ar Maria Zahafia

Caiet de vacantiMatematici

Clasa a VII'aSuport teoretic, exerciliigi probleme aplicative

Edilia a II-a, revizuiti

Editura Paralela 45

:&)D-

,o5.,,J:

-dtr=

l) 026r:4.lZ _

2

a5.vt-

ilt2

=& ar:

If-{:

IL I.R

tr-LB.

rs bl F-

L3.D-

dcrl l-4:

CuprinsALGEBRA

CAPITOLUL I. MULTTMEA NUMERELOR RIALE.................. .........................5I.1. Rdddcina pitratd a pdtratului unui numir natural. Estimarea r[ddcinii pdffate dintr-un numdr

ra!iona1.............. ......................51.2. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factoriior sub radical.........................................9I.3. Numere irationale. Mullimea numerelor reale. Incluziunile N c Z c e c ]R . Modulul unui

numdr rea1......... ................................................9

1.4. Operalii cu numere reale. Ra,tionalizarea numitorului de forma alb ,a, 6 e e-, b pozitiv........14I. 5 . Media aritrneticd ponderatr a n numere reale, n > 2 . Media geometrici a dou[ numere reale

po2itive............ .....................20I.6. Ecualia de forma I = a, unde a e ]R ...................... .................24

CAPTTOLULIII. ECUATTT $r STSTEME DE ECUATTT LTNTARE ............................................-.27II.1. Transformarea unei egalitiili intr-o egalitate echivalenti. Identitlfi. Ecua]ii de forma

ax+ b:0,andea,b e lR .................. ............27II.2. Sisteme de doui ecuaf;i liniare cu doud necunoscute........ .................................31II.3. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilor sau al sistemelor de ecua1ii................................34

CAPITOLULm. ELEMENTE DE ORGANIZARE ADATELOR...............................................39

GEOMETRIE

CAPITOLUL I. PATRULATERUL................. ..............................49

CAPITOLUL II. CERCUL..... ..............................75

CAPITOLUL III. ASEM,{NAREA TRrI'NGHIURrLOR............. ........................87

CAPITOLUL rV. RELATII METRTCE iN rmtXCrnUL DREPrUNGHIC............... ..............97

TESTE RECAPITT]LATTVE .....................110

SOLUTII ........118

t.

t.

Ridicina pitratd a pitratului unui numir natural.Estimarea ridicinii pitrate dintr-un numir rational

l. a) Dacdx este un numdr natural, intreg sau ralional, atunci x2 este ......................... lui x gi despre

numdrul.r2 se spune cd este ..............

b) R6d[cina pdtratd a unui num6r pozitiv a este numirul pozitiv notat al cdrui pdtrat

a) Dacd a qip sunt doud numere pozitive, atunci Ja:pdacdgi numai daci

b) Rdddcina pdtrat[ a pAff atului unui numir natural este ....................

a) Operatia prin care se afld rbddcina pdtratii a unui numdr pozitiv se nume$te

.. din acel numdr.

b) Pentru a extrage rdddcina pdtrati dintr-un pdtmt perfect se descompune

'.. .. ... qi se foloseqte proprie tatea n: p2 € Ji : ................ .

il. a) Prin estimare se inlelege

b) A estima r[ddcina pdtratd a unui numdr inseamnd

,. a) Pentru a estima, pentru a aproxima prin adaos sau prin lipsd la un anumit ordin de mdrime rd-

ddcina pltrati dintr-un numdr pozitiv care nu este patrat perfect, se folosegte

b) A calcula rdddcina pdtratd a numdrului 2, care nu este ........, cu

o eroare mai mici decdt 0,00001, inseamnd a scrie J2 = 1,414213562... cu ajutorul unui ....................

5. a)Dacdn e {0,1,2,7,11,12},atttncin2G {....................}.

b)Dacbz2e{9,16,25,36,64,81,100},atunciJFe{..................... .........}:

f . Se considerd mu! imea M = {8, l2l, 7 2, 144, 49, 169\.

a) Elementele mu\rmii M care sunt pdtrate perfecte sunt .............

b) Daca {3db este numar natural, atunci a + b e ................

t. a) Ultima cifrd a unui numdr natural pdtrat perfect poate fi: ..............

b) Dac[ ultima cifr[ a unui numlr natural este 2, 3, 7 sau 8, atunci numdrul respectiv

9. a) Dac[ ultima cifrd a unui numdr este 4, atunci num5rul respectiv poate .............

b) Numerele 14,24,34,44,54 S.a.m,d. au ultima cifrd 4 qi nu sunt

c)Numerele4,64, 144,324 g.a.m.d. au ultima cift6 4 9i sunt............... . . . . . . . . . . . . . . . ;4 = 22; 64 = 82; 144 : 122;324: tg2.

10. a) Daca 1ffi este numdr natural, atunci lxy € ...................................

Rddbcinile pdtrate ale numerelor:

a) 22' 3a; 26 . 52' 54 .'72' 24' 32. 52 sunt ............

ll. a) Petratele perfecte mai mici decdt 51 sunt ..................

ll. a) MullimeaM= {x e N 132<-r<62} are.......... elemente.

b) Numdrul pdtratelor perfecte cuprinse intre 22 qr72 este egal cu ................

. Efectudnd urmdtoarele calcule se obtine:

,lt* 4 =

t{

122 +162 =

a)

b)

c)

d)

15. a) Pdtmtele perfecte de trei cifre sunt:

b) Numerele de forma 5n + 2, 5n + 3, 5n + 7 si 5n + 8 nu pot fi pdhate perfecte deoarece

16. Folosind un calculator, scrieli cu dou6 zecimale exacte numerele:

z'J + t.1

9.52 -9.52

b) "/i11 = ..........................; c) J63i=

tt

t?.

ff" a) Doud numere intregi consecutive lntre care se poate incadra numdrul J31 sunt ................... gi

b) Aproximarea prin lipsd la sutimi a numErului J3l este

c) Aproximarea prin adaos la miimi a numirului J31 este

d) Rotunjirea la zecimi de miimi a numdrului J31 este

Numerele naturale r pentru care:

a)4< Vx <5sunt: . . . . . . . . . . . . . . . ;

b) .6 .r. JD sunt:

Trei numere ratjonale cuprinse intre:

a) J2 qi "6 r.-t' .................;

b) J7 li Ji8 sunt:

!Q. s. consideri mulimile: e = {ot};};+t+t#} qi B = \J;, x e Ari G e s}. cardinarur

multimii I este .........., deoarece B = {..................}.

ll. s" considerd mulfimea e: {!t!t!t.'l'l} Md}imea B : {x ee I I e z}lr'2'3' te'20)elemente.

tt s" considerd mu{imea , = {*tEtE,,E}.

Numarul frac{iilor subunitare din

aceasta mulime este egal cu

: 0.25: I : lE se obtin rezultatele:2s00'324

31. Calculand rddicinile pdtrate ale numerelor:

ld Precizali r[dlcina pitrati a numdrului n cu aproximalie de o unitate (prin lipsd gi prin adaos) dac6:a) n:37; b) n: 71.

SghSO:a)Deoarece 36<37 <49,adicd62<37 <72,renitdc66< J37 <7 gi Ji =6 (prinlipsd),': ,

respectiv "!i =l (prin adaos).

eoarece

!S. Demonstrali cd num[rul n : 20lg + 2(l + 2 + 3 +... + 2018) este pEtrat perfect.

2s (2\_. I _ I

4e'[3j

Scoaterea tactorilor de sub radical.lntroducere a lactorilot sub radisal

l. a) Un numdr natural b ) 2 este liber de pdtrate dac[

b) Numerele: 10, 33, ll,35,2l0sunt

c) Numerele: 18,20,75,98, 847 nu sunt

2. a) DacL a qi D sunt doui numere reale pozitive, annci ,[arb = unde b este liber de

p[trate gi se spune cd am folosit

b) Pentru D = I se obline J7 =

t. Scrieli numdrul Ji 12 sub forma ali ,cu b liber de pdtrate:

L a) Dacd a gi b sunt numere reale pozitive, attnci alb : J- se nume$te formula de

b) Scrieli numirul 3Ji7 sub forma J7:

!t. a) Descompunerea in factori primi a numerelor 28, 180, 147 este: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

;; r,** ;";; ; i;;;;;.;i,o..l* "i , ", u'oer de pdtrate, se obtin rezultatere:

5. Inhoducdnd factorii sub radical se obtine:

{2Ji:i 3"11 = :..............; q 4J6 =

; :rDTJt =

f . a) Cel mai mic numdr intreg mai mare decdt 22.5.6 este.........

b) Cel mai mare numdr intreg mai mic decdt Zt . 5",1i este . . . . .

t. Se considerd numdrul 3./io .

a) Introduc6nd factorii sub radical gi scriind doud numere intregi consecutive intre care se poate

liber de

ultatele:

ie poate

b) Aproximarea prin lipsd gi prin adaos de o unitate a numSrului este .......... , respectiv

1r. a) Cifra sutimilor numbrului 6"6 este...... .

b) Cifra miimilor num5rului 11O este...... .

fi" Dace n este un numdr natwal, scoldnd factorii de sub radical se obfine:

i ,!:zs' *zs'*+zs'*'

b)

llumcrc irafo*da l&lq&nca lxffirtrdor rcCc.bt&nfuiim. N c Z c Q,c R. f{o&*d mi trrfrr rcnl

l. a) Numdrul iralional este o fracfie .....

b) Trei exemple de numere iraJionale sunt..........

c) Mulfimea numerelor irafonale se noteazd cu......... .

,. a) Mul{imea numerelor naturale esk N:..............

b) Mulflmea numerelor intregi estn Z =

c) Mu[imea numerelor ralionale este Q :d) Mu[imea numerelor reale este:

t, Avdnd in vedere c[ orice numdr natural este numdr i:rtreg, ci orice numdr tnfoeg este numdx

ralional qi cd orice numdr ralional este numex real, intre multimile N, Z, Q gi IR existii incluziunile:

*. Urr numdr real x poate fi:

a) negativ gi not[m......................... ;

b) nul qi notim............................... ;

c) pozitiv gi notdm

5. a) Modulul numirului real pozitiv 4 este........ 9i se noteazl lal :negativ d este........ gi se noteazd lol:........ .

O. Modulul numerelor reale are toate proprietdlile invdlate la numerele ralionale. Dacd a gi b suntnumere reaie, afunci:

a) lal ......0 9i lal :0 dac6 9i numai dac6 . . . . . ... . . . . . . . . . ;b) l.,l ..... l-al si lal, .....d;

c)la. b .....1a1. lDl ei. pentm b -0,1?l @tbt lbl

7. Proprietdli speciale ale modulului numerelor reale sunt:

q Ji ......1"t, oricare ar ti num drul rcal a;

b) formula de scoatere a'nui factor de sub radical este: rf,? . VlJb ,oncare ar fi a, D e lR,h>o

c) formula de introducere a unui factor sub radical este: lalJ6 ...... Jn ,oricare ar fi a, 6 e lR,b>0.

Uf.. Compararea gi ordonarea numerelor reale respectd ...... . ...............inv51ate la compararea qi ordo_narea numerelor ralionale :

a) orice numdr negativ ...................................... decdt orice numir pozitiv;b) dintre doud numere negative, mai mic este acela care .....,

Relala de egalitate pe mul{imea numerelor reale, ,,-", are urmitoarele proprietdti:

a) refl exivitate. adicd ................._..... .

.b) simetrie, adicd ................

c) tranzitivitate, adicd ..........

Relalia de ordine ,,<" are umdtoarele proprietdti:

a) reflexivitate, adicd ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;

b) antisimetrie, adicd ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;

c) tranzitivitate, adicd ...............

a) Se numegte axd a numerelor o dreaptl

b) Completali:

t'l

l0-1(.3)i :t=V/ :1.......1 sau V7 -1........1:

tQ.

i 6 sunt

belR,

DeR.,

ri ordo-

b) Oricdrui numdr real li corespunde pe axa numerelor......c) Oricdrui punct de pe axa numerelor ii corespunde ......................d) Dacd A gi I sunt doud puncte distincte de pe axa numerelor, egal depfutate de origine, adictr

OA = ......, coordonatele acestor puncte sunt numere reale .............................. . Astfel, daci coordonata

lui I este x, coordonata lui I este ...... . Concluzionim, astfel, ctr lxl =

ll. scrieli:

a) trei numere naturale: ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

b) hei numere rationale care sd nu fie lnhegi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

c) toei numere lnhegi care sd nu fie naturale: ............. . . . . . . . . . . . . . . . ;

d) frei numere iralionale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

e) trei numere reale care s[ nu fie irationale:

It. Su*u, respectiv diferenfa dinfre un nurntrr rational 9i un num4r irafional este

iar produsul dintue un numdr rational gi unul ir4ional este un numir

l{. Scoategi factori de sub radical, punend conditiile necesaf,e:

.E7"'lTv =

t--------=; d) {18ry, =

15. riea9ibnumereralionalenenegative. gtiindctr G =ogi oJb = ^[76,intoduce]ifactoriisubradical gi calculafi:

a) r+r6=rffi="680; b) -4J1=-"[4'4 =-J+s ;

16, Intoduceli factorii sub radical, gtiind cd a este un numdr real oarecare:

i aJB =............, dac[............ si a,lE dacd............;

b) -a'Jl ................................;

g alii =

17. Comparali numerele reale, introducAnd factorii sub radical:

IDTJE si3JD: ...................;1_

b) -+Jl92 $i -2J60: ........................'2

19. S. considerd axa numerelor:

'l ^2gF

-1 1

-16 9i notati cuA, B, C, D,a) Reprezentali pe axi numerele: J, , -!, Jj .' 5'E, F, G, H pwctele care le au drept coordonate.

b) Completafi spatiile punctate:

112'5' -J', I

2'

o OA=..........; o OB = ..........i c OC: ..........| o OD=

10. p. o axd a numerelor avem reprezentate punctele I gi B, astfel rncdt oA= 5 (u.m.) qi oB == ?

(Y.-'1. Se noteaztr cu x, li x, coordonatele punctelor ,.4 gi B. Scrieti coordonatele punctelor I 9i B qicalcuJali AB.

x,t= ..................." xs= ....................+ AB =

xt= '.'..-.-..........., xa= .................... + AB =

x,l= .-....,..,......-.., xs= ....,..,..,......,., + AB =

x,r= ...............-...rxs= .................... + AB =

tl-. Oace A gi B sunt doul puncte reprezentate pe axa numerelor reale gi coordonatele acestora suntG ti -G, atunci:

a) distanfa de la originea axei la I este .......... cu distanla de la originea axei la B;

b) lungimea segmentului lB rotunjitd la sutimi este de

tt. riemu[imeuu={z;4:I;0,2;-s;r6; -J20;-0,rt:i; .,6; -J]i. Scriejielementelemutgimilor:l2)A={xeMlxeZ\N}=B-{xeMlxeQ\z}=C={xeMl.reR\Q}=

It. Se conside ftmutlimea M= {tttr,r,r^ft,I,s}.

s.ri.ti elementele mutlimii:

tr={xeR Jien{.

+

},C,D,

iOB=I gi.B 9i

m sunt

eila B;

limilor:

..'......;

,4.--,

Verificali dac5 numerele urmdtoare sunt pozitive sau negative:

Ox: sJr-alr;

lrDx= -sJi+1;

qx: sJl-6Ji.

2t. Comparati numerele:

a)x= 11+5G piy= 11+616;

ul, = lr..E -sl si y - la - +.lzl.

t6. oraonali crescitor numerete: -sJib', -t0.,6 9i -7G.

17. Comparali numerele x giy, dac[:

a)x= sdo siy= 3J2o;

b)x= -sdo siy= 4Jfr;

J')

c)x=t;!JT tr.Y -

J't={J7

d)x: $r.y =

Comparali numerele reale, introducAnd factorii sub radical:

g3JE sis.lil:n.

1-a-b) -iJtzs si -iJso:

Operafii cu numere reale. Rafionalizarea numitoruluide forma aJ6, a,l e Q., D pozitiv

l. a) Suma a doud numere reale a gi b este .. notat ........................ .

NumereleagiDsunt

b) Operatia prin care se obline suma a doud numere reale se nume$te ...................

2. Adunarea numerelor reale are urmdtoarele propriet{i:

a) asociativitatea, adicd .............

b) comutativitatea, adicl

...'............'.;

c) existenfa elementului neutru, adic[

d) orice numlr real are un opus, adic[

t. a) Diferenla dintre numlrul real a gi num[rul real D este un numir real, notat ......................... 9i

definit astfel: a - b = .............. . Numerele a gi b sunt ................ ............., 4 este

desctrzutul, iar b este sctrztrtorul.

b) Operafia prin care se obline diferenfa dinhe dou[numere reale se nume$e ............... '.. '..

+. oricare ar frx,y,z e Q, I > 0, au loc egalittrfile: *,ty+t.,!y=1r+4.J, gi x,ly-2,{y =

1_2_a1d) ;.6-;.6+:-o'tol* rz

S =

5. Scoateti factori de sub radical gi apoi calculati:

d Ji+Js-J:p

d aln+sJas -s{2s ++.6 =