De Geschiedenis van de Wiskunde

1

© A. Piens & L. Verkimpe

Deel III

Version 1.0 – mei 2016

andre.piens@skynet.be

2

‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn

diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid,

schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en

het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd,

onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing,

nederigheid en dankbaarheid als individu.

Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een

menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn

bekwaamheden verruimen.’

‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, isto explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, anddignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of manygenerations have built up that magnificent monument, the object of our mostlegitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, asindividuals. The study of the history of mathematics will not make bettermathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts,and bring out their finer qualities.’

George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956)

3

De Geschiedenis van de Wiskunde

Deel I 1. Vroegste sporen van mathematisch denken

2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien

Deel II 3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland

Deel III 4. De Indische Wiskunde

5. De Arabische Wiskunde

6. De Wiskunde in het Latijnse Westen tijdens onze middeleeuwen

7. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw)

Deel IV 8. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1550 – 1700

Deel V 9. Wiskunde tijdens de Verlichting (18e eeuw)

Deel VI 10. Van generalisten tot specialisten : de wiskunde van de 19e eeuw

Deel VII 11. Wiskundige structuren en nadruk op strengheid : vanaf ca. 1870

Deel VIII 12. Accenten van de wiskunde van de 20e eeuw

4

Wiskunde tijdens onze Middeleeuwen

5e – 14e eeuw Boethius geeft onderwijs aan zijn leerlingen

5

Indische Wiskunde

tijdens onze Middeleeuwen

Krishna en Radha spelen een indisch bordspel Chaturanga (6e eeuw)

Overzicht van Indische talstelsels

Volgens Georges Ifrah, Marrakech, 1947 - , in ‘Histoire Universelle des Chiffres’ ontwikkelde zich ,

uit primitieve notaties voor hoeveelheden in het oude Indië

vanaf de 3e eeuw BCE een niet-positioneel, additief talstelsel, het Brahmi talstelsel. Door het niet-positioneel karakter

werden tijdens de volgende eeuwen nieuwe tekens bijgevoegd

Omstreeks de 1e eeuw waren de symbolen geeëvolueerd naar

En tijdens het Gupta Rijk (4e – 7e eeuw)

Omstreeks de 11e eeuw werd een tientallig, positioneel stelsel gebruikt in het Sylheti-Nagari script

Hieruit ontwikkelden zich, onafhankelijk van elkaar, de West-Arabische en de

Oost-Arabische cijfers.6

Surya SiddhantaSysteem van de Zon

• siddhantas beschrijven de principes en doctrine van waarden en kennis

• er zijn 5 siddhantas bekend, geschreven tussen 300 en 500, waarvan enkel de Surya Siddhanta compleet is

• de inhoud lijkt van Griekse oorsprong te zijn, maar verwijst ook naar oud-Indische rituelen

• het belangrijkste werk over de Indische astronomie, de Surya Siddhanta, werd geschreven omstreeks 400

• de oorspronkelijke editie van het werk zou teruggaan tot de 3e eeuw BCE

• een editie, uit de 10e eeuw, geldt als de basis van een moderne editie door E. Burgess van 1860.

• bestaat uit 14 hoofdstukken geschreven in slokas, gebedsverzen

• het beschrijft de astronomische principes en methodes van de oude Hindus

• door de zonnegod Surya overgeleverd aan Maya, een Asura (bewoner van de onderwereld)

• werd ook vertaald in het Arabisch en het Latijn

• op het internet staat een degelijke Engelse vertaling uit het sanskriet door L. Wilkinson uit 1861

Inhoud

• Astronomie

• de beweging en de plaats van de planeten

• gegevens over richting, plaats en tijd

• zons- en maansverduisteringen

• conjuncties van hemellichamen (planeten, sterren, ....)

• tijdscycli, zoals

de duur van een jaar : 365.2421756 dagen (1.4 sec. < actuele waarde)

• de diameter van de planeten

• Wiskunde

• de sinusfunctie, de cosinusfunctie en de omgekeerde functies (secans, cosecans)

• het samenstellen van de kalender

• met de juiste tijdsbepaling van religieuze, culturele en astronomische evenementen

Wiel van de wagen

van de zonnegod Surya

7

8

Situering van befaamde wiskundigen uit India

naar Michel Danino

AryabhataKusumapora (Bihar), 476 - 550

• geboren in Kusumapura, bij Pataliputra, de hoofdstad van het Gupta Rijk

• Pataliputra, nu Patna, de belangrijkste stad van het het huidige Bihar

• was de oprichter van een observatorium in de zonnetempel van Taregana

• verbleef in Kusumapura, één van de twee belangrijke wiskunde-centra in Indië

• schreef er in 499 zijn belangrijkste werk , de Aryabathya

• vertaald in het Arabisch (8e eeuw) en het Latijn (13e eeuw)

Aryabathya

• zijn belangrijkste werk was een compendium van wiskunde en sterrenkunde

• samengesteld uit 10 inleidende en 108 inhoudelijke verzen in het Sanskriet

• het wiskundig gedeelte telt 33 verzen en geeft 66 wiskunde-regels, zonder bewijs

• de uiterst compacte verzen werden verklaard door Bhaskara I

• de belangrijkste vernieuwingen in het werk zijn

• een positioneel getallenstelsel,met letters uit het alfabet

• met een open plaats voor de machten van 10 met coëfficient 0

• een nauwkeurige benadering van π

• oplossingen voor lineaire en vierkantsvergelijkingen

• tabel van sinussen

Aryabhata’s benadering van π

Tel 4 op bij honderd, vermenigvuldig

met 8 en vermeerder met 62000 ; het

resultaat is de omtrek van een cirkel

met diameter 20000

Π = 3.1416

Patna (Bihar)

9

BrahmaguptaBhinmal, 598 – Ujjain, 668

• geboren in Bhinmal, in het Westen van Indië

• werd hoofd van het observatorium van Ujjain in Centraal-Indië (Madhya Pradesh)

• schreef er in 628 zijn belangrijkste werk, de Brahma-sphuta-siddhanta

• tijdens de 8e eeuw via kalief al-Mansur naar Bagdad gebracht

• in 771 naar het Arabisch vertaald in het Paleis der Wijsheid

• vertaald door al-Fazari als Sindhund

• was de belangrijkste link tussen de Indische en de Vroeg-Arabische wiskunde

• zo leerden de Arabieren de Indische astronomie voor het werk van Ptolemaios

• een tweede belangrijk werk, de Khandakhadyaka, werd geschreven in 665

Brahma-sphuta-siddantha

• zijn belangrijkste werk was een revisie van een eerder werk met dezelfde naam

• bevat 24 hoofdstukken, geschreven in 1008 verzen

• de eerste 10 hoofdstukken behandelen de klassieke Indische astronomie,

zoals ze werd behandeld in de eerste versie van het werk

• de volgende 14 hoofdstukken bevatten nieuwe onderwerpen

• hoofdstuk 11 is een kritische verbetering van de astronomie¨uit hoofdstukken 1 tot 10:

• slechts 5 hoofdstukken gaan over wiskunde

• er worden geen bewijzen gegeven van de vermelde stellingen

• het is het eerste boek waarin het cijfer 0 als een getal wordt beschouwd

Bhinmal (Rajasthan)

Ujjain (Madhya Pradesh)

10

De wiskunde van Brahmagupta

• het getal 0

in de Brahma-sphuta-siddhanta werd voor het eerst 0 als een getal behandeld

dit betekende tevens het ontstaan van ons tientallig, positioneel talstelsel

het bestaan van positieve en negatieve getallen werd aanvaard

de som van 2 positieve getallen is positief, van 2 negatieve getallen is negatief

de som van een positief en een negatief getal is gelijk aan het verschil

de som van een positief getal en 0 is positief, van een negatief getal en 0 is negatief, van twee nullen is 0

wordt een negatief (positief) getal afgetrokken van een positief (negatief) getal, dan worden ze opgeteld

het product van 2 positieve (negatieve) getallen is positief, van een positief en een negatief getal is negatief

het produkt van een positief (negatief) getal en 0 is 0, van 0 en 0 is 0

een positief (negatief) getal gedeeld door een positief (negatief) getal is positief

een positief (negatief) getal gedeeld door een negatief (positief) getal is negatief

0 gedeeld door 0 is 0

• de wortel van vierkantsvergelijkingen

• de som van de kwadraten en van de derdemachten van de eerste n gehele getallen

22 4

02

b b acax bx c x

a

2

1

( 1)(2 1)

6

n n n np

2

3

1

[ ( 1)]

4

n n np

11

De wiskunde van Brahmagupta

• formule van Brahmagupta

Heron berekende de oppervlakte S van een driehoek ABC, met zijden a, b, c

met

Brahmagupta veralgemeende deze formule voor de oppervlakte S van

een koordenvierhoek ABCD, met zijden a, b, c, d

met

• stelling van Brahmagupta

een orthogonale koordenvierhoek is een ingeschreven vierhoek,

waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan

in een orthogonale koordenvierhoek snijdt de loodlijn op één van de zijden

door het snijpunt van de diagonalen de overstaande zijde in het midden

( )( )( )S p p a p b p c

( )( )( )( )S p a p b p c p d 2

a b c dp

2

a b cp

12

Bhaskâra II (Bhaskara-acharya)Bijapur (Karnataka), 1114 – Ujjain, 1185

• geboren in Bijapur, Centraal-Indië

• werd hoofd van het observatorium van Ujjain in Centraal-Indië (Madhya Pradesh)

• schreef er in 1150 zijn belangrijkste werk, de Siddhanta Shiromani

• een tweede belangrijk werk, de Karanakutuhala, werd geschreven in 1179

Siddhanta Shiromani

• zijn belangrijkste werk handelt over rekenkunde, algebra, wiskunde van de planeten,....

• het is onderverdeeld in 4 delen, geschreven in ca. 1450 verzen,

• Lilavati (278 verzen) 13 hoofdstukken over rekenkunde

• Bijaganita (213 verzen) 12 hoofdstukken over algebra

• Ganitadhyaya (451 verzen) 12 hoofdstukken over wiskundige astronomie

• Goladhyaya (501 verzen) 13 hoofdstukken over boldriehoeksmeting

• het werk bevat tevens begrippen in verband met differentiaal- en integraalrekenen

• de afgeleide van een functie wordt 0 bij een extremum

• het werk kende tot in de 19e eeuw vele vertalingen

• werd beschouwd als een standaardwerk voor wiskunde en astronomie

Bijapur (Karnataka)

Ujjain (Madhya Pradesh)

13

MadhavaSangamagrama (Kerala), ca. 1350 –1425

• geboren in Sangamagrama (Kerala), Zuid-West Indië

• hij wordt aanzien als de stichter van de Kerala-school voor Astronomie en Wiskunde

• geen enkel van zijn wiskundige bijdragen is bewaard gebleven

• slechts tijdens de laatste tientallen jaren werd zijn betekenis voor de wiskunde bekend

• door studie van het werk van leden van de Kerala-school

Oneindige reeksen

• de wiskunde evolueert van eindige algebraïsche processen naar oneindige reeksontwikkelingen

• deze ontwikkeling wordt toegeschreven aan Madhava ca. 1400

• in Europa gebeurden dergelijke reeksontwikkelingen door J. Gregory in 1667

• omzetting van de Indiase versvorm in moderne notatie geeft

Sangamagrama (Kerala)

2 3

3 5 7

2 4 6

11 ... 1 1

1

sin ...3! 5! 7!

cos 1 ...2! 4! 6!

1 1 11 ...

4 3 5 7

x x x voor xx

x x xx x

x x xx

14

De Kerala-school voor Astronomie en Wiskunde

• de Kerala-school werd opgericht door Mahdava tegen het einde van de 14e eeuw

• was zeer actief van de 14e tot de 16e eeuw

• de school eindigde met Narayana Battathiri (1559-1645)

• de belangrijkste resultaten werden vermeld, zonder bewijs, in het Sanskriet van een onbekende auteur

• een eeuw later werden de resultaten, met bewijs, vermeld door Jyesthadevain een boek in het Maleisisch, de Yuktibasa

• deze Indische resultaten zijn nu belangrijke componenten van calculus

• dit boek verscheen 2 eeuwen voor de uitvinding van de Analyse in Europa

Waren deze resultaten in Europa bekend ?

• in 1979 suggereerde A.K. Bag dat deze resultaten in Europa bekend waren

• via de handelsroutes was Kerala continu in contact met China, Arabië en Europa

• mogelijk ook door Jezuiëten, die als missionarissen actief waren in Indië

• in geen geval waren Newton en Leibniz bekend hiermee bij hun ontwikkeling van de Analyse

15

Arabische Wiskunde

tijdens onze MiddeleeuwenMiddeleeuwse arabische research’

16

Opkomst van het Arabische RijkHadj naar Mekka

17

Expansie van het Arabische Rijk612 - 750

18

Centraal deel van het Arabische Rijk800

19

Het Arabische Rijk

Mohammed, Mekka, 570 – Medina; 632

• 610 - tijdens de maand Ramadan, in de Grot van Hira, wordt hij door de engel Gabriël aangewezen als profeet

• 613 - brengt in Mekka de boodschap van monotheïsme, politieke eenheid en sociale bewogenheid

• 623 - vlucht met zijn volgelingen naar Medina

• 630 - terug in Mekka

• 632 - volbrengt zijn enige hadj in maart en sterft op 8 juni in Medina

Rashidun Kalifaat

• 632-634 - Abu Bakr

• 634-644 - Umar

• 644-656 - Uthman

• 656-661 - Ali

• de sunnieten beschouwen deze vier kaliefen als ‘rechtvaardig’, streng de leer van Mohammed volgend

• de sjiieten erkennen enkel Ali als ‘rechtvaardig’

Umayyad Kalifaat, 661 -750

• Mohammed en de Umayyad familie hadden eenzelfde stamvader

• verplaatsten de hoofdstad naar Damascus

Abbasid Kalifaat, 750 – 1258

• waren afstammelingen van Mohammeds jongste oom

• afkomstig van Kufa, verplaatsten de hoofdstad naar Bagdad

• verloren de heerschappij over al-Andalus en de Maghreb

• de dynastie werd tijdelijk beëindigd door de Mongolen

• deze periode wordt beschouwd als het Gouden Tijdperk

20

Het Arabische Gouden Tijdperk750 - 1258

21

Bagdad - Paleis der Wijsheid (9e eeuw)

Het Arabische Gouden Tijdperk - Overzicht750 - 1258

• in 750 werd de Umayyad dynastie overwonnen door de Abbasiden, afstammelingen van Mohammed’s jongste oom

• zo ontstond het Abbasid Kalifaat dat regeerde vanuit Kufa, aan de Eufraat, ca. 170 km ten zuiden van Bagdad

• in 758 werd door kalief al-Mansur begonnen met de planning voor de bouw van een nieuwe hoofdstad, Bagdad

• de nieuwe hoofdstad was gelegen aan de Tigris en op de karavaanroutes van China en Indië naar West-Europa

• de 2 architecten, een Perziër en een Jood, ontwierpen een cirkelvormige stad met radiale lanen

• in 762 werd met de bouw van Bagdad begonnen, voltooid in 766

• Bagdad evolueerde snel tot het politieke, commerciële, intellectuele en culturele centrum van de Islamitische wereld

• tijdens de eerste helft van de 9e eeuw kende het Arabische rijk een periode van uitzonderlijke bloei

Bagdad –

Enig overblijvend Abbasid paleis,

gebouwd einde 12e eeuw

22

Abbasid kalifaat ca. 1258

Abbasid Kalifaat van 750 tot 1075Kaliefen van het Gouden Tijdperk

As-Saffah - 750–754

Al-Mansur - 754–775

Al-Mahdi - 775–785

Al-Hadi - 785–786

Harun al-Rashid - 786–809

Al-Amin - 809–813

Al-Ma'mun - 813–833

Al-Mu'tasim - 833–842

Al-Wathiq - 842–847

Al-Mutawakkil - 847–861

Al-Muntasir - 861–862

Al-Musta'in - 862–866

Al-Mu'tazz - 866–869

Al-Muhtadi - 869–870

Al-Mu'tamid - 870–892

Al-Mu'tadid - 892–902

Al-Muktafi - 902–908

Al-Muqtadir - 908–932

Al-Qahir - 932–934

Ar-Radi - 934–940

Al-Muttaqi - 940–944

Al-Mustakfi - 944–946

Al-Muti - 946–974

At-Ta'i - 974–991

Al-Qadir - 991–1031

Al-Qa'im - 1031–1075

23

Bayt al-HikmaHouse of Wisdom – Paleis der Wijsheid

opgericht ca. 800 – verwoest 1258

• onder het Abbasis Kalifaat werden Griekse, Chinese, Perzische en Sanskriet manuscripten vertaald in het Arabisch

• dit gebeurde in een bibliotheek, die verbonden was aan het paleis van kalief al-Mansur (regeerde van 754-774)

• uit deze bibliotheek ontstond het Paleis der Wijsheid

• opgericht tegen het einde van de 8e eeuw door kalief (van 1001 nachten) Harun al-Rashid (regeerde 788-809)

• meest belangrijke periode onder diens zoon kalief Abdullah al-Ma’mun (regeerde 813–833), zijn zoon en kleinzoon

• onder de leiding van Sabian Thabit ibn Qurra (826-901) ontstonden uiterst kwaliteitsvolle vertalingen

• wanneer de nood aan vertalingen afnam, evolueerde het Paleis der Wijsheid naar een instituut van kennisoverdracht

• het verval begon onder al-Ma’muns achterkleinzoon al-Mutawakkil (regeerde 847- 861)

• evolueerde in 1065 tenslotte naar de eerste en grootste nezamiyeh (universiteit) van de middeleeuwen

• werd in 1258 verwoest door de Mongolen bij de bezetting van Bagdad

• de wetenschapper Nasir al-Din Tusi bracht 400 000 manuscripten naar Maragheh (astronomisch observatorium)

• een aantal West-Europese geleerden leefden in en leerden van de superieure Arabische beschavinbg

• en brachten de Arabische kennis en de Arabische vertalingen naar West-Europa

24Kalief Al-Mamun stuurt boodschapper

naar Byzantijnse keizer TheophilosKalief Al-Rashid (766 – 809),

oprichter van het Paleis der Wijsheid

Mohammed ibn Musa al-KhwarizmiBagdad, ca. 780 – Bagdad, ca. 850

• afkomstig uit een Perzische familie uit de omgeving van het Aralmeer

• waarschijnlijk geboren in de omgeving van Bagdad

• werkte van 813 tot 833 in het Paleis der Wijsheid

• als cartograaf schreef hij in 833 een herziene versie van Ptolemaios Almagest

• hij schreef een werk over het tientallig, positioneel stelsel, afkomstig van de Indiërs

• dit werk is verloren gegaan in de oorspronkelijke Arabische versie

• een in Spanje geschreven Latijnse vertaling De Numero Indorum is bekend

• daarin wordt zijn naam gespeld als algorismi

• zijn belangrijkste werk is

Hisab al-jabr w'al-muqabala (De leer van restauratie en confrontatie)

Hisab al-jabr w'al-muqabala (De leer van restauratie en confrontatie)

• het werd geschreven omstreeks 820 in het Paleis der Wijsheid in Bagdad

• het was een compilatie van de methoden voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen

• vermoedelijk is het sterk beïnvloed door de Indische wiskunde

• een Latijnse vertaling werd gemaakt medio 12e eeuw door Robert van Chester

Liber Algebrae et Almucabola

• de huidige benaming algebra komt van het Arabische al-jabr

25

Oplossen van vierkantsvergelijkingen volgens al-Khwarizmi

x

4

p

4

p

4

p

x

De Arabische wiskunde kende niet het bestaan van negatieve grootheden en negeerde negatieve wortels van

vergelijkingen ; Zo erkende al-Khwarizmi 6 basistypes van vergelijkingen (met a, b en c positieve getallen) :

vierkanten gelijk aan onbekenden (ax2 = bx)

vierkanten gelijk aan getallen (ax2 = c)

onbekenden gelijk aan getallen (bx = c)

vierkanten en onbekenden gelijk aan getallen (ax2 + bx = c)

vierkanten en getallen gelijk aan onbekenden (ax2 + c = bx)

onbekenden en getallen gelijk aan vierkanten (bx + c = ax2)

De positieve wortels van de vergelijkingen werden bepaald door het vierkant te vervolledigen

Voorbeeld : 2

2

2

2

2 2 2

2 2

2

2

4( )4

2( )2

2( ) ( ) ( )2 2 2

( ) ( )2 2

( ) ( )2 2

( )2 2

ax bx c

b cStel p en q

a a

dan x px q

px x q

px x q

p p px x q

p px q

p px q

p px q

26

Omar KhayyamNishapur, 1048 – Nishapur, 1123/31

Bukhara

Samarkand

Nishapur

Esfahan

• werd geboren in Nishapur als zoon van een tentmaker

• vanaf 1070 voltooide hij zijn opleiding in Samarkand

• schreef daarna in Bukhara Verhandeling over Algebraproblemen

• in 1074 oprichter van het Observatorium in Espahan

• na zijn hadj naar Mekka in 1092 terug naar Nishapur27

Oplossen van derdegraadsvergelijking volgens Omar Khayyam

3 2 0ax bx cx d

• de derdegraadsvergelijking kan steeds worden herleid tot de vorm met derdegraadscoëfficient gelijk 0

• Omar Khayyam erkende geen negatieve coëfficienten

• dus maakte hij onderscheid tussen 14 verschillende types en gaf voor elk type de adequate oplossing

• bovendien verwaarloosde hij de negatieve oplossingen

• met de huidige wiskunde (negatieve coëfficienten, negatieve oplossingen) geldt één algemene werkwijze :

• de grafiek van vergelijking (1) is een parabool met als as de y-as

• de grafiek van vergelijking (2) is een hyperbool

• de abscissen van de coördinaten van de snijpunten van de parabool en de hyperbool

zijn de oplossingen van de derdegraadsvergelijking

3 2

3 2

3 2

2

0

0

0

0

2

2 0

ax bx cx d met a, b, c, d en a 0

b c dx x x

a a a

x px qx r

Stellen x sy met s

sxy psy q

(1)

(2)x r

28

Oplossen van derdegraadsvergelijking volgens Omar Khayyam

voorbeeld :

3 2

3 2

3 2

2

4 24 12 40 0

24 12 400

4 4 4

6 3 10 0

4

4 24 3 10 0

(4 24) 3 10

3 10

4 24

3 10

24 4

x x x

x x x

x x x

Stellen x y

xy y x

x y x

xy

x

xy

x

(1)

(2)

• (1) stelt een parabool en (2) een hyperbool voor

• de coördinaten van de snijpunten zijn (-1,1/4), (2,1) en (5,25/4)

• de wortels van de derdegraadsvergelijking zijn dus -1, +2, +5

29

Omar Khayyam : Rubaiyat – Kwatrijnen1120

Nederlandse tekst van Chr. van Balen - 1910

Kwatrijnen I - III

Ontwaakt! De morgen drijft in wilde jacht

De sterren langs den koepel van den nacht.

En ziet: de jager van het oosten trof

Des sultan's toren met zijn stralenpracht.

En voor het valsche morgenspook verdween,

Riep in de kroeg een luide stem, naar 't scheen:

"Wat knikkebolt d'aanbidder voor de deur?

De tempel is gereed: Komt er niet een?"

Bij 't hanekraaien kwam het volk geloopen,

En schreeuwde vóór de herberg: "Hé, doe open!

Ge weet hoe kort we hier slechts mogen blijven,

En, zijn we eens weg, op geen terugkeer hopen."

• een Rubaiyat is een verzameling van kwatrijnen, vier verzen waarvan het 1e, 2e en 4e vers rijmen

• een van de eerste manuscripten dateert uit 1461, bevat 158 kwatrijnen en is bewaard in de Bodleian Library in Oxford

• een copie en een uitgebreider manuscript (516 kwatrijnen) uit Calcutta diende als basis voor FitzGeralds standaardwerk

• FitzGeralds Rubaiyat uit 1859 bevat 75 kwatrijnen en is een vrije vertaling van het werk van Omar Khayyam

• het werd vertaald in meer dan 70 talen en is het meest verspreide gedicht ter wereld

• er is ernstige twijfel hoeveel en welke kwatrijnen werkelijk van Omar Khayyam zijn

• de eerste Nederlandse vertaling van Chr. van Balen dateert van 1910 en bevat 76 kwatrijnen

Engelse tekst van E. FitzGerald - 1859

Kwatrijnen I - III

Awake! for Morning in the Bowl of Night

Has flung the Stone that puts the Stars to Flight:

And Lo! the Hunter of the East has caught

The Sultán's Turret in a Noose of Light.

Dreaming when Dawn's Left Hand was in the Sky

I heard a Voice within the Tavern cry,

“Awake, my Little ones, and fill the Cup

Before Life's Liquor in its Cup be dry.”

And, as the Cock crew, those who stood before

The Tavern shouted--"Open then the Door!

You know how little while we have to stay,

And, once departed, may return no more."

Omar Khayyam’s

Grafmonument in Nishapur

30

31

De Reconquista

Is de periode van de geleidelijke herovering door de christelijke staten

van ‘El Andalus’, het door de Islam bezette gebied in het Iberisch schiereiland.

De Reconquista eindigt met de val van Granada in 1491.

Het belang van de Arabische Wiskunde

• om geleerden aan te trekken naar het Paleis der Wijsheid toonden de kaliefen zich zeer tolerant :

ze waren niet verplicht moslim te worden, ze mochten Christen of Jood blijven

• de belangrijkste verwezenlijking is de vertaling in het Arabisch van de klassieke werken uit het Grieks en het Sanskriet

• de vertalingen pasten in het research concept van de Arabische wiskundigen en bevatten tevens eigen bevindingen

• op deze wijze werd in West-Europa, na de Middeleeuwen, het klassieke wiskundig erfgoed bekend

Kenmerken van de Arabische wiskunde

Rekenkunde : gebaseerd op een uit India afkomstig positioneel stelsel

Algebra : van Griekse, Babylonische en Indische oorsprong, met eigen karakteristieke vorm en systematiek

Driehoeksmeting : met een Griekse basis, toegepast volgens de Indische vorm met nieuwe functies en formules

Meetkunde : afkomstig van Griekenland met eigen veralgemeningen

32

Het Latijnse Westen

33

Laurentius de Voltolina – Cursus aan de Universiteit van Bologna, ca. 1350

BoethiusRome, 480 – Pavia, 524/5

• Anicius Manlius Severinus Boethius stamde uit een oude, aristocratische, Romeinse familie

• hij werd verdacht van samenzwering met het Oost-Romeinse Rijk

• verdacht van spionage, werd gevangen genomen en terechtgesteld op bevel van Theodoric de Grote

• tijdens zijn gevangenschap schreef hij De Consolatione Philosophiae

• dit werk was een imaginaire dialoog tussen hemzelf en de filosofie, voorgesteld als een vrouw

• de zoektocht naar wijsheid en de liefde tot God worden voorgesteld als de basis van het menselijk geluk

• zijn bekendste mathematisch werk is De Arithmetica

• gebaseerd op de neo-pythagorïsche getallentheorie van Nicomachus van Gerasa

• het was één van de belangrijkste bronnen voor wiskunde tot de 15e eeuw

• van zeer twijfelachtig niveau

34

Dame Philosofia stelt de 7 liberale kunsten voor aan Boethius

(ca. 1456 door Franse meester)

35

BoethiusRome, 480 – Pavia, 524/5

In zijn Margarita philosophica,

uitgegeven in 1503, en bedoeld als een

compendium van de toenmalige kennis,

publiceerde

Gregor Reisch

(Balingen, 1467 – Freiburg, 1525),

deze afbeelding van een rekenwedstrijd

tussen Pythagoras en Boethius,

Boethius rekent met hindu-arabische

cijfers, terwijl Pythagoras nog werkt met

behulp van het abacus.

Boethius en Pythagoras werden in de late

Middeleeuwen aanzien als de uitvinders

van resp. het Hindu-Arabische talstelsel

en het abacus

36

Cassiodorus

Flavius Magnus Aurelius Cassiodorus Senator

Scylletium, ca. 485 – Vivarium, ca. 585

• werd vanaf 523 aanzien als de opvolger van Boethius

• tijdens de laatste jaren van zijn leven stichtte Cassiodorus het klooster van Vivarium

• het kloosterleven verliep volgens de ‘Instutiones’, een leidraad voor de studie van de monniken

• samengesteld vanaf 530, was de Instutiones een inleiding tot de studie van geestelijke en wereldlijke onderwerpen

• het eerste deel behandelt christelijke teksten

• het tweede deel bevat de eerste ideeën, die later uitgroeiden tot het middeleeuwse Trivium en Quadrivium

Isidoro van SevillaCartagena, ca. 560 – Sevilla, 636

• was de samensteller van een encyclopedisch werk Etymologiae

• de 20 boeken bevatten een beschrijving van hetgeen Christenen dienden te weten over de antieke cultuur

• boek 2 behandelt de logica en is beperkt tot de inhoud van een Latijnse vertaling van Boethius

• boek 3 gaat over rekenkunde en is een copie van het werk van Cassiodorus

Enkele wiskundigen uit de donkere eeuwen (5e – 7e eeuw)

37

Beda VenerabilisNorthumbria, 672/3 – Jarrow, 735

• Engelse benedictijnermonnik, verbleef vanaf zijn 7 jaar in de abdij van Jarrow (Sunderland)

• zijn belangrijkse wetenschappelijke werken behandelden de kalender en de tijdsrekening

• De temporum ratione (Over het berekenen van de tijd) geeft een methode om de juiste datum van Pasen te berekenen

• de eerste hoofdstukken van dit werk De computo et loquela digitorum geven een methode om te rekenen met de vingers

• zijn Paascyclus heeft een periode van 532 jaren en houdt rekening met maancycli van 19 jaren en met zonnecycli van 28 jaren

Eerste blad van een manuscript uit de 9e eeuw,

copie van De Computo van Beda Venerabilis

(Bibliothèque Municipale d’Amiens, MS 222)

38

De Karolingische Renaissance

• een periode van intellectuele en culturele heropleving in het Karolingische Rijk

• tijdens het vierde kwart van de 8e en de eerste helft van de 9e eeuw

• vooral tijdens het bewind van Karel de Grote en Lodewijk de Vrome

• in de Domschool van Aken verzamelde Karel de Grote een groep geleerden onder de leiding van Alcuinus van York

• in de nabijheid van kathedralen en abdijen werden kathedraal- en abdijscholen opgericht

Alcuinus van York

York, ca. 735 – Tours, 804

• werd in 778 bibliothecaris van de bibliotheek van York

• ondernam in 781 een reis naar Rome

• ontmoette Karel de Grote in Parma

• werd aangezocht om de Domschool in Aken op te richten

• verantwoordelijke voor het Onderwijs onder Karel de Grote

• bracht zo de Franken in contact met de Latijnse cultuur

• in 796 aangesteld tot abt van de Sint-Martinusabdij van Tours

• meest prominente figuur van de Karolingische Renaissance

Kenmerken van het beleid van Alcuinus

• behoud van de literaire bronnen van de Latijnse cultuur

• organisatie van de scholen (abdijscholen)

• schreef zelf leerboeken voor diverse disciplines

• op peil houden van het niveau van het gegeven onderricht

Het rijk van Karel de Grote

39

Verdrag van Verdun843

Gerbert van Aurillac

Paus Sylvester IIBelliac, ca 946 – Rome, 1003

• werd de eerste Franse paus, onder de naam van Sylvester II, regeerde van 999 tot 1003

• studeerde in Reims, Barcelona en ook in de islamitische steden Cordoba en Sevilla

• hij herintroduceerde de abacus en het astrolabium vanuit de islamitische wereld

• stimuleerde het belang van de vakken van het quadrivium t.o.v. de vakken van het trivium

• door zijn streven om simonie en corruptie in de Kerk uit te roeien

• werd het slachtoffer van legenden, zoals

• het sluiten van een pact met de duivel

• het plegen van tovenarij

• onderhouden van een verhouding met een vrouwelijke demon Merdiana

• het beeldhouwen van een bronzen hoofd, dat alle vragen met ja of neen kon beantwoorden

40

Astrolabium

• afkomstig uit de omgeving van Bath

• studeerde in Tours en gaf les in Laon van 1100 tot 1109

• reisde daarna door het gebied van de Middellandse zee (Salerno, Sicilië, Turkije, Syrië en Palestina)

• zo assimileerde hij het intellectuele denken van :

• het traditionele denken van de Fransen

• de Griekse cultuur van Zuid-Italië

• de Arabische wetenschap van het Oosten

• terug in Bath vertaalde hij Arabische wetenschappelijke teksten in het Latijn

• voltooide in 1142 de eerste Latijnse vertaling van de ‘Elementen’ van Euclides

• er worden hem 3 versies van de vertaling, waarvan slechts de eerste met zekerheid, toegeschreven

Bath

Frontispice van een manuscript

van Adelards ‘Elementen’ ca. 1310

41

Adelard van BathBath, ca. 1080 – Bath, ca. 1152

Adelhard van Baths Latijnse vertaling

uit het Arabisch van Euclides’ ‘Elementen’

copie uit 1480 met uitvergrote details

Adelard van BathBath, ca. 1080 – Bath, ca. 1152

42

• afkomstig uit Cremona in Lombardije

• tegen 1144 verbleef hij in Toledo, waar hij Arabisch studeerde

• werd de grootste van de geleerden, die in de 12e eeuw de Griekse en Arabische wetenschap in Europa introduceerde

• de belangrijkste vertalingen van hem waren de Latijnse versies van

• de Almagest van Ptolemaios

• de Elementen van Euclides

• de Fysica van Aristoteles

• de Algebra van Al-Khwarizmi (1150)

• een aantal belangrijke medische werken, o.a. van Rhazis

• vertaalde het Arabische woord jaib (ned : vouw, plooi) in sinus

• waarschijnlijk geboren in centraal Engeland (Rutland)

• verbleef vanaf 1136 in Barcelona en vanaf 1141 aan de oevers van de Ebro

• belangrijke vertalingen van hem waren

• een Latijnse versie van de Koran (1143)

• een werk over Alchemie van Jabir ibn Hayann

• de Algebra van Al-Khwarizmi (1145) met de beginwoorden Dicit Algoritmi

43

Gerard van CremonaCremona, ca. 1114 – Cremona, 1187

Robert van ChesterKetton, Rutland, ca. 1110 – ?, ?

• Fibonacci vergezelde zijn vader, de gezant van Pisa in het Almohad sultanaat in Noord-Afrika

• daar leerde hij over het Hindu-Arabisch talstelsel

• studeerde onder de bekendste Arabische wiskundigen van zijn tijd

• terug in Pisa rond 1200, publiceerde hij in 1202 zijn bekendste werk Liber Abaci

44

Fibonacci (Leonardo van Pisa)Pisa, ca. 1170 – Pisa, ca. 1250

Blad 124 van het Liber Abaci

Nationale Bibliotheek, Firenze

Rechterkolom : eerste 13 termen

van de Fibonacci-reeks

Liber Abaci

• een der eerste wetenschappelijke werken uit het christelijke West-Europa

• geschreven in 1202, in 5 delen :

• deel 1 : Hindu-Arabisch positioneel, decimaal talstelsel en de omzetting van

het Romeins talstelsel naar dit talstelsel

• deel 2 : handelsrekenen : omzettingen van afmetingen en munten

winst- en intrestberekeningen

• deel 3 : wiskundige problemen : priemgetallen, rekenkundige reeksen

Fibonacci-rij

• deel 4 : numerische en meetkundige benaderingen van irrationale getallen

• het werk bevat ook geometrie en lineaire Diophantus-vergelijkingen

45

• omstreeks 1200 ontwierp Fibonacci een studie over de ontwikkeling van een konijnenpopulatie

• hij definieerde daarvoor geïdealiseerde voortplantingscondities :

• er wordt gestart met een pas geboren konijnenpaar, één mannetje en één wijfje

• na één maand kunnen de konijnen zich voortplanten ; de dracht duurt één maand

• een vrouwelijk konijn werpt elke maand één mannelijk en één vrouwelijk konijntje

• de konijnen sterven niet

Fibonacci en de konijnenpopulatie

• van Indische oorsprong, maar in het Westen geïntroduceerd door Fibonacci in zijn Liber Abaci (1202)

• als het konijnenprobleem : voortplanting van konijnenparen in ideale omstandigheden

• zo ontstaat de rij van Fibonacci getallen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

• wiskundige definitie :

• verband met de driehoek van Pascal :

• verband met de Gulden Snede : φ = (formule van Kepler)

46

De Fibonacci rij

0 1 2 10, 1, n n nF F F F F

1lim n

nn

F

F

1

2

0

1n

n

k

n kF

k

(1 5) (1 5)

2 5

n n

n nF

47

De Gulden Snede

Definities

De Gulden Snede φ is het getal dat de verhouding aangeeft tussen twee grootheden, waarbij de grootste zich verhoudt tot

de kleinste zoals de som van beiden zich verhoudt tot de grootste

De Verdeling in Uiterste en Middelste Reden,

is de verdeling van een lijnstuk in twee delen a en b, zodat

het grootste staat tot het kleinste zoals

de som van beiden staat tot het grootste

De Gulden Rechthoek

is een rechthoek waarvan de afmetingen a en b

zich verhouden volgens de gulden snede

a

b

De Gulden Driehoek,

ook soms Sublieme Driehoek,

is een gelijkbenige driehoek,

waarvan de opstaande zijde

en de basis zich verhouden

volgens de gulden snede

a

b

a a ba b is de Gulden Snede

b a

In Stelling 30 van boek 6 van de ‘Elementen’ beschrijft Euclides hoe een lijnstuk in uiterste en middelste reden te verdelen.

48

De Gulden Snede

Berekening

De positieve wortel is de waarde van de gulden snede

en, de omgekeerde van de gulden snede, is

Andere relaties

2

1,2

1 11 1 1

( )

1 1 51 1 0

2

a a b b

ab a a

b

2 2

1 11 1

11

11

11

1 ...

1 0 1 1 1 1 1 ....

2

2

3

11

1

2 1

1 51,61803398875....

2

1 20,61803398875...

1 5

49

De Gulden Snede in de Bouwkunstde Kathedraal van Laon

50

De sombere 13e en 14e eeuw in Europa

• slechtere klimatologische omstandigheden :

• een opeenvolging van jaren met hevige regenval

• gevoelige daling van de temperatuur (‘kleine ijstijd’)

• vele jaren met grote landbouwtekorten veroorzaakten hongersnood en verminderde lichaamsweerstand

• dit leidde tot grotere sterftecijfers in de steden , soms tot 10 % van de bevolking in één jaar

• grote prijsstijgingen en hoge inflatie

• in 1347 brak een epidemie van pest uit : ‘de zwarte dood’

• tussen 1347 en 1353 stierven ong. 100 miljoen mensen

• d.i. ca. 30 % van de bevolking

• opflakkerend religieus fanatisme

• legde de schuld bij minderheidsgroepen :

• Joden, Roma,

• werden vervolgd en uitgeroeid

• bovendien brak de Honderdjarige Oorlog uit in 1337

• conflict tussen Engeland en Frankrijk

• met inmenging van de gebonden landen

• met hoge sterftecijfers

Verspreiding van de pest

tussen 1348 en 1353

51

Johannes de Sacrobosco?, ca. 1195 – Parijs, ca. 1256

• waarschijnlijk van Engelse (misschien Schotse) origine

• studeerde vermoedelijk aan de universiteit van Oxford

• verbleef vanaf 1221 aan de universiteit van Parijs

• doceerde er wiskunde en astronomie

• is de auteur van 2 werken Algorismus en Tractatus de Sphaera

Algorismus

• was zijn eerste wetenschappelijk werk, een elementair rekenkunde boek

• introduceerde als eerste werk het Hindu-Arabische talstelsel

• was het meest gebruikte rekenkunde boek tijdens de Middeleeuwen

Tractatus de Sphaera

• beschrijving van het heelal volgens de visie van Ptolemaios :

een sferische aarde in een geocentrisch heelal

• bleef tot in de 17e eeuw verplichte leerstof aan de universiteiten

• werd in 1472 het tweede gedrukte boek over astronomie (Ferrara)

• tot 1647 verschenen ca. 65 uitgaven

Pagina van De Sphaera, met talrijke notities,

toont het zonnestelsel met de aarde in het centrum.

De aarde wordt voorgesteld als typische middeleeuwse T-kaart.

(Universiteit van Toronto)

52

Jordanus de Nemore (Jordanus Nemorarius)Borgentreich, ca. 1225 – op zee, ca. 1260

• alhoewel veel van zijn werken bewaard zijn gebleven, is van zijn leven omzeggens niets bekend

• sommigen beweren dat hij en Jordanus de Saxonia dezelfde persoon zijn

• Jordanus de Saxonia was de eerste opvolger van Sint-Dominicus als grootmeester van de Orde der Dominikanen

• de meest bekende, bewaard gebleven, wiskundige werken zijn :

• Demonstratia de Algorismo : over het Hindu-Arabisch talstelsel, met enkel gehele getallen

• Demonstratia de Minitius : behandelt breuken

• De Elementis arithmeticae artie : werd het standaardwerk over rekenkunde tijdens de Middeleeuwen :

Hij behandelt o.a. en

• Liber philoteni de triangulis : een leerboek over meetkunde

• : De numeris datis : het eerste werk over geavanceerde algebra sinds Diophantus

Hierin worden o.a. de algemene vorm van vierkantsvergelijkingen behandelt, en niet, zoals bij Al-

Khwarizmi door middel van numerieke voorbeelden.

• Jordanus schreef ook het eerste latijnse werk over statica De ratione ponderis

• M Clagett, Archimedes in the Middle Ages (Madison, Wis., 1964).geeft een voorbeeld van een probleem uit

De numeris datis (hier volgt de letterlijke vertaling in het Engels) :

If a given number is separated into two parts such that the product of the parts is known,

then each of the parts can be found.

De oplossing illustreert het gebruik door Jordanus van letters

Let the given number a be separated into x and y so that the product of x and y is given

as b. Moreover, let the square of the sum of x and y be e, and the quadruple of b be f.

Subtract this from e to get g, which will then be the square of the difference of x and y.

Take the square root of g, call it h. Then h is also the difference of x and y. Since h is

known, then x and y can be found.

Jordanus maakt hier handig gebruik van (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy.

.

0

2i n n

n

ii

0

2 3i n n

i n

ii

.

Deze figuur in een editie uit 1407 van

De Elementis arithmeticae artie

53

Levi ben Gerson (Gersonides)Bagnols, 1288 – Perpignan (?), 1344 (?)

• leefde in de Provence, dat toen nog niet tot het Franse rijk behoorde

• opgevoed door zijn joodse familie

• verbleef in Orange en Avignon, op dat ogenblik verblijfplaats van de Pausen (1309-1377)

• één van zijn werken was opgedragen aan paus Clemens VI

• schreef in het Hebreeuws, maar enkel Latijnse vertalingen ervan zijn ons bekend

• zijn belangrijkste werken zijn :

Kunst van het Rekenen (1321)

• behandelt de rekenkundige bewerkingen

• het trekken van vierkants- en kubiekswortels

• permutaties en combinaties, binomiaalcoëfficiënten

• sommen van kwadraten en derdemachten van de natuurlijke getallen

• gebruikt als eerste de methode van de volledige inductie

De harmonie van de getallen (1342)

• geschreven op vraag van de bisschop van Meaux

• over getallen van de vorm 2m 3n

Over sinussen, koorden en bogen (1343)

• over goniometrie

• met zeer nauwkeurige goniometrische tafels

54

Nicholas OresmeAllemagne (nu Fleury-sur-Orme, Caen), ca. 1320 – Lisieux, 1382

• studeerde vanaf 1348 theologie aan de universiteit van Parijs

• aangesteld als grootmeester van het Collège de Navarre in 1356

• deken van het kapittel van Rouen in 1364

• bisschop van Lisieux in 1377

• kapelaan en raadgever van koning Charles V (1138 – 1380) van Frankrijk

• voor de koning vertaalde hij een reeks klassiekers in het Frans (ca. 1369)

• Politica, Ethica en Over de Hemel van Aristoteles

• hij wordt aanzien als de grootste economist van de Middeleeuwen

Tractatus de configuratione qualitatum et motium

• in zijn belangrijkste wiskundig werk beschrijft hij grootheden door middel van twee kenmerken, ‘extensio’ en ‘intensio’.

• deze kenmerken worden voorgesteld door middel van rechthoekige coördinaten.

• dit is een elementaire introductie van de basis van de analytische meetkunde

• stelde dat de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid een maat was voor de afgelegde weg

Harmonische reeks : bewijs van divergentie1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1

2 2 2

n

n

is divergent

... ...

( ) ( ) ( ) ... ...

( ) ( ) ( ) .....

55

De Opkomst van de Universiteiten

• het onderwijs bloeide in de 9e en 10e eeuw vooral in de kathedraal- en abdijscholen, opgericht onder Karel de Grote

• in deze scholen werden de Kunsten (Trivium en Quadrivium) onderwezen :

• trivium : grammatica, logica, rhetorica

• quadrivium : rekenkunde, meetkunde, astronomie, muziek

• gedurende de 10e, 11e en 12e eeuw evolueerden de belangrijkste scholen tot plaatsen van Studium Generale

• hier werden de Kunsten en minstens één van de faculteiten, Theologie, Rechten, Geneeskunde, gedoceerd

• Studium Generale betekende oorspronkelijk dat studenten van overal (niet enkel plaatsgebonden) welkom waren

• in de 13e eeuw werden als Studium Generale, die instellingen beschouwd, die

• alle studenten, onafhankelijk van hun herkomst, aanvaarden

• onderwezen in de Kunsten,

• maar tevens in minstens één van de drie faculteiten Theologie, Rechten, Geneeskunde

• een belangrijk deel van hun onderwijs door Masters lieten geven,

• Masters van een andere Studium Generali, zonder bijkomende examens, aanvaardden als docenten

• docenten werden aangemoedigd ook lezingen te geven aan andere Studia Generalea

• erkenning door Paus en (of) Keizer leidde tot begrip ‘Universiteit’

• de oudste nog bestaande universiteiten zijn :

• Al-Azhar Kaïro (970)

• Al-Nizamiyya Bagdad (1065)

• Bologna (1088)

• Parijs (1096)

• Oxford (1096)

• Cambridge (1208)

• Montpellier (1150)

• Salamanca (1218)

Bologna : de oudste universiteit 1088

Wiskunde in het Europa van de Renaissance

tijdens de 15e en 16e eeuw

56

De Opkomst van de Drukpers

57

Johannes Gutenberg (Mainz, ca. 1395 – Mainz, 1468)

• Johannes Gutenberg ontwerpt, ca. 1450, een nieuw druksysteem

• hij is de uitvinder van de drukpers

• zijn systeem omvat

• de drukpers,

• losse tekens, vervaardigd uit een loodlegering,

• inkt op basis van olie

• blokdrukken was reeds gekend

• in China, op zijde (einde 2e eeuw)

• in China, op papier (7e eeuw)

• in Egypte, op stof (4e eeuw)

• in Europa, op stof (ca. 1300)

• in Europa, op papier (1400)

Gutenberg Bijbel : het eerste gedrukte boek (september 1452)

• 160 à 185 exemplaren van elk 1272 pagina’s werden gedrukt

• meestal gebonden in 2 delen

• de meeste exemplaren zijn gedrukt op hoogwaardig papier met watermerk,

• enkele exemplaren op perkament

• 48 al dan niet complete exemplaren zijn gekend

Eerste pagina van de Gutenberg bijbel

(Universiteit van Texas (Austin)

Johannes Gutenberg

Regiomontanus

Johannes Müller von KönigsbergUnfinden, 1436 – Rome, 1476

58

• geboren in 1436 in de omgeving van Königsberg (Bayern)

• publiceerde onder de naam Joannes de Monte Regio

• in 1534 werd de naam Regiomontanus voor het eerst gebruikt door Melanchton

• studeerde in 1447 aan de Universiteit van Leipzig

• promoveerde in 1457 tot Magister Artium aan de Universiteit van Wenen

• verbleef in Viterbo, Venetië, Budapest

• van 1471 tot 1475 verbleef hij in in Nürnberg

• werd de eerste uitgever van wetenschappelijke werken, gedrukt op eigen drukpers

• bouwde daar tevens een observatorium en een instrumentenmakerij

• in 1475 ontbood Paus Sixtus IV hem naar Rome als adviseur voor een kalenderhervorming

Epitoma in Almagesta Ptolemei

• vervolledigde in 1461, na Peurbachs dood in 1460, diens aangepaste versie van de Almagest

De triangulis omnimodis

• een systematisch leerboek (1464) over vlakke driehoeksmeting en boldriehoeksmeting

• veel werd, zonder bronverwijzing, overgenomen uit een werk van Jabir ibn Aflah (Gerber)

• slechts voor het eerst uitgegeven in 1533

Ephemerides ab Anno 1475-1506

• posities van maan en planeten voor elke dag van 1475 tot 1506

• gebruikt door Colombus bij zijn ontdekkingsreizen

Luca PacioliSansepolcro, 1445 – Sansepolcro, 1517

De Vader van de Boekhouding

59

• studeerde in Venetië vanaf 1464, waar hij Piero della Francesca leerde kennen

• was privaatleraar van de drie zonen van koopman Antonio de Reimposo

• werd monnik bij de Franciskanen in 1472 en leefde in Perugia vanaf 1475

• werd er benoemd als eerste wiskunde-professor aan de universiteit in 1477

• werkte vanaf 1497 samen met Leonardo da Vinci bij hertog Ludovico Sforza

• doceerde in 1501-1502 aan de universiteit van Bologna

• ontmoette daar Del Ferro

• bracht zijn laatste levensjaren door in zijn geboortedorp

• beweerde in 1496 dat een derdegraadsvergelijking niet kon worden opgelost

Tractatus mathematicus ad discipulos perusinas

• een cursus (ca. 600 pagina’s) voor zijn studenten aan de universiteit van Perugia

Summa de Aritmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita

• is een synthese van het toenmalig wiskundig denken, opgesteld in het vernacular

• bevat ook een beschrijving van het dubbel-boekhoudsysteem

De Divina Proportione

Luca Pacioli & Leonardo da Vinci De Divina Proportione

1497

60

• door Luca Pacioli geschreven, en door Leonardo geïllustreerd, wiskundig en artistiek werk uit 1497

• van de eerste, in 1509 door Paganinus de Paganinus gedrukte editie in Venetië, zijn slechts twee exemplaren bewaard

• het werk bestaat uit 3 delen :

• deel 1 : over de wiskunde van de gulden snede, een studie van veelhoeken en het gebruik van perspectief

• deel 2 : bespreekt de theorie van Vitruvius over het gebruik van wiskunde in de architectuur

• deel 3 : een Italiaanse vertaling van het werk van Piero della Francesca en over de 5 platonische veelhoeken

met illustraties door Leonardo da Vinci

De vijf platonische veelhoeken, illustraties van Leonardo da Vinci

De Problematiek rond de Derdegraadsvergelijking

tijdens de Vroeg-Renaissance

61

Vandaag kennen we de algemene vorm van de derdegraadsvergelijking

Deze kan steeds worden herleid tot

Omstreeks 1500 , en als gevolg van het geometrisch denken uit het verleden,

• werd 0 enkel en alleen als een symbool en niet als een getal aanzien

• waren negatieve coëfficienten onmogelijk

• werden negatieve oplossingen van een vergelijking als vals of imaginair aanzien

Aldus diende onderscheid gemaakt te worden tussen ;

(**)

□

(*)

In 1496 beweerde Luca Pacioli nog dat de derdegraadsvergelijking onoplosbaar was

De oplossing voor (*) werd in 1515 ontdekt door Scipione del Ferro.

In 1526 ontdekte Tartaglia de oplossing voor (**) , in 1535, onafhankelijk van Scipione del Ferro,

de ,de oplossing van (*), en, in 1541, de herleiding van de algemene derdegraadsvergelijking tot de

‘gereduceerde’ (zonder de tweedegraadsterm) derdegraadsvergelijking .

Publicatie gebeurde voor het eerst in 1545 door Cardano in zijn ‘Ars Magna’ (1545)

3 2 0x px qx r p,q,r

3 2

00ax bx cx d a , b,c,d

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

x px qx r

x px r qx

x qx r px

x px qx r

x qx px r

x r px qx

x px qx r

3 2

3 2

3 2

3

3

3

x px r

x px r

x r px

x qx r

x qx r

x r qx

Scipione del FerroBologna, 1465 – Bologna, 1526

62

• werd in 1496 benoemd tot professor wiskunde aan de universiteit van Bologna

• ontdekte omstreeks1515 de oplossing van de derdegraadsvergelijking

• één van zijn studenten aan de universiteit was Antonio Maria Fior (1506 - ? )

• liet geen geschriften na, mede door zijn onwil om zijn ontdekkingen openbaar te maken

• noteerde echter zijn wiskundige resultaten in een, nu verloren gegaan, dagboek

• bij zijn dood, in 1526, kwam het dagboek in het bezit van zijn schoonzoon Hannival Nave

• Hannival Nave was tevens del Ferro’s opvolger aan de universiteit van Bologna

• in 1543 konden Cardano en Ferrari dit dagboek bij Hannival Nave consulteren

De oplossing van de derdegraadsvergelijking volgens del Ferro

Door gepaste substitutie kan tweedegraadsterm steeds worden geëlimineerd

Dit herleidt het probleem tot de oplossing van en van

Een oplossing van wordt gegeven door

Het is niet bekend of del Ferro ook de oplossing kende van

3x px q 3x px q

3x px q

3 2x px q

2 3 2 3

3 3

2 4 27 2 4 27

q q p q q px

Niccolo Fontana TartagliaBrescia, 1499 – Venetië, 1557

63

• beleefde een ongelukkige, armoedige jeugd

• in 1506 werd zijn vader vermoord

• tijdens de belegering van Brescia door het Franse leger in 1512, gewond aan de kaak en de keel

• dit bezorgde hem een permanent spraakgebrek, werd sindsdien ‘de stotteraar’ genoemd

• door zelfstudie werd hij een uiterst talentvol wiskundige

• verbleef vanaf 1516 in Verona en trok in 1534 naar Venetië

• tussen 1526 en 1541 ontdekte Tartaglia de oplossing van de derdegraadsvergelijking

• werd in 1535 winnaar van de wiskunde-wedstrijd met Antonio Maria Fior

• in 1539, tijdens zijn bezoek aan Cardano in Milaan, gaf hij zijn kennis over de derdegraadsvergelijking door

• Cardano werd echter onder eed verplicht tot geheimhouding

• in 1543 bracht Tartaglia de eerste vertaling van Euclides ‘Elementen’ in het Italiaans

• de publicatie in 1545 van Ars Magna van Cardano was de aanleiding tot een jarenlang conflict

• dit resulteerde in 1548 (10/08) in een openbaar wiskunde-debat tussen Tartaglia en Ferrari, leerling van Cardano,

• de eerste dag verliep uiterst onsuccesvol voor Tartaglia en ‘s nachts ontvluchtte hij Milaan

• hij stierf in armoede in Venetië in de buurt van de Rialto brug

• Quesiti et invenzione diverse (1546)

• opgedragen aan koning Hendrik VIII van Engeland

• behandelt in verschillende boeken diverse problemen, w.o.

• delen 1 en 2 : theorie ten behoeve van de artillerie

• deel 9 : over de derdegraadsvergelijking

• Trattato generale di numeri et misure (1556)

• het beste standaardwerk van de 16e eeuw over de wiskunde

• behandelt tevens de derde- en vierdemachtsvergelijkingen

• en schrijft over de combinaties van n elementen in groepen van p :n

p

Gerolamo CardanoPavia, 1501 – Rome, 1576

64

• kreeg zijn eerste wiskunde onderricht van zijn vader, een Milanees advocaat, tevens professor meetkunde in Pavia en Milaan

• studeerde geneeskunde, eerst aan de universiteit in Pavia, daarna in Padua

• hij was onaangenaam in de omgang, een speler voor grote bedragen, verwondde een tegenspeler met een mes

• promoveerde tot doctor in de geneeskunde in 1525, maar werd door de Orde niet toegelaten in Milaan

• vergokte het familiekapitaal, werd afhankelijk van het armenhuis

• onwettig beoefenaar van de geneeskunde, maar mede door zijn successen in 1539 toch toegelaten tot de Orde

• zocht vanaf 1539 contact met Tartaglia, die hem in vertrouwen de oplossing van de derdegraadsvergelijking gaf

• samen met zijn assistent Ferrari, die de vierdegraadsvergelijking oploste, ontmoette hij in 1543 del Ferro’s schoonzoon

• uit del Ferro’s notities,bleek dat del Ferro, vroeger dan Tartaglia, een oplossing van één type derdegraadsvergelijking kende

• publiceerde in 1545 Ars Magna, waarin o.a. de oplossingen van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen werden vermeld

• Ars Magna bevatte ook de eerste ideeën over complexe getallen ‘zo subtiel, als nutteloos’

na de succesvolle behandeling van John Hamilton, aartsbisschop van St-Andrews, werd hij professor geneeskunde in Pavia

• in 1561 werd zijn oudste zoon terechtgesteld voor de moord op zijn vrouw

• in 1563 schreef hij zijn werk over kansspelen, Liber de Ludo Aleae ; dit werk werd slechts in 1663 gepubliceerd

• in 1569 stal zijn jongste zoon al zijn bezittingen om gokschulden te delgen

• in 1570 werd Cardano veroordeeld als ketter omdat hij de horoscoop van Jezus had getrokken

• vertrok in 1571 naar Rome, waar hij werd opgenomen in de Orde der Geneesheren

• om de voorspelling van zijn sterfdatum te laten kloppen, pleegde hij die dag zelfmoord (21/09/1576)

5 15 5 15 40( )( )

Gerolamo CardanoPavia, 1501 – Rome, 1576

65

66

De drie belangrijkste wetenschappelijke werken uit de 16e eeuw1543 - 1545

Andreas VesaliusBrussel, 1514 – Zakynthos, 1564

De humani corporis fabricaBasel, 1543

Nicolaus CopernicusThorun, 1473 – Frauenburg, 1543

De revolutionibus orbium coelestumNürnberg, 1543

Gerolamo CardanoPavia, 1501 – Rome, 1574

Artis magnaeNürnberg, 1545

Lodovico FerrariBologna, 1522 – Bologna, 1565

67

• begon als dienstknecht van Cardano

• zeer verstandig, zodat Cardano hem wiskunde onderricht gaf

• assisteerde Cardano bij de studie van de derdegraadsvergelijking

• ontdekte in 1540 de, door Cardano gepubliceerde, oplossing van de vierdegraadsvergelijking

• werd in 1565 aangesteld als professor aan de universiteit van Bologna

• stierf kort daarna, vermoedelijk vergiftigd door zijn zuster Maddalena

Oplossing van de vierdegraadsvergelijking volgens Ferrari

(1)

• door de substitutie wordt herleid tot

• door optelling van aan beide leden, wordt een nieuwe onbekende t ingevoerd

• t kan om het even welke waarde aannemen ; t wordt bepaald zodat de discriminant van het tweede lid 0 zou zijn

• dit leidt tot de oplossing van een derdegraadsvergelijking in t

4 3 2 0ax bx cx dx e

4

bx y

a

3 23 2 25

2 02 2 2 8

A AC Bt At A C t( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

y A Ay A By C

y A t Ay A By C y t Ay t

( )

( )

2 22 2y t Ay t

Rafael BombelliBologna, 1526 – Rome, 1572

68

• Bombelli werd thuis onderwezen door ingenieur / architect Pier-Francesco Clementi

• werd zelf een vermaard ingenieur, gespecialiseerd in de hydraulica

• studeerde Ars Magna en toonde interesse voor het Cardano / Tartaglia / Ferrari - dispuut

• schreef L’Algebra, een zorgvuldige didactische voorstelling van de algebra

• toonde o.a. aan

Wiskundige notatie van Bombelli

352 0 2209 4 0 1

Rafael BombelliBologna, 1526 – Rome, 1572

L’Algebra

69

• door zijn gesprekken met wiskundigen voelde hij de noodzaak van

• een zorgvuldig opgebouwde didactische voorstelling van de algebra

• minder voorkennis vereisend dan het toenmalig standaardwerk, Ars Magna,van Cardan

• het eerste manuscript was klaar in 1550, maar werd voortdurend aangepast

• tijdens een bezoek aan Rome ontmoette hij de Romeinse wiskundige Pazzi

• zo geraakte hij in het Vaticaans Museum bekend met ‘Arithmetica’ van Diophantus

• dit leidde tot een totaal herwerkte versie van L’Algebra

• L’Algebra was voorzien in 5 delen, 3 algebraïsche en 2 meetkundige

• de eerste drie waren klaar bij Bombelli’s dood in 1572, verschenen in 1579

• het onafgewerkt manuscript van de delen 4 en 5 werd in 1923 ontdekt in Bologna

• in L’Algebra gaf Bombelli de rekenregels voor imaginaire getallen

1

1

1

1

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

70

Mathematische notatie

Door wie en wanneer werden

ze voor het eerst gebruikt ?

François VièteFontenay-le-Comte (Vendée), 1540 – Parijs, 1603

71

• van opleiding rechtsgeleerde, Hugenoot, advocaat van de belangrijke protestantse families

• verbleef als advocaat in Parijs tijdens de godsdienstoorlogen (Sint-Bartholomeusnacht, 1572)

• werd raadgever van Henri III en Henri IV aan het hof in Blois

• specialist in het decoderen van berichten, o.a. van Filips II aan de katholieken in Frankrijk

• net zoals Henri IV (‘Paris vaut bien une messe’) bekeerde hij zich tot katholicisme

• beoefende de wiskunde als liefhebberij

• publiceerde in 1591 In artem Analyticem Isagoge,

• een innovatieve behandeling van de algebra,

• uitgedrukt met abstracte formules en algemene concepten

• in tegenstelling tot de geometrische verklaringen en numerieke voorbeelden van het verleden

B in 3 A quadratus + F 5 in A - A cubus aequatur D solido <=> 3 A²B + 5AF – A³ = D

• evolutie van de wiskundige notatie

Viète gebruikte (hoofd-)letters om grootheden aan te duiden : klinkers voor onbekenden, medeklinkers voor bekende grootheden

• π als oneindig produkt (1593)

• verband tussen de coëfficiënten en de wortels van een vergelijking

1 1

1 2

1 2 0

1 2

0

1

1

n i

i n

n n

n

ax x x x S

a

ax x x P

a

, ,...,

..... ( )

..... ( )

1 2

1 2

0 1 2

0 1 2

0

0

n

n n n

n

n

Zijn x , x , ..., x de (reële en imaginaire) wortels van

a x a x a x a

a x x x x x x

.....

( )( ).....( )

{

D in R - D is E aequabitur A quad <=> DR - DE = A²

72

Verband tussen de coëfficiënten

en de wortels van een vergelijking

François Viète (Fontenay-le-Comte (Vendée), 1540 – Parijs, 1603) vond dit

verband voor vergelijkingen met positieve wortels.

Albert Girard (Saint-Mihiel, 1595 – Leiden, 1632) gaf de veralgemening

1 2

1 2

0 1 2

0 1 2

1 1

1 2 1

1 2 0

2 2

1 2 0

0

0

1

1

n

n n n

n

n

n i

i n

i k

i k ni k

Zijn x , x , ..., x

de (reële en imaginaire) wortels van

a x a x a x a

a x x x x x x

dan gelden :

ax x x x S

a

ax x

a

, ,...,

, , ,...,

.....

( )( ).....( )

..... ( )

( )

2

3 3

3

1 2 0

1 2

0

1

1

i j k

i j k ni j k

n n

n n

S

ax x x S

a

ax x x S P

a

, , , ,...,

( )

....................

..... ( )

Albert Girard

Simon StevinBrugge, 1548 – Den Haag (?), 1620

73

• kind van ongehuwde ouders, door zijn moeder Calvinistisch opgevoed

• na reizen door Noord-Europa (o.a. Polen, Denemarken, ...)...vestigde hij zich in 1581 in Leiden

• studeerde vanaf 1583 aan de universiteit van Leiden

• werd bevriend met en werd privé-docent van Maurits van Nassau, zoon van Willem van Oranje

• Maurits volgde zijn vader op als Stadhouder en benoemde hem tot scout van de Waterstaat

• later werd hij militair adviseur van de prins

Gebruik van de eigen taal

• motieven voor gebruik van het ’Duytsch’ , uiteengezet in de inleiding tot ‘De Weeghconst’

• Uytspraeck van de weerdicheyt der Duytsche tael

• maakte daardoor de wetenschap toegankelijker en verrijkte het Nederlands met woorden als

• wiskunde (mathematica)

• sterrekunde (astronomie)

• wijsbegeerte (filosofie)

• scheikunde (chemie)

• zo kreeg het Nederlands eigen wetenschappelijke woorden in tegenstelling tot de andere talen

Uitbreiding van het decimale stelsel

'Ommedat al de werelt gheen latijn en can'

• in 1585 publiceerde Simon Stevin De Thiende, uitgegeven door Plantijn

• het eerste boek in de Westerse wereld met decimale breuken

• door hemzelf in 1585 in het Frans vertaald als La Disme

• in 1608 in het Engels vertaald door Robert Norton als Disme : the art of tenths

• ondanks de ‘zware’ notatie leidde het tot de veralgemening van het decimaal stelsel

• natuurkunde (physica)

• middellijn (diameter)

• loodrecht (perpendiculair)

• evenwijdig (parallel)

Simon StevinBrugge, 1548 – Den Haag (?), 1620

74

Titelpagina van de eerste druk

van De Thiende (1585)Titelpagina van de eerste druk

van De Beghinselen der Weeghconst(1586)

75

Evolutie van de notatie van een decimaal getalvoorbeeld 37.245

76

John NapierEdinburgh, 1550 – Edinburgh, 1617

Schots edelman

en amateur-wiskunde

Jost BürgiLichtensteig, 1552 – Kassel, 1632

Zwitsers instrumenten- en

uurwerkmaker

Henry BriggsWaleywood, 1561 – Oxford, 1630

Professor Wiskunde aan het

Gresham College, Oxford

Logaritmen

• onafhankelijk van elkaar ontdekten Jost Bürgi en John Napier een methode om tijdrovende berekeningen te vereenvoudigen

• Jost Bürgi ontwikkelde zijn methode tegen het einde van de 16e eeuw, maar publiceerde ze slechts in 1620

• Bürgi’s methode was gebaseerd op een 1-1 afbeelding van een meetkundige en een rekenkundige rij

• John Napier ‘s methode werd uitgewerkt in het begin van de 17e eeuw, maar gepubliceerd in 1614

• Napiers methode was gebaseerd op een 1-1 afbeelding van

• de plaats van een punt met constante snelheid op een rechte

• de plaats van een punt op een lijnstuk met veranderlijke snelheid, evenredig met de afstand tot het eindpunt

• Briggs’ bijdrage, na zijn ontmoeting in 1616, met Napier, bleef beperkt tot een herleiding van de berekeningen naar grondtal 10

(Briggse logarithmen)

77

Logaritmen

ay xlog

1588 Jost Bürgi

1614 John Napier

1727 Leonhard Euler

a = grondtal

a = 10 : Briggse logaritmen

a = e : Neperiaanse

(natuurlijke) logaritmen

78

Rekenliniaal

• het principe van de rekenliniaal werd in 1620 onwikkeld door E. Gunter uit Oxford

• in 1630 construeerde W. Ougthred (Cambridge) de combinatie van twee logaritmische schalen, verschuifbaar t.o.v. elkaar

• tot ca. 1970 bleef de rekenliniaal het belangrijkste rekeninstrument voor wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs

• sindsdien begint de opmars van de elektronische (programmeerbare) rekenmachine

79

Galilei GalileoPisa, 1564 – Arcetri, 1624

Italiaans astronoom en fysicus

Promotor van het heliocentrisme

‘Eppur si muove’

Nicolaus CopernicusTorun, 1473 – Frauenburg, 1543

Pools astronoom

Grondlegger van de

Copernicaanse Omwenteling

‘De Revolutionibus ...’ (1543)

Tycho BraheScania, 1546 – Praag, 1601

Deens astronoom

Accurate astronomische

observatie

‘

Johannes KeplerVeil der Stadf, 1571 – Regensburg, 1630

Duits astronoom

Wetten van Kepler

over de bewegingen van de planeten

‘Astronomia Nova’ (1609)

Befaamde wiskundigen-astronomen uit de 15e en 16e eeuw

Informatiebronnen

Algemeen

• Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org

• A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998

• A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011

• The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011

• An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006

• History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958

• Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009

• The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011

• The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008

• Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andrews

• Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik – 1965

• Episodes from the early history of mathematics – A. Aaboe – MAA, 1964

• The Story of Mathematics – L.Masltn - www.storyofmathematics.com – 2010

Specifiek

• A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987

• A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921

• Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price

• Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac

• Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com

• The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry

• A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006

• Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984,

• Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 – 2008

• De tijd van Hilbert – B. Seghers – Universiteit Gent 2010

• Splash Talk : The Foundational Crisis of Mathematics – E. Warner - Stanford University - 2013

• The Mathematical Century – The 30 greatest Problems of the Last 100 Years – P. Odifreddi – Princeton University Press - 2004

80