira, quando a segunda dá 600 voltas por minuto?

Solução:


35

xdentes

vdentes

..........50

min/600.........40

Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos

60050

40 x= e daí obtemos x = 480 v/min.

Resp.: 480

16. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resp.: e

17. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina(água e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 3%(sal) é

a) 90g b) 94g c) 97g d) 98g e) 100g

Resp.: e 18. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias? Resp.: 250 19. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? Resp.: 16

20. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia?

Resp.: 18 dias

21. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108.000 bombons?

a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e)5

Resp.: c

22. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Resp.: c


36

23. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia?

Resp.: 4

24. Se 32 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6

horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em...

Resp.: 2 dias

25. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. Utilizando-se os mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas ele terá com 45 linhas por página e 50 letras por linha?

Resp.: 288 26. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e meio. Aumentando de 400 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, em quanto tempo os operários construiriam um outro canal com o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura dupla do primeiro?

Resp.: 42 dias

27. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de comprimento, trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte operários, com capacidade 4, trabalhando 12 horas por dia, num terreno de dificuldade 2, abririam uma vala de quantos metros de comprimento?

Resp.: 576m

28. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 200 dias e 8 horas de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre gando 45 homens. Em quantos dias de trabalho concluirá a preparação de outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10 máquinas e 48 homens

em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é 5

4

da do trecho concluído? Resp.: 144 dias 29. (FCC) Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de a) 2 minutos e 30 segundos b) 5 minutos c) 6 minutos e 15 segundos d) 7 minutos e) 7 minutos e 30 segundos Resp.: b


37

30. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? Solução: 1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min 9 gatos..............18 sardinhas.......... x min

18

5,1.

5,1

95,1=

x e daí, obtemos x = 3.

Resp.: 3 minutos 31. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come uma galinha em a) 20 minutos b) 40 minutos c) 60 minutos d) 80 minutos e) 100 minutos Resp.: e


38

►PORCENTAGEM Uma porcentagem é uma razão na qual o �squecendo� é 100. Simbologia: % Exemplos:

==

==

==

47,1100

147%147)3

27,0100

27%27)2

05,0100

5%5)1

a) Aumento (acréscimo)

===

aumentodetaxai

finalvalorVf

inicialvalorVo

⇒ Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fator de aumento.

Exemplo:

Vo = $ 50 i = 35% (aumento) Vf = ? ⇒ Vf = 50 x 1,35 = 67,50 b) Diminuição (desconto)

===

descontodetaxai

finalvalorVf

inicialvalorVo

⇒ Vf= Vo (1 – i) , onde 1 – i = fator de desconto.

Exemplo: Vo = $ 120 i = 10% (desconto) Vf= ? ⇒ Vf = 120 x 0,90 = 108 c) Aumentos sucessivos Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in) Exemplo: Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual o valor final da mercadoria? Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121 d) Descontos sucessivos Vf = Vo (1 – i1) (1 – i2)... (1 – in)

Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos sucessivos de 30% e 5%. Qual o valor líquido da fatura? Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133


39

EXERCICIOS 01) Calcule: a) 20% de 800 b) 12% de 200 c) 3,5% de 150 d) 4,7% de 600 Solução:

a) 160800100

20=× ; b) 24200

100

12=× ; c) 25,5150

100

5,3=× ; d) 2,28600

100

7,4=×

02) A quantos por cento representa a) 15 de 150 b) 40 de 50 c) 17 de 200 d) 65 de 1000 Solução:

a) %10150

100.15= ; b) %80

50

100.40= ; c) %5,8

200

100.17= ; d) %5,6

1000

100.65=

03) Escreva na forma de porcentagem os números a) 2/5 b) ¾ c) 4/5 d) 3/2 e) 1,5 f) 7/4 g) 5 Solução:

a) %401005

2=× ; c) %80100

5

4=× ; e) 1,5 × 100=150%; g) 5 × 100= 500%.

04) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 Resp.: c 05) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui também duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a ? Resp.: 60 % 06) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De quantos por cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por igual? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% Resp. : e


40

07) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 180 Resp.: d 08) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda é a) 1/5 b) 2/5 c) 2/3 d) ¾ e) 5/6 Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. Daí:

6

5

120

100==

V

C

Resp.: e 09) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que apresentam, entre si, a razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de y nessa mistura é a) 43,75% b) 47,55% c) 56,25% d) 65,25 e) 87,53 Resp.: c 10) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80 % ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% Resp.: c


41

11) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é a) 42 b) 43 c) 45 d) 48 e) 49 Resp.: b 12) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou 5%. A nova produção de trigo foi de? Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t 13) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o seu tempo. O seu novo tempo é de? Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s 14) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de gorjeta para o garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de? Solução:

Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo = 1501,1

165=

Resp.: $ 150,00 15) Uma escola tem atualmente 4.600 alunos. Sabendo que no último ano, o número de alunos aumentou 15%, o número de alunos no ano anterior era ? Resp.: 4.000 16) Comprei uma mercadoria por $120.000,00 e desejo vendê-la com um lucro de 40% sobre o preço de custo. Por quanto devo vendê-la? Solução: Vf = 120. 000(1,4) = $168.000 17) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto a) baixará de 2%. b) aumentará de 3,2%. c) baixará de 1,8%. d) aumentará de 1,2%. e) permanecerá inalterado. Resp.: a 18) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo


42

a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entra 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. Resp.: b 19) (ESAF) Um terreno foi vendido por $16.500,00 com um lucro de 10%. Em seguida foi revendido por $ 20.700,00. O lucro total das duas transações, representa ,sobre o custo inicial do terreno, um percentual de? Resp.: 38% 20) (PUCRS) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%. Em quantos por cento aumenta a área do quadrado? Resp.: 21% 21) (FAURGS) Um volume Vo sofre um aumento de 20%, resultando no volume V1. O volume V1 sofre uma diminuição de 20%, resultando no volume V2. A razão entre os volume V2 e V0 é? (“Dica” : suponha Vo = 100). Resp.: 96% 22) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º até o dia 15 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o dia 25, sofreu uma queda de 7%. Qual a cotação da ação no dia 25 ? Solução: Vf = 20 x 1,15 x 0,93 = $21,39. 23) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles deu 20% de lucro em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambos, João a) ganhou $1.000,00 b) perdeu $ 1.000,00 c) não perdeu nem ganhou d) perdeu $ 400,00 e) ganhou $ 400,00 Resp.: b 24) (ULBRA) A mensalidade de uma escola é, neste mês, 70. Para o mês seguinte, aumentará 4/5 dos 80% da inflação ocorrida nos últimos 30 dias, que foi de 25%. O valor da mensalidade reajustada será a) 82,00 b) 81,20 c) 87,50 d) 84,00 e) 80,00 Solução:

1)Aumento da mensalidade= 16,0100

25

100

80

5

4=×× ou 16%

2) Vf = 70 × 1,16 = 81,20. Resp.: b 25) (FAURGS) Uma nota fiscal se compõe de duas parcelas: valor dos serviços e 5% deste, como encargos de ISS. Se o total da nota é N, o valor dos serviços é


43

a) 1,05N b) 0,95N c) N/0,95 d) N/1,05 e) N/1,5 Resp.: d 26) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer um reajuste de a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32%

Solução: (1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i = 1,120,1

32,1= ⇒ i = 0,1 ou 10%.

27) (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é a) R$ 254,00 b) R$ 242,00 c) R$ 237,00 d) R$ 220,00 e) R$ 210,00 Solução: 1) Tenho 70% de P. Faltam 30% de P; 2) Com o abatimento de 12% de P, ainda faltam 30%-12%= 18% de P, que correspondem a R$ 54,00; 3)Fazendo-se uma regra de três: 18% de p.................54 70% de P...............x

obtemos x = .00,21018

54.70= A resposta correta é a letra e.

Obs.: para calcular P (que não foi pedido), basta fazer 54.100

18=P , donde

P=R$ 300,00. 28) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou ¼ do número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é a) 20% b) 25% c) 45% d) 50% e) 60% Resp.: e 29) (FAURGS) Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram mulheres. Depois de transferido um certo número de funcionários do sexo masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários. O número de homens transferidos foi a) 5 b) 10 c)15 d)35 e) 45


44

Solução: 1º) 25% de 60 = 15 mulheres; 2º) Sendo t o total de funcionários após a transferência dos x homens,teremos:

15100

30=t e daí obtemos t = 50;

3º) x = 60 – 50 = 10 homens Resp.: b 30) (FAURGS) Em um Tribunal, 30% dos funcionários eram mulheres. Após um concurso, o total de funcionários aumentou 20% e o número de mulheres aumentou 40%. Portanto, o percentual do total de funcionários representado por mulheres, após o concurso, é a) 20% b) 35% c) 45% d) 55% e) 60% Resp.: b 31) (FAURGS) Em 3 kg de arroz, existem 135 g de gordura. O percentual de gordura, nesse tipo de arroz, é, portanto, a) 4,0% b) 4,5% c) 4,8% d) 5,0% e) 5,5%

Solução: 3kg = 3.000 g e %5,43000

100.135=

Resp.: b 32) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua produção. Se, em determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado produto, então, 3 anos após, o número de unidades desse produto produzido pela empresa é estimado em a) 50%(1000)3 b) 3(0,5)1000 c) 1,5(1000.3) d) 1000(1,5)3 e) 1000(0,50)3 Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3 Resp.: d 33) (FAURGS) Certo produto, cujo preço de compra é c, foi vendido por p, com um prejuízo de 40%. Se esse produto fosse vendido por 3p, haveria, em relação ao preço de compra c, um lucro de a) 40% b) 60% c) 80% d) 120% e) 180% Resp.: c (“Dica”: suponha c = 100)


45

34) (FCC) Se y é diferente de zero, e se 4y

x= , então a razão de 2x – y para x,

em termos percentuais, é igual a a) 75% b) 25% c) 57 d) 175% e) 200%

Solução: 1º) Supondo x=4 e y=1, teremos 4

72=

−x

yx

2º) %175100.4

7=

Resp.: d 35) (FCC) Alguns técnicos judiciários foram designados para prestar serviços de segurança em alguns setores da Justiça Eleitoral: X deles para executar a fiscalização de material para votação e, os Y restantes, junto aos órgãos

apuradores. Se X é igual aos 5

3 de Y, então, em relação ao total de agentes

designados, X corresponde a a) 25% b) 37,5% c) 40% d) 60% e) 62,5% Resp.: b

36) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de a) 20% b) 18,4% c) 18% d) 15,2% e) 15% Resp.: d 37) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, ¼ dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, ¼ dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25%


46

}

Resp.: c 38. (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? a) 20,00% b) 21,67% c) 25,00% d) 11,00% e) 33,33% Resp.: c

3. JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

► JUROS SIMPLES Simbologia: C = capital inicial (principal); i =taxa unitária de juros; n = nº de períodos (prazo); J = total de juros em n períodos; M = montante no final de n períodos = C + J

No regime de Juros Simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial C, originando um juro igual a Ci, em todos os períodos. Assim, o total de juros no final de n períodos é: J = Ci + Ci +... +Ci = Cin n parcelas Logo, J = Cin e M = C + J ou M = C(1 + in) Observação: Nas fórmulas acima, a taxa (i) e o prazo (n) devem usar a mesma unidade de tempo. Exemplos: 1) Calcule os juros simples obtidos nos seguintes casos:


47

M

1 + in

17.500

1+0,50×3

{

Capital Taxa Prazo a) $ 2.000 1% a.m. 5 meses b) $15.000 18% a.a. 8 meses c) $18.000 0,2% a.d. 3 meses e 10 dias

a) J = 2.000 × 0,01 × 5 = $ 100 b) J = 15.000 u.m. × 0,18 × 8/12 = $ 1.800 c) J = 18.000 × 0,002 × 100 = $ 3.600 . 2) Qual o capital que produz o montante de $ 17.500, em um ano e meio, à taxa de 50% a.s.? C = ? M = $17.500,00 n = 1 ano e meio = 3 semestres I = 0,50 a.s. M = C(1 + in) ⇒ C = = = 7.000. Logo, C= $7.000,00. TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES De um modo geral, dizemos que duas taxas de juros (simples ou compostos) são Equivalentes, quando, aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais. Seja i = taxa de juros simples no período inteiro, k = nº de períodos nos quais subdividiu-se o período inteiro e ik = taxa em cada um dos k subperíodos. Tomemos um capital C qualquer e o prazo n = 1. Para que i e ik sejam taxas equivalentes, devemos ter C · i · 1 = C · ik · k ⇒⇒⇒⇒ i = k · ik ou ik = . k que é a fórmula das taxas equivalentes em Juros Simples.

Nota: Quando i é a taxa anual (i = ia), os valores mais usuais de k são:

k = 2 ⇒ taxa semestral = is

k = 3 ⇒ taxa quadrimestral = iq

k = 4 ⇒ taxa trimestral = it

k = 6 ⇒ taxa bimestral = ib

k = 12 ⇒ taxa mensal = im

k = 360 ⇒ taxa diária = id

i


48

Para estes valores de k, a fórmula acima desdobra-se em:

ia = 2is = 3iq = 4it = 6ib = 12im = 360id

CAPITAIS EQUIVALENTES (CONCEITO GERAL) O conceito geral de capitais equivalentes, aplicável tanto ao regime de juros simples quanto ao regime de juros compostos é o seguinte:

Exemplo: O capital de $ 980,00 daqui a 4 meses equivale ao capital de $ 700,00 hoje(data zero), considerada a taxa de juros simples de 10% a.m.

De fato, na data focal 0, o capital de $ 980,00 valerá 4.10,01

980

+= $ 700,00.

EXERCÍCIOS

01. (FMP) Uma aplicação de R$ 4.000,00, a taxa de juros simples de 4% ao mês, após 90 dias, obteve um rendimento de a) R$ 480,00 b) R$ 499,60 c) R$ 4.480,00 d) R$ 4.499,60 e) R$ 4.521,12

02.(CESGRANRIO)- Uma pessoa pretende fazer um empréstimo a juros simples de 3% a.m. No final de 4 meses, ela poderá pagar, no máximo, $1.400,00. Nessas condições, essa pessoa poderá tomar emprestado, por 4 meses, o valor máximo de a) $1.200,00 d) $1.250,00 b) $1.225,00 e) $1.274,00 c) $1.232.00 03.(CESGRANRIO)- A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado? a) 10% b) 60% c) 100% d) 120% e) 150%

04.(CESGRANRIO)- Um capital de $15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de $19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de

Vemos que no Juros Simples, as Taxas Equivalentes são Taxas Proporcionais.

“Dois capitais são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando os seus valores atuais (ou futuros), calculados numa mesma data (data focal), à mesma taxa de juros, são iguais”.


49

a) 1 ano e 10 meses b) 1 ano e 9 meses

c) 1 ano e 8 meses d) 1 ano e 6 meses e) 1 ano e 4 meses

05. (FDRH) Um funcionário público fez uma aplicação a juros simples, com taxa nominal de 12% ao trimestre. Após um período de 12 meses, ele obteve um rendimento de R$ 3.600,00. O capital que foi inicialmente aplicado corresponde a a) R$ 1.500,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 15.000,00 e) R$ 30.000,00 06.(ESAF) Indique nas opções abaixo, qual a taxa anual unitária equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5, 0 07. Aplicar um capital a juros simples de 5% a.m. por 10 meses equivale a investir o mesmo capital, por 15 meses, à taxa de ... 08.(FDRH) Um indivíduo aplica 3/5 de seu capital à taxa de juros simples de 24% ao ano, e o restante a juros simples de 12% ao trimestre. Decorridos 10 meses, da aplicação, ele ganha R$ 5.600,00 de juros. Qual o valor do seu capital inicial? a) R$ 10.752,00 b) R$ 15.680,66 c) R$ 18.000,00 d) R$ 20.000,00 e) R$ 23.333,33 09.(FDRH) Um investidor aplicou, a juros simples, um certo capital. Após 8 meses de aplicação, ele faz uma consulta a seu saldo e verifica que já existe o montante de R$ 7.500,00. Finda a aplicação, quatro meses após essa consulta, ele encontra um saldo de R$ 8.200,00. Qual foi o valor da taxa de juros utilizada, sabendo que a mesma ficou inalterada ao longo de todo o período de aplicação? a) 3,28% b) 2,86% c) 2,34% d) 2,08% e) 1,82% 10. (CESGRANRIO)- Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% 11. (CESGRANRIO)- Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de


50

a) 2% b) 2,2% c) 2,5% d) 2,6% e) 2,8% 12. (ESAF) – Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. 0 valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 985,00 13. (ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 14. (FCC) Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juros simples, produzindo, ao fim de um trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi a) 48% b) 50% c) 54% d) 56% e) 63%

15. (FCC) Uma pessoa tem R$ 2 000,00 para investir. Se aplicar 4

3dessa

quantia a juro simples, à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5% 16. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade

à taxa de 1% ao mês por um bimestre, 5

1 à taxa de 2% ao mês por um

trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era a) R$ 5 800,00 b) R$ 8 300,00 c) R$ 10 000,00 d) R$ 10 200,00 e) R$ 10 800,00


51

{

GABARITO – JUROS SIMPLES

01. a 07. 3,33% 13. a 02. d 08. d 14. c 03. d 09. b 15. c 04. d 10. b 16. c 05. c 11. c 06. d 12. b

►JUROS COMPOSTOS No regime de Juros Compostos os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:

J1 = Ci

J2 = (C + J1)I = M1 · I

J3 = (C + J1 + J2)I = M2 · I

etc.

Jn = (C + J1 + J2 + + Jn-1)i = Mn-1 · i

Ou seja: no fim de cada período, o juro é somado ao capital que o produziu (capitalização dos juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial para o período seguinte. Sendo J = J1 + J2 + ... + Jn (total dos juros) e M = Montante no fim de n períodos, teremos: M = C( 1 + i )n e J = M – C

(1 + i)n é o fator de capitalização = (1 + i )-n é o fator de descapitalização (ou de desconto).

1

(1 + i)n


52

{

{

{

Exemplo: Coloquei $ 2.000,00 em um banco, a juros compostos de 6% a.a., capitalizados anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos?

M = C(1 + i)n

M = 2.000 (1 + 0,06)8

M = 2.000 × 1,593849 = 3.187,69

Resp.: $ 3.187,69 TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS Seja

i = taxa de juros compostos no período inteiro k = nº de capitalizações no período inteiro ik = taxa de juros compostos em cada um dos k subperíodos

i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos

C(1 +i)1 = C(1 + ik)k ⇒⇒⇒⇒ 1 + I = (1 + i)k

Exemplos: a) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

k = 2 1 + 0,06 = (1 + is)

2

I = ia = 0,06 a.a. ⇒ (1 + is)2 = 1,06 ⇒ 1 + is =

is = ? is = – 1 = 0,0295 a.s. Logo, is= 0,0295 a.s. (ou 2,95% a.s.) b) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.? k = 12 1 + ia = (1+ 0,04)12

ia = ? ⇒ ia = (1,04)12 – 1 = 0,60103 a.a.

im = 0,04 a. m. Logo, ia = 60,103% a.a.


53

TAXAS EFETIVA E NOMINAL

Taxa Efetiva: quando o período de capitalização é o mesmo ao qual se refere a taxa.

Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período ao qual se refere a taxa. Exemplos: 80% a.a. capitalizados trimestralmente; 135% a.a. capitalizados mensalmente; 10% a.m. capitalizados diariamente CÁLCULO DA TAXA EFETIVA Sendo i = Taxa Efetiva no período inteiro; iN = Taxa Nominal correspondente a i; k = nº de capitalizações no período inteiro, proceder assim:

Exemplo: Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% a.a., capitalizados trimestralmente? IN = 0,08 a.a., k = 4 1º) it = = 0,02 a.t. ⇒ ia = ? 2º) 1 + ia = (1 + it)

4 ⇒ ia = (1 + it)4 – 1 =

= (1 + 0,02)4–1= 0,08243 a.a. ou 8,243% a.a.

TABELAS A tabela dada a seguir tem por objetivo mostrar o tipo de tabela financeira que geralmente é dado em provas. Ela poderá ser útil em algumas questões de juros compostos propostas adiante. Para valores que não constem na tabela, sugerimos que o estudante utilize uma calculadora (científica ou financeira).

1º) Calcular a taxa efetiva por período: ik = iN / k (Taxa Proporcional) 2º) Usar a fórmula 1 + i = (1 + ik)

k para obter i = (1 + ik)k – 1 que é a

taxa efetiva correspondente a iN.

{

{ 0,08

4


54

Tabela do fator de capitalização para pagamento único (1 + i )n

Taxas de juros Prazos 0,5% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%

1 1,0050 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 2 1,0100 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 3 1,0151 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 4 1,0202 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1.2155 5 1,0253 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 6 1,0304 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 7 1,0355 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 8 1,0407 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 9 1,0459 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513

10 1,0511 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 11 1,0564 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 12 1,0617 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959

EXERCÍCIOS

01.(FAURGS) O valor dos juros que será obtido na aplicação de um capital de R$ 15.000,00 no período de 9 (nove) meses, à taxa de juros composta de 4% a.m., desprezando os centavos na identificação da resposta, equivale a a) R$ 6.349. (Dado: (1,04)9= 1,4233 ) b) R$ 5.400. c) R$ 6.320. d) R$ 5.796. e) R$ 16.850. 02.(FAURGS) Qual o capital que um investidor deve aplicar, hoje, a taxa de juros composta de 2% a.m., para que, no prazo de 2 (dois) anos, produza o montante de R$ 26.800,00, desconsiderando os centavos para identificação da resposta? a) R$ 25.759 d) R$15.879 (Dado: (1,02)24= 1,6084 ) b) R$ 19.456 e) R$16.850 c) R$ 16.662 03. Qual a taxa de juros efetiva anual que equivale à taxa de juros composta de 4% a.m., se o resultado, em termos percentuais, for dado com duas casas decimais? (Dado: (1,04)12 = 1,6010 ) a) 60,10% b) 48,00% c) 51,80% d) 59,60% e) 53,00% 04.(FDRH) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral (Dado: (1,04)2 = 1,0816 ). a) 8, 20 % b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00%


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05.(CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% 06. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje à taxa de juros compostos de 36% ao ano com capitalização mensal para obter o montante de R$ 2.500,00 após 10 meses? (Dado: (1,03)10 = 1,3439) a) R$ 1.573,00 b) R$ 1.630,12 c) R$ 1.750,00 d) R$ 1.860,26 e) R$ 1.923,08 07. (FUNDATEC) A taxa de juros compostos sobre o crédito do cheque especial de um banco é de 30% ao mês com capitalização diária. Um cliente que utilizar um crédito de R$ 120,00 pagará de juros após10 dias , o total de a) R$ 2,55 (Dado: (1,01)10 = 1,1046) b) R$ 12,55 c) R$ 52,55 d) R$ 92,55 e) R$ 132,55 08. (FAURGS) Um empresário contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00, por 6 anos, com juros compostos de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passados 4 anos ele decide resgatar a dívida, e o desconto concedido é de 24% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate? a) R$ 128.659,04 (Dados: (1,06)24= 4,0489 e (1,12)4= 1,5735 ). b) R$ 129.341,82 c) R$ 129.930,28 d) R$ 130.720,25 e) R$ 131.001,10 09. (CESGRANRIO) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% a.m.. Considerando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente: a) 10.200,00 e 2,35% b) 10.240,00 e 2,35% c) 10.240,00 e 2,40% d) 10.240,00 e 2,45% e) 10.300,00 e 2,40% 10. (CESGRANRIO) Um investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no Banco Alfa, à taxa de 8% a.m., e outra parte no Banco Beta, à taxa de 6% a.m., ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram,


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a) 148.598,13 e 151.401,87 b) 149.598,13 e 150.401,87 c) 150.598,13 e 149.401,87 d) 151.598,13 e 148.401,87 e) 152.598,13 e 147.401,87 11. Os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a taxa de juros compostos de 5% ao período.

O valor de x é, aproximadamente, de a) $ 60,00 b) $ 72,00 c) $ 77,18 d) $ 84,18 e) $ 144,00 12. (FDRH) Uma loja oferece duas opções na compra de um produto: • à vista com 10% de desconto; • dois pagamentos mensais iguais, sem desconto, o 1º no ato da compra. Calcular a taxa de juros compostos cobrada na compra a prazo. 13. Para uma taxa de 5% a.m., juros compostos, qual a melhor opção na compra de um computador: a) à vista, com 20% de desconto; b) dois pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º um mês

após a compra; c) três pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º no ato da

compra. 14. (CESGRANRIO) Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou pago em 3 parcelas anuais de $ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições, o preço v é ? a) R$ 75.000,00 b) R$ 88.000,00 c) R$ 91.000,00 d) R$ 95.000,00 e) R$ 97.000,00 15. (CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,063, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ 11.000,00.


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16. (CESPE) Uma letra de câmbio vence daqui a um ano, com valor nominal de R$ 15.000,00. A pessoa detentora desse título propõe a sua troca por outro, que vence daqui a 3 meses e tem valor nominal de R$ 12.000,00. Nessa situação, se a taxa de juros compostos corrente é de 3% ao mês e se 1,3 é tomado como valor aproximado para 1,039, então a troca será financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro título. 17. (CESPE) O capital de R$ 20.000,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por um período de 3 anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também por 3 anos. Nesse caso, para o investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda. 18. (CESPE) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no dia de hoje, então ele terá que pagar um valor que, em reais, pode ser

expresso por 10

5

02,1

000.602,1000.8 +×.

19. (FDRH) Um eletrodoméstico custa R$ 1.000,00 para pagamento a vista em uma loja de varejo. Como não possuía essa quantia, um comprador decidiu parcelar o valor do produto, nas seguintes condições: 40% de entrada mais uma parcela única para 60 dias, com capitalização mensal. Sabendo-se que essa parcela foi de R$ 864,00 qual é a taxa de juros compostos mensal do parcelamento? a) 4% a.m. b) 14% a.m. c) 20% a.m. d) 22% a.m. e) 25% a.m. 20. (CESPE) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I. Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro feito no dia 1º/3/2009. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro feito no dia 1º/3/2009. Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M2-M1= R$ 90,90 b) M2-M1= R$ 45,45 c) M2=M1 d) M1-M2= R$ 45,45 e) M1-M2= R$ 90,90


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Gabarito – Juros Compostos

4. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

► MEDIDAS DE TEMPO Para transformar uma unidade de medida de tempo em outra, basta saber as relações mostradas no quadro abaixo:

Unidade Símbolo Valor

Segundo s -

Minuto min 60s

Hora h 60min

Dia d 24h

Mês (comercial) me 30d

Ano (comercial) a 12me = 360d

Veremos por meio de exemplos, como trabalhar com estas medidas. 1 – Transformar 2h15min10s em segundos: 2 x 60 = 120min 135 x 60 = 8100s + 15min + 10s 135min 8110s Resp.: 8.110s 2 – Transformar 935 dias em anos, meses e dias: 935d 360 215d 30 215 2a 5d 7me Resp.: 2a7me5d 3 – Calcule: a) 3h20min10s + 2h25min20s b) 4h35min15s + 3h40min a) 3h20min10s b) 4h35min15s +2h25min20s +3h40min --- 5h45min30 7h75min15s, ou seja, 8h15min15s.

01. a 07. b 13. a 19. c 02. c 08. a 14. c 20. a 03. a 09. c 15. Certo 04. b 10. a 16. Certo 05. b 11. c 17. Errado 06. d 12. 25% 18. Errado


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4 – Calcule: a) 4h50min – 2h10min20s b) 6me – 3me20d a) 4h50min --- 4h49min60s -2h10min20s -2h10min20s ? 2h39min40s b) 6me --- 5me30d -3me20d -3me20d ? 2me10d 5 – Efetue: a) 1h25min12s x 3 b) 6h31min10s ÷ 5 a) 1h25min12s x 3 3h75min36s, ou seja, 4h15min36s b) 6h 5 31min 10s 1h 1h + 60min 1h + 60s 1min 91min 5 70s 5 1min 18min 0 14s Logo, temos 1h18min14s.

EXERCÍCIOS 1 – Complete: a) 1h40min = .......... min b) 3h10min20s = .......... s c) 2d10h = .......... h d) 4me20d = .......... d Resp.: a) 100; b) 11.420; c) 58; d) 140; e) 550 2 – Complete: a) 350min = ..........h .......... min b) 73820s = ..........h ..........min ..........s c) 80h = ..........d ..........h d) 135d = ….......me ….......d e) 940d = ..........a ..........me ..........d Resp.: a) 5h50min; b) 20h30min20s; c) 3d8h; d) 4me15d; e) 2a7me10d 3 – Calcule: a) 2h10min20s + 3h40min15s b) 3h40min + 6h35min c) 1a 9me 25d + 1a 6me 15d d) 5h 40min – 2h 20min 30s e) 5me – 2me 20d f ) 4a8me 10d – 2a 6me 20d


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Resp.: a) 5h50min35s; b) 10h15min; c) 3a4me10d; d) 3h19min30s; e) 2me10d; f) 2a1me20d 4 – Calcule: a) (1h20min18s) x 4 b) (25h27min20s) ÷ 2 c) (3a5me10d) ÷ 2 Resp.: a) 5h21min12s; b) 12h43min40s; c) 1a8me20d 5- (FCC) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às a) 13h40min b) 13h20min c) 13h d) 12h20min e) 12h10min Solução:

1) 16

11x 24 =

2

33h =

2

33x 60 = 990 min

2) X + 170 = 990 ⇒ X = 820 min 3) 820 / 60 = 13h40min. Resp.: a 6- (FCC) Um funcionário de uma Repartição Pública iniciou seu trabalho às 7h50min, executando ininterruptamente três tarefas que tiveram a seguinte duração: 1 hora e 15 minutos, 3/5 de uma hora e 95 minutos, Nessas condições, ele terminou a execução das três tarefas às a) 11h16min b) 11h12min c) 10h48min d) 10h46min e) 10h18min Solução:

1) 1h15min + 5

3h + 95 min = 75min + 36min + 95min = 206 min

2) 7h50min + 206 min = 470min + 206 min = 676 min= 11h16min. Resp.: a


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► SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida são dados através de prefixos que indicam quantas vezes eles são maiores ou menores que a unidade fundamental. Listamos a seguir os prefixos mais utilizados, com os seus respectivos símbolos e valores no Sistema Internacional de Unidades (SI):

Medidas de Comprimento

A unidade fundamental é o metro (m). Um metro é igual a 000.000.10

1 da

distância de um pólo ao equador, medida sobre um meridiano. Esse comprimento está indicado entre dois traços feitos numa barra de platina-irídio que se encontra no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França.

Múltiplos U.F. Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as unidades variam de 10 em 10 (de uma em uma casa). Exemplo: Efetue a operação abaixo, dando o resultado em metros: 0,52km + 2,46dm + 0,005hm + 247,5dam. Solução: basta fazer a tabela abaixo

km hm dam m dm cm mm 0,52km 0 5 2 0 2,46dm 0 2 4 6 0,005hm 0 0 0 5 247,5dam 2 4 7 5 Total: 2 9 9 5 7 4 6

Resp.: 2995,746m

u = unidade fundamental deca = da = 10u hecto = h = 100u = 102u quilo = k = 1000u = 103u mega = M = 106u giga = G = 109 tera = T = 1012u deci = d = 0,1u = 10-1u centi = c = 0,01u = 10-2u mili = m = 0,001u = 10-3u micro = µ = 10-6u nano = n = 10-9u pico = p = 10-12u


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Perímetro de polígono: É a soma da medida dos lados do polígono. Exemplo: As medidas dos lados de um triângulo são 2,5m, 0,15dam e 400cm. Qual o perímetro, em dm? 2,5m = 25dm; 0,15dam = 15dm; 400cm = 40dm Logo, o perímetro é P= 25dm + 15dm + 40dm = 80dm Comprimento da circunferência: Retificando-se uma circunferência de raio r obtém-se um segmento de comprimento igual a π2 , onde 14,3≅π . Assim, o comprimento da circunferência é dado por

π2=C r Exemplo: A circunferência de raio r = 3 cm tem comprimento C = 2π.3 = 6π cm. Medidas de Superfície (Áreas) A unidade fundamental é metro quadrado (m²), que é a área de um quadrado com 1m de lado: 1m

Múltiplos U.F. Submúltiplos

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

● Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as unidades variam de 100 em 100 (de duas em duas casas). Exemplo: Efetue a operação 20cm² + 0,9dm² + 1,8dam² dando o resultado em m².

km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 20cm² 20 0,9dm² 00 90

1,8dam² 01 80 Total: 01 80 01 10

Resp.: 180,0110m² Medidas Agrárias 1hectare (ha) = 1hm² 1 are (a) = 1dam² 1 centiare (ca) = 1m²

1m

1m

1m²


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Exemplo: Quantos m² há em 1.537ha?

km² hm² (ha) dam²(a) m² (ca)

15 37 00 00

Resp.: 15.370.000m² Medidas de Volume A unidade fundamental de volume é o metro cúbico (m³), que é o volume de um cubo com 1m de aresta. • Cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as unidades variam de 1.000 em 1.000 (de três em três casas). Exemplo: Efetuar a operação 0,002dam³ + 3.000dm³ dando o resultado em m³. Solução:

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 0,002dam³ 0 002 3.000dm³ 003 000 Total: 005 000

Resp.: 5m³ Nota: 1 estéreo = 1st = 1m³ (usado para medir lenha) Medidas de Capacidade As unidades de capacidades servem para medir o volume de líquidos e gases. A unidade fundamental é o litro (l ), que equivale a 1dm³.

Múltiplos U.F. Submúltiplos k l h l da l l d l c l m l

• Cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as unidades variam, de 10 em 10 (de uma em uma casa). Exemplo: Converter 45,73d l em h l Pela tabela, vemos que 45,73d l = 0,04573h l

Múltiplos U.F. Submúltiplos km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³


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Medidas de Massa Apesar da unidade fundamental ser o quilograma (kg), usa-se na prática o grama (g) como unidade básica.

Múltiplos U.F. Submúltiplos kg hg dag g dg cg mg

• Aqui também, cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, ou seja, as unidades variam de 10 em 10 (de uma em uma casa). Exemplo: 0,0025 hg = 25 cg

Unidades especiais de massa:

1 tonelada (t) = 1.000 kg = 103 kg 1 megaton = 1.000.000 t = 106 t 1 quilate = 0,2g (usado p/medir a massa de pedras e metais preciosos) 1 arroba = 15 kg Relação Fundamental (Volume x Capacidade x Massa) Para a água pura, a 4°C vale a seguinte relação: Com base na relação acima temos a tabela (incompleta):

k l h l da l l d l c l m l t - - kg hg - dag g

m³ - - dm³ - - cm³

•••• Observação A relação 1dm3 = 1l = 1kg vale só para a água a 4ºC e pressão de 1 atmosfera. Mas 1dm3 = 1l vale para qualquer líquido. Exemplos: 1 – A massa de água contida em um tanque cheio é de 1,8t. Qual é a capacidade do tanque, em m l ? Ora, 1,8t = 1.800kg = 1.800 l = 1.800.000m l (pode-se também resolver esse problema pela tabela anterior). 2 – A massa de um diamante é 243 quilates. Qual a sua massa em dg? 243 quilates = 243 x 0,2 = 48,6g = 486dg

1 dm³ = 1 l = 1 kg


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EXERCÍCIOS 01) Converter: a) 3,125 km em dam b) 15,21 dam em dm c) 6,2 m em cm d) 12,3 km em m e) 0,0002 hm em cm Resp.: a) 312,5 b) 152l c) 620 d) 12300 e) 2 02) Converter: a) 2,48 há em ca b) 0,0015 há em a c) 2,53 dam2 em a d) 2345,9 dm2 em ca e) 20000 ca em km2

Resp.: a) 24800 b) 0,15 c) 2,53 d) 23,459 e) 0,02 03) Converter: a) 2.5 dm3 em m3

b) 15,8 cm3 em dm3

c) 5 hm3 em km3

d) 1 000 000 mm3 em m3

e) 1758,42 mm3 em cm3

Resp.: a) 0,0025 b) 0,0158 c) 0,005 d) 0,001 e) 1,75842 04) Converter: a) 1,52 dl em ml b) 0,002 kl em dal c) 2l em ml d) 0,002 dal em ml e) 8,302 hl em ml Resp.: a) 152 b) 0,2 c) 2000 d) 20 e) 830200 05) Converter: a) 1,25 hg em g b) 3,18g em mg c) 0,0025 hg em cg d) 2 g em dag e) 0,5g em hg Resp.: a) 125 b) 3180 c) 25 d) 0,2 e) 0,005 06) Um tanque, quando cheio, contém 3,6t de água. Qual a sua capacidade, em ml? Solução: 3,6 t = 3,6 x 1000 = 3.600 kg que equivalem a 3.600 litros = 3.600.000 ml. Resp.: 3.600.000 07) Um caminhão transporta 10 caixas idênticas que contém 20 hl de água cada uma. Qual é a massa total, em kg, da água contida nessas caixas? Resp.: 20 000


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08) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = .......... m3

Resp.: 1 09) Um vidro de xarope contém 21 doses de 3ml. A quantidade de xarope, em litros, que o vidro contém é ? Resp.: 0,063 10) Um quadrado de 1 km de lado, tem área, em há, igual a? Resp.: 100 11) Uma indústria possui em seu reservatório 0,25 dam3

+ 150 m3 + 22 000 dm3+3 000 000 cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, o número de latas de soja que a indústria produzirá é? Resp.: 467.500 12) O lado de um quadrado mede 0,05 m. Qual a sua área em cm2 ? Resp.: 25 13) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 0,08 dam, 400 mm e 0,0003 km, O seu volume, em dm3, é? Resp.: 96 14) O lado de um pentágono regular mede 40 dm. O seu perímetro, em mm, é? Resp.: 20.000 15) (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e) 7,5 % Solução:

A = 2,4 t = 2.400 kg; B = 32.000 kg.

000.32

400.2=

B

A=

40

3 e %5,7100

40

3=x

Resp.: e


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RACIOCÍNIO LÓGICO – MATEMÁTICO ►LÓGICA INTUITIVA (Estrutura lógica de relações...) Neste capítulo, veremos alguns problemas que podem ser resolvidos com um raciocínio lógico intuitivo, ou seja, um raciocínio que não exige o conhecimento dos símbolos e das regras da lógica simbólica (ou lógica matemática). Chamaremos esses problemas de questões de lógica intuitiva. Para ajudar na solução dessas questões daremos duas “dicas“ gerais.

Exemplo 1 (ESAF) Três amigas,Tânia,Janete e Angélica,estão sentadas lado a lado em um teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: ”Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente,a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita, são, respectivamente, a) Janete,Tânia e Angélica b) Janete,Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica,Tânia e Janete e) Tânia,Angélica e Janete Solução: Vamos descobrir a posição da Tânia (que sempre fala a verdade). Temos 3 possibilidades: Tânia está à esquerda, ou no meio ou à direita. Analisamos a seguir, cada uma das possibilidades:

1°) Tânia não está sentada à esquerda, pois a que está sentada à esquerda disse:” Tânia é quem está sentada no meio” (Tânia não mente! ); 2°) Tânia também não está sentada no meio, pois a que está sentada no meio disse “Eu sou Janete” (Tânia não mente!) ; Logo, Tânia está sentada à direita. Como a que está sentada à direita ( que é a Tânia) disse “Angélica é quem está sentada no meio” , Angélica está sentada no meio realmente e Janete (que sobrou) está sentada à esquerda. Assim, a resposta correta é (b) . Exemplo 2 (CESPE) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado” Edu: “Tarso é o culpado” Juarez: “Armando disse a verdade” Tarso: “Celso mentiu”

1ª dica) Escrever todas as possibilidades lógicas da questão e analisar uma por uma, utilizando o significado do ou exclusivo para eliminar as possibilidades que contrariam as hipóteses do enunciado (contradições).


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Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é : a)Armando b)Celso c)Edu d)Juarez e)Tarso Solução: Ou Celso mentiu ou Edu mentiu, pois só há 1 culpado. Os demais, ou seja, Armando, Juarez e Tarso disseram a verdade. Então, de acordo com Tarso, Celso mentiu, donde se conclui que Edu falou a verdade, ou seja, Tarso é o culpado. Resp.: e Exemplo 3 (CESPE)

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor “e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. Resp.: Certo

Nos exemplos 1 e 2 que seguem, suponhamos que A e B são duas pessoas que sempre falam a verdade ou sempre mentem. Exemplo 1) A perguntou a B: você é mentiroso? B repondeu “clug”. O que significa “clug” ? Deduzimos que “clug” significa “não “. De fato: - se B fala a verdade, B disse “não”; - se B é mentiroso, B também disse “não”. Logo, sabemos que B respondeu “não”, mesmo sem saber se B fala a verdade ou é mentiroso.

Exemplo 2) A perguntou a B: você fala a verdade? B respondeu “plug”. O que significa “plug” ? Podemos deduzir que “plug” significa “sim”. De fato: - se B fala a verdade, B disse “sim”; - se B é mentiroso, B também disse “sim”. Descobrimos então, que B disse “sim”, mesmo sem saber se B fala a verdade ou é mentiroso.

No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. “Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.”

2ª dica) Fazer uma pergunta chave do tipo “você é mentiroso ?”, “ você fala a verdade ? “ , “você é culpado?”, etc.


69

Exemplo 3 (ESAF) Uma empresa possui andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M ? “ Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “ Alfa respondeu que sim “. Gama: “ Beta está mentindo” . Delta: “ Gama está mentindo” . Épsilon: “ Alfa é do tipo M “. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, o Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a : a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5 Solução:

1º) Ou Alfa é do tipo V ou Alfa é do tipo M. Se ele for do tipo V, respondeu NÃO. Se for do tipo M, também respondeu NÃO. 2º) Analisando as declarações dos demais andróides e não �squecendo que Alfa respondeu NÃO, deduzimos que: Beta é do tipo M, Gama é do tipo V (1º do tipo V), Delta é do tipo M. E Épsilon será do tipo V se Alfa for do tipo M e do tipo M se Alfa for do tipo V. Em qualquer um dos casos, teremos 2 andróides do tipo V: Gama (1º) e Épsilon ou Alfa (um deles será o 2º do tipo V). Resp.: b.

EXERCICIOS 01.(ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente, a) cinza, verde e azul b) azul, cinza e verde c) azul, verde e cinza d) cinza, azul e verde e) verde, azul e cinza Resp.: d 02.(ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores: branco e laranja; a cobra vive na casa do meio.

Resumo Se perguntarmos a uma pessoa que sempre fala a verdade ou sempre mente 1º) Você é mentiroso? A resposta será sempre NÃO; 2º) Você fala a verdade? A resposta será sempre SIM.


70

Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra, calopsita. b) cão, calopsita , cobra. c) calopsita, cão, cobra. d) calopsita, cobra, cão. e) cobra, cão, calopsita. Resp.: a 03.(FUNDATEC) Ana, Bia e Carla têm, cada uma, um único animal de estimação. Uma delas tem um cachorro, outra tem um gato e a terceira, um jabuti. Sabe-se que: - Ana não é a dona do cachorro; - Carla é a dona do gato. Com base nas informações acima, é correto afirmar que: a) Ana é dona do gato b) Ana é dona do jabuti c) Bia não é dona do cachorro d) Bia é dona do jabuti e) Carla é dona do cachorro Resp.: b 04. (ESAF)- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto , e o outro é azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco; 2)ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3)ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4)ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto Resp.: e 05. (ESAF)- Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a) professor, médico, músico b) médico, professor, músico c) professor, músico, médico d) músico, médico, professor e) médico, músico, professor Resp.: e


71

06.(ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Denis obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória, julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa. Juiz 1: ”André foi o primeiro; Beto foi o segundo”. Juiz 2: “André foi o segundo; Denis foi o terceiro”. Juiz 3: “Caio foi o segundo; Denis foi o quarto”. Sabendo que não houve empates,o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto , Denis b) Beto, André, Caio, Denis c) Beto, André, Denis, Caio d) André, Caio, Denis, Beto e) Caio, Beto, Denis, André Resp.: d 09.(ESAF) Três amigos –Luís, Marcos e Nestor- são casados com Teresa, Regina e Sandra(não necessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “Marcos é casado com Teresa” Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina” Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra” Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a)Sandra, Tereza, Regina b)Sandra, Regina, Teresa c)Regina, Sandra, Teresa d)Teresa, Regina, Sandra e)Teresa, Sandra, Regina Resp.: d 07. (ESAF) Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Em cada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa. Em uma delas encontra-se Luís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber: Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa” Sala azul: “Carla está na sala de porta verde” Sala rosa: “Luís está aqui”. Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente, a) Diana, Luís, Carla b) Luís, Diana, Carla c) Diana, Carla, Luís d) Carla, Diana, Luís e) Luís, Carla, Diana Resp.: c


72

►USO DAS FUNÇÕES INTELECTUAIS

01. Resolva mentalmente as equações seguintes: a)27

11

x += b)

6

3x +=1

Resp.: a) x = 26 b) x = 3 02. AMOR está para ROMA, assim como 5232 está para

a) 2523 b) 3252 c) 2325 d) 3225 e) 5223 Resp.: c

03. REFRIGERANTE está para GARRAFA, assim como CARTA está para a) selo b) caneta c) livro d) correio e) envelope Resp.: e

04. Qual dos cinco objetos abaixo se parece menos com os outros quatro?

a) bolsa b) meia c) calça d) sapato e) vestido Resp.: a

05. Qual das cinco letras se parece menos com as outras quatro? a) A b) E c) F d) N e) Z Resp.: b

06.(FCC) Note que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a

palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda segundo um determinado critério.

acatei - teia assumir - iras

moradia - ?

Na resolução dos exercícios apresentados a seguir são utilizadas as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio sequencial, raciocínio matemático, orientação espacial, formação de conceitos e discriminação de elementos.


73

Se o mesmo critério for usado para completar a terceira linha, a palavra que substituirá corretamente o ponto de interrogação é a) amor b) adia c) ramo d) rima e) mora Resp.: a

07. (FCC) Esta sequência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale - Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser

a) Casa b) Anseio c) Urubu d) Café e) Sua

Resp.: b

08. Determine os valores de x e y nas sequências a seguir: a) 3, 6, 10, 15, 21, 28, x b) 0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, x c) 1, 8, 27, 64, x, y Resp.: a)36 b)196 c)125 e 216 09. Determine o valor de x nas sequências a seguir: a) 16, 15, 13, 12, 10, 9, x,... b) 3, 8, 5, 10, 7, x,... c) 10, 8, 16, 13, 39, 35, x,... d) 30, 15, 45, 15, 60, x,... e) 4, 7, 9, 11, 14, 15, 19, x,... f ) 0, 3, 8, 15, x,... Resp.: a)7 b)12 c)140 d)15 e)19 f)24 10. Determine o próximo termo da sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) Resp.: 34 11.(FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13,...)

obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre a) 70 e 90 b) 90 e 110 c) 110 e 130 d) 130 e 150 e) 150 e 170 Solução: A lei de formação da sequência é composta por duas leis aplicadas alternadamente, que são “mais um” e “vezes três”. De fato, observe: 1º termo: 0 2º termo: 0+1=1


74

3º termo: 1×3=3 4º termo: 3+1=4 5º termo: 4×3=12, e assim por diante. Escrevendo os dez primeiros termos da sequência, teremos: 0, 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, 120, 121,... e a soma do oitavo com o décimo termos é 40 + 121 = 161. Resp.: e

12. (CESGRANRIO)

−===

−− 21

2

1

3

2

nnn aaa

a

a

Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima? a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) -3 Resp.: d

13.(CESGRANRIO) Complete a série: B, D, G, L, Q, ... a) R b) T c) V d) X e) Z Resp.: d

14.(CESGRANRIO) ...

...,

49

64,

36

25,

9

16,

4

1

a) 90

82 b)

100

81 c)

72

100 d)

72

99 e)

81

100

Resp. : b 15. Determine o próximo termo da sequência C3, 6G, M10, ... Resp.: 15S 16. (FUNRIO) O N-ésimo termo da sucessão (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...) é representado por AN, sendo N um número inteiro maior do que zero. O valor de (A50 - A48) é:

a) 4804 b) 5101 c) 5000 d) 4901 e) 5225 Resp.: d

17. O próximo termo da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é a) 20 b) 24 c) 32 d) 120 e) 200


75

Solução: todos os números da sequência dada começam com a letra “D”. O próximo número seria “Duzentos”. Resp.: e

18.(CESGRANRIO) Em um edifício de apartamentos, exatamente 1/3 dos

apartamentos são de três dormitórios e, exatamente 1/7 dos apartamentos de três dormitórios são apartamentos de frente. Um valor possível para o número total de apartamentos do edifício é a) 42 b) 50 c) 51 d) 56 e) 57

Solução: como 1/3 e 1/7 dos apartamentos devem ser números inteiros, o número total de apartamentos deve ser múltiplo de 3 e de 7. A única alternativa na qual isso ocorre é a alternativa a. Resp.: a

19.(FCC) Considere os seguintes pares de números:

(3,10) (1,8) (5,12) (2,9) (4,10) Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é a) (3,10) b) (1, 8) c) (5,12) d) (2, 9) e) (4,10) Resp.: e

20.(FCC) Considere os conjuntos de números :

25

38

64

210

x

37

Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é a) 9 b) 16 c) 20 d) 36 e) 40

21.(ESAF) Uma pessoa ao fazer um cheque inverteu o algarismo das dezenas

com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de $ 270. Sabe-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. O algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é? Solução:

1º) A pessoa pensou em escrever um número do tipo cdu (centenas, dezenas, unidades). Como c está para d assim como 1 está para 2, ou seja, d=2c, temos as seguintes possibilidades ( tomamos u=0, já que u é um algarismo qualquer de 0 a 9): 120, 240, 360, ou 480. 2º)Mas a pessoa escreveu no cheque o número dcu, ou seja, escreveu no cheque um dos números seguintes:


76

210, 420, 630, ou 840. Como dcu = cdu+270, vemos que o número que está no cheque é 630 e, o algarismo da casa das dezenas é 3. Resp.: 3

22.(FCC) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é

a) 11 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18 Solução: seja abc o número N. Como abc . 9 = X.824 , então X.824 é divisível por 9, ou seja, X+8+2+4 = X+14 é divisível por 9 (pelo critério de divisibilidade por 9). Como o primeiro número divisível por 9, após o 14, é 18, concluímos que X=4. Logo, abc . 9 = 4.824 e daí , abc = 4.824 : 9 = 536, isto é, N=536 e 5+3+6= 14. Resp.: c

23. (FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.

A 1 5 B - 2 C D 3 4 2 1 8 Se a diferença indicada é correta, os valores A, B, C e D são tais que

a) D<A<B<C b) A<B<C<D c) B<A<D<C d) B<D<A<C e) D<A<C<B Resp.: d

24.(FCC) Um painel circular contém 48 lâmpadas na sua moldura, numeradas em ordem crescente. Quando o painel é ligado, são acesas as lâmpadas de números 1, 5, 9, 13, ..., 45. Na seqüência, a cada segundo, apagam-se as lâmpadas acesas e acendem-se as lâmpadas seguintes a elas. Se o painel for ligado às 19h30min, às 20h10s estarão acesas as lâmpadas

a) 1, 5, 9, 13, ..., 45 b) 2, 6, 10, 14, ..., 46 c) 3, 7, 11, 15, ..., 47 d) 4, 8, 12, 16, ..., 48 e) 5, 10, 15, 20, ..., 45

Resp.: c


77

25.(FCC) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é

a) 27 b) 29 c) 33 d) 37 e) 45

Solução: como Nx9 = 1111...11111, então N = 9

11111...1111= 12345679 e

1+2+3+4+5+6+7+9 = 37.

Resp.: d 26. (FCC) Um técnico, responsável pela montagem de um livro, observou que, na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro era

a) 137 b) 139 c) 141 d) 143 e) 146

Solução: pelas alternativas dadas para a resposta, vemos que o livro tem no máximo 146 páginas. Então, podemos seguir o seguinte raciocínio:

1) Nas páginas de 1 a 9 temos: 9 páginas, cada uma com 1 algarismo, ou seja, temos 9.1 = 9 algarismos;

2) Nas páginas de 10 a 99 temos: 90 páginas, cada uma com 2 algarismos, ou seja, temos 90.2 = 180 algarismos;

3) Nas páginas de 100 até o final do livro temos: p páginas, cada uma com 3 algarismos, ou seja, temos p .3 = 3p algarismos.

Como 9 + 180 + 3p = 321, obtemos p = 44 páginas . O número total de páginas do livro será: 9 + 90 + 44 = 143 páginas. Resp.: d 27.(ESAF) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10 Solução: Temos 5 cores de blusas: Azul, Amarela, Preta, Verde e Vermelha. Ora, para Ana pegar pelo menos duas blusas da mesma cor, ela deve pegar no mínimo 6 blusas. Resp.: a


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Com base no texto acima, resolva a questão seguinte. 28. Um dia, Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore e perguntou-lhes qual era o dia da semana. Eles responderam: Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir. Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir. A partir dessas respostas, Chapeuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era o dia da semana? Solução:

Na tabela a seguir, resumimos as respostas da Raposa e do Lobo Mau

2ª 3ª 4ª 5ª 6 Sáb Dom Raposa M M M V V V V

Lobo Mau V V V M M M V Analisando a tabela acima, vemos que: de acordo com a Raposa poderia ser 2ª ou 5ª; de acordo com o Lobo Mau poderia ser 5ª ou dom. O dia comum, 5ª feira, é a resposta. Resp.: 5ª feira.

29.(ESAF) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em números de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana - a filha de olhos azuis -, em número de anos completados, é igual

a) à idade de Júlia mais 7 anos b) ao triplo da idade de Júlia c) à idade de Júlia mais 5 anos d) ao dobro da idade de Júlia e) à idade de Júlia mais 11 anos Resp.: d

30.(FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi - 22 para A - 18 para B - 20 para C.

“ Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras e falava a verdade nos demais dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados e falava a verdade nos demais dias da semana” .


79

Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

Solução: 1) Soma dos números atribuídos por cada pessoa= 1 + 2 + 3 = 6 2) Soma dos números atribuídos por todas as pessoas= 22 + 18 + 20 = 60. 3) Número de pessoas = 60 / 6 = 10. Resp.: c 31. O valor de x em 4 6 3 8 é 2 8 4 4 6 5 x 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solução: Os produtos dos números das duas primeiras colunas são iguais aos produtos dos números das duas últimas colunas, ou seja: 4.6=3.8, 2.8=4.4, 6.5=10.x Da última igualdade, 30 = 10x tiramos x= 3.

Resp.: c 32.(FCC) Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que :

- os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;

- ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 96

37 do dia e

trabalharam juntos ininterruptamente até concluí-la; - Floriano gastou 1hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de

seu lote; - Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de

Peixoto foi 60% da de Floriano. - Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às a) 11 horas e 15 minutos. b) 11 horas e 20 minutos. c) 11 horas e 50 minutos. d) 12 horas e 10 minutos. e) 12 horas e 25 minutos.

Solução:

1º) Início das tarefas: h4

3724

96

37=× = 9h15min ( ou 555 min );

2º) Tempo gasto por Peixoto para realizar sua tarefa: Cap.Operacional 100 (Floriano).........105 min Cap.Operacional 60 (Peixoto)............x min Como as grandezas são inversamente proporcionais ( GIP), escrevemos

10560

100 x= ⇒ x = 175 min ( ou 2h 55min );


80

3º) 9h 15min + 2h 55min = 12h 10 min (ou 555min + 175 min= 730 min= 12h10min). Resp.: d 33.(FCC) Sabe-se que um número X é diretamente proporcional a um número Y e que, quando X=8, tem-se Y=24. Assim, quando X = 5/6, o valor de Y é

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 5/3 e) 5/2 Resp.: e

34.(FCC) Considere a seguinte sucessão de multiplicações :

5 x 5 = 25 35 x 35 = 1 225

335 x 335 = 112 225 3 335 x 3 335 = 11 122 225

A análise dos produtos obtidos em cada linha permite que se conclua corretamente que, efetuando 33 333 335 x 33 333 335, obtém-se um número cuja soma dos algarismos é igual a a) 28 b) 29 c) 31 d) 34 e) 35 Resp. a

35.(UNICAMP) Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 larguem juntos num determinado circuito e completem, respectivamente, cada volta em 72 s e 75 s pergunta-se: quantas voltas (contadas a partir da largada) terá dado o piloto mais rápido quando ele estiver a) uma volta na frente do outro? b) duas voltas na frente do outro? Resp.: a) 25 b) 50 36.(FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em uma estrada, um em direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km. Se a velocidade de um deles é de 105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa estrada? a) 1 hora e 40 minutos b) 1 hora e 55 minutos c) 2 horas d) 2 horas e 20 minutos e) 2 horas e 24 minutos Solução: d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro; d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro. Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos: d1= 105t e d2= 95t.


81

Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t= 5

12h ou 2h24min.

Resp.: e 37.(ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas, que o avião YPS , após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a a) 2 / (x+y) horas b) x / (y-x) horas c) 1 / 2x horas d) 1 / 2y horas e) x / 2(y-x) horas

Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O avião YPS levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro ( pois XIS decolou meia hora antes de YPS). Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida

por XIS em t+1/2 horas, teremos: yt = x(t + 2

1) ⇒ yt = xt+

2

x⇒.......................

.............⇒ (y-x)t = 2

x ⇒ t =

)(2 xy

x

−horas.

Resp. : e

38.(ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma altura são acesas simultaneamente. Suponha que:

- as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas totalmente; - ambas as velas queimam em velocidades constantes; - uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4 horas. Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra? a) 2 horas e minutos b) 2 horas e 30 minutos c) 3 horas e 10 minutos d) 3 horas e 20 minutos e) 3 horas e 30 minutos Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas. Para simplificar, tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento). Então:

1) Após 1 h: 1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 1-1/5 = 4/5; 2ª vela: queimou 1/4 de H= 1/4 e sua altura será 1-1/4 = 3/4.


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2) Após t horas:

1ª vela queimou t/5 de H= t/5 e sua altura será 1 – t/5 = 5

5 t−;

2ª vela queimou t/4 de h = t/4 e sua altura será 1 – t/4 = 4

4 t−.

Fazendo-se

−=

−4

42

5

5 ttobteremos t =

3

10h, ou seja, t = 3h20min.

39. (ESAF) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x+1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x-1. Se, no visor, está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer sequência das teclas A e B, é: a) 87 b) 95 c) 92 d) 85 e) 96

Solução Apertando a tecla A, sucessivamente, obteremos os seguintes valores: 11, 23, 47, 95, 191,... e vemos que o maior número de dois algarismos (95) aparece na quarta vez em que apertamos a tecla A; Apertando a tecla B, sucessivamente, obteremos os seguintes valores: 14, 41, 122,... e vemos que o maior número de dois algarismos (41) aparece na segunda vez em que apertamos a tecla B. Logo, o maior número de dois algarismos que se pode obter,é 95, que aparece na quarta vez em que apertamos a tecla A. Resp.: b 40. (ESAF) O número x tem três algarismos. O produto dos algarismos de x é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de x é 11. O algarismo das centenas de x é a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9 Resp. : d

P.M.S. 41.(FCC) Uma propriedade comum caracteriza o conjunto de palavras seguintes: MARCA - BARBUDO – CRUCIAL – ADIDO – FRENTE - ? De acordo com tal propriedade, a palavra que, em sequência, substituiria corretamente o ponto de interrogação é a) FOFURA b) DESDITA c) GIGANTE d) HULHA e) ILIBADO Resp.: a


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42. Um mercador dispunha de 8 pérolas iguais, na forma, no tamanho e na cor. Dessas 8 pérolas, sete tinham o mesmo peso; a oitava, entretanto, era um pouco mais leve que as outras. Como poderia o mercador descobrir a pérola mais leve, com segurança, efetuando apenas duas pesagens (com a sua velha balança de 2 pratos)? 43. (FCC) Dado um número inteiro e positivo N, chama-se persistência de N a quantidade de etapas que são necessárias para que, através de uma sequência de operações preestabelecidas efetuadas a partir de N, seja obtido um número de apenas um dígito. O exemplo seguinte mostra que a persistência do número 7 191 é 3: 7191 63 18 8 7x1x9x1 6x3 1x8

Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 8 464 é a) menor que 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) maior que 6 Resp.: c 44. Um lógico queria saber as idades dos três filhos de uma enigmática senhora. Ela disse: vou lhe dar apenas 3 pistas. 1ª) O produto de suas idades é 36. -Ainda não é possível saber, disse o lógico. 2ª) A soma das idades é igual ao número da casa aí em frente. -Ainda não descobri, falou o lógico. 3ª) O filho mais velho toca piano. -Agora já sei, afirmou o lógico. Qual é a idade dos três filhos? Resp.: 2 anos, 2 anos e 9 anos. 45. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a seguinte proposta: se você disser uma mentira , será queimado. Se disser uma verdade, será afogado. De que maneira você prefere morrer? A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo. Qual foi a resposta do matemático? a) Jamais morrerei. b) Morrerei afogado. c) Morrerei queimado. d) Morrerei enforcado. e) Vocês são mesmo uns canibais !

Resp.: c


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46. Um caracol indeciso começa a escalar um muro de 3m de altura. De dia, ele sobe 30 cm, mas, à noite, cheio de dúvidas, ele desce 20 cm. Quantos dias levará o caracol para chegar em cima do muro? a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27 Resp.: d 47. (FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: - os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; - a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6; - os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Sendo verdadeiras as 3 afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha, mais afastada da mesa a) necessariamente tem um número de pontos ímpar; b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par; c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for [impar; d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par; e) necessariamente tem um número par de pontos. Resp.: b 48. (FCC) Considere que os números dispostos em cada linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer determinado padrão.

7 9 2 10 ? 5 3 ? 3

Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é a) b) c) d) e)

Resp.: e

14 7

13 9

15 7

16 9

15 6


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