CALCULO D E VIBRACÃO AXIAL E LATERAL

DE LINHA DE EIXO DE NAVIOS

AFFONSO LIMA VIANNA JUNIOR

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIU DE JANEIR.0 COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCÃO DO GRAU D E MESTRE

EM CIENCIAS (M. Sc) EM ENGENHARIA OCEANICA.

Aprovada por:

Peter Kaleff, Dr. ~ n ~ .

Edga/do Taroco ano, D. SC/

P

RIO DE JANEIRO, R J - BRASIL

ABRIL DE 1991

VIANNA JUNIOR, AFFONSO LIMA

Cálculo de Vibração Axial e Lateral de Linha de Eixo de

Navios.

(Rio de Janeiro) 1991

IX,99 p, 29,7crn (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia

Oceânica, 1991)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.

1. Análise Estrutural I. COPPE/UFRJ 11, Titulo (Série).

Dedico esta tese a minha esposa, a

meus filhos e a meus pais.

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Tiago A. P. Lopes, pela orientação no desenvolvimento desta

tese de mestrado.

Ao Prof. Carlos Rodrigues P. Belchior, cujo apoio foi fundamental

para minha entrada na COPPE.

Aos Profs. Severino F. S. Neto e Antonio Carlos R. Troyman pela

co-orientação e pelo apoio no desenvolvimento desta tese.

Ao meu primo Carlos Fernando, que ajudou na datilografia.

Ao meu colega de trabalho Dino e Marcelo, pelos desenhos feitos.

Ao ABS (American Bureau of Shipping), pelos dados complementares

utilizados na tese.

A equipe do Laboratório de Estruturas Navais da COPPE/UFRJ, que

de uma ou outra forma apoiou o desenvolvimento desta pesquisa.

Resumo d a Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)

CALCULO DE VIBRAÇÃO AXIAL E LATERAL

DE LINHA DE EIXO DE NAVIOS

Affonso Lima Vianna Junior

Abril, 1991

Urientador

Programa

: Tiago Alberto Piedras Lopes

: Engenharia Oceânica

A proposta deste trabalho é apresentar uma metodologia, que permita.

durante a fase de projeto do navio, obter as frequências naturais de vibração lateral

e axial da linha de eixo.

Utilizando o método dos elementos finitos, o sistema linha de eixo , manca1

de escora e árvore de manivelas, é reduzido a uin modelo matemático composto por

elementos de viga, massa e mola, a partir do qual é feita uma análise moda1 para

obtenção das freqências naturais

Abstract of Thesis presented to C O P P E / U F R J a.s partia1 fulfillment of the

requirements for t he degree of Master of Science (M. Sc.)

ACCESSEMENT TO AXIAL AND LATERAL VIBFiATION

UF LINE SHAFTS OF ÇHIPS

Affonso Lima Vianna Junior

April, 1991

C hairman

Department

: Tiago Alberto Piedras Lopes

: Ocean Engineering

The purpose of this work is to present a m e t h o d o l o ~ to calculate the axial

and lateral line shaft natural frequencies vahration for ship design.

The system, composed by shaft line, thrust bearing and crank shaft, is

modelled according t o the finite element technique using b e m , spring and mass

elements. The moda1 analysis of this model provided the natural frequencies oí' the

st ruct ures.

CAPÍTULO I1 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A EQUAÇAO DE

REYNOLDS

11.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

11.2 - EQUAÇÃO DE NAVIER, - STOMES

11.3 - EQUAÇAO DE REYNOLDS GENERALIZADA

CAPÍTULO I11 - IDEALIZAÇAO DA ESTRUTURA

111.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

111.2 - ELEMENTO FINITO D E VIGA

111.3 - ELEMENTO DE MOLA

CAPÍTULO IV - VIBRAÇÃO AXIAL

IV.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS

IV.2 - DISCRETIZAÇÃO DA ESTRUTURA

IV.3 - DISCRETIZAÇÃO DAS MASSAS

Página

1

IV.4 - ELEMENTOS DE MOLA 31

IV.4.1 -RIGIDEZ DA LINHA DE EIXO 32

IV.4.2 - RIGIDEZ DO EIXO D E MANIVELAS 32

IV.4.3 -RIGIDEZ DO MANCAL D E ESCORA 33

IV.4.3.1 -FUNDO DUPLO E FUNDAÇÃO DO MANCAL 33

IV.4.3.1.1- DEFLEXAO ANGULAR DO FUNDO DUPLO33

IV.4.3.1.2 - DEFLEXÃO DA BASE DO MANCAL

IV.4.3.2 - COLAR DE ESCORA

IV.4.3.3 - RIGIDEZ DO FILME D E OLEO

IV.4.3.4 - RIGIDEZ RESULTANTE PARA O MANCAL

DE ESCORA

IV.5 - MASSA ADICIONAL D O HÉLICE

IV.6 - FREQUÊNCIA NATURAL

CAP~TULO V - VIBRAÇÃO LATERAL

V. 1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

V.2 - IDEALIZACÃO DA ESTRUTURA

V.2.1- MODELO PARA LINHA D E EIXO

V.2.2 - CALCULO DA RIGIDEZ ESTRUTURAL DOS MANCAIS 54

V.2.3 - RIGIDEZ DO FILME DE OLEO 55

V.2.4 - RIGIDEZ FINAL DOS MANCAIS 61

V. 3 - EFEITO GIROSC~PICO DO HÉLICE 61

V.4 - CALCULO DA FREQUENCIA FINAL 69

V.5 - MASSA ADICIONAL DO HÉLICE 70

CAPÍTULO VI - RESULTADOS

VI. 1 - CONSIDERAÇ~ES GERAIS

VI.2 - RESULTADOS DO ESTUDO NUMÉRICO

VI.2.1- RESULTADOS PARA VIBRAÇAO AXIAL

VI.2.2 - RESULTADOS PARA VIBRAÇAO LATERAL

VI.2.3 - TABELAS

VI.3 - RESULTADOS EXPERIMENTAIS

VL3.1- CONSIDERAÇ~ES GERAIS

VI.3.2 - IDENTIFICAÇAO DOS LOCAIS MEDIDOS

V I A 3 - PROCEDIMENTO DE MEDIÇÃO

VI.3.4 - EQUIPAMENTOS UTILIZADOS

VI.3.5 - RESULTADOS DA MEDIÇÃO

VI.3.6 - ANALISE DOS RESULTADOS

VI.3.7 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

VIA - C O N C L U S ~ E S , COMENTARIOS E S U G E S T ~ E S

~ 1 . 4 . 1 - C O N C L U S ~ E S E COMENTARIOS

VI.4.2 - SUGESTÕES

BIBLIOGRAFIA

A linha de eixo é um eIemento vitaI para o funcionamento do navio. Seu

comportamento tem reflexos importantes na operação, no conforto e na segurança

da embarcação, e consequent ement e, torna-se necess&rio uma previsão deste

comportamento durante a fase de projeto,

O estudo do comportamento de uma linha de eixo envolve 4 tipos de análise:

1) alinhamento

2) vibração torcional

3) vibração axial

4) vibração lateral

O alinhamento pode ser resumido como sendo uma análise para previsão do

carregamento doa mancais e esforços desenvolvidos ao longo da linha de eixo

durante a fase de operação do navio.

As análises de vibração torcional, axial e lateral têm como objetivo uma

previsão das tensões e deslocamentos impostos a linha de eixo e as estruturas a elas

solidárias, pelas solicitações dinâmicas do motor e propulsor.

Este trabalho trata especificamente das análises referentes a vibração axial e

lateral d a linha de eixo, tendo como objetivo principal a apresentação de um

procedimento para obtenção das frequência naturais para ambos os problemas.

O procedimento foi utilizado em uma linha de eixo real, instalada em um

navio petroleiro cujas características principais são mostradas a seguir:

Comprimento t ot a1

Comprimento entre perpendiculares

Boca moldada

Pont a1 moldado

Calado de projeto

Porte bruto

Motor

Pot êncialrot ação

Propulsor

174,80 m

167,OO m

28,OO m

14,OO m

10,30 rn

30850 TPB

MP / 5L50MC

5700 kw1133 rpm

4 pás

No capitulo I é feito um resumo da literatura utilizada nos temas

pesquisados.

No capítulo I1 é apresentada a formulação genérica da equação de Reynolds

utilizada no estudo hidrodinâmico de lubrificação de mancais.

No capítulo I11 é apresentada uma descrição dos elementos utilizados na

modelagem dos elementos estruturais.

No capitulo IV são descritas detalhadamente todas as etapas necessárias a

obtenção das frequências naturais de vibração axial, indicando os critérios

utilizados, propriedades dos elementos, geometria e condições de contorno.

No capítulo V procede-se da mesma forma que no capítulo IV para o

problema de vibração Iat eral.

No capítulo VI são apresentados os resultados teóricos decorrentes da

aplicação dos procedimentos descritos no trabalho, juntamente com os resultados

práticos, conclusões e sugestões.

Em função dos diversos problemas a. que a embarcação está sujeita,

decorrentes de um mau funcionamento da linha de eixo, é muito importante que

durante a fase de projeto seja possível fazer uma previsão do seu comportamento o

mais próximo possílvel das condições de operação da embarcação.

A necessidade de obtenção de procedimentos que permitissem prever o

comportamento d a linha de eixo favoreceu o aparecimento de diversos estudos.

Alguns destes estudos foram tornados como base para o desenvolvimento do

trabalho, sendo resumidos a seguir.

Van Gent e HylaridesJr. [I], apresentaram um estudo para obtenção da

rigidez dos principais elementos que influenciam na determinação das frequências

naturais =iais d a linha de eixo, corno mancal de escora, estrutura do fundo duplo e

filme de óleo. O trabalho é dividido em duas partes, a primeira parte faz uma

abordagem sobre a obtenção da rigidez hidrodinâmica através de uma formulação

bidimensional para o movimento do fluido lubrificante na superfície de

deslizamento do mancal com base na Equação de Reynolcls Generalizada. A

segunda parte t rata da rigidez estrutural, apresentando os critérios de modelagem

para. os elementos do fundo duplo, colar de escora e base do mancal de escora. Os

autores sugerem para a base do manca.1 de escora e estrutura de fundo duplo os

seguintes tipos de inodelagem;

- Base do mancal de escura:

Redução da estrutura em elementos de viga e placa, conforme pode ser

visto na fig.I.1.

- Fundo duplo da praça de máquinas:

Redução da estrutura a elementos de placa e viga apoiada entre a

a.ntepara de ré e de vante d a praça de máquinas, conforme pode ser

visto na fig. 1.2.

Finalizando, os autores mostram que a associação d a rigidez dos elementos

deve ser em série para a obtenção da rigidez resultante, conforme fig 1.3.

Technical Research Report R-15, [2], apresenta um estudo para o cálculo da

rigidez estrutural da base do mancal de escora e do fundo duplo da praça de

máquinas. O estudo é dividido em 4 partes, sendo que a primeira e segunda partes

descrevem os critérios de modelagem utilizados para obtenção da rigidez do fundo

duplo da praça de máquinas e base do mancal de escora. A terceira parte faz um

estudo d a composicão da rigidez doa dois elementos e a apresentação de um

resultado numérico para um determinado tipo de estrutura. Finalmente, a quarta

parte faz uma revisão bibliográfica, com comentários de diversos autores sobre o

assunto.

Olav Lie, Eng,, [3], a partir de vários cálculos e medições realizadas pelo

D.n.V para frequências de ressonância de vibração axial, desenvolveu um estudo

com base na correlação entre os resultados teóricos e medidos, para estimativa de

rigidez do mancal de escora visando a obtenção das frequências naturais de

vibração axial, O trabalho parte de uma formulação simplificada para o cálculo da

frequência natural do primeiro modo de vibrar, observando que os parâmetros mais

relevantes neste cálculo são a massa total do sistema e a rigidez do mancal de

escora. Em seguida o autor descreve os vários tipos de acoplamento entre mancal

de escora e motor, com suas possíveis influências no cálculo das frequências

naturais. Um capítulo é dedicado exclusivamente ao trabalho de correlação de

resultados. Sendo desenvolvido a partir de 27 casos de cálculo de freqências

natural e 35 casos de medição de frequências de ressonância, onde a correlação

direta foi possível em 8 casos, sendo que em 7 deles os resultados teóricos e

práticos foram obtidos para o mesmo navio, e nos outros casos para navios

semelhantes. O autor apresenta também um resumo da influência de cada um dos

elementos que compõem a rigidez do sistema. A parte prática também é abordada

no trabalho com a descrição dos equipamentos utilizados nas medições,

posicionament o dos "st rain gauges" e critérios para obtenção de resultados.

Finalizando, o autor faz um resumo dos ítens mais relevantes no cálculo da rigidez

e uma avaiiação sobre a influência desta rigidez na frequêcia natural.

A.W.van Beek, [4], dedica seu estudo ao esclarecimento do cálculo para

obtenção das frequências naturais e respostas para vibração lateral da linha de

eixo. O autor inicialmente faz uma abordagem do tipo de modelo matemático que

deve ser associado a uma linha de eixo para o cálculo das frequências naturais, veja

fig. 1.4. No passo seguinte, faz uma sugestão para o tipo de modelagem a ser

utilizada para os mancais e um resumo sobre a influência do filme óleo na obtenção

da rigidez. O trabalho finaliza com uma comparação entre valores de frequências

naturais e de resposta medidas e calculadas.

Yukio Hori, Masato Tanaka, Akira Hasuike, Toshiaki Nasura, [51, fazem um

resumo da investigação teórica e experimental realizada por eles para vibração

lateral de eixos propulsores. O trabalho apresenta o modelo matemático da linha

de eixo utilizada pelos autores e a montagem da matriz de transferência usada no

cálculo de resposta e na obtenção das forças transmitidas aos mancais. A

característica do filme de óleo é abordada em um dos ítens, com a apresentação de

uma formula<ão matemática para distribuição de pressão do óleo na superfície de

deslizamento do mancal. A conclusão do trabalho se dá com a comparação entre

os resultados teórico e prático para um exemplo específico,

Richard Woytowich, [6], apresenta um método manual que pode ser

implementado em pequenas calculadoras, para estimativa de velocidades críticas

de excitação do propulsor em vibração lateral de linha de eixo. Considerando a

linha de eixo como uma viga bi-apoiada, veja fig. 1.5, o método propõem a

obtenção das frequências naturais em três etapas:

1) considerando a extremidade livre, oposta ao propulsor, como simplesmente

apoiada.

2) considerando a extremidade livre como engastada,

3) interpolação entre os valores inferior e superior de frequência conseguidos

nos itens 1 e 2, para obtenção da frequência final.

Os efeitos giroscópico e de massa adicional da água sobre o hélice também

são descritos no trabalho. Finalizando os autores aparesent am um exemplo

numérico e fazem uma comparação entre os resultados obtidos manualmente e os

conseguidos pelo programa "Propulsor" do ABS (American Bureau of Shipping).

CASCO

COLAR

-

-

FILME BASE DO DE MANCAL

ÓLEO

FUNDO DUPLO I

FIG. I .3 - ASSOCIACÃO DE MOLAS PARA OBTENÇÃO DA RIGIDEZ DO MANCAL DE ESCORA

ALTERNATIVA P/ CONDIGA0 DE

FIG.$S- MODELO SIMPLIFICADO PARA LINHA DE E IXO

11 - CONSIDERAC~ES SOBRE A EQUACÃO DE REYNOLDS

11.1 - CONSIDERAÇ~ES GERAIS

O estudo hidrodinâmico de lubrificação é, do ponto de vista matem&tico, um

estudo particular da Equação de Navier-St okes. Esta formulação foi obtida por

Osborne Reynolds a partir de experimentos e observações do mecanismo de

lubrificação hidrodinâmica.

A Equação de Reynolds contem os parâmetros viscosidade, densidade e

*espessura do filme de óleo, que são parâmetros dependentes da temperatura, da

pressão e do comportamento elástico da superfície do mancal.

Para se ter uma representação precisa do comportamento hidrodinâmico do

filme de óleo que serve a lubrifição do mancal, é preciso considerar

simultaneamente a Equação de Reynolds, a Equação de Energia, a Equação de

Elasticidade e a Equação de Estado.

A formulação generalizada que serve como base no estudo da rigidez do filme

de óleo, tanto para vibração axial quanto para vibração lateral, é obtida conforme

indicado a seguir.

11.2 - EQUAÇÃO DE NAVIERSTOKES

Em uma análise diferencial t ridimensional, o fluído viscoso está sujeito a ação

de 9 componentes de tensão.

Partindo da Equação de Equilíbrio de Forças no Cubo, chegasse a conclusão

que as componentes tangenciais da tensão são isométricas:

e que a pressão p é resultante da ação das tensões normais:

A magnitude das tensões depende da taxa de distorção a que o fluído está

sujeito. Para muitos fluídos está dependência esta na forma:

onde u . e u. são componentes do vetor velocidade nas direções x,y e z, o têrmo 1 1

entre parentêses a g~andeza d a distorç-áo, p o coeficiente de proporcionalidade e 6.. 11

para indicação da subtração da pressão no caso de subscritos iguais (delta de

Kronecker).

As componentes da tensão são:

onde U,B e w correspondern a u u e u e x,y e z correspondern a x x e x na. i' 2 3 1) 2 3

expressão (11.5)

A soma d a três componentes normais resulta em:

O têrmo entre parênteses é o divergente do vetor velocidade e mede a.

expansão do fluído.

Podemos expressar as componentes da tensão de forma geral com a

introdugão do coeficiente de Stokes ( XB) , caracterizando desta forma as condições

de compressibilidade do fluido;

3.i r = - p + x e - + 2 p -

X X X (11.13)

&

O coeficiente X representa quantidades indet erininadas, A soma destas

componentes normais resulta em -3p, desde que:

Alguns fluídos possuem "viscosidade de volume", que corresponde a uma

medida de resistência a alteração de volume, da mesma forma que a viscosidade

representa uma medida de resistência ao fluxo,

No caso do fluídos incompressíveis, a viscosidade de volume A

e X e p dependentes um do outro.

Du As componentes de aceleração do fluído são as derivadas - d t

2 f - p será zero

3

massa do elemento fluído com dimensões dx, dy, dz é p dx dy dz, onde as

componentes da força necessária para aceleração do elemento ficam n a forma:

Du p-dxdy dz d t

Dv p-dx dy dz d t

As derivadas totais das componentes de velocidade são calculadas tratando a

velocidade como função de x, y, z e t em que x, y e z são dependentes de t .

A derivada t ot a1 no tempo mede a variação da velocidade de uma partícula

do fluído durante o seu percurso no espaço e a derivada parcial mede a variação d a

velocidade desta partícula quando ela ocupa uma posição particular.

As forças necessárias para acelerar um elemento do fluído são supridas por

forças externas de campo, como a gravidade, ou por pressão ou gradientes de

tensão. Se as componentes da força externa de campo por unidade de massa são X,

Y, Z, estas forças são iguais a X p dx dy dz, Y p dx dy dz, Z p dx dy dz.

As forças decorrentes dos gradientes de tensões devem ser adicionadas as

forças externas. Três destas tensões tendem a mover o elemento na direção x.

Como exemplo temos T cuja variação através do cubo em uma distância XY'

Esta tensão a tua sobre uma face do cubo com área dx dz e produz uma força

Existem expressões similares para T e %z. XX Quando estas forças

decorrentes dos gradientes de tensões são adicionadas as forças externas, o fator

comum dx dy dz é eliminado:

Existem expressões semelhantes para os gradientes de tensão que tendem a

mover o elemento na direção y e z:

2 No caso da viscosidade de volume X + - p ser zero, X pode ser escrita em 3

termos de p, e r.. será substituída pela sua expressão equivalente: 11

As equações apresentadas acima são as Equações de Nav ie rS t okes,

Para complementação do estudo de escoamento temos a Equação de

Continuidade:

onde m leva em conta a presença de fontes e sorvedouros. Não existindo fonte nem

sorvedouros e o estado do lubrificante sendo independente do tempo, a Equação de

Continuidade fica na seguinte forma:

Para uma definição completa do problema temos as seguintes relações

funcionais:

P = P(P,T) (11.31)

Fazendo a transformação para coordenadas cilíndricas, as Equações de

Navier-Stokes ficam na forma;

e a Equação de Continuidade na forma;

11.3 - EQUAÇÃO DE FtEYNOLDS GENERALIZADA

As seguintes considerações foram assumidas de forma a reduzir as Equações

de NavierStokes na Equação de Reynolds Generalizada.

1. A espessura do filme de óleo é muito menor do que as dimensões dos

mancal, Isto permite ignorar a curvatura do filme de óleo no caso de mancais de

deslizamento, e substituir velocidades de rotação por velocidades de translação.

2, Não há variação de pressão através do filme de óleo

3. 0 escoamento é Iaminar,

4. Nenhuma força externa atua sobre o filme de óleo. Então

) ( l = y = z = o (11.38)

5. A inércia do fluido é pequena se comparada com a viscosidade. Estas

forças de inércia consitem em aceleração do fluído, forças centrífugas e força da

gravidade. Então:

6. Não há deslizamento na superfície do mancal.

7. Comparado com os dois gradientes de velocidade d u e d w , todos d y ds

os outros gradientes são considerados desprezíveis, derivadas de ordem superior,

d2u d2w exceto - e - . ds2 ay2

Com as 7 considerações, as Equações de NavierStokes ficam reduzidas a:

Integrando a equação (11.40) com as condições de contorno:

obt ein-se:

Integrando a equação (11.41) com as condições de contorno:

obtem-se:

Usando a Equação de Continuidade na forma

e substituindo as expressões para u e w, obtem-se:

Integrando em relação a y com as condições de contorno:

v = V e m y = O e v = O e r n y = h

obtem-se,

O limite superior h na equação acima é função das coordenadas x,z. Fazendo

uso da relação:

i,'" dh( 4 dcu

pode-se fazer a int egração antes da diferenciação:

O segundo têrmo no Iado direito representa a variação tangencial da

velocidade. Para cargas constantes isto representa que o material do manca1 terá

comportamento igual a borracha. Este fenômeno, apesar de possível, é raro

durante a fase de operação. Em cargas dinâmicas, quando a componente da

velocidade V existe, a velocidade tangencial varia. Com base nas expressões para

velocidade t angencial e radial em mancais de deslizament o, demonst ra-e que o

segundo termo do lado direito da equação pode ser desprezado.

Desta forma a Equação de Reynolds Generalizada pode ser expressa na

for ma:

Está formulação da Equação de R,eynolds será usada para cálculo da rigidez

do filme de óleo dos mancais.

111.1 - CONSIDERAÇ~ES GERAIS

Em um meio continuo elástico sempre é preciso estudar o comportamento das

tensões e deformações. Os problemas podem variar desde problemas de tensão ou

deformação plana, flexão de placas, até a análise de sólidos tridimensionais. Em

todos os casos, o número de interconexões entre um elemento qualquer rodeado por

fronteiras imaginárias e os elementos referentes a ele e infinito. B difícil, por

conseguinte, ver a primeira vista como discretizar este tipo de problemas. Para

obter uma boa discretização 6 necessário considerar o seguinte:

- O contínuo se divide, mediante linhas e superfícies imaginárias, em um

número finit o de elementos.

- Supondo-se que os elementos estão conectados entre si, mediante um

número discreto de pontos, denominados nós, situados em seu contorno, os

deslocamentos dos nós serão as incógnitas fundamentais do problema.

- Considera-se um conjunto de funções que definam de maneira única o

campo de deslocamento dentro de cada elemento em função dos delocamentos

nodais do referido elemento.

- Os deslocamentos definem o estado de deformaçZo dentro do elemento em

função dos deslocamentos nodais. Estas deformações e as

propriedades do material definem um estado de tensões em todo o elemento,

- Determina-se um sistema de forças concentradas em nós, tal que equilibre

as tensões no contorno a qualquer carga distribuída, resultando assim uma relação

entre força e desIocamento.

111.2 - ELEMENTO FINITO DE VIGA

O elemento finito de viga em 3 dimensões, é mostrado na fig. 111.1.

Para sua definição são necessários 3 nós, dos quais o terceiro é utilizado para

orientar o elemento, São considerados 6 graus de liberdade por nó, dos quais três

são de rotação e três de t ranslação.

As coordenadas locais do elemento são localizadas a partir do nó 1. O eixo r

é localizado na direção longitudinal do elemento, desde o nó 1 ao nó 2 e o eixos fica

no plano formado pelos nós 1, 2, 3, perpendicular ao eixo r, e o eixo t completa o

sistema cartesiano.

As principais propriedades geométricas necessárias para a identificação do

elemento são:

rl - Area da seção

r2 - Momento de inércia do elemento com respeito ao eixo s.

r3 - Momento de inércia do elemento com respeito ao eixo t .

r4 - Altura do elemento.

r5 - Largura do elemento

111.3 - ELEMENTO DE MOLA

O elemento de mola pode ser usado para representar apoios elásticos ou

ligações elásticas entre diferentes tipos de estrutura.

Para a definição do elemento são necessários 2 nós no mesmo plano. São

considerados 6 graus de Iiberdade por nó (3 de translação e 3 de rotação). As

coordenedas locais do elemento são escolhidas como: a)o eixo x é situado a partir

do nó 1, na direção do nó 2; b)o eixo y fica definido no plano formado pelos nós 1,

2, 3; c)o eixo z completa o sistema cartesiano, veja a fig. 111.2.

A única propriedade geométrica do elemento correponde a rigidez K da mola.

FIG. 111.1 - ELEMENTO FINITO DE VIGA

FIG. 111.2 - ELEMENTO DE MOLA

IV - VIBRACÃO AXIAL

IV.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS

A vibração axial pode ser descrita como sendo o movimento alternativo na

direção longitudinal da linha de eixo decorrente das excitqões provocada pelo

propulsor e pelo motor.

O estudo de vibração axial é feito a partir de um sistema equivalente

consistindo de massas discretas conectados por molas, conforme fig.IV.1. Os

valores encontrados no cálculo das frequências naturais, que representa objeto

deste estudo, é extremamente dependente dos seguintes parâmet ros:

- rigidez do manca1 de escora

- rigidez do eixo de manivelas

- rigidez da linha de eixo

- massa adicional da água no propulsor

A estrutura é modelada da seguinte forma:

a) Discretização da massa do sistema composto pelo eixo de manivelas,

volante, eixo intermediário, eixo propulsor e hélice.

b) Obtenção da rigidez das molas que fazem a ligação entre os elementos de

massa, sendo a principal delas a que representa a rigidez do manca1 de escora.

IV.3 - DISCRETIZAÇÃO DAS MASSAS

As massas que compõem o sistema eixo de manivelas, volante, eixo

intermediário, flange, eixo propulsor, hélice são obtidas da sequinte forma:

i) Metade da massa do eixo propulsor é adicionada a massa do hélice e a

outra metade a massa do flange, que faz a união entre eixo propulsor e eixo

intermediário.

ii) Metade da massa do eixo intermediário é adicionada a massa do volantedo

motor e a outra metade ao flange de união,

iii) A massa do eixo de manivelas é diszretizada no mesmo número de

manivelas que compõem o eixo.

IV.4 - ELEMENTOS DE MOLA

As molas que compõem o sistema representam a rigidez dos seguintes

elementos:

1) rigidez da linha de eixo (intermediário e propulsor)

2) rigidez do eixo de manivelas

3) rigidez do manca1 de escora

Elas funcionam como elementos de ligação entre as massas que compõem o

eixo discreto e entre este e o casco,

IV.4.1 -RIGIDEZ DA LINHA DE EIXO

Os diversos segmentos que compoem a linha de eixo são considerados como

elementos de viga cuja rigidez na direção longitudinal é dada por:

Onde E - módulo da elasticidade longituddinal

A - área da seção transversal

L - comprimento do segmento

IV.4.2 - RIGIDEZ DO EIXO DE MANIVELAS

A rigidez do eixo foi obtida modelando-se uma das manivelas como elemento

de pórtico e verificando-se qual o deslocamento da extremidade livre na direção

axial para uma carga unitária aplicada, conforme fig.IV.2. O valor da rigidez

corresponde ao inverso do deslocamento conseguido.

IV.4.3 -RIGIDEZ DO MANCAL D E ESCORA

O mais importante elemento que compõe o sistema para cálculo de vibração

axial é o elemento de mola que representa o mancal de escora

A rigidez do mancal de escora é dada pela associação em série das m o l a que

representam a rigidez dos diversos elementos que compõem a estrutura do mancal.

Os elementos que respondem pela rigidez são os seguintes:

. fundo duplo

. fundação do mancal

. colar de escora

. filme de óleo

IV.4.3.1 -FUNDO DUPLO E FUNDAÇÃO DO MANCAL

O procedimento para obtenção d a rigidez do mancal de escora envolve o

cálculo da deflexão angular da estrutura do fundo duplo e a deflexão devido a

flexão e cisalhamento da fundação do mancal.

IV.4.3.1.1- DEFLEXÃO ANGULAR DO FUNDO DUPLO

A deflexão angular é calculada assumindo-se que a estrutura do fundo duplo,

que envolve também a fundação do mancal, é uma viga bi-apoiada nas posições

correspondentes a antepara de vante e de ré da praça de máquinas. A extensão do

funclo duplo, além destes limites, irá reduzir a rotação e aumentar levemente a

rigidez, fato este que não acarretará nenhum aumento considerável na precisão do

resultado. Embora os elementos estruturais transversais também acrescentem

alguma rigidez ao fundo duplo, eles são desprezados na análise com a finalidade de

simplificar o procedimento. A largura efetiva do fundo duplo sob a fundação é

aumentada levemente para compensar o efeito das transversais desprezadas.

Geralmente, escolhe-se a largura efetiva como sendo o comprimento que engloba

uma ou duas longitudinais além dos limites determinados pelos extremos da

fundação do motor, conforme fig. IV.3,

Após o estabelecimento d a largura efetiva, reduz-se a estrutura resultante

em uma viga com seção variável, através da composição das longitudinais para

cada alteração da seção transversal da estrutura, conforme fig. IV.4. O eixo neutro

e o momento de inércia devem ser calculados após a escolha das seções e a

determinação das dimensões das chapas de aço que compõem esta seção.

Os comprimentos e os momentos de inércia da seção ser20 usados para

modelar a viga, que está simplesmente apoiada nas duas anteparas que limitam a.

praça de maquinas. Uma carga axial unitária e a distância entre o eixo neutro da

seção dos calços do manca1 e da linha de eixo são usadas para calcular o momento

ao qual a viga está sendo submetida.

Este momento, seja fig. IV.5, causa uma deflexão a.ngular, que multiplicada

pela distância entre o eixo neutro da seção dos calços e o centro da. linha de eixo,

permite calcular a rigidez do fundo duplo na direção longitudinal..

IV.4.3.1.2 - DEFLEXÃO DA BASE DO MANCAL

As deflexões devido a flexão e ao cisalhamento são calculadas para a

fundação do mancal acima do fundo duplo.

A carga de cisalhamento atua uniformemente sobre as longitudinais através

da chapa horizontal que forma o teto do fundo duplo, enquanto a carga de flexão

atua tanto nas transversais quanto nas longitudinais. Desta forma é necessário

considerar separadamente tais deflexões resultantes dos dois carregamentos e usar

diferentes seções da fundação para o cálculo.

No cálculo da deflexão por cisalhamento a estrutura efetiva é considerada

como sendo as longitudinais abaixo do mancal, veja fig. IV.6.

No caso da deflexão devido a flexão a estrutura efetiva é considerada como

sendo a base e a fundação sobre o mancal, veja fig. IV.7.

Após a escolha das seções representativas da estrutura, as sigas para cálculo

das deflexões devido ao cisalhamento e a flexão podem ser modeladas. O cálculo

deve ser efetuado baseado em uma carga axial aplicada no centro da linha de eixo.

IV.4.3.2 - COLAR DE ESCORA

Uma aproximação para rigidez axial do colar é obtida a partir d a formulação

proposta por Roark [8].

A deflexão total é composta de 2 partes:

Deflexão por íiexão:

Deflexão por cisdhamento:

Veja a fig. IV.8 para compreensão dos parâmetros abaixo:

a = constante dependente de ,8

a = diamêtro de aplicação da carga

b = diamêtro interno

Fo = carregamento

t = espessura do colar

E = módulo de elasticidade longitudinal

G = módulo de elasticidade transversal

IV.4.3.3 - RIGIDEZ DO FILME DE ÓLEO

Com base na formulação apresentada no Capítulo I1 e desprezando a

velocidade radial do fluído na superfície do manca1 de escora, a Equação de

Reynolds Generalizada fica reduzida a um caso bidirnensional.

Partindo da formulação bidimensional, chegamos a rigidez de acordo com o

desenvolvimento apresentado a seguir.

onde:

p = viscosidade (constante)

p = densidade do fluído (constante)

p = pressão do filme de óleo

H = altura da cunha de óleo

U = velocida,de do fluído na direção x em y = O 1

Vi= velocidade do fluído na direção y em y = O

U2= velocidade do fluído na direção x em y = H

V2= velocidade do fluído na direção y em y = H

Para maior compreensão dos parâmetros apresentados veja (fig. IV.9).

O movimento geral do manca1 consiste de uma translação da superfície do

manca1 (y = 0) com velocidades em x e y correspondentes a U e V e a uma I 1

rotação da superfície deslizante em torno do ponto S com velocidade angular E =

A velocidade da superfície (y = H) é função da rotação e resulta na direção x

em U z --~t e na direção y em V = é (s - x). Após a substituição destas 2 2

expressões na equação, obt em-se:

onde

Esta pode ser integrada ficando na forma abaixo após a divisão por H3:

Para uma segunda integração, coloca-se H em função de x:

H = a, ( a -x )

e obt em-se a expressão:

p(x) = 614 (U + et)I (x) - 12p (V - rs)12(x) 1 1 I

- 6pa13(x) i- C1 (x) + p(O) 4

X

x 2 d x 1 ~ ~ ~ ) = j r -=- [ l n L - x (2 a - 3x)

H3 a,, a - x 2 ( a - ~ ) 2 1

(IV. 12)

Usando-se as condições de contorno p(l) = p(o) = p,, obtem-se:

O = 6p ( p + E ~ ) I (1) - 12AV - rs)12(l) - 6p I,(]) 1 1 I

+c 1 (1) 4

(IV. 13)

Determinando a expressão de C a partir da equação (IV.13) e substituindo na

equação (IV.81, obtem-se:

com

(IV. 14)

(IV. 15)

a - In - a - x

(IV. 16)

Na a equação (IV.16) o termo t ~ u . pode ser desprezado se comparado com 2(a

- s), ficando então a equação (IV. 14) na forma:

(IV. 17)

A partir do desenvolvimento matemático da equação (IV.17) apresentado em

[I] e [15], a rigidez hidrodinâmica do manca1 de escora é expressa por:

onde:

2k i

K (rigidez) = - z- - 1 [ "-1 - (0,462M) [ i ] 1

k i C (amortecimento) = -

' 12+ 0,714 6 &n 1 - (0,462M) [ l2 I

(IV. 19)

F = força (N)

p = viscosidade do fluído (Nsmm2)

v = frequência de excitação (cpm)

n = rotação do motor (rpm)

Os parâmetros D, B, a e 1 estão relacionados a geometria do mancal,

conforme pode ser visto na fig. IV.9.

A rigidez hidrodinâmica pode ser expressa também na forma:

onde:

(IV. 22)

(IV. 23)

IV.4.3.4 - RIGIDEZ RESULTANTE PARA O MANCAL DE ESCORA

A rigidez para o manca1 de escora é resultante da associação em série da

rigidez de cada um dos seguintes elementos:

. fundo duplo

. fundação do manca1

. colar de escora

. fime de óleo

A fig. 1.3 apresenta a associação destes elementos.

IV.5 - MASSA ADICIONAL DO HÉLICE

A massa adicional decorrente da presença da água entre as pás do propulsor é

estimada em 60% do valor da massa do hélice incluindo o bosso, [16].

Em virtude da não disponibilidade de fórmulas para estimativa d a massa

adicional do hélice devido a vibração axial, a sugestão da referência [16], será

utilizada neste trabalho. Deve ser resaltado que a sugestão de [16] é um valor

próximo ao utilizado pelo ABS 1141.

IV.6 - FREQUÊNCIAS E MODOS NATURAIS

O sistema para determinação das frequências e modos naturais de vibração,

conforme pode ser visto na fig. IV.1, é uma composição de massas e molas em

série. Com os valores numéricos associados a cada um dos elementos, monta-e a

matriz de massa e a matriz de rigidez do modelo, a partir das quais, empregando

os algorítimos usuais para cálculo de autovetores e autovalores, obtem-e as

frequências naturais e os modos de vibrar do sistema.

FIG. IV. 2- MODELO PARA O EIXO DE MANIVELAS

ANTEPARA FUNDO DUPLO ANTEPARA FR 178

FIG IV.3 - ESTRUTURA DO FUNDO DUPLO

CAVERNAS 1 70- I28

CAVERNAS 1 4-1 67 1 /2 P

CAVERNAS 157-161 1/2

CAVERNAS I67 1/2 -170

CAVERNAS 161 1/2 - 164

I CAVERNAS 153-157

FIG. 1v.4 - SECÇÕES MOSTRANDO A VARIAÇÃO LONGITUDINAL DA ESTRUTURA.

APOIO ANTEPARA DE RÉ DA PÇA. DE MA~UINAS

DEFLEXAO AXIAL

LINHA DO CENTRO

Do Y !i-

APOIO ANTEPARA DE VANTE DA PÇA. DE MAQUINAS

F=l LB

I

'7 I I L

I I I I 1 - - - - _ _ _ _ _ _ - - - - - -

16 I 5 l 4 13 12 I I

LINHA DE CENTRO DO EIXO - - - I

TETO DO FUNDO DUPLO

BASE DO MANCAL

FIO. IV&- SEÇÕES DA BASE RESISTINDO A DEFLEX~O POR CIZALHAMENTO

LINHA DE CENTRO DO EIXO -4 ---

L!-

L F R 174 LFR 168 #

BASE DO MANCAL

superfície de deslize

H O - VI A

X U 1 -i -

FIG. IV.9 - DEFINIÇÃO DOS SIMBOLOS PARA MANCAL DE DESLIZAMENTO

V - VIBRACÃO LATERAL

V.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS

O fenômeno de vibração lateral em linha de eixo de navios mercantes tem

recebido nos últimos anos uma atenção especial. A otimização da espessura de

chapa conjuntamente com o afilamento das linhas do navio favoreceu o

aparecimento de estruturas de popa menos rígidas, e de alguns tipos de arranjo de

linha de eixo com prolongamento para fora do casco e suportação por mancais tipo

pé de galinha, acarretando problemas sérios no comportamento estrutural

dinâmico.

O aparecimento do fênomeno resulta em diversos problemas, tais como:

- Tensões adicionais em zonas de transição de diâmetro ou fixação de

chavetas;

- Ampliação das reações dos mancais, ocasionando ribrqões na estrutura de

popa;

- Distúrbios nos mancais, podendo ocasionar aumento excessivo na

temperatura de funcionamento.

-54-

V.2 - IDEALIZAÇÃO DA ESTRUTURA

V.2.1- MODELO P A U A LINHA DE EIXO

A análise é realizada com dois tipos de modelo. No primeiro, onde não é

considerado o efeito giroscópico do hélice, a linha de eixo é subdividida em vários

elementos de viga, com a transição entre elementos dada pela variação da seção

transversal ou pela localização de um ponto de apoio ou aplicação de carga. A

massa de cada elemento é considerada uniformemente distribuída e a massa do

propulsor concentrada. Para as condições de contorno assume-se os mancais como

elementos de mola e a extremidade ligada ao motor engastada, conforme fig. 1.4.

No cálculo das frequências levando em conta o efeito giroscópico, consideramos um

modêlo mais simplificado para linha de eixo, onde o comprimento se extende

somente até a posição do manca1 de vante do tubo telescópio. A massa do eixo é

considerada como distribuida, e a inércia diametral e massa do hélice como

concentradas, conforme fig. 1.5.

V.2.2 - CALCULO DA RIGIDEZ ESTRUTURAL DOS MANCAIS

Os mancais de ré e de vante do tubo telescópio, compostos por uma estrutura

de suportação, carcaça e camada de metal patente, são considerados como

estruturas perfeit arnente rígidas. O manca1 intermediário será modelado

considerador;e a carcaça como perfeitamente rígida e o pedestal como elemento de

viga.

- 55 -

V.2.3 - RIGIDEZ DO FILME DE ÓLEO

O comportamento dinâmico para mancais cilíndricos de deslizamento é

obtido pela solução d a Equação de Reynolds:

A fig.V.1 nos mostra os parârnetros relacionados com este tipo de mancal.

Considerando o mancal operando em condições de incornpressibilidade, a

densidade p poderá ser cancelada em ambos os lados d a equação.

Para solução da equação, consideram-se os seguintes parârnetros

adimencionais:

onde

H = espessura do filme de óleo

c = folga radial

L = comprimento do mancal

p = pressão no filme de óleo

Escrevendo ds = R dp, a Equação de Reynolds fica na forma:

para o caso restrito de mancais cilíndricos, tem-se:

onde E é a razão excentricidade

e e a excentricidade propriamente dita.

A Equação de Reynolds, então, fica na forma:

Para mancais infinitamente longos:

Para mancais infinitamente curtos:

(V.9)

(V, 10)

(V. 12)

Para mancais finitos, a Equação de Reynolds deverá ter sua solução por meio

de diferenças finitas, pela técnica de elementos finitos ou por série:

Em termos de carregamento e velocidade, pode-e dizer que mancais muito

carregados são aqueles caracterizados por velocidade e Número de Summerfeld (S)

baixos. Os mancais pouco carregados são aqueles caracterizados por velocidade, e

Número de Sommerfeld altos, [12].

O Número de Sommerfeld é dado pela seguinte expressão:

onde:

p = viscosidade do óleo

D = diâmetro do manca1

L = comprimento do mancal

R = raio do mancal

W = carregamento do mancal

n = velocidade angular

O comportamento de um mancal é dado pela sua capacidade de carregamento

(S), e o ângulo de atitude ( 4 ) para diferentes razões de excentricidade. A fig.V.2

mostra c em função de S e a fig.V.3 mostra # em função de E onde # define a

posição do centro do eixo em relação ao centro do mancal.

O mancal devido ao seu comportamento assimétrico oferece rigidez e

armotecimento diferentes em diferentes direções radiais. A assimetria é decorrente

da configuração dos movimentos verticais e horizontais resultante de uma variação

do carregamento vertical.

Da fig.V.3 obtem-se:

A rigidez estática na direção z pode ser escrita na forma:

(V. 13)

(V. 14)

(V. 15)

A fig V.4 fornece a relação W em função de z, mostrando que a rigidez KZ

dada pela equação é não linear e depende das condições de carregamento. A

- 59 -

rigidez e o amortecimento são funções da excentricidade e do carregamento.

Para diferentes condições de carregamento do manca1 obt em-se diferentes

posições (ZJ) do centro do eixo. Quando a carga sofre variação, o eixo assume

uma nova posição, alterando o par (z,y). A diferencial total do carregamento W

em relação a z e y é dada por:

(V. 16)

que pode ser escrita como:

(V. 19)

Será considerado também um carregamento na direção p de forma a

generalizar a relação. Sob condições permanentes, Wz = - W e Wy = O. Logo

que ocorra dgum tipo de pertubação, uma carga horizontal será gerada de forma a

se opor a esta pertubação. Com o propósito de tornar a relação a mais geral

possível, considerar-se-á o carregamento radial na direção y. Então Wz e W são 9

dependentes tanto de z como de y. A diferencial total em relação a z e p devem ser

consideradas, obtendo-se as seguintes expressões:

(V. 20)

onde:

que podem ser escritas como:

(V. 22)

(V.23)

(V. 25)

(V. 27)

Kii são os coeficiente de rigidez, com i dando a direção da força e j dando a

direção do deslocamento, Em condições dinâmicas, o centro do eixo terá

velocidades i, e induzirão forças adicionais W, e W devido à. compressão do 9'

filme de óleo. Estas forças são denotadas através dos coeficientes de

amortecimento Czz, C,,, CyZ e %Y

para definir a variação t o td nas fo rça WZ e

WY.

AW,=-K zz A Z - C a i-K ay-C zz ZY 2 Y (V. 28)

A W y = - K Az-C A i - K A y - C A i Y 2 9 2 Y Jr Y Y

(V. 29)

Kzz> Czz' KyJ e Cyy são coeficientes diretos de rigidez e amortecimento.

K , C , K , C são coeficientes cruzados de rigidez e amortecimento. YZ yrz ZY ZY

As expressões acima evoluiram da equação (V.8) a partir de uma solução por

série, conforme é apresentado na referência [12].

As figs.V.5a a 5h mostram a relação entre o Número de Sommerfeld e os

coeficiente de rigidez e amortecirnent o.

V.2,4 - FLIGIDEZ FINAL DOS MANCAIS

A rigidez final é obtida pela associação em série de rigidez estrutural e da

rigidez hidrodinâmica do mancal.

V.3 - EFEITO GIROSCOPICO DO H ~ L I C E

Quando um disco está localizado em um eixo em balanço ele não vibrará em

seu próprio plano. O sistema apresentado na fig,V,6a terá uma velocidade crítica

(primária) diferente daquela da fig,V.6b, sendo a massa e rigidez do eixo as

mesmas em ambos os casos. Isso decorre do fato de as forças centrífugas das várias

partículas do disco não estarem em um plano, formando então um conjugado (ou

binário) de ajuste do eixo, tendendo a retificá-lo. Antes de calcular esse momento,

é necessário ter-se uma visão clara do modo de vibrar.

Admitimos um completo balanceamento da máquina e esta girando

excêntricamente com uma velocidade crítica com ligeira deflexão. A velocidade

angular da rotação excêntrica do centro do eixo é admitida a mesma que a

velocidade angular de rotação do eixo.

A fig.V.7 mostra as forças centrífugas que aparecem nesse movimento. Na

fig.V.8, observa-se que a força centrífuga de um elemento de massa dm é d r 1'

dirigida para fora do ponto B. Essa força pode ser decomposta em duas

componentes: 2 6 dm verticalmente para baixo e k2r dm dirigida para fora do

disco, ou centro do eixo S. As forças d 6 dm para vários elementos de massa

adicionam-se, resultando numa força simples m 4 S (onde m é a massa total do

disco), agindo verticaImente para baixo no ponto S da fig.V.7. As forças d r dm

partem do centro do disco S, e suas influências tornam-se clar* na observação da

fig.V.8 como segue. A componente y da força 4 r dm é d y dm. O braço de

alavanca do momento dessa força centrífuga é yp, onde p é o angulo do disco com

relação a vertical. Assim o momento de uma pequena partícula dm é, d y 2 p dm, o

momento tot a1 M das forças centrífugas, é dada por:

(V. 39)

onde I é o momento de inércia diametral. d

A extremidade do eixo é submetida a uma força m d 6 e a um momento

k2IdP, sob cuja influência ela adquire uma deflexão 6 e um ângulo p. Isso pode

ocorrer apenas em certa velocidade w, e o cálculo da velocidade crítica reduz-se a

um problema estático, que é o de achar o valor w para o qual o eixo deflete de 6 e

p, sob a influência de P = m 4 6 e M = I d d p .

O cálculo para. velocidade critica de um eixo em balanço, com rotação, de

rigidez EI e comprimento 1 é obtido conforme explicado a seguir.;

Da resistência dos materiais, as fórmulas para deflexão e ângulo da

extremidade de uma viga em balanço devido a uma força P e um momento A4 são:

Com essas fórmulas, obtem-se:

que pode ser escrita como:

(V. 35)

(V. 34)

(V. 35)

(V 36)

(V. 37)

(V. 38)

O conjunto homogêneo de equações pode ter uma solução para .!i e p apenas

quando o determinante é nulo, o que resulta em:

que corresponde a equação de frequência.

O efeito giroscópico de um eixo com um disco fixo na sua extremidade pode

ser descrito de uma maneira mais detalhada, conforme é apresentado a seguir:

Com base na fig.V.9, nós podemos ver que a linha de centro do eixo, em sua

posição defletida mostrada, é suposta com rotação em tôrno de sua posição sem

deflexão OA, com velocida,de angular w. De maneira simultânea e independente, o

disco e o eixo giram em tôrno d a linha de centro defletida OC, com velocidade

angular R. Podemos visualizar os casos de w = wo com S2 = O e, w = O com Q -- Q0, Com esse movimento combinado, tentamos achar a quantidade de movimento

angular do disco. Se êle não tem movimento excêntrico, mas apenas gira, a

quantidade de movimento angular dada por I Q, onde I é o movimento de inércia P P

polar do disco em tôrno d a linha de centro do eixo fletida. A seta indica que o

disco gira no sentido anti-horário, quando observado d a direita, Admitimos agora

que não haja rotação S2, mas apenas rotação excêntrica w. O disco oscila no espaço

e é difíçil visualizar sua velocidade angular e essa visualização torna-se mais difícil

ainda pela observação de que em C, o eixo é perpendicular ao disco, tal que

podemos estudar o movimento angular do eixo e não do disco,

A linha CA é tangente ao eixo em C, e a extremidade do eixo ao disco

move-se com a linha AC, descrevendo um cone, que tem A como vértice. A

velocidade do ponto C (para uma rotação excêntrica anti-horária vista d a direita,

na mesma direção que a rotação) é perpendicular ao papel, penetrando nêle, e seu

valor é wy. A linha AC está contida no papel, mas, no instante t seguinte, o 1

ponto C está atrás do papel, wydt. O ângulo entre as duas posições da linha AC é,

então, wy d t J - 8, se 8 for pequeno, o ângulo de rotação de AC para dt , e, como - - AC AC

é w8dt e a velocidade angular de AC (e do disco) é w0. O disco gira em tôrno de

um diâmetro no plano do papel, perpendicular a AC, em C, ta1 que o movimento

1 de inércia apropriado é Id = - I para um disco delgado. O vetor quantidade de 2 p

inovirnento angular do disco, devido a rotação excêntrica, é I 8w na direção d

mostrada na fig.V.9. A quantidade de movimento angular total é o vetor soma de

I R e Id8w. Deseja-se calcular a razão de variação dêsse vetor quantidade de P

movimento angular e, com isso em vista, decompõem-se o vetor nas componentes

paralela e perpendicular a linha de centro OA. A componente paralela a OA gira

paralelamente a si mesma, em tôrno de OA, num circulo de raio y: e mantem seu

comportamento durante o processo, de forma que sua razão de variação é zero.

Entretanto, a componente perpendicular a OA é um vetor na direção CB, e é o

raio de um círculo com centro B. Vemos, na fig.V.9, que essa componente de B

para C é:

I R ~ - I , ~ w = I , ~ ( ~ R - w ) , P

(V. 40)

No instante t = O, êsse vetor está no plano do papel; no instante t êle está I

atras do papel, a um ângulo wdt, O incremento no vetor (perpendicular ao papel e

contido nêle) é o comprimento do vetor em si multiplicado por wdt, ou

I d 8 ( 2 G - w ) wdt (V.41)

e a razão de variação da quantidade de movimento angular com o tempo é

Id8(262-w) w (V. 42)

Alem dêsse conjugado, há uma força centrífuga m d y que age sobre o disco,

conforme pode ser visto na fig. V.10..

As propriedades elásticas do eixo podem ser descritas da seguinte forma:

a é a deflexão g no disco devido a uma força de unitária aplicada no disco 11

cu é o ângulo 6 no disco devido a força unitária 12

a é a deflexão y no disco devido a um momento unitário aplicado no disco i2

cu é o ângulo 8 no disco devido ao momento unitário. 22

onde as expressões são:

(V.43)

(V. 44)

(V. 45)

As equações do eixo podem agora ser escritas, observando-se que a deflexão

y do eixo é provocada por uma força rndy e pelo momento Ido#:

y = cu m d y - a I w ( 2 R - w ) 6 11 12 d

(V. 46)

O = c u mdy-cu I w ( 2 R - w ) O 12 22 d (V. 47)

As equações acima, como usual, são homogêneas em y e 8, e a equação de

frequência é dada pelo cálculo de da primeira delas e, a seguir, da segunda, 6'

-67-

igualando as duas respostas. Reordenando os têrmos por potências de w, temos:

(V. 48)

Através da análise dimensional a equação fica reduzida a seguinte forma:

F = w Jrm , a frequência adimensional 11

D = - I d q 2 , oefeito dodisco

o" T=- ' , O aclopamento elástico

C Y Q 1 1 22

S = S2 J=, a velocidade adimensional 11

A equação de frequência fica então,

(V. 49)

(V. 51)

(V. 52)

(V. 53)

o que implica que haverá quatro frequências naturais de rotação excêntrica.

A frequência natural de precessão excitada pelo propulsor, onde as forças de

excitação estão relacionadas ao números de pás, pode ser escrito da seguinte forma:

Isto quer dizer que a frequência de vibração lateral w será N vezes a

re10cida.de de rotação h2, podendo ter o mesmo sentido da rotação ou sentido

contrário.

Voltando as expressões anteriormente definidas:

Substituindo na equação de frequência, obt em-se:

+

logo

(V. 57)

sendo:

(V. 59)

(V. 60)

onde:

+- é usado para frequências em sentido contrário ao de rotação

- é usado para frequências no mesmo sentido de rotação

N = número de pás do propulsor

Id= momento de inércia diametral do propulsor

B = rotação do hélice (velocidade crítica)

V.4 - CALCULO DA FREQUÊNCIA FINAL

A frequência final é resultante d a composição entre as frequências w e w , 1 2

cujo significado está apresentado a seguir:

Aplicando a equação de DUNKERLEY, [12, a frequência natural do sistema

pode ser escrita d a seguinte forma:

onde

w - frequência final

w - frequência inchindo o efeito giroscópico do hélice I

w - frequência da viga bi-apoiada 2

No cálculo de w , considera-e apenas a massa do hélice e a rigidez do eixo, 1

incluindo no cálculo de frequência o efeito giroscópico causado pelo hélice.

No cálculo de w , considera-se a massa e rigidez do eixo, o que corresponde a 2

um simples cálculo de vibração de uma viga bi-apoiada.

V.5 - MASSA ADICIONAL DO HELICE

Como já foi mencionado anteriormente para vibração axial, a presença de

água entre as pás do propulsor introduz uma massa adicional no hélice. No caso da

vibração lateral, esta massa causa um acréscimo estimado de 25% na massa e na

inércia do propulsor, [6].

FIG.V.Õ- PARÂMETROS DE DEFINIÇ~O DE MANCAIS CILINDRICOS

1 -

FlG.V.2- N Q E SJMMERFELD EM F U N Ç ~ O QA RAZAO DE EXCENTRICIDADE P/ MANCAIS CILINDRICOS DE DESLIGA MENTO.

U A Z ~ O EXCENTRICIDADE E

~ l G . v . 4 -VARIAÇÃO DO CARREGAMENTO W EM FUNÇÃO DO DESLOCAMENTO VERTICAL 2 .

FIG.V:5.A- COEFICIENTES DE RIGIDEZ E AMOR TECI - MENTO P/ MANCAIS CILINDRICOS.

L c w c ,, - W

I NUMERO SOMMERFELD S -

FIG.V.5.B- COEFICIENTES CRUZADOS D E RIGIDEZ E AMORTECIMENTO P/ MANCAIS CILINDRICOS.

I I I I I I I I I l i 1

0.0 1 0.1 1.0 1 0.0

NÚMERO SOMMERFELD

F1G.VS.E- COEFICIENTES DIRETO DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO P/ MANCAIS CILIN- DRICOS RANHURADOS.

F I G.Vf5.F - COEFICIENTES CRUZADOS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO P/ MANCAIS CILINDRJ COS RANHURADOS.

FIG.V.5G- COEFICIENTES DIRETO DE RIGIDEZ E AMOR TECIMENTO P/ MANCAIS CILINDRICOS RANHU RADOS.

L / D = 1.0

F1G.V.B.H- COEFICIENTES CRUZADOS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO P/ MANCAIS CILINDRI COS RAN HURADOS. -

(a)

FIG .V#- FORÇAS CENTRIFUGAS

F1G.V.B.-ELEMENTO DIFERENCIAL DE MASSA SOB A A Ç ~ DAS -

FORÇAS CENTRIFUGAS

h i p n FIG.V9 - DEOOMPOSIG~O DAS FORÇAS DIN~MICAS DE UM DISCO NAS

EXTREMIDADES DE UM EIXO EM BALANÇO I

VI - RESULTADOS

Para se chegar aos resultados obtidos, algumas considerações tiveram que ser

feitas, tais como:

1) O sist eina discreto se comporta de maneira similar ao sitema real.

2) O sistema real tem um comportamento linear.

3) N a análise não são considerados os efeitos térmicos e da gravidade.

4) Substituição das forças atuantes no sistema real por forças nodais

que se aplicam sobre o modêlo idealizado.

5) Os materiais são isot rópicos e homogêneos.

6) No cálculo das frequência naturais de vibração lateral nZo foi

considerada a rigidez das carcaças dos mancais.

As considerações assumidas facilitam bastante os cálculos, mas resultam em

valores que podem divergir em maior ou menor grau da realidade.

Os resultados conseguidos são apresentados através de t a b e l a e figuras, e

estão divididos em dois blocos. Um bloco reservado para cálculo da I'requência

natural para. vibração axial e outro para lateral,

V1.2.1- RESULTADOS PARA VIBBAÇÃO AXIAL

Os resultados obtidos para rigidez dos elementos estruturais, fundo duplo,

fundação do manca1 e eixo de manivela, foram obtidos a partir do programa de

elementos finitos COSMOS/M. 0 resultado relacionado a rigidez do filme de óleo

foi obtido por meio de uma calcula.dora programá.ve1 Casio fs 6000G. E

finalizando, o resultados para frequências e modos naturais foram obtidos a partir

da introdução das matrizes de massa e ridez no programa SMIS para cálculo de

autovalores e autovetores

Tabela VI.1 são apresentados os parâmetros utilizados no cálculo da rigidez do

filme de 6leo e o resultado obtido.

A tabela VI.2 apresenta o resultado e os dados para o cálciilo da rigidez do

colar de escora.

A tabela VI.3 apresenta o resultado e os dados para o cálculo da rigidez do

fundo duplo e fundação do mancal,

A tabela VI.4 apresenta o resultado e os dados para o cálculo da rigidez de

uma das manivelas que compõem o eixo do motor.

A tabela VI.5 apresenta os valores de massa e rigidez das partes que

compõem o modêlo da linha de eixo, juntamente com os resultados obtidos para

primeira e segunda frequências naturais calculadas.

VI.2.2 - RESULTADOS PARA VIBRACÃO LATERAL

O resultado para as frequências e modos naturais de vibração lateral sem

considerar o efeito giroscópico bem como a rigidez do pedestal do manca1

intermediário, foram obtidos a partir do programa COSMOS/M. Os resultados de

frequências e velocidade críticas foram obtidos a partir de uma calculadora

programável Casio fx 6000G.

Tabela VI.6 apresenta a definição do modêlo de linha eixo utilizada

A tabela VI.7 apresenta os parâmetros necessários a obtenção da rigidez dos

mancais da linha.

A tabela VI.8 apresenta os coeficientes de influência utilizados para obtenção

da frequência devido ao efeito giroscópio do hélice.

A tabela VI.9 e a fig. VI.l apresentam os resultados para o cálculo das

frequências naturais sem contabilizar o efeito giroscópico do hélice, mas levando

em consideração a massa do hélice.

A tabela VI.10 apresenta os resultados finais de velocidades críticas.

A tabela VI.11 apresenta os dados relacionados com o hélice tanto para

vibração axial como para vibração lateral.

VI.2.3 - TABELAS

TAB. VI.1- Filme de Óleo

Força de deslocamento (F,) 1300 kN

Rotação de serviço (n) 133 rpm

Frequência de excitação (v) 650 rpm

Viscosidade do óleo ( p ) 0.063 N s ~ - ~

B 0.27 m

D 0.84 m

Rigidez calculada 3,33~10~Nm-'

TAB. VI.2 - Colar de Escora

Ponto de carregamento (D) 840 mm

Especura do colar ( t) 310 mm

Fator de multiplicação ( a) 0,0684

Fator de multiplicação (p) 0,5

Módulo de elasticidade (E) 2,1x1O1l Nmm2

Rigidez calculada 7 , 9 1 ~ 1 0 ' ~ Nm-I

TAB. VI.3 - Fundo Duplo e Fundaqão

Fundo Duplo

Elementos de viga

Niímero de nós

Rigidez

Fundação

Elementos de viga

Números de nós

Rigidez

TAB. VI. 4 - Eixo de Manivelas

Elementos de viga

Número de nós

Rigidez calculada

TAB. VI.5 - Linha de Eixo para. Vibração Axial

h4assa

Molas

Rigidez

Manca1 de escora

Massa

Primeira frequência

Segunda frequência

k =5,58x109 Nm" 1

680 cpm

1128 cpm

TAB. VI.6 - Modelo para Vibraçao Lat era1

Elementos de viga

Nós

TAB. VI. 7 - Rigidez dos Mancais

Manca1 Sommerfeld Carregamento R i g i d e z (Kg (N/m)

Ré 0,0164 18000 4,38x109

Vant e 973 1 0,3Ox1O5

Linha 0,119 5488 2,46x109

TAB. VI.8 - Influências Devido ao Efeito Giroscópico

Deslocamento no propulsor devido a uma força

unitária aplicada no propulsor (a i i) 7 , 1 7 x 1 0 ~ m/kg

Deslocamento angular no propulsor devido a uma força

unitária aplicada no propulsor (a l2) 5,45x10d rad/kg

Deslocamento no propulsor devido a um momento

unitário aplicado no propulsor ( ~ 1 ) 5,45x104 m/kgm

Deslocamento angular no propulsor devido a um momento

unitário aplicado no propulsor (a22) 5,90x10d rad/kgm

TAB. VI.9 - Frequências sem Efeito Giroscópico

Primeira frequência 12,4 Hz

Segunda frequência 30,3 Hz

TAB. VI.10 - Velocidades Críticas (rpm)

Mesmo sent ido Sentido de rotação con t rá r io

Eixo 1014 613

Hélice 203 188

TAB. VI . l l - Dados do Hélice

no. de pás 4

massa no ar (incluindo bosso) 10120 kg

massa adicional (vib. axial) 6072 kg

massa adicional (vib, lateral) 2530 kg

momento de inércia diametral 8306 kgm

VI.3 - FLESULTADOS EXPERIMENTAIS

VI.3.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS

O estudo experimental de vibrações em navios na escala real tem como

principal objetivo a obtenção de parâmetros que sejam correlacionados com valores

obtidos dos cálculos efetuados durante a fase de projeto do navio parârnetros são

obtidos durante prova de mar, de acordo com regulamentos estabelecidos pelas

Sociedades Classificadoras, que estabelecem condições de navegar,ão durante a

prova, como tarnbem os limites máximos de vibração.

Ao realizar uma comparação dos resultados experimentais com os de projeto,

é possível a avaliação dos modelos utilizados nos cálculos.

VI.3.2 - IDENTIFICAÇÃO DOS LOCAIS MEDIDOS

O estudo experimental foi feito por uma equipe do Laboratório de Estruturas

Navais da COPPE/UFRJ, realizando uma série de medições de vibração em

superestruturas e praça de máquinas, para roi ações distintas do sistema propulsor,

durante a prova de mar do navio.

Foram instalados transdutores de aceleração para possibilitar a medição

simultânea de vibração nos locais e direções na tabela V1.12 e tambem apresentada

na fig. VI.2.

TAB, VI, 12 - Locais Medidos

Ponto Local Direção

Convés do Tombadilho vertical Cav. -5, Linha de centro

2V Convés do Tombadilho Cav. 48, Linha de Centro

vertical

3L Convés do Tombadilho longitudinal Cav. 48, Linha de Centro

4L Convés do Tijupá longitudinal Cav. 48, Linha de Centro

5T Topo do MCP transversal Cav. 35, Linha de Centro

Manca1 de Escora Ca.v. 26

longitudinal

YI.3.3 - PROCEDIMENTO DE MEDIÇÃO

As medições foram realizadas de acordo com os procedimentos sugeridos no

documento "A Proposed Code for the Measurement and Reporting of Shipbord

Vibration Data", da ISO [Il].

Este documento está voltado para a vibração da viga na.vio e superestrutura,

excitados pelo sistema propulsor.

As medições foram realizadas nas rotações de 136, 134, 132, 130, 128, 126,

124, 121, 118,115, 112, 109, 106, 103 e 100 rpm.

VI.3.4 - EQUIPAMENTOS UTILIZADOS

Foram utilizados os seguintes equipamentos para aquisição e registro dos

sinais de vibração:

- 8 transdutores de aceleração do tipo resistivo

- 8 módulos de amplificação e filtragem de sinais

- 2 gravadores científicos, tipo cassete, com 6 canais FM e 1 canal

para VOZ.

Os sinais foram processados em laboratórios, utilizando?se a técnica de

Transformada Rápida de Fourier, com os seguintes equipamentos:

- 2 analisadares de espectro

- 1 microcomputador

- 1 plotador gráfico

IV.3.5 - RESULTADOS DA MEDIÇÃO

O resultado utilizado para comparação no estudo da vibração axial, foi o da

curva de resposta obtida com o transdutor localizado no mancal de escora no

sentido longitudinal (6L).

Foi selecionado o gráfico de resposta da 5a. ordem, que corresponde a

excitação gerada pelas forças de combustão do motor principal.

As curvas de resposta para o ponto 6L são apresentadas na fig. VI.3.

VI.3.6 - ANALISE DOS RESULTADOS

A componente de 5a. ordem no ponto 6L, apresentada na fig. VI.3 tem as

seguintes características:

A) Aparecimento de um pico a 130 rpm.

B) De accrdo com os resultado obtido conclui-se que existe ressonância da

linha de eixo na direção axial entre 130 rpm e 13'2 rpm, esta condição de

ressonância é excitada pela força axial de 5a. ordem, resultante no ponto 6L

(mancal de escora).

V I 3 7 - C O M P A ~ A Ç Ã O DOS RESULTADOS

A tabela VI.13 mostra a comparação da frequência natural, calculada

numericamente com a obtida experimentalmente.

Com a finalidade de ilustração, a tabela V1.14 e a tabela VI.15 apresentam

respectivamente as frequências naturais de vibração lateral e as velocidades

críticas obtidas com o estudo e as obtidas pela Sociedade Classificadora ABS. A

comparacão entre frequências naturais é possiuel, já que a linha de eixo utilizada*

pelo ABS e a utilizada pelo estudo são praticamente identicas. O mesmo não se

pode dizer das velocidades críticas, devido a fato de o ABS se utilizar um hélice de

5 pás e o estudo de um hélice de 4 pás.

TAB. VI.13 - Vibração Axial

Calculada Medida

Primeira Frequência (cprn) 600 650

TAB, VI.14 - Comparativo de Frequências (Hz)

Calculada ABS

1" frequência 12,4 12,6

2a frequência 30,O 26,l

TAB. VI.15 - Velocidades Criticas (rpm j

Hélice

Mesmo sent ido Sentido de rotação contrár io

estudo ABS estudo ABS

" Helice calculo/Aí3S: 5 pas

Para o estudo de vibração axial pode-se apresentar as segilintes conclusões e

comentários:

- O resultaclo niimérico para primeira frequência natural está bem prSximo

da frequência natural obtida da curva de resposta de 5" ordem medida no

manca1 de escora , implicando que o inorlêlo idealiza.do está próximo do real.

- A diferença encontrada entre o valor numérico e o valor medido, pode ter

origem em urna, rigidez total para o sistema. acima do valor real ou em uma

massa total abaixo do valor real. Entretanto, visto que o presente modelo

numérico foi desenvolvido de forma cuidadosa, não é possível se ter uma idéia

precisa da origem do erro.

Para o estudo de vibração lateral pode-se apresentar as seguintes conclusões

e comentários:

- O número de elementos (17) e o número de nós (18); são suficientes para

uma boa aproximação do modêlo com a linha de eixo real, tendo em vista que

os resultados alcançados estão bem próximos aos conseguidos pelo ABS, que

apresenta um modêlo com 73 elementos e 74 nós.

- O número de pás é importante no cálculo das frequências naturais de

precessão que são excitadas pelo hélice. Este fato pode ser claramente

observando quando se compara o cálculo efetuado nesta tese com os

resultados do ABS, onde a velocidade crítica para o hélice com 5 pás é menor

do que para com 4 pás.

- Alterações no ponto de aplicação das reações dos inancais, implica em

variasões nas influências utilizadas no cálculo do efeito giroscítpico, Este fato

implica em uma avaliação cuidadosa da distribuição de força no interior do

mancal.

Como comentário geral, podemos citar que os dados relativos ao manca1 de

escora, árvore de ma.nive1as e aos mancais da linha de eixo são críticos, tendo em

vista a dificuldade de acesso às informações dos fabricantes, já que muito dos

parâmetros são considerados sigilo industrial. Este fato, certamente, dificulta a

obt enc,ão de resultados precisos para os cálculos numéricos. No caso específico

deste trabalho de tese, esta dificuldade foi em parte superada devido ao apoio do

ABS e do estaleiro CANECO.

A consideração de forma racional, da rigidez do filme de óleo deve ser

ressaltada como um ponto importante nesta tese, visto que normalmente são

considerados valores empíricos para este problema. No caso deste trabalho, a

abordagem proposta permite quanti-ficar de maneira confiável os coeficientes de

rigidez através da Equação de Reynolds.

A abordagem feita na tese, para a obtenção das resposta considerando-+ie

tanto a parte estrutural como hidrodinâmica dos mancais, só é realizada

atualmente por Sociedades Classificadoras ou fabricante de motores no exterior,

O aperfeiçoamento da metodologia utilizada neste trabalho é recomendável e

os principais passos a serem seguidos são:

- modelagem do fundo duplo mais precisa pelo método dos elementos finitus,

através de elementos mais sofisticados, tais como membrana e casca. Desta forma,

a influência da rigidez da estrutura do fundo duplo pode ser melhor considerada no

cálculo da vibração axial e levada em conta no cálculo da vibração lateral, visto

que a hipótese assumida neste trabalho implicou em se considerar apenas a rigidez

do pedestal e do filme de óleo,

- realização de medições em escala real, durante prova de mar ou viagens do

navio, que permitam a obtenção de um maior número de dados para avaliar as

técnicas utilizadas neste trabalho para o cálculo das frequências e modos naturais

de vibração

- estudo de técnicas para avaliar a resposta da linha de eixo para o caso de

vibração axial, visto que os novos motores de 2 tempos possuem grande curso de

pistões, o que implica em forças axiais agindo no manca1 de escora bem superiores

aos motores convencionais.

FIG.Vl.2 - LOCAIS MEDIDOS

O -- ia. ordem

v -- 5a. ardem FIG.Vl.3- GRÁFICO DE RESPOSTA PARA POSIÇÃO 6L (MANCAL DE

ESCORA) NA DIRECÃO LONGITUDINAL

Rotações (RPW

BIBLIOGRAFIA

W. Van Gent, S. H, "~ors iona l -~x ia l Vibration of a ship is

Propulsion System - Part 11: Theoretical Analysis of the Axial

Stiffness of the Shaft Support at the Thrustblock ~ocation", TNO,

No. 132M, October, 1969.

Willian I. H. Budd, ''longitudinal Stiffness of Main Thrust Bearing

~oundat ionl ' , Sname, no R-15, September, 1979.

Olav Lie, "Investigation of Thrust Bearing Stiffness", Det Norske

Veritas, no 74-61-M.

A. W. van Beck, "The vibratory Behaviour of a Rotating Propeller

Shaft - Part. 1:Theoretical Analysis, M28, February, 1979.

Yukio Hori, M. T., A. H,, T. N., "Lateral Vibrations of Propeller

Shaft Systems", M.E.S.J., Vol. 6, No. 4, December, 1975.

Richard Woytowicli, "Calculat ion of Propeller - Excited Whirling

Critica1 Speeds", Journal of Ship Reserch, Vol. 23, No. 4, December,

1979.

Oscar Pinkus, O. P., "Theory of Hydrodynamic Lubrication",

McGraw-Hill Book Company, New York, 1961.

[8] Roark, Fhymond J., "Formulas for Stress and Strain", 5" ed., Mc

Graw - Hill Book Company.

[9] Hartog,Den J. P., "Vibrações em Sistemas Mecânicos",Edit . Edgard

Blucher LTDA, Brasil, 1972.

[10] COSMOS/M , "User Guide", Version 1.51, California, 1988,

1 1 ISO, "A Proposed Code for the Measurement and Reporting of

Shipbord Vibration Data", ISO/TC108/SC2/WG2.

[12] Rao, J. S., "Rotor Dynamics", Edit. Wiley Eastern Limited, 1953

[13] Leque, Hector J. L., "Modelação e Análise d a Vibração d a Praça de

Máquinas do Navio", COPPE/UFRJ, 1989

[14] Technical Report, RD-87002, American Bureal of Shipping, 1987.

[15] Vianna Junior, Affonso Lima, "Cálculo de Frequências Naturais de

Vibração Axial de Sistemas de Propulsão de Navios Mercantes", 2'

Congresso Nacional de Transportes Marítimos e Construção Naval,

Vol. 11, SOBENA, 1988.

[I61 Kane, J. R., "Longitudinal Vibrat ion of Marine Propulsion-Shaft ing

Systems".