DECADENZA E FINE DELLA SCIENZA ELLENISTICA · Nel quarto libro si studia la Luna e si definisce il...

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FISICA/MENTE

DECADENZA E FINE DELLA SCIENZA ELLENISTICA

PARTE III: GLI ULTIMI SCIENZIATI

Roberto Renzetti

LO SFONDO SOCIO ECONOMICO

Ho già parlato nell'articolo precedente delle vicende storiche che riguardano i regni ellenistici. Aggiungo alcuni riferimenti ed alcune considerazioni.

Abbiamo visto che una prima data di discrimine nella politica culturale dei Tolomei che regnavano sull'Egitto, l'Africa del Nord ed il vicino Oriente fino alla Siria, è il 146 a.C.. Due eventi simultanei iniziarono a minare il regno dei Tolomei. Da una parte la sconfitta, il saccheggio e la distruzione di Cartagine da parte dell'esercito di Roma, dall'altra la sconfitta della Lega Achea (Peloponneso, Eubea, Locride, Focide, Beozia) che, due anni dopo la sottomissione della Macedonia, segna la sottomissione della Grecia a Roma. Tolomeo VIII Evergete II Fiscone un paio d'anni dopo e per ossequiare i romani, cacciò i greci da Alessandria e da ogni ruolo che occupavano nell'amministrazione. Ciò segnava la fine della politica culturale dei primi Tolomei che aveva puntato non solo sul denaro ma sul prestigio culturale e sull'integrazione dell'elemento indigeno con persone culturalmente molto elevate di provenienza straniera. Quella politica era stata vincente se fino alla conquista da parte di Augusto ed anche oltre, l'influenza del mondo alessandrino sul mondo romano, nella cultura, nel costume, nel gusto, nell'arte, era evidente. Ciò comportava teorie di navi che da Alessandria arrivavano ai vari porti che servivano Roma e quindi una florida economia sia produttiva che di intermediazione commerciale con l'Oriente. Roma aveva una qualche soggezione verso chi riconosceva evoluto ed accettava di buon grado la sottomissione. Prova ne sono la concessione di grande autonomia ad Atene dopo la conquista della Grecia e ad Alessandria dopo la conquista del regno dei Tolomei. Dopo quel 146 le cose iniziarono

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a cambiare. Da una parte Roma non credeva di avere la forza per attaccare e conquistare quel regno, dall'altra a quel regno erano state sottratte tutte le zone di scambio e d'influenza. I commerci proseguivano floridi con Roma che appunto richiedeva quei prodotti raffinati e di gusto. Si dovettero rafforzare le rotte carovaniere con l'Arabia, il Sud e l'Oriente visto che l'Egeo ed il Mediterraneo risultavano ora non percorribili se non con direzione Roma. Ma con il passare del tempo si registrava un complessivo impoverimento. Lo Stato continuava a richiedere maggiori risorse per il suo mantenimento e l'economia complessiva non ce la faceva più a sostenerlo. Solo la crescita delle richieste di prodotti da Roma (tessuti in lana ed in lino, cosmetici, papiri, libri, vetreria, spezie, oltre a grandi quantitativi di cereali ed olio) e la favorevole posizione geografica di maggiore vicinanza con i porti italici sommata alla disponibilità di grandi navi da carico, permetteva la sopravvivenza di quel regno ormai circondato da territori conquistati dai romani.

Questa situazione cambiò di nuovo nell'ultima metà del I secolo a.C.. Cesare, a seguito della guerra che lo aveva visto scontrarsi con Pompeo, si recò ad Alessandria nel 48 a.C., dove Pompeo si era recato dopo la sconfitta di Farsalo. Pompeo, per antichi favori fatti, contava nella protezione di Tolomeo XIII Dioniso, marito e fratello di Cleopatra VII Filopatore. Appena arrivato alla corte di Tolomeo, Pompeo fu decapitato e la sua testa venne data in omaggio a Cesare che non gradì. In quei giorni, comunque, Cesare si trovava presso la Biblioteca quando scoppiarono dei tumulti per la lotta fratricida tra Tolomeo e Cleopatra. Fu assediato dai sostenitori di Tolomeo perché intervenisse in suo favore. In tale occasione una parte della medesima biblioteca andò distrutta. Cesare riuscì a venirne fuori sconfiggendo Tolomeo e, dopo un interregno breve di Arsinoe IV, sorella di Cleopatra, imponendo al trono la ventenne Cleopatra che, tanto per non perdere l'abitudine, sposò l'altro fratello, Tolomeo XIV Filopatore.

Dopo l'assassinio di Cesare nel 44, gli eventi si susseguirono rapidi, il potere passò ad Ottaviano, Marco Antonio si unì a Cleopatra, fino allo scontro di Ottaviano con Marco Antonio ad Azio, dove fu sconfitto nel 31 a.C. Da questo momento l'Egitto ed Alessandria divennero provincia di Roma con ulteriore perdita di autonomia anche se almeno formalmente fu garantita alla Biblioteca.

In questa situazione, quando viene meno la motivazione di fondo, lo slancio dovuto all'entusiasmo per qualcosa che si vede crescere e produrre benefici, tutto decade, resta solo da aspettare la fine naturale che arriva quando gli ultimi maestri della straordinaria scuola di Alessandria saranno estinti. E quella scuola era così possente, così profondamente radicata che sopravviverà anche all'Impero Romano d'Occidente, ma non all'intolleranza della Chiesa di Roma.

Gli ultimi grandi scienziati di tale scuola furono Claudio Tolomeo e Diofanto di Alessandria (di Erone di Alessandria ho già parlato nel precedente articolo per i motivi lì illustrati). Qui si passa da un flusso di contributi ad una data disciplina a contributi individuali alla medesimae quindi dovrò titolare i paragrafi con i singoli nomi.

CLAUDIO TOLOMEO

Claudio Tolomeo (circa 85-165 d.C.) fu astronomo, matematico e geografo. Abbiamo pochissime informazioni su di lui. Non si sa con certezza dove nacque anche se si crede fosse ad Alessandria dove avrebbe vissuto. Fu l'ultimo rappresentante dell'astronomia greca



e lavorò probabilmente vicino Alessandria, dove fece le sue osservazioni del cielo nel tempio di Serapis della città di Canopus. Il suo nome lo definisce come cittadino di Roma (Claudio) e come egiziano (Tolomeo). La sua opera principale e più famosa è Mathematike Syntaxis (Μαθηματικ• Σ•νταξις o Trattato di matematica) poi diventata Hè Megalè Syntaxis (Η Μεγ•λη Σ•νταξις o Il grande trattato) per distinguere quest'opera da altre consimili che raccoglievano le conoscenze astronomiche dell'epoca ma in modo molto succinto e fu scritta in 13 volumi intorno al 150 d.C., sotto l'imperatore Antonino Pio. Essa era basata sui lavori dei grandi astronomi greci e particolarmente di Ipparco oltre ad altre osservazioni fatte dal matematico ed astronomo Teone di Smirne che probabilmente fu anche suo maestro anche se maestro da poco per quel che sappiamo di lui. Ciò vuol dire che fu la Biblioteca il vero centro di informazioni per Tolomeo. Quest'opera fece la fine di tutte le altre produzioni della scienza ellenistica e finì persa e dimenticata. Una traduzione araba di Ishak Ibn Houain, patrocinata dal califfo Al-Ma'mun e fatta a Baghdad intorno all’827, apparve in Spagna nel XII secolo con il titolo di Al-Majisti, Il più grande, dove fu tradotta prima in spagnolo con il titolo di Composición matemática quindi dall'arabo in latino da Gerardo da Cremona (Toledo 1175) con il titolo di Almagesti. L'opera originale greca fu ritrovata nel 1538 e da essa provengono pregevoli edizioni.

Altre opere di Tolomeo furono:

- la Geografia (8 libri), una descrizione del mondo abitato ed redazione di mappe costruite a partire dal geografo Marino di Tiro e quindi da relazioni di vari viaggiatori. Notevole la sovrapposizione di un quadrettato alle mappe come inizio del sistema di localizzazione mediante latitudine e longitudine.

- il Tetrabiblos (4 libri), un trattato di astrologia.

- l'Ottica (5 libri pervenutici in una disastrosa traduzione), un trattato sulle proprietà ed il comportamento della luce con particolare riferimento a colore, riflessione, rifrazione e specchi.

- l'Ipotesi Planetaria (due libri), una esposizione divulgativa dei suoi risultati astronomici.

- il Planisphaerium, tratta della proiezione stereografica della sfera celeste su di un piano. Tolomeo descriveva la proiezione stereografica in cui i punti della sfera celeste vengono proiettati lungo linee che vanno da un polo a un piano, nel caso specifico di Tolomeo, dal polo Sud al piano dell’Equatore. Egli sapeva che in tale trasformazione un cerchio non passante per il polo di proiezione diventava un cerchio nel piano, e che un cerchio passante per il polo veniva proiettato in una linea retta. Tolomeo era anche consapevole del fatto importante che tale trasformazione è conforme, ossia in essa vengono conservati gli angoli.

- l'Analemma, discute i metodi per trovare gli angoli necessari per costruire un orologio solare che sia anche in relazione con la proiezione ortografica di punti della sfera celeste su di un piano. In questa trasformazione di una sfera in un piano, i punti della superficie sferica vengono proiettati ortogonalmente su tre piani reciprocamente ortogonali.

Vediamo qual è il contenuto dell'Almagesto cercando di cogliere le novità rispetto ad Ipparco e di capire la grande fortuna di questa opera almeno dalla sua riscoperta (XII secolo) ai lavori di Copernico, Kepler, Galileo (fine XVI e XVII secolo). Sommariamente i 13 volumi di cui si compone l'opera hanno il seguente contenuto:

1. Il libro primo descrive il sistema geocentrico. 2. Nel secondo libro si discute la periodicità degli equinozi e la lunghezza dell'anno.



3. Il terzo libro tratta di solstizi ed equinozi. 4. Nel quarto libro si studia la Luna e si definisce il mese sinodico (periodo di tempo che intercorre tra due identiche fasi consecutive della Luna valutato in 29,53 giorni) 5. Il quinto libro tratta la correzione di parallasse delle posizioni del Sole e della Luna. 6. Nel sesto libro viene presentata una misura del diametro apparente del Sole e della Luna e viene trattato un metodo per predire le eclissi. 7. Nel libro settimo si dimostra che le posizioni relative delle stelle sono fisse. 8. Il libro ottavo è un catalogo delle stelle australi note (a quel tempo). 9-13. I libri dal nono al tredicesimo mostrano i metodi utilizzati da Tolomeo per il calcolo delle posizioni e traiettorie dei pianeti con una trattazione del metodo degli epicicli e deferenti integrato con gli equanti.

Iniziamo con il vedere le premesse fisiche dell'opera che poi sono le concezioni del mondo che aveva Tolomeo di ispirazione aristotelica. Tali concezioni sono date da Tolomeo come 5 postulati:

1 - Il cielo è sferico e gira attorno ad un asse passante per il centro della Terra.

2 - 3 - 4 - La Terra è uno sferoide situato nel centro del cielo e può considerarsi come un punto quando le sue dimensioni si confrontino con il raggio della sfera celeste.

5 - La Terra non è dotata di alcun moto di traslazione.

La giustificazione della sfericità dei cieli proviene sia dall'osservazione del moto circolare delle stelle circumpolari sia dal fatto che i cieli sono costituiti di etere (la quintessenza o quinto elemento) che è una sostanza sottile ed omogenea. La superficie dei corpi omogenei deve essere anch'essa omogenea e la figura solida più omogenea che esiste è la sfera, cosicché l'etere deve avere forma sferica.

La giustificazione della Terra al centro dell'Universo è basata su un supposto dato osservativo: se la Terra non fosse al centro sarebbe possibile alla sfera dell'orizzonte bisecare la sfera delle stelle fisse (quanto sostenuto da Tolomeo è un tranquillizzare il lettore perché proprio i suoi lavori sposteranno la Terra dal centro inoltre il problema della bisezione, come osserverà Copernico, esisterebbe solo nel caso la Terra fosse molto distante dal centro dell'Universo; il tutto è quindi legato alle dimensioni relative della Terra e della sfera delle stelle, come del resto lo stesso Tolomeo sosterrà in un suo postulato quando afferma che la Terra è da considerarsi come un punto rispetto all'Universo).

Ciò che più interessa è però l'ultimo postulato che compare per evidenti motivi di polemica con le teorie di Aristarco, evidentemente ancora ben presenti agli studiosi. Le obiezioni al moto della Terra rappresentano un arretramento totale rispetto alle argomentazioni dei meccanici di Alessandria di 3 e 4 secoli prima. Compare una meccanica primitiva all'interno della concezione aristotelica dello spazio.

Intanto si richiama la teoria aristotelica dei luoghi naturali che vuole che ciò che è pesante debba andare verso il basso che è il luogo della Terra. E quando un oggetto ha raggiunto il suo luogo naturale, si ferma. In definitiva l'intera Terra sta ferma anche perché servirebbe un motore gigantesco per metterla in movimento (cosa che non accade per tutti i cieli che sono eterei). Dice Tolomeo riguardo ai gravi:



Così mi sembra almeno superfluo ricercare le cause del moto verso il centro, una volta che risulta chiaro da ciò che si può osservare, che la terra occupa il centro dell'universo e che tutti i pesi si muovono verso di esso.

Vi erano poi ragioni che riguardavano il moto di oggetti sulla superficie terrestre: se la Terra ruotasse sul proprio asse verso oriente, una pietra lanciata in alto verticalmente dovrebbe ricadere ad occidente del punto di partenza; poiché si era capito che la Terra era abbastanza grande, se avesse fatto un giro sul proprio asse in 24 ore, la sua velocità sarebbe stata enorme e ciò avrebbe comportato che noi dovremmo sempre vedere nuvole ed uccelli andarsene a grande velocità verso occidente; infine la Terra, proprio per la sua grandezza relativamente ai piccoli oggetti che si trovano su di essa, dovrebbe scagliare via da sé tutti gli oggetti non legati saldamente ad essa (questi problemi saranno risolti quando sarà stabilito da Bruno e Galileo il Principio d'Inerzia). A tal proposito dice Tolomeo:

se anche [la terra] avesse un unico comune movimento, lo stesso degli altri pesi, è chiaro che essa lascerebbe indietro ogni cosa a causa della sua enorme grandezza; e gli animali e gli altri pesi separati da essa resterebbero sospesi nell'aria, ed essa molto rapidamente cadrebbe fuori dell'universo. Ma queste sono solo ipotesi da fantasticare, essendo completamente assurde. (...) a giudicare da ciò che avviene intorno a noi e nell'aria e nella terra, una tale idea dovrebbe apparire del tutto assurda (...) [I sostenitori di questa idea] dovrebbero ammettere che la rotazione della terra sarebbe il più violento dei movimenti che si svolgono intorno a essa ( ... ). Nessuna nuvola apparirebbe in moto verso est, né tutto ciò che vola o viene scagliato, poiché la terra l'anticiperebbe sempre superando il suo moto verso est, in modo che ogni cosa sembrerebbe restare indietro o retrocedere verso ovest.

Ma anche ammettendo, come alcuni sostenitori del moto assiale obiettavano, che nel suo moto la Terra si trascini l'aria, la cosa non può essere ammessa per gli oggetti pesanti che si muovono attraverso l'aria e neppure si può ammettere che gli oggetti pesanti che si trovano sulla Terra possono essere considerati come attaccati all'aria perché in tal caso non sarebbe possibile nessun cambiamento delle reciproche posizioni di tali oggetti nell'aria. Tali corpi pesanti non potrebbero

apparire né muoversi in avanti, né rimanere indietro ( ... ). Non potrebbero muoversi né cambiare posizione, né col volo né essendo scagliati, mentre vediamo così chiaramente che tutte le cose si verificano senza che lentezza o rapidità derivi loro dal fatto che la terra non sia ferma.

Infine vi erano i dati dell'osservazione di parallasse stellare che sembrava non esserci (ma questo che era l'argomento apparentemente più fondato, probabilmente era quello che al pubblico doveva sembrare il meno interessante).

Come accennato, Tolomeo sviluppò il sistema cosmologico di Apollonio ed Ipparco. Gli influssi sono platonici (è fine indispensabile del matematico mostrare che tutti i fenomeni celesti sono il prodotto di moti regolari e circolari) ma l'impianto è derivato dalla Fisica di Aristotele. Con un particolare non da poco: i procedimenti geometrici utilizzati subordinavano i problemi delle orbite reali dei pianeti e gli insegnamenti della fisica aristotelica alla precisione del calcolo. Altra notazione importante è relativa al fatto che questa è la prima opera in cui si trova esposta ed applicata la trigonometria piana e sferica. E Gino Loria osserva che sgraziatamente Tolomeo ne fa conoscere solo quel tanto che è indispensabile per conseguire il fine a cui egli mirava. E ciò vuol dire, ancora una volta,



che vi era una trigonometria greca molto sviluppata e tale da far elaborare a Tolomeo conti estremamente complessi con teoremi avanzati (formule di addizione e sottrazione per il seno ed il coseno, formule di bisezione, ...), ma solo nella loro parte applicativa. Tale trigonometria, nella sua formulazione teorica che si basava sulle corde ed iniziata da Ipparco, non la ritroviamo in alcuna fonte originale e deve quindi essere andata perduta.

Anche Tolomeo, per descrivere i moti degli astri, ebbe di fronte le due possibilità con le quali si erano cimentati Apollonio ed Ipparco: l'eccentrico mobile ed il più versatile epiciclo-deferente. Il primo, l'eccentrico mobile, (lo ricordo ma è preferibile rivedere la parte di astronomia dell'articolo precedente) supponeva che i pianeti si muovessero in cerchio intorno ad un punto, non coincidente con il centro della Terra, ma collocato sulla linea che unisce il centro di questa al Sole. Questo punto eccentrico si muoveva in cerchio intorno alla Terra. Il secondo, l'epiciclo-deferente, supponeva che un pianeta si muovesse in un cerchio diverso il cui centro era stazionario rispetto alla Terra, senza essere necessariamente posto sulla Terra stessa. Il cerchio interno era il deferente e quello esterno, che portava il pianeta, l'epiciclo. Non c'era limite al numero dei cerchi che si potevano postulare.

Fin qui per ciò che sapevamo e, ricordo, qualche cosa del moto degli astri non era ancora perfezionato.

Tolomeo scrisse a 300 anni di distanza da Ipparco e non risultano particolari sue osservazioni relativamente al moto del Sole, se riprese semplicemente la teoria di Ipparco (anche se egli preferiva per il Sole il metodo dell'eccentrico a quello dell'epiciclo e deferente preferito invece da Ipparco). Questo fatto comportò un grave errore poiché, oltre all'errore di eccentricità che a suo tempo aveva fatto Ipparco, nei 300 anni che erano trascorsi, la precessione ed altri fenomeni connessi avevano accresciuto l'errore nella posizione del Sole nelle tavole astronomiche fino a 100'. Infatti il Sole non ha moto retrogrado e quindi il moto del Sole non ha bisogno di un grande epiciclo ed è anche impossibile descrivere il suo moto mediante un deferente centrato sulla Terra che ruoti a velocità costante poiché il tempo che il Sole impiega per andare dall'equinozio di primavera a quello di autunno è lungo circa 6 giorni in più del tempo richiesto per tornare dall'equinozio di autunno a quello di primavera. In un mezzo giro del Sole si hanno velocità apprezzabilmente differenti.

Un contributo importante venne però realizzato sul moto della Luna dove si dispiega l'originalità di Tolomeo nei più svariati campi simultaneamente: in astronomia e cosmologia, in matematica e fisica, nella predizione e spiegazione. Risultava evidente infatti che la teoria di Ipparco della Luna era erronea in più punti soprattutto nei momenti di allineamento di Terra, Luna e Sole ed alcune volte nei momenti di quadratura. Tolomeo introdusse qui l'equante, un sistema che ammette che la velocità lineare del centro dell'epiciclo lungo il deferente può non essere uniforme (che si discosta quindi da Platone che prevedeva solo moti circolari uniformi). Ma l'abbandono di moti uniformi sarebbe stato troppo traumatico per il pensiero corrente che vedeva nel cielo la perfezione di circonferenze ed uniformità. Ed il sistema equante prevedeva infatti una semplice sostituzione: in luogo di una velocità lineare uniforme si ammetteva una velocità angolare uniforme. Si ammetteva cioè che la velocità lineare del centro dell'epiciclo lungo il deferente potesse non essere uniforme. Per salvare l'ortodossia (i fenomeni) si supponeva però che la velocità angolare del centro dell'epiciclo lungo il deferente fosse uniforme rispetto ad un punto, il punto equante (con il solo termine equante si intende invece la distanza tra il punto equante ed il centro del deferente), posto all'interno del deferente, anche se non necessariamente nel suo centro(1).



Combinazione di eccentrico, epiciclo ed equante. Il pianeta P ruota a velocità lineare costante nel suo epiciclo mentre il centro dell'epiciclo A ruota a velocità angolare costante intorno al punto E (punto equante), velocità che può essere variabile rispetto al centro della circonferenza C. La Terra T risulta in posizione eccentrica. La posizione che Tolomeo ritenne più favorevole per E è sulla linea che unisce la Terra con il centro della circonferenza e tale che TC = CE. In definitiva E era il centro del moto angolare uniforme, C era il centro delle distanze uguali mentre T era il centro delle osservazioni.



Questa animazione permette di seguire il moto del centro A dell'epiciclo (puntino azzurro mobile) intorno all'equante (punto nero fisso). Il punto giallo è la Terra in posizione eccentrica., il puntino azzurro fisso è il centro della circonferenza.

Dalle anomalie della Luna (almeno tre) rispetto alla teoria di Ipparco, Tolomeo ricavò una sorta di variabilità del raggio dell'epiciclo, maggiore nelle quadrature che negli allineamenti. Poiché non era pensabile che fosse davvero questo raggio a variare in lunghezza, doveva essere la distanza di tale raggio dalla Terra a variare in modo tale che in tempi diversi si vedesse sotto angoli diversi. Tolomeo realizzò quindi un sistema in cui il centro dell'epiciclo si muoveva su un cerchio eccentrico non più, come detto, a velocità lineare costante ma a velocità angolare costante rispetto alla Terra. Questa operazione eliminò una delle anomalie, la più evidente, relativa ad allineamenti e quadrature. Scoprì poi la seconda, oggi chiamata evezione (un avanzamento o ritardo rispetto alla posizione calcolata e sulla quale non mi soffermo), che corresse mediante una combinazione complicata di epiciclo ed eccentrico mobile con un valore vicino a quello che oggi accettiamo. Non riuscì invece a risolvere la terza anomalia (nota oggi come variazione) che però gli fece complicare ancora di più la parte teorica e le costruzioni geometriche. Tutto ciò era completamente fuori da una spiegazione fisica per essendo perfettamente giustificabile da un punto di vista matematico. Negli anni a venire queste costruzioni sempre più complesse fecero rimpiangere a molti astronomi e non solo una spiegazione che avesse un maggiore sapore fisico. In particolare avanzava una domanda del tipo: perché tali spiegazioni artificiose funzionano ?

Sistemato nel modo migliore possibile, per gli strumenti di cui Tolomeo disponeva(2) che non davano precisioni superiori a 10' di arco celeste, il moto della Luna, egli estese i suoi studi ai pianeti che di fatto presentavano le maggiori irregolarità. I moti di tali pianeti vengono riferiti da Tolomeo al piano dell'eclittica (rispetto al quale il deferente di ogni pianeta ha una piccola inclinazione) ma il deferente è eccentrico rispetto alla Terra proprio per spiegare le anomalie zodiacali dei pianeti (dovute, come oggi sappiamo, al loro moto in orbite ellittiche). E' poi l'epiciclo, su cui il pianeta si muove di moto uniforme, che spiega le retrogradazioni del pianeta medesimo. Ma tutto questo non bastava a mettere d'accordo teoria ed osservazioni ed allora Tolomeo introdusse anche qui il punto equante E.

Al fine di capire quali furono i passi di Tolomeo, c'è da dire che fino ad ora egli aveva fatto calcoli relativi al piano dell'eclittica ed in tal modo aveva toccato solo anomalie di longitudine nei moti degli astri. Eventuali anomalie in latitudine non potevano essere corrette su quel piano e la cosa era stata già capita da Eudosso e Callippo. Per questo motivo il lavoro di aggiustamento che Tolomeo fece nei calcoli relativi ai pianeti iniziò con l'inclinare opportunamente ed in maniera differente alcune orbite epicicliche rispetto al piano del deferente ma in modo che tali orbite si mantenessero parallele al piano dell'eclittica (figura a). E questo per Marte, Giove e Saturno (pianeti esterni). Operazione analoga fece per Mercurio e Venere (pianeti interni) con la differenza che qui gli epicicli erano mantenuti obliqui rispetto al piano dell'eclittica (figura b).



Figura a. La figura è relativa ai pianeti esterni. Il piano dell'equatore dell'epiciclo è parallelo a quello dell'eclittica, benché non lo sia il piano dell'orbita.

Figura b. La figura è relativa ai pianeti interni. Il piano dell'orbita dell'epiciclo non solo è parallelo a quello dell'eclittica lungo la linea che unisce l'apogeo con il perigeo, ma è anche inclinato obliquamente rispetto al piano dell'eclittica.

Era l'unico modo(3) che si presentò a Tolomeo per spiegare il fatto che i pianeti esterni si osservano nella posizione più a Nord o al Sud dell'eclittica quando si trovavano al perigeo dei propri epicicli. Per quel che riguarda invece i pianeti inferiori le cose erano diverse perché le loro orbite erano poco inclinate rispetto all'eclittica. Questi pianeti interni, in una situazione in cui non si sapeva proprio come trovare un sistema per ordinare i pianeti nella loro successione(4), davano maggiori problemi sulle latitudini in quanto chiusi, come diremmo oggi, dall'orbita della Terra. Il complesso di queste complicazioni, a ben guardare, nasceva dal mancato sviluppo di un'algebra adeguata. Nella situazione di una geometria che era la sola protagonista delle spiegazioni delle cose del mondo ad essa si assegnava il potere risolutivo di tutto, e se la spiegazione non veniva evidentemente non c'era. Confrontandosi con altri strumenti esplicativi probabilmente si sarebbe acquisito un relativismo in grado di lasciare in sospeso ciò che non si risolveva al momento.

A questo punto vi sarebbero ancora molte cose del sistema tolemaico da spiegare ma il



tutto è un insieme troppo complesso dal punto di vista matematico. La gran parte dell'Almagesto è costituita da tavole trigonometriche, da lunghi conti che fanno seguito a date osservazioni, da diagrammi, ... entrare in tali dettagli sarebbe operazione inutile e comunque esula dall'economia di questo lavoro. Posso solo aggiungere che Tolomeo, per spiegare la precessione degli equinozi (dovuta, come oggi sappiamo, al movimento a doppio cono dell'asse terrestre) suppose che, al di fuori della sfera stellata (che era l'ottava del suo sistema semplificato come in quello di Aristotele) vi fosse una nona sfera che ruotava in verso opposto all'ottava. Quando il motore primo fu separato dalla sfera delle stelle fisse, diventò la decima sfera, esterna alla nona.

Disegno estremamente semplificato del sistema tolemaico. Vi compare solo l'ordine delle sfere concentriche.



Altro disegno rappresentante il sistema tolemaico semplificato.

Ancora un disegno del sistema tolemaico semplificato



In questo disegno è rappresentato il mondo aristotelico-tolemaico semplificato con già presente l'impronta cristiana. E' il riferimento dal quale Dante Alighieri elaborerà la Divina Commedia.

Con le sue costruzioni ed invenzioni, comunque, Tolomeo riesce a determinare, con calcoli basati su osservazioni: la misura dell'epiciclo, l'eccentricità, le tavole per il calcolo della posizione longitudinale, le grandezze e durate delle retrogradazioni. Con il sistema tolemaico risultano completamente determinati (nei limiti degli errori di misura della strumentazione allora a disposizione) i movimenti della Luna e dei pianeti. Rispetto ai criteri di giudizio esistenti, vi era almeno un grande peccato, la rottura (con l'introduzione degli equanti) della concezione del mondo basato su moti circolari uniformi centrati sulla Terra; rispetto alle osservazioni, vi era la non considerazione di alcune irregolarità nei moti della Luna e dei pianeti. Dice nell'Almagesto lo stesso Tolomeo:

L'astronomo deve sforzarsi in tutti i modi possibili di far concordare le più semplici ipotesi con i movimenti celesti; ma se ciò non riuscisse, deve prendere quelle ipotesi che possono corrispondere.

Il tutto è in ogni caso comprensibile se ci si riferisce allo scopo che sembrava avere Tolomeo: costruire un modello che spiegasse i moti della Luna e dei pianeti e ne rendesse prevedibili in anticipo le posizioni, indipendentemente da ogni validità fisica di esso.



Si può in definitiva dire, con Dreyer, che il sistema tolemaico, considerato nel suo complesso, merita la nostra ammirazione come efficace strumento per la costruzione di tavole dei moti del Sole, della Luna e dei pianeti. Ma una cosa deve essere rimarcata: da numerose asserzioni e da quanto lo stesso Tolomeo più volte dice, sembra che quei cerchi, quei moti, quei punti, venissero considerati semplicemente come mezzo idoneo per calcolare le posizioni degli astri. Mai vi è l'affermazione che quelle descrizioni fossero la realtà dei moti di quegli astri. Nella forma da me molto superficialmente illustrata, con una rappresentazione geometrica dei moti celesti che non pretendeva di dare un quadro esatto del sistema reale del mondo, il sistema tolemaico fu considerato per circa 1400 anni come la Bibbia dell'astronomia. I successori di Tolomeo per migliorare la precisione o la semplicità della teoria aggiunsero epicicli su epicicli, deferenti a deferenti. Come osserva Kuhn, il problema dei pianeti era diventato un problema di disegno: un problema da affrontare soprattutto con nuove combinazioni di elementi già esistenti.

Ma Tolomeo mostra in più parti di desiderare una spiegazione fisica di ciò che egli aveva descritto matematicamente (nell'Ipotesi planetaria, ad esempio, egli sostituisce i cerchi platonici con delle strisce di sfere dal carattere più materiale inoltre respinge il meccanismo aristotelico delle sfere agenti le une sulle altre che necessitano quindi di sfere compensatrici). C'è da osservare infine che mentre il De Coelo di Aristotele descriveva l'intero universo in termini relativamente semplici, l'Almagesto di Tolomeo risultava molto complicato. A partire dal XII secolo, quando le due opere furono conosciute, la logica, la filosofia e la cosmologia di Aristotele vennero assimilate molto più rapidamente dell'elaborata astronomia tolemaica. Quando l'Occidente cristiano dovette scegliere tra i due sistemi, esitò. Iniziarono dispute tra i filosofi che difendevano il sistema fisico di Aristotele e quelli che difendevano il sistema matematico di Tolomeo. L'atteggiamento assunto era di questo tipo: "... non è compito dell'astronomo stabilire cosa sia immobile per natura e di che genere siano le cose mosse ... l'astronomo deve considerare quali ipotesi sono in accordo con i fenomeni osservati nei cieli. Dal fisico egli deve accettare il principio che i moti che i moti delle stelle sono semplici, uniformi e regolari, che le rivoluzioni dei corpi celesti sono circolari ..." (Simplicio, VI secolo d.C.).

Fornisco ora un cenno ad altri argomenti studiati e sviluppati da Tolomeo, ad iniziare dalla sua Geografia (o Cosmographia). Fu Tolomeo, come accennato, ad introdurre il reticolato sovrapposto alle mappe e quindi al metodo delle latitudini e longitudini (con la grave complicazione che all'epoca non si avevano metodi affidabili per determinare quest'ultima) per individuare un punto sulla carta geografica. Egli catalogò fiumi, monti, città, ... con molti errori dovuti proprio alla determinazione della longitudine. Egli fornì 26 mappe particolari(5) da affiancare a quella complessiva del mondo, mostrata nella figura seguente. Ed a proposito di



tale carta del mondo allora conosciuto vi è un'osservazione da fare. Come dimensione della Terra, Tolomeo prese i 180 mila stadi ricavati del geografo Posidonio di Rodi (uno stoico che visse all'incirca tra il 130 ed il 50, anche a Roma dove fu maestro di Cicerone) e non i 252 mila stadi di Eratostene. Questa valutazione comportò che all'Eurasia veniva assegnata una longitudine di 180° invece dei circa 130° che occupa. Osserva Boyer che questo grande errore indusse i navigatori come Colombo ad affrontare il viaggio verso le Indie dalla parte dell'Atlantico, viaggio che non avrebbero intrapreso con i dati di Eratostene.

Dopo aver ricordato che contributi di Tolomeo si hanno anche nella sua Ottica(6), passo ad illustrare un suo contributo matematico, il teorema di geometria che porta il suo nome. Tale teorema (capitolo IX del libro I dell'Almagesto) serviva a Tolomeo per ricavarsi le tavole delle corde nell'Almagesto.

Teorema. Sia dato un quadrilatero ABCD inscritto in un cerchio. La somma dei prodotti delle due coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.

Cioè:

AD.BC + AB.CD = AC.BD

Dimostrazione.



Sulla diagonale BD si scelga un punto M tale che gli angoli ACB ed MCD siano uguali. Si ha poi che anche gli angoli BAC e BDC sono uguali poiché insistono sullo stesso arco. Quindi i triangoli ABC e DMC sono simili. Dalla similitudine segue:

CD:MD = AC:AB => AB·CD = AC·MD

Ora poiché gli angoli BCM ed ACD sono uguali, i triangoli BCM ed ACD sono simili di modo che possiamo scrivere:

BC:BM = AC:AD => BC·AD = AC·BM

Sommando le due identità otteniamo:

AB·CD + BC·AD = AC·MD + AC·BM = AC·BD

Concludo questa breve discussione dell'opera di Tolomeo soffermandomi in breve sul suo lavoro astrologico, il Tetrabiblos(7). Riporto in proposito il giudizio dello storico della matematica Boyer:

Nessun resoconto dell'attività scientifica di Tolomeo sarebbe completo senza un cenno al suo Tetrabiblos (o Quadripartitum), giacché esso ci mostra un aspetto della scienza antica che siamo inclini a trascurare. Gli autori greci non furono sempre quei modelli di razionalità e chiarezza di pensiero quali pensiamo essi fossero. L'Almagesto è effettivamente un modello di buona matematica e di accurati dati di osservazione usati per costruire una sobria astronomia scientifica; ma il Tetrabiblos (o opera in quattro libri) descrive una sorta di religione degli astri in cui gran parte del mondo antico credeva. Con la fine dell'Età aurea, la matematica e la filosofia dei greci si mescolavano con l'aritmetica e l'astrologia dei caldei, e la forma di pseudoreligione che ne risultò venne a riempire il vuoto lasciato dall'abbandono della vecchia mitologia. Tolomeo sembra avere condiviso i pregiudizi del suo tempo: nel Tetrabiblos egli sostiene che non si dovrebbero dissuadere gli astrologi dal loro lavoro, per timore della possibilità di errori, più di quanto non si scoraggino i medici. Quanto più si procede nella lettura di quest'opera, tanto più se ne resta delusi, giacché l'autore non esita ad accettare le credenze superstiziose del suo tempo. Il Tetrabiblos non solo differisce dall'Almagesto come l'astrologia differisce dall'astronomia; ma le due opere fanno anche uso di tipi diversi di matematica. L'Almagesto è un'opera positiva e sofisticata che fa buon uso della geometria sintetica greca; il Tetrabiblos è tipico della pseudooscienza di quel tempo per quanto riguarda l'adozione di primitive tecniche aritmetiche babilonesi. Dalle opere classiche di Euclide, di Archimede e di Apollonio si potrebbe ricavare l'impressione che la matematica greca si occupasse esclusivamente di ragionamenti geometrici del più alto livello logico; ma il Tetrabiblos di Tolomeo testimonia che la gente comune era in generale più interessata ai calcoli aritmetici che non al pensiero razionale. D'altra parte per lo meno dai tempi di Alessandro Magno e fino alla fine del mondo antico vi furono senza dubbio molti scambi tra la Grecia e la Mesopotamia, ed evidentemente l'aritmetica e la geometria algebrica dei babilonesi continuarono ad esercitare un considerevole influsso sul mondo ellenistico.



Come sia potuto accadere che dalla razionalità del periodo d'oro alessandrino si sia passati a questa brutale decadenza lo possiamo intuire dalle parole di Boll, Bezold e Gundel nella loro Storia dell'astrologia:

Privo di simpatie mistiche, Aristotele, malgrado la sconfinata vastità dei suoi interessi, non si occupa della teoria astrologica. La sua dottrina dell'etere come quinto elemento sovraterreno divide nettamente il mondo al disotto della Luna dalla regione delle stelle. Eppure, la sua ipotesi che tutti i movimenti debbano in definitiva originarsi dal primo mobile, la sfera delle stelle fisse, e che quindi ogni mutamento avvenuto sull'imperfetta Terra trovi la sua causa in mutamenti numericamente stabiliti nel perfetto mondo superiore, costituisce per l'astrologia una base non meno feconda di sviluppi che la sua visione di una struttura cosmica murata e saldamente conclusa; visione che, malgrado ogni obiezione della scuola democritea, si prolunga e sopravvive fino all'epoca di Giordano Bruno.

Così, a poco a poco, maturano i tempi per l'accettazione della religione astrale e delle credenze astrologiche orientali. E' nel periodo dell'ellenismo che queste dottrine celebrano il loro trionfo in Grecia. Solo poco tempo prima, il grande astronomo e amico di Platone, Eudosso, che pur conosceva l'astronomia e la meteorologia babilonese, aveva negato ogni credito ai «Caldei », cioè agli astrologi ed astromanti dell'Eufrate. Ma già in Teofrasto, allievo di Aristotele, troviamo ammirazione, o almeno stupore attonito, per la loro arte. Il poeta delle costellazioni e dei pronostici del tempo, Arato (intorno al 275), ignora completamente l'astrologia; eppure, la stessa popolarità, per noi incomprensibile, del suo poema è un indizio della crescente attenzione rivolta dai Greci al cielo stellato. E, alla fine del periodo ellenistico, le legioni vittoriose di Cesare portano il Toro come figura zodiacale di Venere, in quanto capostipite della gens Julia, in tutto il mondo conosciuto; Augusto fa pubblicare il proprio oroscopo e battere monete con il simbolo del Capricorno, il segno sotto il quale ha visto la luce; Orazio deve fugare gli scrupoli astrologici di Mecenate. La vittoria dell'astrologia orientale può dirsi ormai decisa: essa è stata riportata nei tre secoli da Alessandro ad Augusto. Come ciò sia potuto avvenire, permette di spiegarlo l'intero corso di sviluppo, che qui possiamo soltanto sfiorare in brevi accenni, dell'ellenismo. Nella prima metà di questo periodo, l'elemento greco è quello che irrompe vittorioso nell'Oriente e, con enorme forza di espansione, nel corso e per riflesso delle spedizioni di Alessandro riempie il mondo della propria lingua e cultura. Ma, nella seconda fase, le titaniche forze primordiali dell'Asia si ribellano con vigore incorrotto agli invasori: l'aristocrazia greca, che naturalmente domina più nelle città che nelle campagne sconfinate, subisce in misura crescente l'influsso delle antiche religioni e abitudini di vita orientali. Ha così inizio la fatale evoluzione che finirà per distruggere il carattere peculiare della «Grecità»: gradatamente questa si allontana dal Logos, la conoscenza scientifica, onore e vanto del suo spirito, per abbracciare la Gnosis, la conoscenza mediante la visione, l'estasi, la rivelazione. Ancora agli inizi del II secolo a.C., il pensiero greco ha la forza di invadere il suolo di Babilonia con le sue più ardite dottrine; l'unico sostenitore a noi noto del sistema cosmico «copernicano» propugnato da Aristarco, Seleuco di Seleucia sul Tigri, riceve il soprannome di «caldeo», sia che fosse veramente un babilonese ellenizzato o un greco oriundo della Mesopotamia. Ma in Posidonio, il grande stoico, all'alba del I secolo a.C., l'astrologia è al vertice della contemporanea scienza greca:



chiaro segno di come i tempi siano cambiati. Lo stesso accade per le concezioni religiose, per le quali le antiche divinità greche significano ormai ben poco; ciò spiega il trionfo, da un lato, del culto della ciecamente imperante Tyche, la dèa della Fortuna, il cui umore capriccioso fa temere ma anche sperare di tutto ai comuni mortali nelle tempeste dell'èra dei Diadochi e, più tardi, della rivoluzione romana, dall'altro del culto di Ananke o Heimarmene, il Destino inesorabilmente e spietatamente fissato dall'eternità, che, concepito in termini astrologici, fa ricadere su ogni testa mortale il peso di tutto l'universo. Alla magia e alle religioni soteriologiche si chiede, come il più importante servigio che possano rendere all'uomo, di liberarlo da un simile fardello. Da Tyche ad Heimarmene, da questa alla magia e ai culti misterici e catartici - ecco, ridotto ai suoi tratti più elementari, il ciclo storico della religione ellenistica. (...)

Come la religione, così la scienza. Non solo la speculazione filosofica, con particolare riguardo all'influente neoplatonismo, apre le porte all'astrologia malgrado la fiera opposizione di Plotino; medicina e botanica, chimica, mineralogia, etnografia, insomma tutte le scienze della natura, ne sono più o meno imbevute, e tali rimangono fino al tardo Rinascimento. L'alchimia, anticamera della chimica, è in realtà la sorella minore della scienza astrologica, con la quale ha in comune tanti misteri.

DIOFANTO

Diofanto è l'ultimo grande scienziato di Alessandria. E' noioso ripetere cha anche su lui non sappiamo quasi nulla. Sembra sia vissuto approssimativamente dentro le date seguenti 200 - 298. Su un tal Diofanto abbiamo un epitaffio scritto a modo di problema che si trova nel Libro XIV dell' Antologia Palatina(8). Secondo ciò che vi è scritto sembra che Diofanto sia vissuto 84 anni. Questo l'epitaffio:

Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae illius, mira denotat arte tibi. Egit sex tantem juvenie; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima. Septante uxori post haec sociatur, et anno formosus quinto nascitur inde puer. Semissem aetatis postquam attigit ille paternae, infelix subita morte peremptus obit. Quator aestater genitor lugere superstes cogitur, hinc annos illius assequere.

questa la traduzione:

Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.

La soluzione per chi conosce un poco di algebra è:



x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x

da cui si ricava x che è l’età di Diofanto:

x = 84.

Il problema è ora un altro: di quale Diofanto si tratta ? Perché, anche se gli indizi sono forti, non abbiamo alcuna certezza che si tratti del matematico Diofanto.

Del Diofanto di Alessandria, matematico di grande levatura ma anche ultimo scienziato di Alessandria che merita di essere ricordato, sappiamo che scrisse l'Arithmetica in tredici libri dei quali ce ne sono pervenuti solo sei. Altre sue opere furono: Numeris Multangulis (o Sui numeri poligonali), Porismas (che probabilmente faceva parte dell'Arithmetica), Sui numeri frazionari. L'Arithmetica fu ritrovata a Venezia, probabilmente qui giunta per qualche scambio commerciale con Bisanzio, da Johann Müller detto Regiomontano, matematico e astronomo tedesco, intorno al 1464 e la prima traduzione latina è di Wilhelm Holzmann, Diophanti Alexandrini Rerum libri sex, Basilea, 1575. Successivamente, nel 1621, compare l'edizione di Bachet de Méziriac con il titolo: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex; et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati, Paris 1621 ed in tale edizione vi è anche l'unico libro Sui numeri poligonali. L'Arithmetica è una raccolta di 150 problemi che iniziano l'algebra e conducono alla risoluzione di equazioni che oggi diciamo di I e II grado in una o più incognite (c'è da osservare che di tali equazioni, la maggior parte delle quali sono indeterminate, Diofanto accetta solo le soluzioni razionali, intere o frazionarie, positive). E' opportuno precisare che i termini dell'epoca non corrispondono ai nostri, infatti aritmetica in Grecia è la teoria dei numeri e non il semplice calcolo numerico. In questa opera, per la prima volta a nostra conoscenza nella cultura di derivazione ellenistica, si tratta una matematica in cui non compaiono procedimenti geometrici, una matematica nuova che vede l'introduzione di un simbolismo completamente differente utilizzante abbreviazioni che avranno un seguito importante (introduzione di un simbolo unico ζ per indicare l'incognita da trovare(9), introduzione del segno meno /|\ , introduzione del simbolo greco ξ per indicare il numero del problema, di abbreviazioni per indicare potenze: con ∆y si indicava il quadrato del numero, con Ky il cubo del numero, con ∆∆y la quarta potenza, con ∆Ky la quinta potenza, e così via. L’operazione di addizione veniva raffigurata scrivendo i termini da sommare uno di seguito all’altro. Non vi erano simboli per la moltiplicazione e la divisione).



La struttura dell'Arithmetica ricorda vagamente il Papiro Rhind per la successione di problemi risolti senza ordine apparente. La struttura dell'opera è sommariamente la seguente (riporto anche qualche esemplificazione dei problemi presenti, alcune risolte ed altre solo enunciate):

Libro I - Contiene 25 problemi di primo grado e 14 di secondo grado

I. 1 - Dividere un numero in due numeri di cui sia nota la somma e la differenza.

Per la soluzione che per noi è semplice, Diofanto sceglie due numeri particolari, 1000 e 40 ed osserva che i due numeri hanno una differenza e quindi uno è maggiore dell'altro. Considera il numero minore e lo chiama aritmo(9), cioè incognita. L'altro numero sarà l'aritmo più 40. Quindi 100 sarà due aritmo più 40. Diofanto toglie poi i simili dai simili (toglie cioè 40 a destra ed a sinistra dell'equazione). Trova così che due aritmo danno 60 e quindi che un aritmo vale 30. E' facile trovare l'altro numero cercato che sarà l'aritmo trovato, 30, più 40, cioè 70.

I. 7 - Sottrarre dallo stesso numero due numeri dati così che le differenze saranno tra loro in un rapporto dato.

Libro II - Contiene 35 problemi. Il problema 8 originò il famoso teorema di Fermat. Vediamo questo problema:

II. 8 - Scomporre un quadrato in due quadrati

Si tratta evidentemente di risolvere, con simbolismo moderno, x2 + y2 = a2 (10). E Diofanto scrive:

Se vogliamo scomporre 16 in due quadrati e supponiamo che il primo è 1



aritmo, l'altro avrà 16 unità meno un quadrato di aritmo, e pertanto, 16 unità meno di un quadrato di aritmo sono un quadrato. Costruiamo un quadrato di un insieme qualunque di aritmo diminuito di tante unità quante ne ha la radice di 16 unità, e sia il quadrato di 2 aritmo meno 4 unità. Questo quadrato avrà quattro quadrati di aritmo e 16 unità meno 16 aritmo, che uguagliamo a 16 unità meno un quadrato di aritmo e sommando dall'uno e altro lato i termini negativi e sottraendo i simili, risulta che 5 quadrati di aritmo equivalgono a 16 aritmo e pertanto, 1 airtmo vale 16/5; quindi uno dei numeri è 256/25 e l'altro 144/25, la cui somma è 400/25, cioè 16 unità e ciascuno di essi è un quadrato

Diofanto in pratica risolve l'equazione

x 2 + x 2 = 16

ponendo y 2 = 16 - a 2 che identifica con un'espressione della forma (ka - 4) 2. Ponendo k = 2 ottiene

y 2 = 16 - a 2 = (2a - 4) 2

da cui trova a = 16/5, cioè x = 16/5 e y = 12/5.

Vediamo ora un altro problema molto semplice, anche qui introducendo il simbolismo moderno.

II. 21 - Trovare due numeri tali che il quadrato di ciascuno di essi, diminuito del numero restante, formi un quadrato. Il più piccolo numero sia x accresciuto di quante unità si vorrà, particolarmente di una unità e il più grande sia il quadrato del più piccolo meno x2, così che il quadrato del numero più piccolo, diminuito del numero maggiore, formi un quadrato (se il numero minore è x + 1 e il maggiore (x + 1)2 - x2, il quadrato del numero minore diminuito del maggiore è allora x2). Allora, poiché il quadrato del numero minore è x2 + 2x + l, ne deriva che il numero maggiore sarà quanto viene aggiunto a x2 cioè 2x + 1. Si stabilisce così che il quadrato del numero minore, diminuito del maggiore, formi un quadrato. Ma il quadrato del maggiore diminuito del numero minore dà 4x2 + 3x. Il che eguaglieremo ad un quadrato. Si formi il quadrato di 3x e x diventa 3/5 (4x2 + 3x = 9x2; x = 3/5). Il numero minore sarà dunque 8/5, il maggiore 11/5, e tali numeri appunto soddisfano alla proposizione.

Libro III - Contiene 21 problemi. Il più famoso è il numero 19 nel quale per la prima volta si fa ricorso alla geometria.

III. 19 - Trovare quattro numeri tali che il quadrato della somma dei quattro, aumentato o diminuito in ciascuno di essi, formi un quadrato.

Libro IV - Quasi tutti i 40 problemi di questo libro riguardano numeri cubici. E poiché i greci non sapevano risolvere le equazioni cubiche Diofanto riesce a risolvere il problema fornendo delle soluzioni accettabili. Vediamone un esempio:

IV. 1 - Scomporre un numero dato in due cubi la somma delle cui radici sia



data.

Se il numero è 370 e la somma delle radici 10, supponiamo che la radice del primo cubo sia 1 aritmo e 5 unità, cioè: la metà della somma delle radici. Pertanto, la radice dell'altro cubo sarà 5 unità meno 1 aritmo; allora la somma dei cubi varrà 30 quadrati di aritmo più 250 unità que uguaglieremo alle 370 unità del numero dato, da cui si deduce che 1 aritmo ha 2 unità; la radice del primo cubo varrà allora 7 e quella del secondo 3, e, conseguentemente, i cubi saranno 343 e 27.

Diofanto risolve il sistema che oggi scriveremmo

x 3 + y 3 = 370 x + y = 10

e per farlo pone x = aritmo + 5 e y = 5 - aritmo. Sostituendo queste espressioni nella prima equazione e sviluppiamo, otteniamo:

(aritmo + 5) 3 + (5 - aritmo) 3 = 30 aritmo 2 + 250 = 370

e per aritmo = 2 trova x = 7, y = 3.

Libro V - Su 30 problemi qui presenti, 28 sono problemi di secondo e terzo grado. Vediamo uno dei problemi due problemi restanti:

V. 30 - Una persona si imbarcò con i suoi servi, ai quali fu chiesto di essergli utile. Essi mescolarono brocche di vino, alcune di 8 dracme e altre di 5, e pagò per tutto un numero quadrato che, aumentato nel numero di unità che ti saranno indicate, 60, darà per risultato un altro quadrato la cui radice è il numero complessivo delle brocche. Calcola quante brocche vi erano da 8 e quante da 5 dracme.

Libro VI - Vi sono 24 problemi sui triangoli rettangoli con i lati numeri razionali. Le equazioni che risultano sono a coefficienti interi e forniscono soluzioni intere. Tali equazioni sono oggi chiamate diofantee. Le più semplici sono le equazioni lineari della forma Ax ± Bx = C.

Quindi è chiaro che non disponiamo di teoria, niente che possa essere paragonato alle strutture ordinate, sistemate e deduttive di Euclide, Apollonio o Archimede. Siamo di fronte a problemi induttivi dei quali non si capisce bene la portata della generalizzazione Vi sono problemi risolti anche in modo brillante, vi sono notazioni di interesse ma siamo in un altro mondo rispetto a quello dell'età d'oro, siamo in piena decadenza. E' assente una struttura deduttiva esplicita, i differenti tipi di numeri non erano ben definiti, manca una base assiomatica su cui costruire un apparato deduttivo. Se si ricorda quanto scrissi in proposito della matematica dei greci, sembra essere tornati 2000 anni indietro quando c'erano ricette del come fare e mai un apparato teorico che spiegasse, in generale e non in casi particolari, perché. In ogni caso si trattava della proposizione agli studiosi di un modo diverso di avvicinarsi alla matematica per vie che, una volta aperte, avrebbero portato molto lontano.

Si possono qui avanzare ipotesi su come si sia arrivati alle soluzioni che ci presenta Diofanto, se vi sono testi mancanti, se ... Non arriveremmo comunque a nulla. Siamo ormai dentro all'Impero di Roma e le richieste sono ben differenti da quelle di rigore scientifico. Leggiamo a proposito del pragmatismo dei romani cosa scrive Stahl:



Quando i Greci colti incominciarono ad incantare i nobili e i nuovi ricchi di Roma, dovettero accorgersi senza dubbio che i loro manuali erano perfettamente adatti ai loro scopi. Si può quasi supporre che i loro testi venissero concepiti non soltanto per venire letti dai Greci, ma anche per venire tradotti e parafrasati in latino. Il nobile romano era ben lieto di acquisire un'infarinatura delle discipline greche astratte, se così imponeva la moda: ma voleva soltanto gli elementi essenziali, poiché non amava perdere tempo in cose troppo complicate. [...] Il successo dei manuali fu dovuto alla loro praticità: i titoli più numerosi sono quelli di opere che si occupavano di agricoltura, arte militare, diritto e retorica. Si conoscono inoltre i titoli di opere riguardanti quasi tutti gli argomenti possibili e immaginabili che avevano un interesse per i Romani: farmacologia, tossicologia, metrologia, rilevamento topografico, tradizioni popolari relative ai sogni, alle pietre preziose e alle arti divinatorie di ogni genere; libri per eruditi e specialisti sulla filologia, l'ortografia e parecchi altri argomenti d'interesse antiquario; e infine, manuali per tutti i mestieri e per tutte le professioni. Un altro tipo di libro popolare molto vicino al genere manualistico romano, sebbene a stretto rigor di termini non vi appartenesse, era la riduzione o epitome. Di solito, i Romani appartenenti alle classi più elevate erano troppo indaffarati o troppo presi da altri interessi per intraprendere la lettura di opere voluminose; furono loro a creare la richiesta di breviaria di ogni genere, riduzioni drastiche che ben di rado soddisfano 1a curiosità del lettore per quanto riguarda il contenuto e le qualità letterarie dell'opera sunteggiata. Le riduzioni offrivano comunque un altro vantaggio: riducevano di parecchio la spesa che sarebbe stata necessaria per fare ricopiare un manoscritto di numerosi rotoli. Come in Grecia i commenti alle opere famose soppiantavano spesso i testi che analizzavano, a Roma le riduzioni e le epitomi delle riduzioni, come quelle della Storia di Roma di Tito Livio, fecero cadere nell'oblio i voluminosi testi originali. Nel terzo e nel quarto secolo dell'era cristiana ... queste riduzioni incominciarono ad esercitare un'influenza notevole sulla tradizione manualistica latina. [...] Non furono necessari grandi sforzi per convincere i Romani dell'utilità pratica della tradizionale preparazione retorica dei Greci. Il perfezionamento dell'abilità oratoria era sempre stato considerato un fattore importante nella preparazione degli uomini politici romani. [...] Le cose andarono in modo completamente diverso, invece, per quanto riguardava il quadrivio matematico greco. I genitori romani, rozzi e ostinati, non riuscivano a immaginare quale contributo potessero dare la matematica astratta, l'astronomia teorica e la teoria armonica alla preparazione di un giovane destinato a svolgere incarichi amministrativi o a prendere parte attiva alla creazione dell'impero. I pedagoghi greci sostenevano ... che la matematica aguzzava l'intelligenza; e Polibio faceva osservare ai suoi aristocratici ospiti che la conoscenza dell'astronomia poteva tornare utile a un generale che dovesse spostare le sue legioni da un territorio all'altro. Le argomentazioni dei Greci ebbero la meglio, almeno durante il periodo in cui lo stimolo culturale fu più acuto: nelle scuole romane venne introdotto lo studio della matematica astratta, come attestano gli scrittori che ricordano di essersi annoiati, moltissimo durante le lezioni di aritmetica e di geometria. Possiamo tuttavia sospettare che questi studi teorici venissero tollerati a Roma non tanto per il



loro valore intrinseco, quanto perché era di gran moda assumere pedagoghi che educassero i giovani secondo i metodi, greci. Altre reminiscenze che affiorarono negli scritti di diversi autori latini riguardano casi divertenti, non dissimili del resto da quelli che si incontrano anche nella letteratura greca: un genitore dalla mentalità molto realistica interroga il figlio sui suoi studi matematici e poi si chiede quale applicazione potranno mai trovare negli affari commerciali e nell'amministrazione del patrimonio familiare. Vi è però una differenza significativa: i lettori greci solidarizzavano con il figlio, i lettori romani con il padre. Poteva accadere che qualche nobile romano deprecasse l'importanza eccessiva attribuita alle discipline pratiche, come fa anche Orazio nella sua Ars poetica; ma la matematica pura, a Roma, si trovò sempre in una posizione precaria: dapprima vi fu una battaglia accanita per inserirla nei programmi di studio, poi venne di moda e allora fu tollerata; e infine, durante l'impero, la sua importanza nelle scuole declinò inesorabilmente. I patrizi romani non erano contrari alle discipline che potevano contribuire a rendere più acuta l'intelligenza dei giovani. Anche se negavano tale valore alla matematica, lo riconoscevano agli studi filosofici. Non si poteva pretendere che la filosofia metafisica elaborata dai Greci solleticasse gli istinti dilettantistici dei Romani [...] I manuali costituirono il ponte attraverso il quale vennero importate a Roma le varie discipline greche. Il sistema più agevole per adattare una disciplina ai gusti e alle esigenze dei lettori latini consisteva nel preparare la traduzione di un manuale. Nei casi in cui possediamo un originale greco e possiamo confrontarlo con una traduzione o con un adattamento in latino, abbiamo modo di osservare che, quando la materia era difficile, le traduzioni erano molto libere: omettevano o parafrasavano le discussioni complicate e introducevano numerosi esempi per facilitare la comprensione da parte del lettore. [...] Per i Greci, i manuali divulgativi rappresentavano una scienza di basso livello, ma a Roma esisteva un unico livello di conoscenza scientifica: il livello dei manuali. Anche i Romani dotati della più viva curiosità intellettuale come Lucrezio, Cicerone, Seneca e Plinio, si accontentarono di attingere dai manuali la loro conoscenza della scienza greca, e non vi apportarono contributi originali. La scienza manualistica latina era antiquata fin dalla sua nascita, poiché era una sintesi di ricerche e di teorie greche che avevano già cento, duecento o trecento anni quando vennero importate a Roma. Dato che in maggioranza i compilatori latini non avevano la minima attitudine per gli studi teorici, le tradizioni manualistiche della scienza greca subivano un nuovo deterioramento ogni volta che passavano per le mani di un nuovo compilatore. La mentalità di Cicerone illustra in modo perfetto quale fosse la posizione dell'intellettuale romano nei confronti della scienza teorica. All'inizio delle Tusculanae, egli si dichiara lieto che, mentre i Greci esaltano la geometria pura, i Romani applichino giudiziosamente questo studio alle misurazioni ed ai conteggi pratici. I compilatori latini speravano di mascherare, con un grande sfoggio di erudizione, la loro mancanza di competenza: specialistica. ... Essi conoscevano benissimo la fama dei più eminenti scienziati greci, e fingevano di servirsi delle loro opere quali fonti di informazione; ma nella stragrande maggioranza dei casi la fonte immediata di una nuova compilazione latina, durante l'età repubblicana, era un manuale greco. I compilatori romani, per consuetudine, citavano come loro fonti i nomi degli autori che in realtà erano le fonti



dichiarate dai compilatori greci. In questo modo, essi ottenevano un duplice risultato: assicuravano alle loro compilazioni un'autorità maggiore e mascheravano gli abbondanti saccheggi di materiale già assimilato. Molti studiosi, in passato, si sono lasciati trarre in inganno dalle citazioni tratte da opere di Eudosso, Eratostene, Archimede, Ipparco e Tolomeo. Questi riferimenti vanno respinti recisamente, non meno delle numerosissime citazioni che vengono presentate come tratte dalle opere di Pitagora, il quale non mise mai nulla per iscritto. Una parte degli Elementi di Euclide venne tradotta in latino da Boezio all'inizio del sesto secolo, questo è vero; e gli scolari romani, durante il periodo classico, studiavano compendi o estratti dell'opera di Euclide: ma sarebbe stato un avvenimento davvero straordinario se un Romano avesse compiuto un tentativo serio di comprendere le opere teoriche di Archimede, di Ipparco e di Tolomeo; e non esistono indicazioni decisive che un tentativo del genere abbia mai avuto successo.

Che dire ? Verrebbe la voglia di fare facili paralleli con i cialtroni che da molti anni governano l'Italia da Roma, con i brianzoli del dané, ma non è questa la sede.

Certo è che nell'età di Diofanto già siamo dentro ad un'epoca che non solo non conserva ma addirittura dimentica. Ci vorranno circa 1500 anni per riprendere in mano il sapere alessandrino e farlo fruttificare.

IL SEGUITO

A partire dal II secolo d.C., se si escludono le importanti eccezioni di Diofanto (III sec.), Proclo (V sec.) e Filopono (VI sec.), non si produce più scienza originale. Si tenta (e sarà sempre più difficile) la conservazione di quanto fatto in precedenza. I commentari dei classici vanno per la maggiore. Ma, da commentario in commentario, il classico va sparendo. Si fanno poi dei compendi ma anche questi sono sempre più succinti e, anche qui, l'autore originale va sparendo. In questo modo, comunque, si riuscirono almeno a conservare quelli che si possono definire i risultati della scienza greca. Il metodo, la ricerca, si perse. Si sente negli scrittori di questo lungo periodo come un senso di rassegnazione, di incapacità di porsi al livello dei maestri, una sfiducia nella reale possibilità di conoscere. Cerchiamo di vedere cosa c'è nell'intorno politico-sociale. Cominciamo col dare qualche riferimento storico: l'editto di Milano del 313 segna il trionfo del Cristianesimo; nel 330 la capitale dell'Impero diventa Costantinopoli; nel 380 il Cristianesimo diventa religione di stato; nel 395 si scinde l'Impero; il 410 vede il sacco di Roma; nel 529 Giustiniano chiude d'autorità l'Accademia di Atene e vieta l'insegnamento ai pagani (non cristiani); nel 642 Alessandria (che già aveva visto distruggere una sezione della sua biblioteca ad opera del vescovo Teofilo e del capobanda, intorno al 390, ed uccidere, intorno al 415, da parte di una folla incitata dal Patriarca Cirillo, Ipazia, l'ultima matematica di Alessandria) viene conquistata dagli arabi. In questo scenario si inserisce una profonda crisi dell'agricoltura, la scarsità di manodopera, la grande difficoltà di comunicazione ed una burocrazia ingigantita. Come queste cose abbiano influito direttamente in ciò che discutiamo è difficile dire ma alcuni elementi qua e là si possono certamente cogliere. A partire dal I secolo già Plinio si lamentava della scarsezza di manodopera servile e, a partire dal III secolo il costo degli schiavi sui mercati era diventato sempre più proibitivo a causa del fatto che i mercati stessi



erano sempre meno riforniti da merce raccolta in differenti campagne belliche. Furono i barbari che iniziarono a vendere schiavi a Roma e, molto spesso, tra di essi vi erano moltissimi romani. Furono i poveri ad immettere i propri figli nei mercati degli schiavi. Ma la gran quantità di denaro che possedeva l'Impero in epoche precedenti si era esaurita. Il mercato degli schiavi non poteva accrescersi. Inoltre era venuta a gravare sull'Impero una enorme spesa che non rendeva nulla: il finanziamento della Chiesa ed il pagamento degli ecclesiastici. Un esercito, quest'ultimo, di bocche inutili che spessissimo aveva intrapreso la carriera ecclesiastica per ragioni di prestigio e per avere un sicuro stipendio (un vescovo guadagnava sei volte di più di un medico o di un ingegnere e cinque volte di più di un professore di grammatica o di retorica !). Queste risorse venivano meno per altre imprese, tra cui il finanziamento delle scuole (solo quella di Alessandria fu sostenuta fino al V sec.). Ed era soprattutto dalle Scuole che proveniva il mantenimento materiale di chi faceva scienza (e non solo): ora, non solo occorreva scontrarsi con difficoltà economiche ma anche contro moltissimi autori cristiani che anteponevano la rivelazione alla ragione, la fede alla conoscenza.(11) Con il trascorrere del tempo, anche la voglia di tramandare i classici venne meno. I commentari ed i compendi erano sempre più miseri, con il risultato di distorcere sempre più la fonte originale. Questo processo, alla fine, soprattutto in Occidente, comportò la completa sparizione delle opere originali delle quali si perse traccia. Le cose andarono in modo diverso in Oriente dove la scienza greca si mantenne di più nelle opere originali e, dopo la caduta di Alessandria sotto il dominio arabo, l'intero patrimonio dei classici greci passò agli arabi che seppero farne molto migliore uso di quanto non se ne fece nell'Occidente Cristiano.

Mentre in Occidente la scienza era ridotta a trovare esempi della verità della morale e della religione, a ricavare simbologie che rappresentassero questioni morali (la Luna era paragonata alla Chiesa perché rifletteva la luce di Dio; il vento era l'immagine dello spirito; il numero 11, andando oltre il numero dei comandamenti, era il simbolo del peccato), nell'Oriente, diventato arabo, si coltivava, si traduceva e si sviluppava la scienza dei classici greci. Cosicché, col passare dei secoli furono proprio gli arabi che divennero (come dice Koyré) maestri ed educatori (non meramente intermediari) dell'Occidente cristiano. In questo senso è sintomatico il fatto che le prime traduzioni dei classici greci in latino, non furono fatte direttamente dal greco ma dalle traduzioni che gli arabi già avevano fatto in arabo. E questo per due motivi di fondo: da una parte nessuno o quasi, in Occidente, conosceva il greco e dall'altra nessuno sarebbe stato in grado di capire e quindi tradurre le complesse opere di Aristotele o di Tolomeo, per fare solo due esempi.

E così per circa 1000 anni la scienza dell'epoca d'oro ci fu trasferita dagli arabi che dettero anche importantissimi contributi.

Ma di questo mi occuperò in un altro lavoro. Roberto Renzetti

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NOTE


http://www.fisicamente.net/FISICA/index-1553.htm



(1) Nel sito http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html si possono vedere molte animazioni di interesse. Nel sito http://people.scs.fsu.edu/~dduke/moon6.html si ha una animazione del moto lunare secondo Tolomeo.

(2) Agli strumenti descritti nell'articolo precedente (nota n° 9) occorre aggiungere l'astrolabio armillare di cui dispose (e forse realizzò) Tolomeo. Tale strumento si

Da Lloyd. Astrolabio armillare. Un asse di rotazione era parallelo a quello terrestre, un altro inclinato rispetto a questo come quello dell'eclittica. Vi era un dispositivo di mira con due piccoli fori e si potevano misurare direttamente gli angoli relativi alle stelle.

differenzia dagli astrolabi piani. Esso, una volta orientato su un dato astro mediante i due forellini per puntare montati su un dato cerchio, permetteva di determinarne la latitudine e la longitudine rispetto all'eclittica.

Vi era poi un anello graduato che serviva per misurare gli angoli. Esso si disponeva lungo il meridiano ed un dispositivo di mira, formato da due tacche poste su di un anello


http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html

http://people.scs.fsu.edu/~dduke/moon6.html


concentrico al primo e girevole rispetto ad esso, permetteva di leggere direttamente l'altezza di una data stella mediante il filo a piombo di cui il sistema disponeva. Con tale strumento Tolomeo ampliò le osservazioni di Ipparco e costruì un catalogo di 1080 stelle, circa 250 in più di quelle catalogate da Ipparco. Per consultare il catalogo completo delle stelle censite da Tolomeo si può vedere: http://astro.isi.edu/reference/almagest.html

(3) Nell'Ipotesi planetaria, Tolomeo modificò, per i pianeti interni, questa visione. Ciò che fece fu sostituire al cerchio epiciclo che ha un cerchio perpendicolare, una sfera epiciclo. Per vedere delle animazioni del moto dei pianeti nel sistema tolemaico si può andare al sito: http://people.scs.fsu.edu/~dduke/ptolemy.html

(4) Non si aveva alcuna certezza sulla successione dei vari pianeti. Si era capito che il Sole doveva stare in mezzo tra quelli che noi conosciamo come pianeti interni ed esterni, ma per il resto vi era incertezza. Tolomeo aveva intuito il modo di risolvere il problema, mediante lo studio della parallasse ma non riuscì a misurarla. Egli credeva di poterci riuscire perché aveva un pregiudizio di sistema solare piccolo; ma le distanze planetarie sono tali che l'angolo di parallasse è molto piccolo e non misurabile con gli strumenti di cui disponeva. Scrive Tolomeo nell'Almagesto:

Non c'è altro modo di affrontare questo [problema dell'ordine dei pianeti], dovuto all'assenza di una parallasse percettibile in queste stelle, a partire dalla cui sola apparenza visibile si debbono ottenere le distanze lineari ... [Utilizzeremo] il Sole come linea divisoria naturale tra quei pianeti che possono stare a qualunque distanza angolare dal Sole e quelli che non possono che muoversi nelle sue vicinanze.

E' da segnalare il fatto che nel Libro II delle Ipotesi planetarie, Tolomeo afferma che i pianeti non subiscono influenze dall'esterno e non hanno relazione gli uni con gli altri.

(5) Per vedere le 27 mappe di Tolomeo si può accedere al sito della Biblioteca Nazionale di Napoli http://www.bnnonline.it/biblvir/tolomeo/tolomeo.htm. Qui è conservato un codice della Cosmographia di Tolomeo del secolo XV.

(6) L'argomento l'ho trattato in La luce. Capitolo1: l'antichità classica.

(7) Per leggere l'intero Tetrabiblos in lingua inglese si può vedere: http://www.sacred-texts.com/astro/ptb/index.htm

(8) Il Libro XIV dell'Antologia Palatina, un libro ritrovato nel 1606, contiene 105 epitaffi (di cui 45 di carattere aritmetico) che furono scritti da Metrodoro (un grammatico vissuto tra la fine del V e il


http://astro.isi.edu/reference/almagest.html

http://astro.isi.edu/reference/almagest.html

http://people.scs.fsu.edu/~dduke/ptolemy.html

http://people.scs.fsu.edu/~dduke/ptolemy.html

http://www.bnnonline.it/biblvir/tolomeo/tolomeo.htm


http://www.sacred-texts.com/astro/ptb/index.htm

http://www.sacred-texts.com/astro/ptb/index.htm


principio del VI secolo).

(9) A volte l'incognita era indicata con il termine numero (αριθμ•ζ leggi aritmo) e ciò creava delle ambiguità.

(10) Nel 1637 questo problema avrebbe fatto sorgere uno dei teoremi più famosi di matematica, l'ultimo teorema di Fermat «L'equazione xn + yn = an non ammette soluzioni intere per nessun n eccetto che per n = 2». Le cose andarono così. Fermat era solito appuntare osservazioni o problemi al lato dell'Arithmetica di Diofanto (edizione Bachet) che leggeva. Alla proposizione 8 del Libro II scrisse al margine quanto segue: "Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet" cioè "E’ impossibile separare un cubo in due cubi, o una quarta potenza in due quarte potenze, o in generale, ogni potenza superiore alla seconda in due potenze dello stesso ordine. Ho scoperto una prova davvero meravigliosa di ciò che questo margineè però troppo stretto per contenere". Quel prezioso libro andò perduto e sembra che solo il figlio di Fermat, Samuel, lo abbia potuto vedere e riportare l'annotazione che ho più su riportata in un'edizione del 1670 delle opere del padre. Naturalmente della dimostrazione che Fermat padre aveva trovato, non si ebbe più notizia e quel teorema è restato fino a qualche anno fa senza dimostrazione. Nella figura seguente il frontespizio dell'edizione di Diofanto, annotata da Fermat, realizzata a Tolosa nel 1670.

(12) C'é Lloyd che a sostegno della tesi della non completa chiusura del pensiero cristiano ai problemi della scienza, cita i discreti contributi che ad essa ha dato il cristiano Filopono. Occorre solo ricordare che Filopono fu dichiarato eretico dalla Chiesa.

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