De Cuantas Maneras

RUBEN 8rJRTMAN DANiEl AVENBURG bortman.ruben@gmaiLcom avenburg.daniel@gmaiLcom

~OE CUANTAS MANERAS?

(0)

UN ABrJROAJE AL I\HLUIlHI'1i YANALISIS DE CDMPlEJIDAD

AGRADECIMIENTOS

A los orofesores de Teorfa de la Decision FeE-UBA

Yen

A los orofesores Federico Marco y Ariel

Alas docentes

Daniela Marcelo

Romina Tomelleri y Nicolas Vainstein.

i

INDrCE

PROLOGO

ANTES QUE NADA.ee

"eLA REALlDAD

PRESENTACION Y OBJETIVOS

PUNTO DE PARTIDA

AMPLIANDO EL HORIZONTE

INTRODUCCION ALANALlSIS DE COMPLEJIDAD

11- LA VARI EDAD MAXIMA

III - LA VARIEDAD RESTRINGIDA

IV LA VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES

V - LA VARIEDAD BINARIA

VI - INCERTIDUMBRE Y ENTROPIA

VII RELACION ENTRE VARIEDAD Y ENTROPIA

VIII - RELACION ENTRE VARIEDAD BINARIA Y ENTROPIA

IX - RELACION ENTRE VARIEDAD, VARIEDAD BINARIA Y ENTROPIA

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11

x -APLICACIONES AL DESA RROLLO DEL RAZONAMIE.NTO COMBINATORIO Y LA ABSTRACCION 145

Aplicaciones a la determinaci6n de elementos de la decision - Aplicaciones al calculo de probabilidades - Aplicaciones al calculo del numero escenanos - Aplicaciones al calculo del numero de alternativas

Aplicaciones a la superaci6n de sesgos cognltivos Apllcaciones en la complejidad de casos reales

145 162 168 174 '187

XI- RAZONAMIENTO COMBINATORIO EN EL PROCESO EDUCATIVO 195

XII RELACION CON LA HEURISTICA DE LOS SESGOS COC~NITIVOS 203

XIII - GQUE ES LA TEORIA DE LA DECISION? 221

APENDICE 227

CITAS BIBLIOGRAFICAS 245

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 247

PROLOGO

La obra que se presenta recoge la larga experiencia de destacados academicos de la disciplina de la decision: Ruben Bartman y Daniel Avenburg.

Es fundamental al encarar cualquier decision, analizar el tipo de mundo universo a los que se refiere la decision en cuestion, para determinar los dislintos metod os aplicables y que sean adeeuados para sus propias caracteristicas.

Debemos estructurar ese mundo, con metodologias comunes y sistematizadas. La idea es modelizar y simplificar para comprender mejor. Este ejercicio nos facilitara la comprension del mundo que rodea las distintas situaciones de decision. En ese ejercicio, uno de los primeros elementos a considerar es la complejidad de ese universo. Universo que tendril asociada una incertidumbre relativa, que dara el senti do a la problematica del decidir.

EI analisis de la complejidad es fundamental en el proceso decisorio para determinar los escenarios posibles que puede tomar el universo bajo decision, reconocer sus posibles comportamientos, y asi identificar variables, alternativas, etc. Asi se validaran la metodologia y las herramientas.

Los autores lograron a traves de esta obra reunir todos los elementos It') necesarios para que ellector pueda comprender el verdadero significado I de esa complejidad, su medicion y 10 que es mas impoliante su aplicacion

en ejemplos variados, paradigmaticos, completos, y claramente explicitados.

Uno de los valores mas importante de este trabajo es la claridad con la que se desarrollan los distintos temas. Temas que no son de simple abordaje y que seguramente merecieron un trabajo adicional para poder lograr esa sencillez en la exposicion. Y que permitiran el faeil manejo por los lectores, en sus distintos capitulos adem as del apendice incorporado, que sera de mayor utilidad para los que no sean alumnos universitarios.

12

De este texto se desprende un conocimiento y trabajo profunda, as! como una reflexion constante y marcada en cada item desarrollado, dignos de profesionales serios y responsables como 10 son los autores.

Nadie discute ya, que la forma de adquirir conocimiento no queda limitada a la raz6n sino que la experiencia de los individuos desencadena procesos internos a traves de la percepcion, las impresiones, las sensaciones, !a intuicion, etcetera, que afectan la valoracion de alternativas y la eleccion de cursos de accion, ademas a los propios mecanismos neuron ales personales de cad a serhumano.

Esto ultimo tam bien es tratado par los autores al considerar los distintos sesgos cognitivos, extendiendo eJ modelo "racional de decision" a la situaci6n emocional del decisor.

Siento la necesidad de agradecer a los autores el haberme permitido prologar esta obra, ademas de destacar el profunda carino que me une a elias: can Ruben Bartman desde sus inicios como Profesor en la materia de Teorfa de la Decision de nuestra entranable Facultad de Ciencias Economicas, y con DanielAvenburg, quien fuera primero alumna, luego un destacado profesor, para ser ahara un querido colega.

No puedo flnalizar sin mencionar a nuestro mentor, "el maestro" de Teoria de la Decision, Pedro Pavesi, quien se enorgulleceria par este excelente trabajo.

Ora. Patricia Bonatti Directora del Departamento deAdministracion FeE-UBA Profesora titular (i) de Teoria de la Decisi6n

ANTES QUE NADA ""'

Suponga usted que se encuentra en una reuni6n junto a otras 39 personas a las que no conoce en absoluto nl se conocen entre si De pronto, una de elias lanza un reto curiosa:

-Apuesto $100 a quien quiera que aquf hay por /0 menos dos personas que cumplen alios el mismo dfa-

Frente al desafio, es posible que usted adopte una de las siguientes conductas:

a) Ignora el asunto por completo pues no Ie interesa en sentido alguno.

b) Siente alguna inclinacion por los juegos de azar y por 10 tanto el asunto Ie provoca intens. Ademas su percepcion Ie indica que sus chances de hacerse de $100 son bastantes buenas si apuesta a que no habra tal coincidencia.

c) Desde una mentalidad mas orientada a los negocios, y por 10 tanto acostumbrada a tomar 0 no riesgos, piensa que tal vez no sea mala idea participar. Se pregunta si, como tal, "el negocio" es equitativo en el sentido de que el pago resulta proporcionado can los riesgos que corren las partes intervinientes.

Usted se considera una persona racional. Eso no significa que crea que los demas no 10 son, sino que se ve a sl mismo como

14 15 SllllF!I;~lII!I"

ien que, en particular, siempre trata de analizar los problemas en la forma mas objetiva posible, cuando las circunstancias 10 permiten. (Ademas usted es tan objetivo objetivamente, se da cuenta que muchas veces --incluso para usted- no hay forma de escapar a las apreciaciones subjetivas) Por 10 tanto trata

analizar el desafio friamente para evaluar si objetivamente Ie conviene 0 no aceptarlo~

A usted no Ie interesa para nada la apuesta como tal, pero, como amante de acertijos y los desafios mentales, se siente atraido por el problema en si y sabe que seguramente existen procedimientos permitirian calcular la probabilidad de que la conjetura lanzada se verifique~

aun, tlene alguna idea de cuales son esas herramientas, pues alguna vez las ha visto pero no segura 0 no recuerda como se aplicaban. 0 recuerda que su aplicacion Ie resultaba complicada.

f) Usted esta estudiando un tema, 0 una materia que tiene algunos de vinculacion con estas cuestiones y necesita alguna forma de

abordarlas que Ie facilite un acceso mas intuitivo a su

Tambien puede ocurrir que usted se total 0 parcialmente con mas de una de las descripciones b) a e)

Excepto para quienes se posicionen en a), en el resto de los casas es posible que Ie interese leer este trabajo~

mayoria de las personas se asombran al enterarse que la probabilidad de que al menos haya dos de las 40 personas que

anos el mismo dia es de casi i el 90% !. De hecho, es posible que en realidad dentro del grupo haya 3 0 4 pares de personas que muestren esa aparentemente rara coincidencia.

L6gieamente, en su momenta justiflearemos estas afirmaciones. Y comprobaremos que la cuesti6n no es una azarosa

"coincidencia" y menos aun

EI "jueguito" no era nada equitativo (par favar ahara no abusar los amigos) y quien lanz6 el desafio tenia cas! el 90% de alzarse can los $100, con un riesgo nada propolcionado (10(1'0) de perder

La realidad muchas veces nos presenta situaeiones como la ejemplificada, en la que nuestra apreciacion 5e ve afectada no solo visiones personales subjetivas que difieren del hecho objetivo (simplemente parque no 10 vemos), sino tambien porque estas se encuentran potenciadas por la falta 0 desconocimiento de instrumentos

faciliten la lectura e interpretacion.

este caso, ademas de los sesgos psicologicos que afectan a un porcentaje significativ~ de las personas en la lectura de probabilidades (sesgos a los que aludiremos durante el desarrollo), esta subyacente una dificultad basica en el lIamado razonamiento combinatorio que sirve de soporte para la medici6n de la aleatoriedad 0 calculo de probabilidades.

el ejemplo aludido, esa dificultad Ileva a estimar subjetivamente como muy baja una probabilidad que objetivamente es muy

de conacer el dato real no nos garantiza el resultado Sl apostamos, pero nos ayuda mucha a tamar la decisi6n apostar 0 no. De cualquier modo, y a la larga, quien apueste par la coincidencia ganara en 9 de cada 10 veces aue juegue.

Desde luego que la realidad es muy compleja y aun porciones muy pequenas de la realidad, como el problema comentado, se nos presenta con formatos que intrincan las pocas variables intervinientes en una trama que presenta disfraces 0 compliea su anal isis.

A veces pienso que la prueba mas fehaciente de que existe vida inteligente en el universe es 16 __ !1!!~ni!cJie 12a intentacJg(:;()ntactaCr;Q~7i7osoJ.cr:J'LEiIIJ1/atterson (1958=2LAutor de comics.

Una nueva cuenta de e-mail nos requiere componer una clave de acceso con un minima de 5 y un maximo de 8 digitos alfanumericos. Tenemos 5 camisas, 3 pantalones y 3 pares de zapatos. Un restaurante nos ofrece elegir 1 de 10 entradas, 1 de 20 platos principales y 1 de 5 postres. Debemos cumplimentar 10 tareas de un proceso productiv~ y disponemos de 4 operarios para ejecutarlas'GDe cuantas maneras distintas podemos componer la clave, elegir c6mo vestirnos, armar nuestro menu 0 asignar los operarios?

Cuando asi sucede, es una picardia no echar mana a herramientas que existen, no son tan dif.lciles y podrian auxiliarnos.

Este trabajo tiene por objeto examinar algunas de esas herramientas y presentarlas de un modo simple, didactico, desacartonado e intuitiv~, de tal manera que ademas cumplan la finalidad superior de servir en el entrenamiento del razonamiento combinatorio, del anal isis de la complejidad de ciertos fracciones de realidad y de la capacidad de abstracci6n.

Para adentrarnos en el tema, comencemos por reflexionar sobre la realidad.

... LA REALI DAD

Raramente nos ponemos a filosofar -al menos interna y cotidianamente- sobre 10 complicado que es el mundo. Mas comun es encontrarnos cavilando sobre 10 dificil de una situaci6n, las complejidades y variantes que nos presenta un problema 0 sobre la forma de destrabar un acertijo que no nos deja dormir.

Son estos, de todas formas, universos parciales y acotados de la realidad en general que nos circunda como contexto. A decir verdad, nosotros tambien integramos la realidad y en ocasiones nos

\ ~, Nada perece en elUniverso; todo cuanto acontece en 81 no pasa de meras transformaciones

Pitago.~~_~_Cl.rr~o~@_'~_6~:~~~Z.f\_g Fi16sofQ.._Lrr1.atem au~ClJl!~_____________________!Z

resolvemos a operar sobre ella de tal forma que los acontecimientos adopten un estado de cosas cercanos a nuestros objetivos. Esto es 10 que hacemos durante la vida para alcanzar fines mas inmediatos que, a su vez son medios para otros ulteriores, y estos a su vez para otros siguientes cada vez mas pr6ximos a los valores finales que nos animan.

De todos modos, accedemos a la realidad a traves de l1uestros sentidos y as! la percibimos como "todo 10 que esta afuera de nosotros", es decir como contexto que debemos entender para aprehenderlo y poder operar sobre el.

Esa necesidad de entender y operar sobre la realidad nos Ileva a comenzar este trabajo con algunas ideas vinculadas con la forma de metodizar su analisis y as! simplificar los procedimientos que permiten abordar su complejidad.

'/

La lectura de la realidad -en el sentido de su interpretaci6n- es compleja por diversas razones. Simplificando mucho, aludiremos aqu! a dos de elias por considerarlas impoliantes y porque se vinculan con el desarrollo de este trabajo .

A) La realidad objetiva En primer lugar, la realidad, encerrando en este concepto el todo - el mundo, las situaciones, las cosas, 10 material y 10 inmaterial, la ideas-, es compleja porque desde una perspectiva sistemica resulta de la interacci6n de multiples - Ginfinitas? - variables que evolucionan, se relacionan entre si 0 dejan de hacerlo, y asi presentan comportamientos en el decurso del tiempo. EI conjunto de todos los comportamientos de todas las variables intervinientes en un momenta determinado configura la realidad de ese momenta en particular.

18 19 Hay dos cosas infinitas el Urilverso V la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro.

Independientemente de la discusion filosofica acerca de si el es objetivamente aleatorio e incierto 0 es deterministico Y su incertidumbre puramente subjetiva (Dios no juega a los dados, Einstein para abonar esta liltima concepcion segun la cual universo no es aleatorio y solo debido a los limites de nuestra racionalidad es que no podemos ver su determinismo), 10 cierto es que a nosotros, seres humanos de carne y hueso, en el actual estadio de evolucion de la especie y mas alia de como el universo sea, la realidad y el devenir se nos presentan como inciertos y con esa limitacion debemos vivir y actuar. Si el Universo no es incierto, a todos los efectos y para nosotros, es como si 10 fuese.

(1)

No obstante que la realidad a veces nos parezca caotica, 10 cierto es -al menos por ahora- no 10 es totalmente porque a pesar del

inconmensurable numero de variables e interacciones posibles entre elias, existen reg las, patrones, rigidez en algunas estructuras, leyes

Ie aportan un cierto grado de

Y COil toda Sll hermosura es Ull caos para el hombre sill fe.

Esa porcion de orden tlene dos efectos concretos:

cornprobar que todavia no Ilegamos al caos total, situaci6n en la que "

el toda la energia necesaria para sostener el orden se el orden no existe, no hay normas ni restricciones, todas las variables y sus/ comportamientos posibles adquieren IIbertad total y nada puede diferenciarse nada: la oscuridad total y finaL No asustarse, somos optimistas, creemos que todavra falta un poco para eso.

') 1 la existencia de algun grado de orden permite tambien grado

de predictibilidad en cuanto al comportamiento de la 10 cual alguna reducci6n en el arado de aleatoriedad y en la

incertidumbre sobre el devenir.

No obstante, esa debe ser entendida con un poco mas

precision.

Para ello, siguiendo las denominaciones Pavesi*

podemos describir la realidad en tres dociles, los

esquivos y los mundos rebeldes.

1) Algunos mundos son d6ciles, algo ordenados, relativamente

obedientes y estables. Son mundos mas cerrados en el sentido que sus

comportamientos son poco variados y puede conocerse de antemano

cuantos son.

maquina produce una pieza determinada a razon de 50 unidades por h~ra. Pueden ser 52 0 49 pero el rango de comportamiento es sumamente acotado.

lecturas sobre al gunos practicos decidir"

20 21

Estos mundos d6ciles son en general los mundos operativos. Sus rangos de libertad son reducidos,

Sus variables tienden a ser facilmente cuantificables, su comportamiento es matematizable porque exhiben cualidades simllares a las caracterfsticas de distintas algebras. Y por ello es un error no valernos de tal herramienta siendo ello posible.

Estos mundos son esencialmente "objetivos". Dan escaso lugar a una brecha de percepcion, se prestan a la experimentaci6n y a la aplicacion del metodo cientffico. particularmente en estos mundos que aplicables los procedimientos del razonamiento combinatorio.

2) Los mundos esquivos, intermedios entre los d6ciles y los rebeldes, son los mundos mas comunes en los niveles tacticos. Su caracterfstica basica es que no son tan matematizables, esquivan los numeros y son mas verbales. Ya no son tan cerrados como los d6ciles, son semiabiertos. Son mundos con una alta proporci6n de subjetividad, mezclan variables cuantificables con variables que no 10 son.

estos mundos verbales existen aun bastantes estructuras capturables por el lenguaje y aparecen zonas parcialmente matematizables que deben aprovecharse debidamente.

3) Los mundos rebeldes son los mundos estrategicos. Son totalmente inciertos porque dependen fundamentalmente del comportamiento de otros (competidores, contrincantes, contrarios, adversarios, enemigos), Son dificilmente predecibles porque les podemos atribuir gran cantidad de comportamientos posibles. Son mundos ablertos en los que siempre pueden aparecer elementos nuevos e insospechados. La incertidumbre es alta, la duda es fuerte.

Para hacer una tarta de manzana primero lienes que crear un universQ,

Si se logra reducir la incertidumbre conviniendo 0 imponiendo restricciones y Ifmites, nunca estaremos seguros que los mismos se mantendn.'ln. Pero, quizas, aparece algun aspecto d6dl que nos pennite alguna forma de modelizacion.

De alii la respectivamente creciente dificultad de "leer", interpretar, describir y predecir la realidad en cada uno de estos

La realidad subjetiva En segundo lugar, mas alia de la conformacion que objetivamente tenga la realidad, resulta sabido, conocido, todos 10 experimentarnos, que hay otra realidad de naturaleza subjetiva. la realidad tal como cada uno la percibe, desde sus pautas culturales, su escala de valores, sus creencias, sus convicciones, sus conocimientos (y sus defectos de conocimientos), sus prejulcios, sus sesgos psicologicos, su vision del

y el contexte normativo-social en que se desenvuelve, y espedalmente, desde los limites de la racionalidad a los que se refiriera Simon*.

A partir de reconocer esto, no es dificil pensar --10 vemos habitualmente- que la misma realidad objetiva puede ser "Ieida" de manera distinta por diferentes personas. Es la realidad percibida. Y es la realidad sobre la cual se basan los decisores: hombres y J11ujeres subjetivos, aunque tengan "vocacion de objetividad".

Frente a dicha "vocacion de objetividad" debe tenerse presente que:

a) existen mundos dociles) que resultan mas directamente objetivables.

*Herbert Simon. EI comportamiento Administrativo(3)

22

sten mundos (los esquivos) cuya objetivaci6n se ve facilitada si se teenicas 0 modelos apropiados.

que los

objetivo de este trabajo, sus ideas y esta a las descripciones a) y b).

Sintetizando las dos razones expuestas, concluimos que la realldad es cornpleja porque objetivamente 10 es, porque por ariadidura recibe la percepcion de nuestra subjetividad y ademas se potencia frente a la

de que existe una Desde luego, yes facil de imaginar, que

en el caso de los "mundos

Lo cierto es que en esa y tal como la es que vivimos. Can ella debemos IIdiar, actuar, modificarla para alcanzar nuestros m6viles y aspiraciones como individuos.

tamar conciencia de la existencia de esa brecha, podemos pensar resultarfa adecuado, al menos en una buena medida, encontrar

que nos permitan estrecharla y asi evitar los defectos y errores en nuestras acciones originados en lecturas subjetivas de una

2J

Sin embargo, la cuestion no es tan simple, y "mundos , mas cerrados, en los que mtervlenen menos variables (y cada una de elias con menos comportamientos), can mas rigidez estructural y orden, se presentan dificultades.

Segun investigaciones del campo de la psicologia pedag6gica a las que aludiremos dUrante el desarrollo del trabajo, ha podido comprobarse la presencia de un problema bastante generalizado que obedece al deficit, 0 la falta, 0 a fallas en la didactica de su

las tecnicas y procedimientos inductivas del en las etapas del proceso educativo de las

y las causas slgnlTlcativas de algunas de las de una realidad 0, como diremos a o escenario determinado.

Este defecto se manifiesta en la imposibilidad practica de poder recontar correctamente el nurnero de cornportamientos que un sistema, aun relativamente poco complejo, puede presentar y consecuentemente se trasunta en inconvenientes para procesar cualquier construcci6n que requiera de dichds datos eficient2mente deterrninados.

en la toma de decisiones puede afectar el recuento de las los escenarios factibles y sus respectivas

los resultados que para cad a presentar.

r otra parte, y debido al el razonamiento combinatorio juega en el calculo de rlofOf"tl"\ da

24 25 Las matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

origen a una parte de los sesgos psicologicos-cognitivos que afectan a un porcentaje muy significativo de personas, segun los resultados de las investigaciones hoy universal mente aceptadas de Daniel Kahneman y Amos Tversky*.

En el presente trabajo se ha buscado resenar, a partir de largas experiencias propias realizadas en el ambito docente, algunos mecanismos que faciliten el acceso a los procedimientos necesarios para mejorar la captacion de la complejidad de un sistema desde un abordaje intuitivamente perceptible, con simplicidad de lenguaje y economia de "jerga" tecnica, asi como ejemplos claros, desarrollados y entretenidos.

Muchos de esos ejemplos se basan en "cosas" -ahara diremos sistemas- comunes y aparentemente triviales. Algunos se apoyan en casos conocidos para las amantes de las acertijos y los desafios de la mente.

Presentamos este trabajo can dos aspiraciones.

de elias es que pueda resultar de utilidad a los estudiantes que cursan materias en las cuales el analisis de complejidad, el calculo combinatorio y de probabilidades, as! como el enfoque de variedad forma parte de los programas. A elias sugerimos una lectura integral como paso previa a su profundizacion con los text os especificos y mas rigurosamente matematicos sabre el tema.

*Incidentalmente, dedicaremos a Daniel Kahneman - Premio Nobel Economfa 2002-, Amos Tversky, Paul Siovic, Richard Thaler y sus continuadores un capitulo de este libro, en virtud de la influencia que sus investigaciones descriptivas tienen en la comprension de algunos aspectos relacionados con nuestro tema.

La otra es que tambien pueda interesar a las personas que, aun sin una base matematica 0 can la que alguna vez se conocio pero no 5e recuerda, aqui puedan encontrar algunas formas entretenidas favorecer y ejercitar el razonamiento combinatorio y la capacidad de abstraccion, conociendo ademas su rol importante para interpretar la realidad. A ellos les sugerimos dirigirse directamente a los puntas de aplicacion practica (II a X). Eventualmente, si es de su gusto e interes, pueden luego complementar can la lectura de la introduccion marco teorico (I), y tambien los puntas que amplian sobre el razonamiento combinatorio en la educacion (XI) y los sesgos cognitivos (XII), mas una slntesis sobre los contenidos de la Teorfa de la Decision

Sobre el final, se agrega un pequeno Apendice can comentarios auxiliares y elementales relacionados con las formulas combinatorias, los logaritmos y el calculo de probabilidades.

PRESENTACION Y OBJETIVO PUNTO PARTIDA Si bien surge como un intento de desalmidonar y bajar a un lenguaje mas coloquial un tema que, las investigaciones 10 comprueban, se muestra esquivo para la generalidad de las personas con formacion media y aun superior, 10 cierto es que el presente trabajo es producto de nuestra experiencia docente en la materia Teoria de la Decision, dictada regularmente y desde hace anos en cursos de grado y posgrado de la Facultad de Ciencias Economicas de la Universidad de Buenos Aires, as! como en otras instituciones educativas.

Nuestra formacion espedfica no se relaciona tanto con el objeto de este trabajo sino mas can la Administracion y desde ella con la problematica de los procesos decisorios. De hecho, en nuestros

26 27

Seria muy Simpatico que eXisliera DIOS, que hubiese creado el mundo y fuese una benevolente providencia que existieran un orden moral en el univers~ y una vida futura; pero es un hecho muy sorprendente el que tad a esto sea exaciamente 10 que nosotros nos sentimos ablioados a desear

comienzos docentes debimos ahondar en el tema por la sencilla razon de que formaba -y forma- parte del programa de 18 materia a dictar.

bien a 1a hora de exponerlo ello puede considerarse una limitante, comparando con el grado de profundidad que Ie pueden irnprirnir al

quienes se hayan formado especificamente en el carnpo de las mateIT1aticas - especialmente discretas"', la estadistica y el calculo de probabilidades, resulta al rnismo tiernpo un factor que favorece la posibilidad de desarrollarlo desde una vision rnas externa, menos sujeta al rigor maternatico y desde la perspectiva de quien debe encararlo mas intuitiva que tecnicarnente.

Por otra parte, esa forma de abordaje es el proposito principal de esta iniciativa que, sin perjuicio de ello puede, y en el caso de los cursantes

vez debe, ser cornplementada con la abundante literatura en la cual el tema esta contenido desde una vision rnas rigurosamente cientffica.

l,Cual la razon que movilizo la idea de generar este trabajo?

A 10 largo de los anos en el ejercicio docente hemos percibido ciertas dificultades en una parte proporcionalmente significativa de los alumnos de cursa regular y algo rnas pronunciadas en las personas en general con formacion media 0 superior, en cuanto a la captacion y posibilidades de aplicacion de las nociones de complejidad, variedad,

cornbinatorio y rnecanismos de recuento en general.

Este deficit, como veremos rnas adelallte, no es un simple defecto de formaclon sin Illuchas implicancias concretas. La observacion de esta falencia nos lIevo no solo a mayores esfuerzos en el analisis sino a una busqueda -muchas veces por prueba y error- de mecanisrnos mas adecuados en la forma de abordar e impartir estas tecnicas.

EI secreto de mi universo es s610 imaginar a Dios sin ia inrnortalldad del hombre.

En ese proceso investigacion de metodos aptos para conceptos, los resultados fueron mejorando a partir cuatro ideas

basicas: a) reforzar las formas de captacion intuitivas, desplegar las tecnicas sobre la base de ejernplos conocidos y cotidianos, que ser redescubiertos desde esta perspectiva, de rnodo tal que el esfuerzo pueda concentrase en el fonda del asunto sin necesidad de entender previamente el rnarco de aplicacion, c) par la rnisma razon "descornplicar" el lenguaje de comunicacion y d) hacer que resulte 10 mas entretenido, ludico y motivador

Junto al mejorarniento de los resultados, a partir de esos cuatro principios y del cambio en la modalidad de transrnision, tambien se verificando el interes de otros docentes de la materia para que el tema, en particular, fuese irnpartido en sus respectivos cursos siguiendo este enfoque.

AMPLIANDO HORIZONTE Desde luego, el trabajo que nos disponemos a desarrollar es una consecuencia de tal experiencia y se basa en los cuatro lineamientos

acabamos de comentar. Algunos de los ejernplos que presentaremos, a los que se refiere b) ya fueron incluidos en anteriores publicaciones orientadas especfficarnente a los cursantes. Esos casos han side replanteados para que, junto a los restantes que integran este trabajo puedan ser abordados por los lectores en general desde una perspectiva distinta y

"amigable".

Vale la pena aclarar que el tema, en el contexto de la Teoria de la Decision, cumple un rol rnas bien instrumental y auxiliar. Es decir que no integra el conjunto de los conceptos base que conforman y dan

autonorno a esa disciplina teorica, formal, normativa, prescriptiva,

Las Maternaticas pueden ser definidas corno aquel terna en el cual ni sabernos nunca 10 que 2 8 _________c!~t:inlCl~nL~)Qqt,I~ ~~.t:iil:lg..s__ ~~ v~rdad_e~Q_~Jl_~ rtra nd R u sse II ill?2 -:J1l1Q2

metodologica y fuertemente orientada a respetar la subjetividad y ia vision del mundo de cada decidor que es la TD.

Sin embargo, que el papel de este tema en la materia no sea central sino mas bien el de una herramienta, no quiere decir que sea poco importante. Es una herramienta, si, pero cumple un rol si9nificativo.

La Justificacion de nuestra conviccion en tal sentido la exponemos en el Capitulo XIII, con una breve explicacion sobre los contenidos de la Teoria de la Decision, que puede ser de utilidad a los alumnos cursantes 0 a quienes puedan interesarse en ella.

En realidad, poco despues de comenzar a percibir la dificultad de los cursantes frente al tema, sin razon aparente, lIamativa en jovenes bien formados -incluso en las disciplinas de naturaleza matematicasposicionados en la etapa final de sus carreras de grado y sin dificultades para el tratamiento del resto de la materia -y de las materias en general-, nuestra apreciacion de la presencia de este problema se extendio hacia las personas en general. Aun a aquellas incluidas dentro de un razonablemente buen nivel de formacion secundaria, terciaria y universitaria.

Como consecuencia, al tomar conciencia de esta percepcion, iniciamos alguna recopilacion entre los autores especializados del ambito de la psicologia pedagogico-educativa con investigaciones y conclusiones que fundamentan la necesidad de un replanteo y revalorizacion de esta tematica en los programas educativos. Tales conclusiones son comentadas en el ya mencionado punto XI.

Finalmente, en razon de la argumentacion ensayada previamente presentamos este desarrollo con dos finalidades. La primera de elias es que pueda resultar de utilidad para los alumnos que cursan Teoria de

) '\ Hay dos forrnas de ver la vida. una es no creer en los rnilagros. La otra es creer aue t~dQ~~~J1agro,-Albert Einst~~n____ _ 29

la Decision u otras materias en las que el Analisis de Complejidad forma parte de sus prograrnas 0 cumple un rol complementario, facilitando su abordaje a partir de la experiencia relatada por los autores. Para quienes se encuentran en dicha situacion aparece como recomendable la lectura integral del trabajo, como paso hacia otros enfoques mas formales.

La segunda es que tambien logre interesar a quienes, sin necesidad de cursar nada ni rendir materias, encuentren en el una forma de entretenimiento ligeramente intelectual, favorecedor del entrenamiento en la abstraccion, en la modelizacion, en el razonamiento relacional y en la lectura de ciertas "complejidades" de la realidad en las que frecuentemente no se piensa 0 para las cuales no se tienen a mano herramientas de interpretacion. Entre elias, quizas resulten beneficiados algunos de los aficionados a los acertijos y los lIamados "desaffos de la mente". A quienes se encuentran en este grupo no Ie recomendamos nada. Solo que elijan los capftulos que les apetezcan, expresando nuestro deseo de que les sea util y, si pueden, se diviertan.

31 EI espirilu goblerna el UIl!Verso.

I INTRODUCCION AL ANALISIS DE COMPLEJIDAD

Debido a la diversidad en los enfoques sobre el tratamiento de la resulta necesario aclarar cual es el marco analltico que

aplicaremos en este trabajo. Nos basaremos en un enfoque sistemico poder ver nuestro objeto de interes como un sistema. Desde dicho

enfoque entenderemos al analisis de complejidad de un sistema como el recuento de los comportamientos que dicho sistema puede

grado de complejidad de un universo (0 un sistema) se determina a partir del numero de comportamientos que dicho sistema puede y depende del numero de variables que 10 integran, del numero de comportamientos que cada una de elias pueda presentar y de la estructura de su interrelaci6n. (4)

a) complejidad b) valores, nlveles () grados que puede

{ c) relaciones entre variables y sus valores

Las variables y las relaciones entre las mismas conforman la estructura de un universo 0 sistema determinado. Los valores 0 niveles 0 grados de las variables, hacen a su comportamiento. Ambos aspectos indudablemente interrelacionados, hacen a la complejidad.

Por ejemplo, podemos analizar a un semaforo como sistema. Dicho sistema tiene 3 variables (tres luces) que pueden presentar dos comportamientos 0 estados cada una de elias (encendida 0 apagada).

32 Un diccionario as un universo en orden alfabetlco.

,I

De acuerdo a ello, este sistema puede mostrar los siguientes

comportamientos: rajo - verde- amarillo- raj0 , verde raj 0 ,

amarillo, verde - rojo, amarillo y verde - nina una luz encendida.

Son, en definitiva, las 8 formas que puede presentar este sistema. embargo, en la pn3ctica, algunos de dichos comportamientos estan vedados (p,ej, rajo,verde, ambas luces juntas). Son restricciones. Debido a la presencia de restricciones (en este caso convencionales)

dan mayor rigidez a la estructura, algunos de esos comportamientos quedan descartados (restringidos),

concepto de complejidad recae sobre dos formas posibles de entender la complejidad: a) La complejidad estructural, que se refiere a los elementos del universe y a sus relaciones. La complejidad estructural es medida por un parametra al que denominamos variedad.

COMPLEJIDAD

ESTRUCTURAL

VARIABLES +

ESTADOS +

RESTRICCIONES -

-

1

VARIEDAD

COMPLEJIDAD

FUNCIONAL

VARIABLES +

ESTADOS +

RESTRICCIONES +

PROPENSION A SUCEDER -

-

-L ENTROPIA

49

PATENTES

Analicemos un nuevo ejemplo.

II=J!1l.rilI

EI antiguo sistema de patentes de los autom6viles en Argentina tenia

una base jurisdiccional mediante una letra que identificaba a cada una

de las 24 provincias en las que el vehiculo estaba empadronado (en

realidad 23 provincias mas Capital Federal). A continuaci6n se

ernpleaban 7 digitos numericos del 0 al 9. AI momenta de realizarse el

cambio en el sistema (ano 1994) solo 2 jurisdicciones (Prov. de Buenos

Aires y Cap. Fed.) superaban el mil16n de vehiculos empadronados (en

realidad Buenos Aires superaba los dos millones). As! considerado, el

antiguo sistema tenia una determinada capacidad potencial - variedad

maxima.

EI actual sistema, como sabemos, no es jurisdiccional y se conforma

con tres digitos alfabeticos y tres dfgitos numericos.

Prescindiendo de la utilizaci6n real alcanzada por ambos sistemas

Gcual de los dos tendra una variedad te6rica mayor?

Es curiosa comprobar que, frente a est a pregunta la mayor parte de la

gente cree que el nuevo sistema tiene una mayor variedad. Esta

respuesta -err6nea- puede explicarse en parte debido a la dificultad

general de "leer" la complejidad de los sistemas y en parte debido al

sesgo de representaci6n descripto por Kahneman y Tversky (ver XII).

Calculemos la variedad te6rica maxima del antiguo sistema:

011111111

50 51

N de variables: 8, una elias con y 7 restantes con 1 0 estados cada una.

10 1w= 240.000, 'k

La variedad real era, por provincia, de 101 , pero las iurisdicciones que no 10 necesitaban no eran

Ahora el nuevo sistema:

[IT] ITO N de variables: 6, can 26 (la fi no se utiliza) cad a una de las tres primeras y 10 para cada una de las restantes.

103w 17.576,000

Como puede e! sistema tenia una variedad teorica maxima mas que el actual.

un de personas piensa - "siente" - 10

Un revela que las personas a la necesidad de encontrar crecimiento del nuevo sistema responde a esa tener mas capacidad

Como se advierte, un8 lectura err6m~a basada en un sesgo de apreci8cion, a 10 eual contribuye la dificultad de procesar datos relativarnente por defecto en 18 capacidad de analisis.

Incidentalmente, el parque de la Provincia de Buenos Aires estaba en alrededor de 2 millones 2,xxx.xxx) cuando se carnbio el sistema. Si asumimos que el crecimiento del parque guarda correlacion directa Gon la densidad poblacional (aunque tambien con otras variables,

debieramos inferir que la capacidad total del sistema en 18 jurisdiccion (10.000000) tenderia a

cuando la poblacion se quintuplicara, cosa que con el crecimiento de la ultirna decada esta rnuy lejos de ocurrir.

el cambio de sistema de patentamiento se debio a con mayor sfntesis en el y liberar patentes "vacfas"

(autos que ya de procesamiento, lectura y recordacion, para cobrar un arancel por el tramite de cambio, etc.

Pero no a la necesidad de mayor capacidad, que de todos modos podia alcanzarse can la incorporacion de una variable como se hizo 31 pasar de 6 a 7 variables numericas.

Por otra parte, con el nuevo sistema se perdio el item de informacion sobre la jurisdiccion del vehiculo. De haberse pretendido por ejemplo haciendo que la primera de las tres letras identificara la jurisdiccion (provincia), entonces la variedad hubiese sido:

W 24 1 26 2 103 = 16.224.000

o sea que se habrfa perdido una variedad de 1.352.000 en la capacidad de patentamiento pero se habria mantenido la informacion sobre

sf Argentina tuviera 26 provincias elltonces el sistema su actual capacidad real, tambien pod ria informar

52 53

esto verdad? Pienselo.

Te6ricamente, cada una de las 26 letras usables para el primer digito identificarfa a una provincia, con 10 cualla variedad serra de

. 103 =17.576.000 igual a la actual

Pero hay un problema. Cada una de las 26 jurisdicciones tend ria una capacidad de

262 . 10:5 676.000

10 cual podrfa ser suficiente a corto plazo para unas pocas jurisdicciones, tal vez La Rioja, Catamarca, etc., pero absolutamente insuficiente Dara la mayorra.

TELEFONOS Hasta hace no mucho tiempo, los telefonos fijos (ahara hay que aclarar cuando un telefono es fijo) de Capital Federal y Gran Buenos Aires tenian 7 digitos numericos. Los tres primeros constituian la "caracteristica" que identificaba a determinados barrios 0 zonas y no todas las "caracteristicas" posibles (hn 103 ::: 1.000) eran empleadas.

Para simplificar, prescindamos de ese detalle y asumamos que, con 7 variables de 10 estados posibles para cada una de elias, la variedad del sistema era:

107.- 10.000.000

Pero un dfa nos informaron que a partir ese momenta todos

debiamos incorparar el numero 4 por delante de cada telefono, con 10

cual cada linea qued6 identificada con 8 digitos.

LOue cambio represent6 eso para la variedad del sistema?

Ninguno, pues la primera de las ocho variables tenia un solo

comportamiento posible.

Luego la variedad es 11 10 f ::: 10.000.000 Bien podrfamos habernos preguntado en ese momenta cU

54 55

Parece diffcil responder, par las caracteristicas del caso que nos exige un mayor esfuerzo de abstracci6n_ Probemos al reves, analizando por inspecci6n y luego, sobre 10 encontrado determinernos variables y estados_

Segun las reglas del ajedrez, comienzan las blancas y disponen de dos movimientos posibles par cada uno de sus ocho peones (adelantar un peon uno 0 dos escaqlles). Tarnbien pllede partir con cualquiera de sus dos caballos (saliendo cada uno de elias hacia la columna de su respectiva torre a Sll respectivo alfil). Par 10 tanto, las blancas pueden partir can cualquiera de los veinte movimJentos. Naturalmente, al responder, las negras tambien pueden hacerlo de

maneras.

Si sacaramos una foto al tablero una vez que ambas han ejeclltado su movida. LCuantas fotos distintas podriamos obtener?

Naturalmente 20 . :::: 202 :::: 400

Conclusion: hay 2 variables (blancas y negras) pueden adoptar 20 estados posibles cada una de ellos.

=hn = 202w =400

E;L,f~.t'-{ J -,-j l\.::~:, 1'IF~,GFi.J:; 3

,:j

ci

Ju

.._-------_.__..

Es muy dificil resistl! la tentacion de tratar de calcular la variedad para

algunas jugadas rnas adelante. Pero tambien es dificil encontrar

procedirnientos adecuados para lograrlo.

Par 10 tanto seamos rnodestos y conformemonos con imaginar la

dimension de los nlJmeros involucrados y el tremendo arbol secuencial

que se deriva. Para eso, podemos introducir algunos supuestos

simplificadores (en verdad, muy simplificadores):

Cada vez que a un jugador Ie toca mover dispone de 3 movidas

posibles (en realidad el numero es rnuy superior).

Una partida promedio demanda 30 jugadas (de cada jugador).

Siendo as!, al cabo de la prirnera jug ada podemos tener tableros

distintos (ya sabemos que en realidad es 20 2 ).

AI cabo de la segunda jugada tendriamos 34 tableros distintos.

Finalmente, al cabo de la 30 jugada tendremos tableros distintos.

Supongamos que queremos dibujar cada uno de los tableros en una

hoja A4.

Tendriamos un problema: no hay en la tierra esa cantidad de papel.

Para ser mas claros: cada hoja A4 pesa 4,8 gr. (80gr/m

Luego, tendriamos un peso de 360 0,0048 kg.

Resolviendo esta cuenta y pasando a toneladas, el peso de esa

cantidad de papel es:

203.477.559.721037 .109 tn

la masa de la tierra es de.

1.67.841.985.286 . 10'" tn

la cantidad de papel necesaria (para dibujar este ajedrez ultrasimplificado y ultraminimizado) pesa 200 veces mas que la tierra!! En verdad, el nLlmero teorico de jugadas del ajedrez ha side calculado en 10120.

56 57 ---""~ -----~

Eso significa que el peso del papel necesario serra 4,5 . 10,,3 veces el peso de la tierra.

Segun un tradicional Y Gonocido relato sobre el origen del ajedrez, su creador (digamos All) exigio en pago, al monarca (presuntamente un sultan) que Ie requirio la invendon de un juego excepcional, una modica suma: 2 granos de arroz por la 1 a casilla del tablero mas 4 granos por la 2a mas 8 granos por la 3a , etc. EI tablero tiene 8x8, 64 escaques.

EI monarca, que habfa prometido pagar sin chistar 10 que fuese, si el resultado era genial, se sintio muy complacido por un pedido que Ie parecio moderado y ascetico. Tan solo cuando sus asesores Ie hicieron ver y dimensionar la magnitud del precio, el viejo enfurecio.

Concretamente el inventor, pidio:

w =h1 + h2 + h3 ... + hn = 21 + + 2 + . + 264 = 18.446.744.073.709.551.616 granos de arroz.

No hag a cuentas, Ie hicieron cortar la cabeza por gracioso.

La factura que Ali Ie paso al sultan era muchfsimas veces superior a la

producdon mundial de arroz.

Es el problema de los "grandes numeros", en las palabras del Profesor Paenza:

Perdemos la referenda. Esencialmente usamos los numeros para asignandolos de acuerdo a las reg las de construccion que exige

cada parametro. Y la medicion es, esencialmente, un mecanismo comparativo y relativo.

No podemos afirmar que algo es largo 0 corto, chico 0 grande, frio 0 caliente, antiguo 0 nuevo, etc. si no 10 referenciamos a algun patron que nos resulte conocido e imaginable.

*Adrian Paenza, Materm'ltica ... Lestas ahf? (7)

EI problema de los grandes numeros, (Ia tierra trene 6.000 .. 000.000 de habitantes, la distancia desde el sol hasta Alfa-centauro es de 4 anos luz, las combinaciones del ADN, etc.) es que toda forma de Gomparadon se nos hace inasible porque la referenda tambien es mentalmente inasible.

Algunos sistemas, como el aparentemente simple ajedrez, nos lIevan a requerir auxilios para entender la variedad de cornportamientos.

5'>

III - LA VARIEDAD RESTRINGIDA

LA NOCION DE VARIEDAD LA VA.RIEDAD NATUF\AL

LA VARIEDAD CON ICCIONES

HH"

-- --

60

Por tal motivo, resulta aplicable para aquellos casos en los que solo interesa el recuento de grupos pero no importa el orden interno de los elementos que integran cada uno de ellos.

::; m! F5

Esta expresion se lee: la permutacion de m elementos es igual al factorial de m (0 m factorial).

Dicho de otro modo, los distintos ordenes posibles del total de los elementos que integran un grupo se calculan mediante el factorial del numero de elementos. Por ejemplo, si tenemos un grupo formado por las letras A, B Y C elementos) 10 podemos ordenar de la siguiente manera:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

En este caso no es dificil calcular par inspeccion que seis ordenes pasibles, debido al reducido numero de elementos.

Por otra parte no hay ninguna objecion sobre la inspeccion empirica como procedimiento de recuento (de hecho en ciertas ocasiones, como veremos, no hay mas remedio que apelar a ella).

Sin embargo, frente a un numero de elementos mas significativos, el procedimiento por inspeccion se vuelve tedioso, complicado y largo. Nuestra formula de permutaciones resuelve el

P3::; 3! 3.2.1 6

Ejemplo LlBROS GDe cuantas maneras pueden acomodarse 10 distintos en un estante que tiene exactamente 10 lugares?

;,

.l

(' 'I \

________6.'

Pi0 10!::; 10.9.S.7." .. 2.1 ::; 3.628.800

Es importante advertir que todos los elementos (m) del grupo tienen que estar presentes y nuestra formula solo resuelve las distintas formas de ordenar esos elementos.

Si 5 de los libros son de historia, 3 matematicas y 2 de arte (todos distintos entre si, aun los de una misma disciplina), las distintas formas de ordenarlos siguen siendo 101.

H'j H';:'.J H:.::

H5A2 RRfa~R .

~l12 r"11::: ~ '---' '---' '---'

H :=:J

Pero si nos piden que los 2 arte deben ubicarse en el sector izquierdo del estante (una de las distribuciones se observa en el gratico anterior), entonces eso supone una restriccion que necesariamente reducira la variedad de distribuciones posibles.

w::; P2 . P8 ::; 2! .8! SO.640

debe leerse asi: por cada una de las dos formas (P/') de ubicm los IIhros de arte, hay 81 Formas de ubicar los restantes libros. I1n P')SO o!>sc;rvese la drastica reduccion de la variedad debido ;-,1;) r(~Sllicck)IL

Si ;) la restriccion anterior se agregase la nec(:sid;)d d(~ lIbic;u los tres 11 os de matematicas en el sector deredlO rid cstanle, la vari(}('iad ~; ( ~ Ii; l'

62 63

w = P2 . P5 . P3 21.51. 3! := 1.440

Supongarnos ahora que la restriccion consiste en que los dos libros de arte puedan ubicarse en cualquier pero ambos deben estar siempre separados, nunca contiguos, uno al lado del otro. como en el gratico

2

,A. 1

:::: 4 :S 6 7 o 9 o'-'

A2

r===l

o

En primer lugar hagamos un recuento de todas las distribuciones no estan permitidas por la restriccion.

Los Iibros de arte no pueden ubicarse en las posiciones 1 y 2 , 0 en la 2 y 3, 0 en la 3 y 4, 0 en la 4 y 5, 0 en la 5 y 6, 0 en la 6 y 0 en la 7 y 8, o en la 8 y 9, 0 en la 9 y 10. Es decir que hay un total de 9 posiciones conjuntas posibles de las cuales debe seleccionarse una. Ademas, en cada una de las posiciones conjuntas ambos libros pueden ubicarse de dos maneras distintas (P2).

el total de las distribuciones restringidas surge del siguiente calculo:

C9,1 . P2 . P8 = ._Jt!._. 21 .8! = 725.760

1! . 8

Analicemos: Cad a una las 9 posiciones 1 = 9) puede incluir a los Iibros de arte de dos maneras distintas (P2 := 2) y cada una de esas

, 'i

i\

I

I, ,i

, (

\

18 formas pueden estar acompanadas 8! formas distintas de ubicar los restantes libros.

Ahora bien, si 125.760 son las distribuciones restringldas y 10J 3.628.800 distribuciones totales teorieas entonces que no estan son:

3.628.800 ~ 725.760 2.903.040 formas

LPodemos vincular las formulas de combinaciones y permutaciones? Si. Como ya dijimos, la formula combinatoria solo determina el nllmero de m elementos seleccionados de un universo de n elementos. Si por cualquier razon necesitamos considerar los distintos ordenes de cada uno de los grupos deterrninados par la combinatoria (veremos casos en que ocurre), entonces podemos vineular ambas mediante el producto de laS mismas, La justificacion acerea de par vincularlas mediante el producto y no mediante la suma se vera en el primer caso de aplicaci6n de este

Cn,m x Pm _.JJ_!__ x rnl F6 m! (n-m)J

Simplificando los datos en neg rita, una nueva expresi6n lIamaremos:

Vn,m := F7 (n-m)!

En la cual Vn,m se lee: variaciones de n elementos tornados ae a m.

Logicamente, y tal como ha side construida, esta formulacion permite recontar cuantos grupos distintos de m elementos (tomados de un universe n elementos) pueden conformarse, en los que

64 65

consjderamos como distintos a aquelJos que, aun integrados por los mismos elementos, los tiene en distinto orden (el orden importa).

si enfrentamos un caso que as! 10 requiere, podemos indistintamente F6 0 F7.

(4) En la primera etapa de nacionales deben todos contra todos, sin revancha). En el Mundial Argentina enfrento en una zona a de y Holanda.

(5)

En relacion a ella nos preguntamos:

LCuantos partidos se juegan en un cuadrangular de fUtbol? (todos contra todos, sin revancha).

Clasificada en esa etapa, a la Argentina, tras ganarle a Mexico en octavos de final Ie taco jugar un partido eliminatorio de cuartos de final contra el eauino local

el partido y su alargue resulto un empate. Correspondia ejecutarse una serie de 5 por equipo para alganador. Cada director tecnico debra elegir a sus cinco ejecutores entre jugadores que terminaron jugando el partido (no se suplentes, no hubo expulsados).

1) L,CUantas listas distintas de ejecutantes pod ria entregar cada tecnico al referi?

2) Lldem, si el orden de pateadores fuera considerado?

A) Razonamos y decimos: el numero de variables es 4 (cad a pais), el numero de estados es 2 (jugar 0 no jugar) y aplicamos la formula de variedad maxima:

w=hrl=24=16

Hay que tener cuidado con la definicion de variables y estados. este caso, si nos hubiesemos confundido, habriamos definido 2 variables y 4 estados y, al aplicar

w=n" =42 =16

Nos habria dado 10 pero estaria

De este es el de de exponente y base en el que el resultado es el mismo.

LEs posible que se jueguen 16 partidos en un sin

revanchas?

Bueno, pues no 10 es.

AI hacer nuestro calculo no hemos tenido en cuenta la restriccion general aplicable al caso' los partidos de futbol se juegan =-=--=== equipos.

AI aplicar la f6rmula de variedad maxima estamos incluyendo conformaciones no aceptadas pues no existen los partidos en los que no Juega ningun equipo, a un solo equipo, 0 3 equipos 4 equipos en todas sus variantes y condiciones.

una enumeracion (varied ad maxima) de todos los casas un listado de 16, a saber:

67 6:i

no juega nadie 5e Jugaran de- juega A (aclaracion 01- x juegan A y B

juegan A. By C D juegan A, B, C Y D

Si se jugaran D juegan B, C y D ) x juegan B y D ) x juegan C y D

Si se jugaran ) juegan A, C Y D (son los) x juegan A y D

) juegan A, B Y D Sf se jugaran - x juegan By C

x juegan A y C juega B juega C

Si S8 iuaaran) juega D

Sumense los aturalmente, de este analisis por inspeeei6n deberiamos apreciarse, la1juntos que no eumplen la restricci6n y reeontar solamente los variedad mioeumplen, que obviamente son los 6 marcados con x. Observe5e

nsideramos como un unieo partido AB 0 BA. De paso,

combinacionEl son el mismo partido. EI orden no importa.

expresiones (

ejemplo, el torneo se jugara con revanchas y el orden indicara la de local / visitante, entonces un partido seria y otro serra

I',) aci6n de se recuenta a traves de las permutaciones:

(; 11,5 Pm=m!

~ caso:

I I I JI 1 ~ P2:= 2!::: 2

De modo que cada uno de nuestros 6 partidos dos 6rdenes y, en tal caso, se juegan 12 partidos.

Pero volvamos a nuestro cuadrangular original. sin revanchas. Ya sabemos que el numero de partidos es 6.

Si, por caso, no se tratara de un cuadrangular sino de un dodeeagonal (doce equipos), francamente se nos hace neeesario algun procedimiento mas eficiente para nuestro reeuento.

De no ser asi, deberiamos listar un total de 212 casos (4096) y de ellos tachar por inspeceion los que estElil restringidos (4030) para quedarnos con los 66 reales.

EI calculo combinatorio nos auxilia: C12,2 ::: ::: 66 2!10!

Cuando las restricciones pueden expresarse de un modo general, sin excepciones, como en nuestro ejemplo: "los partidos de futbol se juegan de ados", entonces no necesitamos calcular la variedad maxima sino la variedad restringida aplicando la formula de combinaciones.

Combinaciones de n tomadas de am::: m= nl_----'. m!.(n-m)!

en nuestro ejemplo:

C4,2 ::: 4.3.2.1 ::: 6 casos (n,.,rtirl,.,,, 2! 2! 2.1 2.1

68 69

Si los partidos de futbol se jugaran de a 0 equipos, calculariarnos: - 1 caso (aclaracion O! 1) 0141

se de a uno: = 4 casos 31

se = 4! 6 casos -----~~

2! 2!

Si se jugaran de a tres: C4,3 :;::; _1L_"" 4 casos (c) 3! 1!

Si se jugaran de a cuatro: 4' ::: 1 caso 4! 01

Sumense 5 resultados y obtendremos 16 casos. Como la sumatoria de las variedades restringidas es igual a la

variedad maxima.

De observese la propiedad complementaria de las comparando las expresiones (a) y (d) entre sf y las

) y (c) entre sf:

C4,O = C4A; C4,1 C4,3 C10,7c C10,3

B)

1 ) 1,5 Para selcccionar a los 5 Dateadores de entre 11

,5. P 5::: .51

5! 6

'

Para seleccionar 5 Y los ordenes posibles de

COPA DAVIS (4)

EI origen ingles tenis se pone de manifiesto en la conservaci6n de

muchas de sus tradiciones.

Uno de los eventos mas arraigados de este deporte es la Copa Davis,

que se juega anualmente, en la cual los jugadores representan a sus

paises.

Cada encuentro de la Copa Davis se realiza entre dos

paises y se juega en dias viernes, sabado y

Cada encuentro formado por 5 partidos (cuatro singles y un doble)

y gana el pais que consiga obtener el triunfo en, al menos, 3 de los 5

partidos. Dos de los singles se juegan ej viernes, el cloble se juega el

sabado y los 2 singles restantes se juegan el domingo.

EI capitan del equipo de cada pais debe conformar, previamente al

encuentro, su plantel de 6 jugadores.

Antes de iniciarse los partidos, cada capitan debe

los nombres de los jugadores de su

efectivamente en cada

es que un mismo jugador no puede los dos de un mismo dla (aunque sf de dias

diferentes).

En este

a) GCual es la variedad de conformaciones que, para jugar los partidos, puede presentar cada capitan?

5161

70 71

b) loCual es el minimo de jugadores que puede utilizar en todo el encuentro?

(J Y el maximo?

d) loy el maximo, si se hubieran convocado 10 jugadores?

a) Para elegir al que jugara el primer partido del viernes dispone de 6 jugadores: C6,1. Para elegir a quien jugara el segundo partido del viernes puede utilizar a cualquiera de los restantes jugadores, 0 sea uno de los 5: 1 Para elegir a los dos jugadores del doble, puede hacerlo de C6,2 maneras. Para elegir al jugador del primer partido del domingo lJuede hacerlo de C6,1 formas y para el segundo: C5,1.

En definitiva puede adoptar una variedad de:

. C5,1 . C6,2. 1 . C5,1 13.500 conformaciones

b) EI numero minimo es 2, ya que ej., los jugadores A y B pueden jugar los singles del viernes y el y ambos iuntos el doble del sabado

c) EI numero maximo es 6, asignando un jugador distinto a cada uno de los cuatro singles y los dos restantes al doble.

d) maximo es igualmente 6. Solo hay cinco partidos y unicamente en uno de ellos se pueden jugar dos jugadores.

DE SEGURIDAD Retomemos, segun prometimos en el capitulo anterior, el caso de la clave de seguridad de las tarjetas bancarias en su versi6n restringida,

en la que no podemos repetir ningun d Recordemos que en su resoluci6n oriainal obtuvimos w = 5.040

Vamos ahara a enfocarlo desde la 6ptica combinatoria. Tenemos 4 casillas por completar.

abc d

I I-I Il

Y tenemos 10 digitos del 0 al 9 para emplear sin repet;r.

Determinemos cuantos grupos distintos de cuatro digitos podemos

seleccionar de entre los 10 posibles.

lo CUEmtos grupos distintos de 4 elementos pueden conformarse

seleccionandolos de entre 10?

C1O,4= __1O! = 10' .=10.9.8.7.6...... .2.1=210 4' . (10 -4)! 4' . 6! 4.3.2.1. 6. . ... 2. 1

Tenemos 210 grupos integrados por al menos un dfaito distinto cad a

uno de ellos.

Pero cada uno de estos 210grupos puede adoptar distintos ordenes

que configuran claves distintas. No es 10 mismo la clave 1234 aue la

clave 4321. Aqui el orden si importa.

loDe cuantas maneras distintas podemos ordenar 4 elementos?

P4::: 4' = 4.3.2.1 = 24

Luego cada uno de los 0 grupos puede asumir 24 formas distintas. De modo que, intuitivamente sabemos que en total se pueden conformar 210 x 24 = 5040 claves. aqui la justificaci6n a la que aludimos al proponer un producto en el armado F6.

Si se advierte que el resultado es igual al obtenido con el primer procedimiento aplicado al caso debemos senalar que el resultado no es

73 72

meramente sino el porque en realidad en ambos caso 10

10 procedimiento 10.9.8.7;::: 5.040

2 0 procedimiento x 4.3.2.1 (simplificando) 10.9.8.7 5040

4.3.2.1 6 ... ,,2.1

tiene por mostrar la interrelacion entre el variedad maxima y restringida. Por otra parte, surge

que el caso se puede en un solo paso aplicando VlOA

V10,4 5.040 4! .6!

Aprovechamos este caso para comentar un aspecto practico.

Las calculadoras cienHficas manuales incluyen el calculo de la factorial. Sin embargo, debido a su capacidad, solo alcanzan a resolver hasta un maximo de 69! (factorial de no ocurre con las calculadoras usuales de los programas de Windows, euyo limite es muy

Si tenemos que resolver, p. ej.. C80.3 y solo tenemos una calculadora manual, no hay ningun inconveniente ya que:

CSO,3;::: _.J3J2L::: 80.79.78.77.7 .......1

3177! 3.2.1. 77.76 .........1

Lo cLlal nos permite simplificar el sector del cociente senalado en negrita y luego resolver

'" 82.160 3.2.1

OTRA VEZ LOS TRES DADOS Ya hemos arrojado tres dados sucesivamente, con la conclusion de que, teniendo en cuenta el orden de de los resultados. se obtienen:

Wd= 216 conformaciones posibles.

Consideremos ahara que ocurre si los tres dados son arrojados al mismo tiempo, sin importar ningun orden. Se trata de recontar, simplernente, cuantos veces sale cada numero. Obtener dos "2" y un "4" es un resultado posible. Obtener un "3", un y un "6" es Obtener tres "1" es otro. LCuantas conformaciones distintas podemos

Hay seis formas de que los tres dados muestren el mismo a sea: salen tres "1" 0 tres "2" .,,0 tres "6" Farmalmente C6,1 ;::: 6

Formas con dos dados iguales y uno distinto: x 1 ;::: 30 combinaciones de 6 tomadas de a 2 encontramos todas las formas

en las que intervienen 2 numeros. Ahora bien, uno de ell os estara repetido (es decir sale 2 veces) y el otro no. Con combinaciones de 2 tomadas de a 1 determinamos dentro de cada conformacion eLlal dos es el repetido.

Formas can tres dados ::: 20

tres grupos distintos de conformaciones: 3 dados iguales, 2 y 1 no, 3 dados distintos. Simplemente sumamos el total de

grupo y obtenemos el total de conformaciones posibles:

6 + 30 + 20::: 56 (1)

Por otra parte, si los dados vuelven a arrojarse en pero no se admiten repeticiones, entonces la variedad sera:

w;::: 6 . 5 .4;::: 120 0 CS.3. P3;::: 120 (2)

74 ______________.__.________._____ .._.

Recordemos que si la repeticion se admite, entonces:

w n":.:: 63 = 6 (3)

Comparar con 10 que ocurrio en las dos versiones de la clave de

seguridad.

La estructura del problema es la rnisma.

Ademas, conviene tener presente que 10 que aquf vimos como "no

repeticion", es una forma de restricci6n que en otro tipo ejemplos

aparece expresada como "sin reposicion". Tfpicamente, las "urnas y

bolillas".

URNAS Y BOLILLAS

Veamos.

En una urna hay 6 bolillas de distintos colores.

Se extraen 3 de elias al azar, sucesivamente y sin reponerlas tras cada

extraccion. LCuantas conformaciones distintas podemos obtener?,

No hace falta calcular, son 12.0, el Droblema es estructuralmente iaual a

(2.)

LY si las bolillas se reponen tras cada extraccion.

Entonces es igual a (3).

LY si las tres bolillas se extraen al mismo tiempo y no hay un arden?

Entonces es igual (1)

COMIt>IUN (4)

Propongamos el siguiente caso, al cual Ie iremos incorporando

variantes.

De un grupo de diez personas debemos seleccionar tres para integrar

una comision.

trata de un caso de variedad restringida. LPor que? La comision no puede estar integrada por cuatro 0 siete 0 diez, etc. personas. Solo por tres, Luego: LCuantas formas tenemos de seleccionar tres elementos de entre

75

w 0,3 = = comisiones (grupos de tres personas)

317! distintas

Digamos ahara que las personas son tres mujeres y siete hombres. Para integrar la comisi6n de tres personas esta debe necesaria y exactarnente, una mujer. 0 sea que la comision debe estar integrada, si 0 por una mujer y dos hombres.

La restriccion interpuesta irnpone mayor rigidez (orden) a nuestro sistema e implica que la variedad hora disminuira, pues del total posible de 12.0 no todas cumplen con el requerimiento (algunas de la comisiones formadas por tres hombres 0 mas de una Calculemos la variedad solicitada:.

Selecciona la mujer Selecciona los dos hombres Total w;::; C3,1 x Cl,2 w= 3 x 63

comisiones distintas que cumplen la restriccion interpuesta. Justifiquemos intuitivamente el producto senalado can x.

Cada una de las tres mujeres seleccionables al A, B a C estar acompaf\ada por cualquiera de las 21 formas de seleccionar dos hombres de entre siete.

Introduzcamos una nueva modificaci6n, Ahora nos exigen que la cualquiera sea su conformacion, debe estar integrada al

menos por una mujer. TenemQs una diferencia respecto de la situacion anterior. Ahora la comisi6n seleccionable puede estar integrada por 1,20 3 Esto Laumenta 0 disminuye la variedad respecto de la situacion anterior? La aumenta. Claramente la restricci6n es menor ya antes solo se

grupos con exactamente una mujer y pueden

76

ademas de ellos los que se puedan conformar con dos y con tres La variedad debe ser superior a 63.

Este admite dos formas basicas de resoluci6n que se vinculan con la "al men os"

La primera de elias impliea una del problema al reeonocer que existente tres conformaciones que eumplen con la consigna. Por ello, calcularemos el total de conformaciones de cada tipo y luego simplemente los sumaremos.

1 Tipo: grupos constituidos con, exactarnente, una En realidad, esto ya fue calculado algunos parrafos atras: w = 63

2 Tipo: grupos constituidos con, exactamente, dos mujeres: Calculamos cuantas formas distintas hay de seleccionar 2 mujeres de entre 3 C3,2 =3 formas distintas. Cada una de esas 3 formas debe ser acompanada por un hombre seleccionado de entre I, 0 sea C7,1 7

las tres comisiones que tienen exactamente 2 mujeres pueden de 7 formas distintas. Finalmente es 1 :::: 21

constituidos con, exactamente 3 mujeres. una sola forma de hacerlo: =1

Ahora, repitiendo el procedimiento en el caso anterior, simplemente sumamos la variedad de cada grupo. Total: 63 + 21 +1 ::: 85

La segunda forma de resolver el problema, mas directa, es simplemente calcular el total de las cornbinaciones posibles y restar de elias las que estan restringidas, en este caso todas las formas de armar la comisi6n sin ninguna mujer: C10,3 85.

C1O,3 son las conformaciones posibles sin restricciones, C7,3 son todas las forrnas de armar la comisi6n solamente con hombres, que es 10 restringido.

77

Introducimos ahora una nueva variante, I hombres, 3 mUJeres y se deben elegir autoridades de la comisi6n: 1 presidente, 1 vicepresidente y 1 secreta rio.

a) (J:::uantas formas distintas de arrnar la comisi6n hay?

b) ne

(,Cuantas formas hay si el cesariamente, uno de los cargos.

Sr. Gonzalez debe ocupar,

(, Y 51 debe ser el presidente? formas si al menos una debe ocupar uno de los

ser presidente?

f) si los 3 cargos no ser por las 3

g) GCuantas formas hay si el Sr. Gonzalez no ocupar cargo?

Naturalmente, la situaci6n cambia pues esiamos Introauclenao un factor de orden. Hasta aqui, la comisi6n integrada por A,B y C representaba un solo caso, aun cuando hubiesemos dicho que la comisi6n estaba integrada por C. B Y A. Pero ahora, la comisi6n integrada por A Presidente, B Vice y C Secretario no es la misma que C Presidente, B Vice y A Secretario.

a) , C1O,3. P3 0 tambien V10.3 segun la relaci6n F6 y F7

. solo hay que seleccionar dos personas mas de entre nueve restantes y luego considerar los distintos 6rdenes posibles de las tres personas:

C9,2. P3

78 79

Respuesta: solo hay que seleccionar dos personas mas de entre las nueve restantes y luego considerar los 6rdenes posibles de estas dos personas, ya que Gonzalez es el Presidente:

V9,2 := C9,2 . P2

d) Respuesta: La pregunta hace referencia a una mUJer y no a una "unica mujer" por 10 que pod ria ser 1, 2 0 3 las mujeres que ocupen los cargos. Por 10 cual al total de formas se Ie restan aquellas que estan restringidas, es decir comisiones con tres hombres:

- V7,3 510:= C10,3. P3 C7,3. P3

o sumando: Una sola mujer:1 C7,2. 3!= 378} Solo dos mujeres: .Cl,1.3!:= 126 = 510 Las tres mujeres: 3!:= 6

e) Respuesta: 1. C9,2 . P2

f) Respuesta: C10,3 . P3 P3

Respuesta: C9,3. P3

POLIGONOS (4)

Desde un enfoque sistemico, podemos considerar a cualquier poligono

como un conjunto de elementos interrelacionados en una determin'ada

estructu ra.

Nos interesa conocer el numero de diagonales D de los poligonos

regulares.

l,Que enfoques nos permiten arribar a una formulacion funcional que

determine el numero D de diagonales de cualquier poligono de n

lad os?

1 ENFOQUE forma uti! de comenzar a el es enfocarlo

visualmente para verificar desde la apreciacion empirica surgen algunas regularidades,

L),A B A L)

B

D

EI polfgono de 4 lados tiene 2 diagonales. EI poligono de 5 lados tiene 5 diagonales. EI polfgono de 6 lados tiene 9 diagonales. EI polfgono de 7 lados tiene 14 diagonales. Desde el vertice A del cuadrado podemos extender todas las diagonales posibles hacia los vertices, excepto las que 10 unen con S y con C (ya que estos son lados y no diagonales) y con sf mismo. Esto nos deja, de las 4 posibles, una sola Lo mismo podrfamos decir partiendo de cualquier otro vertice. Como tenemos 4 vertices podrfamos trazar cuatro Pero como la diagonal DA es la misma diagonal AD y como la CB es la misma diagonal en consecuencia el numero de 4 se reduce a la mitad 2. Probamos identico razonamiento con el pentagono: Desde el

A podemos trazar dos diagonales (hay 3 que no son posibles a saber: AS, AE Y De las 10 diagonales obtenidas, 5 (Ia mitad) son repetidas.

Tras analizar el hexagono (y si queremos el heptagono), vemos que estas regularidades se mantienen.

80 81

Desde este ant11isis empirico lIegamos a la fonnulaci6n funcional de que el numero de vertices n (0 lados, cuyo nurnero es tambien n)

icado par el numero de vertices combinables (quo os n-3, ya que se descuentan los adyacentes par ser lados y el propio venice de partida). EI tllJrTlero obtenido debera dividirse por 2 para evilar el doble recuenlo de una rnisma diagc)I1al

N diagonales ::::; 0 r:L-,-iD.::-~2 2 2

2 ENFOQUE Desde Ie perspective sistemica del anal isis de variedad el problerna podria plantearse de la siguiente forma. cuantas formas posibles podemos unir por pares n puntos no

alineados dibujados en un plano?

No se trata de un caso de variedad maxima ya que la restricci6n es que

los puntos solo pueden unirse de ados.

De acuerdo a esto, 81 analisis combinatorio nos establece que

dlsoonemos de Cn,rn combinaciones.

con el hexagono:

C6,2 == 15 2!.41

no obstante, debernos elllTlinar de estas 15 combinaciones que no son diagonales sino lados. Obviamente son las que quedan en el perimetro del dibuJo (en este caso, siendo 6 puntos, son seis lados).

Luego: 0 6 9

Gem y como m os siem pre 2

n ]l__..~

Podemos confrontar las 2 soluciones alcanzadas igualandolas para verificar su consistencia.

n2 -- 3n Cn,2 - n 2

= -n 2 2! .(n-2)1

n2 -3n !LJn-1} . (n-2) . (n:ill-,-,-,.'- n 2 2 (n-2) . (n-3) ...

Simplificando = '-'-'---'-'-'-~ - n 2 2

2 n - 3n = 2 2

-

2 2

= .n.::.-=-3n 2 2

Conclusiones: A igualdad se verifica y ambos enfoques son correctos. B. El analisis par variedad es mas breve y, especialmente, mas directo que el analisis empirico. No hay obJeciones aue formular

82 83

respecto del conteo y la inspecci6n, pero su procedimiento es largo en los grandes numeros y cuasi-impracticable sin ordenador. C. Como en este ejemplo, muchas veces el problema de base consiste en aplicar una importante cuota de abstracci6n para interpretar su esencia. En este caso, consistirfa en visualizar a un poligono de n lados como un sistema de puntos (elementos) relacionados de alguna forma (de a pares con la restricci6n perimetral). Desde un punto de vista organizacional, estos enfoques pueden auxiliarnos en la resoluci6n aspectos estructurales, redes sociometricas, conformaci6n de equipos, etc.

NUMEROS DIGITALES (4) Desde la lIegada de la tecnologia digital, hemos incorporado algunos habitos de comunicaci6n sobre la base de nuevos c6digos y convenciones, EI esquema que se muestra a continuaci6n es un

1_I

I I

-

Nos hemos acostumbrado aver y reconocer este diseno que,

facilmente, podemos definir como un sistema de mensajes,

En esencia, se trata de un esquema de luces 0 cristales de cuarzo que

pueden estar "on" u "off'.

Prescindiendo de formas y significados, l,Cuantos mensajes distintos

se pueden emitir usanda 2 de estos esquemas?

Cad a uno de estos esquemas tienen siete "Iuces" (variables)que

pueden estar prendidas 0 apagadas y no hay restricciones,

Por 10 tanto, se trata de un caso de variedad maxima.

W ::: hn =27 = 1 mensajes Para dos esquemas:

27 , rp = 16.384 mensajes distintos

DOMINO (4)

Cada ficha del juego del domin6 esta compuesta por dos variables,

Gada una de esas variables puede asumir cualquiera de 7 estados

numeros del 0 al 6),

\/G [.] G [2J(;]~ lZJ~[2] "";j!o ;j!o

[~ []. -

..

-.

De acuerdo a padrfamos construir un total de fichas a:

= 72W = h" =49

84 85

No obstante, y par ejemplo, la ficha r1~l es tambi';n la ficha por 10 cual, para evitar el doble recuento, deberiamos

dividir el numero obtenido por 2

49 24,5 fichas ??? 2

Sabemos que un juego de domino tiene realmente 28 fichas. (010 podemos comprobar por inspecci6n). (,Entonces, que es 10 que esta errado en nuestro razonamiento? En realidad, de 10 que se trata es de calcular las distintas formas de seleccionar 2 numeros de entre 7 para componer con cada uno de los pares una ficha distinta.

w C7,2 = 21

Pero ademas, el domino ad mite 7 fichas particulares en las que cada uno de los n elementos se combina con el mismo.

,

Asi se conforman las 7 piezas dobles del domino, que sumadas a las restantes 21 completan las necesarias para el juego.

Considerando la particularidad de las fichas dobies, tambien podriamos calcular haciendo:

w::; C8,2 = 28

HELADOS (4) La "casatta tricolor" es un tradicional postre helado argentino elaborado con tres sabores d3Sicos. Cierta heladerfa industrial desea ampliar su

oferta produciendo 35 variedades de casatta, todas las cuales se diferencien en, al menos, un sab~r. GCuantos sa bores originales distintos son necesarios para produdr tal oferta?

(6)

Las casattas solo pueden elaborarse mediante la combinacion de tres sabores. Sabemos cual es la variedad a obtener: 35

Luego el numero n de sabores originales, combinados de a tres debe ser igual a 35

Cn,3 =35

Por 10 tanto 35

3! . (n-3)! = n.(n

3! 1).(n-2).(n-3L . (n-3) ....

Simplificando: 35::; !1.(n6 -1).(n-2)

Solo debemos determinar cuales son los tres numeros sucesivos cuyo producto dividido 6 da 35.

Obviamente, 7,6 Y 5 cumplen dicha condicion y por 10 tanto n ::; 7 Se necesitan 7 sabores originales para producir una variedad de 35 casattas diferentes.

86 87

SOMBREROS (4) EI que sigue es un caso muy conocido, que recurrentemente aparece en revistas de de ingenio con variantes en su relato pero identica estructura, para ser resuelto desde la logica y la

intentaremos analizarlo desde el marco que venimos desarrollando. Pasemos al relato:

la Revolucion Mexicana, un caudillo ofrece a tres campesinos prtsioneros conmutar su pena en la carcel si cumpJen con exito una prueba, en cambio si se equivocan serian fusilados:

Se dispone de 5 sombreros (de los tipicamente mexicanos), dos blancos y tres verdes. A cada uno de los prisioneros se Ie colocara un sombrero de los cinco y se Ie permitira ver los sombreros de los otros dos prisioneros, pero no el propio. Se salvara de la carcel el prisionero que acierte el color de su propio sombrero y ademas fundamentar racionalmente c6mo lIeg6 a dicha conclusion.

Dos de los prisioneros tienen su particularidad, ya que uno de ellos es tuerto y otro es

Una vez ubicados los sombreros en las condiciones . se Ie pregunta primero al prisionero con vision ante la duda y

con que fundar una respuesta no contestar y antes que la muerte.

se Ie pregunta al tuerto, quien tampoco responde por las mismas razones. Por ultimo se Ie pregunta al ciego, quien contesta acertada y

por 10 cual es deJado libre inmediatamente.

l,Cual fue el razonamienlo aplicado par este ultimo para hallar la respuesta correcta?

Tal vez no 10 parezca en un primer momento, pero resulta ser un caso de aplicacion de variedad con restricciones.

-....... ....-.-.---~-

Para analizarlo, consideremos !a variedad maxima teorica de distribuciones posibles que hubiesen podido tener los sombreros en las cabezas de los prisioneros (tenemos tres variables, Normal, Tuerto y Ciego, con dos posibles para cada una de elias; verde 0 blanco)

w = hn = 23 =8

Es decir que hay 8 distribuciones posibles la inspecci6n:

NORMAL TUERTO CIEGO

distribuci6n A

distribuci6n B

distribucion C

o

distribuci6n E

distribuci6n F

88 89

distribuci6n G

(7) distribuci6n H

Sf bien el maximo te6rico de distribuciones es 8, va de suyo que la designada como H esta restringida pues no hay tres sombreros blancos, con 10 cual la variedad real es de 7.

Cuando se Ie pregunta al 10 pnslonero, este prefiere no responder porque no tiene ninguna base que Ie permita hacerlo con seguridad. Si por caso la distribuci6n empleada hubiese sido la el habria observado que los otros dos prisioneros tenian un sombrero blanco con 10 cual hubiese sabido de modo inmediato que el mismo tenia uno verde. Luego la distribuci6n E no fue la utilizada.

AI preguntarsele al pnslonero tuerto, este tampoco responde. Si la distribuci6n usada hubiese sido la F, entonces el habria sabido que, portando los otros los dos sombreros blancos, el tenia necesariamente uno verde. Por otra parte, si la distribuci6n empleada hubiese sido la B, el habria observado un sombrero blanco en la cabeza del ciego y deducir que si el tambien tuviese uno blanco el 1 prisionero habria hablado. Pero no 10 hizo y por 10 tanto el tend ria necesariamente uno verde. Luego la distribuci6n B tampoco fue utilizada.

Ahora bien, cuando Ie toca el turno al ciego es perfectamente obvio que solo pueden haberse utilizado las distribuciones A 0 CoD 0 G, en todas las cuales el tiene, de cualquier modo, un sombrero verde. Por 10 tanto habla explicando esta argumentaci6n y consigue su Iibertad.

Saquemos algunas conclusiones:

La condici6n visual de los prisioneros no juega ningun papel

significativo y solo adorna el caso para darle un toque mas intrigante.

---,---.---~,---,---~ ~---'-------

Lo que si impol1a es el orden con que se formulan las preguntas, pues claramente resulta beneficiado quien responde en ultimo termino ya que recibe informaci6n (orden, estructura, restricciones) sucesiva, que en cada paso va reduciendo la variedad desde 7 hasta 4 distribuciones posibles.

Pod ria afirmarse que el resultado no habria sido el mismo si la distribuci6n empleada no hubiese sido A 0 CoD 0 G. Efectivamente, pero siempre habria uno de los prisioneros salvado, excepto que la distribuci6n usada sea la A.

La experiencia sirve para apreciar que aun ante una variedad de situaciones, pueden existir comportamientos convergentes que eliminan complejidad e incertidumbre.

CALLES (4)

6 r----r---,----~.~..~

A.

I) EI diagrama que se muestra representa un sistema cuadriculado de calles. Las Ifneas son las calles y los cuadros blancos son manzanas que no se puede atravesar.

90 91

Por 10 tanto hallar:

70 formas distintas de 4! 4!

A. II) Ahora los recorridos posibles deben tener necesariamente 5

de restricciones nos da una primera idea sabre el movimientos D y 4 rnovimientos A.

que: Respuesta A: ? 0 Respuesta B: C9,4 ? que 8

cuatro de los movimientos son de a derecha y cuatro de ~,CUE!I de las dos es la correcta? hacia arriba.

Naturalmente ambas 10 son. L.os nl.Jmeros combinatorios son complementarios, de acuerdo a la propiedad comentada en el caso

Si identificamos como D a los movimientos de como A a los movimientos de a

- 9! ::: 126 los trayectos como una secuencia de movimientos D y 415! 5! 4'

Debemos partir de la esquina A y esquina B. Los unicos movimientos permitidos son: de a derecha, de abajo hacia arriba sin retrocesos. Un recorrido que responde a estas restricciones es el marcado con trazo grueso.

Siguiendo este patron, Lcual es la este o sea cual es el numero de recorridos

II) LQue ocurriria si nuestra grilla de este (con las mismas

B r---r---~--~.r---~--~

Par ejernplo, el trayecto marcado can trazo grueso podria describirse como una secuencia a de tipo ADADDAADD.

1

l Ahora bien, cuantas cadenas distintas de este tipo podrfamos disenar. \ EI problema 5e resuelve definiendo cuantas formas distintas hay de

D en ocho posiciones posibles de la cadena. letras A quedaran jnevitablemente ubicadas en las

restantes (0 viceversa Sl comenzaramos por estas).

o sea que debemos 4 de entre 8 en las que ubicaremos las letras D.

92 93

EI esquema sirve para caso de n y m column as. IV - VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES A LA REGLA

DE RESTRICCION

LA NOCION DE VARIEDAD LAVARIEDAD NATURAL

VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES

los casos presentados en el capitulo anterior se verifica que la de comportamientos queda circunscripta a aquellos que inexorablemente con la regia general de restricci6n

m.

en los que aun dentro de una comportamientos que constituyen

excepciones a dicha y a pesar de ello son comportamientos admitidos, De hecho la nos ofrece algunos ejemplos de situaciones de este

En algunas ocasiones, son que deben sumarse a los que sl otras, son comportamientos que no admitidos, por 10 cual se los debe sustraer

Cuando esto ocurre, es habitual que que escapan a la regia deban ser detectados y sumados 0 restados, segun corresponda, mediante el procedimiento de inspeccion. Veamos algunos ejemplos,

SEMAFORO Desde nuestro enfoque podemos interpretar a un sematoro convencional como sistema, As! visto, un semaforo es un sistema tiene tres variables (tres luces) can dos comportamientos posibles cada una de elias (prendida/apagada). Es un sistema de tres variables binarias.

94 95 --------- ._--._- ..--_ ... - -_.

Siendo aSI, y aplicando F3, podemos calcular que la variedad maxima de este sistema es:

ws =2f1 8

efecto, designando A para apagado, P para prendido y repasando par inspecci6n mediante una estructura de arbol tales comportamientos te6ricas serfan:

Raja Amarillo Verde R A V {!.. .8, ,8,

f' ,f!.,.-. P .-.i, P .!!.. .!!.. P ,f:.,

P ._- P /.!.. P P

A ,u, ,'!!,F'

f, r,l-'. P P ...... F'

p ,.!1, P P ,f!,. p p p p p

decir que un semafora tiene una capacidad te6rica de emitir un total de ocho rnensajes diferentes (ocho estados finales posibles),

Sin embargo, todos sabemos que no todos esos mensajes se utilizan en la realidad, Como regia general que el semafora es un sistema que tiene tres variables binarias y una reala de restricci6n: las luces se encienden de a una por vez,

como:

--------------..----.---

,m 1= _~ =3 1! 2'

efecto, hay tres comportamientos reales posibles: 0 se prende la luz raja. 0 la amarilla 0 la verde.

Pera sucede que en muchos lugares, par ejemplo Buenos Aires y otras ciudades argentinas, admitida un cuarto mensaje comportamiento pasible): el mensaje rajo--amarillo. ambas al mismo tiempa, como senal de "precauci6n",

Ahara bien, no hay una recontar admitidos que escapa a la regia general de hacer ese recuento par . ., y sumar 0 en este caso sumar, a los

que cumplen can la regia general. Aqui resolvemas C3,1 +1 = 4

aspecto adicional que debemos camentar es el siguiente: EI semMara tiene acho comportamientas te6ricos posibles de los cuales se emplean realmente cuatra. LoPor que disenar un sistema cuya variedad exceda largamente la necesaria?, LoNo seria mas eficiente definir un sistema de dos variables binarias (w = 4) ya que cuatra son los mensajes necesarios?

Comentemos primera que a la diferencia te6rica y la realmente empleada se la

en el lenguaje cotidiano, necesariamente ser entendida

contexto.

*Ross Ashby, Introducci6n a la Cibernetica. (8)

96 97

~~~------------------------------------------------------

la redundancia con la que fue disefiado el semaforo a perfeccionar la claridad de lectura los mensajes que emite,

particularmente cuando ellos deben ser interpretados por conductores y peatones con total seguridad y en una fraccion de segundo.

VENTANAS (5) Imaginemos ahara estar a un lado de un rio muy ancho. Del atro lade del rio, hacia el cual estamos mirando, se percibe el perfil de una casa que tiene, en el lateral que podemos ver, cuatro ventanas segun el siguiente esquema.

:\ B

Dentro de la casa hay una persona que debe hacernos lIegar empleando para ello el mecanisme de encender a no luces

en las ventanas. .!.,Cuantos mensajes distintos nos pueden enviar?

(8)

Obviamente, se trata de un caso de variedad maXima, can cuatro variables (A,B,C y D) que tienen dOs estados posibles cada una de elias, porque no es necesario que cad a mensaje tenga un numero de luces encendidas. No hay restricciones en mensajes pueden construirse can 1,2,3,4 a ninauna luz,

Comparese esto con el desarrollo por inspeccion de los 16 casas teoricos posibles en el caso del cuadrangular de futboL Es 10 mismo, can la diferencia que en aquel caso habia solo 6 que cumplfan can la regia de restricci6n (los partidos de futbol se juegan de ados) y par eso 10 resolvimos mediante combinatoria En este caso no hay restricciones, es variedad maxima y resolvemos de acuerdo a

=24 =16 mensajes distintos posibles

Par inspeccion:

Sin luz 11uz 21uces 31uces 41uces C4,O =1 C4,1 =4 C4,2 =6 C4,3 =4 C4,4 1 Total 16

A AB ABC ABCD B AC ABO C AD ACD o BC BCD

BD CD

Vamos ahara al punto que nos lIeva a incluir este caso en el apartado de la variedad restringida con excepciones a la regia de restricci6n, introduciendo una modificaci6n que afecta el marco de referencia del problema.

Para ella, supongamos que ahara es de noche. Una noche muy cerrada y oscura en la cual perdemos los marcos de referencia del horizonte (nocion alto/bajo), posicionamiento de la casa (noGion derecha/izquierda) y contorno de la casa (nocion de la ubicaci6n de

98 99

cada luz respecto del invisible peri metro visual de la casa). GCual es la variedad de mensajes en esa situacion?,

Estas condiciones imponen una restriccion, puesto que debido a elias algunos de los mensajes posibles en condiciones normales pueden no resultar distinguibles entre sL

Sin embargo, est a restricci6n tiene la particularidad de presentar una implicancia fisica que no resulta plausible de representar mediante una regia general de naturaleza matematica.

Frente a ello solo nos queda el camino de resolver mediante el procedimiento de la inspeccion. Veamos, analizando por numero de luces encendidas:

-Sin ninguna luz encendida (C4,Q ::: 1), Antes teniamos un solo mensaje posible. En la nueva situaci6n el mismo mensaje resulta distinguible como tal y no se pierde variedad.

-Can una sola luz encendida (C4,1 :::: 4). Antes teniamos cuatro mensajes posibles: A,B,C y D. Ahora, y debido a la restricci6n, solo podemos percibir que una de las cuatro luees esta eneendida, pero sin poder distinguir cual de elias debido a la perdida de los marcos de referenda consignados. Como conseeuencia, de los cuatro mensajes posibles s610 podemos distinguir uno y perdemos una variedad de tres.

-Con dos luces encendidas (C4,2 = 6). Antes teniamos 6 mensajes posibles. Pero ahora no podemos distinguir el par AB del par CO por la falta de referencia vertical. Tampoeo podemos distinguir el par AC del par BD por la falta de refereneia horizontal. Sin embargo, podemos mantener la distinci6n entre el par AD respecto del par BC pues el marco de referenda no afecta las diagonales. En este caso perdemos una variedad de dos.

-Con tres luces encendidas (C4,3 :::: 4). Aqui no tenemos ninguna perdida de variedad. Las ternas ABC, ABO, BCD Y ACO siguen slendo distinguibles entre si.

-Can cuatro luces encendldas (C4,4 :::: 1). EI unico rnensaje posible en las anteriores condiciones sigue siendo distingulble Y no hay oEmlida de variedad.

En conclusion, de los 16 mensajes teoricos (variedad maxima) debemos, en este caso, restar los 5 restringidos debido a la presencia de condiciones fisicas, no representables par una regia de restriccion, que solo permiten su recuento por inspecd6n.

101

v -LA VARIEDAD BINARIA

Hasta aquf hemos hablado de variedad maxima, variedad restringida y variedad restringida con excepciones a la regia de restriccion.

En todos los casos, nuestras aplicaciones resolvieron mediante formulas, y eventualmente par inspeccion en los casos de variedad restringida can excepciones, el problema de medir la complejidad de los sistemas consider-ados a traves del recuento del numero real de comportamientos

De Cuantas Maneras

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