De elementenmethode voor de oplossing vantorsieproblemenBrekelmans, W.A.M.; Janssen, J.D.

Gepubliceerd: 01/01/1970

Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

Citation for published version (APA):Brekelmans, W. A. M., & Janssen, J. D. (1970). De elementenmethode voor de oplossing van torsieproblemen.(DCT rapporten; Vol. 1970.036). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 15. Jun. 2018

TECENISCE!! ROGE S CEOOL EINDEOVEN TECENOLOGICA-L UNIVERSITY EINDHOVEN

NEDERLAPJD NETEERLANDS

AFDELING DER WERKTUIGBOLWTQJNDE DEPARTMENT OF MECBANICAL ENGINEERING

LABOF&TORIUN VOOR TECHNICCEE MEC€i.ANICA LP-B0RATOP.Y OF ENGINEERING MECFANICS

De e l e m e n t e n m e t h o d e voor

de oploss ing van torsieproblemen .

daor

W. A.E. E r e k e l m a n s

J. D. Jam s en

T. E. - R e p o r t XE 70-36

novenb er 1 9 7 O

- 2 -

Inhoudsopgave.

Nomenclatuur 3

Literatuur 4

I . Inleiding 5

2 . Probleemstelling, differentiaalvergelijkingen en randcondities - 6

3. Benaderingsoplossingen 10

3.1. Inleiding 10

3.2 . Semi-inverse methode: een voorbeeld 1 1

3.3. Methode Ritz: een voorbeeld 13

4 . De methode der eindige elementen, toegepast op het torsieprobleem

(enkelvoudig samenhangend gebied) 16

5. Enige voorbeelden 24

5.1. Rechthoekige dwarsdoorsnede 24

5.2. Dwarsdoorsnede in de vorm van een cirkelsector 26

5.3. Dwarsdoorsnede in de vorm van een regelmatige veelhoek - 27

6 . Meervoudig samenhangende dwarsdoorsnede 31

I . Slgtqmerkingen 40

- 3 -

Nomenclatuur.

6 : specifieke hoekverdraaiing van de doorsnede.

: welvingsfunctie. 40

4 : spanningsfunctie.

J, : toegevoegde welvingsfunctie.

T T : schuifspanningen. zxy zy

r, e : poolcoördinaten. . X¶ Y, z : cartesische coördinaten.

F : gebied van de dwarsdoorsnede.

G : glijdingsmodulus.

I*, IZy I3 : functionalen in respectievelijk Cp 0 ) $ en Cp.

I : polair oppervlaktetraagheidsmoment,

M : wringend moment.

R : rand van de dwarsdoorsnede.

v : potentiële energie.

v* : complementaire energie.

P

- 4 -

Literatuur.

1 . ZIENKIEWICS, O.C. and CHEUNG, Y.K. Finite elements in the solution of field problems.

The Engineer

220(1965)September,p.507-510.

2. VISSER, W. The finite element method in deformation and heat

conduction problems.

Proefschrift Technische Hogeschool Delft (1968).

3. KRAHLTLA, J.L. and LAUTERBACH, G.F. A finite element solution for Saint-Venant torsion. AAIA Journal 7(1969)December,p.2200-2203.

4 . TIMOSHENKO, S. and GOODIER, J.N..

Theory of elasticity.

McGraw-Hill Book Company Inc., New York, Toronto,

London (1 95 1 ) .

5. BREKELMANS, W.A.M.

Torsie van een cilindrische balk met een dwarsdoorsnede,

begrensd door een regelmatige veelhoek.

Intern rapport groep "Technische Mechanica" van de

Technische Hogeschool Eindhoven (1967).

6. ELTETTE, DES INGENIEURS TASCHENBUCH.

I. Theoretische Grundlagen. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin (1955).

7. WEBER, C. und GGNTHER, bJ.

Torsionstheorie.

Frledrlch 'Jleweg R Sohn, Braunschvelg ( 1 958)

- 5 -

1 . Inleidina.

De methode der eindige elementen 2 gebleken bij de numerieke analyse van sterkte- en stijfheidsproblemen.

De in deze methode gevolgde werkwijze is bovendien geschikt om bepaalde soorten 2e orde partiële differentiaalvergelijkingen tot een numerieke

oplossing te brengen. Het is dan een mathematisch gereedschap, dat on-

der bepaalde omstandigheden identiek is met de differentiemethode, maar

dat veel ruimere toepassingsmogelijkheden biedt [I '21.

De Saint-Venant theorie voor de torsie van cilindrische balken is een

goed voorbeeld om de werkwijze toe te lichten.

Drie verschillende formuleringen van deze theorie zullen worden beke-

ken. Aangegeven wordt wat de voor- en nadelen van ieder der werkwijzen

is een zeer bruikbaar hulpmiddel [ I

is. Het blijkt mogelijk voor de torsiestijfheid een boven- en een bene- dengrens aan te geven. Aan de hand van enkele voorbeelden zal de gang

van zaken wordentoegelicht en worden vergeleken met andere procedures.

Een indruk zal worden gegeven van de mogelijkheden van de beschreven

aanpak.

- 6 -

2. 2. Beschouwd wordt een prismatische balk, waarvan de dwarsdoorsnede in

fig. 2.1 is weergegeven. Het assenstelsel is zodanig gekozen dat de

z-as evenwijdig is aan de as van de balk.

fig. 2.1. Doorsnede van een balk.

De balk wordt in de eindvlakken belast door een wringend moment M, dat

op een zodanige wijze wordt aangebracht, dat de torsietheorie volgens

de Saint-Venant toepasbaar is. Dit betekent dat alleen de spanningen

T en T (zie fig. 2 . 1 ) ongelijk aan nul kunnen zijn.

Het torsieprobleem kan op een aantal verschillende manieren worden ge-

formuleerd [ 4 ] . Wanneer wij voorlopig veronderstellen dat de dwarsdoor-

snede een enkelvoudig s~nìenhangeïìd gebied i? is, wazceer h e t ate er ia al

homogeen en isotroop is met glijdingsmodulus G en wanneer de hoekver-

draaiing per lengte-eenheid @(constant) wordt genoemd, dan zijn de onder

a, b en c vermelde formuleringen mogelijk:

zx ZY

a. = o (2 .1)

( 2 2 ) Y (grad (bo> 2) = Y X - xn d+O Randconditie: - = dn

b. A$ = o (2 .3)

Randconditie: $ = - ; (x2 i- y2) (2 .4 )

C. Al$ = -2 ( 2 . 5 )

Randconditie: 4 = O

- 7 -

Bij elk van deze formuleringen geldt voor de spanningsgrootheden en het

wringend moment :

b.

waarbij I = II (x2 + y2) dxdy, P F het polaire traagheidsmoment.

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

In plaats van met de hiervoor gegeven partiële differentiaalvergelijkin- gen en de bijbehorende randcondities, kan het probleem ook worden be-

schreven door middel van de bewering dat de functionalen in (2.16), (2.17)

en (2.18) stationair zijn voor bepaalde variaties van de gezochte functie.

a.

b. (2.17)

- 8 -

r 7

(2.18)

Op grond van bekende stellingen uit de variatierekening volgt een alter-

natieve formulering voor de onder a, b en c gegeven probleemstelling:

a. 611 = O voor alle (2.19)

b. 6 1 2 = O voor alle 6$, waarbij $ = I 2 (x2 + y2> (2.20)

C. 613 = O voor alle 6+ waarvan geldt dat + = O (2.21) op de rand R van het gebied.

op de rand.

Het is interessant om op te merken dat de condities (2.19) en (2.21)

rechtstreeks geformuleerd kunnen worden door uit te gaan van respectie- velijk de potentiële energie V en de complementaire energie V voor

een getordeerde balk met lengte 1 en door de algemene stellingen voor de

deze energie-uitdrukkingen toe te passen [3, 41.

Voor de potentiële energie geldt:

*

(2.22)

terwijl de conplsnentalre eriergfe gegeven wordt door:

v*= 4 GB2 // [[%I2 + [$)2i dxdy - 2GB2 // 9 dxdY (2.23) F F

Afgeleid kan worden dat:

m V = GB2 I3

Uit het principe van minimale potentiële energie volgt:

611 = o en

GB (211 + Ip) = M

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

- 9 -

Het voor M gevonden resultaat blijkt na uitwerking in overeenstemming te

zijn met formule ( 2 . 9 ) .

Uit het variatieprincipe voor de complementaire energie volgt:

613 = o (2.28)

Het voorgaande impliceert dat bij een gegeven wringend moment de uit

(2.19) volgende waarde voor

neer voor

De waarde voor B die op grond van (2.21) wordt gevonden door $ be-

perkingen op te leggen is groter dan of gelijk aan de werkelijke

De werkelijke torsiestijfheid van de beschouwde balk is op deze wijze

in te sluiten.

B niet groter is dan de exacte waarde wan-

een benadering wordt gekozen. $0

B .

- 10 -

3. Benaderingsoplossingen.

3.1. Inleiding.

Slechts voor een beperkt aantal dwarsdoorsneden is de exacte oplossing

van het torsieprobleem bekend [ 4 ] . In een aantal gevallen i s werken

met oneindige reeksen noodzakelijk. Het verkrijgen van numerieke re-

sultaten vereist dan uitgebreid rekenwerk.

Voor dunwandige balken zijn benaderingsoplossingen in gebruik, die voor open profielen gebaseerd zijn op de resultaten voor een smalle

rechthoek en die voor gesloten profielen (kokers) uitgaan van de ver-

onderstelling dat de schuifspanningen constant zijn over de wanddikte.

Het is moeilijk om aan te geven wanneer deze benaderingstheorieën ge-

bruikt mogen worden.

~

Benaderingsoplossingen kunnen soms geconstrueerd worden door gebruik

te maken van een semi-inverse methode. Uitgegaan wordt van oplossingen

van de differentiaalvergelijking. Voor een bepaalde lineaire combinatie

van dergelijke oplossingen, kan een contour gevonden worden, waarop aan de randvoorwaarden is voldaan. Gezocht moet dan worden naar een

combinatie, waarvoor de bijbehorende contour zo goed mogelijk de ge-

wenste contour benadert.

Deze methode z a l worden toegelicht aan de hand van een balk waarvan

de dwarsdoorsnede begrensd wordt door een regelmatige veelhoek. Voor

de geschetste werkwijze is de derde formulering van het torsiepro-

bleem, formule (2.5) en (2.6), het meest geschikt.

Het is bovendien mogelijk benaderingsoplossingen te construeren op

basis van de gegeven variatieprincipes. Voor een balk, begrensd door

een regelmatige veelhoek, zal deze werkwijze, in het algemeen bekend

als de methode Ritz, worden toegepast, eveneens in de formulering van (2.5) en (2.6).

De differentiemethode biedt de mogelijkheid de bepalende differentiaal-

vergelijking numeriek op te lossen.

In het volgende hoofdstuk zal aan deze methoden de methode der eindige elementen worden toegevoegd: een methode die gezien kan worden als een

speciaal geval van de methode Ritz.

- 1 1 -

Wanneer de dwarsdoorsnede van een getordeerde prismatische balk wordt

begrensd door een regelmatige n-hoek (zie fig. 3.1) dan kan de oplos-

sing van de in (2.5) en (2.6) gegeven differentiaalvergelijking en de

bijbehorende randconditie verkregen worden door voor C$ te stellen:

.e- 4 = - 4 r’ + co + 1 c rnp cos(npû)

p=l P

waarbij r en e de in fig. 3.1 aangegeven poolcoördinaten zijn.

begrenzing van

matige n-hoek de regel-

fig. 3.1. Regelmatige n-hoek.

Door (3.1) is voor elke waarde van Cp(p=O, 1 , ...) voldaan aan (2.5).

Wanneer de constanten

voor O - < e ~ x / n voldaan is aan de randconditie +=O dan is het

torsieprobleem tot een oplossing gebracht.

(Een analoge oplossingsmethode is aanwezig wanneer de dwarsdoorsnede

niet enkelvoudig samenhangend is maar zowel aan binnen- als buiten-

zijde wordt begrensd door een regelmatige veelhoek).

Co, C 1 , ... zodanig bepaald kunnen worden dat

Een practisch bruikbare werkwijze ontstaat door slechts een gering

aantal termen van de reeks in de beschouwing te betrekken (dus bij-

v c ~ r h e e l d alleen vmr p=! en p=2) en dûûr vû1dûende cûr;dl t ies t e

formuleren om de constanten (C C en C ) te bepalen. O’ 1 2

- 12 -

Met Co, C en C als onbekende constanten is het probleem verder

uitgewerkt, waarbij ter bepaling van deze constanten twee verschil-

lende criteria zijn gebruikt, namelijk: .

1 2

a.

b.

4 = 0

@ = O 1

voor

( r = a , 0 = 0

voor x = a, y = O

(zie fig. 3.1). I - = o ay

ay 7 = 0 a2@

(3.2)

( 3 . 3 )

Uiteraard zijn er allerlei andere criteria te verzinnen.

Wanneer op de hiervoor aangegeven wijze wordt bepaald, kan achter-

af worden aangegeven voor welke doorsnede de gevonden resultaten exact

zijn. Gezocht moet dan worden naar de kromme waarvoor d> = O. In het

algemeen wordt deze kromme gegeven door (zie fig. 3*1):

4

(O 1. e 5 vjn) ( 3 . 4 )

Uit een vergelijking van 161 en 1 is een kwalitatief beeld te ver- krijgen van de waarde van de gevonden benadering.

Voor de maximale schuifspanning kan geschreven worden:

- M - T max kl . a3 waarbij kl als vergelijkingsmaatstaf gebruikt zal worden.

Evenzo wordt voor de torsiestijfheid geschreven:

(3.5)

- = M k2a4 GB

- 13 -

criteria (3.2)

criteria (3 .3)

Wanneer de hiervoor geschetste werkwijze wordt toegepast op een balk

i 6 imax. I_ k! k2

0,5412 -0,0447 0,0035 0,Ol 1,511 1,853

0,5373 -3,C385 0,0012 0,05 1,497 ï , 82 I

met als dwarsdoorsnede een gelijkzijdige driehoek dan geldt voor

op grand van de in (3.2) gegeven criteria:

4

Het gevonden resultaat voldoet exact aan de randcondities [ 4 J .

Voor een balk met een dwarsdoorsnede in de vorm van een vierkant

wordt uit (3.2) berekend:

r4 r8 a2 a6 $ = -i r2+ 0,5903 a2- 0,0928 - cos 48 + 0,0024 - cos 88

(3.8) Dit resultaat is niet exact. Aangetoond kan worden dat

terwijl de maximale schuifspanning

heid 1 % te hoog wordt gevonden [5J.

1 6 1 < 0,008,

1 % te laag is en de torsiestijf-

De resultaten die voor een regelmatige zeshoek berekend zijn, op basis

van (3.2) resp. (3.3) zijn in tabel 3.1 weergegeven. De resultaten die

uit de criteria (3.2) volgen stemmen overeen met de uit de literatuur bekende [ 6 ] .

tabel 3.1. Regelmatige zeshoek.

3.3. Methode Ritz: een voorbeeld. ...........................

De energieuitdrukking (2.18) die direct samenhangt met de complemen-

taire energie in een getordeerde balk (2.23), kan geschikt gebruikt

worden als uitgangspunt voor de constructie van een benaderingsoplos-

sing. Voor wordt uit een verzameling van functies gekozen, waarin

de vrijheid bestaat enige constanten nader t e bepalen. De beste keuze $I

- I 4 -

voor deze parameters is die keuze, waarbij de energieuitdrukking een stationaire waarde bezit voor alle toelaatbare variaties van deze pa-

rameters.

In het principe van complementaire energie moet tijdens het variatie-

proces steeds voldaan zijn aan alle evenwichtsbetrekkingen. Wanneer

Q, twee maal differentieerbaar is, is het inwendige evenwicht gega- randeerd. De eis dat ook voldaan is aan het evenwicht op het cilin-

drisch oppervlak brengt met zich mee, dat geëist moet worden dat Q, = O op de begrenzing van het gebied der dwarsdoorsnede. In [ 4 ] is deze methode onder andere toegepast voor een balk met vier-

kante dwarsdoorsnede.

Wanneer voor $ gesteld wordt:

Q, = b (x2-a2)(y2-a2) O

(3 9 )

resulteert (2 .21) in een lineaire vergelijking waaruit b berekend kan

worden. De torsiestijfheid blijkt 1,3% te l a a y te zijn. Worden twee

constanten meegenomen en wordt de symmetrie uitgebuit dan blijkt het

mogelijk de torsiestijfheid op 0,15% nauwkeurig te bepalen. De maxi-

male schuifspanning verschilt dan echter nog

O

4%.

Voor een dwarsdoorsnede, begrensd door een regelmatige zeshoek, Kan

op analoge wijze te werk worden gegaan. Xanneer vûûï $ bijmorbeeld

gekozen wordt:

(3.10)

is voldaan aan 4 = O op de begrenzing van het gebied. Een benaderings-

oplossing kan gevonden worden door voor f(x,y) te kiezen:

f(x,y) = b O + bI(x2+y2) (3.11)

Hierdoor is aan alle symmetriecondities voldaan.

- 15 -

De onbekenden bo en bi zijn te bepalen uit de condities:

813(bo, bl 1 = o (i = 0,i) (3.12) abi

volgt uit (2.18) door substitutie van (3.10) en (3.11) . 13(bo, b ) I

Het zal duidelijk zijn, dat de aangegeven werkwijze zeer veel reken-

werk met zich meebrengt. Rekenwerk, dat bovendien bijzonder slecht in

een vorm te brengen is, die doeltreffend gebruik van de digitale com-

puter mogelijk maakt.

-

Als resultaat van de hier geschetste werkwijze werd in [5 ] berekend:

b = - 0,03264 G8/a4 O

kl = 1,678 (zie 3.5)

- 1,777 (zie 3.6) k2 -

Wij constateren dat met deze methode in kl een fout van 1 1 % eri in

k2 een fout van 4% wordt gevonden. H e t feit da t d e tmsiestijfheid

onderschat wordt is een algemeen kenmerk van benaderlngsoplossingen, die uitgaan van complementaire energie.

- 16 -

4. De methode der eindige elementen, toegepast op het torsieprobleem (enkelvoudig samenhangend gebied).

Evenals bij de in het vorige hoofdstuk gevolgde werkwijze, wordt bij de methode der eindige elementen [I ] uitgegaan van integraaluitdrukkingen,

waaruit - op grond van variatieprincipes - de bepalende differentiaal-

vergelijkingen zouden volgen, wanneer aan de daarin optredende functies

geen beperkingen worden opgelegd.

In 3 . 3 i s voor het hele gebied een analytische uitdrukking voor

nomen, waarin nog twee parameters gekozen konden worden.

In de elementenmethode wordt het gebied van de dwarsdoorsnede verdeeld

in een aantal delen met meestal eenvoudige geometrische begrenzingen

(elementen), zoals driehoeken, rechthoeken, trapezia, etc..

Voor ieder element wordt

beschrijving van het probleem met behulp van gemaakt over het gedrag van 4 binnen het element. Zo zou voor het in

fig. 4.1 getekende element voor 4 verondersteld kunnen worden:

4 ge-

- wij richten onze aandacht voorlopig op de

4 - een veronderstelling

+ c x + c y 2 3 4 = c1

en c nader te bepalen constanten zijn. 3 waarbij cI3 c2

( 4 . 1 )

fig. 4.1. Voorbeeld van een element.

Wanneer op deze maniervooralle elementen, die het beschouwde gebied for-

meren, veronderstellingen worden gemaakt, zou I3 op eenvoudige wijze

in een aantal constanten kunnen worden uitgedrukt.

- 17 -

Ok = -Ol-

$2

L+3d

De stelling dat

past met betrekking tot al deze constanten omdat tijdens het variëren

$ in elk geval continu moet blijven.

In elk knooppunt van het gebied van de dwarsdoorsnede moet de waarde van

$ eenduidig vast liggen. Een eenvoudige manier om de continuïteit van

&I3 = O kan dan echter niet zonder meer worden toege-

$ te garanderen wordt gevonden door van de constanten C I > c2 en c3 over te gaan op de waarden van 4 in de knooppunten I , 2 en 3 van

het element.

Wanneer voor een aangrenzend element op dezelfde manier te werk wordt

gegaan is de continuïteit ook op de begrenzing gerealiseerd (van twee

aangrenzende elementen vallen twee knooppunten samen).

De waarden van $ voor de knooppunten 1 , 2 en 3 worden aangeduid

als respectievelijk $1, O 2 en O,. Voor het ke element definiëren wij de kolomvector:

Voor 4 binnen het ke element wordt in plaats van (4.1) geschreven:

Voor P1 (x,y) geldt:

waarbij A het oppervlak is van het beschouwde element. P2 en P3 vol-

gen uit ( 4 . 4 ) door cyclische verwisseling van de indices.

Voor de functionaal (2.18) kan geschreven worden:

over alle I3 ( 4 . 5 )

elementen

waarbij voor 13k geldt:

- 18 -

Wordt voor C$ de uitdrukking (4.3) gebruikt: dan is met behulp van (4 .4)

de uitdrukking ( 4 . 6 ) te schrijven als:

, I k k k 'k k k I 3 = z @ H + - @ f ( 4 . 7 )

(Opm.: De getransponeerde van een matrix A wordt aangegeven met het

symbool A). r

Voor €ik en fk geldt: .... zie volgende blz.

- 1 9 -

k Voor H en fk geldt:

I -

x- F W h

r" .-<

x + W

n m

N

h I

h W

h c\l

I - h

W

h

xm

x-

P xm

I

W n

.-.I

W + n

h I

h n

h I

m

hl W - h"

W

@.I n

F x- W + hl n

m h

h ! w

n - X I

xm W n

i" - x + W

h - I m h

W

n c\l h I

h -

v

c\l n

CI

I xm W + c\l n - h I

h r l

W

n

x I

d

xm

x-

W

n

i" W + n

h I

h

- m

W n

m h

h IN

W

hl h

i" - x + W

hl n hl h I

h .-.I

W

n

I

x

x-

xm

Xhl

I

- W n

I

W

h +

c\1

.-<

h W

I

- 20 -

2 kk = 3 n [i 1 i] ( 4 9 )

Uit ( 4 . 7 ) kan door middel van (4 .5) I voor het gehele gebied worden 3 bepaald. De randcondities van het variatieprobleem vereisen dat op de

rand van het beschouwde gebied + ( x t y ) = O. Dit betekent dat voor de

knooppunten op de begrenzing van het gebied de waarde van nul ge-

steld dient te worden. 4

Wanneer de waarden van $

gebied opgevat worden als de componenten van de vector

de hiervoor geschetste procedure de mogelijkheid voor I3 te schrij- ven :

in alle knooppunten binnen het onderzochte

dan biedt @,

t 1

I3 = i Q H 3 Q - Q f (4 .10)

1

waarbij tevens geldt dat H = H De matrix H3 kan eenvoudig worden opgebouwd uit de matrices Hk van

alle elementen en evenzo is f te bepalen uit alle f . 3 3'

k

Bij de gemaakte keuze voor $ ( x , y )

parameters (namelijk de componenten van Q ) te bepalen door te eisen dat

6 1 3 = O voor alle variaties van Q .

Eeze w2ïkii-IJze remlteert i n het s te lse l lineaire vergelijkingen:

in het gebied zijn de daarin aanwezige

H3Q = f

Door (4.11) op te lossen wordt Q gevonden:

-1 Q = H 3 f

(4.11)

(4.12)

De door ( 4 . 3 ) gegeven uitdrukking voor $(x,y), die lineair is in x en

y, impliceert dat in een element de schuifspanning constant is. Uit

(2 .13) en (2 .14) volgt:

( 4 . 1 3 )

- 21 -

k Wanneer $ bekend is kan T~ uit (4-13) berekend worden.

De torsiestijfheid is in een aantal gevallen een interessante grootheid. Uit (2.15) volgt:

M - over alle element en

J d - - = GB (4.14)

De met (4.14) berekende torsiestijfheid is altijdkleiner of gelijk aan de exacte torsiestijfheid voor dezelfde doorsnede. Het bewijs van deze

bewering volgt uit het feit, dat de benaderingsoplossing, die geconstru-

eerd is uitgaat van het principe van complementaire energie. Wanneer ge-

bruik wordt gemaakt van de zeepvliesanalogie kan op grond van het prin-

cipe van minimale potentiële energie tot dezelfde uitspraak gekomen wor-

den.

In een aantal gevallen zal de dwarsdoorsnede van de getordeerde balk een of meerdere symmetrielijnen bezitten. De component van de schuifspanning

in de richting van de symmetrielijn is dan nul. Dit wil zeggen dat i= " O, waarbij - de afgeleide loodrecht op de symmetrielijn symboli- dn dn seert. In 2 is aangegeven (zie (2.16)) dat randcondities van het type

dn toe te voegen de lijnintegraal: f(x,y) ds.

In dit geval geldt f(x,y) = O op een symmetrielijn zodat aan I3 (2.18)

geen term behoeft te worden toegevoegd, wanneer van een symmetrische door-

snede slechts een geschikt gekozen gedeelte wordt beschouwd. Voor de rand-

punten, die dan op een symmetrie-as liggen, moet uiteraard

stelling met de situatie bij een materiële rand - CP vrij gelaten worden.

- = d' f(x,y) in rekening kunnen worden gebracht door aan de functionaal

-I R

- in tegen-

In het voorgaande is de werkwijze bij de elementenmethode toegelicht met als basis de functionaal 13($). We kunnen op volkomen analoge wijze te

werk gaan met als basis I1(Q0) of 12($).

Wanneer wij analoog met (4.2) de kolomvectoren 4 en +k definiëren

en voor 4 respectievelijk '4' een lineaire verandering in elk element veronderstellen, kunnen wij de met (4.7) overeenkomende uitdrukkingen be- palen:

k O

O

I

- 22 -

(4.15)

(4.16)

De in (4.15) en (4.16) voorkomende matrix Hk is identiek met (4.8). Wan-

neer de waarden van @o

randpunten worden samengevoegd tot de vector @O dan geldt: in alle knooppunten van het gebied, inclusief de

Y - t

I1 = 6 CJo H1 (Po - a f O 0

1 I

R

De term CJ O 0 f is afkomstig van t(xny-ynx)ds

(4.17)

(zie (2 .16)) .

i'

fig. 4.2 Gedeelte van de rand.

t

De bijdrage in

rand (zie fig. 4.2) is: @o fo van de integratie over het gedeelte AB van de

1 2 1 2 1 - - - - xixj - 6 yi + 7 yj - - 6 'i'j] 1 2 1 2 1 6 xi + 7 xj !

Met behulp van (4.18) is fo te berekenen.

Wanneer de waarden van ic,

tor Y vormen en wanneer de waarden van ic, in de randpunten de vector

Yo vormen, dan is voor ï2 te schrijven:

in alle knooppunten binnen het gebied de vec-

- 23 -

p 2 0

H2 o

Ho0 111 In (4.19) kan y gevarieerd worden met als resultaat:

(4.19)

(4.20)

volgen uit de randconditie (2.4). Het stelsel yo De componenten van

vergelijkingen (4.20) kan worden opgelost en resulteert in:

(4.21)

o f Ji wordt opgelost kunnen de schuif- $0 Ook wanneer het probleem in

spanningen en torsiestijfheid worden bepaald op eenvoudige wijze.

Wanneer er sprake is van symmetrie kan daar, ook bij de laatste twee me-

thoden, voordelig gebruik van gemaakt worden.

- 24 -

5. Enige voorbeelden.

5.1. Rechthoekige dwarsdoorsnede.

(zie fig. 5.1) een aantal karakteris- b In 4 zijn als functie van - 13 a tieke grootheden voor de Saint-Venant torsie van balken met een recht-

hoekige doorsnede vermeld.

't

fig. 5.1. Rechthoekige dwarsdoorsnede.

Net behulp van de in hoofdstuk 4 geschetste werkwijze gebaseerd op de

bepaling van 4 , zijn dezelfde grootheden berekend. Op grond van sym-

metrie-overwegingen is het voldoende louter het in fig. 5.1 gearceerde

gedeelte in elementen te verdelen. Het patroon van de verdeling in ele- menten is weergegeven in fig. 5.2. Als randvoorwaarde geldt:

9 = O voor

f

x = a

.Y = b

(5.1)

- 25 -

fig. 5.2 Patroon van de elementen verdeling.

De belangrijkste gegevens worden afgeleid uit de factoren k en k l ,

die overeenkomstig [ 4 ] gedefinieerd worden door:

M = k GB a4

‘I = k, GB a max 1

(5.2)

( 5 . 3 )

In tabel 5.1 zijn voor een aantal waarden van b/a k en kl weerge-

geven, zoals zij volgen uit een berekening met 450 elementen. De waar-

den uit [4] zijn in deze tabel eveneens vermeld. Opgemerkt dient te worden dat voor de bepaling van

kening verkregen resultaten dient plaats te vinden. kl extrapolatie van de uit de bere-

tabel 5.1 Rechthoekige dwarsdoorsnede.

- 26 -

Geconstateerd kan worden dat de op grond van de elementenmethode bere-

kende waarden van

taat was reeds voorspeld. De onderschatting van de torsiestijfheid va-

rieert van 0,4% bij b/a = l tot l % bij b/a = 10. De onnauwkeurig-

heid in de maximale schuifspanning is minder dan

Door meer elementen te kiezen kan de realiteit dichter benaderd worden. Wanneer voor b/a = 5

dan wordt gevonden: k = 23,230 en kl = 1,996. Voor b/a = 10 geldt

bij 900 elementen: k = 49,770 en k I = 1,997; bij 1800 elementen:

k = 49,870 en kl = 1,999.

k kleiner zijn dan de werkelijke waarden. Dit resul-

0,5%.

bijvoorbeeld van 900 elementen wordt uitgegaan

Voor een dwarsdoorsnede als in fig. 5.3 is weergegeven is

gearceerde gedeelte - seerd op de bepaling van

- voor het de elementenmethode toegepast, eveneens geba-

+. ,

fig. 5.3 Dwarsdoorsnede: cirkelsector.

Het patroon va;: de elementemerdeling is weergegeven in fig. 5.4.

fig. 5.4 Het elementenpatroon.

- 27 -

a IT/^ ~ r / 3 ~ / 2 2 ~ / 3 IT

k(el.meth.) 0,0179 0,0345 0,0816 0,143 0,295

k(uit[4]) O,Oi8i 0,0349 U,U825 0,148 0,296

kl(el.meth.) 0,38 0,45 0,56 Û , 6 3 0,73

k,(uit[4]) ...... I 0 ,452 I ‘0 ,622 I 0,7i9

k2(uit [4] ) ...... 0,490 ...... 0,652 0,849

1 ~ - - ~

...... --------- k2(el.meth.) 0,41 0,49 0,60 0,68 0,86

Overeenkomstig [4] def inieren wij :

3 ~ / 2 5 ~ / 3 2 ~ r

0 ,565 0,660 0,852

0,572 0 ,672 0,878

0,8C V,82 0,84

I I I I ................. ............... ...............

M = k G a 4

(kl GBa = i k2 GBa

T max

(5.4)

op de kromme rand

(5.5) op de rechte rand

Met name voor grote waarden van a (bijv. a > IT) is de maximale span-

ning op de rechte rand, ten gevolge van noodzakelijke extrapolaties,

met het gekozen elementenpatroon onnauwkeurig te bepalen.

In tabel 5.2 zijn de resultaten die met behulp van

rekend zijn vergeleken met die uit [4]. Geconstateerd kan worden dat er

een bevredigende overeenkomst bestaat.

450 elementen be-

In hoofdstuk 3 is nagegaan hoe diverse benaderingsmethoden toegepast

konden worden indien de dwarsdoorsnede van een getordeerde balk de

vorm had van een regelmatige n-hoek (zie fig, 3 .1 ) .

Ook de elementenmethode blijkt een geschikt hulpmiddel te zijn.

Wanneer optimaal gebruik wordt gemaakt van de aanwezige symmetrie kan

het elementenpatroon een vorm hebben zoals fig. 5.5 aangeeft.

- 28 -

fig. 5.5 Het elementenpatroon.

Aan het einde van hoofdstuk 2 is aangetoond dat de werkelijke torsie- stijfheid ingesloten kan worden door zowel een berekening uit te voeren

ter bepaling van

worden aan de hand van een regelmatige zeshoek. Onder de nu volgende

letters a en b worden de onder- respectievelijk bovengrens voor

k2

als ter bepaling van @. Dit zal gedemonstreerd $0

(zie (3.6)) gegeven. Het aantal elementen bedroeg 324.

a. De ondergrens wordt bepaald met de methode gebaseerd op 4 .

Als ïandvocrwaarde geldt:

Tr , O < y < a t a n - n - - $ = O voor x = a (5 69

Als resultaat werd verkregen:

k = 1,878. 2

b. De bovengrens wordt bepaald met de methode gebaseerd op $o.

Bij een keuze van het coördinatenstelsel als gegeven in fig. 5.5, waarbij de oorsprong ligt in het snijpunt der symmetrie-assen, kan worden nagegaan dat als randvoorwaarde voor moet gelden:

(Y = 0 (5.79

Als resultaat werd verkregen:

k2 = 1,842

- 29 -

Voor de werkelijke torsiestijfheid, weergegeven met k2, kan dus ge- concludeerd worden:

1,838 - < k2 2 1,842

Voor een aantal waarden van n zijn met behulp van de elementenmethode

de karakteristieke grootheden bepaald. We definiëren de volgende dimen-

sieloze getallen:

--

(5.8)

* waarbij fm en T respectievelijk een maat zijn voor de flexibi- liteit en de maximale schuifspanning. In grafiek 5.1 en grafiek 5.2

zijn de resultaten voor f* en T weergegeven en tevens - ter vergelijking - geschreven cirkel, waarbij geldt:

max

?k

maX de overeenkomstige waarden voor de ingeschreven en om-

Straal ingeschreven cirkel, i.c. a

a Straal omgeschreven cirkel, O.C. Tr cos - n

X

"t .,

I l o ; 0.9 -

x

O. 6

0.s

0.4..

0.3 - 0.2

o.r -

X

'.

.'

x r e s u l t a a t met de elenìentenmethode

b i j regelmatige n-hoek

- 30 - r : C

o. c X

16 20 25 30 3 4 5 6 8 40 12

a * g r a f i e & 5.1 V e r g e l i j k i n g van d e f l e x i b i l i t e i t .

x

X L: C

dC

x X

c

X

x r e s u l t a a t met de elementermethode 1 - . c i - ~ regelmatige n-hoek.

- 31 -

6. Meervoudig samenhangende dwarsdoorsneden.

Wanneer de dwarsdoorsnede niet enkelvoudig samenhangend is, zie fig. 6.1, kunnen de formuleringen van het torsievraagstuk, gegeven in (2.1) t/m (2.6) niet gehanteerd worden.

fig. 6.1 Meervoudig samenhangende dwarsdoorsnede.

Onder de letters a, b en c zullen de wijzigingen, die ontstaan in

de formuleringen met respectievelijk 4 $ en 4 als bepalende on-

bekenden, worden behandeld, wanneer de dwarsdoorsnede slechts één holte

bevat, zoals in fig. 6.1.

De uitbreiding van de nu volgende theorie voor doorsneden met meer dan

een holte brengt geen enkel extra probleem met zich mee.

0,

a. A$o = O in F

- = op RU en R. dn (grad $o, = ynx-xn Y 1 d + O

De formulering in $o ondergaat geen enkele wijziging.

b. as, = o in F

* = J(x2+y2) OP Ru

$I = J(x2+y2) + c1 OP R;

- 32 -

C.

Hierin is C1

den uit de eis dat:

een nog onbekende constante, die bepaald kan wor-

i g d c = O

@ = C2 op Ri (6.9)

Hierin is

vlak van de holte aanduiden met

eis :

C2 een onbekende constante, die, wanneer we het opper-

Ai, bepaald kan worden uit de

i g d s = -ZAi (6 . IO)

Nagegaan zal worden hoe de werkwijze met behulp van de elementenmethode

dient te worden aangepast, voor de formuleringen b en c.

b. Met de elementenniethode kcrn Uei;a.ald worden +(x,y) bij expliciet

gegeven randvoorwaarden. Bepaald worden:

De werkelijke oplossing moet dan een lineaire combinatie zijn van

i , ( x , y ) en i2(x9y):

( 6 . 1 1 )

- 33 -

Hierbij kunnen p en q opgelost worden uit het volgende stelsel:

p + q = 1

c. De werkwijze bij deze formulering ka op analoge m

(6.12)

(6.13)

ier worden aange-

geven als bij formulering b, eveneens gebaseerd op superpositie.

Nadat de werkelijke functies iI, en 4 bekend zijn geworden, volgt de

berekening van schuifspanningen en torsiestijfheid. Bewezen kan worden

dat de torsiestijfheid voor formulering b en c bepaald moet worden

respectievelijk met:

2 /I 4dxdy + 24 Ai 1 Ri -1 I F

(6.14)

(6.15)

Het bezwaar van de aangegeven werkwijze is voornamelijk, dat de kring-

integralen over de Slnnencontour slechts met een beperkte nauwkeurigheid

bepaald kunnen worden. De met deze methodiek berekende resultaten voor

een doorsnede begrensd door twee concentrische cirkels bleken desondanks

toch goed met de exacte waarden overeen te stemmen.

Een andere mogelijkheid om niet enkelvoudig samenhangende doorsneden op

torsie te berekenen, kan worden gevonden door uit te gaan van een enkel-

voudig samenhangende doorsnede met een variabele glijdingsmodulus.

Wanneer we een theorie kunnen vinden die dit fenomeen beschrijft, kan

een holte gesimuleerd worden door daar ter plaatse de glijdingsmodulus

enige orden kleiner te veronderstellen dan voor de rest van de doorsnede.

Onder de letters a, b en c zullen we de veranderingen in de formules beschrijven voor respectievelijk de formulering met 4 Q en 9 .

O’

Hierbij is vooral van belang de uitdrukking van de functionalen I1’ I2 en I3 omdat deze de grondslag vormen voor de werkwijze met de elementen-

!

- 3 4 -

methode.

a. De uitdrukkingen voor de spanningen houden we identiek met (2.7) en (2.8):

(6.16)

(6.17)

Door deze formules als uitgangspunt te kiezen is automatisch aan de

compabiliteitseisen voldaan. De differentiaalvergelijking en de randconditie, die het probleem

volkomen beschrijven volgen uit het evenwicht:

in F (6.18)

(6.19)

We definiëren de functionaal Ii ( o o ) : I

Il($o) = // G 1, [[?I2 + [2j2] - x dxdy (6.20)

I L A I \ J

Wanneer voor alle variaties van $o voldaan is aan 611 = O hebben we de exacte oplossing gevonden. De torsiestijfheid kan dan bepaald

worden uit:

(6.21)

b. De uitdrukkingen voor de spanningen kiezen we zodanig dat aan het everTT: L f i i L L i L L L nh+ l.4- " L L L ; Z S ; Z de ContoUr Is voldaan:

- 35 -

(6.22)

(6.23)

G*

G.

De differentiaalvergelijking, die het probleem beschrijft, wordt ver-

kregen uit compabiliteitsvoorwaarden:

is een willekeurig te kiezen constante met dezelfde dimensie als

De bijbehorende randvoorwaarde volgt uit het evenwicht langs de rand:

(6.25) * G$ = 4 G (x2+y2) op R

- ~ ____ - . - - -

We definiëren de functionaal 12($):

Wanneer voor alle toelaatbare variaties van $, met in achtneming

van (6.25) voldaan is aan 61, = O is de exacte oplossing gevonden.

Voor de torsiestijfheid

M = 26 // G+ dxdy F

L

geldt: . . .~

- G*B Ip

- -_

(6.27)

Opgemerkt dient nog te worden dat een differentieerbaar verloop van

G voor deze werkwijze noodzakelijk is.

c. In afwijking van (2.13) en (2.14) wordt een andere spanningsfunctie 4 geintroduceerd:

- 36 -

De opzet verloopt analoog met die beschreven onder

Differentiaalvergelijking:

b.

Randvoorwaarde:

4 = 0 op R

We definiëren de functionaal 13(+):

(6.30)

(6.31)

(6.32)

Wanneer voor alle toelaatbare variaties van 4 met op de rand 4 = 0

geldt- d a t SI3 = O hebben we de exacte oplossing gevonden. De torsie- 1

stijfheid wordt bepaald met:

M = 2 8 11 (9 dxdy F

(6.33)

Zowel formulering a a l s c lenen zich uitstekend voor toepassing

bij niet-enkelvoudig samenhangende doorsneden omdat een discontinui-

teit in G geen enkel probleem met zich meebrengt.

Tenslotte geven we de resultaten voor een doorsnede als fig. 6.2

aangeeft, een koker met geringe wanddikte.

- 37 -

I /

maten in m,

fig. 6.2 Voorbeeld van een dwarsdoorsnede.

Op grond van symmetrieoverwegingen behoefde van deze doorsnede slechts

het gearceerde gedeelte beschouwd te worden. Het gekozen elementenpatroon i s gegeven in fig. 6.3

elementen bedroeg 700.

Het totaal aantal

X

fig. 6.3 Het elementenpatroon.

als bepalende grootheid, die $0 Gekozen is voor de werkwijze met

in een fysisch model een maat is voor de welving. Grafiek 6.1 geeft deze welving voor een aantal rechten over de wand, zoals fig. 6.4 aangeeft.

- 38 -

t' I

/( 0 1 2 3 4 5 6

fig. 6 . 4 Rechten over de wand.

6 \ \ \ \ \ I ---

-750 - 700 - 50 O 50

Grafiek 6.1 Welving over de wanddikte.

De schuifspanningsverdeling over een snede over de wand, niet in de

buurt van de hoek, i s weergegeven in grafiek 6.2.

- 50 - 45 I z'xz -55

* G4

Grafiek 6.2 De schuifspanningsverdeling.

- 39 -

Met de analytische theorie, gebaseerd op een constante schuifspan-

ningsverdeling over de wanddikte wordt voor de stijfheid gevonden:

6 4,175. I O M GB - =

Met de elementenmethode wordt gevonden:

Km41 6 4,284. I O M GB - =

Zonder verdere berekening is geen uitspraak mogelijk over de nauw-

keurigheid van het gevonden resultaat. Wel kan geconcludeerd worden

dat voor de exacte stijfheid moet gelden:

M 6 - < 4,284.10 GB -

- 40 -

7. Slotopmerkingen.

Getracht is aan te geven dat de werkwijze met de elementenmethode voor een bepaald type problemen bijzonder geschikt is.

Gekozen is het voorbeeld van de torsie theorie van de Saint-Venant, maar problemen van dezelfde orde zijn bijvoorbeeld het berekenen van tempera-

tuursverdelingen of het bepalen van de snelheidsverdeling in stromende

media. Niet alle aspecten konden worden aangeroerd. De nauwkeurigheid van de re-

sultaten in afhankelijkheid van de elementenverdeling en het aantal ele-

menten is nauwelijks besproken. Het is interessant na t e gaan of hier

kwalitatieve uitspraken over gedaan kunnen worden.

In het voorgaande is slechts genoemd een element met daarbinnen een

lineair verloop van de bep

elementen met bijvoorbeeld

heid in zich opgesloten, geen enkele complicatie behoeven op te leveren.

Bij een gelijk aantal elementen zal het laatst genoemde element vergele-

ootheid. Vermeld dient te worden dat

- - _ . _ - -

ken met het door ons toegepaste element aanzienlijk betere resultaten

geven.