Davis Jedwab. Golay Muller 1999

8/8/2019 Davis Jedwab. Golay Muller 1999

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R e e d - M u l l e r c o d e R M ( r ; m ) o f l e n g t h 2

m

i s g e n e r a t e d b y t h e m o n o m i a l s i n t h e B o o l e a n f u n c t i o n s x

i

o f d e g r e e

a t m o s t r 3 1 ] . T h i s a l l o w s u s t o r e s t a t e t h e b i n a r y c a s e h = 1 o f C o r o l l a r y 4 a s :

C o r o l l a r y 6 : E a c h o f t h e m ! = 2 c o s e t s o f R M ( 1 ; m ) i n R M ( 2 ; m ) h a v i n g a c o s e t r e p r e s e n t a t i v e o f t h e f o r m

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

c o m p r i s e s 2

m + 1

b i n a r y G o l a y s e q u e n c e s o f l e n g t h 2

m

, w h e r e i s a p e r m u t a t i o n o f t h e

s y m b o l s f 1 ; 2 ; : : : ; m g .

N o t e t h a t t h e P M E P R o f a s e q u e n c e d e p e n d s o n t h e o r d e r i n w h i c h i t s e l e m e n t s o c c u r , s o h e r e a n d e l s e w h e r e

w e d o n o t a d o p t t h e c o d i n g t h e o r y c o n v e n t i o n t h a t r e g a r d s t w o c o d e s a s e q u i v a l e n t i f o n e c a n b e o b t a i n e d

f r o m t h e o t h e r b y a p e r m u t a t i o n o f c o o r d i n a t e s .

W e w i s h t o m a k e a n a n a l o g o u s s t a t e m e n t t o C o r o l l a r y 6 f o r t h e n o n - b i n a r y c a s e s h > 1 o f C o r o l l a r y 4 . T o

d o t h i s , w e f o l l o w t h e l a n d m a r k p a p e r 2 5 ] a n d d e n e a l i n e a r c o d e o v e r Z

H

o f l e n g t h n t o b e a s u b s e t o f Z

n

H

s u c h t h a t t h e s u m o f a n y t w o c o d e w o r d s i s a c o d e w o r d . 2 5 ] d e m o n s t r a t e s t h a t d e n i n g l i n e a r c o d e s i n t h i s

w a y , o v e r r i n g s t h a t a r e n o t e l d s , p r e s e r v e s m a n y o f t h e p r o p e r t i e s o f c l a s s i c a l c o d e s e v e n t h o u g h n o t e v e r y

e l e m e n t o f t h e c o d e a l p h a b e t h a s a m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e . I n p a r t i c u l a r s u c h a c o d e c a n b e s p e c i e d i n t e r m s

o f a g e n e r a t o r m a t r i x s u c h t h a t t h e c o d e c o n s i s t s o f a l l d i s t i n c t l i n e a r c o m b i n a t i o n s o v e r Z

H

o f t h e r o w s o f

t h e m a t r i x . W e n o w d e n e t w o n e w l i n e a r c o d e s o v e r Z

2

h

o f l e n g t h 2

m

i n t e r m s o f t h e g e n e r a l i s e d B o o l e a n

f u n c t i o n s x

i

d e s c r i b e d i n S e c t i o n I I .

D e n i t i o n 7 : F o r h 1 a n d 0 r m , t h e r t h o r d e r l i n e a r c o d e R M

2

h

( r ; m ) o v e r Z

2

h

o f l e n g t h 2

m

i s

g e n e r a t e d b y t h e m o n o m i a l s i n t h e x

i

o f d e g r e e a t m o s t r .

D e n i t i o n 8 : F o r h > 1 a n d 0 r m + 1 , t h e r t h o r d e r l i n e a r c o d e Z R M

2

h

( r ; m ) o v e r Z

2

h

o f l e n g t h 2

m

i s g e n e r a t e d b y t h e m o n o m i a l s i n t h e x

i

o f d e g r e e a t m o s t r ? 1 t o g e t h e r w i t h 2 t i m e s t h e m o n o m i a l s i n t h e

x

i

o f d e g r e e r ( w i t h t h e c o n v e n t i o n t h a t t h e m o n o m i a l s o f d e g r e e ? 1 a n d m + 1 a r e e q u a l t o z e r o ) .

T h e c o d e R M

2

h

( r ; m ) g e n e r a l i s e s t h e b i n a r y R e e d - M u l l e r c o d e R M ( r ; m ) f r o m t h e a l p h a b e t Z

2

( t h e c a s e

h = 1 ) t o t h e a l p h a b e t Z

2

h

. L i k e w i s e t h e c o d e Z R M

2

h

( r ; m ) g e n e r a l i s e s t h e q u a t e r n a r y R e e d - M u l l e r c o d e

Z R M ( r ; m ) d e n e d i n 2 5 ] f r o m t h e a l p h a b e t Z

4

( t h e c a s e h = 2 ) t o t h e a l p h a b e t Z

2

h

. I n b o t h c a s e s t h e

f o r m a l g e n e r a t o r m a t r i x i s u n c h a n g e d a s h v a r i e s , b u t t h e a l p h a b e t o v e r w h i c h i t i s i n t e r p r e t e d c h a n g e s .

T h e n u m b e r o f m o n o m i a l s i n t h e x

i

o f d e g r e e r i s

?

m

r

, s o R M

2

h

( r ; m ) c o n t a i n s 2

h

P

r

i = 0

(

m

i

)

c o d e w o r d s a n d

Z R M

2

h

( r ; m ) c o n t a i n s 2

h

P

r ? 1

i = 0

(

m

i

)

2

( h ? 1 )

(

m

r

)

c o d e w o r d s . N o t e t h e s e g e n e r a l i s a t i o n s o f t h e R e e d - M u l l e r c o d e

a r e d i s t i n c t f r o m t h e G e n e r a l i s e d R e e d - M u l l e r c o d e G R M ( r ; m ) 4 0 ] , w h i c h i s d e n e d o v e r a e l d , a n d t h e

q u a t e r n a r y R e e d - M u l l e r c o d e Q R M ( r ; m ) 2 5 ] , w h i c h g e n e r a l i s e s t h e q u a t e r n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e K e r d o c k

c o d e .

F o r e x a m p l e , R M

2

h

( 1 ; 4 ) h a s t h e g e n e r a t o r m a t r i x

2

6

6

6

6

4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

3

7

7

7

7

5

1

x

1

x

2

x

3

x

4

( 1 2 )

a n d c o n t a i n s 2

5 h

c o d e w o r d s f o r h 1 , a n d Z R M

2

h

( 2 ; 4 ) h a s t h e g e n e r a t o r m a t r i x

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2

0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2

0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2

0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

1

x

1

x

2

x

3

x

4

2 x

1

x

2

2 x

1

x

3

2 x

1

x

4

2 x

2

x

3

2 x

2

x

4

2 x

3

x

4


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8

a n d c o n t a i n s 2

5 h

2

6 ( h ? 1 )

c o d e w o r d s f o r h > 1 .

W e a r e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n t h e c o d e Z R M

2

h

( 2 ; m ) , c o m p r i s i n g 2

( h ? 1 ) m ( m ? 1 ) = 2

c o s e t s o f t h e s u b c o d e

R M

2

h

( 1 ; m ) , e a c h c o s e t c o n t a i n i n g 2

h ( m + 1 )

c o d e w o r d s . W e c a n r e s t a t e t h e c a s e s h > 1 o f C o r o l l a r y 4 i n t e r m s

o f t h e s e c o d e s a s :

C o r o l l a r y 9 : E a c h o f t h e m ! = 2 c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) i n Z R M

2

h

( 2 ; m ) h a v i n g a c o s e t r e p r e s e n t a t i v e o f t h e f o r m

2

h ? 1

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

c o m p r i s e s 2

h ( m + 1 )

G o l a y s e q u e n c e s o v e r Z

2

h

o f l e n g t h 2

m

, w h e r e i s a p e r m u t a t i o n

o f t h e s y m b o l s f 1 ; 2 ; : : : ; m g a n d h > 1 .

W e h a v e s e e n i n T h e o r e m 2 t h a t t h e P M E P R o f a n y G o l a y s e q u e n c e i s a t m o s t 2 , a n d C o r o l l a r i e s 6

a n d 9 g i v e c o n c i s e a n d s t r u c t u r e d r e p r e s e n t a t i o n s f o r l a r g e s e t s o f G o l a y s e q u e n c e s i n t h e c a s e s h = 1 a n d

h > 1 r e s p e c t i v e l y . T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s r e a d i l y l e n d t h e m s e l v e s t o i m p l e m e n t a t i o n i n a n O F D M c o d i n g

s c h e m e h a v i n g t i g h t e n v e l o p e p o w e r c o n t r o l . I f w e d i d n o t w i s h t o c o n s i d e r u s i n g s e q u e n c e s o t h e r t h a n G o l a y

s e q u e n c e s f o r O F D M t r a n s m i s s i o n t h e n i t w o u l d b e m o r e n a t u r a l t o r e p l a c e t h e m u l t i p l e 2 i n D e n i t i o n 8 b y

t h e m u l t i p l e 2

h ? 1

a n d t o e x t e n d t h e d e n i t i o n o f Z R M

2

h

( r ; m ) t o t h e c a s e h = 1 ; i n t h a t c a s e C o r o l l a r y 9 w o u l d

h o l d f o r a l l c a s e s h 1 . H o w e v e r b y t a k i n g m o r e c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) i n Z R M

2

h

( 2 ; m ) w e c a n i n c r e a s e t h e

r a t e o f O F D M t r a n s m i s s i o n a t t h e c o s t o f p r o g r e s s i v e l y l a r g e r v a l u e s o f P M E P R , a s w e d i s c u s s i n S e c t i o n I V .

T o a l l o w s u c h d e s i g n f r e e d o m , o u r o b j e c t i v e i n d e n i n g Z R M

2

h

( r ; m ) w a s t h a t t h e l i n e a r c o d e Z R M

2

h

( 2 ; m )

s h o u l d b e t h e l a r g e s t s u p e r s e t o f t h e G o l a y s e q u e n c e s o f C o r o l l a r y 4 w h i c h d o e s n o t c o m p r o m i s e t h e m i n i m u m

H a m m i n g o r L e e d i s t a n c e , a s w e n o w d e s c r i b e .

L e t a = ( a

0

; a

1

; : : : ; a

n ? 1

) b e a s e q u e n c e o v e r Z

H

o f l e n g t h n . T h e H a m m i n g w e i g h t o f a i s t h e n u m b e r o f

n o n z e r o a

i

a n d t h e L e e w e i g h t 4 0 ] o f a i s

P

n ? 1

i = 0

m i n ( a

i

; H ? a

i

) . T h e H a m m i n g ( o r L e e ) d i s t a n c e b e t w e e n

t w o s u c h s e q u e n c e s a a n d b i s t h e H a m m i n g ( o r L e e ) w e i g h t o f a ? b ( w h e n w r i t t e n a s a s e q u e n c e o v e r Z

H

) .

T h e H a m m i n g d i s t a n c e m e a s u r e s t h e n u m b e r o f p o s i t i o n s i n w h i c h a a n d b d i e r , w h e r e a s t h e L e e d i s t a n c e

t a k e s i n t o a c c o u n t t h e m a g n i t u d e o f t h e d i e r e n c e o v e r Z

H

a t e a c h p o s i t i o n ; t h e s e c o i n c i d e i n t h e b i n a r y

c a s e H = 2 . F o r e x a m p l e , t h e H a m m i n g d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e q u e n c e s ( 5 ; 7 ; 0 ; 1 ) a n d ( 3 ; 7 ; 7 ; 6 ) o v e r Z

8

i s 3 w h e r e a s t h e L e e d i s t a n c e i s 2 + 0 + 1 + 3 = 6 . T h e m i n i m u m H a m m i n g o r m i n i m u m L e e d i s t a n c e o f a

c o d e , w h i c h i s t a k e n o v e r a l l p a i r s o f d i s t i n c t c o d e w o r d s , i s a m e a s u r e o f i t s e r r o r c o r r e c t i o n c a p a b i l i t y : i f t h e

( H a m m i n g o r L e e ) m i n i m u m d i s t a n c e i s d t h e n w e c a n a l w a y s c o r r e c t e r r o r s o f ( H a m m i n g o r L e e ) w e i g h t l e s s

t h a n d = 2 . I f t h e t r a n s m i s s i o n c h a n n e l r e n d e r s a l l H ? 1 p o s s i b l e e r r o r s f o r a g i v e n c o d e w o r d p o s i t i o n e q u a l l y

l i k e l y t h e n t h e t r a d i t i o n a l H a m m i n g d i s t a n c e m e t r i c i s a n a p p r o p r i a t e m e a s u r e . H o w e v e r i f e r r o r s i n v o l v i n g

a t r a n s i t i o n b e t w e e n a d j a c e n t v a l u e s i n Z

H

a r e m u c h m o r e l i k e l y t h a n o t h e r e r r o r s i n a g i v e n p o s i t i o n t h e n

t h e L e e d i s t a n c e m e t r i c i s m o r e a p p r o p r i a t e 4 0 ] . W e c o n s i d e r b o t h m e t r i c s t o b e u s e f u l m e a s u r e s o f e r r o r

c o r r e c t i o n c a p a b i l i t y f o r O F D M t r a n s m i s s i o n a n d s o w e n o w d e r i v e t h e m i n i m u m H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e

f o r t h e c o d e s R M

2

h

( r ; m ) a n d Z R M

2

h

( r ; m ) . T h e m e t h o d u s e s t h e f a c t t h a t t h e m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e

o f t h e b i n a r y c o d e R M ( r ; m ) i s 2

m ? r

.

T h e o r e m 1 0 : T h e f o l l o w i n g h o l d f o r 0 r m :

R M

2

h

( r ; m ) Z R M

2

h

( r ; m )

( h 1 ) ( h > 1 )

m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e 2

m ? r

2

m ? r

m i n i m u m L e e d i s t a n c e 2

m ? r

2

m ? r + 1

P r o o f : F o r a n y l i n e a r c o d e t h e m i n i m u m d i s t a n c e e q u a l s t h e m i n i m u m w e i g h t o f t h e n o n z e r o c o d e w o r d s , i n

b o t h t h e H a m m i n g a n d L e e c a s e . F o r e a c h o f t h e f o u r v a l u e s r e q u i r e d b y t h e t h e o r e m w e d e r i v e a l o w e r b o u n d

o n t h e m i n i m u m d i s t a n c e a n d t h e n e x h i b i t a c o d e w o r d w h o s e w e i g h t e q u a l s t h a t l o w e r b o u n d .

W e r s t l y u s e i n d u c t i o n o n h 2 t o e s t a b l i s h t h e m i n i m u m H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e o f Z R M

2

h

( r ; m ) .

T h e c a s e r = 0 i s t r i v i a l a n d c a n b e e x c l u d e d . L e t a = ( a

0

; a

1

; : : : ; a

2

m

? 1

) b e a n y n o n z e r o c o d e w o r d i n

Z R M

2

h

( r ; m ) a n d d e n e b = ( b

0

; b

1

; : : : ; b

2

m

? 1

) b y b

i

a

i

( m o d 2

h ? 1

) a n d b

i

2 Z

2

h ? 1

f o r e a c h i . N o w b i s a

c o d e w o r d i n Z R M

2

h ? 1

( r ; m ) i f h > 2 a n d i s a c o d e w o r d i n R M ( r ? 1 ; m ) i f h = 2 .

C a s e 1 : b = 0 . I n t h i s c a s e a = 2

h ? 1

a

0

f o r a n o n z e r o c o d e w o r d a

0

i n R M ( r ; m ) , s o a

0

h a s H a m m i n g w e i g h t

a t l e a s t 2

m ? r

. T h e r e f o r e a h a s H a m m i n g w e i g h t a t l e a s t 2

m ? r

a n d L e e w e i g h t a t l e a s t 2

h ? 1

2

m ? r

2

m ? r + 1

.


9/28

9

C a s e 2 : b 6= 0 . I n t h i s c a s e b h a s H a m m i n g w e i g h t a t l e a s t 2

m ? r

a n d L e e w e i g h t o v e r Z

2

h ? 1

a t l e a s t 2

m ? r + 1

,

u s i n g t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s i f h > 2 . T h e r e f o r e a h a s H a m m i n g w e i g h t a t l e a s t 2

m ? r

, a n d h a s L e e w e i g h t

o v e r Z

2

h

a t l e a s t 2

m ? r + 1

( s i n c e m i n ( a

i

; 2

h

? a

i

) m i n ( b

i

; 2

h ? 1

? b

i

) w h e n a

i

= b

i

o r b

i

+ 2

h ? 1

) .

F u r t h e r m o r e t h e c o d e w o r d 2

h ? 1

x

1

x

2

x

r

h a s H a m m i n g w e i g h t 2

m ? r

, a n d t h e c o d e w o r d x

1

x

2

x

r ? 1

( o r

1 i f r = 1 ) h a s L e e w e i g h t 2

m ? r + 1

. T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f f o r Z R M

2

h

( r ; m ) .

B y a s i m i l a r i n d u c t i o n o n h t h e m i n i m u m H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e f o r R M

2

h

( r ; m ) i s a t l e a s t 2

m ? r

, a n d

t h e c o d e w o r d x

1

x

2

x

r

h a s H a m m i n g a n d L e e w e i g h t 2

m ? r

. 2

T h e p r o o f o f T h e o r e m 1 0 d e m o n s t r a t e s o u r e a r l i e r c l a i m t h a t t h e m i n i m u m H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e o f

Z R M

2

h

( r ; m ) i s n o t c o m p r o m i s e d b y u s i n g t h e m u l t i p l e 2 i n D e n i t i o n 8 i n s t e a d o f t h e m u l t i p l e 2

h ? 1

.

W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n w i t h a s h o r t d i s c u s s i o n o f b e n t f u n c t i o n s , w h i c h w i l l b e u s e f u l w h e n d e s c r i b i n g

e n c o d i n g o p t i o n s i n S e c t i o n I V . F o r m e v e n , a b e n t f u n c t i o n i s a B o o l e a n f u n c t i o n f ( x

1

; x

2

; : : : ; x

m

) f o r w h i c h

a l l t h e H a d a m a r d t r a n s f o r m c o e c i e n t s o f t h e + 1 / ?

1 s e q u e n c e ( ?

1 )

f ( x

1

; x

2

; : : : ; x

m

)

h a v e m a g n i t u d e 2

m = 2

. A b e n t

f u n c t i o n i s e q u i v a l e n t t o a H a d a m a r d d i e r e n c e s e t i n t h e g r o u p Z

m

2

. T h e f u n c t i o n

P

m = 2

k = 1

x

2 k ? 1

x

2 k

i s b e n t , a n d

a n y a n e t r a n s f o r m a t i o n o f a b e n t f u n c t i o n i s a l s o b e n t . A K e r d o c k c o d e o f l e n g t h 2

m

i s t h e u n i o n o f 2

m ? 1

c o s e t s o f R M ( 1 ; m ) i n R M ( 2 ; m ) , w h e r e m 4 i s e v e n . O n e o f t h e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s i s 0 ( s o R M ( 1 ; m )

i t s e l f i s c o n t a i n e d i n t h e c o d e ) , a n d a l l t h e o t h e r s a r e b e n t f u n c t i o n s h a v i n g t h e p r o p e r t y t h a t t h e s u m o f a n y

t w o o f t h e m i s a l s o a b e n t f u n c t i o n . T h e m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e o f a n y s u c h c o d e i s 2

m ? 1

? 2

( m ? 2 ) = 2

.

F o r d e t a i l s o f t h e s e a n d o t h e r r e s u l t s , s e e 3 1 ] . W e n o w s h o w t h a t f o r m e v e n , a l l t h e b i n a r y G o l a y s e q u e n c e s

o f C o r o l l a r y 6 a r e b e n t f u n c t i o n s ; s i n c e t h e s e s e q u e n c e s o c c u r a s c o s e t s o f R M ( 1 ; m ) i n R M ( 2 ; m ) , s o m e m a y

a l s o b e l o n g t o a K e r d o c k c o d e .

T h e o r e m 1 1 : F o r m e v e n , e a c h o f t h e m ! = 2 c o s e t s o f R M ( 1 ; m ) i n R M ( 2 ; m ) h a v i n g a c o s e t r e p r e s e n t a t i v e

o f t h e f o r m

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

c o m p r i s e s 2

m + 1

b e n t f u n c t i o n s , w h e r e i s a p e r m u t a t i o n o f t h e s y m b o l s

f 1 ; 2 ; : : : ; m g .

P r o o f : W e s h o w t h a t t h e f u n c t i o n

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

+

P

m

k = 1

c

k

x

k

+ c c a n b e o b t a i n e d f r o m

P

m = 2

k = 1

x

2 k ? 1

x

2 k

b y

a s e q u e n c e o f a n e t r a n s f o r m a t i o n s , f o r a n y c ; c

k

2 Z

2

. T h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n x

1

7! x

1

+ x

3

, x

3

7! x

3

+ x

5

,

. . . , x

m ? 3

7! x

m ? 3

+ x

m ? 1

, a n d x

i

7! x

i

f o r a l l o t h e r x

i

, m a p s

P

m = 2

k = 1

x

2 k ? 1

x

2 k

t o

P

m ? 1

k = 1

x

k

x

k + 1

. T h e n

t h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n x

i

7! x

( i )

+ b

i

, w h e r e e a c h b

i

2 Z

2

i s d e t e r m i n e d b y a s i n g l e c

k

, m a p s t h i s t o

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

+

P

m

k = 1

c

k

x

k

+ b f o r b = c o r c + 1 . I f n e c e s s a r y , w e c a n a p p l y a t r a n s l a t i o n t o a d d 1 a n d

s o o b t a i n t h e r e q u i r e d f u n c t i o n . 2

I V . E n c o d i n g

T h e c o m b i n a t i o n o f t h e n e w r e s u l t s o f S e c t i o n s I I a n d I I I i m m e d i a t e l y s u g g e s t s a p r a c t i c a l O F D M c o d i n g

s c h e m e u s i n g 2

h

- p h a s e s h i f t k e y i n g : a l l o w a s c o d e w o r d s o n l y t h o s e G o l a y s e q u e n c e s d e s c r i b e d i n C o r o l l a r i e s 6

( f o r h = 1 ) a n d 9 ( f o r h > 1 ) . T h i s s i m u l t a n e o u s l y c o n f e r s t i g h t e n v e l o p e p o w e r c o n t r o l , b y T h e o r e m 2 , a n d

g o o d e r r o r c o r r e c t i o n c a p a b i l i t y , b y T h e o r e m 1 0 . T h e G o l a y s e q u e n c e s i n q u e s t i o n o c c u r a s m ! = 2 c o s e t s o f

R M

2

h

( 1 ; m ) a n d f o r c o n v e n i e n c e o f i m p l e m e n t a t i o n w e u s e 2

w

o f t h e s e c o s e t s , w h e r e 2

w

i s t h e l a r g e s t i n t e g e r

p o w e r o f 2 n o g r e a t e r t h a n m ! = 2 . U n d e r t h i s s c h e m e w e e n c o d e w + h ( m + 1 ) i n f o r m a t i o n b i t s p e r O F D M

s y m b o l p e r i o d . W e u s e w b i t s t o e n c o d e t h e c h o i c e o f c o s e t r e p r e s e n t a t i v e u s i n g a l o o k - u p t a b l e . T h e r e m a i n i n g

h ( m + 1 ) b i t s a r e c o n v e r t e d t o m + 1 i n f o r m a t i o n s y m b o l s u

1

; u

2

; : : : u

m

; u 2 Z

2

h

b y t a k i n g e a c h c o n s e c u t i v e

g r o u p o f h b i t s t o b e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f a n e l e m e n t o f Z

2

h

. T h e i n f o r m a t i o n s y m b o l s a r e t h e n

u s e d t o f o r m t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n

P

m

i = 1

u

i

x

i

+ u , i n w h i c h e a c h s y m b o l m u l t i p l i e s o n e r o w o f t h e s t a n d a r d

g e n e r a t o r m a t r i x f o r R M

2

h

( 1 ; m ) . T h i s l i n e a r c o m b i n a t i o n c a n b e c a l c u l a t e d i n h a r d w a r e i n 2

m

c l o c k c y c l e s

u s i n g t h e e n c o d i n g c i r c u i t f o r R M ( 1 ; m ) g i v e n i n 3 1 , p . 4 2 0 ] . T h e s u m ( o v e r Z

2

h

) o f t h i s l i n e a r c o m b i n a t i o n

w i t h t h e s e l e c t e d c o s e t r e p r e s e n t a t i v e i s t h e O F D M c o d e w o r d ( a

0

; a

1

; : : : a

2

m

? 1

) , w h i c h i s m o d u l a t e d p r i o r

t o t r a n s m i s s i o n a c c o r d i n g t o ( 1 ) . T h e c o d e r a t e , n a m e l y t h e r a t i o o f t h e n u m b e r o f i n f o r m a t i o n b i t s t o t h e

n u m b e r o f c o d e d b i t s , i s ( w + h ( m + 1 ) ) = ( 2

m

h ) , a n d w e d e n e t h e i n f o r m a t i o n r a t e t o b e h t i m e s t h e c o d e

r a t e . T h e i n f o r m a t i o n r a t e d e s c r i b e s t h e i n c r e a s e d r a t e a t w h i c h i n f o r m a t i o n b i t s a r e e n c o d e d w h e n w e c h a n g e

t h e c o d e f r o m b i n a r y t o q u a t e r n a r y , f r o m q u a t e r n a r y t o o c t a r y , a n d s o o n .


10/28

1 0

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e o c t a r y c a s e w i t h 1 6 c a r r i e r s ( h = 3 , m = 4 ) . T h e 1 2 c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s g i v e n

b y C o r o l l a r y 9 a r e

( 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 4 4 4 0 4 ) = 4 ( x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ x

3

x

4

) ;

( 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 4 4 0 4 4 ) = 4 ( x

1

x

2

+ x

2

x

4

+ x

3

x

4

) ;

( 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 4 4 0 4 0 4 ) = 4 ( x

1

x

3

+ x

2

x

3

+ x

2

x

4

) ;

( 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 4 4 ) = 4 ( x

1

x

3

+ x

3

x

4

+ x

2

x

4

) ;

( 0 0 0 0 0 4 4 0 0 4 0 4 0 0 4 4 ) = 4 ( x

1

x

4

+ x

2

x

4

+ x

2

x

3

) ;

( 0 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 0 4 4 4 ) = 4 ( x

1

x

4

+ x

3

x

4

+ x

2

x

3

) ;

( 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 4 0 4 4 0 4 ) = 4 ( x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ x

3

x

4

) ;

( 0 0 0 4 0 0 0 4 0 4 0 0 4 0 4 4 ) = 4 ( x

1

x

2

+ x

1

x

4

+ x

3

x

4

) ;

( 0 0 0 0 0 0 4 4 0 4 4 0 0 4 0 4 ) = 4 ( x

2

x

3

+ x

1

x

3

+ x

1

x

4

) ;

( 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 4 0 0 0 4 4 ) = 4 ( x

2

x

4

+ x

1

x

4

+ x

1

x

3

) ;

( 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 4 4 4 0 0 4 ) = 4 ( x

1

x

3

+ x

1

x

2

+ x

2

x

4

) ;

( 0 0 0 0 0 0 4 4 0 4 0 4 4 0 0 4 ) = 4 ( x

2

x

3

+ x

1

x

2

+ x

1

x

4

) ;

o f w h i c h w e c h o o s e e i g h t ( s a y t h e r s t e i g h t ) , s o w = 3 . T h e u n i o n o f t h e e i g h t c o s e t s o f R M

8

( 1 ; 4 ) h a v i n g

t h e s e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s c o m p r i s e s t h e s e t o f O F D M c o d e w o r d s , a l l o f w h i c h h a v e P M E P R o f a t m o s t 2 .

T h e c o d e f o r m s a s u b c o d e o f Z R M

8

( 2 ; 4 ) a n d h a s m i n i m u m H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e 4 a n d 8 r e s p e c t i v e l y .

A n e r r o r o f H a m m i n g w e i g h t 1 c a n a l w a y s b e c o r r e c t e d , a s c a n a n e r r o r o f L e e w e i g h t a t m o s t 3 . T h e

c o d e r a t e i s 3 / 8 a n d t h e i n f o r m a t i o n r a t e i s 9 / 8 . G i v e n 1 8 i n f o r m a t i o n b i t s , t h r e e a r e u s e d t o s e l e c t o n e

o f t h e e i g h t c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s a n d t h e r e m a i n i n g 1 5 a r e r e g a r d e d a s t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f v e

i n f o r m a t i o n s y m b o l s u

1

; u

2

; u

3

; u

4

; u . T h e l i n e a r c o m b i n a t i o n u

1

x

1

+ u

2

x

2

+ u

3

x

3

+ u

4

x

4

+ u i s c a l c u l a t e d w i t h

r e f e r e n c e t o t h e g e n e r a t o r m a t r i x ( 1 2 ) f o r R M

8

( 1 ; 4 ) a n d a d d e d t o t h e s e l e c t e d c o s e t r e p r e s e n t a t i v e . S u p p o s e

t h e 1 8 i n f o r m a t i o n b i t s a r e 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 . T h e r s t t h r e e b i t s 0 1 1 s e l e c t t h e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e

( 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 4 4 ) ( l a b e l l i n g t h e r s t e i g h t c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s 0 0 0 ; 0 0 1 ; : : : ; 1 1 1 ) . T h e r e m a i n i n g 1 5 b i t s

s e l e c t t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n 5 x

1

+ 7 x

2

+ 3 x

3

+ 6 x

4

+ 6 = ( 6 4 1 7 5 3 0 6 3 1 6 4 2 0 5 3 ) , s o t h e O F D M c o d e w o r d i s

( 6 4 1 3 5 7 0 6 3 1 2 4 2 4 1 7 ) .

T h e a b o v e c o d i n g s c h e m e i s r e s t r i c t e d t o t h e G o l a y s e q u e n c e s d e s c r i b e d i n S e c t i o n s I I a n d I I I . T h e s e

s e q u e n c e s o c c u r a s m ! = 2 \ G o l a y c o s e t s " o f R M

2

h

( 1 ; m ) w i t h i n a s e c o n d - o r d e r l i n e a r c o d e , w h e r e t h e s e c o n d -

o r d e r l i n e a r c o d e i s R M

2

( 2 ; m ) i n t h e b i n a r y c a s e h = 1 a n d i s Z R M

2

h

( 2 ; m ) i n t h e n o n - b i n a r y c a s e s h > 1 .

W e c a n i n c r e a s e t h e c o d e r a t e , a t t h e c o s t o f p r o g r e s s i v e l y l a r g e r v a l u e s o f P M E P R , b y i n c l u d i n g a d d i t i o n a l

c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) w i t h i n t h e s a m e s e c o n d - o r d e r c o d e . T h e s e a d d i t i o n a l c o s e t s d o n o t n e c e s s a r i l y c o m p r i s e

o r e v e n c o n t a i n G o l a y s e q u e n c e s . N o n e t h e l e s s w e h a v e f o u n d t h a t p a r t i t i o n i n g t h e s e c o n d - o r d e r c o d e i n t o

c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) i s a n e e c t i v e m e a n s o f i s o l a t i n g c o d e w o r d s w i t h l a r g e v a l u e s o f P M E P R . A l t e r n a t i v e l y

w e c a n i n c r e a s e t h e m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e , a t t h e c o s t o f a l o w e r c o d e r a t e , b y c h o o s i n g f e w e r t h a n

2

w

o f t h e o r i g i n a l m ! = 2 G o l a y c o s e t s . I n t h i s w a y w e c a n t r a d e o c o d e r a t e , P M E P R a n d e r r o r c o r r e c t i o n

c a p a b i l i t y t o p r o v i d e a r a n g e o f s o l u t i o n s t o t h e e n v e l o p e p o w e r p r o b l e m . F o r i m p l e m e n t a t i o n c o n v e n i e n c e w e

u s e 2

w

0

c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) f o r s o m e i n t e g e r w

0

t o e n c o d e w

0

+ h ( m + 1 ) i n f o r m a t i o n b i t s , s t o r i n g t h e c o s e t

r e p r e s e n t a t i v e s i n a l o o k - u p t a b l e . W e c a n d e t e r m i n e t h e p o s s i b l e o p t i o n s f o r g i v e n h a n d m b y a r r a n g i n g a l l

t h e c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) ( w i t h i n t h e a p p r o p r i a t e s e c o n d - o r d e r c o d e ) i n i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r m a x i m u m

P E P o v e r t h e 2

h ( m + 1 )

c o d e w o r d s i n t h e c o s e t , a s w e n o w i l l u s t r a t e .

A . T h e b i n a r y c a s e

C o n s i d e r t h e b i n a r y c a s e w i t h 1 6 c a r r i e r s ( h = 1 , m = 4 ) . T a b l e s I / I I l i s t t h e 2

m ( m ? 1 ) = 2

= 6 4 c o s e t s o f

R M

2

( 1 ; 4 ) i n R M

2

( 2 ; 4 ) i n i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r m a x i m u m P E P o v e r t h e 3 2 c o d e w o r d s i n t h e c o s e t . T h e

P E P o f e a c h c o d e w o r d i s c a l c u l a t e d u s i n g 2

j

t i m e s o v e r s a m p l i n g , n d i n g P ( t ) = j s ( t ) j

2

f r o m ( 1 ) a t e a c h

s a m p l e p o i n t t = i = ( 2

m + j

f ) f o r i = 0 ; 1 ; : : : ; 2

m + j

? 1 a n d t a k i n g t h e l a r g e s t s a m p l e v a l u e o f P ( t ) . T h e v a l u e

o f j i s i n c r e a s e d u n t i l t h e m a x i m u m c a l c u l a t e d P E P o v e r t h e c o s e t i s s t a b l e . T h e r s t 1 2 c o s e t s o f T a b l e s I / I I

a r e t h e m ! = 2 G o l a y c o s e t s o f C o r o l l a r y 6 , e a c h o f w h i c h h a s a m a x i m u m P M E P R o f a t m o s t 2 ( s i n c e P M E P R

= P E P / n a n d w e h a v e x e d n = 2

m

) i n a c c o r d a n c e w i t h T h e o r e m 2 . T h e n a l c o s e t i n t h e l i s t i s R M

2

( 1 ; 4 )

i t s e l f , w h i c h h a s a m a x i m u m P M E P R o f 2

m

s i n c e i t c o n t a i n s t h e s e q u e n c e ( 0 ; 0 ; : : : ; 0 ) . T h e r e m a i n i n g c o s e t s


11/28

1 1

h a v e i n t e r m e d i a t e v a l u e s o f m a x i m u m P M E P R . O b s e r v e t h a t t h e m a x i m u m P M E P R f o r t h e c o s e t s i n t h e

r s t h a l f o f t h e l i s t i s n o g r e a t e r t h a n 4 ; w e r e m a r k t h a t t h i s p r o p e r t y h o l d s f o r t h e b i n a r y c a s e w i t h 8 a n d 3 2

c a r r i e r s t o o .

T a b l e V I I s u m m a r i s e s s o m e p o s s i b l e o p t i o n s f o r b i n a r y c o d i n g f o r 1 6 a n d 3 2 c a r r i e r s , m o s t o f w h i c h a r e

d e r i v e d f r o m t h e o r d e r e d l i s t g i v e n i n T a b l e s I / I I . T h e r e f e r e n c e o p t i o n f o r 1 6 c a r r i e r s i s O p t i o n 3 , w h i c h u s e s

t h e r s t e i g h t ( G o l a y ) c o s e t s o f t h i s o r d e r e d l i s t . O p t i o n 4 u s e s t h e 3 2 c o s e t s i n t h e r s t h a l f o f t h e l i s t a n d

t r a d e s a n i n c r e a s e i n c o d e r a t e f o r a n i n c r e a s e i n m a x i m u m P M E P R f r o m 2 t o 4 . O p t i o n 1 u s e s j u s t t h e r s t

c o s e t o f t h e l i s t a n d t r a d e s a n i n c r e a s e i n m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e f r o m 4 t o 8 f o r a r e d u c t i o n i n c o d e

r a t e . O p t i o n 2 i s a c o m p r o m i s e b e t w e e n O p t i o n s 1 a n d 3 , b a s e d o n t h e K e r d o c k c o d e o f l e n g t h 1 6 w h o s e c o s e t

r e p r e s e n t a t i v e s a r e 3 0 ] : 0 , x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ x

3

x

4

, x

1

x

3

+ x

2

x

3

+ x

2

x

4

, x

1

x

2

+ x

2

x

4

+ x

3

x

4

, x

1

x

4

+ x

2

x

3

+ x

3

x

4

,

x

1

x

3

+ x

1

x

4

+ x

2

x

4

, x

1

x

2

+ x

1

x

4

+ x

2

x

3

a n d x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ x

1

x

4

+ x

2

x

3

+ x

2

x

4

+ x

3

x

4

. S i x o f t h e s e e i g h t

c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s a r e o f t h e f o r m

P

m ? 1

k = 1

x

( k )

x

( k + 1 )

( a n d s o a p p e a r i n t h e r s t 1 2 p l a c e s o f t h e l i s t ) , a n d

b y c h o o s i n g a n y f o u r o f t h e s i x w e o b t a i n a m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e o f 6 .

T h e o r d e r e d l i s t f o r b i n a r y c o d i n g w i t h 3 2 c a r r i e r s ( n o t s h o w n h e r e ) c o n t a i n s 1 0 2 4 c o s e t s o f R M

2

( 1 ; 5 )

i n R M

2

( 2 ; 5 ) a n d i s h e a d e d b y t h e 6 0 G o l a y c o s e t s o f C o r o l l a r y 6 . T h e r e f e r e n c e o p t i o n f o r 3 2 c a r r i e r s i s

O p t i o n 7 , w h i c h u s e s t h e r s t 3 2 o f t h e s e 6 0 c o s e t s . O p t i o n 6 u s e s j u s t t h e r s t c o s e t o f t h e l i s t . ( W e c o u l d

d e r i v e a c o m p r o m i s e b e t w e e n O p t i o n s 6 a n d 7 h a v i n g m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e 1 2 b a s e d o n a K e r d o c k

c o d e o f l e n g t h 3 2 . A l t h o u g h w e h a v e g i v e n o n l y t h e c l a s s i c a l d e n i t i o n o f a K e r d o c k c o d e , f o r m 4 e v e n ,

2 5 ] d e n e s a c o r r e s p o n d i n g K e r d o c k c o d e f o r m 3 o d d w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d a s t h e u n i o n o f 2

m ? 1

c o s e t s o f R M ( 1 ; m ) i n R M ( 2 ; m ) a n d w h i c h h a s m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e 2

m ? 1

? 2

( m ? 1 ) = 2

. T h e n u m b e r

o f i n f o r m a t i o n b i t s o f t h i s c o m p r o m i s e o p t i o n w i l l b e d e t e r m i n e d b y h o w m a n y o f t h e 1 6 K e r d o c k c o s e t s a r e

a l s o G o l a y c o s e t s . ) C o m p a r i n g O p t i o n s 1 a n d 3 w i t h O p t i o n s 6 a n d 7 r e s p e c t i v e l y , w e s e e t h a t d o u b l i n g t h e

n u m b e r o f c a r r i e r s f r o m 1 6 t o 3 2 i n c u r s a p e n a l t y i n t e r m s o f c o d e r a t e . H o w e v e r i t c a r r i e s t h e a d v a n t a g e

t h a t i n t e r s y m b o l i n t e r f e r e n c e i n t h e t r a n s m i t t e d s i g n a l w i l l b e r e d u c e d a n d c o n s e q u e n t l y d e l a y s p r e a d i n t h e

c h a n n e l w i l l a l s o b e r e d u c e d .

A l t e r n a t i v e l y w e c a n m a i n t a i n t h e c o d e r a t e a s t h e n u m b e r o f c a r r i e r s d o u b l e s , a t t h e c o s t o f i n c r e a s e d

P M E P R . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t i f a a n d b a r e s e q u e n c e s o v e r Z

H

o f l e n g t h n h a v i n g P M E P R

a t m o s t R t h e n t h e s e q u e n c e f o r m e d b y i n t e r l e a v i n g o r c o n c a t e n a t i n g t h e e l e m e n t s o f a a n d b h a s P M E P R

a t m o s t 2 R . F o r e x a m p l e b y e n c o d i n g a c c o r d i n g t o O p t i o n 1 t w i c e i n d e p e n d e n t l y , a n d e i t h e r i n t e r l e a v i n g o r

c o n c a t e n a t i n g t h e r e s u l t i n g c o d e w o r d e l e m e n t s , w e o b t a i n t h e c o m p o s i t i o n c o d i n g s c h e m e o f O p t i o n 8 h a v i n g

t h e s a m e c o d e r a t e b u t a m a x i m u m P M E P R o f 4 . D e c o d i n g i s l i k e w i s e c a r r i e d o u t b y r e g a r d i n g t h e r e c e i v e d

c o d e w o r d a s t w o i n d e p e n d e n t h a l f - l e n g t h c o d e w o r d s , w h i c h i s i n d i c a t e d i n T a b l e V I I b y w r i t i n g t h e m i n i m u m

H a m m i n g d i s t a n c e f o r O p t i o n 8 a s 8 ; 8 ( s e e a l s o S e c t i o n V ) . E x a m p l e s o f t h i s t e c h n i q u e o f i n t e r l e a v i n g o r

c o n c a t e n a t i n g c o d e w o r d s t o m a i n t a i n c o d e r a t e a n d t o c o n t r o l P M E P R f o r O F D M t r a n s m i s s i o n h a v e b e e n

n o t e d p r e v i o u s l y 3 5 ] , 4 5 ] . O p t i o n 1 0 i s s i m i l a r l y d e r i v e d f r o m O p t i o n 3 , w i t h t h e f o l l o w i n g m o d i c a t i o n t o

i m p r o v e t h e c o d e r a t e s l i g h t l y . R e c a l l t h a t t h e r e a r e 1 2 c o s e t s l i s t e d i n T a b l e s I / I I h a v i n g P M E P R a t m o s t 2 ,

o f w h i c h O p t i o n 3 u s e s t h e r s t e i g h t . W e c a n t h e r e f o r e f o r m 2

7

< 1 2 1 2 o r d e r e d p a i r s o f l e n g t h 1 6 c o s e t

r e p r e s e n t a t i v e s t o b e a d d e d t o t h e r e s p e c t i v e l e n g t h 1 6 l i n e a r c o m b i n a t i o n s i n R M

2

( 1 ; 4 ) p r i o r t o i n t e r l e a v i n g

o r c o n c a t e n a t i n g . I n t h i s w a y O p t i o n 1 0 e n c o d e s 7 + 2 5 = 1 7 r a t h e r t h a n 2 3 + 2 5 = 1 6 i n f o r m a t i o n

b i t s . L i k e w i s e O p t i o n 2 u s e s f o u r c o s e t s c h o s e n f r o m s i x , a n d s i n c e 2

5

< 6 6 w e c a n e n c o d e 5 + 2 5 = 1 5

i n f o r m a t i o n b i t s i n t h e c o m p o s i t i o n c o d i n g s c h e m e o f O p t i o n 9 . F i n a l l y , O p t i o n 5 i s a c o m p o s i t i o n c o d i n g

s c h e m e b a s e d o n a s i n g l e G o l a y c o s e t o f R M

2

( 1 ; 3 ) .

B . T h e q u a t e r n a r y c a s e

F o r t h e n o n - b i n a r y c a s e s h > 1 w e f o r m s i m i l a r o r d e r e d l i s t s o f t h e 2

( h ? 1 ) m ( m ? 1 ) = 2

c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) i n

Z R M

2

h

( 2 ; m ) . C o n s i d e r t h e q u a t e r n a r y c a s e w i t h 1 6 c a r r i e r s ( h = 2 , m = 4 ) . T a b l e s I I I / I V l i s t t h e 6 4 c o s e t s

o f R M

4

( 1 ; 4 ) i n Z R M

4

( 2 ; 4 ) i n i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r m a x i m u m P E P o v e r t h e 1 0 2 4 c o d e w o r d s i n t h e c o s e t ,

h e a d e d b y t h e 1 2 G o l a y c o s e t s o f C o r o l l a r y 9 . T h e m a x i m u m P M E P R f o r t h e c o s e t s i n t h e r s t h a l f o f t h e l i s t

i s n o g r e a t e r t h a n 4 ( a s i n t h e b i n a r y c a s e ) , a n d t h e s a m e i s t r u e f o r 8 a n d 3 2 c a r r i e r s . T a b l e s I I I / I V c o n t a i n

a s t r i k i n g f e a t u r e n o t p r e s e n t i n T a b l e s I / I I : t h e m a x i m u m P M E P R o v e r e a c h c o s e t i s a n e x a c t p o w e r o f 2 ,

a n d t h e s a m e i s t r u e f o r 4 , 8 a n d 3 2 c a r r i e r s .


12/28

1 2

T a b l e V I I I s u m m a r i s e s o p t i o n s f o r q u a t e r n a r y c o d i n g f o r 1 6 a n d 3 2 c a r r i e r s , m o s t l y d e r i v e d f r o m t h e o r d e r e d

l i s t o f T a b l e s I I I / I V . T h e s e o p t i o n s a r e d e t e r m i n e d i n s i m i l a r m a n n e r t o t h o s e h a v i n g t h e c o r r e s p o n d i n g

o p t i o n n u m b e r i n T a b l e V I I . A s i m i l a r m e t h o d t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 0 s h o w s t h a t i f m 4 i s e v e n a n d

t h e s e t o f c o s e t s f g

i

+ R M

2

( 1 ; m ) g i s a K e r d o c k c o d e o f l e n g t h 2

m

t h e n t h e m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e

o f f 2

h ? 1

g

i

+ R M

2

h

( 1 ; m ) g o v e r Z

2

h

i s 2

m ? 1

? 2

( m ? 2 ) = 2

f o r h > 1 . O p t i o n 2 e x p l o i t s t h i s r e s u l t , u s i n g c o s e t

r e p r e s e n t a t i v e s w h o s e v a l u e s a r e t w i c e t h o s e o f t h e b i n a r y O p t i o n 2 . O p t i o n 5 a i s a c o m p o s i t i o n c o d i n g s c h e m e

b a s e d o n t h r e e G o l a y c o s e t s o f R M

4

( 1 ; 3 ) . E r r o r c o r r e c t i o n f o r t h i s o p t i o n c a n b e d o n e w i t h r e s p e c t t o L e e

d i s t a n c e ( t h o u g h n o t a l w a y s w i t h r e s p e c t t o H a m m i n g d i s t a n c e , w h i c h i s w h y i t d o e s n o t o c c u r i n T a b l e V I I ) .

C o m p a r i s o n o f T a b l e s V I I a n d V I I I d e m o n s t r a t e s t h a t c h o i c e o f m o d u l a t i o n s c h e m e i s a f u r t h e r c o m p o n e n t o f

d e s i g n f r e e d o m . T h e q u a t e r n a r y s c h e m e s h a v e u p t o t w i c e t h e i n f o r m a t i o n r a t e o f t h e c o r r e s p o n d i n g b i n a r y

s c h e m e s f o r t h e s a m e m i n i m u m H a m m i n g d i s t a n c e , t o g e t h e r w i t h e n h a n c e d e r r o r c o r r e c t i o n c a p a b i l i t y b a s e d

o n L e e d i s t a n c e . T h e i r d i s a d v a n t a g e i s t h a t q u a t e r n a r y m o d u l a t i o n l e a d s t o a s m a l l e r m i n i m u m E u c l i d e a n

d i s t a n c e t h a n b i n a r y m o d u l a t i o n a n d s o t h e i r t r a n s m i s s i o n e r r o r r a t e i s l a r g e r .

C . T h e o c t a r y c a s e

C o n s i d e r t h e o c t a r y c a s e w i t h 1 6 c a r r i e r s ( h = 3 , m = 4 ) . T a b l e s V / V I l i s t t h e 4 0 9 6 c o s e t s o f R M

8

( 1 ; 4 )

i n Z R M

8

( 1 ; 4 ) i n i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r m a x i m u m P E P o v e r t h e 3 2 7 6 8 c o d e w o r d s i n t h e c o s e t . T h e l i s t i s

h e a d e d b y t h e 1 2 G o l a y c o s e t s o f C o r o l l a r y 9 , f o l l o w e d b y 4 8 c o s e t s w h o s e m a x i m u m P M E P R i s e x a c t l y 3 .

T h e m a x i m u m P M E P R f o r t h e c o s e t s i n t h e r s t q u a r t e r o f t h e l i s t i s n o g r e a t e r t h a n 4 ; f o r 8 c a r r i e r s t h i s

i s t r u e f o r t h e r s t h a l f o f t h e l i s t . T a b l e I X s u m m a r i s e s o p t i o n s f o r o c t a r y c o d i n g f o r 1 6 a n d 3 2 c a r r i e r s ,

t h e o p t i o n n u m b e r s c o r r e s p o n d i n g t o t h o s e i n T a b l e V I I I . O p t i o n 2 u s e s c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s w h o s e v a l u e s

a r e f o u r t i m e s t h o s e o f t h e b i n a r y O p t i o n 2 . O p t i o n 4 h a s s m a l l e r m a x i m u m P M E P R t h a n t h e q u a t e r n a r y

O p t i o n 4 b e c a u s e i t u s e s 1 2 G o l a y c o s e t s t o g e t h e r w i t h 2 0 o f t h e 4 8 c o s e t s h a v i n g m a x i m u m P M E P R o f 3 .

T h e p a r a m e t e r s o f O p t i o n 5 c o i n c i d e w i t h t h o s e p r o p o s e d i n d e p e n d e n t l y i n 3 5 ] .

D . C o m m e n t s

T h e c o s e t o r d e r i n g p r o c e s s i l l u s t r a t e d f o r b i n a r y , q u a t e r n a r y a n d o c t a r y m o d u l a t i o n c a n c l e a r l y b e a p p l i e d

t o l a r g e r v a l u e s o f h . S i n c e t h e s e c o d i n g s c h e m e s a r e a l l b a s e d o n t h e s a m e f o r m a l g e n e r a t o r m a t r i x f o r

R M

2

h

( 1 ; m ) , i n t e r p r e t e d o v e r d i e r e n t a l p h a b e t s Z

2

h

, i t i s s i m p l e t o c h a n g e a d a p t i v e l y b e t w e e n c o d i n g o p t i o n s

a c c o r d i n g t o t h e p r o p a g a t i o n c h a n n e l a n d e v o l v i n g s y s t e m r e q u i r e m e n t s . I n t h i s w a y w e o b t a i n e x i b l e c o d i n g

s c h e m e s w h i c h c o m b i n e t i g h t c o n t r o l o f P M E P R w i t h p o w e r f u l e r r o r c o r r e c t i o n c a p a b i l i t y a n d s t r u c t u r e d

e n c o d i n g . E c i e n t m e t h o d s o f d e c o d i n g w i l l b e d i s c u s s e d i n S e c t i o n V .

T h e n u m e r i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d d e m o n s t r a t e , a t l e a s t f o r s m a l l v a l u e s o f h a n d m , t h a t p a r t i t i o n i n g t h e

c o d e w o r d s o f R M

2

( 2 ; m ) ( i n t h e c a s e h = 1 ) o r Z R M

2

h

( 2 ; m ) ( i n t h e c a s e s h > 1 ) i n t o c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) i s

a n e e c t i v e m e t h o d o f i s o l a t i n g t h o s e c o d e w o r d s w i t h l a r g e v a l u e s o f P M E P R . I n d e e d , t h e m a x i m u m P M E P R

o v e r t h e e n t i r e s e c o n d - o r d e r c o d e s p a c e i s 2

m

, a n d y e t f o r s m a l l v a l u e s o f h a n d m w e t y p i c a l l y n e e d r e d u c e t h i s

s p a c e b y a f a c t o r o f o n l y t w o o r f o u r ( l o s i n g j u s t o n e o r t w o e n c o d i n g b i t s ) t o r e d u c e t h e m a x i m u m P M E P R

t o a t m o s t 4 .

B a s e d o n n u m e r i c a l e v i d e n c e f o r t h e q u a t e r n a r y c a s e w e s p e c u l a t e t h a t f o r a l l m t h e m a x i m u m P M E P R

o v e r a n y c o s e t o f R M

4

( 1 ; m ) i n Z R M

4

( 2 ; m ) i s a n e x a c t p o w e r o f 2 . C a m m a r a n o a n d W a l k e r 9 ] h a v e s h o w n

t h a t t h e G o l a y c o s e t s o f C o r o l l a r y 9 a l w a y s a t t a i n t h e u p p e r b o u n d o f 2 o n t h e i r m a x i m u m P M E P R , w h i c h

e s t a b l i s h e s t h i s s p e c u l a t i o n f o r m ! = 2 o f t h e 2

m ( m ? 1 ) = 2

q u a t e r n a r y c o s e t s . ( 9 ] a l s o s h o w s t h a t t h e b i n a r y G o l a y

c o s e t s o f C o r o l l a r y 6 a t t a i n t h e u p p e r b o u n d o f 2 o n t h e i r m a x i m u m P M E P R w h e n m i s o d d a n d 3 8 ] c o n t a i n s

f u r t h e r r e s u l t s a l o n g t h e s e l i n e s . )

W e f u r t h e r s p e c u l a t e t h a t a c o s e t o f R M

4

( 1 ; m ) i n Z R M

4

( 2 ; m ) h a v i n g m a x i m u m P M E P R o f 2

c o m p r i s e s

s e q u e n c e s b e l o n g i n g t o a G o l a y c o m p l e m e n t a r y 2

- t u p l e ( d e n e d a n a l o g o u s l y t o t h e c a s e = 1 g i v e n i n

D e n i t i o n 1 ) . A s t r a i g h t f o r w a r d m o d i c a t i o n o f T h e o r e m 2 w o u l d t h e n g i v e t h e c o r r e c t m a x i m u m P M E P R .

P a t e r s o n ' s w o r k 3 8 ] c o n t a i n s s i g n i c a n t r e s u l t s o n t h i s q u e s t i o n , s h o w i n g t h a t e a c h s u c h c o s e t c o m p r i s e s

s e q u e n c e s b e l o n g i n g t o a G o l a y c o m p l e m e n t a r y 2

- t u p l e f o r s o m e

a n d t h a t = i n c e r t a i n c a s e s .

T h e s e r e s u l t s a l l o w t a b l e s s u c h a s T a b l e s I I I / I V t o b e p r e d i c t e d a t l e a s t i n p a r t .


13/28

1 3

W e n o t e t h a t t h e o c t a r y T a b l e s V / V I c o n t a i n a s t r i k i n g f e a t u r e t h a t i s n o t p r e s e n t i n t h e c o m p a r a b l e b i n a r y

a n d q u a t e r n a r y T a b l e s I / I I a n d I I I / I V , n a m e l y t h a t 4 8 c o s e t s o f R M

8

( 1 ; 4 ) i n Z R M

8

( 2 ; 4 ) h a v e m a x i m u m

P M E P R o f e x a c t l y 3 . N i e s w a n d a n d W a g n e r 3 6 ] h a v e p a r t i a l l y e x p l a i n e d t h i s b y e x h i b i t i n g , f o r e a c h m > 2 ,

a t o t a l o f 2 m ! c o s e t s o f R M

8

( 1 ; m ) i n Z R M

8

( 2 ; m ) e a c h o f w h i c h c o n t a i n s a c o d e w o r d w h o s e e n v e l o p e p o w e r

P ( t ) s a t i s e s P ( 0 ) = 3 2

m

; i n t h e c a s e s m = 3 a n d m = 4 t h e 2 m ! c o s e t s s o i d e n t i e d a r e p r e c i s e l y t h o s e

w h o s e m a x i m u m P M E P R i s e x a c t l y 3 .

V . D e c o d i n g

A n i m p o r t a n t a t t r a c t i o n o f t h e b i n a r y R e e d - M u l l e r c o d e f o r a p p l i c a t i o n s p u r p o s e s i s t h a t i t i s e a s y t o

d e c o d e . I n p a r t i c u l a r , t h e r s t - o r d e r c o d e R M

2

( 1 ; m ) c a n b e d e c o d e d v e r y e c i e n t l y b y m e a n s o f t h e f a s t

H a d a m a r d t r a n s f o r m ( F H T ) . I n t h i s s e c t i o n w e g i v e a f a s t d e c o d i n g a l g o r i t h m f o r R M

2

h

( 1 ; m ) f o r a n y h 1 ,

r e q u i r i n g h F H T s a n d h e n c o d i n g o p e r a t i o n s i n R M

2

h

( 1 ; m ) . T h i s a l g o r i t h m a c t s a s a d e c o d e r f o r R M

2

h

( 1 ; m )

w i t h r e s p e c t t o b o t h H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e : i t a l w a y s c o r r e c t s e r r o r s o f H a m m i n g o r L e e w e i g h t l e s s

t h a n t h e l i m i t d = 2 = 2

m ? 2

g u a r a n t e e d b y t h e m i n i m u m H a m m i n g o r L e e d i s t a n c e d = 2

m ? 1

o f t h e c o d e

( s e e T h e o r e m 1 0 ) . I n f a c t t h e c l a s s o f e r r o r s w h i c h c a n a l w a y s b e c o r r e c t e d b y t h e a l g o r i t h m i n c l u d e s m a n y

w h o s e H a m m i n g o r L e e w e i g h t g r e a t l y e x c e e d s t h i s l i m i t . T h e a l g o r i t h m c a n b e u s e d f o r s o f t - d e c i s i o n a s

w e l l a s h a r d - d e c i s i o n d e c o d i n g . I t i s s c a l a b l e i n t h e s e n s e t h a t t h e d e c o d e r f o r R M

2

h + 1

( 1 ; m ) c a n b e o b t a i n e d

d i r e c t l y f r o m t h e d e c o d e r f o r R M

2

h

( 1 ; m ) s i m p l y b y i n c l u d i n g o n e a d d i t i o n a l i t e r a t i o n . W e a l s o e x t e n d t h e

d e c o d i n g a l g o r i t h m , w h i l e m a i n t a i n i n g i t s f a v o u r a b l e p r o p e r t i e s , t o d e a l w i t h a n a r b i t r a r y u n i o n o f c o s e t s o f

R M

2

h

( 1 ; m ) . T h i s e x t e n s i o n e c i e n t l y d e c o d e s a n y o f t h e c o d i n g s c h e m e s o f S e c t i o n I V .

W e r e m a r k t h a t A s h i k h m i n a n d L i t s y n 4 ] g i v e a n e x t e n s i o n t o n o n - b i n a r y c a s e s o f t h e s t a n d a r d F H T

m e t h o d f o r d e c o d i n g R M

2

( 1 ; m ) b u t t h e i r e x t e n s i o n a p p l i e s t o G R M ( 1 ; m ) r a t h e r t h a n t o R M

2

h

( 1 ; m ) ( s e e

S e c t i o n I I I ) . W e a l s o n o t e t h a t v a n N e e 3 5 ] i m p l i c i t l y g i v e s a h a r d - d e c i s i o n d e c o d e r f o r R M

2

h

( 1 ; 3 ) w i t h

r e s p e c t t o H a m m i n g ( a n d t h e r e f o r e , b y T h e o r e m 1 0 , L e e ) d i s t a n c e b u t d o e s n o t a n a l y s e w h i c h e r r o r s o f

H a m m i n g w e i g h t g r e a t e r t h a n 1 c a n b e c o r r e c t e d b y t h i s d e c o d e r a n d m a k e s n o m e n t i o n o f L e e w e i g h t .

W e b e g i n b y s u m m a r i s i n g t h e s t a n d a r d F H T m e t h o d f o r d e c o d i n g R M

2

( 1 ; m ) , a s d e s c r i b e d i n 3 1 ] .

D e n i t i o n 1 2 : T h e S y l v e s t e r - H a d a m a r d m a t r i x H

2

m

= ( H

i j

) o f o r d e r 2

m

i s g i v e n b y H

i j

= ( ?

1 )

P

m

k = 1

i

k

j

k

f o r i ; j 2 Z

2

m

, w h e r e ( i

1

; i

2

; : : : ; i

m

) a n d ( j

1

; j

2

; : : : ; j

m

) a r e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f i a n d j r e s p e c t i v e l y .

T h e H a d a m a r d t r a n s f o r m o f t h e r o w v e c t o r y = ( y

0

; y

1

; : : : ; y

2

m

? 1

) i s ^ y = y H

2

m

.

T h e H a d a m a r d t r a n s f o r m ^ y o f a s e q u e n c e y o f l e n g t h 2

m

c a n b e c a l c u l a t e d r a p i d l y b y r e p r e s e n t i n g H

2

m

a s

t h e p r o d u c t o f m s p a r s e m a t r i c e s ; w e t h e n c a l l ^ y t h e f a s t H a d a m a r d t r a n s f o r m ( F H T ) o f y . T h e F H T c a n b e

i m p l e m e n t e d i n s o f t w a r e w i t h m 2

m

a d d i t i o n s , a n d i n h a r d w a r e u s i n g t h e G r e e n m a c h i n e w i t h m s t a g e s .

I f a i s a s e q u e n c e o f l e n g t h n w e s h a l l d e n o t e b y ( a )

i

t h e i t h e l e m e n t o f a f o r i = 0 ; 1 ; : : : ; n ? 1 . W e s h a l l

w r i t e ( ? 1 )

a

f o r t h e s e q u e n c e w h o s e i t h e l e m e n t i s ( ? 1 )

( a )

i

a n d w r i t e a m o d 2

k

f o r t h e s e q u e n c e w h o s e i t h

e l e m e n t i s ( a )

i

m o d 2

k

( n a m e l y t h e i n t e g e r j 2 Z

2

k

s a t i s f y i n g ( a )

i

? j 0 ( m o d 2

k

) ) .

N o w s u p p o s e t h e c o d e w o r d c o f R M

2

( 1 ; m ) i s r e c e i v e d i n e r r o r a s r = ( c + e ) m o d 2 , w h e r e e i s a s e q u e n c e o v e r

Z

2

. T h e d e c o d i n g p r o c e d u r e f o r R M

2

( 1 ; m ) c a l c u l a t e s t h e F H T ^ y o f ( ? 1 )

r

a n d d e t e r m i n e s a v a l u e o f j 2 Z

2

m

f o r w h i c h ( ^ y )

j

i s a n e l e m e n t o f ^ y o f l a r g e s t m a g n i t u d e . I t t h e n s e t s w = 0 o r 1 a c c o r d i n g a s ( ^ y )

j

i s p o s i t i v e o r

n e g a t i v e , t a k e s ( w

1

; w

2

; : : : ; w

m

) t o b e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f j , a n d d e c o d e s r a s (

P

m

i = 1

w

i

x

i

+ w ) m o d 2 .

( B y t r u n c a t i n g i n t e r m e d i a t e r e s u l t s o f t h e F H T t h i s p r o c e d u r e c a n a c t u a l l y b e i m p l e m e n t e d i n s o f t w a r e w i t h

f e w e r t h a n m 2

m

a d d i t i o n s 3 ] . ) T h e d e c o d i n g p r o c e d u r e r e l i e s o n t h e f a c t t h a t t h e c o l u m n s o f H

2

m

t o g e t h e r

w i t h t h e c o l u m n s o f ? H

2

m

c o m p r i s e 2

m + 1

s e q u e n c e s o f t h e f o r m ( ? 1 )

a

, w h e r e a r a n g e s o v e r t h e c o d e w o r d s

o f R M

2

( 1 ; m ) . S o , i n t h e a b s e n c e o f e r r o r s , ( ^ y )

j

i s 2

m

f o r a u n i q u e v a l u e j = J a n d i s 0 f o r e a c h j 6= J . T h e

e e c t o f t h e e r r o r e , h a v i n g H a m m i n g w e i g h t w t ( e ) , i s t o r e d u c e t h e m a g n i t u d e o f ( ^ y )

J

f r o m 2

m

b y e x a c t l y

2 w t ( e ) a n d t o i n c r e a s e t h e m a g n i t u d e o f ( ^ y )

j

f o r e a c h j 6= J f r o m 0 b y a t m o s t t h e s a m e a m o u n t 2 w t ( e ) .

T h e r e f o r e p r o v i d e d w t ( e ) < 2

m ? 2

t h e d e c o d i n g p r o c e d u r e c o r r e c t l y d e c o d e s r t o c . ( S e e S e c t i o n I I f o r a

d i s c u s s i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n B o o l e a n f u n c t i o n s a n d b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n s . )

T h e f o l l o w i n g d e n i t i o n w i l l b e u s e f u l i n d e s c r i b i n g t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m f o r R M

2

h

( 1 ; m ) .

D e n i t i o n 1 3 : L e t a = ( a

0

; a

1

; : : : ; a

n ? 1

) b e a n i n t e g e r s e q u e n c e a n d l e t i b e a n i n t e g e r . W e d e n e w t

2

k

( i )

t o b e m i n ( i m o d 2

k

; 2

k

? ( i m o d 2

k

) ) a n d w t

2

k

( a ) t o b e

P

n ? 1

i = 0

w t

2

k

( a

i

) .

w t

2

k

( a ) i s e q u a l t o t h e L e e w e i g h t o v e r Z

2

k

o f t h e s e q u e n c e a m o d 2

k

( s e e S e c t i o n I I I ) .


14/28

1 4

W e n o w i n t r o d u c e t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m b y o u t l i n i n g t h e o c t a r y c a s e h = 3 . S u p p o s e t h e c o d e w o r d

c 2 R M

8

( 1 ; m ) i s r e c e i v e d i n e r r o r a s r = ( c + e ) m o d 8 , w h e r e e i s a s e q u e n c e o v e r Z

8

. W r i t e c = (

P

m

i = 1

u

i

x

i

+

u ) m o d 8 , w h e r e u

i

; u 2 Z

8

. L e t ( v

i 2

; v

i 1

; v

i 0

) b e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f u

i

a n d l e t ( v

2

; v

1

; v

0

) b e t h e

b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f u , s o t h a t u

i

= 4 v

i 2

+ 2 v

i 1

+ v

i 0

a n d u = 4 v

2

+ 2 v

1

+ v

0

. T h e n

c = ( 4 f

2

+ 2 f

1

+ f

0

) m o d 8 ; ( 1 3 )

w h e r e

f

2

= (

m

X

i = 1

v

i 2

x

i

+ v

2

) m o d 2 ; ( 1 4 )

f

1

= (

m

X

i = 1

v

i 1

x

i

+ v

1

) m o d 4 ; ( 1 5 )

f

0

= (

m

X

i = 1

v

i 0

x

i

+ v

0

) m o d 8 : ( 1 6 )

W r i t e t h e e r r o r e u n i q u e l y a s e = 4 e

2

+ 2 e

1

+ e

0

, w h e r e e a c h e

k

i s a s e q u e n c e o v e r Z

2

, s o t h a t

r = ( 4 ( f

2

+ e

2

) + 2 ( f

1

+ e

1

) + ( f

0

+ e

0

) ) m o d 8 : ( 1 7 )

U s i n g t h e F H T , t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m r e c o v e r s t h e v a l u e f

0

b y r e d u c i n g m o d u l o 2 , t h e n ( a s s u m i n g f

0

h a s

b e e n d e t e r m i n e d c o r r e c t l y ) t h e v a l u e f

1

b y r e d u c i n g m o d u l o 4 , a n d n a l l y ( a s s u m i n g f

0

a n d f

1

h a v e b e e n

d e t e r m i n e d c o r r e c t l y ) t h e v a l u e f

2

; c i s t h e n r e c o v e r e d f r o m ( 1 3 ) .

N o w r m o d 2 = ( f

0

m o d 2 + e

0

) m o d 2 , a n d w e k n o w f r o m ( 1 6 ) t h a t f

0

m o d 2 i s a c o d e w o r d i n R M

2

( 1 ; m ) .

T h e r e f o r e p r o v i d e d w t

2

( e

0

) < 2

m ? 2

w e c a n u s e t h e s t a n d a r d b i n a r y d e c o d e r f o r R M

2

( 1 ; m ) t o r e c o v e r t h e

b i n a r y c o e c i e n t s v

i 0

; v

0

f o r f

0

m o d 2 , a n d t h e n c a l c u l a t e f

0

f r o m ( 1 6 ) .

W e n e x t s e t r

1

= ( r ? f

0

) m o d 8 . F r o m ( 1 7 ) , r

1

m o d 4 = ( 2 ( f

1

m o d 2 ) + ( 2 e

1

+ e

0

) ) m o d 4 . F r o m ( 1 5 ) ,

f

1


2

( 1 ; m ) . W e d e n e t h e s e q u e n c e y b y ( y )

i

= 1 ? w t

4

( ( r

1

)

i

) f o r i = 0 ; 1 ; : : : ; 2

m

? 1

a n d t a k e ^ y t o b e t h e F H T o f y . N o w i f e

0

= 0 t h e n y = ( ? 1 )

( f

1

+ e

1

) m o d 2

a n d s o t h i s s t a g e o f t h e a l g o r i t h m

s i m p l y d e c o d e s f

1

m o d 2 i n t h e p r e s e n c e o f t h e e r r o r e

1

u s i n g t h e s t a n d a r d b i n a r y m e t h o d ; ^ y

j

i s 2

m

f o r a

u n i q u e v a l u e j = J a n d i s 0 f o r e a c h j 6= J . H o w e v e r i f e

0

6= 0 t h e n ( y )

i

= 0 f o r a l l p o s i t i o n s i s u c h t h a t

( e

0

)

i

= 1 . T h i s e e c t i v e l y r e m o v e s f r o m c o n s i d e r a t i o n t h o s e e l e m e n t s o f y i d e n t i e d a s e r r o r p o s i t i o n s b y t h e

F H T f r o m t h e p r e v i o u s s t a g e . W e s h a l l s h o w t h a t t h e e e c t o f t h e e r r o r e i s t o r e d u c e t h e m a g n i t u d e o f ( ^ y )

J

f r o m 2

m

b y e x a c t l y w t

4

( 2 e

1

+ e

0

) , a n d t o i n c r e a s e t h e m a g n i t u d e o f ( ^ y )

j

f o r e a c h j 6= J f r o m 0 b y a t m o s t t h e

s a m e a m o u n t w t

4

( 2 e

1

+ e

0

) . T h e r e f o r e p r o v i d e d w t

4

( 2 e

1

+ e

0

) < 2

m ? 1

w e c a n r e c o v e r t h e b i n a r y c o e c i e n t s

v

i 1

; v

1

f o r f

1

m o d 2 f r o m t h e p o s i t i o n a n d s i g n o f t h e t r a n s f o r m s e q u e n c e e l e m e n t o f l a r g e s t m a g n i t u d e , a n d

t h e n c a l c u l a t e f

1

f r o m ( 1 5 ) .

T h e l a s t s t a g e o f t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m i s t o s e t r

2

= ( r

1

? 2 f

1

) m o d 8 . F r o m ( 1 7 ) , r

2

= ( 4 ( f

2

m o d 2 ) +

( 4 e

2

+ 2 e

1

+ e

0

) ) m o d 8 , a n d f r o m ( 1 4 ) , f

2


2

( 1 ; m ) . W e d e n e t h e s e q u e n c e y

b y ( y )

i

= 2 ? w t

8

( ( r

2

)

i

) f o r i = 0 ; 1 ; : : : ; 2

m

? 1 a n d t a k e ^ y t o b e t h e F H T o f y . I f e

1

= e

0

= 0 t h e n

y = 2 ( ? 1 )

( f

2

+ e

2

) m o d 2

s o t h a t t h i s s t a g e r e d u c e s t o t h e s t a n d a r d d e c o d i n g o f f

2

m o d 2 i n t h e p r e s e n c e o f t h e

e r r o r e

2

. O t h e r w i s e ( y )

i

t a k e s t h e v a l u e 1 , 0 o r ? 1 f o r a l l p o s i t i o n s i s u c h t h a t ( 2 e

1

+ e

0

)

i

6= 0 ; t h i s m o d i e s

t h e r e s u l t o f t h e F H T a c c o r d i n g t o t h e e r r o r p o s i t i o n s i d e n t i e d b y b o t h o f t h e p r e v i o u s F H T s . W e s h a l l s h o w

t h a t p r o v i d e d w t

8

( 4 e

2

+ 2 e

1

+ e

0

) < 2

2

m ? 1

w e c a n r e c o v e r f

2

m o d 2 a n d h e n c e f

2

.

F i n a l l y w e r e c o v e r c f r o m ( 1 3 ) . T h e c o n d i t i o n s f o r c o r r e c t l y d e c o d i n g c + e t o c a r e : w t

2

( e ) < 2

m ? 2

,

w t

4

( e ) < 2

m ? 1

, a n d w t

8

( e ) < 2

m

.

W e n o w g i v e a f o r m a l d e s c r i p t i o n o f t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m f o r a n y v a l u e o f h 1 .

A l g o r i t h m 1 4 : ( D e c o d i n g a l g o r i t h m f o r R M

2

h

( 1 ; m ) )

1 . I n p u t t h e r e c e i v e d c o d e w o r d r a s a s e q u e n c e o v e r Z

2

h

o f l e n g t h 2

m

. S e t k = 0 a n d r

0

= r .

2 . D e n e t h e s e q u e n c e y b y ( y )

i

= 2

k ? 1

? w t

2

k + 1

( ( r

k

)

i

) f o r i = 0 ; 1 ; : : : ; 2

m

? 1 .


15/28

1 5

3 . L e t ^ y b e t h e F H T o f y a n d d e t e r m i n e a v a l u e o f j 2 Z

2

m

f o r w h i c h ( ^ y )

j

i s a n e l e m e n t o f ^ y o f l a r g e s t

m a g n i t u d e . L e t w b e 0 o r 1 a c c o r d i n g a s ( ^ y )

j

i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e , a n d l e t ( w

1

; w

2

; : : : ; w

m

) b e t h e b i n a r y

r e p r e s e n t a t i o n o f j . S e t f

k

= (

P

m

i = 1

w

i

x

i

+ w ) m o d 2

h ? k

.

4 . I f k = h ? 1 t h e n o u t p u t t h e d e c o d e d c o d e w o r d ( 2

h ? 1

f

h ? 1

+ 2

h ? 2

f

h ? 2

+ : : : + f

0

) m o d 2

h

. E l s e s e t

r

k + 1

= ( r

k

? 2

k

f

k

) m o d 2

h

, t h e n i n c r e m e n t k a n d g o t o S t e p 2 .

T h e o r e m 1 5 : L e t c b e a c o d e w o r d o f R M

2

h

( 1 ; m ) a n d l e t e b e a s e q u e n c e o v e r Z

2

h

. G i v e n t h e i n p u t

( c + e ) m o d 2

h

, A l g o r i t h m 1 4 o u t p u t s c p r o v i d e d w t

2

k + 1

( e ) < 2

m + k ? 2

f o r k = 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 .

P r o o f : W r i t e c = (

P

m

i = 1

u

i

x

i

+ u ) m o d 2

h

, w h e r e u

i

; u 2 Z

2

h

. L e t ( v

i ; h ? 1

; v

i ; h ? 2

; : : : ; v

i 0

) b e t h e b i n a r y

r e p r e s e n t a t i o n o f u

i

a n d l e t ( v

h ? 1

; v

h ? 2

; : : : ; v

0

) b e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f u , s o t h a t u

i

= 2

h ? 1

v

i ; h ? 1

+

2

h ? 2

v

i ; h ? 2

+ : : : + v

i 0

a n d u = 2

h ? 1

v

h ? 1

+ 2

h ? 2

v

h ? 2

+ : : : + v

0

. T h e n c = ( 2

h ? 1

f

h ? 1

+ 2

h ? 2

f

h ? 2

+ : : : + f

0

) m o d 2

h

,

w h e r e

f

k

= (

m

X

i = 1

v

i k

x

i

+ v

k

) m o d 2

h ? k

( 1 8 )

f o r k = 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 . W r i t e t h e e r r o r e u n i q u e l y a s

e = 2

h ? 1

e

h ? 1

+ 2

h ? 2

e

h ? 2

+ : : : + e

0

; ( 1 9 )

w h e r e e a c h e

k

i s a s e q u e n c e o v e r Z

2

, s o t h a t t h e r e c e i v e d c o d e w o r d r = ( c + e ) m o d 2

h

i s g i v e n b y

r = ( 2

h ? 1

( f

h ? 1

+ e

h ? 1

) + 2

h ? 2

( f

h ? 2

+ e

h ? 2

) + : : : + ( f

0

+ e

0

) ) m o d 2

h

: ( 2 0 )

T h e a l g o r i t h m h a s h p a s s e s 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 , a n d o n p a s s k w e d e t e r m i n e t h e v a l u e o f f

k

. A s s u m e t h a t

t h e v a l u e s f

0

; f

1

; : : : ; f

k ? 1

h a v e b e e n d e t e r m i n e d c o r r e c t l y . T h e n S t e p 4 s h o w s t h a t r

k

m o d 2

k + 1

= ( r ?

f

0

? 2 f

1

? 2

2

f

2

? : : : ? 2

k ? 1

f

k ? 1

) m o d 2

k + 1

, a n d b y ( 1 9 ) a n d ( 2 0 ) w e o b t a i n r

k

m o d 2

k + 1

= ( 2

k

( f

k

m o d 2 ) +

e m o d 2

k + 1

) m o d 2

k + 1

. N o w i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o v e r i f y t h e i d e n t i t y

2

k ? 1

? w t

2

k + 1

( 2

k

+ ) ( ? 1 )

( 2

k ? 1

? w t

2

k + 1

( ) ) f o r a l l 2 Z

2

, 2 Z

2

k + 1

f o r a n y i n t e g e r k 0 . T h e r e f o r e b y S t e p 2 w e h a v e ( y )

i

= ( ? 1 )

( f

k

m o d 2 )

i

( 2

k ? 1

? w t

2

k + 1

( ( e )

i

) ) . S i n c e

( ^ y )

j

=

P

2

m

? 1

i = 0

( y )

i

H

i j

, w h e r e H = ( H

i j

) i s t h e S y l v e s t e r - H a d a m a r d m a t r i x o f o r d e r 2

m

, w e t h e n h a v e

( ^ y )

j

= 2

k ? 1

2

m

? 1

X

i = 0

( ? 1 )

( f

k

m o d 2 )

i

H

i j

?

2

m

? 1

X

i = 0

( ? 1 )

( f

k

m o d 2 )

i

H

i j

w t

2

k + 1

( ( e )

i

)

= 2

k ? 1

( ( ? 1 )

f

k

m o d 2

H )

j

?

2

m

? 1

X

i = 0

d

i j

w t

2

k + 1

( ( e )

i

) ; ( 2 1 )

w h e r e e a c h d

i j

= ( ? 1 )

( f

k

m o d 2 )

i

H

i j

t a k e s t h e v a l u e 1 o r ? 1 . S i n c e f

k


2

( 1 ; m ) ,

( ( ? 1 )

f

k

m o d 2

H )

j

i s 2

m

f o r a u n i q u e v a l u e j = J a n d i s 0 f o r e a c h j 6= J . T h e r e f o r e e i t h e r d

i J

= 1 f o r a l l

i o r d

i J

= ? 1 f o r a l l i . W e t h e n s e e f r o m ( 2 1 ) t h a t t h e e e c t o f t h e e r r o r e i s t o r e d u c e t h e m a g n i t u d e o f

( ^ y )

j

f r o m 2

k ? 1

2

m

b y e x a c t l y w t

2

k + 1

( e ) f o r a u n i q u e v a l u e j = J , a n d t o i n c r e a s e t h e m a g n i t u d e o f ( ^ y )

j

f o r

e a c h j 6= J f r o m 0 b y a t m o s t t h e s a m e a m o u n t . B y a s s u m p t i o n w t

2

k + 1

( e ) < 2

m + k ? 2

, s o w e c a n r e c o v e r t h e

b i n a r y c o e c i e n t s v

i k

; v

k

f o r f

k

m o d 2 f r o m t h e p o s i t i o n a n d s i g n o f t h e t r a n s f o r m s e q u e n c e e l e m e n t o f l a r g e s t

m a g n i t u d e , a n d t h e n c a l c u l a t e f

k

f r o m ( 1 8 ) . 2

N o t e t h a t w h e n k = 0 , S t e p 2 o f A l g o r i t h m 1 4 s e t s y = ( ? 1 )

r m o d 2

= 2 , s o p a s s 0 o f t h e a l g o r i t h m i s t h e s t a n -

d a r d b i n a r y d e c o d e r f o r R M

2

( 1 ; m ) e x c e p t t h a t t h e v a l u e s 1 = 2 a r e u s e d i n s t e a d o f 1 . F o r i m p l e m e n t a t i o n

c o n v e n i e n c e w e c a n c h o o s e t o w o r k w i t h 2 y i n s t e a d o f y o n p a s s 0 . N o t e a l s o t h a t w e c a n c h o o s e i n S t e p 3 t o

c a l c u l a t e f

k

m o d u l o 2

h

r a t h e r t h a n m o d u l o 2

h ? k

w i t h o u t a e c t i n g t h e r e s u l t .

C o r o l l a r y 1 6 : A l g o r i t h m 1 4 a c t s a s a d e c o d e r f o r R M

2

h

( 1 ; m ) w i t h r e s p e c t t o H a m m i n g d i s t a n c e a n d w i t h

r e s p e c t t o L e e d i s t a n c e .


16/28

1 6

P r o o f : L e t c b e a c o d e w o r d o f R M

2

h

( 1 ; m ) a n d l e t e b e a t r a n s m i s s i o n e r r o r h a v i n g H a m m i n g w e i g h t w t ( e ) .

B y T h e o r e m 1 0 i t i s s u c i e n t t o s h o w t h a t A l g o r i t h m 1 4 c o r r e c t l y d e c o d e s ( c + e ) m o d 2

h

t o c p r o v i d e d t h a t

w t ( e ) < 2

m ? 2

. T h i s f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 5 b y n o t i n g t h a t w t

2

k + 1

( e ) 2

k

w t ( e ) f o r k = 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 . 2

T h e f u l l p o w e r o f A l g o r i t h m 1 4 i s d e m o n s t r a t e d n o t b y C o r o l l a r y 1 6 b u t b y T h e o r e m 1 5 . F o r e x a m p l e ,

c o n s i d e r t h e o c t a r y c a s e h = 3 w i t h m = 4 . T h e o r e m 1 0 a n d C o r o l l a r y 1 6 g u a r a n t e e o n l y t h a t a n e r r o r o f H a m -

m i n g ( o r L e e ) w e i g h t a t m o s t 3 c a n b e c o r r e c t e d a n d y e t b y T h e o r e m 1 5 t h e e r r o r e = ( 4 0 0 2 1 0 1 0 0 0 7 6 0 4 0 0 ) ,

h a v i n g H a m m i n g w e i g h t 7 a n d L e e w e i g h t 1 5 , c a n b e c o r r e c t e d u s i n g A l g o r i t h m 1 4 b e c a u s e i t s a t i s e s

w t

2

( e ) = 3 , w t

4

( e ) = 7 a n d w t

8

( e ) = 1 5 . W e n o w i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m f o r t h e s e

v a l u e s o f h , m a n d e , t a k i n g t h e c o d e w o r d c t o b e 5 x

1

+ 7 x

2

+ 3 x

3

+ 6 x

4

+ 6 = ( 6 4 1 7 5 3 0 6 3 1 6 4 2 0 5 3 ) .

T h e r e c e i v e d c o d e w o r d i s r

0

= ( c + e ) m o d 8 = ( 2 4 1 1 6 3 1 6 3 1 5 2 2 4 5 3 ) . O n p a s s k = 0 w e n d 2 y =

( 1 ; 1 ; ? 1 ; ? 1 ; 1 ; ? 1 ; ? 1 ; 1 ; ? 1 ; ? 1 ; ? 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ? 1 ; ? 1 ) a n d

c

2 y = ( ? 2 ; ? 2 ; 6 ; 6 ; ? 2 ; ? 2 ; ? 2 ; ? 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 1 0 ; ? 6 ) :

W e t h e r e f o r e s e t f

0

= ( x

1

+ x

2

+ x

3

) m o d 8 = ( 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ) a n d r

1

= ( r

0

? f

0

) m o d 8 = ( 2 4 0 0 5 2 7 4 2 0 3 0 0 2 2 0 ) .

O n p a s s k = 1 w e n d y = ( ? 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; ? 1 ; 0 ; 1 ; ? 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; ? 1 ; ? 1 ; 1 ) a n d

^ y = ( 3 ; ? 5 ; ? 5 ; 3 ; 3 ; ? 5 ; ? 1 ; ? 9 ; 1 ; 1 ; ? 3 ; ? 3 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ) :


1

= ( x

2

+ x

3

+ x

4

+ 1 ) m o d 4 = ( 1 2 2 3 2 3 3 0 1 2 2 3 2 3 3 0 ) a n d r

2

= ( r

1

? 2 f

1

) m o d 8 =

( 0 0 4 2 1 4 1 4 0 4 7 2 4 4 4 0 ) . O n p a s s k = 2 w e n d y = ( 2 ; 2 ; ? 2 ; 0 ; 1 ; ? 2 ; 1 ; ? 2 ; 2 ; ? 2 ; 1 ; 0 ; ? 2 ; ? 2 ; ? 2 ; 2 ) a n d

^ y = ( ? 3 ; 5 ; 1 ; 9 ; 9 ; 1 ; 9 ; 1 ; 3 ; 3 ; 1 1 ; ? 5 ; ? 1 ; ? 1 7 ; 3 ; 3 ) :


2

= ( x

1

+ x

2

+ x

4

+ 1 ) m o d 2 = ( 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ) . T h e o u t p u t o f t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m

i s ( 4 f

2

+ 2 f

1

+ f

0

) m o d 8 = ( 6 4 1 7 5 3 0 6 3 1 6 4 2 0 5 3 ) , w h i c h i s t h e o r i g i n a l c o d e w o r d .

U n d e r t h e e n c o d i n g s c h e m e s o f S e c t i o n I V i n f o r m a t i o n s y m b o l s u

i

; u 2 Z

2

h

a r e u s e d t o f o r m t h e c o d e w o r d

(

P

m

i = 1

u

i

x

i

+ u ) m o d 2

h

o f R M

2

h

( 1 ; m ) . T h e s e i n f o r m a t i o n s y m b o l s c a n b e r e c o v e r e d d i r e c t l y u s i n g t h e a b o v e

d e c o d i n g a l g o r i t h m : i n t h e a b o v e e x a m p l e t h e o u t p u t i s d e t e r m i n e d a s ( 4 ( x

1

+ x

2

+ x

4

+ 1 ) + 2 ( x

2

+ x

3

+ x

4

+

1 ) + ( x

1

+ x

2

+ x

3

) ) m o d 8 = ( 5 x

1

+ 7 x

2

+ 3 x

3

+ 6 x

4

+ 6 ) m o d 8 . F u r t h e r m o r e t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f

t h e i n f o r m a t i o n s y m b o l s u

i

; u g i v e s t h e o r i g i n a l i n f o r m a t i o n b i t s , s o t h e s e c a n a l s o b e r e c o v e r e d d i r e c t l y f r o m

t h e a l g o r i t h m a s t h e c o e c i e n t s v

i k

; v

k

f o r k = 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 . N o w p a s s k o f t h e a l g o r i t h m c a n d e t e r m i n e

i n c o r r e c t l y t h e v a l u e f

k

i f t h e e r r o r e d o e s n o t s a t i s f y w t

2

k + 1

( e ) < 2

m + k ? 2

. I f t h i s h a p p e n s t h e n s u b s e q u e n t

p a s s e s c a n d e t e r m i n e i n c o r r e c t l y t h e v a l u e s f

k + 1

; f

k + 2

; : : : ; f

h ? 1

s o t h a t t h e d e c o d e d c o d e w o r d c a n h a v e l a r g e

L e e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n a l c o d e w o r d . H o w e v e r p r o v i d e d t h e v a l u e s f

0

; f

1

; : : : ; f

k ? 1

a r e a l l d e t e r m i n e d

c o r r e c t l y t h e n a t l e a s t k ( m + 1 ) i n f o r m a t i o n b i t s ( n a m e l y t h e c o e c i e n t s v

i j

; v

j

f o r i = 1 ; 2 ; : : : ; m a n d

j = 0 ; 1 ; : : : k ? 1 ) o u t o f t h e o r i g i n a l h ( m + 1 ) w i l l b e d e t e r m i n e d c o r r e c t l y .

T h e p r i n c i p a l c o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t f o r A l g o r i t h m 1 4 i s h i n t e g e r - v a l u e d F H T s a n d h s u m m a t i o n s o f

t h e f o r m (

P

m

i = 1

w

i

x

i

+ w ) m o d 2

h

. E a c h s u m m a t i o n c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g w h a t e v e r s o f t w a r e o r h a r d w a r e

p r o c e d u r e i s u s e d t o e n c o d e t h e i n f o r m a t i o n s y m b o l s u

i

; u a s t h e e l e m e n t (

P

m

i = 1

u

i

x

i

+ u ) m o d 2

h

o f R M

2

h

( 1 ; m ) .

W e h a v e p r e s e n t e d A l g o r i t h m 1 4 a s a h a r d - d e c i s i o n d e c o d e r ( a c t i n g o n a s e q u e n c e w h o s e e l e m e n t s a r e

i n t e g e r s i n Z

2

h

) , b u t i t c a n a l s o b e u s e d a s a s o f t - d e c i s i o n d e c o d e r ( a c t i n g o n a s e q u e n c e w h o s e e l e m e n t s a r e

r e a l n u m b e r s i n t h e r a n g e 0 ; 2

h

) ) . W e s i m p l y n e e d t o e x t e n d D e n i t i o n 1 3 f o r w t

2

k

( i ) t o d e a l w i t h r e a l - v a l u e d

i b y t a k i n g i m o d 2

k

t o b e t h e r e a l n u m b e r j i n t h e r a n g e 0 ; 2

k

) s a t i s f y i n g i ?

j

0 ( m o d 2

k

) .

A l g o r i t h m 1 4 c a n b e m o d i e d a s f o l l o w s . R e p l a c e t h e d e n i t i o n o f y i n S t e p 2 b y v = ( r

k

m o d 2

k + 1

) = 2

k

a n d

y = ( ? 1 )

v

, c a l c u l a t e e

k

= ( v + f

k

) m o d 2 a t t h e e n d o f S t e p 3 , a n d r e p l a c e t h e e q u a t i o n f o r r

k + 1

i n S t e p 4 b y

r

k + 1

= ( r

k

? 2

k

( f

k

+ e

k

) ) m o d 2

h

. T h e n o n p a s s k , a s s u m i n g f

0

; f

1

; : : : ; f

k ? 1

h a v e b e e n d e t e r m i n e d c o r r e c t l y ,

S t e p 2 s e t s y = ( ? 1 )

( f

k

+ e

k

) m o d 2

a n d S t e p 3 u s e s t h e s t a n d a r d b i n a r y d e c o d e r f o r R M

2

( 1 ; m ) t o n d f

k

m o d 2

( a n d h e n c e f

k

) a n d e

k

. T h e m o d i e d c o n d i t i o n s f o r c o r r e c t i n g t h e e r r o r e d e n e d b y ( 1 9 ) a r e w t

2

( e

k

) < 2

m ? 2

f o r k = 0 ; 1 ; : : : ; h ? 1 . B o t h t h e o r i g i n a l A l g o r i t h m 1 4 a n d t h i s m o d i c a t i o n a c t a s d e c o d e r s f o r R M

2

h

( 1 ; m )

w i t h r e s p e c t t o H a m m i n g a n d L e e d i s t a n c e ; b e y o n d t h e l i m i t g u a r a n t e e d b y t h e m i n i m u m d i s t a n c e o f t h e

c o d e b o t h p e r f o r m w e l l b u t n e i t h e r o n e i s u n i f o r m l y b e t t e r t h a n t h e o t h e r .


17/28

1 7

W e n o w e x t e n d A l g o r i t h m 1 4 t o d e c o d e e c i e n t l y a n a r b i t r a r y u n i o n o f c o s e t s o f R M

2

h

( 1 ; m ) . T h e s u p e r c o d e

d e c o d i n g m e t h o d f o r d e c o d i n g t h e u n i o n o f c o s e t s o f a c o d e C , a s d e s c r i b e d i n 1 1 ] f o r b i n a r y c o d e s , i n v o l v e s

s u b t r a c t i n g e a c h p o s s i b l e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e i n t u r n f r o m t h e r e c e i v e d c o d e w o r d a n d d e c o d i n g t h e r e s u l t a s

a n e l e m e n t o f C ; t h e b e s t d e c o d i n g r e s u l t i n C d e t e r m i n e s t h e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e . W e s h a l l m o d i f y t h i s

m e t h o d b y i n t e r l e a v i n g t h e s u b t r a c t i o n o f t h e c o s e t r e p r e s e n t a t i v e s w i t h t h e h p a s s e s o f A l g o r i t h m 1 4 t o g i v e

a s u b s t a n t i a l l y f a s t e r a l g

Davis Jedwab. Golay Muller 1999

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