1

DEBER DE MEDIDA Y PROBABILIDAD NOMBRE: Geovanny Cárdenas Falcones

1. Sea X una variable aleatoria real, definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, F ,P) y sea F su función de acumulación. i.e.

F(x) = P (X ≤ x). a.- Diga por que F es creciente?.

b.- Que tipo de discontinuidades puede tener la función F? Siendo F(x−) =

limy→x− F(y), que representa F(x) − F(x−).

Muestre que F tiene a lo mucho un numero numerable de discontinuidades.

d.- Diga por que F es continua a la derecha.

e.- Suponiendo que F es continua, calcule la distribución de probabilidad de la variable aleatoria F X.

Solución:

a.- 𝐹(𝑥) = 𝑃(X ≤ 𝑥) = µ ([−∞, x]).Es creciente su dominio es [0,1].

c.- Tenemos F (x−) = limy→x− F (y), que representa F(x) - F (x−).

limx→+∞

F(x) − limx→−∞

F(x) = 1

Por lo tanto, cualquiera que sea n ∈ N, hay a lo mucho n saltos de tamaño superior a 1/n .

d.- F es continua por la derecha, ya que:

lim𝑦→𝑥+

𝐹(𝑦) = µ ((−∞, x]) = F (x).

e.- Como tenemos que F es continua, entonces conocemos que la función de acumulación estaría

expresada de la siguiente manera

𝐹(x) = ∫ 𝑓 (t) d(t)𝑥

−∞.

2. Consideremos el espacio de medida (𝑅2,𝐵2,𝜆2 ), siendo ,𝜆2 la medida de Lebesgue del plano (medida de área).

Definición:

Sea µ una medida sobre (𝑅2,𝐵2), el soporte de µ, denotado supp µ es el mas pequeno cerrado tal que su complementario tiene medida nula. i.e.

(a) µ (R2 / supp µ) = 0

(b) ∀ A ⊆ R2, cerrado, tenemos

µ ( R2

/ A ) = 0 ⇒ A ⊇ supp µ

2

Desde luego, esta definición tiene sentido para cualquier espacio de medida (X, F, µ),

en donde X es además un espacio topológico.

Explique por qué supp µ existe.

SOLUCION:

El supp µ existe porque 𝑅2 es abierto además de que A ⊆ R2

3. Sea µ la medida 𝜆2, multiplicada por la densidad 2χA, siendo

A = (x, y) ∈ 𝑅2; 0 ≤ x < y ≤ 1.

∀ B ∈ B, 𝜇 (B) = 1

π ∫ 2χA (x, y) 𝜆2 (dx, dy)

B

Recordemos que χA representa la función caracterıstica de A. Es decir,

χA(x,y)=1, 𝑠𝑖(𝑥, 𝑦) ∈ A(o sea 0 ≤ 𝑥 < 𝑦 ≤ 1)

0, 𝑠𝑖(𝑥, 𝑦) ∉ 𝐴

a.- Encuentre el soporte de µ.

b.- Muestre que µ es una medida de probabilidad.

c.- Encuentre la distribución de probabilidad de cada una de las proyec- ciones sobre los

ejes coordenados. Trace los graficos de las funciones de acumulación respectivas.

d.- Encuentre la esperanza y la varianza de las variables aleatorias siguientes: x + y, x − y, xy, x/y, y/x, cuando estas existen.

SOLUCION:

a.- El soporte de µ es 0 ≤ 𝑥 < 𝑦 ≤ 1 b.-

3

∫ ∫ 2𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1

𝑥

0

1

0

2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 1

1

0

2 (12

2− 0) = 1

1 = 1

Se concluye que es una medida de probabilidad.

c.-

𝑓𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑦

𝑥

0

𝑓𝑥 = 2𝑥 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝐹𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥

𝑥

0

= 𝑥2

𝑓𝑦 = ∫ 2 𝑑𝑥

𝑦

1

𝑓𝑦 = 2𝑦 − 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

𝐹𝑦 = ∫ 2𝑦 − 2 𝑑𝑦

𝑦

0

= 𝑦2 − 2𝑦

d.-

𝐸(𝑥 + 𝑦) = 2 ∫ ∫ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

𝐸(𝑥 + 𝑦) = 2 ∫ 𝑥2 +𝑥2

2 𝑑𝑥

1

0

𝐸(𝑥 + 𝑦) = 2 (1

3+

1

6)

𝐸(𝑥 + 𝑦) = 1

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥))2

4

𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 2 ∫ ∫(𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

− 12

𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 2 ∫7𝑥3

3 𝑑𝑥

1

0

− 1

𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 2 (7

12) − 1

𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) =1

6

𝐸(𝑥 − 𝑦) = 2 ∫ ∫ 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

𝐸(𝑥 − 𝑦) = 2 ∫ 𝑥2 −𝑥2

2 𝑑𝑥

1

0

𝐸(𝑥 − 𝑦) = 2 (1

3−

1

6)

𝐸(𝑥 − 𝑦) =1

3

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥))2

𝑉𝑎𝑟(𝑥 − 𝑦) = 2 ∫ ∫(𝑥 − 𝑦)2 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

− (1

3)

2

𝑉𝑎𝑟(𝑥 − 𝑦) = 2 ∫𝑥3

3 𝑑𝑥

1

0

−1

9

𝑉𝑎𝑟(𝑥 − 𝑦) = 2 (1

12) −

1

9

𝑉𝑎𝑟(𝑥 − 𝑦) =1

18

𝐸(𝑥𝑦) = 2 ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

𝐸(𝑥𝑦) = 2 ∫𝑥3

2 𝑑𝑥

1

0

𝐸(𝑥𝑦) = 2 (1

8)

𝐸(𝑥𝑦) =1

4

5

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥))2

𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑦) = 2 ∫ ∫(𝑥𝑦)2 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

− (1

4)

2

𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑦) = 2 ∫𝑥5

3 𝑑𝑥

1

0

−1

16

𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑦) = 2 (1

18) −

1

16

𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑦) =7

144

𝐸(𝑦/𝑥) = 2 ∫ ∫𝑦

𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

𝐸(𝑦/𝑥) = 2 ∫𝑥

2𝑑𝑥

1

0

𝐸(𝑦/𝑥) = 2 (1

4)

𝐸(𝑦/𝑥) =1

2

𝑉𝑎𝑟(𝑦/𝑥) = 2 ∫ ∫ (𝑦

𝑥)

2

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥

0

1

0

− (1

2)

2

𝑉𝑎𝑟(𝑦/𝑥) = 2 ∫𝑥

3 𝑑𝑥

1

0

−1

4

𝑉𝑎𝑟(𝑦/𝑥) = 2 (1

6) −

1

4

𝑉𝑎𝑟(𝑦/𝑥) =1

12

Mientras que la esperanza y varianza de x/y no existen

4. Consideremos ahora el espacio de probabilidad ([0, 1] , B, λ1), siendo λ1 la medida de Lebesgue en

dimensión 1 (medida de longitud, restringida al conjunto [0, 1]).

Encontrar la distribución de la variable aleatoria

x ∈ [0, 1] → ln(1

𝑋)

SOLUCION:

6

∫ ln (1

x) dx

x

0

xln (1

x) − ∫ dx

x

0

F(x) = xln (1

x) − x

Dar un ejemplo de variable aleatoria definida sobre el espacio de proba-bilidad ([0, 1] , B, λ1),

tomando sus valores en R, que tenga distribución de Cauchy.

Ayuda

Usar la respuesta a la última pregunta del numeral 1, que es F X tiene distribucion uniforme sobre el intervalo [0, 1].

SOLUCION:

F(x) = 1

2+

1

πarctan (x)

5. Sea X una variable aleatoria con distribución dada por

a.-

∀ A ∈ 𝐵1, P (X ∈ A) = 1

π ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥

π

−π

Puede X tomar valores negativos? Cuáles son los valores que puede tomar X? Encontrar la función de acumulación de X. Sea Y otra variable aleatoria sobre el mismo espacio, con distribución dada por b.-

∀ A ∈ 𝐵1, P (X ∈ A) = 1

π ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥

π

−π

Diga si X y Y son independientes. Si la pregunta no tiene sentido, explique porque? SOLUCION: Si puede tomar puntos negativos x vendría ser los valores que están entre [−𝜋, 0] a. Función de acumulación:

1

π 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =

1

π ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)𝑑𝑡

x

−π =

1

π ∫

1

π (𝑡−𝑐𝑜𝑠 (2𝑡))

2𝑑𝑡

x

−π =

1

π (𝑡−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑡))

2

𝑥−π

=

1

π (x−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥))

2−

1

π

(−π−2𝑠𝑒𝑛 (−2π))

2 =

F(X) = 1

π (x−2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥))

2+

1

2

b. Función de acumulación:

1

π 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =

1

π ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑑𝑡

x

−π =

1

π ∫

(𝑡+𝑐𝑜𝑠 (2𝑡))

2𝑑𝑡

x

−π =

1

π (𝑡+2𝑠𝑒𝑛 (2𝑡))

2

𝑥−π

=

1

π (x+2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥))

2−

1

π

(−π+2𝑠𝑒𝑛 (−2π))

2 =

F(X)= 1

π (x+2𝑠𝑒𝑛 (2𝑥))

2+

1

2

7

X y Y son independientes 6. Escriba todas las σ−algebras del conjunto ∎, ♠, ♣, ♥. Identifique todos los pares de σ−algebras

que son independientes con respecto a la medida uniforme sobre P(∎, ♠, ♣, ♥). Solución:

σ[∎, ♠, ♣, ♥] = ∅ ,P( ∎, ♠, ♣, ♥)

σ [∎, ♠, ♣, ♥] = ∅, ♠, ∎,♣,♥, ∎,♠,♣,♥

σ [∎, ♠, ♣, ♥] = ∅, ♣, ∎, ♠,♥, ∎, ♠,♣,♥

σ [∎, ♠, ♣, ♥] = ∅, ♥, ∎, ♠,♣, ∎, ♠,♣,♥

σ [∎, ♠, ♣, ♥] = ∅, ∎, ♠,♣,♥, ∎,♠,♣,♥

σ [∎, ♠, ♣, ♥] = ∅, ∎, ♠,♣,♥

Pares de sigmas algebras que son independientes con respecto a la medida uniforme:

X: número de veces que salga ♠ al lanzar 5 cartas

Y: número de veces que salga ∎ al lanzar 5 cartas

X: número de veces que salga ♣ al lanzar 5 cartas

Y: número de veces que salga ∎ al lanzar 5 cartas

X: número de veces que salga ♥ al lanzar 5 cartas

Y: número de veces que salga ∎ al lanzar 5 cartas

X: número de veces que salga ♣ al lanzar 5 cartas

Y: número de veces que salga ♥ al lanzar 5 cartas

X: número de veces que salga ♠ al lanzar 5 cartas

Y: número de veces que salga ♥ al lanzar 5 cartas

Ejercicios de independencia

Sea (Ω, F, P) el espacio de probabilidad de las sucesiones de Bernoulli, es decir,

Ω = B = 0, 1 N = (ω1, ω2, ...) ; ω𝑖∈ 0, 1 , i ∈ N ,

F la σ−algebra producto y P la probabilidad producto, siendo p = q = 1/2 , tal como definimos en el curso.

Consideramos las funciones

∏ (ω) 1 = ω1, ∏ (ω) 2 = ω2 y Ψ = Π1+ Π2mod 2.

8

O sea

Ψ(ω) =

1, si ω1 ≠ ω2

0, si ω1 = ω2

1. Encontrar las σ−algebras generadas por cada una de estas funciones. Es decir, σ [Π1], σ [Π2] y

σ [Ψ].

SOLUCION:

𝝈[𝚷𝟏] = 𝚷𝟏−𝟏(𝟎), 𝚷𝟏

−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

𝝈[𝚷𝟐] = 𝚷𝟐−𝟏(𝟎), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

𝝈[𝚿] = 𝚿−𝟏(𝟎), 𝚿−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

Donde

𝚿−𝟏(𝟎) = 𝚷𝟏

−𝟏(𝟎) 𝒚 𝚷𝟐−𝟏(𝟎)

𝚷𝟏−𝟏(𝟏), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏)

𝚿−𝟏(𝟏) = 𝚷𝟏

−𝟏(𝟏) 𝒚 𝚷𝟐−𝟏(𝟎)

𝚷𝟏−𝟏(𝟎), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏)

2. Encontrar la σ−algebra generada por las tres funciones, en conjunto. Es decir, σ [Π1, Π2, Ψ].

SOLUCION:

Esta 𝜎 −álgebra contiene a los conjuntos

Ψ−1(0), Ψ−1(1), Π1

−1(1), Π1−1(0), Π2

−1(1), Π2−1(0),

Sus intersecciones, sus uniones sus complementares, al vacío y el mismo conjunto

Recordemos que dos variables aleatorias discretas, X y Y, son independientes si para todo x ∈

Imagen X y todo y ∈ Imagen Y,

P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)

Tres variables aleatorias discretas (X, Y y Z) son independientes si para todo x ∈ Imagen X, todo y ∈

Imagen Y y todo z ∈ Imagen Z,

P(X = x, Y = y, Z = z) = P(X = x) · P(Y = y) · P(Z = z)

Cuatro variables... etc.

9

3. Siendo Π𝑛 (ω) = ω𝑛 (n ∈ N), muestre que Π4, Π7 y Π11 son independientes (conjuntamente).

SOLUCION:

(𝚷𝟕)−𝟏 = (𝟎) 𝒚 (𝚷𝟕)−𝟏 = (𝟏)

(𝚷𝟏𝟏)−𝟏 = (𝟎) 𝒚 (𝚷𝟏𝟏)−𝟏 = (𝟏)

Son independientes debido a que son diferentes posiciones por ende no influye en el comportamiento de la familia es decir no se van a interceptan los conjuntos

4. Muestre que las funciones Π1, Π2 y Ψ son independientes dos a dos. Es decir, los siguientes

pares de funciones son independientes: Π1, Π2, Π1, Ψ y Π2, Ψ.

SOLUCION: π1: (Π

1)−1 = (0) 𝑦 (Π

1)−1 = (1)

π2: (Π2

)−1 = (0) 𝑦 (Π2

)−1 = (1)

π1, π2: (Π2

)−1 = (0), (Π2

)−1 = (1), (Π1

)−1 = (1), (Π1

)−1

= (0) Esta función es independiente. π1, ψ: No es independiente dado que la interseccióndaría la function π1 π2, ψ : No esindependiente dado que la interseccióndaría la function π2

5. Diga si las tres funciones, Π1, Π2 y Ψ, son conjuntamente independientes.

SOLUCION: No son independientes debido a que ψ esta conformado por la suma de ambos.

6. Responda a las preguntas anteriores, asumiendo que P (Π1= 1) = p ≠ q = P (Π1= 0).

SOLUCION:

Encontrar las σ−algebras generadas por cada una de estas funciones. Es decir, σ [Π1], σ [Π2] y

σ [Ψ].

𝝈[𝚷𝟏] = 𝚷𝟏−𝟏(𝟎), 𝚷𝟏

−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

𝝈[𝚷𝟐] = 𝚷𝟐−𝟏(𝟎), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

𝝈[𝚿] = 𝚿−𝟏(𝟎), 𝚿−𝟏(𝟏), 𝔹, ∅

Donde

𝚿−𝟏(𝟎) = 𝚷𝟏

−𝟏(𝟎) 𝒚 𝚷𝟐−𝟏(𝟎)

𝚷𝟏−𝟏(𝟏), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏)

10

𝚿−𝟏(𝟏) = 𝚷𝟏

−𝟏(𝟏) 𝒚 𝚷𝟐−𝟏(𝟎)

𝚷𝟏−𝟏(𝟎), 𝚷𝟐

−𝟏(𝟏)

Encontrar la σ−algebra generada por las tres funciones, en conjunto. Es decir, σ [Π1, Π2, Ψ].

Esta 𝜎 −álgebra contiene a los conjuntos

Ψ−1(0), Ψ−1(1), Π1

−1(1), Π1−1(0), Π2

−1(1), Π2−1(0),

Sus intersecciones, sus uniones sus complementares, al vacío y el mismo conjunto

Siendo Π𝑛 (ω) = ω𝑛 (n ∈ N), muestre que Π4, Π7 y Π11 son independientes (conjuntamente).

(𝚷𝟕)−𝟏 = (𝟎) 𝒚 (𝚷𝟕)−𝟏 = (𝟏)

(𝚷𝟏𝟏)−𝟏 = (𝟎) 𝒚 (𝚷𝟏𝟏)−𝟏 = (𝟏)

Son independientes debido a que son diferentes posiciones por ende no influye en el comportamiento de la familia es decir no se van a interceptan los conjuntos

Muestre que las funciones Π1, Π2 y Ψ son independientes dos a dos. Es decir, los siguientes

pares de funciones son independientes: Π1, Π2, Π1, Ψ y Π2, Ψ.

π1: (Π

1)−1 = (0) 𝑦 (Π

1)−1 = (1)

π2: (Π2

)−1 = (0) 𝑦 (Π2

)−1 = (1)

π1, π2: (Π2

)−1 = (0), (Π2

)−1 = (1), (Π1

)−1 = (1), (Π1

)−1

= (0) Esta función es independiente. π1, ψ: No es independiente dado que la intersección daría la función π1 π2, ψ : No esindependiente dado que la interseccióndaría la function π2

Diga si las tres funciones, Π1, Π2 y Ψ, son conjuntamente independientes.

No son independientes debido a que ψ es combinación lineal de ambos.

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