統合自然科学科

量子力学I－まとめと図表－

教養学部統合自然科学科

（物質基礎科学コース）

前田 京剛（MAEDA, Atsutaka）

科目番号：08E1015/1109/1234 2014年冬学期月曜３限 109教室

前田研究室HP： http://maeda3.c.u-tokyo.ac.jp

電子の世界－荷電粒子としての電子－

Sir Joseph John Thomson (England)(1856.12.18-1940.8.30)

Robert Millikan (America)(1868.3.22-1953.12.19)

電子の発見

電場・磁場によって曲げられる

→エーテルではない

比電荷がわかる

電気素量の決定

→電荷は不連続

(Photo: Wikipedia)(Photo: Wikipedia)

(Photo: Wikipedia)(Picture: Wikipedia)

(R. Millikan: Phys. Rev. 2 (1913) 109, ibid., ser. 1 32 (1911) 349.)

C/kg1076.1 11me

C10602.1 19ekg101084.9 31m

光の世界－電磁波としての光－

Thomas Young (England)(1773.6.13-1829.5.10)

James Clerk Maxwell (Scotland)(1831.6.13-1879.11.5)（Cambridge Univ, 初代実験物理学教授）

(Photo: Wikipedia)

光は干渉する(1805頃)

光は電磁波である

→光は波動である

1864 Maxwellが予言

1888 Herzが実験で確認

Heinrich Rudolf Herz (Gernmany)(1857.2.22-1894.1.1)

黒体放射http://www.thermo-lab.com/first/emittance/

http://www.vision-sensing.jp/technology_1_temperature.htmlWikipedia：「プランクの法則」

http://www.isas.jaxa.jp/ISASnews/No.253/ken-kyu.html

黒体放射の解釈をめぐって

John William Strutt,Lord Layleigh (England)(1842.11.12-1919.6.30)

Wilhelm Carl Werter Otto Fritz Franz Wien(Germany) (1846.1.13-1928.8.30)

Max Karl Ernst Ludwig Planck(Germany) (1858.4.23-1947.10.4)

Sir James Hopwood Jeans (England)(1877.9.11-1946.9.16)

(Photo: Wikipedia)

http://homepage2.nifty.com/ashiharatoshio/formula.htm

d8d, 3

2

Tkc

T B d1

8d, /3

2

Tkhv Be

hvc

T d8d, /3

3T

B ekc

T

純粋に波 純粋に粒子 波と粒子の“折衷”

エネルギー量子の発見

h

Js10558.6 34h

光電効果と光量子仮説

Albert Einstein (1879.3.14 -1955.4.18)

Philipp Eduard Anton von Lenard (1862.6.7 -1947.5.20)（Hungary-Germany）

Lenard詳細な実験研究

Einstein光量子仮説(1905)

PhE Millikan

１０年に及ぶ光量子仮説の検証実験→プランク定数の決定（1916） Js1056.6 34h

光の粒子性が直接示されたR. Millikan: Phys. Rev. 7 (1916) 18, ibid. 355.

(Photo: Wikipedia)

コンプトン効果

Arthur Holly Compton(America)(1892.9.10-1962.3.15)

A. H. Compton: Phys. Rev. 21 (1923) 483.

cEp

光はこの運動量を持つことを実証

光の粒子性を確固たるものにした

0

cos1 c

wavelengthCompton:A024.0mch

c

(Photo: Wikipedia)

物質（粒子）の波動性

Louis-Victor Pierre Raymond,7e duc de Broglie (France)(1892.8.15-1987.3.19)

Lester Halbert Germer (America) (1896.10.10-1971.10.3)

Clinton Joseph Davisson (America) (1881.10.22-1958.2.1)

George Paget Thomson (England) (1892.5.3-1975.9.10)菊池正士(日本)

(1902.8.25-1974.11.12)

de Broglie の予言 (1924)ph

kp

E

2/h

12k 2

粒子 波

菊池正士 （1928） 雲母

電子線の回折現象の発見

G. P. Thomson （1928） 多結晶

C. Davisson and L. Germer （1927） Ni 単結晶

C. Davisson and L. H. Germer: Phys. Rev. 30 (1927) 705.

菊池パターン

(Photo: Wikipedia)

原子のスペクトル http://rikanet2.jst.go.jp/contents/cp0030/part2/chap02/page2_4.html

Line spectra of hydrogen

A6.3645,3236,

2125,

1216,

59

fffff

fn

n42

2

6,5,4,3n

Visible: Balmer series (1885)

Johann Jakob Balmer(Switzerland)(1825.5.1-1898.3.12)

(Photo: Wikipedia)

原子のスペクトルと前期量子論

Rydberg-Ritz combination rule (1890)

Interpretation by Old quantum theory (N. Bohr) (1913)Johannes Rydberg (Sweden)(1854.11.8-1919.12.28)

22

111nm

R

Niels Henrik David Bohr(Denmark)(1885.10.7-1962.11.18)

定常波が生き残る条件 nhqqp d

mn WWEh

2

1n

RhcWn 量子数:n

A528.04 22

2

me

haH

ボーア半径

(Photo: Wikipedia)

波動性と粒子性・不確定性と相補性

kp

E

2/h

12k

2

粒子 波

(Photo: Wikipedia)

Uncertainty principle (W. Heisenberg) (1927)正準共役な物理量の両方の値を，正確かつ同時に決定する事は不可能である。

Einstein – de Broglie relation

xpx

xJ

Et

位置と運動量

角度と角運動量

時間エネルギー

Werner Karl Heisenberg(Germany)

(1901.12.5-1976.2.1)

(ex) 二重スリットの実験

Complementary principle (N. Bohr) (192８)原子スケールの現象は古典力学で要求される完全さで記述することはできない。

(Photo: Tonomura Group)量子の世界を波束で表現 波動関数

t,r

波束 (wave packet) 現実の波：時間的，空間的な広がりは有限

波束は，無限個の正弦波（三角関数）の重ね合わせで表現できる（Fourier積分）

り実空間での波束の拡が:x波数空間での拡がり:k 2

1 kx・

り実時間での波束の拡が:t周波数空間での拡がり: 2

1 ・t

（（古典的）不確定性）

波束は，群速度で伝わる（情報も然り）k

vg dd

群速度：

dkekcxu ikx

)()( dxexukc ikx

)(21)(

（Fourier級数の，非周期関数への拡張）

kv 位相速度：

量子論の不確定性関係

をかければ両辺にプランク定数

)0)()()( uuxu十分滑らかな関数

“振動と波動”（吉岡大二郎）（東大出版会 ）

)(xux

Schroedinger方程式

kp E

(Photo: Wikipedia)

要請：線型，係数には普遍定数のみを含む

Erwin Schroedinger(Austria) (1887.8.12-1961.1.4)

規格化

波動関数の解釈 （M. Born） (1926)

式の満たすべき微分方程t,r

)rk(,r tietif

t

i

kr

i

tVm

E ,r2p2

tVm

H ,2

22

r

tt

itH ,, rr

確率密度:, 2* tP rMax Born (Germany - UK)(1882.12.11-1970.1.5) 1d, 32

rr t

ハミルトニアン

（時間に依存する）Schroedinger 方程式

E. Schroedinger: Ann. Physik 79 (1926) 361, 489, 81 (1926) 109.

M. Born: A. Physik 37 (1926) 863, Nature 119 (1927) 354.

定常状態 ポテンシャルが時間に依らなければ /, iEtet rr

rVm

H 22

2

tEtt

i ,, rr

rr EH （時間に依存しない）Schroedinger 方程式

で表わされる状態：定常状態 （確率密度が時間に依らない）Eエネルギー固有値

)(rエネルギー固有関数

問題を求める　：　固有値に対して与えられた EH ,

定常状態の簡単な例（１）： 剛体壁ではさまれた電子（壁の間隔 a）

定常状態の簡単な例（２）： 自由電子

xa

nax

sin/2 2/1

222

2n

amEn

n

k ikxNex

22

2k

mkE

量子数

量子数

固有関数

エネルギー固有値

固有関数

エネルギー固有値 連続的

進行波型

離散的

定在波型

量子力学の基本的前提

前提 Ｉ 微視的実体の状態は，一般に，複素の波動関数で完全に記述される

前提 ＩＩ

前提 ＩＩＩ

定理 ＩＩ

定理 Ｉ

微視的実体が時刻ｔに空間の点ｒの近傍の体積要素dV中に粒子を見出す確率をＰｄＶとすると，

**

2

imS確率流密度：　

0,div, ttPt

rSr連続の式：　

2*, tP r

粒子的記述での力学量Ｆが特定の値 a をとりうるような状態にあるとき，この力学量の期待値は a と一致する

力学量には演算子が対応し，それは線型演算子である

測定結果は一般には確率的であるため，期待値で表わされる

前提 V

前提 ＩV

rrr 3^

* ,, dtFtF

波動関数で記述される状態にある微視的実体について，力学量 Ｆ が特定の値 a をとりうるとき，

ある力学量が特定の値aをとるような状態にあるとき，その波動関数は上記の偏微分方程式の，a を固有値とする固有関数である

tatF ,,^

rr

Ehrenfest の定理：ポテンシャルが波束の拡がり程度ではほとんど変化しない場合，波束の運動は対応する古典的粒子の運動と一致する

可能な状態：固有状態のどれか，もしくは，その重ね合わせの状態と考えられる

要請 Ｉ 力学量Ｆに対する演算子の固有値は全て実数でなければならない。従って，演算子はエルミート演算子でなければならない。

rr 3*^

3^

* dd

FF

*^3*3

^* dd

rr FF

エルミート演算子の固有値は実数である定理 ＩＩＩ

規格化直交関数系・完全性

r3* d,,, trtr 関数の内積：　 は直交していると :0,

エルミート演算子の固有関数系は直交系をなす

完全性：任意の状態関数を固有関数の重ねあわせで表現することができる

ttct ii

i ,)(, rr

sttct ss d,)(, rr

離散固有値

連続固有値

2, i

ic

完全性の別の表現 ''* rrrr ii

i

物理量の期待値

ii

i acF 2

ii

ic

iii aF ^

が実現する確率固有値 ii ac :2

直交関数系と線型ベクトル空間

ヒルベルト空間：無限次元の関数ベクトル空間

ii

ic の基底の組：特定の i

の表現の組：対応する ic

,ノルム：

vectorketa:

vectorbraa:

rd 3

FrdFF 3^

1

(Photo: Wikipedia)

David Hilbert (Germany) (1862.1.23-1943.2.14)

Paul Adrien Maurice Dirac(UK) (1902.8.8-1984.10.20)

基底の変換が自由にできる

bra vector, ket vector (Dirac, “Quantum Mechanics”)

行列形式（行列力学） W. Heisenberg: Z. Physik 33 (1925) 879.M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan: Z. Physik 35 (1925) 557.E. Schroedinger: Ann. Physik 79 (1926) 734.

ii

ic

lkllk

k cAcAA

,

*^

,

^

, lkkl AA

klAA 行列演算子 ^

lklk cAcA

aA^

0 ll

klkl caA 0

lklkl caA

ljl

lj T matrixunitary:klT

ATTA 1'

Schroedinger 方程式の固有値問題⇔行列の固有値問題（基底の変換による対角化）

基底の変換行列はユニタリー行列

内包する情報は完全に同じ

ji

'AA

行列力学と波動力学は全く等価

交換関係と不確定性原理

^^^^^^],[ ABBABA

交換子（commutator)

うるは同時に確定値を取りが可換^^^^

,, BABA

CBACiBA2

],[ 22^^^

^AA

^BB

AAA ^

BBB ^

)( 「同時対角化可能」行列力学の言葉では，

交換関係（commutation relation)

量子力学系の時間発展

Schrodinger 表示 演算子：時間変化しない 波動関数：時間変化する

両表示間の変換

Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｔ 表示 演算子：時間変化する 波動関数：時間変化しない

)(,^

tA SS

HH tA ),(^

波動関数：Schrodinger 方程式に従う (これまでやってきた表現方法)

^^

^

),(1)( HtAidt

tAdH

H

Heisenberg の運動方程式

保存系では^^^HHH HS

期待値は表示によらない ハミルトニアンと可換な演算子の期待値は時間的に不変

),(),(^

tet H

Hti

S rr

^^^^

)(Hti

S

Hti

H eAetA

xa/2-a/2

0

-V0

V一次元井戸型ポテンシャル中の電子(定常状態)

ではやらない）散乱問題（量子力学Ｉ:0E

束縛状態:0E )0( 0 EVのパリティーを持つまたはのとき，波動関数は oddeven)()( xVxV

エネルギーはとびとびの値をとる

最低エネルギー状態は偶パリティー

波動関数は遠方で指数関数的にゼロに減少

ポテンシャルバリア内にも波動関数の染み出しがある：トンネル効果

エネルギーは連続的に分布する

ポテンシャルを感じて，波動関数の位相がずれる

分子波動関数の重なりにより，エネルギーが分裂（結合性軌道，反結合性軌道）

結晶エネルギーはバンド構造をとる（F. Bloch）⇒物性物理学Ｉ，ＩＩ

(Photos: Wikipedia)

Felix Bloch (1905.10.23 -1983.9.10)物質の電気的性質を見事にシンプルに説明：量子力学の大きな成果

一次元の分子と結晶

ポテンシャルが深くなると状態の数も増加

一次元調和振動子

エネルギーはとびとび（基底状態以外は等間隔）

ゼロ点エネルギー⇔不確定性原理

x4/12

mK

/1

(大高一雄 : “基礎量子力学” （丸善, 2002）)

調和振動子のエネルギー準位と波動関数

基底状態：最もエネルギーの低い状態

励起状態：基底状態以外の状態

32 b

エネルギー の量子を一個消滅させる

エネルギー

エネルギー の量子を一個生成させる0

0

(大高一雄 : “基礎量子力学” （丸善, 2002）)消滅演算子:

21

ddb

生成演算子:21

ddb

ipxbb ,1,

12 b

オプション：一次元井戸型ポテンシャルによる散乱問題

散乱問題：与えられたＥに対して，どのような解があるかを求める

束縛状態：与えられたハミルトニアンに対して，エネルギー固有関数，エネルギー固有値を求める

入射波

反射波 透過波

x0 a

0V 0x

ax

ikxikx AreAex )(

ikxAtex )(入射波 反射波

透過波

反射係数:r

透過係数:t

境界条件から，r, t を求める

任意のEに対して反射，透過ともに有限（トンネル効果）

ポテンシャルのために波動関数の位相がシフト

進行波の場合時間に依存するSchrodinger方程式を解く