De afgeleide in breed perspectief...2008/10/13 · concept staan hieronder termen en notaties die...

De afgeleide in breed perspectief Handboek vakdidactiek wiskunde

- 1 -

De afgeleide in breed perspectief

De introductie van de differentiaalrekening Joke Daemen en Gerrit Roorda

Inhoud 1. Oriëntatie................................................................................................................2 2. Probleemstelling ....................................................................................................4 3. Probleemverkenning ..............................................................................................5

3.1 Begrip en regels ...............................................................................................5 3.2 Langzaam of snel .............................................................................................5 3.3 Het mathematisch geweten ..............................................................................6 3.4 Toepassen en transfer.......................................................................................7 3.6 Conclusie..........................................................................................................9

4. Wat weten we al? ...................................................................................................9 4.1 Het concept afgeleide.......................................................................................9 4.2 Niveaus van het concept afgeleide: Van discreet naar continu (niveau 2 naar niveau 3)...............................................................................................................12 4.3 Rekenregels voor de afgeleide .......................................................................15 4.4 De rol van toepassingen .................................................................................17 4.5 De rol van ICT en de grafische rekenmachine bij differentiaalrekening.......20 4.6 Andere aspecten .............................................................................................21

5. Ontwerpen............................................................................................................22 5.1 Representaties ................................................................................................23 5.2 Niveaus ..........................................................................................................25 5.3 Oefenen op rekenregels..................................................................................27 5.4 Toepassingen, contexten ................................................................................29 5.5 De grafische rekenmachine en andere ICT....................................................32 5.6 Tot slot ...........................................................................................................34

Literatuur..................................................................................................................35 Bijlage ......................................................................................................................38


- 2 -

1. Oriëntatie In de zeventiende eeuw kende de wiskunde een explosieve groei, die voor een groot deel werd geïnitieerd door de interesse voor continue veranderingsprocessen. De ontwikkeling van de differentiaalrekening komt grotendeels voort uit problemen rond het modelleren van bewegingen. Doorman (2000) beschrijft de hoofdlijnen van de geschiedenis van de differentiaalrekening. Hij laat zien dat de ontwikkeling van kinematische inzichten en de differentiaalrekening een langdurig en geleidelijk proces is geweest, waarvan de doorbraken gelokaliseerd kunnen worden in het werk van enkele personen, waar vooral Newton en Leibniz als grondleggers worden genoemd. Hoewel de differentiaalrekening uit ons huidige onderwijs niet meer weg te denken is heeft het toch enige tijd gekost voordat het onderwerp zijn weg naar de schoolboeken definitief vond. De eerste poging tot de invoering van de differentiaalrekening dateert van 1904-1908 door Vaes en Cikot. Hun motief was dat de differentiaalrekening binnen de natuurkunde en de mechanica al vaak, zij het op ‘verkapte wijze’, werd toegepast. Zij wilden graag een brug slaan tussen enerzijds de wiskunde en anderzijds vakken als natuurkunde en mechanica en hoopten zodoende een beter fundament voor de differentiaalrekening te creëren. Hun voorstellen werden echter afgewezen. In 1926 werd een tweede poging gedaan door Beth en Dijksterhuis. Hun motivering verschilt duidelijk van die van Vaes en Cikot, zij benadrukten de vormende waarde (zelfs het culturele aspect) van de differentiaalrekening voor de leerlingen. In tweede instantie noemden zij pas de technische vaardigheid. Toepassingen in andere vakgebieden worden wel genoemd maar zijn duidelijk minder belangrijk in hun motivering. Ook deze voorstellen werden afgewezen, onder andere op grond van overladenheid van het programma. Daarnaast kwam er veel weerstand vanuit het vervolgonderwijs, waar men toen ook een groot gebrek aan technische vaardigheden constateerde. Door toevoeging van nieuwe onderdelen zou dit alleen maar erger worden. Uiteindelijk werd de invoering in het Voortgezet Onderwijs in 1958 een feit. Bij de invoering van de Mammoetwet in 1968 werd de differentiaalrekening nog eens fors uitgebreid. De belangrijkste motieven waren dat het onderwerp: • gezien de verschillende toepassingsituaties een mooie brug zou kunnen slaan

tussen wiskunde en andere natuurwetenschappen en de ontwikkeling van het functioneel denken.

• leerlingen veel mogelijkheden biedt om technische vaardigheden te verwerven en te doorzien en daarmee de doorstroomrelevantie vergroot.

• zich goed leent voor de bèta-georiënteerde leerling om in te gaan op de wiskunde als wetenschapsdiscipline. De zoektocht van wiskundigen om te komen tot exacte formulering, waarbij zinsneden als “in de buurt van” en “gaat naar” in wiskundige taal sluitend worden beschreven.

Op dit moment zien we dan ook dat in de eindtermen van bijna alle profielen in het vwo en de natuurprofielen van het havo wordt vermeld dat leerlingen bijvoorbeeld het differentiaalquotiënt kunnen gebruiken als maat voor de lokale verandering en de afgeleide kunnen opstellen van een veeltermfunctie.


- 3 -

De opvattingen die bestaan ten aanzien van het onderwijzen van differentiaalrekening heeft in de laatste decennia de nodige veranderingen doorgemaakt. Niet alleen het gebruik van contexten, maar ook de komst van de grafische rekenmachine heeft z’n invloed gehad op het onderwijs in de differentiaalrekening. Opdracht Vergelijk het onderwerp differentiaalrekening uit een schoolboek uit de periode vóór 1984 met de huidige situatie. Noteer opvallende verschillen. De afgeleide ‘Afgeleide’ is een breed concept. Om een beeld te geven van de breedte van het concept staan hieronder termen en notaties die met afgeleiden te maken hebben: Raaklijn, gemiddelde verandering, snelheid, limietdefinitie, lineaire benadering, differentiaal, richtingscoëfficiënt, afgeleide functie, afgeleide waarde,

differentiequotiënt, gemiddelde snelheid, toenamediagram, marginale kosten, ddyx

,

versnelling, kettingregel, differentiaalvergelijking, helling, steilheid, ( )f x′ , momentane verandering, tweede afgeleide, hellinggrafiek, differentiëren. Veel woorden, met heel verschillende ladingen. Het gaat om een complex begrip. Dat blijkt bijvoorbeeld uit het onderzoek van Orton (1983). Orton nam een test af onder 110 studenten tussen de 16 en 22 jaar met vragen over afgeleiden. Op basis van de antwoorden op zo’n 40 opdrachten beschrijft hij een grote verscheidenheid aan fouten en misconcepties, bijvoorbeeld: • er wordt gevraagd naar een momentane verandering, maar studenten lezen de y-

waarde af.

• Een grote groep heeft moeite met het interpreteren van bijvoorbeeld d 2dyx

= −

• Studenten werden gevraagd om op basis van de grafiek hiernaast de gemiddelde verandering te berekenen (i) van A naar B, (ii) van B naar C en (iii) van A naar D. De eerste vraag (i) werd door veel studenten goed gedaan. Vraag (ii) ging veel minder goed, waarbij de meest voorkomende fouten het vergeten van het minteken was, en het gebruik van de x-coördinaat van C voor xΔ . Onderdeel (iii) bleek nog minder goede antwoorden op te leveren.


- 4 -

Figuur 1 uit: het onderzoek van Orton In dit hoofdstuk beperken we ons tot een klein, zij het wezenlijke onderdeel van de differentiaalrekening, namelijk de introductie van het concept afgeleide en de rekenregels voor differentiëren, en de rol die het gebruik van toepassingen hierbij speelt.

2. Probleemstelling Bij de introductie van de differentiaalrekening neem je beslissingen over vragen als: Werk je sterk vanuit contexten? Hoeveel tijd neem je voor de opbouw van een begrip, en hoeveel tijd besteed je aan het oefenen van de differentieerregels? Gebruik je toenamediagrammen bij de introductie van de afgeleide? Hoe bewerkstellig je de overgang van lokaal naar globaal? Welke mogelijkheden biedt de ICT ter ondersteuning van het begrip? Hoe sluit je aan op de toepassingen in andere vakken, natuurkunde, economie, ...? Waarin verschilt je uitleg voor de diverse doelgroepen, A- of een B- leerling, havo-vwo leerling? Deze keuzes worden geleid door schoolboeken, en eigen visies en ervaringen. Centraal in dit katern staan de vragen: 1. Wat moet de leerling leren over de afgeleide? Om welke feiten, procedures en

concepten gaat het ons in het wiskundeonderwijs over de afgeleide? 2. Wat is er moeilijk aan het onderwerp? 3. Hoe kun je dit onderwerp het beste onderwijzen? In de paragraaf Probleemverkenning gaan we dieper in op de drie vragen hierboven en verkennen we didactische problemen en mogelijkheden die optreden bij het leren en onderwijzen van de afgeleide. De paragraaf Wat weten we al? geeft een beschrijving van resultaten uit didactisch onderzoek met betrekking tot de drie vragen. In de paragraaf Ontwerpen geven we antwoord op de vragen en richten we ons op de praktische consequenties voor het ontwerpen van eigen onderwijs in differentiëren.


- 5 -

3. Probleemverkenning In deze probleemverkenning worden enkele aspecten van de probleemstelling vanuit ervaringen en onderzoeksgegevens verder toegelicht. We kijken bijvoorbeeld naar het spanningsveld tussen begrip en rekenregels, de snelheid waarmee de differentiaalrekening wordt geïntroduceerd, wiskundige correctheid, toepassingen en ervaringen met de grafische rekenmachine.

3.1 Begrip en regels Net als bij andere onderwerpen in de wiskunde zien we ook bij het differentiëren de spanning tussen enerzijds inzicht in het begrip en anderzijds de vaardigheid van het toepassen van regels, vooral omdat de afstand tussen de techniek van het differentiëren en het inzicht in de afgeleide erg groot is. Leerlingen die wel de afgeleide functie kunnen berekenen van 4 2( ) 3 8f x x x= − , maar niet van de functie

( ) 2f x x π= + . De vraag Bereken de afgeleide van 2( ) 5f x = is altijd goed voor veel verkeerde antwoorden. Orton (1983) beschrijft ook dat vrijwel alle studenten in zijn onderzoek een functie zoals 2 4 1y x x= − + kunnen differentiëren, maar dat ze weinig inzicht hebben in de achterliggende concepten.

3.2 Langzaam of snel Door ontwikkelaars van het Realistisch Wiskunde Onderwijs wordt al langere tijd gepleit voor een langzame opbouw van het onderwerp differentiëren (Kindt 1979, Wijers 1997). Martin Kindt schreef in 1979: Experimenten met leerlingen hebben ons geleerd dat een langere aanloopfase, voorafgaande aan het algoritmische werk en geplaatst in een meetkundige en natuurkundige context, het inzicht sterk kan bevorderen. In de aanloopfase werd veel aandacht besteed aan de discrete benadering (voor leerlingen toegankelijk) van waaruit wordt toegewerkt naar continue processen. Het limietproces komt daarin natuurlijker naar voren. In het VWO heeft deze visie er toe geleid dat de techniek van het differentiëren een tijd lang pas in de vijfde klas aan de orde kwam. Deze keuze wordt niet altijd gewaardeerd door collega’s van bijvoorbeeld natuurkunde en economie. Zij willen graag dat leerlingen een afgeleide kunnen berekenen, om daarmee bijvoorbeeld de marginale kostenfunctie of de formule voor de snelheid van een voorwerp op te stellen. Een goede overweging tussen enerzijds een geleidelijke opbouw ter versterking van het inzicht en anderzijds het aansluiten bij behoeften van verwante vakken is van groot belang. Bestaan er mogelijkheden om in een vroeg stadium leerlingen handvatten voor het concept gemiddelde toename te geven, die tegemoetkomen aan de vraag van verwante vakken en daarmee een fundament leggen voor het verder uitwerken van het wiskundige begrip van ‘de afgeleide’?


- 6 -

3.3 Het mathematisch geweten De introductie van de differentiaalrekening is sinds de invoering van wiskunde A en B erg veranderd. Tot die tijd werd de differentiaalrekening formeel ingevoerd. Eerst werden begrippen als ‘limiet’ en ‘continuïteit’ en ‘differentieerbaarheid’ behandeld, waarna de rekenregels voor differentiëren werden afgeleid. Een voorbeeld uit de methode Sigma 4

5 h (Cohen et al., 1978) staat in figuur 2. Dergelijke teksten komen nu niet meer in de schoolboeken voor. Is dat terecht?

Figuur 1 uit: Sigma 4,5 havo (Cohen et al. 1978) In 1970 schreef Van Dormolen (1970) in het hoofdstuk ‘Problemen inzake het analyseonderwijs’ uitgebreid over de vraag hoe streng (wiskundig exact) de behandeling van de analyse in vwo en havo moet zijn. Dat komt bijvoorbeeld naar voren in het volgende citaat (zie figuur 3):


- 7 -

Figuur 2 Van Dormolen (1970) over het ‘mathematisch geweten’. Van Dormolen behandelt in dit hoofdstuk verschillende definities van limieten, continuïteit en afgeleide, maar gaat genuanceerd in op de vraag van de strengheid van behandeling. We komen later op dit onderwerp terug.

3.4 Toepassen en transfer Het toepassen van kennis over afgeleiden in andere schoolvakken is een lastig probleem. Vaak wordt gerapporteerd dat leerlingen pas later inzien dat bepaalde natuurkundeformules uit elkaar zijn af te leiden door te differentiëren. Roorda, Vos & Goedhart (2007) beschrijven het denkproces van twee leerlingen die werken aan toegepaste problemen. Hieronder wordt een gedeelte uit het leerlingenwerk beschreven.

David en Mark David en Mark (Havo 5 N&T) werken samen aan een opdracht. De opdracht gaat over een vallende kogel, waarbij de hoogte om de 0,04 seconden gemeten is. In deze opdracht worden in een tabel en een grafiek de metingen van de hoogte weergegeven. Ook wordt de formule voor de hoogte gegeven, namelijk 2( ) 0,9 4,9h t t= − . De vraag is: Bereken met welke snelheid de kogel op de grond valt. David zegt: “Ik denk aan snelheid, dat heeft te maken met afstand en tijd, en volgens mij kun je dan aan de helling van dit (wijst het laatste stukje van de grafiek aan) aflezen hoe hard die neerkomt”

David berekent ΔΔ

ht

op een klein interval.

Mark maakt opmerkingen als: - iets met mv kwadraat, maar er moet nog iets voor - het was iets met half m v kwadraat, of was het mg kwadraat.

Figuur 3 Een opdracht uit het onderzoek van Roorda, Vos en Goedhart (2007)

Bij de beslissing over de vraag, of men een of ander moeilijk onderdeel van de wiskunde al of niet zal gaan behandelen, speelt gewoonlijk een van de volgende overwegingen een voorname rol: a. Het probleem is te moeilijk of de behandeling ervan te tijdrovend, zodat het verzwegen moet worden;

het gros van de leerlingen kan het toch niet onthouden. b. Het probleem is te moeilijk of de behandeling ervan te tijdrovend, zodat volstaan moet worden met een

globaal overzicht, waarvan reproductie door de leerlingen niet zal worden vereist. c. Het probleem is te moeilijk of de behandeling ervan te tijdrovend, zodat het, op een op strikt

mathematische gronden niet steeds aanvaardbare wijze, vereenvoudigd dient te worden. Elke leraar zal van tijd tot tijd een dergelijk besluit moeten nemen. Vaak zal het genomen besluit de keuze van de didactische werkvorm bepalen. Als voorbeeld noemen we de vraag, of men stellingen over continuïteit en limieten al of niet moet bewijzen. De leraar zal van geval tot geval een beslissing moeten nemen, waarbij naar onze mening standpunt a het meest bezwaarlijk is. Toch was het in het vhmo geen uitzondering dat de differentiaalrekening werd onderwezen zonder dat er bij de continuïteitsproblematiek was stilgestaan. Ten aanzien van standpunt c zijn wij van mening, dat de vereenvoudiging nimmer zover mag gaan, dat het eigenlijke probleem wordt verdoezeld of dat de behandeling ervan in strijd raakt met het ‘mathematisch geweten’ van de leraar. (Van Dormolen, 1970)


- 8 -

Het valt op dat de laatste leerling sterk terugvalt op procedures en regeltjes die hij bij natuurkunde heeft geleerd. Hij ziet niet in dat er ook methoden uit de wiskundeles ingezet kunnen worden. De eerste leerling benadert de problemen meer open, en denkt na over de betekenis van de begrippen. Beide leerlingen komen overigens niet op het idee om de afgeleide te berekenen, terwijl ze daar in de afgelopen twee jaar in de wiskundeles toch veel mee geoefend hebben. De grafische rekenmachine De grafische rekenmachine heeft opties om de afgeleide in een punt en de vergelijking van de raaklijn te laten bepalen. Ook kan de grafische rekenmachine de grafiek van de afgeleide functie plotten. In een kleinschalig onderzoek naar het gebruik van de grafische rekenmachine bij de introductie van afgeleide concludeert Sherhan (2006) dat het gebruik van een grafische rekenmachine en de nadruk op de visuele en numerieke representaties bij afgeleiden studenten helpt om goed begrip van afgeleiden op te bouwen. Aan de andere kant wordt er ook vaak gewaarschuwd voor het klakkeloze gebruik van (opties van) de rekenmachine. Hieronder staan twee voorbeelden van leerlingen die aan het werk zijn met de opdracht over de kogel hierboven

Figuur 4 Andy en Otto aan het werk Andy gebruikt handig de optie dy/dx om te controleren of zijn antwoord goed is. Bijzonder is wel dat Andy tijdens het werken aan deze opdracht geen melding maakt van het feit dat hij ook nog zou kunnen differentiëren om het antwoord te controleren. Otto weet dat de rekenmachine de raaklijn kan plotten en berekenen. Hij weet alleen niet (meer) hoe hij de formule van de raaklijn moet interpreteren. Wil je leerlingen de knoppen van de rekenmachine leren? Welke mogelijkheden van de rekenmachine kun je dan het beste gebruiken?

Andy (VWO5 N&T, eind van het schooljaar) Andy werkt aan de opdracht over de vallende kogel (zie hierboven) De vraag is hoe je de snelheid na 0,24 seconden kunt berekenen. Andy besluit dan om de raaklijn te bereken. Hij tekent de raaklijn, leest de helling af. Daarin maakt hij een fout. Om het {verkeerde} antwoord te controleren gebruikt Andy nu zijn grafische rekenmachine. Hij plot de grafiek en berekent met optie 6 (dy/dx) de helling voor t=0,24. Hij vind 2,352 m/s Otto (VWO 5 N&T, november) O: Nou het zit bij draw en dan, en dan ‘Tangent’ [Loopt met de cursor naar 0,24, maar komt op x=0,2340 te staan, denkt na en schrijft] nou is ie goed. [schrijft op het blaadje f(x)=–2,293…x+1,17] 10.10 I: Wat denk je ervan? O: Nou nu weet je…kun je er een formule voor maken, en dan moet je het omzetten volgens mij nog in snelheid. En eh…x is in ieder geval…….[denkt na] [….].ik denk dat ik niet veel wijzer ben.


- 9 -

3.6 Conclusie We zijn ingegaan op het spanningsveld tussen inzicht in het concept afgeleide en het berekenen van afgeleiden met de differentieerregels. Het ontwikkelen van begrip vraagt tijd. Dit leidt tot een spanning met de behoefte van andere schoolvakken, die de afgeleide graag eerder in het curriculum gebruiken. De wiskundedidacticus Van Dormolen laat zien dat er in het onderwijs een keuze gemaakt moet worden in de wiskundige strengheid. Een abstracte (strenge) benadering kan gezien worden als een mooie illustratie van zuivere abstracte wiskunde, maar een (te) hoog abstractieniveau kan barrières op leveren bij het toepassen van differentiaalrekening in een andere, bijvoorbeeld natuurkundige, context. Ontwikkelingen op het vlak van de ICT, zoals de grafische rekenmachine bieden steeds meer nieuwe mogelijkheden, waarbij het van belang is om goed te doordenken hoe deze ingezet moeten worden.

4. Wat weten we al? Wat levert vakdidactisch onderzoek ons op ten aanzien van de gesignaleerde problematiek? Hieronder gaan we in op enkele belangrijke aspecten van het leren van het concept afgeleide, die in vakdidactisch onderzoek naar voren komen. Allereerst wordt beschreven wat we onder het concept afgeleide verstaan. Vervolgens worden enkele aspecten van het concept nader uitgewerkt, zoals de strengheid van behandeling, het leren van rekenregels, de rol van toepassingen, en de invloed van ICT.

4.1 Het concept afgeleide Het beginkatern (Van Streun 2008) beschrijft dat kennis is georganiseerd in samenhangende schema’s. Bij leerlingen ontwikkelt zich in de loop van de tijd een schema van het concept ‘afgeleide’. Het leren van een leerling kun je zien als een continu proces van aanvullen en transformeren van aanwezige schema’s. Hoewel de kennis van ieder mens op geheel eigen manier is gestructureerd, is het in een leerproces van belang om na te gaan op welke manier een schema opgebouwd kan worden. In deze paragraaf gaan we verder in op de vraag hoe een afgeleidenschema er uit zou kunnen zien. Daarbij maken we onderscheid tussen verschillende representaties, niveau’s binnen representaties en toepassingen. Representaties In veel onderzoeken over het leren van afgeleide wordt het belang van verschillende representaties benadrukt. Om het concept ‘afgeleide’ goed te begrijpen en in probleemsituaties toe te passen, moeten leerlingen de relaties zien tussen de analytische, de grafische, de numerieke en de verbale representatie van de afgeleide (Zandieh, 2000; Kendal & Stacey, 2003). Zie figuur 6.

Leerlingen die inzien dat het differentiequotiënt yx

ΔΔ

(analytisch), de helling van een

koorde (grafisch) en de gemiddelde toename op een interval (numeriek) verschillende representaties zijn van hetzelfde en daar ook de juiste termen voor gebruiken (verbaal), hebben overzicht over een deel van het concept afgeleide. Deze verschillende representaties moeten onderdeel zijn van het cognitieve schema van het begrip afgeleide.


- 10 -

Figuur 5 Analytische, grafische en numerieke representatie van het differentiequotiënt Niveaus binnen een representatie Binnen de representaties kun je verschillende niveaus onderscheiden. Een functie f en zijn afgeleide ′f zijn beide onderdeel van de analytische representatie, net als de

definitie 0

( ) ( )'( ) limh

f x h f xf xh→

+ −= . Toch hebben ze een heel verschillende

betekenis. Ook grafisch zijn deze niveaus te onderscheiden: De raaklijn aan een grafiek en een grafiek van de afgeleide zijn beide grafische representaties, maar wel op een verschillend niveau. De grafiek van de afgeleide geeft immers voor elke waarde van x de richtingscoëfficiënt van de raaklijn weer. Voor een goed begrip van het concept afgeleide moeten deze verschillende niveaus onderdeel zijn van het cognitieve schema van het begrip afgeleide en krijgen deze verschillende niveaus een plek. Toepassingen, contexten Het concept ‘afgeleide’ wordt gebruikt in andere schoolvakken, zoals natuurkunde, scheikunde en economie. Bij economie bijvoorbeeld in theorie over marginale kosten en opbrengsten, bij natuurkunde in kinematica, maar ook bijvoorbeeld bij het radioactief verval, bij scheikunde als het gaat om reactiesnelheid van een chemische reactie. Tegelijkertijd vervult de natuurkundige context van ‘afgelegde weg’ en snelheid een didactische rol in het wiskundeboek bij de introductie van differentiëren. Ook deze aspecten moeten leerlingen een plek geven in hun cognitieve schema van het begrip afgeleide. Een overzicht van het concept afgeleide De drie hierboven genoemde aspecten worden in figuur 7 samengevat in een schema. Het is gebaseerd op een overzicht voor de ontwikkeling van lesmateriaal (Kindt, 1979) en een onderzoeksinstrument voor het meten van kennis van leerlingen over afgeleiden (Zandieh, 2000). In het schema zijn relaties die relevant zijn voor het concept ‘afgeleide’ in beeld gebracht.

x 0 1 2 3 4 5 y 3,5 5 5,5 5 3,5 1

1yx

Δ= −

Δ4xΔ =

4yΔ = −


- 11 -

Analytisch Grafisch Numeriek Verbaal

Niveau 1 F1: f functie

G1: grafiek

N1: tabel

tabel, grafiek, functievoorschrift, functie, formule, grootheid

Niveau 2 F2: fx

ΔΔ

differentiequotiënt

G2: gemiddelde helling

N2: gemiddelde toename/ verandering

differentiequotiënt gem. toename of afname, gem. verandering, gem. hellling, gem. snelheid

Niveau 3 F3: ddfx

differentiaalquotiënt

G3: richtingscoëfficiënt raaklijn

N3: momentane verandering

differentiaalquotiënt, afgeleide in een punt, momentane verandering richtingscoëfficiënt raaklijn, snelheid op één moment, helling in een punt

Niveau 4 F4 : f ′ afgeleide functie

G4: grafiek van de afgeleide functie

N4: tabel met afgeleide waardes

afgeleide, hellinggrafiek, gedifferentieerde functie, toenamediagram

Figuur 6 Schema van het concept afgeleide (zie Roorda et al. 2007) In de volgende paragrafen gebruiken we dit schema als uitgangspunt voor het bespreken van aspecten die in vakdidactisch onderzoek genoemd worden bij het concept afgeleide. Paragraaf 4.2 gaat in op de overgang van niveau 2 naar niveau 3 dat is de overgang van discreet naar continu. Daarbij gaan we specifiek in op de overgang van F2 naar F3, omdat het een discussiepunt is hoe uitgebreid een docent in het VO moet ingaan op de limietovergang die hierbij een rol speelt

Economie: bv. marginale grootheden

Natuurkunde: bv. snelheid, versnelling, activiteit bij radioactief verval Scheikunde: bv

reactiesnelheid

Andere contexten: bv groeisnelheid, verandering van temperatuur


- 12 -

In paragraaf 4.3 gaan we in op een de rekenregels voor differentiëren. In bovenstaand schema gaat het dan om de overgang van F1→F4. Paragraaf 4.4 gaat in op de pijlen die getrokken zijn naar de toepassingen of contexten. In paragraaf 4.5 gaat het over de rol van ICT en in het bijzonder de grafische rekenmachine. Dergelijke apparatuur maakt het mogelijk om snel te switchen tussen de analytische, de grafische en de numerieke kolom. In paragraaf 4.6 worden nog enkele aspecten uit het schema kort besproken, namelijk notaties en de rol van de verbale representatie.

4.2 Niveaus van het concept afgeleide: Van discreet naar continu (niveau 2 naar niveau 3) Al eerder werd opgemerkt dat ‘afgeleide’ een complex begrip is. Deze complexiteit willen we in deze paragraaf nader analyseren door in te gaan op de vier niveaus in het schema van paragraaf 4.1. Vervolgens zoomen we in op de overgang van het discrete niveau 2, naar het ‘continue’ niveau 3. We gaan daarna nog specifiek in op de stap van F2 naar F3, omdat vooral deze overgang belangrijk is voor het wiskundig correct invoeren van de afgeleide. De niveaus in het schema In het schema worden vier niveaus aangegeven. Bij de overgang van een niveau naar het volgende niveau speelt de proces-object dualiteit een rol, die ook in het katern ‘Vergelijkingen vergelijken’ (Drijvers & Kop, 2008) beschreven wordt. De drie proces-object paren van het concept afgeleide worden beschreven door Michelle Zandieh (2000). Hieronder volgt een concretisering van de drie proces-object paren. Niveau 1→ niveau 2 : Een differentiequotiënt is een deling (proces). In leerlingentaal zou je zeggen: ‘als je 2 opzij gaat, ga je 5 omhoog, dus dan is de gemiddelde toename 5:2=2,5.’ Het delen van 5 door 2 dus :y xΔ Δ is de berekening die je uitvoert (het proces). De

uitkomst yx

ΔΔ

= 2 12 is een getal (het object). Als een leerling wil begrijpen wat de 2 1

2

betekent, moet hij begrijpen waar het getal 2 12 ‘vandaan komt’ en dus het

onderliggende proces begrijpen. Niveau 2→ niveau 3: Door de x-waarde steeds dichterbij elkaar te kiezen (proces)

naderen de differentiequotiënten steeds dichter het differentiaalquotiënt ddyx

(object).

Dit wordt verder uitgewerkt. Niveau 3→ niveau 4: Door voor elke x-waarde het differentiaalquotiënt te nemen (proces) ontstaat een nieuwe functie, de afgeleide functie f ′ (object). Of in grafische termen: je kunt in elk punt van de grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn bereken (proces). De waarde van deze uitkomsten kun je weer in een nieuwe grafiek uitzetten, de ‘hellinggrafiek’ (object). Een leerling die het moeilijk vindt om een hellinggrafiek te interpreteren moet weer terug naar een lager niveau, namelijk dat de betekenis van één punt van de hellinggrafiek een richtingscoëfficiënt is.


- 13 -

Het belang van het herkennen van de ‘proces-object paren’ is gelegen in het feit dat voor een goed begrip van een bepaald niveau de voorliggende niveaus goed begrepen moeten worden. Overigens concludeert Hähkiöniemi (2006) in zijn proefschrift over de rol van representaties bij het leren van afgeleiden, dat het leren van de niveaus niet altijd stapsgewijs van niveau 1 naar niveau 4 gaat. Leerlingen konden in bepaalde situaties adequaat handelen met de afgeleide functie, zonder de onderliggende proces te kunnen benoemen. Toch zullen voor een compleet cognitief schema alle vier niveaus begrepen moeten worden. Van discreet naar continu (niveau 2 → niveau 3) We staan apart stil bij de overgang van discreet naar continu, omdat het de vraag is of je in het onderwijs eerst uitgebreid moet ingaan op veranderingen op een discreet niveau, bijvoorbeeld met behulp van toenamediagrammen, of dat er toch al snel een stap genomen moet worden naar het differentiaalquotiënt en de afgeleide functie. Michiel Doorman (2003) beschrijft met enkele citaten de worsteling om met wiskundige middelen greep te krijgen op het begrip momentane snelheid. Een bijzonder probleem met dit begrip is het gebruik van een tijdsinterval en een moment. Dijksterhuis (1950) meldt hierover: Er zit iets paradoxaals in, te willen aangeven, hoe een grootheid op een zeker tijdstip bezig is te veranderen, terwijl het begrip verandering noodzakelijk vereist dat er een zeker tijdvak verloopt. Bij leerlingen treedt het probleem op dat zij het begrip snelheid niet zien als samengestelde grootheid van afgelegde weg en tijd, maar als eigenschap van een bewegend object. Doorman ontwikkelde daarom lesmateriaal waarin het snelheidsbegrip vanuit een discrete aanpak ontwikkeld wordt. Grafieken van (discrete) verplaatsingen vormen de ingang tot het snelheidsbegrip en vervolgens ook voor de afgeleide. Ook in het lesmateriaal dat voor de Tweede Fase in 1998 werd ontwikkeld, is gekozen voor een langzame discrete opbouw van het differentiëren. In VWO 4 werd in eerste instantie alleen gewerkt aan discrete analyse (Wijers, 1997). Pas in VWO 5 werd de stap gemaakt naar rekenregels voor afgeleiden. Een probleem is om de kennis die langzaam vanuit discrete situaties wordt opgedaan onderdeel te laten worden van het formele kennissysteem. Doorman (2003) formuleert het zo: De uitdaging is om er vervolgens voor te zorgen dat de leerlingen de informele aanpakken ontwikkelen tot gewenste onderdelen van het formele kennissysteem. De opbouw waarin eerst lang wordt stil gestaan bij discrete situaties, staat in schril contrast met de aanpak die in de jaren vanaf 1968 in het voorgezet onderwijs werd gevolgd. Daarin werd de differentiaalrekening juist onderwezen vanuit het formele kennissysteem. Al snel werd dan de afgeleide geïntroduceerd met behulp van de limietdefinitie, en zo de stap naar het continue niveau 3 gemaakt. Het gevolg van deze aanpak is dat een grote groep leerlingen niet goed betekenis kan geven aan bijvoorbeeld een afgeleide functie of een differentiaalquotiënt (zie bijvoorbeeld Orton 1983). Ook zonder een formele behandeling van de limietdefinitie wordt er in schoolboeken soms al snel de stap gemaakt naar de rekenregels voor afgeleiden. Op basis van (vakdidactische) onderzoeken is moeilijk te zeggen welke aanpak het beste werkt voor leerlingen. Een aanpak waarin snel de stap naar het continue niveau wordt gemaakt, kan tot gevolg hebben dat de formele kennis geen betekenis heeft voor leerlingen. Maar in de opbouw waarin begrippen langzaam vanuit discrete situaties worden ontwikkeld is de stap naar het formele kennissysteem lastig.


- 14 -

We gaan in deze paragraaf nog verder in op de formele limietdefinitie, de overgang van differentie- naar differentiaalquotiënt. F2 → F3 van differentie- naar differentiaalquotiënt De overgang van het differentiequotiënt naar het differentiaalquotiënt is een limietproces, waarbij het een voorwaarde is dat deze limiet bestaat. In diverse onderzoeken komt naar voren dat veel leerlingen moeite hebben met het begrijpen van het limietconcept. In de al eerder genoemde onderzoeken van Zandieh (2000) en Orton (1983) blijkt dat leerlingen bijvoorbeeld wel differentieerregels kunnen toepassen, maar dat het limietproces voor deze leerlingen nog steeds moeilijk blijft. Dit zal er allicht de oorzaak van zijn dat Wansink in zijn schoolmethode Algebra voor het VHO en MO in het voorwoord opmerkt dat het hoofdstuk met de behandeling van het limietbegrip ‘in eerste instantie’ ook wel overgeslagen kan worden (Smid, 2000) Een docent die wilde, kon het hoofdstuk wel behandelen. Van Dormolen (1970) gaat uitgebreid in op de strengheid van behandeling van de analyse. Van Dormolen bespreekt vier verschillende definities van ‘differentieerbaarheid’ en afgeleide. In figuur 8 volgen de definities die volgens van Dormolen het meest passen in ‘de middelbare school’.

Figuur 8 De meest passende definities voor differentieerbaarheid en afgeleide (Van Dormolen, 1970) Van Dormolen betoogt dat het in havo en vwo niet mogelijk is om volledige strengheid door te voeren. Bij te grote strengheid ontstaat het gevaar dat de leerlingen een gevoel van onmacht krijgen doordat ze toch zelden of nooit iets helemaal goed schijnen te doen. Van Dormolen is van mening dat ‘er in een aantal gevallen genoegen zal moeten worden genomen met waarnemingen die berusten op intuïtie, ondanks alle gevaren die hieraan verbonden zijn’. In een artikelenserie in het tijdschrift ‘Mathematics teaching’ betoogt David Tall (1985a en 1985b) dat een introductie van de differentieerregels in eerste instantie zonder een formele discussie van het limietproces kan plaatsvinden. Het moment waarop het limietconcept wordt geïntroduceerd hangt af van de ‘readiness’ van de leerling. Tall geeft aan dat de noodzaak voor limieten goed bediscussieerd kan

worden bij de introductie van de afgeleide van x

xf 1)( = . De richtingscoëfficiënt van

a. De functie f heet differentieerbaar in x, als het getal lim ( ) ( )0

f x h f xh h

+ −→

bestaat. Dit getal wordt de afgeleide van f in x genoemd en aangeduid door het symbool ( )f x′ . b Men noemt f differentieerbaar in x, als er een getal bestaat, dat alleen afhangt van f en x en daarom aangeduid wordt door het symbool ( )f x′ , zodanig dat

( ) ( ) ( )f x h f x h f x h ε′+ = + ⋅ + ⋅ waarbij 0

lim 0h

ε→

= .

Het getal ( )f x′ heet de afgeleide van f in x.


- 15 -

een koorde op het interval [x,x+c]is te berekenen met

)(1)()(

cxxcxfcxf

xy

+−

=−+

=ΔΔ . Wil deze formule voor alle waarden van x, ook in

de buurt van x = 0 de richtingscoëfficiënt geven, dan moet c naar nul naderen. (zie Tall, 1985a) Of is de hele discussie over de ‘strengheid van behandelen’ achterhaald? Want daarvoor moeten de begrippen limiet, continuïteit en differentieerbaarheid worden behandeld. Deze begrippen zijn sinds de invoering van de Tweede Fase in 1998 geen onderdeel meer van het wiskundeprogramma. Dat maakt een strenge behandeling eigenlijk onmogelijk. Het is de vraag of dit een wenselijke situatie is. Voor de leerlingen die verder gaan in een exacte studie is het wel degelijk van belang om stil te staan bij een nauwkeurige definiëring van een afgeleide. In elk geval zal in het voorbereidende wetenschappelijk onderwijs naar voren moeten komen dat een definitie nodig is, omdat er anders bij allerlei soorten functies, zoals xxf =)( of 3)( xxf = onduidelijkheden gaan ontstaan. Conclusie In het schema van het concept afgeleide zijn vier niveaus te onderscheiden. De overgang van het ene niveau naar het volgende heeft steeds te maken met de overgang van een proces naar een object. Dit maakt ook de complexiteit van het concept extra zichtbaar. Om een niveau goed te begrijpen is het nodig om het voorgaande niveau zowel op ‘object’ niveau als op ‘proces’ niveau te begrijpen. In deze paragraaf is de overgang van het discrete naar het continue niveau (niveau 2→ niveau 3) uitgewerkt. Het is de vraag hoe uitgebreid een leerling op niveau 2 moet werken, voordat de stap naar niveau 3 gemaakt kan worden. Ook is de vraag in hoe formeel de afgeleide geïntroduceerd moet worden. Een te formele introductie is voor een grote groep leerlingen te hoog gegrepen. Maar voor leerlingen die verder gaan in een exacte studie moet wel duidelijk worden dat definities nodig zijn.

4.3 Rekenregels voor de afgeleide In het voortgezet onderwijs komt op den duur veel nadruk te liggen op de overgang F1 → F4; van functie naar afgeleide functie. Leerlingen moeten allerlei rekenregels leren gebruiken voor het berekenen van afgeleiden. Omdat dit oefenen van rekenregels belangrijk is, en ook een centrale plaats inneemt in het onderwijs van de differentiaalrekening, staan we er in deze paragraaf apart bij stil. Nadat (meestal heel begripsmatig) de afgeleide van machtsfuncties met gehele exponent is geïntroduceerd, volgen de som-, product-, quotiënt- en kettingregel, en ook nog de afgeleide van allerlei andere standaardfuncties. Het vergt veel oefening om deze regels zonder fouten te kunnen toepassen. Veel oefenen op eenzelfde techniek kan in de hand werken dat het zicht op het achterliggende concept verloren gaat. (Freudenthal,1991) Aan de andere kant kan te weinig oefening het gevolg hebben dat een leerling bij het maken van een opdracht veel ruimte in zijn werkgeheugen nodig heeft voor het vinden van de afgeleide functie. Dit gaat ten koste van het nadenken over de opdracht zelf (Van Streun, 2008)


- 16 -

Dit betekent dat het belangrijk is om na te denken over hoe je enerzijds het oefenen van de rekenregels expliciet aandacht geeft en anderzijds daarbij het inzicht niet verloren laat gaan. Dat kan heel goed bij door bij de introductie van de rekenregels terug te komen op onderliggende niveaus van het afgeleidenschema. Daarnaast is het van belang dat leerlingen regelmatig gevarieerde en geïntegreerde oefeningen maken. Het terugkomen op lagere niveaus illustreren we aan de hand van de kettingregel Terugkomen op lagere niveaus: De kettingregel Voor leerlingen is het makkelijk om de somregel te accepteren, immers ( )f g f g′ ′ ′+ = + past goed bij hun intuïtieve gevoel voor lineariteit. De situatie wordt anders wanneer we kijken naar de productregel of de kettingregel. Het intuïtieve gevoel dat bij de somregel nog tot resultaat leidde, werkt niet bij bijvoorbeeld product- en kettingfuncties. Het is voor leerlingen verleidelijk om ook ( * )f g ′ gelijk te stellen aan *f g′ ′ of [ ( ( ))]f g x ′ aan ( ( ))f g x′ ′ . De verleiding om deze fout te maken zal voor leerlingen groot zijn, wanneer ze niet op gezette tijden nadrukkelijk stil staan bij het waarom van deze regels. Daarom is het belangrijk voor het goed begrijpen van de kettingregel een schema op te bouwen, dat het proces van het samenstellen van functies bevat, en dit koppelt aan een inzichtelijk (en hopelijk al aanwezig) schema voor differentiëren (Clark et al.,1997). Clark et al. constateren verder dat problemen die studenten hebben met het begrip van de kettingregel vooral ontstaan door problemen die studenten ondervinden bij het begrijpen van het samenstellen van functies. In de huidige schoolmethoden is deze gedachte terug te vinden doordat de behandeling van de kettingregel voorafgegaan wordt door een uiteenzetting over het samenstellen van de functies (zie figuur 9).

Figuur 9 Een ketting van functies Moderne Wiskunde A2 (1998)


- 17 -

In deze opgave wordt grafisch aannemelijk gemaakt dat een kleine verandering in één schakel van de kettingfunctie gevolgen heeft voor de veranderingen in alle andere schakels. De kettingregel wordt uitgelegd met behulp van substituties. Het correct kunnen toepassen van de kettingregel staat of valt met het vooraf analyseren van de volgorde van de schakels en het daarbij horende effect op de afgeleide. Wanneer we dit probleem vormgeven vanuit een geschikt gekozen context kan de betekenis van de kettingregel verder versterkt worden en betekenis krijgen. Opdracht Hoe zou je het inzicht in de productregel op basis een context kunnen ondersteunen? Gevarieerde en geïntegreerde oefening In het katern ‘Vergelijkingen vergelijken’(Drijvers & Kop, 2008) is aan de orde geweest dat je het oefenen op meerdere manieren kan vorm geven. Ook hier is gebleken dat gevarieerde en geïntegreerde oefeningen, waar inzicht en automatiseren hand-in-hand gaan het meest effect hebben. Geïntegreerd oefenen betekent dat vaardigheden als ze eenmaal zijn ontwikkeld, regelmatig moeten terugkomen. Bij andere onderwerpen in het wiskundeonderwijs, zoals bij het bepalen van extremen, buigpunten, integreren of bij de goniometrische functie, komt deze vaardigheid echter terug, Dit biedt de mogelijkheid terug te komen op de eerder aangeleerde vaardigheid. Regelmatig terugkomen op vaardigheden blijkt effectiever dan één keer veel oefenen op dezelfde vaardigheid. Wat het gevarieerde oefenen kan inhouden bij afgeleiden wordt nader besproken in de paragraaf ontwerpen. Conclusie In deze paragraaf zijn we ingegaan op hoe rekenregels ondersteund kunnen worden door deze met inzicht in te voeren, door gebruik te maken van onderliggende niveaus van het afgeleide schema. Daarnaast is het van groot belang dat rekenregels geoefend en onderhouden worden. Door oefening gevarieerd aan te bieden en te ondersteunen met voorbeelden, is vaardigheid te bevorderen.

4.4 De rol van toepassingen De afgeleide kent veel toepassingen in allerlei vakgebieden. In de schoolvakken zijn het vooral de raakvlakken met natuurkunde (snelheid, versnelling, activiteit van radioactief materiaal), economie (marginale kosten) en in mindere mate scheikunde (reactiesnelheid). In het afgeleidenschema is dat weergegeven met de pijlen naar de diverse toepassingsgebieden. Ook in de genoemde toepassingsgebieden kun je de vier niveaus aangeven. In figuur 10 is dat voor de toepassingen die uit andere schoolvakken komen ook gedaan.


- 18 -

Wiskunde Scheikunde Economie Natuurkunde F1: f functie

S1: [N] concentratie

E1: TK totale kosten

Na1: ( )s t plaats

Nb1: ( )v t snelheid

F2: fx

ΔΔ

differentie-quotiënt

S2: [ ]N

tΔ

Δ

gemiddelde reactiesnelheid

E2: [ ]TK

qΔ

Δ

gemiddelde toename van de kosten per producteenheid

Na2: s

tΔΔ

gemiddelde snelheid

Nb2: vt

ΔΔ

gemiddelde versnelling

F3: '( )f a afgeleide in een punt

S3: [ ]d N

dt

E3: [ ]d TK

dq

voor q a=

Na3: ds

dt

voor t a= momentane snelheid

Nb3: dvdt

voor t a= momentane versnelling

F4: 'f afgeleide

S4: s reactiesnelheid

E4: MK marginale kosten

Na4: ( )v t snelheid

Nb4: ( )a t versnelling

Figuur 10 Schema van toepassingen Bij de genoemde toepassingen speelt de natuurkundige ’snelheids –context’ een bijzondere rol. Je kunt deze context zien als natuurkundige toepassing van het wiskundige begrip ‘afgeleide’. Maar ook als intuïtieve voorkennis die van pas kan komen bij de wiskundige begripsontwikkeling. De snelheidscontext is bovendien bij uitstek de context, die het belang van differentiëren als maat voor de snelheid betekenis geeft. Door de ontwikkeling van het begrip “afgeleide” te koppelen aan het natuurkundige fenomeen snelheid kun je gebruik maken intuïties en inzichten waarover leerlingen beschikken (zie ook paragraaf 4.2). In deze paragraaf gaan we in op de volgende aspecten: • De rol van de snelheidscontext bij de begripsontwikkeling; • het toepassen van de kennis over afgeleiden in andere schoolvakken en • problemen die leerlingen en docenten ervaren bij de transfer van kennis over

differentiaalrekening. De rol van de natuurkundige ‘snelheidscontext’ Diverse onderzoekers zien het gebruik van het intuïtieve snelheidsbegrip als zinvol onderdeel bij de begripsontwikkeling van de afgeleide. (Doorman, 2005; Hähkiöniemi, 2006; Tall, 2007). Hähkiöniemi, een Finse onderzoeker, heeft vanuit de bevindingen van zijn onderzoek een leertraject opgesteld voor het afgeleide begrip. In dat leertraject wordt de introductie van de differentiaal opgezet vanuit de fysiche context van beweging. Het traject vanuit beweging en gaat via begrippen als (gemiddelde) snelheid naar (gemiddelde) verandering van een functie, in eerste instantie op basis van de grafiek, maar daarna ook met analytische representatie. Doorman (2003) concludeert dat zich hier ook juist een probleem voordoet. Bij wiskunde worden afstand-tijd grafieken gebruikt om het differentiequotiënt en het


- 19 -

differentiaalquotiënt betekenis te geven als maat voor het snelheidsverloop. Daarvoor hebben leerlingen inzicht nodig in de samenhang tussen snelheid en afgeleide weg die in een s-t grafiek zijn weergegeven. Maar bij natuurkunde probeert men leerlingen dat inzicht tussen snelheid en afgelegde weg juist met behulp van grafieken bij te brengen. Vanuit deze observatie heeft Doorman onderzocht of er een geïntegreerde aanpak van differentiaalrekening en kinematica mogelijk is. Het voert te ver om in te gaan op de conclusies van Doorman (2005). Het bleek dat er goede mogelijkheden zijn, maar dat er ook verder gaande ontwikkeling en onderzoek nodig is voor deze geïntegreerde differentiaalrekening-kinematica cursus. In het artikel “Integratie van kinematica en differentiaalrekening” van Doorman (2003) kunt u hier meer over lezen. Van Streun en Sinnema (1984) hebben in een onderwijsexperiment de natuurkunde en wiskundelessen rondom differentiaalrekening en kinematica op elkaar afgestemd. In de wiskundelessen werd ingegaan op de snelheidscontext, maar ook op andere contexten waarin veranderings ‘snelheid’ een rol speelt, zoals bijvoorbeeld de economische kosten-context. Het bleek dat de leerlingen die aan dit experiment deelnamen bij het natuurkundeproefwerk significant hoger scoorden dan de controlegroep die de gewone wiskunde en natuurkundelessen kregen. Uit bovenstaande wordt duidelijk dat er meerdere mogelijkheden zijn om de ‘snelheidscontext’ in te zetten bij de begripsontwikkeling van de differentiaalrekening: • als intuïtieve notie bij de ontwikkeling van het wiskundige begrip; • afgestemd op kinematica; • geïntegreerd met kinematica. Toepassen Zoals beschreven in het inleidende katern (Van Streun, 2008) geldt voor experts op een vakgebied dat hun kennis is georganiseerd in onderling samenhangende schema's en efficiënt gekoppeld aan typen situaties waarin die kennis kan worden benut. Een beginner moet deze schema’s nog gaan vormen. In het verleden is duidelijk geworden dat wiskundeonderwijs waarin alleen gefocust werd op de analytische representatie (limietdefinitie, afgeleiden opstellen) door leerlingen moeilijk wordt toegepast in problemen buiten de wiskunde. Leerlingen zien dan bijvoorbeeld helemaal niet de relaties tussen differentiëren, en formules voor afgelegde weg, snelheid en versnelling in het schoolvak natuurkunde, of met formules voor marginale kosten en opbrengsten bij economie. Dit is overigens ook een risico bij onderwijs waarin de wiskundekennis sterk gekoppeld wordt aan één context. Zo kan een opbouw waarin de differentiaalrekening alleen maar gekoppeld wordt aan de snelheids-context tot gevolg hebben dat de kennis ook gekoppeld blijft aan die ene context. Hoe zorgen we nu dat kennis, procedures en vaardigheden geleerd bij het ene vak verbonden worden en gebruikt worden in andere situaties. Het bevorderen van deze zogenaamde transfer blijkt niet eenvoudig en is al jarenlang object van onderzoek geweest. In het boek How people learn (Bransford, 2000) worden in het hoofdstuk over “Learning and Transfer” de volgende aanbeveling gedaan:


- 20 -

Kennis die is onderwezen binnen één bepaalde context, heeft minder kans op flexibele transfer dan kennis die is gekoppeld aan meerdere contexten. Het gebruik van goed gekozen contrasterende voorbeelden kan de leerlingen helpen onderscheiden wanneer de nieuwe kennis toepasbaar is. Abstracte representaties van problemen of concepten kunnen transfer helpen bevorderen, terwijl kennis die alleen aan contexten is gebonden transfer tegenwerkt. Conclusie De snelheids-context speelt een aparte rol in het onderwijs van de differentiaalrekening. Deze context kan goed gebruikt worden als intuïtieve introductie van het begrip afgeleide. Het begrip afgeleide kan zelfs in het geheel vanuit de analyse van bewegingen worden opgebouw. Een dergelijk opbouw heeft wel het risico dat transfer naar andere contexten wordt beperkt. Voor flexibele transfer is het nodig om meerdere contexten of toepassingen te gebruiken. Ook abstracte representaties kunnen transfer bevorderen.

4.5 De rol van ICT en de grafische rekenmachine bij differentiaalrekening

Figuur 11 Grafiek van de Blancmange functie Computers en grafische rekenmachine geven weer nieuwe mogelijkheden voor het onderwijs in de differentiaalrekening. Al snel nadat computers ook voor scholen en leerlingen beschikbaar waren deed David Tall onderzoek naar de mogelijkheden van computersoftware bij de introductie van differentiaalrekening. Tall gebruikte vooral de mogelijkheid om in te zoomen op de grafiek en zo te ervaren dat de grafiek van een differentieerbare functie in een punt op een rechte lijn lijkt. Tall (1985b) beargumenteert dat de grafische weergave en de mogelijkheden van de computer veel meer voorbeelden en tegenvoorbeelden binnen bereik van studenten brengt, zodat studenten niet alleen leren hoe je afgeleiden moet berekenen, maar ook beseffen wat het betekent dat een functie differentieerbaar of niet-differentieerbaar is. Hoe vaak je ook inzoomt rond 1x = op de grafiek van de ( ) 1 2f x x= − + , er zit altijd een ‘knik’ in de grafiek. Een vaak terugkerende functie in het werk van David Tall is de Blancmange-functie (zie figuur 11). Deze functie is op het domein continu in elk punt, maar nergens differentieerbaar. (zie voor meer informatie: http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html). Dankzij computers zijn dergelijke toepassingen binnen bereik gekomen. Het maakt studenten duidelijk dat je goed moet vastleggen wat ‘differentieerbaar’ is.


- 21 -

Een andere mogelijkheid van de computer die in onderzoek van Tall als ‘inzichtverhogend’ naar voren kwam, was het onderzoeken van de functie

( 0,1) ( )( )0,1

f x f xd x + −= .

Deze werkwijze is ook in het programma VU-grafiek geïmplementeerd. Dit zijn voorbeelden van mogelijkheden die voor het computertijdperk niet beschikbaar waren. De mogelijkheden die door Tall worden beschreven hebben tot doel om het inzicht in differentiaalrekening te verhogen. Het inzoomen wordt gebruik om het belang van een nauwkeurige definitie naar voren te halen. Het plotten van de genoemde functie d(x) kan helpen bij het inzicht in de lastige limietovergang. De introductie van de grafische rekenmachine in 1998 had veel invloed op de didactiek van de differentiaalrekening. In schoolboeken werden allerlei GRM-didactieken ontwikkeld voor de introductie van de differentiaalrekening. Met een druk op de knop kreeg je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (een benadering weliswaar), en met enige handigheid van knoppen als bijvoorbeeld Nderive; d/dx, of het invoeren van de functie Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001, kun je de grafiek van de afgeleide functie rechtstreeks in beeld krijgen. In een klein onderzoek naar het gebruik van de grafische rekenmachine bij de introductie van afgeleiden concludeert Sherhan (2006) dat het gebruik van de GRM en de nadruk op grafische en numerieke representatie van het afgeleide concept leerlingen helpt om een ‘afgeleidenschema’ te ontwikkelen dat bestaat uit meerdere representaties en met betere verbindingen tussen representaties. Tegelijkertijd is er een risico, namelijk dat leerlingen de rekenmachine als black-box gebruiken (Doer, H.M & Zangor, R.). Zonder veel inzicht laten leerlingen de rekenmachine een afgeleide waarde berekenen of een grafiek van de afgeleide plotten. Conclusie We vertalen de gegevens uit deze paragraaf weer naar het afgeleidenschema, uit paragraaf 4.1. Software of ICT brengen bepaalde overgangen uit het schema meer binnen het bereik van leerlingen. Een optie zoals d / dy x , maakt in één keer de overgang F1→F3 (weliswaar gekoppeld aan de grafiek), een optie als

3Y2=d/d ( 2 )x x x− of Y2 Nderiv(Y1,X,X)= maakt een overgang van G1→G4 mogelijk. Om te voorkomen dat leerlingen de genoemde opties alleen zien als een nieuwe rekentruc, zullen opdrachten en vragen ook gericht moeten zijn op andere aspecten van het afgeleidenschema dan alleen die ene overgang. In de paragraaf ontwerpen gaan we hier verder op in.

4.6 Andere aspecten Naast de aspecten die in paragraaf 4.1 – 4.5 genoemd zijn spelen nog andere zaken een rol. In bovenstaande paragrafen wordt bijvoorbeeld niet expliciet ingegaan op het leren van notaties. Een vraag is welke notaties je als docent gebruikt in diverse stadia

van het leerproces. Gebruik je bijvoorbeeld notaties als ( )f x′ , ddfx

, ddyx

, ( )dy f x dx′= ?

Over het gebruik van differentialen zijn in het verleden ook discussies gevoerd. Van Dormolen (1970) geeft een uitgebreide beschouwing op voor en nadelen van het gebruik van differentialen. Van der Craats (1988) verklaart zich nadrukkelijk een


- 22 -

voorstander van het gebruik van differentialen, omdat ze volgens hem het inzicht vergroten, en een handige notatie zijn. Ook hierbij geldt weer: een notatie is een object, waar veel onderliggende processen achterzitten. Het is belangrijk voor leerlingen bij wiskunde B om met deze objecten te leren werken. Bij vervolgonderwerpen zoals differentiaalvergelijkingen worden de notaties gebruikt om relaties tussen variabelen te beschrijven. Voor inzicht is het nodig om de achtergrond van een notatie te kennen. Ook taal speelt een belangrijke rol bij het leren. Zandieh (2000) merkt dat studenten in haar onderzoek een voorkeur hebben voor bepaalde begrippen wanneer ze spreken over afgeleiden. Eén leerling zegt bijvoorbeeld: de afgeleide is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Deze uitspraak komt dan tijdens het onderzoek meerdere keren in verschillende verbanden bij deze leerlingen naar voren. Of ‘de afgeleide’ is de ‘rate of change’ Dit Engelse begrip kent niet een gangbare Nederlandse vertaling. Sommige schoolboeken gebruiken ‘veranderingssnelheid’. Deze vertaling heeft het grote nadeel dat het woord snelheid vooral gangbaar is wanneer de tijd de onafhankelijke variabele is. Dat dit woord ‘snelheid’ leerlingen (en docenten) ook in de weg kan zitten blijkt in het artikel van Roorda, Vos ,den Braber (2008) waarin door leerlingen en docenten gewerkt wordt aan een opdracht waarin de remweg R van een auto is uitgezet tegen de snelheid v van een auto. Het blijkt dan erg lastig te zijn om R’(v) te interpreteren. Ook kan een woord verkeerde schema’s activeren. Dat zie je bijvoorbeeld bij het woord ‘gemiddelde’ (Doorman, 2003). Leerlingen associëren het woord gemiddelde

dan met een natuurkundeformule zoals 2

0 eindgem

vvv += of met het het feit dat ze

‘alles moeten optellen en delen door het aantal’. Conclusie Bij het leren van afgeleiden spelen ook notaties en het gebruik van een taal een rol. In deze paragraaf worden deze thema’s kort genoemd, maar gaan we er verder niet uitgebreid op in.

5. Ontwerpen In deze paragraaf kijken we eerst terug naar de oorspronkelijke probleemstelling van dit katern. In eerste instantie geven we een globale reactie op deze probleemstelling. Het is moeilijk om hierover algemene uitspraken te doen, omdat de antwoorden verschillen voor de diverse doelgroepen in het Voortgezet Onderwijs. Vervolgens kijken we per thema uit paragraaf 4 naar consequenties voor het onderwijs. Oorspronkelijke probleemstelling Centraal in dit artikel staan de vragen: 1. Wat moet de leerling leren over de afgeleide? Om welke feiten, procedures en

concepten gaat het ons in het wiskundeonderwijs over de afgeleide? 2. Wat is er moeilijk aan het onderwerp? 3. Hoe kun je dit onderwerp het beste onderwijzen?


- 23 -

Onze reactie op deze probleemstelling is: 1. Het concept afgeleide is erg breed, met verschillende representaties, met

verschillende niveaus, wiskundig en in toepassingen, notaties die erbij horen, algebraïsche vaardigheid in het berekenen van afgeleiden en de taal die gebezigd wordt. In paragraaf 4.1 zijn deze facetten in één schema weergegeven. Hoewel het per doelgroep verschilt wat een leerling van dit schema moet leren, gebruiken we dit schema als uitgangspunt. Daarbij vinden wij het belangrijk dat er altijd vanuit het brede perspectief beredeneerd wordt wat een leerling moet leren, dus niet op basis van een smalle interpretatie van het concept afgeleide. Vooral de stap van niveau 2 naar niveau 3 is van een hoog abstractieniveau. De strengheid van het behandelen van de limietovergang, van het differentiequotiënt naar het differentiaalquotiënt, is afhankelijk van de doelgroep. Voor leerlingen waar de nadruk ligt op het kunnen toepassen van het concept afgeleide, zal er veel nadruk liggen op de grafische benadering. Voor leerlingen die uit de exacte profielen zal het uiteindelijk toch gaan om de beheersing van de analytische representatie, maar daarbij moeten er toch overzicht blijven over het gehele concept, met de verschillende representaties en niveaus en in verschillende contexten.

2. Leerlingen zien in eerste instantie stukjes van een groot geheel van het concept afgeleide. De meeste studenten zien wel de stukjes maar niet het geheel. Michelle Zandieh (2000) beschrijft dat leerlingen die hetzelfde onderwijs genieten, toch verschillende routes volgen om uiteindelijk tot begrip te komen, waarbij er wel verschil is in het uiteindelijke overzicht over het concept. Maar langzamerhand moet het overzicht over het geheel groeien. Daarbij zijn heel wat hobbels te nemen. Objecten leren hanteren, maar ook de onderliggende processen kennen, overgangen tussen representaties, de relaties tussen de theorie van wiskunde en de toepassingen in andere vakken. Daarnaast moet er aandacht zijn voor de veel verschijningsvormen in woorden en taal die gebezigd worden binnen de diverse toepassingen van, aan de afgeleide verbonden, concepten.

3. In dit katern vinden we een aantal aanwijzingen voor het onderwijs over de afgeleide. Er bestaat natuurlijk geen éénduidig antwoord op de vraag hoe je differentiaalrekening moet onderwijzen. Wat wel duidelijk wordt is dat eenzijdige nadruk op bepaalde aspecten van het concept (bijvoorbeeld de rekenregels, of de limietdefinitie) tot gevolg heeft dat het overzicht over het gehele concept verloren kan gaan.

Hieronder gaan we nog verder in op de verschillende gebieden die in hoofdstuk 4 ook zijn beschreven, en geven we suggesties voor het onderwijs.

5.1 Representaties Het is van belang, om in het onderwijs van het begrip ‘afgeleide’ steeds verschillende representaties te gebruiken (tabel, grafiek, formule). In figuur 12 staan twee voorbeelden van gebruik van diverse representaties:


- 24 -

Figuur 12 Netwerk havo A2 (1998) In dit voorbeeld worden de grafische en de numerieke representatie gekoppeld binnen een context waarbij de leerling zich voor kan stellen wat de gemiddelde afname betekent. In dezelfde paragraaf wordt ook nog de formule voor de hoeveelheid Finimal gegeven, en wordt de leerling gevraagd om met de formule de gemiddelde afname te berekenen. Door de vraag naar de betekenis van het hellingsgetal wordt de leerling gevraagd om in eigen taal een reële omschrijving te geven van het berekende. In figuur 13 een voorbeeld waarin de leerlingen worden gedwongen door gebruik te maken van diverse representaties (grafiek & formule) eigenschappen af te leiden voor de afgeleide functies.


- 25 -

Figuur 13 profi-materiaal wiskunde B, de techniek van differentiëren, (Kindt, e.a. 1997) Op den duur gaat analytische representatie overheersen. Voor een goed begrip moeten leerlingen ook op numerieke of grafische representaties kunnen terugvallen. Voor leerlingen die veel inzicht hebben is het expliciet leggen van verbindingen tussen representaties niet meer nodig. Zij zullen indien de situatie dat vereist, zelf teruggrijpen naar andere representaties, of ze zien de verschillende representaties als een eenheid, omdat ze het gehele concept overzien. Dat is een kenmerk van expertgedrag (Van Streun, 2008). Maar zwakkere leerlingen zullen er baat bij hebben dat er regelmatig wordt teruggegrepen op de diverse representaties. Dat kan zorgen voor een breder cognitief netwerk.

5.2 Niveaus

Terugkomen op vorige niveaus Het is belangrijk om je als docent bewust te zijn van de gelaagdheid van het concept afgeleide. Voor een compleet begrip moet er regelmatig terug gekomen worden op deze gelaagdheid, en niet alleen bij de introductie van differentiaalrekening. Dat kan bijvoorbeeld door bij de introductie van rekenregels terug te komen op de benadering met differentiequotiënten Een voorbeeld daarvan is hieronder opgenomen.


- 26 -

Figuur 14 Opdracht uit Wiskundelijn 5/6a (Bos et al. 1989) In deze opdracht uit Wiskunde lijn wordt een nieuwe rekenregel geïntroduceerd vanuit de definitie, maar dan met behulp van een benadering op basis van numerieke waarden. Niveau 2 wordt gebruik om uiteindelijk een rekenregel op niveau 4 af te leiden. Wanneer kun je naar een volgend niveau? Meestal wordt er een begin gemaakt met de introductie van de afgeleide in de 4e klas. Toch kunnen leerlingen al veel eerder vanuit diverse contexten na te denken over veranderingen. In de onderbouw wordt voor veranderingen al een informele basis gelegd voor het verder abstraheren en formaliseren in het vervolgtraject. Aanvankelijk leren leerlingen met taal en grafieken te begrijpen wat de essentie van veranderingen zijn, langzaam maar zeker worden de kwalitatieve redeneringen vanuit contexten omgezet in kwantitatieve redeneringen. Dit gebeurt op basis van verschillende representaties die leerlingen krijgen voor verbanden tussen variabelen. Op basis van een grafiek, tabel en/of formule maken leerlingen een inschatting over toename en afname van variabelen. In eerste instantie leren leerlingen op een basaal niveau te herkennen welke soort veranderingen van betekenis zijn voor de diverse probleemstellingen. Beeldvorming bij begrippen als stijgen, dalen, hellingsgetal worden in de onderbouw uitgewerkt. Het werken op dit globale niveau zou in de onderbouw als voorbereiding op het differentiëren meer structuur kunnen krijgen dan nu het geval is. Dit zou ondersteunend kunnen zijn voor een betere afstemming met andere profielvakken in de bovenbouw. Bij de introductie van de differentieerregels zouden we op basis van onderzoeken zoals in 4.2 beschreven zijn, willen pleiten voor een niet al te lange start vanuit discrete veranderingen. We hechten meer belang aan het regelmatig terugkomen op de discrete aanpak, dan op een lange discrete intuïtieve opbouw.


- 27 -

De limietdefinitie Het correct invoeren van de formele differentiaalrekening is voor veel leerlingen te hoog gegrepen. Zeker omdat daarvoor ook eerst begrippen als continuïteit en differentieerbaarheid moeten worden ingevoerd. Voor wiskunde B leerlingen zou het volgens ons goed zijn, om wel de formele afleiding van enkele rekenregels te laten

zien, zoals 2( )f x x= en 1( )f xx

= . Tegelijkertijd zouden wiskunde B leerlingen

moeten beseffen dat je er niet omheen kan om de afgeleide duidelijk te definiëren, bijvoorbeeld aan de hand van de functie 3( )f x x= of ( )g x x= .

5.3 Oefenen op rekenregels Net als bij vergelijkingen wordt ook hier het belang van gevarieerd oefenen onderstreept. Het verwerven van een basisvaardigheid in het toepassen van rekenregels is voorwaardelijk om later optimaal gebruik te kunnen maken van de techniek van het differentiëren en integreren. In deze paragraaf gaan we exemplarisch in op wat dat gevarieerde oefenen voor differentiëren kan inhouden. In bijlage 1 (Kindt, M., e.a., 1997) tref je een verzameling van opdrachten aan als afsluiting van de paragrafen over de rekenregels voor differentiëren. Naast de gebruikelijke oefenrijtjes (opgave 12, 17 en 18) waar de leerlingen zelf de keuze moeten maken voor de rekenregel die van toepassing is, zien we ook opgaven die een ander karakter hebben. Enkele voorbeelden uit bijlage 1 nader bekeken:

Figuur 15 Opdracht 11 uit bijlage In deze opdracht worden leerlingen bewust gemaakt van voorkomende foute gedachtegangen. Door de verklaringen van deze fouten, worden zij uitgenodigd te doordenken hoe de kettingregel in dit specifieke geval wordt uitgewerkt. Als groepsopdracht geeft dit mogelijkheden om leerlingen in eigen bewoordingen de kettingregel te benoemen.


- 28 -

Figuur 16 Opdracht 13 uit bijlage Door het herschrijven van de natuurlijke logaritme met behulp van de eigenschappen voor logaritme leren leerlingen dat er meerdere rekenregels bruikbaar zijn om eenzelfde afgeleide te bepalen. Naast het toepassen van de kettingregel en somregel voor differentiëren, herhalen leerlingen de eigenschappen van de logaritmen. Tenslotte worden zij op een natuurlijke wijze uitgedaagd om algebraïsch aan te tonen dat de antwoorden gelijk zijn.

Figuur 17 Opdracht 16 uit bijlage Opdracht 16 stimuleert leerlingen om op basis van de geleerde rekenregels nieuwe rekenregels af te leiden. Van leerlingen wordt verwacht dat ze de functie F kunnen hanteren als een object en in een voor hen abstracte omgeving verder te redeneren. Door bovendien te ervaren dat zowel de kettingregel als quotiëntregel hiervoor gebruikt kunnen worden, wordt de schoonheid van het redeneren binnen een gesloten systeem van de wiskunde benadrukt.

[D3: als ( ) ( )G x F x c= + dan is '( ) '( )G x F x c= + en D5: als ( ) ( )G x F cx= dan is

'( ) '( )G x cF cx= ] Figuur 18 Opdracht 19 uit bijlage


- 29 -

In opgave 19 wordt tenslotte een verband gelegd tussen eerder geleerde regels en de voor hen nieuwe kettingregel. Ook hier is het abstract redeneren met functies als objecten belangrijk. Verbinding met grafische representatie van de afgeleide komt in deze serie opdrachten slechts beperkt (opgave 14) aan de orde. Zeker voor de afsluiting van het hele hoofdstuk is het vooral ook belangrijk om bij het oefenen ook onderliggende concepten terug niet alleen grafisch maar ook in contexten terug te laten komen.

5.4 Toepassingen, contexten In paragraaf 4.4 maakten we onderscheid tussen verschillende manieren waarop toepassingen en wiskunde op elkaar afgestemd kunnen zijn. Als het gaat om de ontwikkeling van het wiskundige begrip ‘afgeleide’ kan de snelheidscontext een rol spelen, omdat er bij leerlingen intuïties aanwezig zijn over bewegende voorwerpen en de snelheid waarmee iets beweegt. Het is ook mogelijk om de introductie van het begrip ‘afgeleide’ geheel te koppelen aan beweging, zoals Doorman in het lesmateriaal behorend bij zijn proefschrift heeft gedaan. (zie http://www.fi.uu.nl/~michiel/proo/leergang.pdf). Nadeel kan zijn dat door leerlingen differentiaalrekening in hun cognitief schema te sterk aan kinematica wordt gekoppeld. Om dat te voorkomen zouden er meerdere contexten als voorbeeld gebruikt moeten worden, waarin niet steeds de tijd de onafhankelijke variabele is. Het lijkt ook zinvol om binnen het onderwijs afstemming te bereiken met andere schoolvakken (Den Braber, 2007). Zo wordt in natuurkunde schoolboeken vaak de raaklijnmethode gebruikt om snelheid en versnelling van een bewegend voorwerp te vinden. In figuur 19 uit de methode Scoop (Biezeveld, H. & Mathot, L., 1998) worden de verbanden tussen afgelegde weg, snelheid en versnelling grafisch weergegeven. Het is goed dat docenten van wiskunde en natuurkunde van elkaar weten wanneer onderdelen van differentiaalrekening worden behandeld.


- 30 -

Figuur 19 Theorie uit Scoop (1998) Op dezelfde manier is overleg met docenten economie gewenst voor leerlingen die een combinatie van wiskunde en economie hebben. Hieronder staat een voorbeeld van een bladzijde uit een waarin duidelijk wordt dat er bij economie ook theorie uit de differentiaalrekening wordt gebruikt.


- 31 -

Figuur 20 uit: “In balans”, theorieboek 1 2e fase VWO, Nijgh Versluys, 2002 Opdracht Ga na hoe begrippen uit de differentiaalrekening worden gebruikt bij andere vakken en hoe deze begrippen worden ingevoerd en gedefinieerd.


- 32 -

5.5 De grafische rekenmachine en andere ICT De grafische rekenmachines en andere ICT toepassingen lenen zich bij uitstek als hulpmiddel bij het ontwikkelen van het begrip van de afgeleide functie. Op het internet staan veel mogelijkheden/werkbladen aangegeven om, met behulp van software (VU-grafiek, excell, ..) en applets, een beeld te krijgen van hoe de afgeleide vooral grafisch kan worden ingevoerd. De kracht van de toepassingen zit vooral in het visualiseren en exploreren. Zo kun je eenvoudig parallel formules, grafieken en tabellen van een functie en zijn afgeleide representeren en visualiseren. Daardoor is het dus heel goed mogelijk om het verband tussen de kolommen van het schema in §4.1 zichtbaar te maken.

Figuur 21 Voorbeeld van het gebruik van grafische software Daarnaast kan men, door het manipuleren met coëfficiënten in het formulevoorschrift, snel de gevolgen voor de overige representaties helder krijgen. Leerlingen kunnen op een intuïtief niveau redeneren over het effect van eenvoudige transformatie van grafieken op de grafiek van de hellingfunctie. De software stelt hen in staat snel feedback te geven op hun redeneringen.


- 33 -

Opdracht In het ICT-katern “Van knoppen naar kennis” (Drijvers, 2008), wordt een onderscheid gemaakt in een drietal didactische functies van ICT in het wiskundeonderwijs: die van uitvoerder, die van oefenomgeving, en die van leermiddel bij begripsontwikkeling. Op het internet (bijvoorbeeld de site van de digitale school) staan diverse mogelijkheden voor het gebruik van ICT ter ondersteuning van het leren van de afgeleide. Ga na bij elk van deze toepassingen wat de didactische functie van de ICT-toepassing kan zijn en hoe je deze dan uitwerkt op klassenniveau. Kijkend naar de schoolmethoden zien we dat de GRM/ICT steeds op verschillende wijzen is geïntegreerd. Bij sommige methoden wordt deze pas ingezet nadat de begripsvorming en het handmatige rekenwerk is afgerond, terwijl andere de ICT van meet af aan gebruiken. Ook bestaat de mogelijkheid om een keuze te maken uit een “pen en papier”-methode naast een vervangende ICT-methode. De manier waarop de ICT wordt ingezet is veelal als uitvoerder. Terwijl er ook mooie voorbeelden zijn van de mogelijkheid voor de ontwikkeling van het begrip. Vooral bij de oriëntatie op het onderwerp differentiëren kan worden gestart vanuit een grafiek. Deze visualisatie van de functie is uitgangspunt voor de ontwikkeling van het nieuwe concept waarbij de mate van verandering van de functiewaarden geproblematiseerd wordt: Wat is de mate van stijgen, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en hoe kunnen we deze benaderen? Het dynamisch karakter van de ICT-toepassing kan enerzijds het proces van het krimpend interval mooi weergeven, als ook het concept afgeleide in beeld brengen. Het doel van de analyse, het beschrijven van veranderingsverschijnselen was zonder ICT niet eenvoudig. Het berekenen van de differentiequotiënten op steeds kleiner wordende intervallen was een tijdsintensieve bezigheid, waardoor het voor leerlingen lastig was de grote lijnen van de niveauovergang van 2→3 (§4.1) te volgen. De toepassing in figuur 22 geeft een speelse wijze van het oefenen van de relatie tussen de grafische representaties van functie en bijbehorende afgeleide. De software evalueert de match en genereerd random enkele nieuwe oefenopgaven.


- 34 -

Hint: The purpose of this test is not to carry out computations but to associate functions and derivatives according to the properties of their graphs.

Figuur 22 uit: http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff1/ablerkennen.html

5.6 Tot slot Het blijkt dat leerlingen tijdens de behandeling van een hoofdstuk over afgeleiden zich focussen op bepaalde aspecten van het concept (bijvoorbeeld de snelheidscontext, de grafische representatie, de limietdefinitie). Pas in de loop van de tijd gaat een overzicht over het geheel ontstaan. Het is dus nodig om bij vervolghoofdstukken regelmatig terug te komen op het gehele concept.


- 35 -

Literatuur Biezeveld, H. & Mathot, L. (1998). Scoop Vwo natuurkunde 1 deel 1. Groningen:

Wolters Noordhoff.

Bos, D.J.P. et al. (1989). Wiskundelijn, wiskunde B 5/6a. Groningen: Jacob Dijkstra.

Bouwman, J. et al. (1999). Moderne Wiskunde vwo A2 deel 2. Groningen: Wolters-Noordhoff.

Braber, N.S. den (2007). Schoolboekenanalyse; tussenrapportage van het onderzoek

“Hellingen, snelheden en marginale kosten". Beschikbaar van: http://www.nwo.nl/nwohome.nsf/pages/NWOA_763ATR . Den Haag: NWO.

Clark J.M.; Cordero F.; Cottrill J., Czarnocha B., DeVries D.J., St. John D.; Tolias

G.;Vidakovic D. (1997) Constructing a schema: The case of the chain rule? Journal of Mathematical Behavior 16(4) pp. 345-364.

Cohen, . (1978). Sigma 4, 5 havo analyse. Groningen: Wolters-Noordhoff.

Craats, J.van. de. (1988). Een standbeeld voor Leibniz. Euclides 64(4).

Doerr, H. M. & Zangor, R. (2000). Creating meaning for and with the graphing calculator. Educational Studies in Mathematics 41, 143-163.

Doorman, L.M. (2000). Integratie van kinematica en differentiaalrekening. Nieuwe

Wiskrant 20 (1), 14-20.

Doorman, L.M. (2003). Inzicht in snelheid en afgelegde weg via grafieken. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 20(1), 1-25.

Doorman, L.M. (2005). Modelling motion: form trace graphs to instantaneous change.

Utrecht: CD-β Press.

Dormolen, J. van (1970) Problemen inzake het analyseonderwijs. In: Wansink, J.H. Didactische orientatie voor wiskundeleraren III.

Dijksterhuis, E. J. (1950). De mechanisering van het wereldbeeld. Amsterdam: Meulenhoff.

Drijvers, P. & Kop, P.M.G.M. (2008) Vergelijkingen vergelijken.

Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.

Hähkiöniemi, M. (2006). The role of representations in learning derivatives.

Dissertation University of Jyväskylä. Jyväskylä,University Printing House.


- 36 -

Hiebert J. & Carpenter T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In: Grouws D.A. (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning, MPC, New York.pp.

Kendal, M., & Stacey, K. (2003). Tracing learning of three representations with the

differentiation competency framework. Mathematics Education Research Journal 15(1), 22−41.

Kindt, M. (1979). Differentiëren 1. Een manier om veranderingen bij te houden.

Utrecht: IOWO.

Kindt, M., Drijvers, P. & Doorman, L.M. (1997). Profi-materiaal wiskunde B, de techniek van differentiëren. Utrecht: Freudenthal Instituut.

Orton, A. (1983) Students’ understanding of differentation. Educational Studies in

Mathematics, 14 (3), 235-250.

Roorda G., Vos P., and Goedhart M.J. (2007), ‘The concept of derivative in modelling and applications’, in Haines C., Galbraith P., Blum W. and Khan S. (eds.) Mathematical Modelling (ICTMA 12): Education, Engineering and Economics, Horwood Publishing, Chichester, pp. 288−293.

Roorda, G, Braber, N. den & Vos, P. (2008). De remweg als functie van de snelheid;

en wat is dan de afgeleide? Euclides, 82(6).

Serhan, D. (2006). The effect of graphing calculators use on students’understanding of the derivative at a point. International journal of Mathematics teaching and learning. (zie http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/sherhan.pdf).

Sinnema, S., Streun, A. Van (1984). Samen beginnen met de differentiaalrekening en

de mechanica? NVON-Faraday, 53.

Smid, H.J. (2000). Dien onvergetelijken stap vooruit. In F.Goffree, M.van Hoorn en B.Zwaneveld (eds): Honderd jaar wiskundeonderwijs. Een jubileumboek. Leusden.

Streun, A.van. (2008).

Tall, D. & Vinner S. (1981). Concept image and concept definition in mathematcis, with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169.

Tall, D. (1985a). The gradient of a graph, Mathematics Teaching, 111 48– 52 (zie

http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1985b-gradient-mt.pdf).

Tall, D. (1985b). Tangents and the Leibniz notation, Mathematics Teaching, 112 48– 52 (zie http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1985d-tgt-leibniz-mt.pdf).

Tall, D. (2007). Embodiment, Symbolism and Formalism in Undergraduate

Mathematics Education, Plenary at 10th Conference of the Special Interest Group of


- 37 -

the Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics Education, San Diego, California, USA.

Wijers, M. (1997). Discrete analyse in de klas. Nieuwe Wiskrant 17(1), 16-23.

Zandieh, M (2000), A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In Dubinsky, E., Schoenfeld, A., Kaput J. (Eds), Research in collegiate mathematics education IV (pp. 103 – 127), Providence, RI: American Mathematical Society.


- 38 -

Bijlage Uit: Kindt, M., Drijvers, P. & Doorman, L.M. (1997). Profi-materiaal wiskunde B, de techniek van differentiëren. Utrecht: Freudenthal Instituut


- 39 -

De afgeleide in breed perspectief...2008/10/13 · concept staan hieronder termen en notaties die...

Documents

Transcript of De afgeleide in breed perspectief...2008/10/13 · concept staan hieronder termen en notaties die...