FRACTALII

FRACTALII I APLICAIILE ACESTORADaniela COSMA

Cristina XANTOS

Academia Forelor Terestre ,,Nicolae Blcescu SibiuAbstact:Nature is made by shapes that many people wondered what they are, how they can be measured and what we can do more after we get its secret. The first who found out and gave a name to these shapes was Benoit Mandelbrot who even published a book in this direction, entitled The fractal geometry of nature. In this paper I want to answer the questions aforementioned: what a fractal is, how it can be measured, what it is good for and how many advantages people have using fractal theory. Fractal geometry was designed to handle with shapes that seem complicated, stated Michael Frame from Yale University. Yes, of course, but not all kind of shapes, they must have some well defined characteristics to perform fractal conditions.1. FractalulAproximativ n perioada 1875-1925, matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor i Helge von Koch au creat primii fractali, fr a ti ns care este semnificaia lor. n 1975, Benoit Mandelbrot a utilizat pentru prima dat termenul fractal n publicaia cu titlul O teorie a seriilor fractale. n 1982, acelai Mandelbrot pune bazele geometriei fractale prin publicarea primei sale cri, Geometria fractal a naturii, n urma unui studiu aprofundat.Conform matematicianului Benoit Mandelbrot, un fractal este "o figur geometric fragmentat sau frnt care poate fi divizat n pri, astfel nct fiecare dintre acestea s fie (cel puin aproximativ) o copie miniatural a ntreguluii (1( este derivat din latinescul fractus, nsemnnd "spart" sau "fracturat". Din aceast definiie se desprind urmtoarele caracteristici ale fractalului: Are o structur fin dei este privit la scri diferite

Forma sa este prea neregulat pentru a fi descris n limbaj geometric euclidian tradiional.

Este autosimilar (mcar aproximativ sau stochastic).

Are dimensiunea Hausdorff mai mare dect dimensiunea topolgic (dei aceast cerin nu este ndeplinit i de curbele Hilbert).

Are o definiie simpl i recursiv.[2] Printre obiectele naturale care aproximeaz fractalii pn la un anumit nivel se numr norii, lanurile montane, arcele de fulger, liniile de coast, pomii, stncile, valurile i fulgii de zpad. Totui, nu toate obiectele autosimilare sunt fractalide exemplu, linia real (o linie dreapt Euclidian) este autosimilar, dar nu ndeplinete celelalte caracteristici. Pentru a demonstra generalitatea acestei legi iata o poza cu inelele lui Saturn. Aceste inele ale lui Saturn sunt formate din praf si meteoriti de dimenisuni de la mici la medii. Se observa ca inelele nu sunt raspandite pe toata suita de raze posibile, apar la un moment dat niste goluri. Explicatia este foarte interesanta: pe traiectoriile de lungime exact multiplu si submultiplu al lungimii traiectoriei principalelor sateliti ai lui Saturn, Titan, Tethis sau Dione. Deci, in acele locuri se intra in rezonanta cu acesti sateliti, practic spatiul dintre inele reprezinta o vibratie la rezonanta (dar pe octave diferite) cu aceste corpuri ceresti ce isi exprima personalitatea. Un exemplu elocvent de fractal este chiar fractalul lui Mandelbrot din Fig. 2 unde se observ toate cele cinci caracteristici menionate mai sus dac executm zoom in asupra acestei imagini. Fig.2, Fig. 3 i Fig.4 sunt detalii ale imaginii din stanga. In cele trei figuri sunt copii mici ale mulimii lui Mandelbrot. Se observ c fractalul i-a pstrat complexitatea (nivelul de fragmentare) cand am executat zoom in. Mulimea lui Mandelbrot se definete ca fiind mulimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplicnd n mod repetat polinomul complex z2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul rmne n interiorul unui disc de raz finit.(3( 2. Dimensiunea topolgic a obiectelorn general, obiectele sunt descriptibile ntr-un spaiu euclidian tridimensional. n cazul unor corpuri geometrice ideale, structura compact a obiectului face ca dimensiunea sa s corespund cu dimensiunea spaiului n care este acesta scufundat. Pentru a fi mai explicit ideea de neregularitate a unui obiect real i implicit sensul de dimensiune fractal ataat unui obiect cu aspect neregulat, s considerm o structura arborescent tridimensional (Fig. 6), de tipul unui arbore, realizat dintr-un element ideal de construcie uni-dimensional (dimensiunea topolgica a elementului de construcie este 1). Dimensiunea spaiului n care obiectul este "scufundat" prin nsasi construcia sa este 3D (facem deci dinstincie ntre "gabaritului" obiectului i obiectul n sine). La o analiz lgic simpl, putem afirma c dimensiunea ataat arborelui din figur este sigur mai mare dect 1 (dimensiunea topolgic a elementului de construcie), mai mica decat 3 (gabaritul n care se nscrie arborele) i chiar mai mic dect 2, cci privind "prin" structura arborescent remarcm existena golurilor ntre ramuri. Dac "densitatea ramurilor " ar fi fost mai mare, atunci n mod sigur nu ar mai fi rmas goluri. Orice seciune efectuat ar fi "umplut" cel puin planul (2D).(4( 3. Fractali clasiciFractalii obiinui prin formule matematice se pot mpri n dou mari categorii: fractali obinui prin divizare (setul Cantor, curba Koch, curba Peano, covorul Sierspinski) la care nu exist o cea mai mic scar i fractali obinui prin procese de cretere, unde se pornete de la un germene ce se dezvolt prin alipiri succesive ale unor structuri similare germenului, la care nu exist o cea mai mare scar.

Curba Peano

n 1890 Giuseppe Peano a descoperit o curb continu ce poate "umple" o suprafa plan. Aceasta era n acelai timp curb i suprafa, deci avea dimensiunea egal n acelai timp i cu 1 i cu 2. Imaginea urmtoare red modul de construcie al curbii Peano. Se observ c dac transformarea (iteraia) se efectueaz de un numr de ori suficient de mare, atunci orice punct din interiorul ptratului respectiv se afl pe curb. O alt proprietate interesant a curbei Peano, care a dus la calificarea ei drept "monstruoas" este aceea c distana pe curb ntre oricare dou puncte ale sale este infinit.

Curba Koch

Curba Koch, alt "curb monstru" cu distana infinit ntre oricare dou puncte, avea aria 0. Aceste obiecte matematice nu puteau fi studiate cantitativ folosind dimensiunea topolgic, deoarece nu puteau fi msurate n dimensiunea 1, deoarece orice distan ar fi fost infinit. De asemenea, nici n dimnsiunea 2 nu puteau fi msurate, deoarece aria oricrei poriuni din curb e zero. Era deci necesar alegerea unei dimensiuni ntre 1 i 2 n care curba respectiv s poat fi msurat. Curba Koch se obine aplicnd transformrile din urmtoarele imagini la nesfrit. Generarea sa implic alegerea unui iniiator (dreapta), a unei legi de construcie (de transformare, de deformare, de rupere, etc) i un proces ce repet la nesfrit aceeai operaie dictat de legea aleas, asupra fiecrei pri rezultate din operaia iniial.

Concret, n acest caz legea impune ca dreapta s fie divizat n trei pri egale, s fie nlturat partea central i n locul ei s se pun un triunghi echilateral fr baz.

n acest caz, cele 4 segmente devin, fiecare n parte, un "nou" iniiator, suportul a 4 "imagini" micorate i aezate dup aceeai regul. i aa mai departe... S nu uitm c mintea noastr trebuie s preia esena procesului i s o continue la infinit, cci doar dupa infinit de muli pai se obine ceea ce se numete Fractalul lui Koch.

Aceast curb este de lungime infinit i are o dimensiune proprie ntre 1 i 2. Este un obiect "ciudat" pentru gndirea unui om neobinuit s lucreze n abstract. Este o curb continu, nederivabil n nici un punct, care depete "natura" unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafa. Dimensiunea proprie, caracteristic a curbei Koch este:

Df = ln(4) / ln(3) = 1.26185... (1) Metode de determinare a dimensiunii fractale Dimensiunea de auto-asemnareConceptul de dimensiune fractal a fost introdus n 1919 de Felix Hausdorff i reprezint un numr real cuprins ntre dimensiunea topolgic a obiectului i dimensiunea spaiului n care acesta este definit.Faptul c dimensiunea unui obiect poate fi un numr real pozitiv oarecare (deci nu neaprat ntreg) a strnit numeroase controverse sfidnd oarecum geometria euclidian. Iat totui cum se ajunge la acest rezultat: Fie o clas a obiectelor ce pot fi partiionate n "piese" asemenea lor. Din aceast clas vom lua cte un reprezentant pentru fiecare dimensiune ntreag, pana la 3.

Un segment de lungime l poate fi mparit n n segmente mai mici, fiecare de lungime l/n.

Un ptrat de latur l poate fi mparit in ptrate cu latura de l/n Un cub de latur l poate fi mprit n cuburi cu latura de l/n, deci un obiect ce are dimensiunea D, compus din elemente asemenea cu el, poate fi mpartit n elemente de n ori mai mici.

(2)Pentru ca aceast formul s fie aplicabil obiectul i piesele sale constitutive trebuie s ndeplineasc condiia de asemnare. Aceast aproximare a dimensiunii fractale se numete dimensiune de auto-asemnare. Aceast relaie permite calcularea facil a dimensiunii fractalilor care sunt formai numai din copii ale lor, de exemplu triunghiul Sierpinsky i curba Koch.Triunghiul Sierpinsky este format din 3 copii ale sale, fiecare de 2 ori mai mica.

(3)Printre numeroasele metode de a construi triunghiul Sierpinsky se regsete i metoda grafic sugerat n imaginea urmtoare:

Curba Koch este format din 4 copii ale sale, fiecare de 3 ori mai mic.

(4)Putem la fel de bine considera c este format din 16 copii, fiecare de 9 ori mai mic. Rezultatul va fi aclelai.

(5) Dimensiunea capacitivPentru obiectele ce nu sunt formate din "piese" asemenea cu ntregul dimensiunea fractal a se folosesc alte tipuri de dimensiuni dect cea de autoasemnare. Cea mai des folosit este dimensiunea capacitiv (de acoperire) ce se determin prin:Metoda box-counting (numrarea cuburilor). Ea presupune acoperirea obiectului cu cuburi de latur r i numrarea lor. Numrul de cuburi de latur r necesare pentru a acoperi un obiect D-dimensional este :

(6)

Prin aceast metod se mparte spaiul euclidian n cuburi de latur r i se numr acele cuburi care conin n interior puncte ale obiectului (dac spaiul considerat este plan, imaginea se acoper cu ptrate). Apoi mrimea r este micorat i se numr din nou cuburile ce conin puncte ale obiectului. Graficul ln(N(r)) la ln(1/r) este o dreapt. Panta acestei drepte d dimensiunea capacitiv. Avantajul metodei este uurina implementrii n programe i aplicarea oricarui tip de imagine. Pe baza dimensiunii capacitive se obine un rezultat foarte important n geometria fractal: dimensiunea unui obiect format din mai multe componente este maximul dimensiunilor componentelor. De exemplu, pentru triunghiul Sierpinsky obinem urmtoarele puncte pe grafic:

(lg(1), Lg(1)) = (0, 0)(lg(2), lg(3)) = (0.301, 0.477)(lg(4), lg(9)) = (0.602, 0.954)(lg(8), lg(27)) = (0.903, 1.432) lg(16), lg(81)) = (1.204, 1.908) Aceste puncte se gsesc pe o dreapt de pant 1.59 (dimensiunea fractal a triunghiului Sierpinsky).

Pentru figurile plane de dimensiune fractal foarte apropiat de 1 se folosesc metode mai precise i anume:

metoda compasului, pentru determinarea dimensiunii fractale a curbelor plane. Aceasta se bazeaz pe faptul c o curb fractal i pstreaz aspectul dantelat cnd este privit la o scal mai mic. A fost descoperit n urma ncercrilor geografilor de a msura lungimea rmului Marii Britanii. Ei au observat c valoarea msurat crete foarte mult atunci cnd msurarea se efectueaz cu un compas mai mic.Metoda este foarte asemnatoare cu box-counting. Curba se aproximeaz cu o linie poligonal format din N(r) segmente de lungime r, pentru valori din ce n ce mai mici ale lui r. Se traseaz graficul lg(rN(r)) lg(r) . Punctele de coordonate (lg(rN(r)),lg(r)) se vor afla pe o dreapta.Pe baza pantei graficului se poate calcula dimensiunea fractal a curbei (practic dimensiunea-compas) metoda dilatrii pixelilor- nlocuiete fiecare pixel al figurii cu un cerc de raz mic r, n asa fel ncat sunt eliminate toate prile izolate mai mici dect diametrul cercului. Se determin aria din interiorul cercurilor. Lungimea curbei se calculeaz mprind aceast arie la dimetrul 2r. Dimensiunea fractal se estimeaz din panta graficului lg (lungime) la lg (diametru). metoda raportului mas-raz. Dimensiunea masic definete relaia ntre suprafaa "util" din interiorul unui cerc i raza acestuia (aria interseciei obiectului studiat cu interiorul cercului). Metoda calculeaz aceast suprafaa "utila" pentru valori diferite ale razei i pentru diferite puncte-centru. Dimensiunea masic se estimeaz tot din graficul lgaritm-lgaritm al ariei n funcie de raz. Metoda masic este uor de implementat n programe. Pentru fractali ideali (creai prin aplicarea de o infinitate de ori a unor operaii) toate aceste dimensiuni sunt egale ntre ele. Pentru fractalii pentru care nu se definete dimensiunea de auto-asemnare, aceste dimensiuni difer, cea mai mic dintre ele fiind dimensiunea capacitiv. De obicei aceasta este cea folosit, puine fiind cazurile n care celelalte dimensiuni fractale sunt potrivite.(5(4. Aplicaii ale fractalilorn perioada 1875-1925 (cu aproximaie), perioad de mare criz n matematic, s-au descoperit forme bizare ce contraziceau conceptele cu privire la spaiu, suprafa, distan sau dimensiune ale matematicienilor acelor timpuriobiecte formate din detalii alcatuite la randul lor din alte detalii

Matematica...a unei funcii holomorfice F este alctuit din acele puncte al cror comportament pe termen lung ,sub aplicri repetate ale lui F ,se schimb drastic cu perturbri arbitrare mici.

Fig.15 Mulimea Julia Gaston Astronomie,natur,art,medicin

Distribuia galaxiilor relativ apropiate (pn la 50 de milioane de ani-lumin) este fractal, de dimensiune 1,23.

\

Alte forme fractale observabile n natur sunt: norii, fulgii de zpad, cristalele,

lanurile montane, fulgerele, conopida sau broccoli.n lumea artei se realizeaz expoziii cu lucrri de art ce conin fractali imagine.Tipare de fractali au fost descoperite n picturile artistului american Jackson Pollock. Dei picturile lui Pollock par a fi doar stropi haotici, analiza computerizat a descoperit tipare de fractali n opera sa.(6(Aproape toate organele corpului uman au caracter fractal. Buna lor funcionare este strns legat de dimensiunea lor.Fractalii sunt de asemenea predominani n arta i arhitectura african. Casele circulare apar n cercuri de cercuri, casele dreptunghiulare n dreptunghiuri de dreptunghiuri i aa mai departe. Astfel de tipare se gsesc i n textile i sculpturile africane, precum i n prul mpletit n codie.(7( Tehnic i tehnolgie- Antena fractal

Cea mai valoroas aplicaie a geometriei fractale o reprezint antena fractal care rspunde n cea mai mare parte i cerinelor militare impuse de rzboiul electronic. Avantajele pe care le aduce n plus antena fractal fa de antenele convenionale sunt numeroase. Printre acestea menionez faptul c:

-are band foarte larg sau multibenzi, ca urmare a proprietilor date de geometria fractal a antenei -are dimensiune redus i n acelai timp ndeplinete cerinele pentru care a fost construit -este construit pentru multifrecvene specificate.-are putere mare i totodat simplitate mecanic ntruct caracteristicile sunt datorate geometriei antenei i nu prin adiia altor componente distincte. (8( Problematica armonicelor

O alta problematica interesanta, pe care fractalii o descriu cu fiecare ocazie, este aparitia aromonicilor. Oamenii au lucrat pentru prima data cu armonici tot in muzica. Practic vibratia unei corzi, lucru studiat inca de pe vremea grupului lui Pitagora, contine in ea insasi vibratia armonicilor de nivel mai inalt. Muzicienii, pot auzi aceste armonici, unii mai mult altii mai putin. In industria calculatoarelor, tehnologia mp3, pur si simplu taia informatia ce continea aceste armonici, aparent pastrand aceeasi calitate a sunetului pentru urechea umana, dar de fapt indepartand latura ei subtila.6. Ca o concluzie...Geometria fractal a fost creat pentru a deslui, nelege i ptrunde formele care ne par complicate. Ne-am obinuit s producem i s cerem 100 m liniari (D=1) de srm, o suprafa de mochet de 100 m patrati (D=2). Cu ajutorul geometriei fractale, poate vom ajunge s construim n viitor obiecte care s necesite cuvintele: - v rog s-mi dai i mie 173 de metri la puterea 1.26 din acea structur .

Bibliografie [1] Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company.[2] Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, xxv, John Wiley & Sons, Ltd.

[3] http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal[4] www.csc.matco.ro

[5] http://www.geocities.com/cili_12/academic/dimensiunefractala[6] Richard Taylor, Adam P. Micolich and David Jonas. Fractal Expressionism: Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?

[7] Ron Eglash. African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. New Brunswick: Rutgers University Press 1999. [8] Hohlfeld,R., and Cohen,N.,"Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in antenna", Fractals, Vol. 7, No. 1 (1999) 79-84 ANEX 1

INCLUDEPICTURE "http://www.integralscience.org/creation/mandelbrot.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://content.answers.com/main/content/wp/en/thumb/a/a5/350px-MahadevShiva.jpg" \* MERGEFORMATINET mandelbrot mandala ramana maharishi Shiva avand in spate o mandal fractalic

Anexa IIMulimea lui Mandelbrot ntr-un mediu continuu colorat Pasul 1: Spaiul dintre "cap" i "corp", numit i "valea cluilor de mare". Pasul 2: La stnga, spirale duble, la dreapta, "clui de mare". Pasul 3: "Clu de mare"

Pasul 4: Punctul central al sfritului "cozii cluului de mare" este de asemenea un punct Misiurewicz. Pasul 5: Parte a "cozii"

Pasul 6: SatelitPasul 7

Pasul 8: "Antena" satelituluiPasul 9: "Valea cluilor de mare" a satelituluiPasul 10: Spirale duble i "clui de mare"Pasul 11: Spirale duble cu satelii de ordinul doiPasul 12: insule de structuriPasul 13: Parte a "crligului dublu"Pasul 14

PASUL 1 PASUL 2 PASUSUL 3

PASUL 4 PASUL 5 PASUL 6

s PASUL 7 PASUL 8 PASUL9 u 1

PASUL 10 PASUL 11 PASUL 12

" PASUL 13 PASUL 14 PASUL 15

", Fig. 2. Fractalul lui Mandelbrot

Fig. 3. Fractalul lui Mandelbrot-detaliu 1

Fig. 4. Fractalul lui Mandelbrot-detaliu2 2

Fig. 5. Fractalul lui Mandelbrot-detaliu 3

Fig. 7. Modul de construcie al Curbei Peano

Fig. 8. Iniiator

Fig. 9. Generator

Fig. 10. Iteraia 3

Fig. 11. Iteraia 4

Fig. 12. Iteraia 5

Fig.1 Inelele lui Saturn

Fig. 13. Metod de construcie a triunghiului Sierspinski

Fig. 14. Determinarea dimensiunii fractale a Triunghiului Sierpinski prin metoda box-counting

Fig.15. Distribuia galaxiilor n univers

Fig.16. Aspectul fractal al rurilor

Fig.17.Fractal Julia

Fig.18.Sistemul de vase sanguine i vase pulmonare

Fig.19.poriune dintr-o anten fractal

Fig,6 Dimensiunea fractal

Fig. 20

Zoom in antenna fractal

Fig. 21 O putere dintr-o stuctur complex

PAGE 7

_1274680193.unknown

_1274680212.unknown

_1274614145.unknown

_1274614245.unknown

_1274680163.unknown

_1274614203.unknown

_1274613152.unknown

_1274612930.unknown