[David halliday; robert_resnick;_jearl_walker]_fun(book_zz.org)

1. 4." EDIo FUNDAMENTOS DE FSICA 1 MECNICA David Halliday Universidade de Pittsburgh Robert Resnick Instituto Politcnico de Rensselaer Jearl Walker Universidade Estadual de Cleveland Traduo Gerson Bazo Costamilan (Apndices A a 1-11 Joo Paulo Pinto dos Santos (Cap_ 10) Luciano Videira Monteiro (Caps. 2, 4, 5, 6 e 11) Luclia Marques Pereira da Silva (Cap. 12) Ronaldo Srgio de Biasi (Caps. 1, 3, 7, 8 e 9) Reviso Tcnca Gerson Duo Costamilan (Caps. 1, 2, 3, 7, B, 9, 10 e Apndices A a H) Professor de Fsica do Instituto Militar de Engenharia -IME Mestre e Doutorando em Fsica pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas J. A. Souza (Caps. 4, 6, 11 e 12) Instituto de fsica da Universidade Federal Fluminense - UfF Vicente Roberto Dumke (Cap. 5) Professor Titular, Departamento de fSica, Universidade Federal do Paran - UFPR Mestre e Doutor em fisica pela Univers~dadede So Paulo (Campus So Carlos) - USP William Albuquerque (Cap. 2) Professor Assistente de Fsica, Universidade Federal do Rio d~' Janeiro - UFRJ Mestre em Engenharia Metalrgica pela COPPE - UFRJ Supervso Geral J. A. Souza

2. , PREFACIO ."-- No~ ~, consagrdas de especialistas nos temas, revemos a lgica dos Exemplos e discutimos as ms interpretaes de ter- minologia e de conceitos da Fsica. Como na terceira edi- o, ti maioria dessas orientaes de aprendizagem aparece nos primeiros volumes da .~rie. onde os estudantes pre- cisam de mais ajuda, mas agora aparecem tambm nos l- timos, quando surgem situaes especialmente difceis. Questionrios, Exerccios e Problemas o conjunto de Questionrios, Exerccios e Problemas do final de cada captulo , sem dvida alguma, mais extenso e variado que qualquer outro encontrado em textos introdutrios de Fsica. Revisamos os melhores conjuntos da" edies anteriores, tomando-os mais claros e interes- santes, e acrescentamos um nmero considervel de ques- tes, exerccios e problemas conceituais. Cuidamos para atender aos diversos nveis e abrangncia da matria que tm caracterizado nossos textos. Ao mesmo tempo, procuramos no descartar os bons problemas que por muitos anos vm sendo discutidos em sala de aula. Aqueles que utili- zam nosso texto h muitos anos certamente encontraro seus problemas favoritos. Para melhor ilustrar os Questionrios, Exerccios e Problemas. utilizamos um nmero maior de figuras e foto- grafias. Questionrios, Os Questionrios constituem uma caracterstica especial de nossos livros. So usados em discusses tericas em sala de aula e no esclarecimento dos conceitos. Agora, alm de em maor nmero, reladonam- se ainda mais com os fenmenos cotidianos, o que serve para despertar a curiosidade e o interesse do estudante. bem como enfatizar os aspectos conceituais da Fsica. Exerccios e Problemas. Os Exercfcios, identificados pela letra E aps sua numerao, envolvem um nico pas- so ou uma simples aplicao de frmula. Desse modo, servem para dar confiana ao estudante na resoluo dos problemas. Os Problemas so identificados pela letra P; entre eles, apresentamos um pequeno nmero de problemas avanado!'>, identificados por asterisco (*). Alm disso, apresentamos os Exerccios "E" e os Pro- blemas "P" em ordem de dificuldade e separados pelos t- tulos das respectivas sees. Nosso objetivo foi simplificar o processo de seleo por parte dos professores ante a grande quantidade de material agora disponvel. Conse- qentemente, os professores podem variar a nfase nos diversos assuntos e o nvel de dificuldade de acordo com a situao, e ainda dispor de um bom nmero de exerccios e problemas para instruir seu.'; aluno.'; por mutos anos. Problemas Adicionais, A pedido de muitos professores, acrescentamos no final da maioria dos captulos uma nova seo. denominada "ProblemaS Adicionais". Enquan- to resolvem esses problemas, que so independentes das sees do captulo. os estudantes devem identificar, por si mesmos, 01'> princpios relevantes da Fsica. Aplicaes e Leituras Complementares Para enfatizar a relevncia do trabalho dos fsicos c moti- var ainda mais os estudantes, inclumos dentro de cadd captulo numerosas aplicaes da Fsica na Engenharia. na Tecnologia, na Medicina e nos fenmenos da vida coti- diana. Alm disso, mantivemos as leituras complememare; escritas por cientista!'> de renome e 4....:: ::-"tam das apli(:a- es da Fsica relacionando-a a temns de interesse dos estudantes, tais como dana, esporte, efeito estufa. laser. holografia e muitos outros. (Veja o Sumrio.) Dentre as leituras complementares. algumas so novas, e as demais, trazidas da terceira edio, foram revistas e arualizadas por seus autores. A maioria das leituras complementares faz referncia ao assunto do captulo em questo e contm perguntas para estimular o raciocnio do estudante. FSICA MODERNA Como a terceira edio, esta composta de 49 captulol'>, incluindo um desenvolvimento do tema da Fsica quntica e suas aplicaes aos tomos, slidos, ncleos e partculas. Tais captulos destinam-se a cursos introdutrios que tratam da Fsicaquntica, podendo ser abordados num curso subseqente. Nos captulos iniciais, procuramos preparar o caminho para um estudo sistemtico da Fsica quntica. File- mos isso de trs maneiras. (I) Chamamos a meno, atravs de exemplos especficos, para o impacto das idias qunticas sobre nosso cotidiano. (2) Demos nfase que- les conceitos (princpios de conservao, argumentos de simetria, sistemas de referncia, papel da esttica, simila- ridade de mtodos, uso de modelo", conceito" de campo, conceito de onda, etc.) que so comuns no tratamento tan- to da Fsica clssica como da qunlica. (3) Por fim. inclumos diversa!'> sees opcionais curtas no" ltimos captulos, onde apre"entamos conceitos qunticos e relativsticos, selecionados de modo a fundamentar o tratamento detalha- do e sistemtico das fsicas relativstica, atmica. nuclear. 'do e"tado slido e das partculas. ' FLEXI 81 LI DADE Alm dos captulos de Fsica quntica e das sees opcionais sobre tpicos qunticos, inclumos por todo o texto numerosas sees, tambm opcionais, de carter diver"o: avanado, histrico, geral ou e"pecializado. Procuramos oferecer ao profe"sor muito mais material do que ele na verdade tem condies de abordar, pois acreditamos que, assim como um livro-texto sozinho no pode ser considerado um curso, um curso no abrange todo um liVro-texto. O processO de aprendizagem da Fsica e sua unidade essencial podem .~er revelados por uma apresenta- o seletiva e criteriosa de um nmero menor de captulos do que os aqui apresentados, ou por uma apresentao apenas parcial de alguns captulos. Em vez de dar numeroso" 4. exemplos de como fazer esta seleo corretamente, acon- selhamos os professore.~ a se deixarem guiar pelos seus prprios interesses e pelas circunstncias, e que faam um plano de aula de modo a ncluir sempre tpicos de Fsica relativ!>tica e de Flca qumica. AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contriburam para a edio desta obra. J. Richard Christman (O.S. COast Guard Academy) mais uma vez prestou grande colaborao e enriqueceu o texto com valiosas informaes. James Tanner (Georgia lnstitute of Technology) forneceu-nos material novador que foi de grande auxlio na elaborao dos exerccios e problemas do texto. Albert Altman (University of LowelJ, Massachu- setts) e HalTY Dulaney (Georgia Institute of Technology) contriburam com muitos problemas novos. Agradecemos a lohn Merrill (Brigham Young Unverslty) e Edward Derringh (Wentworth Instirute ofTechnology) por suas numerosas contribuies no passado. Os autores das Leituras Complementares ofereceram seu know-how em muitas reas da Fsica aplicada. Agra- decemos a Charles Bean (Rensselaer Polytechnic Insttu- te), Peter Brancazio (Brooklyn College of SUNY), Patri- cia Cladis (AT&T BelJ Labnratories).Joseph Ford (Georgia lnsttute of Technology), Elsa Garmre (Universlty of Southem California), Ivar Giaever (Rens:;;elaer Polytcchnic lnstitute), Tung H. Jeong (Lake Forest CoHegej, Barbara Levi (Physics Today), Kenneth Laws (Dickinson Col1ege), Peter Lindenfeld (State University of New Jersey-Rutgers), Suzanne Nagel (AT&T Laboratories), Sally K. Ride (Uni- versity of Califomia at San Diego), John Ridgen (Ameri- cal1 Jnstitute ofPhysics), Thomas D. Rossing (Northem IlJi- nois University) e Raymond Turner (Clemson University). Um grupo de estudantes de ps-graduao da lohns Hopkim University conferiu cada exerccio e cada problema, tarefa verdaderamente exaustiva. Agradecemos a Anton Amlreev, Kevin Fournier, lidong liang, John Kordomenos, Mark May, lason McPhate, Patrick Mor- rissey, Mark Sincell, Olaf Vancura, lohn Q. Xiao e Andrew Zwicker, nosso coordenador. Da John Wiley, contamos com a coordenao e o suporte de Cliff Mills, nosso diretor de publicaes. Ele orientou nossos trabalhos e incentivou-nos durante todo o tempo. Barbara Heaney coordenou toda~ as atividades re- lativas ao processo de elaborao da nova edio. Catherine Faduska, nossa gerente de marketing, fo incansvel em seu trabalho nesta edio, assim como na edio anterior. Joan Kalkut responsabilizou-se pelo material de apoio. Anne Scargill editou as Leltllras Complementares. Cathy Donovan e Julia Salsbury supervisionaram a reviso c os trmtes administrativos com admirvel competncia. Agradecemos a Lucille 8uonocore, nossa competente gerente de produo, por orientar~nosatrav do comple- xo processo de produo. Agradecemos tambm a Dawn Stanley pelo seu projeto grfico, Deborah Herbert, por su~ pervisionar a revso de redao, Chrislina Della Bartolo- PREFCIO vII mea, pelo copidesque, Edward Starr, pela direo de arte, Lilian Brady, por sua reviso tipogrfica, e a todos os outros membros da equipe de produo. Agradecemos a Stella Kupferberg e sua equipe de pes- quisadores de fotos, em particularCharles Hamilton, Hilary Newman e Pat Cadley, por suas fotos originais e interes- santes, que expressam os princpio.~ da Fsiq com muita beleza. Somos todos gratos ainda a Edward Millman e Irene Nunes, pela excelente diagramao, em nome da qual eles examnaram cada seo e sugeriram revises. Em relao equipe de arte, temos a obrigao de expressar nossa d- vida de gratido com o falecido John BalbaJis, cujo estilo meticuloso e compreenso da Fsica se fazem presentes em cada dagrama. Finalmente, agradecemos a Edward MilJman por seu trabalho com os manuscritos. Junto conosco, ele leu cada frase, fazendo perguntas sob a tca do estudante. Muitas dessas perguntas e as alteraes sugeridas contriburam para a clareza desta edio. lrene Nunes realzou uma ltima e valiosa reviso nas fases finais da produo do lvro. Nossos demas colaboradores foram admirveis e ex- pressamos a cada um deles nossos agradecimentos: Professor Maris A. Abolins Michigan State Univc~ity Prlfes~ora Barbara Andereck hio We~leyan University Professor Alben Banletl University of Colorado Professor Timothy 1. Burns Leeward Community College Profe,s()[- Josepll Busclli Manhattan Collegc Pmfessor Philip A. Casabella Ren,selaer Polytechnic Institute Pr()t"essor Rllndall Catuo Christopher Newp0rl Collcge Professor Roger Clapp Univer,ity of South Florida Professor W. R. Conkie Queen's University Professor Perer Cronkcr Universily of Hawaii ai Ml South Dokola State Univer'iity 'i'HJYe'S~m ~)T1a'n:m Reic'nen SUNY- Buffalo Professor Manuel Schwartt University of Louisville Professor John Spanglcr SI. NlJrbert College Professor Ross L Spencer Brighom Young University Professor HaroId Stokes Brigham Young UniversilY Professor David Toot AIfred University Profe~~;or J. S. Turner Univer'iity ofTexas at Austin Professor T. 5. Venkalarilman Drexel Universiry Professor Giallfranco Vidali Syracuse University Professor Fred Wang Prairie View A & M Professor George A. Wil1iams University ofUlah Professor David Wolfe Ulliversity of New Mexico A origem desta nova edio remonta ao texto Physic.l'for Sfudents ofScience and Engineerilll? (John Wiley & Sons. Inc., 1960) dos mesmos autores da terceira edio. Des- de aquela poca, estima-se que um nmero superior a cinco milhes de estudantes tenha-se iniciado no aprendi- zado da Fsica com este livro e aqueles que dele se origi- naram, incluindo as tradues em muitas lnguas. Dedica- mos esta quarta edio a esses estudantes, edesejamo.'; que ela tambm seja bem aceita por todos aquele~ a quem se destina, DAVID HALLIDAY ROBERT RESNICK JEARL WALKER 6. Volume 1 MECNICA SUMRIO GERAL Volume 3 ELETROMAGNETISMO Captulo I Medio J Captulo 2 Movimento Retilneo IJ Captulo 3 Vetores em Duas e Trs Dimenses 55 Captulo 4 Movimento em Duas e Trs Dimense~ 55 Captulo 5 Fora e Movimento - r81 Captulo 6 Fora e Movimento - II 109 Captulo 7 Trabalho e Energia Cintica 131 Captulo 8 Conservao da Energia J55 Captulo 9 Sistemas de Partcula" 187 Captulo 10 Colises 213 Captulo li Rotao 239 Captulo 12 Rolamento, Torque e Momento Angular 267 Apndices 299 Respostas dos Exerccios e Problemas 323 Crditos das Fotos 327 ndice 329 Volume 2 GRAVITAO, ONDAS E TERMODINMICA Captulo J3 Equilbrio e Elasticidade J Captulo 14 Oscilaes 25 Captulo 15 Gravitao 57 lpmlo 16 Fluidos 81 CaptuLo 17 Ondas - I }JI Captulo 18 Ondas - TI 137 Captulo 19 Temperatura 169 Captulo 20 Calor e Primeira Lei da Termodinmica 183 Captulo 21 A Teoria Cintica dos Gases 207 Captulo 22 Entropia e a Segunda Lei da Termodinmica 237 Apndices 263 Respostas dos Exerccios e Problemas 287 Crditos das Fotos 289 ndice 291 Captulo 23 Carga Eltrica 1 Captulo 24 O Campo Eltrico 17 Captulo 25 Lei de Gauss 39 Capitulo 26 Potencial Eltrico 63 Capiru)o27 Capacilncia 91 Capitulo 28 Corrente e Resistncia 113 O.lpitulo 29 Circuito 133 Capitulo 30 O Campo Magntico 157 Captulo 31 Lei de Ampere 183 Capitul~} 32 Lei da Induo de Faraday 207 Capitulo 33 Indutncia 235 Capitul() 34 O Magnetismo e a Matria 257 CaptulO 35 Osclaes Eletromagnticas 277 Captulo 36 Correntes Alternadas 291 Captulo 37 As Equaes de Maxwell 309 Apndices 319 Respostas dos Exercicios e Problemas 343 Crdito;; das Fotos 345 ndice 349 Volume 4 TICA E FfSICA MODERNA Captulo 38 Ondas Eletromagnticas J CapituleI 39 tica Geomtrica 25 Captulo 40 Interferncia 61 Capitulo 41 Difrao 9/ Captulo 42 Relatividade 123 Capitulo 43 Fsica Quntica -1/51 Captulo 44 Fsica Quntica - 11 J73 Captulo 45 Modelos Atmicos 199 Captulo 46 Conduo de Eletricidade nos Slidos 227 Captulo 47 Fsica Nuclear 253 Captulo 48 Energia Nuclear 277 Captulo 49 Quarks. Lptons e o Big-Bang 299 Apndices 321 Respostils dos Exerccios e Problemas 345 Crditos das Fotos 347 ndice 349 7. SUMRIO DESTE VOLUME CAPTULO 1 MEDio 1 De que modo podemos usar o pr-do-Sol para medir o raio da Terra? 1-1 Medindo Gmndezas 1 1-2 O Sistema Internacional de Unidade~ 2 -3 Mudanas de Unidades 2 1-4 Comprimento J 1-5 Tempo 5 1-6 Massa 7 Resumo ti Queslionrio 8 Exerccios e Prohlemas 9 CAPTULO 2 MOVIMENTO RETIlNEO 13 Por que uma competio automobilstica to emocionante? 2-[ Movimento 13 2-2 Posio e Deslocamento /4 2-3 Velocidade Mdia e Velocidade Esalar Mdia 14 2-4 Velocidade Instantnea e Velocidade Escalar I7 2-5 Acelerao 19 2-6 Acelerao Constante: Um Caso Especial 20 2-7 Acelerao Constante: Outro Aspecto 22 2-8 Acelerao de Queda Livre 23 2-9 As Partculas da Fsica 25 Remrno 27 Questionrio 28 Exercicios e ProhlellUls 28 Problemas Adicionais 35 LElnJRA COMPLEMENTAR 1 O TRFEGO NA HORA DO RUSH 36 j". a x b == (a,i + o,j + a,k) x (b,i + b,j + b,k) O produto escalar pode ser positivo. negativo ou nulo, dependendo do valor de o vetor posio r t, e num instante posteri or qualquer fi + af, o vetor posio r,. O deslocamento da partcula, no intervalo at, 6.r. Da Eq. 4-4, a velocida- 67. , Tangente p " ~~_-,T~"~,~,,~~n',-,,d,~P,---_ O x Fig. 43 A posio da partfcula P, na sua trajetria, mostrada no instante I, e no nslanle t, +aI seguinte. O vetor''r o deslocamento da partcula, no intervalo I. mostrada a langente trajetria no instante t" de mdia v da partcula, no intervalo At, tem o mesmo sentido de Ar. Trs coisas acontecem, quando fazemos o intervalo dI tendera zero: (I) o vetor r2, na Fig. 4-3, se move em dire- o arl fazendo 6.r tender a zero; (2) a direo de Ar (logo, a direo de v) se aproxima da direo da tangente, na Fig. 43 e (3) a velocidade mdia v tende velocidade instantnea v. No limite, quando AI tende a O, v tende a v e, o que mais importante, v tem a direo da tangente. Logo, v tambm tem a mesma direo. Isto , a velocidade instantnea v sempre tangente trajetria da partcula. Isto mostrado na Fig. 4-4, onde v e suas componentes escalares esto re- presentadas. Para o caso tridimensional, o resultado idntico: v sempre tangente trajetria da partcula. A Fig. 45 representa um disco de borracha, usado nas partidas de hquei sobre o gelo, preso a uma extremidade de uma corda, cuja outra extremidade est fixa ao ponto O, obrigando assim o disco a descrever uma trajetria circular com centro em O. O vetor posio r do disco varia ape- naS sua direo; seu mdulo (igual ao comprimento da corda) pennanece constante. Novamente, o vetor velocidade tangente trajetria, em qualquer instante. Se a corda se rompesse, o disco continuaria se movendo, em linha reta, na mesma direo que v possua no instante em que ela se rompeu. (O disco nunca poderia descrever uma trajetria em espiral, como se tivesse memorizado asua trajetria circular anterior.) , Tangente v) ---v---- I .' Trajetria de P 0"--------- < MOVIMENTO EM DUAS E EM TR.S DIMENSES 57 , , [ Tangenle .~-+--:,-" p 0""'----=--+--< Flg. 4.5 A partcula P est se movendo numa trajelria circular em lor- no do ponto O. Quando at tende a zero, a direo do velar ar coincide com a da tangente no ponto. Logo, v tangente illrajetria. 4-4 Acelerao e Acelerao Mdia Quando a velocidade de uma partcula varia de v) para V2' no intervalo de tempo dt, sua acelerao mdia , durante este intervalo de tempo, A acelerao (instantnea) a o limite de , quando fazemos M tender a zero, ou seja, Se a velocidade varia em mdulo ou direo (ou ambos), ento existe uma acelerao. Substituindo v, da Eq. 4-7 na Eq. 4-10, temos a = ~ (v.i + v,j + vzk) dvx . =dv. dVzk--t+ J+- dt dt di , p " ., .L , Trajetria de P O L - - - - - - - < Fig. 44 O vetor velocidade v da partcula P juntamente com suas componentes escalares. Observe que v tangenle trajelria no ponto con- Fig. 46 A acelerao a da partcula PjUnlamente com suas componen siderado. IeS escalares. 68. 58 MECNICA 00 .l':= 0.22t2 - 9,11 + 30. onde as trs componentes escalares do vetor acelerao so As unidades do, coefiientes numricos nes.,as equab silo tais que. se substituirmos I em ,egundos. obteremos x e y em metros_ .e dv"0=-- " dI' (4'11) a. Calcule o vetor posio r da lebre (mdulo e direo) em I = 15 s. Soluo Em t:= 15 s, as componentes de r so A Fig. 4-6 mostra o vetor acelerao a e suas componentes escalares, para o movimento bidirnensional da partcula P. x:= (- 0.31 )(15)2 + (7,2)(15) + 28 := 66 lT .~:= (0.22)(15)2 - (9.1)(15) + 30:= -57 m. EXEMPLO 4-2 UmJ lebre atravessa correndo um estaionllmento de veculos onde, por estranho que possa parecer. um par de eixos carte- sianos foi desenhado. A trajetria percorrida pela lebre tal que as com- ]Xmente, do seu vetor posiilo com relao origem das coordenadas so funiJes do tempo dadas ]X)r x:= -0,31/2 + 7,,2t + 28 o vetor r e suas componentes silo mostrados na Fig, 4-7(/. O mdulo de r dado por ",.. -vx2 + y2 = "1/(66 m)2 + ( 57 m)~ = 87 m. (Resposta) y(m) y(m) 40 20 (o) (h) y(m) 20 40 - -20 y(m) (d) -40 --+-----'---- , ,~--=f'Clll ; ,..L.;. --,-,1 I -6()-- -L_,__+ v -40- -20 - --I ,- j 20 , I~- r ...EEE~B+--' "i ' _130" -o;:l--+-=-.",."r",-~-Ix(m) (.) It' a rotao da Terra. 94. 84 MECNICA S~YnmU;;;~ 'Lei jj ~;w (.) JI Fig. 5-5 (aI Molade comprimento L fixada a um corpo padrode massa igual a 1 kg. (b) Uma acelerao a aplicada ao corpo padro, quando puxamos aquela mola com uma fora F que causa uma variao fjJ... no seu comprimenlO. O atrilO l1a superfcie l1ulo. diferentes em corpos diferentes. podemos definir a razo entre as massas como sendo inversamente proporcional razo entre as suas aceleraes. Logo, mx ao-~- ou ao 1 m/s2 mx = mo - = (l kg) = 4 kg. ax 0,25 m/s2 Assim, o corpo X que est submetido a somente um quarto da acelerao do corpo-padro. quando a mesma fora aplicada sobre ele, tem, por esta definio. o qudruplo da massa daquele corpo. Dessa maneira. podemos atribuir massas a quaisquer corpos diferentes do corpo-padro. Entretanto. antes de aceitarmos essa metodologia. vamos verific-Ia de duas diferentes maneiras. o Primeiro Teste Vamos repetira comparaocom o corpo-padro, mas aplicando agora uma outra fora a ambos os corpos. Suponha, por exemplo. que estiquemos mais ainda a mola, de forma que a acelemoa 'o do corpo-padro seja 5 m/s2 Isto , usamos uma fora de 5 N, em vez de uma de I N. para comparar as massas. Vamos observar que. se aplicarmos ao corpo X essa mesma fora de 5 N. a acelerao a 'x 1.25 m/s2 Ento. determinamos a massa do corpo X como a 5 m/s2 k mx = mo Ux = (l kg) 1,25 m/s2 = 4 g, exatamente como antes. o Segundo Teste Considere que - usando ainda o mtodo da mola - na comparao de um segundo corpo, o corpo Y, com o corpo-padro. tenhamos encontrado my=6 kg. Agora, vamos comparar o corpo X e o corpo Ydiretamente. Isto , aplicamos uma fora F (de qualquer intensidade conveniente) a cada um deles e, depois. medimos as aceleraes resultantes a'~ e a"y. Digamos que as aceleraes encontradas tenham sido a':" =2,4 m/s2 e a"f' =1,6 m/s2 Vamos, agora. determinar a massa do corpo Y comparando-o diretamente com o corpo X. cuja massa j conhe- cemos, ao invs de compar-lo com o corpo-padro. En- contramos ax 2.4 m/s2 mr = m>;: ff = (4 kg) J 6 /2 = 6 kg, fi}" , m s que o mesmo resultado da comparao com o corpo-padro. o Que Massa? Vimos que nosso mtodo de atribuir massa a um corpo arbitrariamente apresenta resultados consistentes. independente da fora aplicada e do corpo utilizado para compara- o com o corpo-padro. Na verdade. a massa parece ser uma caracterstica intrnseca de um corpo. Como a palavra massa usada diariamente. deveramos ter um conhecimento intuitivo dela. talvez algo que puds- semos sentir fisicamente. Ser que ela se refere ao tama- nho do corpo. ao seu peso ou sua densidade? A resposta no. embora essas caractersticas sejam, algumas vezes, confundidas com a massa. A massa de um corpo a caracterstica que relaciona a fora a ele aplicada com a acelerao resultante. No existe uma definio mais fa- miliar do que esta para massa; e a nica ocasio em que percebemos fisicamente a massa quando tentamos acele- rar um corpo. Se, por exemplo. empurrannos primeiro a bola de beisebol e em seguida a bola de boliche, vamos notar que elas tm massas diferentes. 5-5 Segunda Lei de Newton Todas as definies. experincias e observaes at aqui descritas podem ser resumidas. graas a Newton, numa simples equao vetorial. que conhecida como a segunda lei de Newton para o movimento: Ao usarmos a Eg. 5-1, devemos estar bem certos sobre o corpo no qual as foras esto sendo aplicadas."Assim. LF na Eq. 5-1 a soma vetorial. ou a fora resultante. de todas as foras que atuam naquele corpo. Se esquecermos alguma fora (ou computarmos duas vezes alguma delas), chegaremos a um resultado falso. Somente as foras que atuam no corpo so consideradas. Num determinado problema, vrias foras podem estar envolvidas. mas devemos computar somente aquelas que alUam no corpo em ques- to. Finalmente. LF inclui somente foras externas. isto , 95. FORA E MOVIMENTO I 85 g Sistema Fora Massa Acelerao S[ newton (N) quilograma (kg) m/s2 CGS dina grama (g) cm/sl Britnicod libra (lb) slug ft/si- '11b = I slu ftfs'. Tabela 51 Unidades na Segunda Lei de Newton (&ls. 51 e 521 Essas equaes relacionam as trs componentes da fora resultante sobre um corpo com as trs componentes da acelerao desse corpo. Finalmente, observamos que a primeira lei de Newton um caso especial da segunda lei. Isto , se nenhuma fora atua no corpo, a sua acelerao nula, conforme mostra a Eq. 5-1. Isso, no entanto, no torna menos importante a primeira lei de Newton; seu papel na definio dos refe- renciais inerciais, na qual a mecnica se apia, justifica seu enunciado como uma lei independente. Da Eq. 5~2, encontramos, em unidades SI, foras exercidas sobre o corpo por outros corpos. No inclumos as foras internas, resultantes da interao mtua entre partes do prprio corpo. Na resoluo de problemas pela Eq. 5-1, freqentemen- te desenhamos um diagrama de corpo isolado. Neste diagrama, o corpo representado por um ponto e cada fora externa (ou a fora resultante IF) que atua no corpo representada por um vetor com origem nesse ponto. Como qualquer equao velorial, a Eq. 5-1 equivalente a trs equaes escalares: ,~y,,~.y~,','~ '~~"_ . . . . . :., .. " 4 ir. 4 ".l." .......";..... : ..... , . . i l (h) (o) (Resposta) v = .J2d = ..,1(2)(0.542 m/s2) (2.3 m) = 1.6 m/s. A fora. a acelerao, o deslocamento e mostra um diagrama de corpo isolado para essa situao. Traamos um eixo horizontal.l. arbitrando o sentido positivo par.. a direita e tratamos o tren como uma partcula representada por um pon- lO. Supomos que a componente F, da tora F exercida pelo homem seja a nica fora horizontal atuante no veculo. Ento. pela segunda lei de Newton. podemos achar o mdulo da acelerao a, do tren: F 130N a = ---'! = - - - = 0542 m/s2, -' m 240kg . F~ "" ma" "" (240 kg)(- 0.711 m/s2) =-171 N. (Resposta) 96. 86 MECNiCA Os sinais dos lermos das Eqs. 5-4 e 5-5 indicam os sentidos das componentes das respectivas foras. na Fig. 5-8b. Substituindo os valores co- nhecidos. temos, pela Eq. 5-4, 0" (170 N)(cos cP) (220 N) (cos 47.0) 'oi --:;::=~:='=r~m_C_","_"- - 'bi Fig. 5-7 Exemplo 5-3. (a) Um caixote sobre um caminho que est di- minuindo a velocidade. (b) O diagrama de corpo isolado do caixote. A fora F produz uma acelerao (ou desacelerao) a no caixote. ..I.. =: cos- t (220 N) (0,682) = 2800 V' 170N ,. Subslituindo na Eq. 5-5, lemos FB =: Fc sen cP + Fti sen 47,0 = (l7QN)(sen28,QO) + (220N)(sen47,QO) = 241 N. (Resposta) Certifique-se de que os Irs vetores da Fig. 5-Sb, se convenientemente deslocados, fonnam um tringulo. Ou seja, sua soma nula. F= ma bre o caixOfe. durante esse intervalo de tempo? Suponha que o caixOfe no deslize sobre a carroceria do caminho. Soluo Vamos detenninar primeiro a acelerao do caixote, que constante. usando a Eq. v = t>o + ai: Como mostra a Fig. 5-? o vetor velocidade do caixote aponta para a direita e ~eu vetor a.:elerao aponta para a esquerda. A fora sobre o caixote oblida usando a segunda lei de Newton: TTICA 1: LEIA O PROBLEMA COM ATENO Leia o enunciado do problema vrias vezes at ler um quadro bem defi- nido da situao, observe quais os dados fornecidos e quais os pedidos. Nos Exemplos 5-1 e 5-2, voc deve refletir assim: "Algum est empurrando um tren. Se a velocidade deste varia, ento h uma acelera- o envolvida, O movimento retilneo. No exemplo, dada uma fora e pedida a outra. Lgo, a silUao requer que apliquemos a segunda lei de Newton ao movimento unidimensional." REsOLUO DE PROBLEMAS TTfCA 2: RELEIA O TEXTO Se voc sabe a que o problema se refere, mas no sabe o que fazer a seguir, ponha-o de lado e releia o texto. Se tem dvidas acerca da segunda lei de Newton, releia aquela seo. Estude os exemplos, Parte dos Exemplos 5-1 e 5-2 refere-se a movimento unidimensional e leva voc ao Capo 2, mais especificamente Tabela 2-2, que mostra todas as equaes que voc provavelmente ir precisar. (62 km/h) - (120 km/h) 17, a"= v-vo= , = (-341 =~)(~~,)e:':'mm) "= - 0,947 m/s2 Essa fora, que poderia ser exercida por tirantes para manter preso o cai:ote, atua no mesmo sentido da acelerao, 00 seja, para a esquerda, na Fig. 5-7b. (360 kg) (- 0,947 m/s2) = -340N. (Resposta) TTICA 3; EsQUEMATIZE UMA FIGURA Voc pode precisar de duas figuras. Uma a representao aproximada da situao real. Quando voc esquematizar as foras, desenhe o vetor sobre o limite ou no inlerior do corpo que est sendo submetido quela fora. A outra o diagrama de corpo isolado, no qual as foras so EXEMPLO 54 Numa brincadeira de cabo-de-guerra, Alex, Bete e Charles puxam um pneu de automvel, nas direes mostradas na Fig. 5-8a, visla do alto. Alex puxa com uma fora FA (220 N) e Charles com uma fora Fc (170 N). Qual a fora Foaplicada por Bete? O pneu permanece parado e o sentido da fora de Charles no est indicado. Soluo A Fig. 5-8b mostra o diagrama de corpo isolado do pneu. A acelerao do pneu zero, porque, da Eq. 5-1, a fora resultante sobre o pneu lambm deve ser zero. Isto , L F= F.-t + FB + Fc=O. 137' Ikuy Essa equao vetorial equivalente s duas equaes escalares L F,,::::: Fc cos cP - F.-t cos 47,0 = O (5-4) , m, esperado que M desa e III suba. Esta informao nos permite estabelecer os sinais algbricos con- venientes para a acelerao dos blocos. Antes de iniciarmos os clculos. observemos que a tenso na corda deve ser menor que o peso do bloco M (caso contrrio, este bloco no cairia) e maior do que o peso do bloco m (se no. este bloco no subi- ria). Na Fig. 5-28 esto mostmdos os vetores nos dois diagramas de corpo isolado que representam essa situao. Aplicando a segunda lei de Newton ao blOl.:o de massa m, que tem acelerao a no sentido positivo do eixo y, encontramos Observe que a fora normal N no contribui para a acelerao, porque sua componente x zero. T-mg=ma, (5-27) 106. 96 MECNICA EXEMPLO 5lJ - UMA OUTRA MANEIRA* Da mesmJ form;] que fizemos no Exemplo 5-6, vamos refazer o Exemplo 5-11 ll1ilizando um eixo no-convencional 1/. Soluo Consideremos o eixo atravs do sistema, conforme mostrado na Fig. 5-29a. Tornemos este eixo retilneo. como n1l Fig. 529h. e consideremos os blocos como um nico corpo de mJssa M + m. Depoi. desenhemos o diagrama de corpo livre, como na Fig. 5-2':!;' Observe que h duas foras atuando sobre o sistems, tratados como um nico corpo de massa M +m. (c) O diagrama de Cl)rpo isolado associado. considerando somente as foras em Il. Existem ap:nas duas fora~. que d M-m a::: M + m g, Substituindo este resultado em S-27 ou S-29 e calculando T, vem Somando as Eqs. S-27 e 5-29 (00 eliminando Tpor substitl.lio), obtemos M-m a = M + 111 g. (5-30) A primeira equao moslra que T> mg e a segunda mCstra que T < Mg. Isto , a lenso T tem um valor inlermedirio entre os JJl'!sos dos dois cor- JXls. conforme acabamos de ver. E mais, se M '" m. as Eqs. 5-30 e S-31 eslabelecem a =O e T = mg = Mg. como era de se espetar. Ou seja. se os blocos tm a mesma massa. a acelerao deles zero (os blocos permane- cem parados) e a tenso e Igual ao peso de cada bloco. (Note que ela fldo o dobro do peso de cada bloco.) Substituindo os dados fornecidos. temos 2mM T=--g. M+m (5-34)N = m(g + a). Soluo Vamos considerar este exemplo do ponto de vista de Ulll observador em um referenci esse observador aplicar a segunda lei de Newton acelerao do pass;l- geiro. A Fig. S-30{J-e mostra o diagrama de corpo isolado para o passa geiro. considerado como uma partcula (algumJ partcula'). para as di- versas aceleraes do elevador. Apesar da acelerao do elevador. a TelTJ puxa o passageiro para baixo com uma fora de intensidade mg, onde g '" 9,80 m/s' a acelerao em queda livre no referencial inercial da Terra. A balana empurrll pllS- sageiro para cima com uma fora nonnal. cuja intensidade N lidil na escala da balana. O peso que o passageiro. sob acelerao. julga ter () que ele l na balana. Este valor, frequentemente. chamado de peso i1f1wenrc. ( termo peso (ou pe.'O real) sendo reservado para a grandeza mg. Pela segunda lei de Newton. temos N-mg=ma, conforme anteriormente. Para obter T. aplicamos a segunda lei de Newton a cada bloco individualmente. utilizando um eixo r convencio- naI. como na soluo original. Para o bloco de maSSJ m, vamos obter a Eq. 5-27. Substituindo o resultado de a, calculado anteriormente na Eq. 5-27. vamos obter a Eq. 5-31. , EXEMPLO S-I2)Um passageiro de massa m '" 72.2 kg est de p sobre uma balana: dentro de um elevador (Fig. S-30). Quais as leituras na balana para as aceleraes dadas na tlgura'l 0" (S-28) (S-29) (S-31) (5-32) m+m T=--Mg. M+m M+M T= mg e M+m A Eq. 5-31 pode ser reescrita nas formas equivalel)tes Para o bloco de massa M. que tem acelerao -a, ternos T-Mg"" -Ma, -T+ Mg"" Ma. 0" M-m 2.8kg-L3kg 98 2 a=-M+ g=28kg+13k (. m/s)m . g = 3,6 m/s2 (Resposta) Soluo Nesse caso, (/ = O, ento. a. Se o elevador permanecer em repouso ou se movimentar com velocidade constante, qual a leitura na balana? (Veja Fig. 5-3011.) b. Qual a leitura na balana. ~e o elevador tiver uma acelerao de 3.20 mls' para cima" (Veja Fig. 5-3Gb.) (Resposta) N = m{g + a) = (72,2kg)(9.80m/s2 + G} = 708 N. entre 11 fora mg e o deslocamento d 180" (Fig. 7-5b). De acordo com a Eq. 7-2, o trabalho realizado pela fora mg = (2.500 N)(2,O ro) (eos 0; ~5.oooJ W = mgdcos l/J _ (2.500 N)(2,0 m)(cos 180) ~ -5.000]. (Resposta) (Resposta) EXEMPLO 72 A Fig. 7-60. mostra dois espies induslriais empurrando um cofre por uma distncia de 8,5 m em linha reta na direo do seu caminho. A fora F, exercida pelo espio 001 de 320 N e faz um ngulo de 30" para baixo a partir da horizontal; a fora F, exercida pelo espio 002 de 250 N e faz um ngulo de 40" para cimacom a horizontaL a. Qual o Irabalho tolal realizado sobre o cofre pelos espies? Soluo A Fig. 7-6b um diagrama de corpo isolado do cofre, conside rado como uma partcula. Podemos calcular o trabalho total execUlaoo pelos espies delenninando o Irabalho executado por cada espio individualmente e somando os resultados. De acordo com a Eq. 7-2, o fra- balho executado pelo espio 001 dado por W1 = FI d cos 4>1 = (320 N)(S,5 m)(cos 30') = 2.356 J, e o trabalho executado pelo espio 002 dado por Soluo A fora resultante aplicada ao peso durante o levantamento a soma das foras que aparecem na Fig. 7-5e, que zero, de modo que, de acordo com a Eq. 7-2, o trabalho executado pela fora resultante tambm zero. Podemos chegar ao mesmo resultado somando os trabalhos calculados em (a) e (b) paradetenninaro trabalho executado por Alexeev e pelo peso mg. W2 = F2 d cos ~ = (250 N)(8,5 m)(cos 40") = 1.6281. Assim, o trabalho total dado por d. Qual o trabalho que Alexeev executou enquanto mantinha o peso estacionrio sobre a cabea? W = Wj + W2 -2.356 J + 1.628 J - 4.000 J. (Resposta) Soluo Quando ele est sustentando o peso. o deslocamento zero e ponanto, de acordo com a Eq. 7-2. o Irabalho zero, e. Qual o Irabalho executado por Paul Anderson para levalllar um peso de 27.900 N por uma distncia d' = 1,0 cm? Soluo O diagrama de corpo isolado correspondente aparece na Fig. 7-5d. O mdulo da fora exercida por Anderson FpA = 27.900 N; o trabalho executado por ele dado por: W - FpAd' ~ (27.900 N)(O,OI m) b. Qual o trabalho exeutado sobre o cofre pelo seu peso mg e pela for- a normal N exercida pelo piso? Soluo As duas foras so perpendiculares direo do movimento e portanto o trabalho executado por elas nulo. EXEMPLO 73 Um engradado de 15 kg arrastado com velocidade constante por uma distncia d = 5,7 m sobre uma rampa sem alrito. at atingir uma altura h = 25 m acima do ponto de partida: veja a Fig. 7 7. ~ 279J - 3OOJ. (Re~pos(a) a. Qual o valor da fora F que o cabo deve exercer sobre o engradado? 144. TRABALHO E ENERGIA CINTICA 135 d. Qual o Irabalho necessrio para levanlar verticalmente o engradado at uma altura h? Soluo Seria necessrio usar uma fora igual ao peso do engradado e o ngulo .p entre essa fora e deslocamento seria zero. Assim, Assim, o trabalho execUlado para levantar o engradado no depende do ngulo da rampa. Se h igual a Z,5 m, o lrabalho , ento, (Resposta) WF = (15 kg)(9,8m!sl)(Z,5 m) = 3681 = 3701. Cabo Para o guindaste (.) Wg=mgd. e. Qual o trabalho realizado pelo peso mg do engradado em (b), (c) e (d)? Soluo Considere o caso geral (c) onde o ngulo 9 da rampa pode ter qualquer valor. De acordo com a Eq. 7-4, (Resposta) W. = Fhcos 4> = mgh cos 4> = (15 kg)(9,8 mlsl )(Z,5 m)(cos 0") = 3681 = 370l Esta a mesma resposta que encontramos em (b) e (c). A diferena que em (b) e (c) aplicamos foras menores e as dislncias percorridas pelo engradado foram maiores. Em outras palavras, com o auxlio das rampas, conseguimos levantara engradado usando uma fora menor do que o seu peso. para isso que servem as rampas; pennilem-nos realizar o mesmo trabalho com uma fora menor. De acordo com a Fig. 7-7b, o ngulo entre mg-e d (J + 90", de modo q", Engradado '"Fig. 7-7 Exemplo 7-3. (o) Um engradado levanladoal o alio de uma rampa sem atrilO por uma fora paralela rampa. (b) Diagrama de corpo isolado para o problema, mostrando todas as foras envolvidas e tambm o deslocamento d. m, Wg = mg . d = mgd cos (J + 90") = mgd (- sen 0). De acordo com (c), sabemos que d sen IJ = h, de modo que O resultado o mesmo quer o engradado seja levantado verticalmente ou empurrado em uma rampa com qualquer inclinao. Soluo A Fig. 7-7b mostra o diagrama de corpo isolado correspondente. Sabemos que o engradado estem equihbrio, porque a acelerao zero. Aplicando a segunda lei de Newlon paralelamente rampa, lemos: F = me sen (} = (15 kg)(9,8 m/s2)(2,5 m/S.' m) = 64,5 N - 65 N. (Resposta) Wg = -mgh = -3681 = -370J. (Resposta) b. Qual o trabalho executado sobre o engradado pela fora F? Observe que calculamos o valor de sen 9 diretamente a partir dos valores de h e d, sem que houvesse necessidade de calcular o valor de 9. No confunda o ngulo .p (que o ngulo entre os vetores F e d na Fig. 7-7) com o ngulo (J (que o ngulo da rampa). c. Se levantarmos o engradado at a mesma altura h usando uma rampa com uma oulra inclinao IJ. qual ser o trabalho executado por F? a. Qual o mdulo da fora F que voc deve aplicar li corda para levantar o bloco? EXEMPLO 74 Na Fig. 7-8a, uma corda passa por uma polia, sem atrito e de massa desprezvel, e est presa a um bloco de massa m. A polia est presa no telo e voc puxa para baixo a extremidade livre da corda. Soluo Supondo que o bloco seja levantado com velocidade constante, a fora T exercida sobre ele pela corda deve ter um mdulo T = mg. A fora exercida pela corda sobre a sua mo lem o mesmo mdulo. Assim, voc deve puxar para baixo com uma fora de mdulo F= mg. b. De que dislncia sua mo deve se deslocar para que o bloco suba uma distncia d? c. Qual o trabalho realizado sobre o bloco durante esse levantamento? Soluo Voc deve deslocar a mo para baixo de uma distncia d para que o bloco suba a mesma distncia. (Resposta) Soluo De acordo com a Eq. 7-2, temos: W, = Fd cos.p = (64,5 N)(5,7 m)(cos 0") = 3681 = 3701. Soluo Em (a), lemos F = mg sen IJ. Em (b), W, = Fdcos.p = Fdcos 0= Fd. Combinando essas equaes, lemos: W, = mgd sen O. Mas d sen f) = h, de modo que Soluo De acordo com a Eq. 7-, o trabalho realizado sobre o bloco dado por WF = mgh. W= Td=mgd. 145. 136 MECNICA Acorda est presa polia '. "'- Corda mais comprida "--"- Corda maiscun~ (b) T'l T 'Polia de baixo../ T, I') Fig. 78 Exemplo 7-4. (a) Voc faz o bloco subir umP distncia d pu- xando apoma livre de uma corda que passa por uma pOlia. (b) Voc faz () bloco subir a mesma distncia pUKando uma corda que passa por duas polias. (c) Diagrama de corpo isolado para a polia mais baiKa de (b). o trabalho que voc execUla na extremidade livre da corda o mesmo: W=Fd=mgd. Assim, podemos dizer que voc realiza trabalho sobre o bloco atravs da corda. d. A Fig. 7-gb mostra um arranjo que envolve duas polias. A corda que passa pela polia de baixo puxa essa polia para cima com, uma fora que o dobro da tenso TL na mesma corda. Qual o modulo da fora F que voc deve aplicar corda para leva/l/ar o bloco? Soluo O diagrama de corpo isolado para a polia de t1aixo aparece na Fig. 7-Se, onde Ts a tenso na corda mais curta que est presa ao bloco e 1L tenso na coroa maIS comprla que 'lace esta seguranlJo.'Lomo a tenso deve ser a mesma em todos os pontos da corda rJlais comprida, a fora que voc exerce tem um mdulo igual a T" Se o bloco levantado com velocidade consfame, a segunda lei de Newton nos d 2TL = T,: nesse caso. a fora dada por T, mg F=T =-=- L 2 2' que igual metade da fora calculada em (a). e. De que distncia sua mo deve se deslocar para que o bloco suba uma distncia d? Soluo Como a corda mais comprida passa em volta da polia de baixo, esta se move apenas metade da distncia percorrida pela sua mo. Assim, para que o bloco suba de uma distncia d, voc deve deslocar a mo para baixo de uma distncia 2d, que o dobro da distncia calculada em (b), f. Qual o trabalho realizado sobre o bloco durante esse levantamento? Soluo De acordo com a Eq. 7-1, o trabalho executado sobre o bloco pela corda mais curta dado por W'" T,d '" mgd. Este trabalho igual ao que voc executa sobre a corda mais comprida, ( mg )W=F(2d)= "2 (2d)=mgd. Assim, mais uma vez podemos dizer que voc realiza trabalho sobre o bloco atrm's da corda. g. Qual a vantagem do sistema de duas polias da Fig. 7-Sb em relao ao sistema de uma polia da Fig. 7-8a1 Soluo Nos dois casos, voc precisa realizar um trabalho igual a mgd para levantar o bloco 11 uma altura d. Ellfretallfo, com o sistema de duas polias, a fora que voc precisa el'ercer metade da fora neceSsria com o sistema de uma polia. EXEMPLO 7-5 Um caixote de pussasque caiu de um caminho desliza pelo solo em direo a lima menina. Para tentar parar o caixote, ela o empurra com uma fora F = (2,0 N)I + (-6.0 N)j, recuando aI) me~mo tempo (Fig. 7-9). Enquanto ela est empurrando, o cail'ote sofre um deslocamento d = (- 3,0 m)i. Qual o trabalho que a menina execufou sobre o caixote? Soluo De acordo com a Eq. 7-4, o trabalho dado por w= Fd = [(2,0 N)i + (-6,0 N)j] . (( - 3,0 m)i). Lembre-se de que, de lodos os produtos escalares possveis entre os vetores unitrios. os nicos diferentes de zero so 1-1, j-J e k'k (veja a Seo 3-7). Assim. temos: w= (2,ON)(-3,0 m) i, i + (-6,ON)(-3,0 m)j1 = (-6,0 J)( I) + O = -6.01. (Resposta) Fig. 7-9 Exemplo 7-5. Trabalho executado sobre um caiwte de passas. 146. TRABALHO E ENERGIA CINTICA 137 Anlise Tridimensional Este limite exatamente o que entendemos por integral da funo F(x) entre os limites x, e xi' Assim, a Eq. 7-9 se torna (7-8) (7-9)W = Jim 2: F(x) .:h. a.~ ...... x} e negativo se xl < x}. Se x, = Oe se chamarmos a posio final de x, a Eq. 7-18 se toma A rea sombreada na Fig. 7-12 representa este trabalho. O trabalho realizado pela mola negativo porque o deslocamento do bloco e a fora exercida pela mola tm sentidos opostos. Observe que o trabalho realizado pela mola seria o mesmo se ela tivesse sido comprimida (em vez de distendida) 17 mm. EXEMPLO'-9A moJada Fig. 7-1 Ibseencontra inicialmelJlecom uma distenso de 17 mm. Voc permite que ela volte lentamente ao estado relaxado e depois a comprime J2 mm. Qual o trabalho realizado pela mola durante o deslocamento totan Soluo Nesta situao. temos Xi "= + 17 mm (distenso) e xr "" -12 mm (compresso). De acordo com a Eq. 7-18, A Eq. 7-18 e seu caso especial, Eq. 7-19, permitem calcular o trabalho executado pela mola. O trabalho reaJizado por ns (ou por quem quer que distenda ou comprima a mola) tem o mesmo valor absoluto, mas o sinal oposto. W == kkxr - !kx] = !k(XT - x]) == (t)(408 N/m)[(17 x 1O-~ m)" - (12 X 10- 5 m)") = 0.030 J '" 30 rn]. (Resposta) 149. 140 MECNICA sejam aproximadamente iguais. Uma reta em F = 435 N satisfaz a esta exigncia. A rea do retngulo equivalente (= W) dada por Fig. 7-13 Grfico de uma funo F(x). A rea sombreada (que repre- sema o trabalho) aproximada por um retngulo. O pequeno retngulo direita serve para calibrar as quadrculas em unidades de trabalho; suas 20 quadrculas so equivalentes a 10 Ncm. w= aJtura x base = (4.'1,5 N)(5.0 em - 2.0 em) =130N'em =1,3 N'm =1,3J. ,m( lON',m ) w= (260quadrados) 20 d d -l30N qua ra os = 1.3J, Tambm possvel calcular a rea conlando as quadriculas sob a curva. O relngulo da direita na Fig. 7-13 pode ser usado para calibrar as quadrculas: mostra que 20 quadrculas cOTTespondem a 10 Ncm. Contando grandes blocos de quadrculas sempre que possvel, no difcil verificar que a rea sombreada contm cerca de 260 quadrculas. O trabalho portanlO o resultado idntico ao anterior. No se esquea: num grfico bidi- mensional. toda derivada representa a inclinao de uma reta e toda in- tegrai representa a rea sob uma curva. 6 7 ,.'.' " L,., t;, ; ~. , t; j. , , I . " , 2 3 " 5 (em) 10 -:!z , ;:; f ~30i 60 Nesle caso. a mola realizou mais trabalho positivo (ao passar do eSlado de distenso inicial para o eSlado relaxado) do que trabalho negativo (ao passar do estado relaxado para o estado comprimido final). Assim, o trabalho tolal executado pela mola positivo. RESOLUO DE PROBLEMAS TTICA 2: DERIVADAS E INTEGRAIS; INCLINAES E REAS Quando uma funo y = F(x) conhecida, possvel calcular a sua derivada (para qualquer valor de x) e sua integral (entre dois valores de xl usando as regras do clculo. Se voc no conhece a funo analiticamen- te mas dispe de um grfico da funo. pode calcular a derivada e a in- tegraI usando mlodos grficos. Vimos como calcular graficameme uma derivada na Tlica 9 do Cap. 2: agora vamos ver como calcular graficamente uma integraL A Fig. 7-13 um grfico de uma fora particular F(x). Vamos determinar graficamente o trabalho W realizado por esta fora quando a partcula sobre a qual atua se move de .t, = 2,0 cm al xr= 5,0 cm. O trabalho a rea sombreada sob a curva enlre esses dois pontos. Podemos aproximar esta rea por um retngulo fonnado pela substi- tuio da curva que represenla a fUno por uma rela horizontal. Areia deve ser traada numa ahura tal que duas reas rotuladas como "I" e "2" 7-5 Energia Cintica Se voc v uma bola de futebol em repouso no gramado e mais tarde observa a mesma bola se dirigindo para o gol. provavelmente pensar: "Algum chutou esta bola." Um fsico talvez afirme: "Algum realizou trabalho sobre esta bola. exercendo uma fora ao longo de uma pequena dis~ tncia." Na verdade, sempre que vemos um objeto em movimento, isto sinal de que algum trabalho foi executado sobre o objeto para coloc-lo em movimento. O que existe no movimento de uma partcula que pode ser relacionado quantitativamente ao trabalho que foi executado sobre a partcula? A propriedade que estamos buscando a energia cin tica da partcula, que pode ser definida atravs da equao onde m a massa da partcula e va sua velocidade. Repare que a energia cintica proporcional ao quadrado da velocidade e portanto nunca pode ser negativa. Suas unidades so as mesmas do trabalho (no sistema SI. por exem- Talwla 71 Energias Cinticas de Alguns Objetos Objeto Comentrios Energia Cintica (J) O maior meteorito conhecido Porta-avies Nimitz Satlite em rbita Caminho Jogador de futebol americano Bala de fuzil Bola de beisebol Moeda caindo Abelha em vo Caracol Ellron em tubo de TV Eltron no cobre 5 X 1010 kg a 7.200 m/s 91Aoo !aneladas a 30 ns 100 kg a 300 km de altitude Modelo de 18 rodas. a 100 km/h 110 kg a 9 m/s 4ga9S0m/s 160 km!h 3,2 g depois de cair SO m I ga2m/s 5 g a O.OS km/h 20keV No zero absolUlo 1.3 X 1013 9,9 X 109 3.0 X 109 2,2 x lo o ngulo entre F e d. Quando mais de uma fora age sobre o objeto, a fora que aparece nas Eqs. 7-1, 7-2 e 7-4 a fora resultante. Unidtuks de Trabalho e Energia A unidade de trabalho e energia no sistema SI o joule (J); a unidade inglesa o p-libra (ft-Ib): K=+mv'. (7-19) (7-20) (7-5) lJ = I N'm = I kg'm2/s2 = 0,738 fIIb. O eltronvoU (eV) uma unidade de energia muito usada na fsica atmica nuclear: As unidades de energia cintica so as mesmas que as do trabalho. Teorema do Traballw.Energia Cintica Podemos reescrever a segunda lei de Newton, F = ma. para relacionar o trabalho total W realizado sobre um corpo com a variao!lKda energia cintica do corpo: O quilowatthora (kW'h) uma unidade de energia usada pelos enge- nheiros: Trabalho Realizado por uma Fora Varivel Quando a fora F que age sobre o objeto depende da posio, o trabalho realizado por F enquanto o objeto se desloca da posio original r, de coordenadas (x" y;, z,) para uma posio final rrde coordenadas (xI' Yr' li) dado por onde Ki a energia cintica inicial do corpoe Kf a energia cintica final. A Eq. 7-21 (em qualquer das duas formas) conhecida como o teorema do trabalho-Energia cintica. Polincia Potncia a rapidez com que um trabalho realizado. Se uma fora realiza um trabalho W durante um intervalo de tempo !lI, a potncia mdia dada por Potncia instantnea a taxa instantnea da realizao de trabalho: 1 eV = 1.60 X 1O- 19j. I kWh = 3,6 X 106J. Se F tem apena~ a componente x. a Eq. 7-14 se reduz a (7-6) (7-31) (7-14) W"" Kj - K; = !J.K, ou K j = K; + W, - w p = !lt' dW p=-. di (7-21) (7-27) (7-28) f",W = F dx. x, 2 " " " '. '.(a)! iiF (N) , (b) U (J), E U) 6 5 , 3 2 , ~ " " '. ") 1--''--.1--k--.'t---..,'o;----- " Fig. 812 (a) Grfico de U(x), a funo energia potencial de uma partcula que se move ao longo do eixo dos x. Como no h atrito, a energia mecnica conservada. (b) Grfico da fora F(x) que age sobre a partcula, obtido calculando-se a derivada da funo energia potencial em vrios pontos da curva. (c) Grfico da energia potencial U(x), mostrando (rs valores possveis de E. 175. Se E = 3,0 J. existem dois pontos de retomo, um entre XI e Xl e outro entre X 4 e X:;. Alm disso. X.1 um ponto no qual K = O. Se a partcula se encontra exatamente neste pon- to, a fora zero e a partcula pennanece parada. Entretan- to, quando a partcula deslocada ligeiramente em qualquer sentido, uma fora faz com que continue se movendo no mesmo sentido. afastando-a do ponto X.1' Em um caso como este, dizemos que a partcula se encontra em equilbrio instvel. (Uma bola de gude equilibrada sobre uma bola de boliche est em equilbrio instvel.) Vejamos, finalmente. qual o comportamento da partcula se E = 1,0 J. Se colocamos a partcula em X 4, ela permanece indefinidamente no mesmo lugar; no pode se mo- ver para a direita ou para a esquerda. porque, ao faz-lo. fica com uma energia cintica negativa. Se a deslocannos ligeiramente em qualquer sentido. uma fora restauradora far com que ela se desloque de volta para X4 Num caso como este, dizemos que a partcula se encontra em equilbrio estvel. (Uma bola de gude no fundo de uma tigela hemisfrica est em equilbrio estvel.) Se colocarmos a partcula no vale de potencial que existe nas proximidades de X2' ela poder se deslocar para a esquerda ou para a direita. mas sem jamais chegar a XI ou Xj. 8-6 Conservao da Energia Vamos supor que uma fora de atrito dinmico f esteja agindo sobre o bloco do sistema bloco-mola da Fig. 8-5. Esta fora faz com que as oscilaes diminuam gradual- mente de amplitude at o bloco parar. A experincia de- monstra que a diminuio de energia mecnica acompa- nhada por um aumento da energia fnnica do bloco e do piso em que ele est deslizando; ambos se aquecem dura~ te o processo. A energia trmica uma fonna de energia interna. pois est associada aos movimentos aleatrios dos tomos e molculas de um corpo. Vamos representar a variao de energia interna pelo smbolo JiE", Como JiE a variao da energia interna tanto do blo-,," co como do piso em que est deslizando. s podemos cal- cularcorretamente a transformao de energia mecnica em energia trmica se considerarmos um sistema que inclua o bloco. a mola e o piso. Se isolarmos o sistema bloco-mola- piso (de modo que nenhum corpo fora do sistema possa trocar energia com os corpos do sistema) a energia mecnica perdida pelo bloco e pela mola no ser perdida pelo sistema mas transferida internamente nele. na forma de energia tnnica. Somos levados a postular que, para um sistema isolado, Os valores de K, U e E;nt podem mudar com o tempo para um ou mais corpos do sistema isolado, mas a sua soma para todos os corpos do sistema invarivel. Observe que a Eq. 8-20 uma extenso da Eq. 8-3 (conservao da energia mecnica) que leva em conta a presena da energia tnnica. CONSERVAO DA ENERGIA 167 Acontece que em todas as situaes reais (mesmo as que envolvem, por exemplo. fenmenos eltricos e magnticos) sempre podemos identificar novas formas de energia como E;n,' o que nos permite preservar, em uma forma mais geral, a lei de conservao da energia. Em outras palavras, sempre podemos escrever, para um sistema isolado, !J.K +!J.U + 11E- + (variaO de outras) = O. (8-21) tlll fonnas de energIa Esta fonna generalizada da lei da conservao da energia pode ser expressa nos seguintes termos: Num sistema isolado. a energia pode ser transfonnada de uma forma para outra. mas a energia total do sistema permanece constante. A lei acima uma generalizao confinnada experimen- talmente. At hoje, nunca foi violada em nenhuma experincia ou observao da natureza. Se alguma fora externa ao sistema executa um trabalho W sobre corpos do sistema. o sistema no est isolado e a Eq. 8-20 no aplicvel. Nesse caso. devemos substituir a Eg. 8-20 por De acordo com a Eg. 8-22, quando um trabalho W executado sobre um sistema por foras externas. a quantidade total de energia do sistema, incluindo todas as formas possveis, aumenta de um valor igual a W. Se W negativo. o que indica que o sistema que realiza trabalho sobre corpos externos, a quantidade total de energia do sistema diminui de um valor igual a IW I. Embora s vezes seja conveniente considerar um sistema que no esteja isolado dos corpos vizinhos. nunca somos forados a faz-lo. Podemos sempre ampliar o sistema de modo a incluir os elementos externos que trocam energia com o antigo sistema. Desta forma. o novo sistema passa a ser um sistema isolado e podemos aplicar a Eq. 8-20. As foras envolvidas continuam a agir, mas afetam apenas corpos pertencentes ao sistema ampliado; o trabalho que realizam interno ao sistema e portanto no deve ser includo no W da Eq. 8-22. que se refere apenas ao trabalho executado por foras externas sobre corpos do sistema ou por foras do sistema sobre corpos externos. A Fig. 8-13 mostra um exemplo de conservao de energia. Quando uma alpinista sobe uma encosta. como na Fig. 8-l3a, a energia bioqumica dos seus msculos (uma forma de energia interna) convertida em energia potencial gravitacional. A Fig. 8-l3b mostra uma alpinista descendo com velocidade aproximadamente constante. escorregando por uma corda que passa por um freio de metal. A energia potencial gravitacional que perde durante a desci- da convertida em energia trmica das cordas e dos freios. Eles se aquecem. (O objetivo do freio evitar que a energia potencial gravitacional se transforme em energia cintica da alpinista!) 176. 168 MECNICA Fig. 8-13 (Esquerda) Subindo! A energia bioqumica dos msculos transformada em energia potencial gravitacionaL (Din:iUl) Descendo! A energia potencial gravitacional transformada em energia tnnica das cordas e dos freios. Eles se aquecem. 87 Trabalho Executado por Foras de Atrito Como as foras so constantes, a desacelerao a do bloco tambm constante. Assim. podemos usar a Eq. 2-14 para relacionar a velocidade inicial li; e velocidade final l.'t Considere um bloco de massa m escorregando num piso horizontal e sujeito a uma fora de atrito dinmico constante f (no-conservativa) e a uma fora constante F (conservativa). Para simplificar o problema, vamos supor que as duas foras tenham a mesma direo e sentido e que o movimento do bloco tenha o sentido oposto (considerado como o sentido positivo). Vamos tomar o bloco e a fora conservativa (e no o conjunto bloco-piso) como o nosso sistema. O nosso sistema no um sistema isolado porque a fora f exercida por um corpo (o piso) externo ao sistema. Vamos agora aplicar ao bloco a segunda lei de Newton. At agora, s aplicamos essa lei a partculas. Entretanto. se supusennos que todos os pontos do bloco se movem da mesma forma, poderemos aplicar a lei ao bloco como se ele fosse uma nica partcula. Assim, para a direo de movimento do bloco, podemos escrever: Vrias vezes, na histria da fsica. foram observadas aparentes violaes da lei da conservao de energia. Essas violaes aparentes sempre serviram de estmulo para que os cientistas buscassem suas causas. At agora, as causas sempre foram descobertas e a lei da conservao da energia tem se mantido vlida. Como teremos oportunidade de ver em outros captulos, a conservao da energia uma das grandes idias unificadoras da fsica. Potncia Agora que vimos que a energia pode ser convertida de uma forma para outra e sabemos que existem muitas formas diferentes de energia, algumas das quais sero tratadas em outros captulos deste livro. podemos ampliar a definio de potncia apresentada na Seo 7-6. em que afirmamos que potncia era uma medida da rapidez com que um trabalho executado. De uma forma mais geral. potncia uma medida da rapidez com que a energia transformada de uma forma para outra. Por exemplo: quando a alpinista da Fig. 8-13a est subindo, a potncia mdia desenvolvida por ela a taxa m- dia em que converte energia bioqumica em energia potencial gravitacional e em sua prpria energia trmica. A potncia instantnea a taxa em que a converso ocorre num dado instante. L F ~ -F - f ~ ma. (8-23) 177. CONSERVAO DA ENERGIA 169 A Eq. 8-26 pode ser interpretada da seguinte forma: Comparando as Eqs. 8-27 e 8-28. podemos ver que, como j foi dito, -fd no igual a Wf, o trabalho realizado pela fora de atrito. Na verdade,jd a perda de energia mecnica (a energia que dissipada pela fora de atrito) e WJ a parte dessa energia que deixa o sistema (transformando se em energia interna do piso). A parte que no deixa o sistema transformada em energia interna do bloco. Suponhamos. por exemplo. que o bloco tenha uma energia cintica inicial de 100 J e que a ao da fora de atrito resulte em aumento de 40 J na energia interna do bloco. Nesse caso, a energia dissipada pela fora de atrito ser igual a -100 J; de acordo com a Eq. 8-27, o trabalho rea Iizado por essa fora ser igual a -60 J. Em outras palavras, 60 J de energia sero transferidos do bloco para o piso. A Eq. 8-27 tambm mostra que o teorema do trabalho- energia cintica (segundo o qual deveramos ter Wr= 11.10 no se aplica ao bloco do problema. Isso acontece porque o teorema do trabalho-energia cintica se baseia na hip- tese de que o sistema se comporta como uma nica partcula. Entretanto, do ponto de vista das transformaes de energia. no podemos tratar o bloco do problema como uma partcula porque ela no tem estrutura interna e portanto no pode possuir energia interna. O leitor poderia objetar observando que tratamos o bloco como uma partcula. porque usamos a segunda lei de Newton para deduzir a Eq. 826. Naquela ocasio, porm. tudo que supusemos foi que todos os pontos do bloco se moviam da mesma fonna; no havia nenhuma transforma o de energia envolvida. Na fsica relativamente comum tratar um corpo como partcula em algumas situaes mas no em outras. EXEMPLO 86 Na Fig. 8-14. um cachorro de clleO. de massa 6.0 kg, chega extremidade esquerda de uma rampa irregular, que esl a uma altura y" 0= 8,50 m do cho, com uma velocidade l.1J 0= 7.8 m/s. O ca- (8-24) (8-25) (8-27) V2 - 1,2 a = { , 2d -Fd - fd = !mvJ - !mv7 = K, ou onde K a variao de energia cintica do bloco. A quan tidade - Fd o trabalho realizado pela fora conservativa. De acordo com a Eq. 8-6. podemos substituir -Pd por - I1.V. onde I1.U a variao de energia potencial do sistema. Nesse caso, a Eq. 8-25 assume a forma o produto -fd, onde! a fora de atrito dinmico. igual variao I1.E da energia mecnica do sistema. o produto -fd negativo porque a fora de atrito tem o sentido oposto ao do deslocamento. Assim, I1.E negativo, ou seja, a energia mecnica do sistema diminui em conseqncia do atrito. O lado esquerdo da Eq. 8-26 poderia ser erroneamente interpretado como o trabalho realizado sobre o bloco pela fora de atrito. O fato de que isso no verdade tem a ver com a natureza complexa da fora de atrito dinmico. Como discutimos na Seo 6- l,f a mdia de um grande nmero de foras complexas que agem nos pontos de contato entre o bloco e o piso. O trabalho total realizado por todas essas foras no igual a - fd. Para compreendermos melhor a natureza do trabalho realizado por foras de atrito, vamos aplicar as Eqs. 8-22 e 8-26 a um bloco que desliza num piso horizontal at que a fora de atrito dinmico exercida sobre ele pelo piso o faa parar. (Nosso sistema constitudo apenas pelo bloco.) Podemos tomar I1.U = Onas duas equaes. porque no h variaes de energia potencial envolvidas no processo. Substituindo na Eq. 8-22 Wpor Wr, o trabalho realizado pela fora de atrito. temos: Substituindo o valor de a dado pela Eq. 824 na Eg. 8-23, temos: onde I1.Ejn, a variao da energia interna apenas do bloco. A Eg. 8-26 se torna: VJ = V7+ 2ad do bloco quando ele percorre uma distncia d no piso horizontal: Fig. 814 Exemplo 8-6. Um cachorro de circo escorrega por uma rampa, (8-28) comeando com velocidade ti" a uma altura y" e parando numa altura y. 178. 170 MECNICA .chorro escorrega para a direita e pra quando atinge uma alturay = 11, I m acima do cho, Qual o aumento da energia trmica do cachorro e da rampa durante o processo? Soluo Quando a bala chega profundidade h" sua energia cintica zero. A variao de energia mecnica dada por b. Qual a variao da energia interna do sistema bala-Terra-areia? onde -(/t, + h,) o deslocamento total da bala (o sinal negativo porque o deslocamenlO para baixo). Substituindo os parmetros por seus valores numricos, temos: dE = - H5,2 X IO-J kg)(I4 m/s)! -(5,2 X lO-l kg)(9,8 m/s'}(l8 m + 0.21 m) = - 1,437 J = - 1,4 1. (Resposta) Soluo O sistema isolado a que a Eq. 8-20 se aplica o sistema cachorro-Terra-rampa, porque, uma vez que o cachorro comea a escor- regar. as nicas fora~ que agem sobre ele siio o seu peso mg (devido il Terra) e as foras (fora de atrito e fora normal) exercidas pela rampa. Como a fora normal sempre perpendicular direo de movimento do cachorro, no realiza nenhum trabalho sobre ele e portanto no modi- fica a energia do sistema cachorro-Terra-rampa. Por outro lado. a fora de atrito realiza trabalho sobre o cachorro, dissipando energia mecnicae au- mentando a energia trmica dele e da rampa de uma quantidade I1E",. No ponto em que o cachorro pra, sua energia cintica zero. Apli~ cando a Eq. 8-20 ao sistema cachorro-Terra-rampa. temos: !1K + !1 U + !1E;m = O, "O 00 !1E"" !1K. + !1U, I1E = (O - tnw) - mg(ht + JI-:!), (829) Calculando o valor de I1Ein.. temos: !1E,n, = t,mJij - mg(~ - .)'(1)' JlEint = H6.0 kg)(7,8 m/s)2 _ {G,O kg) (9,8 m/s2) (11,1 m - 8,5 m) Soluo Esle sistema isolado porque, depois que a bala disparada, as nicas foras que agem sobre ela so o seu peso mg (devido Terra) e a fora de atrito F exercida pela areia (Fig. 8-15b). Substituindo a Eq. 8-29 na Eg. 8-20. descobrimos que, para o sislema bala-Terra-areia, 00 -~ 30 J. (Resposta) !1E,m = -!1E = - (- 1,437 J) ... IA J. (Resposta) EXEMPLO 8' Uma bala de ao de massa /11 == 5,2 g disparada verticalmente para baixo de uma altura h, == 18 m com uma velocidade inicial v" = 14 m/s (Fig. 18-15a). A bala penetra no solo arenoso at uma profundidade h< = 21 em. a. Qual a variao da energia mecnica da bala? Assim, quando 11 bala penetra no solo, toda a sua energia mecnica dissipada. transformando-se em energia interna (principalmente trmica) da bala e da areia. c. Qual o mdulo da fora mdia F exercida pela areia sobre a bala" -Fhz = dE. Soluo A energia mecnica da bala conservada at que ela se choque com o solo. Em seguida, durante o percurso h), sua energia mecnica convertida em energia interna. Assim, a Eq. 8-26 (-fd = JlE) pode ser reescrita como: UEspingarda de mola m '. Calculando o valor de F, temos: -1,4371 0,21m 6,84N = 6.8N. (Resposta) (") F (h) Poderamos tambm calcular F usando as lcnicas do Capo 2 para deter~ minar a velocidade da bala no momento em que atinge o solo e sua desacelerao no trecho h,. O valor de F poderia ento ser calculado com o auxlio da segunda lei de Newton. evidente. porm, que o nmero de passos seria maior do que na soluo acima. 88 Maa e Energia (Opcional) A cincia da qumica foi desenvolvida com base na supo- sio de que, nas reaes qumicas, a energia e a massa so conservadas separadamente. *Em 1905, Einstein demons Fig. 815 Exemplo 8-7. (a) Uma bala disparada para baixo e penetra no solo arenoso. A energia mecnica conservada no trecho h, do percurso mas no no trecho h" em que uma fora (no-conservativa) de atrito age sobre a bala. (h) Detalhe da ai10 da fora F sobre a bala. *Ne,ta ,eo. a palavra m(JS,,(I e osmbolom se referem massa de um objetoda forma como normalmente medida. islo . com o objelo em repouso. No Capo 42 discutiremos com maior profundidade a relao entre massa eenergia na teoria da rdalividade restrita de bnsrein. 179. CONSERVAO DA ENERGIA 171 Tabela 81 Energias Equivalentes parn Alguns Objetos c2 = 9,32 X 10& eV/u = 9,32 X 105 keVlu ~ 932 MeVlu. (8-34) (8-32) (8-33) I u = 1,66 X 10-27 kg, 1 eV = 1,60 X 10- 19 J. Objeto Massa (kg) Energia Equh'alellle Eltron 9,1 X lO-lI 8.2 x IO-"J(= 511 keV) Prton l.7 x 10-17 !,SX 1O-'''J(=9J8MeV) lomode urnio 4.0 x IO-'~ 3,6 x IO-~ J (= 225 GeV) Partcula de poeira I x 10-1' I x 10-' J (= 2 kcall Moeda 3,1 x 10-' 2,8 X 10" J (= 78 GW'h) anual de energia eltrica dos Estados Unidos, por exemplo, corresponde a uma massa de apenas algumas centenas de quilogramas de matria (pedras, batatas, livros, qualquer coisa!). Para aplicar a Eq. 8-30 areaes qumicas ou nucleares entre partculas, podemos escrev-Ia na fomla onde Q (chamado simplesmente de Q da reao) aenergia liberada ou absorvida na reao e fim o correspondente aumento ou diminuio da massa total das partculas que participam da reao. Nas reaes de fisso nuclear, menos de 0,1 % da massa inicialmente presente se transfonna em outras formas de energia. Nas reaes qumicas, essa porcentagem um milho de vezes menor. Em termos de extrao de energia da matria, ainda estamos engatinhando. Na prtica, raramente se usam unidades do sistema SI quando se trabalha com a Eq. 8-31, porque so grandes de~ mais. A unidade mais comum de massa a unidade de massa atmica (representada pela letra u; veja a Seo 1- 6), definida atravs da relao A unidade mais comum de energia o eltron-volt, j de- finido na Eq. 7-6: Nas unidades das Eqs. 8-32 e 8-33, a constante c1 tem os valores EXEMPLO 8-8 Suponha que 1.0 moI de oxignio idiatmico) intera- ge com 2,0 moi de hidrognio (dialmico) para fonnar 2.0 moi de vapor d'gua. atravs da reao onde E o equivalente em energia da massa m e c a velocidade da luz. A Tabela 8-1 mostra a equivalncia entre massa e energia para alguns objetos. Os objetos comuns contm quantidades enonnes de energia. A energia equivalente massa de uma moeda, por exemplo, custaria mais de um milho de dlares se fosse comprada na fonna de energia eltrica. A relao inversa tambm conduz a resultados espantosos. Toda a produo trou que, como conseqncia da teoria da relatividade restrita, a massa pode ser considerada como uma fonna de energia. Assim, a lei da conservao de energia na realidade a lei de conservao de massa e energia. Nas reaes qumicas, a quantidade de massa que se transfonna em outras formas de energia (ou vice-versa) uma frao to pequena da massa total envolvida que se toma impossvel medir a variao de massa, mesmo na mais sensvel das balanas. Assim, parece que a massa e a energia so conservadas separadamente. Nas reaes nucleares, por outro lado, as variaes de massa so da ordem de um milho de vezes maiores do que nas reaes qumicas, e as variaes de massa podem ser medidas com facilidade. Para os fsicos nucleares, as transformaes de massa em energia e vice-versa constituem um fenmeno trivial, que deve ser levado em conta na maioria dos clculos. A relao entre massa e energia expressa pela que , sem dvida, a mais famosa das equaes da fsica (veja a Fig.8-16); Fig. 8160s alunos da Shenandoah Junior High School, em Miami. FI- rida, homenageiam Einslein no I(H]'o aniversrio do seu nascimenlo es- crevendo a famosa frmula com seus corpos. Cortesia de Rocky Rai- sen, professor de fsica. A energia Q liberada de 4,85 x IOl 1. Que frao da massa dos reagentes desaparece para gerar esta energia'! 180. 172 MECNICA Soluo De acordo com a Eq. 8-31, a reduo de maSsa necessria para produzir a energia liberada dada por cuias constituintes? Essa energia liberada ou absorvida duranle a reao? ~m = -Q = -4,85xlO' J = -5,39>qO-1! kg. c' (3,OOXIOBm/s)l Soluo As massas envolvidas so as seguintes: duteron: md = 2,01355 u A massa M dos reagentes igual a duas vezes a massa molar (massa de I mo) de H, mais a massa molar de Ol' De acordo C()m o Apndice D, temos: M = 2(2,02 g) + 32,0 g = 36,0 g = 0,036 kg. prton: mp = 1,00728 U) 2,0159511 nutron: mn = 1.00867 u Como a soma das massas do prlon e do nutron maior do que a massa do duteron, preciso fornecer energia ao duteron para que a rea- o ocorra. O aumenlO de massa resultante dado por EXEMPLO 89 Uma reao de fisso nuclear tpica 235U + n ~ l4O('.e + 9+Zr + 20, Ess.aperda fracionria de maSSa. l(oica das reaes 9IJfmjc.as, fope- quena que no pode ser medida nem com uma balan'l de preciso, mas a energia equivalente (4,85 x 10' J por moi de O2) POde facilmente ser deleclada. tl.m = (mp + mIl) - 1/Id = (1,00728 + 1,(0867) - (2,01355) = 0,00240 u. De acordo com a Eq. 8-31. a energia correspondenle dada por Q "" - ~lIIf2 = - (0,00240 u)(932 MeVlu) = - 2,24 MeV. (Resposta) A energia Q acima chamada de energia de ligao do duteron. Para fazermos uma comparao. a energia necessria para arrancar o eltron de um lomo de hidrognio de apenas 13,6 eV. ou seja. cerca de 6 x 10-6 vezes menor. (Resposta) 5.39xlO-tl kg 0,036kg A frao desejada , portanto, A massa total dos reagentes dada por: portanto a variao percentual da massa dada por: b. Qual a quantidade de energia liberada durante a reao? M = 235,04 + 1,00867 = 236,05 u, Quando agitamos a mo no ar, ele nos parece perfeitamen- te contnuo. Entretanto, sabemos que, numa escala fina, o ar no um meio contnuo, mas um meio "granular", composto de vrios tipos de partculas, das quais as mais numerosas so as molculas de nitrognio e oxignio. Por isso, dizemos que a massa do ar quantizada. Quando estuda- mos os mundos atmico e subatmico, que ficam fora da nossa realidade "imediata", descobrimos que muitas outras grandezas fsicas so quantizadas, isto , s podem assumir certos valores bem definidos (discretos). A energia uma dessas grandezas, Todos concordaramos ao dizer que a energia de um pndulo pode assumir qualquer valordentro de um certo intervalo, dependendo do impulso que dennos massa. No mundo atmico, porm, os fatos so diferentes. Um tomo s pode existir em certos estados caractersticos, os chamados estados qunticos, cada um est associado a um valor de energia. A Fig. 8-17 mostra os valores pennitidos de energia (ou nveis de energia) de um tomo isolado de sdio. Cada valor corresponde a um diferente estado quntico. O nvel mais baixo, chamado Eona Fig. 8-17, ao qual em geral atribu- do arbitrariamente o valor zero de energia, o estado fun damental do tomo de sdio. Um tomo isolado de sdio nonnalmente encontrado no estado fundamental, da mesma forma como uma bola de gude no interior de uma tigela normalmente encontrada no fundo da tigela. Para passar para um dos outros estados, que so chamados de estados excitados, o tomo de sdio deve receber energia de alguma fonte externa, talvez colidindo com eltrons numa lmpada de vapor de sdio. Quando volta ao estado fundamental, o tomo eve iminuir sua energia, possivelmente emitindo luz. 8-9 Quanllzao da Energia (Opcional) (Resposta) (Resposta) = 0,00089. ou cerca de 0,1%. I~mt 0,211 u --~ M 236,05 u Q = -amcl = (-0,21 I u)(932 MeV/u) = 197 MeV, ~m = (139,91 + 93,91 + 2 x 1,00867) -(235,04 + 1,00867) = -0,211 u. Soluo Para calcular a variao de massa ~m, subtramos a massa dos reagentes da massa dos produlOS: onde n representa um nutron. As massas envolvidas so as seguintes: massa(235U) "" 235,04 u massa (94Zr) '" 93,91 u massa (l4OCe) = 139,91 u massa(n) = 1,00867u a. Qual a variao percentual de massa associada reao? Embora essa variao seja pequena. pode ser medida CUm facilidade e muilo maior do que a variao obtida no Exemplo 8-f!.. onde foi usado o valorde clem MeV/u que aparece na ~q. 8-34. Aener- gia liberada, 197 MeV, muito maior do que a energia liberada numa reao qumica l{pica, que da ordem de alguns eltr()ns_volls. Soluo De acordo com a Eq. 8-31, temos: EXEMPLO 8-10 O ncleo do tomo de deutrio (hidrogniopesado) chamado de duleron. Ele composto de um prtOn e um nutron. Qual a energia envolvida na separao de um duteron em suas parl- 181. CONSERVAO DA ENERGIA 173 Fig. 8-17 O diagrama acima mostra alguns dos nveis de energia de um ..(QIW..ctf'~'din 4ll1f',f'..Q..-ce'iJlflnMIT'..lill.~.ft."wm.~fUlw;cos qde,;>"tomo pode ocupar. O estado de menor energia, indicado ~10 smbolo EQ chamado de estado fundamentaL O tomo emite a luz amarela caracterstica do sdio quando passa do estado de energia E, bara o estado fundamental, como est indicado na figura pela seta vertical. O tomo no pode ler uma energia que se encontre entre estes doi~ valores ou entre quaisquer dois valores consecutivos mostrados aqui. E'I'.IVV- L" E, Fig. 8-18 Um lomo pode passar de um eslado excitado para um estado de menor energia emilindo luz. I f. , , zes por segundo que a onda oscila ao passar por um dado ponto; a unidade def o hertz, que corresponde a um ciclo por segundo.) Em geral, ondas como a luz so emitidas pelos tomos sempre qoe eJes possom de om esta'do de eoergl E" pra outro estado de energia menor E", como mostra a Fig. 8- 18. No caso da emisso de luz, a lei da conservao da energia assume a forma I E ' , "Atomo de sdio 4 o 5 Na verdade, a energia de qualquer objett formado por tomos (incluindo o pndulo) quantizada. Entretanto, no caso de objetos macroscpicos, os valores permitidos de energia esto to prximos que no podem Ser observados separadamente e parecem fonnar um contnuo. Nesse caso, podemos ignorar totalmente a quantizao. onde h uma constante e f a freqncia da luz emitida. Esta equao, proposta pelo fsico dinamarqus Niels Bohr, nos diz que Ex - E,., a energia perdida pelo tomo, igual energia da luz emitida. A Eq. 8-35 se aplica emisso (e tambm absoro) de todos os tipos de ondas eletromagnticas, no s as emitidas pelos tomos, mas tambm as emitidas por ncleos, molculas e slidos aquecidos. A constante h que aparece na Eq. 835 chamada de constante de Planck e tem o valor Quantizao e a Emisso de Luz Vejamos agora como os conceitos de quantizao e de conservao da energia podem explicar de forlna elegante a emisso de luz por tomos isolados. Consid~re a luz ama rela emitida por tomos de sdio, que pode ~er facilmente observada jogando-se sal de cozinha (cloreto de sdio) numa chama. Essa cor emitida quando os itomos de s6- dio passam do estado excitado de energia E, da Fig. 8-17 para o estado fundamental de energia Eo; a transio est indicada por uma seta na figura. De acordo com a teoria ondulatria da luz, a cada cor corresponde uma certa freqncia! (A freqncia de uma onda o nmero de ve- A constante de Planck. assim denominada em homenagem ao fsico alemo Max Planck, que a introduziu em 1900, a constante mais importante da fsica quntica. Ela aparece em quase todas as equaes que envolvem fenmenos qunticos, assim como a velocidade da luz c aparece em quase todas as equaes que envolvem fenmenos relativsticos. Vamos tomar a encontr-la em outros captulos deste livro. RESUMO Energia Energia uma propriedade associada ao estado de um Ou mais corpos. A energia cintka K esl associada ao estado de movime"lto de um corpo. A energia trmica est associada aos movimentos alealrios dos tomos e molculas de um corpo. A energia potendal est aSS)ciada configu- rao de um ou mais corpos. Dois tipos importanles de ~nergia polencial so a energia potencial gravitaclonal, associada ao estudo de separao ....'lnl~'iAAf...fUtf'fi!',at'iR'lrr"~ltw.:b-rl.,fu'.l'61O,,iw;m1U'1e {{e~'pw- lencial elstica, associada ao eslado de compresso ou dislenso de um objeto elstico (uja~ propriedades so semelhantes s de uma mola). Energia Mecnica A energia mecnica E de um sistema a soma da energia cintica K e da energia potencial U. Se as nicas foras presentes so a fora gravitacional e a fora elstica. o valor de E permanece conslante mesmo que a energia cintica e a energia potencial variem com o tempo. Esta lei da conservao de energia mecnica pode ser escrita na for- m, E = UI + K I = [/2 + f(~ = constante, (8-2) 182. 174 MECNICA onde os ndices foram usados para designar diferenles inslaOles de tempo. A Eq_ 8-2 tambm pode ser escrita na forma !:J.K + U:::: O. (8-3) o comportamento de uma partcula que se move ao longo do eixo dos x pode ser conhecido a partir de um grfico de U(x). A energia cinlica da partida num ponto x qualquer dada por onde E a energia mecnica da partcula. Os pontos onde o movimento muda de sentido so chamados de pontos de retorno; nesses pontos, K = O. Nos pontos onde a langente curva U(x) paralela ao eixo dos x, dizemos que a partcula se encontra em equilbrio. Quando forai; de atrito dinmico esto presentes, a energia mecnica E no permanece constante, mas diminui com o tempo. Por isso, dizemos que as foras de atrito dissipam energia mecnica; a energia dissipada se transfonna em energia interna. A fonna principal de energia interna a energia trmica. K(x) :: E - U(x), (8-19) (8-21) Energia Potencial Elstica Pam uma mola que obedece lei de Hooke, F = -lo:. a energia potencial elstica da mola dada por (8-8) Energia Potencial Gravitacionl Quando um objeto situado nas proximidades da superfcie da Terra se move em relao li Terra, a variao da energia potencial gravitado- nal do sistema objeto-Terra dada por Lei da Conservao de Energia Nos sislemas isolados, a energia pode ser transformada de uma forma para outra. mas a energia total pennanece constante. Esta lei de conservao pode ser expressa da seguinte fonna: tIoK + IiU + IiE + (variaO de out~s) O ,,,. formas de energta ' onde tIoEi", a variao da energia imema dos corpos presentes no sisle- m. ::'U:::: mgtloy, onde ::'y a variao da distncia entre o objeto e a superfcie da Terra, Em geral, tomamos U como zero em y = Oe dizemos que a energia potencial do objeto dada por Trabalho Realkado sobre um Sistema Se alguma fora externa ao sistema executa um trabalho W sobre cor pos do sistema, o sistema no esl isolado e 11 sua energia total no permanece constante. A variao de energia eSl relacionada ao trabalho atravs da equao Se a funo V(x) fornecida em forma de grfico, a fora F, para qualquer valor de x, pode ser determinada tomando-se o negativo da inclinao da tangente curva no ponlo correspondente a esse valor de x. Curvas de Energia Potencial Se a runoenergia potencial U(x) de uma pancula conhecida, a fora responsvel pelas variaes de U(x) pode ser calculada com o auxlio da equao Foras Conservalivas e No-conservalivas Dizemos que uma fora conservativa quando o trabalho que realiza numa partcula que percorre um circuito fechado zero; caso conlrrio, dizemos que a fora nO-t:onservatlva, Tambm podemos dizer que uma fora conservativa quando o Irabalho que realiza sobre uma partcula que se move de um ponto a outro 11 mesma para toda~ as trajet- rias possveis entre os dois pontos; caso contrrio, dizemos que a fora no-conservativa. As duas definies so equivalentes. (8-22) (8-30) (8-36) (8-35) W:::: ::'K + IiU + tIoE;",. Massa e Energia A energia equivalente massa de um objeto pode ser calculada atravs da equao onde m a massa do objeto e c a velocidade da luz. h:::: 6,63 X 10- 34 Js = 4,14 X 10- 15 eVs. QuantiUlfiio da Energia A energia de sislemas de pequenas dimenses, como os tomos, quantizada, islo , pode assumir apenas certos valores. Quando um sistema passa de um eSlado de energia E, para um estado de menor energia. E" a energia em excesso liberada, muitas vezes sob a forma de radiao eletromagntica como a luz. A radiao emitida tem uma freqncia! dada por E. - E,:::: h/. onde h a conslallle de Planck: (8-101 (8-17) dU(x) -~. lj:::: mgy. F(x) :::: QUESTIONRIO I. Um automvel est viajando numa rodovia. O motorista pisa no freio com fora e o carro desliza al parar, o que reduz sua energia cinlica a zero. Que tipo de energia aumenta em conseqncia da freada? 4. Quando um elevador desce do ltimo andar de um edifcio e pra no andarlrreo, o que acontece com aenergia polencial que possu(a no incio do trajeto? 2, Na Queslo I, suponha que o motorista pisa suavemente no freio, de modo que no h escorregamento entre o pneu e a eslrada. Nesse caso, que tipo de energia aumenla? 3, Voc deixa cair um objeto e observa que ele quica no cho e chega li metade da altura inicial. Que concluses pode tirar desse fato? Que concluses tiraria se o objew chegasse a 1,5 vez a altura inicial? 5. Por que nas regies montanhosas as estradas raramellle sobem as en- costas pelo caminho mais curto? 6. Os sacos de ar reduzem consideravelmente a probabilidade de que os ocupantes de um veculo sofram ferimentos graves em caso de coliso. Explique por que isso acontece, em lermos de transferncia de energia. " Voc observa um pssaroem voe chega li conclusode que ele possui uma certa qualllidade de energia cintica. Entretanto, outro pssaro. que 183. CONSERVAO DA ENERGIA 175 est voando ao lado do primeiro e conhece um pouco de fsica, declara que a energia cintica do vizinho zero. Quem est certo, voc ou o segundo pssaro'! Como a lei de conservao de energia se aplica a esta situao? 13. Explique. usando as idias de tmbalho e energia, como voc pode fazer um balano subir mais alto sem recorrer a um impulso externo. Se o balano se encontra inicialmente em repouso, possvel coloc-lo em movimento sem recorrer a um impulso eXlemo? Fig. 820 Questo 14. 15, DiscUla aexpresso "conservao de energia" da forma como usada (a) neste captuloe (b) nas discusses da "crise energtica", De que modo estas duas formas diferem? 14, Dois discos esto ligados por uma mola (Fig. 8-20). possvel com- primir o disco superior de tal forma que, ao ser liberado, ele suba o suficiente para que o disco inferior deixe a mesa em que est apoiado? A energia mecnica pode ser conservada num caso como esse? 16. A energia eltrica de uma pequena cidade fornecida por uma usi na hidreltrica situada num rio prximo. Quando voc apaga uma lmpada ellrica neste sistema, a lei de conservao da energia exige que uma quantidade igual de energia.lalvez numa forma diferente. apare- a em outro lugar do sistema. Onde e em que forma essa energia aparece? (, 9. A Fig, 8-19 mostra um tubode vidro circularque est pendurado numa parede verticaL O tubo esl cheio d'gua, exceto por uma oolha de ar que se encontra temporariamente em repouso na parte inferior do lubo. DiscUla o movimenlo subseqente da oolha em termos de transferncia de energia, primeiro desprezando as foras que se opem ao movimen- to da oolha e depois levando-as em considerao, Fig. 819 Questo 9. 8. Um terremoto pode liberar energia suficiente para destruir uma cidade. Onde est "armazenada" essa energia antes de comear o terremoto? Bolha 10, Cite alguns el'emplos prticos de equihbrio instvel, neutro e estvel. 17. Uma mola comprimida e suas extremidades so amarradas. Em seguida, mergulhada em cido e se dissolve. O que acontece com a energia potencial armazenada na mola? 11, No artigo "Energia e o Automvel", publicado no nmero de outu- bro de 1980 da revista The Physies Tea('her, o autor Gene Waring afir- ma o seguinte: " interessante observar que roda a energia do combus- tvel acaba se transformando em energia trmica, que se espalha ao lon godo percurso seguido pelo automvel." Analise os vrios mecanismos que poderiam ser responsveis por este fenmeno, Considere, por exemplo, o alrito com a estrada. a resistncia do ar, os freios, o rdio do carro, os faris, a bateria, as perdas no motor e no sistema de tmo, a bu- zina e assim por diante. Suponha que a estrada reta e plana. 18. A equao E = me) revela que pequenos objetos. como moedas e pedrinha~, contm enormes quantidades de energia. Por que essa energia levou tanto tempo para ser descoberta? 19. "As exploses nucleares. em lermos de massa, liberam cerca de um milho de vezes mais energia do que as exploses qumicas, porque se baseiam na equao de Einslein. E = me!," O que voc pensa a respeito desta afimlatva'! 12, Determine a relao enlre o Sol e as fontes de energia que voc co nhece. Existe alguma fonte de energia cuja origem no possa ser atribu- da ao Sol? 20. Como a massa e a energia podem ser equivalentes. j que se trata de grandezas fsicas totalmente diferenles, definidas de forma diferente e medidas em unidades diferentes? EXERCCIOS E PROBLEMAS Seo 83 Determinao da Energia Potencial lE. Uma determinada mola armazena 25 J de energia potencial quando sofre uma compresso de 7,5 cm. Qual a constante da mola? 2E. Uma da,; armas do projeto "Guerra nas Estrelas" seria um "canho eletromagntico" a ser colocado em rbita para derrubar msseis inimi- gos ainda na fase de subida, O canho (um tipo de arma de energia cinlica) usaria foras eletromagnticas para disparar um projtil de 2,4 kg com uma velocidade de 0 kmls. Suponha que, em vez de foras eletromagnticas, o canho usasse a fora de uma mola. Qual deveria ser a constante da mola para que o projtil atingisse a velocidade desejada, supondo que fosse comprimida 1.5 m a partir do estado relaxad07 3E. Voc dei)(a cair um livro de 2.0 kg para um amigo que est de p na calada. 10 m abaixo (Fig. 8-21). (a) Se a energill potencial tomada como zero na calada, qual a energia potencial do livro no momento em que voc o deil'a cair? (b) Qual a energia cintica do livro no momento em que o seu amigo o apara nllS mos estendidas. que se encontram 1.5 m acima da calada? (c) Com que velocidade o livro est se movendo no momento em que chega s mos do seu amigo'! 4E. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombei- ros. 10 m abaixo. A rede se estica 1,0 m anles de deler a queda e ane- messar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede estirada. supondo que a energia mecnica conservada7 184. 176 MECNICA 10m S--, Fig. 8-24 Exerccio 8. 9E. Uma avalanche de cinzas vulcnicas que estava se movendo em terreno plano chega a uma encosta com uma inclinao de I(P e sobe 920 m antes de parar. As cinzas vulcnicas esto misturadas com gs. de modo que o atrito entre elas e o solo muito pequeno e pode ser des- prezado. Com que velocidade as cinzas eS/ I = L m/r; = (m) (tL)' + (m) (,L)2 =: imLt. (Resposta) b. Qual o momento de inrcia do corpo em relao a um eixo que passa por uma das extremidades da haste e paralelo ao primeiro. confonne a Fig. 1I-14b? J = fr2 dm = J[(x - a)l + (y - b)2) dm, Soluo Podemos usar o teorema dos eixos paralelos da Eq. 11-25. No item (a). acabamos de calcular f.,., e a distncia h entre o!'. eixos paralelos a metade do comprimento da haste. Logo. da Eq. 11-25, Usando a Eq. 11-22, podemos verificar esse resultado dretamente: EXEMPW 11--8 A Fig. 1115 moslra um baslo fino. unifOl1lle. de massa M e comprimento L. a. Qual o momento de inrcia em relao a um eixo perpendicular ao baslo, passando pelo seu cenlro de massa? Soluo Escolhemos uma fatia dx como elemenlo de massa do bas!.o. O centro desta fatia est na posio x. A massa por unidade de comprimento do baslo M/L, logo, a massa dm do elemento dx (Resposla) (Resposta) I=:2: m;r1 = (m) (0)2 + (m) (L)2 = mL2. I = I cm + ~Jr. = lmL! + (2m)(iL)! = mL2 , rearrumando, temos J = J(x2 + f) dm - 2a fx dm -2b fydm+ f(a2 + tr) dm. (11-26) De acordo com a definio de centro de massa (Eq. 9-9), as duas integrais intennedirias na Eq. 11-26 representam as coordenadas do centro de massa (multiplicadas por uma constante), logo, so iguais a zero. Como x2 + y1 igual a R2, onde R a distncia de O a dm, a primeira integral simplesmente lem, o momento de inrcia do corpo em rela-

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