Dedução Natural com Coq

7/21/2019 Deduo Natural com Coq

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Deduc ao Natural com CoqLogica Aplicada a Computac ao

Andrei de Araujo FormigaUniversidade Federal da Para ba


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O Assistente de Prova Coq

Criado em 1984 por Thierry Coquand e G erard Huet

Recebeu o pr emio ACM Software System Award em 2013


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Aplicac oes

Vericac ao de provas matem aticas

Criac ao de provas matem aticas vericadas

Vericac ao de sistemas computacionais ( hardware, software )

Criac ao de programas certicados


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Prova iterativa baseada em t aticas

As provas no Coq s ao construdas de maneira interativa

O sistema mostra feedback para o usu ario

A prova e guiada usando t aticas , que podem ser entendidos comocomandos de prova.


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Exemplo 1

Provar : P Q , Q R P R .

Section Trans.Variables P Q R : Prop.Hypothesis H1 : P > Q.Hypothesis H2 : Q > R.Theorem trans : P > R.

Proof.intro HP.apply H2.apply H1.assumption.

Qed.

End Trans.


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Regras Introduc ao da Implicac ao

A tatica intro introduz uma hip otese

Funciona similar a introduc ao da implicac ao. Para provar P Q :1. Assuma P como hip otese

2. Prove Q

No exemplo, o objetivo era P R e um intro introduz P comohipotese e muda o objetivo para R .


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Regras Eliminac ao da Implicac ao

A tatica apply usa ( aplica ) uma hip otese

Para uma hip otese que e implicac ao, similar a regra de eliminac ao

Se o objetivo e provar B e existe uma hip otese A B , aplicar ahip otese muda o objetivo para A.

No exemplo, quando o objetivo e R , aplicamos Q R , mudando oobjetivo para Q .


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Finalizando uma prova com assumption

Se o objetivo atual j a existe como uma das hip oteses do contexto,assumption encontra a hip otese e naliza a prova do objetivo

No exemplo, o objetivo e P , que est a estabelecido como uma daship oteses, e o assumption naliza a prova.


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Regras Introduc ao da Conjunc ao

A tatica split funciona como uma introduc ao da conjunc ao.

Para provar A B , deve-se provar A e B separadamente.

Se o objetivo e da forma A B , usar split vai criar doissub-objetivos: provar A e provar B .


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Exemplo Conjunc ao, parte 1

Provar : P Q Q P .

Section Comut.Variables P Q : Prop.Hypothesis H : P / \ Q.

Theorem ecom : Q / \ P.

Proof.split ....


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Regras Eliminac ao da Conjunc ao

Uma forma de eliminar uma conjunc ao em uma hip otese e usando atatica inversion .

Se H e uma hip otese da forma A B , inversion H cria duas novahip oteses no contexto: uma armando A, outra armando B .

Voltando ao exemplo anterior, vamos comecar com inversion

paseparar P e Q , depois usar split para separar o objetivo. Depoiss o usar assumption duas vezes (uma para cada sub-objetivo).


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Exemplo Conjunc ao, parte 2

Provar : P Q Q P .

Section Comut.Variables P Q : Prop.Hypothesis H : P / \ Q.

Theorem ecom : Q / \ P.

Proof.inversion H.split .assumption.assumption.

Qed.

End Comut.


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Regras Introduc ao da Disjunc ao

Para provar A B , basta provar um dos dois (podemos escolher).

As taticas left e right funcionam como introduc ao da disjunc ao

Se o objetivo atual e da forma A B , left muda o objetivo para A

Se o objetivo atual e da forma A B , right

muda o objetivo para


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Regras Eliminac ao da Disjunc ao

Podemos usar inversion para eliminar uma disjunc ao de umahip otese.

Funciona diferente da conjunc ao.

Se a hip otese H e da forma A B , inversion H cria doissub-objetivos id enticos ao atual, um assumindo A como hip otese,outro assumindo B como hip otese.

Isso equivale a regra que vimos: para provar A B e preciso mostrarque e possvel chegar na mesma conclus ao usando tanto A quantocomo hip oteses, separadamente.


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Exemplo Disjunc ao

Provar : P Q Q P .

Section OuComut.Variables P Q : Prop.Hypothesis H : P \ / Q.

Theorem oucom : Q \ / P.

Proof.inversion H.right .assumption.left .assumption.

Qed.End OuComut.


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Regras Negac ao

As regras para negac ao no Coq s ao diferentes

Logica intuicionista versus l ogica cl assica

Podemos obter o comportamento cl assico usando axiomas

Dedução Natural com Coq

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