DAUDZSKALDŅI - politeh.lv · lauzta līnija. Šķēluma figūras virsotņu punkti ir dotā...

Lekcijas konspekts Daudzskaldņi

© 2006, G. Veide RTU

1

DAUDZSKALDŅI

SATURS

Ievads......................................................................................................... 2

Tēmas mērķi .............................................................................................. 2

1. Daudzskaldņu attēlošana ..................................................................... 3

1.1. Paralēlskaldnis............................................................................. 3 1.2. Prizma.......................................................................................... 5 1.3. Piramīda ...................................................................................... 6

2. Punkti un līnijas uz daudzskaldņa virsmas ........................................ 7

3. Daudzskaldņu šķelšana ................................................................................9

3.1. Pamatjēdzieni par ģeometrisku ķermeņu šķelšanu...................... 9 3.2. Taisnes un plaknes krustošanās.................................................. 9 3.3. Prizmas šķelšana ar plakni ........................................................ 11 3.4. Piramīdas šķelšana ar plakni ..................................................... 14 3.5. Prizmas šķelšana ar trim plaknēm ............................................. 16 3.6. Izgriezumu konstruēšana........................................................... 19

4. Daudzskaldņu krustošanās ............................................................... 21

4.1. Divu prizmu krustošanās līnijas konstruēšana ........................... 22



2

IEVADS

Dažādas mašīnu un mehānismu detaļas un būvju konstrukcijas ir ar sarežģītu ģeometrisku ķermeņu vai nošķeltu ģeometrisku ķermeņu formu. Izpildot rasējumus, nereti nākas konstruēt šādu ķermeņu un šķēlumu projekcijas, kā arī iegūt virsmas izklājumus no plāna lokšņu materiāla izgatavojamām detaļām. Komplicētas formas veidojas no vienkāršu ģeometrisku ķermeņu – cilindra, konusa, sfēras, prizmas un piramīdas apvienojumiem. Prizmas, piramīdas un minētiem ķermeņiem līdzīgus veidojumus sauca par daudzskaldņiem.

Šajā nodaļā aplūkoti daudzskaldņu attēlošanas principi kompleksajās projekcijās un aksonometrijā, kā arī daudzskaldņa un plaknes šķēluma figūras un daudzskaldņu krustošanās līnijas konstruēšanas metodes. Aplūkota šķēluma laukuma īstā lieluma un ķermeņu virsmu izklājumu konstruēšana. Daudzskaldņa šķēlums ar plakni ir daudzstūris, bet daudzskaldņu krustošanās līnija ir telpiska lauzta līnija.

Šķēluma figūras virsotņu punkti ir dotā ķermeņa šķautņu un šķēlējplaknes krustpunkti, bet malas – daudzskaldņa skaldņu un šķēlējplaknes šķēluma taišņu nogriežņi. Daudzskaldņu krustošanās līnijas atrod, nosakot punktus, kuros viena ķermeņa šķautnes krusto otra ķermeņa skaldnes un otra ķermeņa šķautnes krusto pirmā ķermeņa skaldnes. Daudzskaldņu krustošanās līniju var noteikt arī kā abu daudzskaldņu skaldņu šķelšanās līniju apvienojumu.

Tādēļ daudzskaldņa un plaknes šķēluma, kā arī daudzskaldņu krustošanās līnijas noteikšana reducējas: 1) uz taisnes un plaknes krustošanās vai arī 2) uz divu plakņu šķelšanās uzdevuma daudzkārtēju risināšanu. Tā kā pirmā uzdevuma risinājums ir vienkāršāks, aplūkota tieši šī metode.

TĒMAS MĒRĶI

Apgūt daudzskaldņu projicēšanas uz plakni teorētiskos pamatus un iegūt iemaņas telpisko uzdevumu risināšanā ar daudzskaldņu ortogonālo projekciju palīdzību.

Apgūstot šo tēmu students:

• zinās daudzskaldņu nosaukumus, iemācīties atšķirt dažādas prizmas

un piramīdas pēc to projekcijām; • pratīs uzrasēt daudzskaldņu kompleksās projekcijās, konstruēt pēc

divām projekcijām trešo; • pratīs konstruēt punktu uz daudzskaldņu virsmām; • pratīs noteikt šķēluma figūras formu, konstruēt šķēluma līniju

projekcijās un noteikt šķēluma laukuma patieso lielumu ar plakņu maiņas vai pagriešanas metodi;

• izpratīs šķēluma laukuma redzamības noteikšanas nosacījumus un pratīs noteikt redzamību projekcijās;

• zinās daudzskaldņu krustošanās līnijas konstruēšanas paņēmienu un prast konstruēt krustošanās līniju divās vai trīs projekcijās.



3

1. DAUDZSKALDŅU ATTĒLOŠANA

Par daudzskaldni sauc ķermeni, kas no visām pusēm ierobežots ar plakaniem daudzstūriem, kurus sauc par tā skaldnēm. Daudzskaldņa divu blakus skaldņu krustošanās līniju sauc par tā šķautni. Par daudzskaldņa virsotni sauc tā triju vai vairāku šķautņu krustpunktu ( 1. att.).

Pie daudzskaldņiem pieskaitāms paralēlskaldnis, kubs, prizma, piramīda, Platona ķermeņi u. c.

Skaldne

Virsotne

Skaldne Šķautne

1. att.

1.1. Paralēlskaldnis

Paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri; tā atsevišķs gadījums ir kubs, kad skaldnes veido kvadrātu. 2. attēlā parādīts paralēlskaldnis, kas novietots trīsplakņu kaktā, un tā projekcijas uz attiecīgajām plaknēm.

Konstruēsim paralēlskaldņa uzskatāmo attēlu un viņa projekcijas uz projekciju plaknēm pēc dotiem izmēriem a, b, c un paralēlskaldņa virsotnes A koordinātām X, Y, Z

1. Konstruēsim punkta A primāro un trīs sekundāras projekcijas. 2. Uzrasējam taisnstūri ar garumu a un platumu b tā, lai garākās malas būtu

paralēlas asij OX. Šis taisnstūris būs paralēlskaldņa apakšējā pamatne. 3. No taisnstūra virsotnēm novelkam perpendikulus pret pamatnes plakni un

atliekam uz tiem augstumu c. Savienojot iegūtos punktus, dabūjam augšējo paralēlskaldņa pamatni.

4. Lai konstruētu paralēlskaldņa ortogonālās projekcijas, ir jākonstruē virsotņu projekcijas un tad tās jāsavieno ar taisnēm (šķautnēm).

Divas paralēlskaldņa pamatnes paralēlas horizontālajai projekciju plaknei Π1, tādēļ tās projicējas uz Π1 savā īstajā lielumā ar garumu a un platumu b. Bet frontālajā un profilajā projekciju plaknē projicējas kā taisne, kas paralēla projekciju asīm OX un OY. Divas sānu skaldnes ir paralēlas frontālajai projekciju plaknei Π2, tādēļ to projekcijas uz šo plakni ir četrstūri savā īstajā lielumā ar garumu a un augstumu c. To horizontālās un profilās projekcijas ir taisnes, kuras ir paralēlas projekciju asīm un vēl



4

divas sānu skaldnes paralēlas profilajai projekciju plaknei Π3, kuras projicējas uz Π3 kā četrstūri savā īstajā lielumā ar platumu b un augstumu c.

A

A1

ac

b

c

b

A 2

a

Z

Y

X

Π

Π

Π1

2

3

A3

2. att.

Lai pārietu no paralēlskaldņa uzskatāmā attēla uz komplekso rasējumu,

pagriežam plakni Π1 ap asi OX un plakni Π3 ap asi OZ līdz tās savietojas ar plakni Π2. 3. a. attēlā paralēlskaldnis ir parādīts trīsprojekciju kompleksā rasējumā.

Z X

c

a

a

b

b

c

Y

c

b

c

a

b

a2A

2A

2A

2A

2A

2A

3. a. att. 3. b. att.

Ja nav svarīgi uzrādīt attēlojamā priekšmeta attālumu līdz projekciju plaknēm,

tad kompleksā rasējumā projekciju asis neparāda, bet saglabā vienīgi pareizu projekciju sakarību t. i., frontālo un horizontālo projekciju vienmēr novieto vienu zem otras, bet frontālo un profilo projekciju vienmēr attēlo vienādā līmenī. Tādā gadījumā y koordinātas pārnešanai no horizontālās uz profilo projekciju lieto taisni 45o slīpumā pret projekciju kārtotājām līnijām, kā parādīts 3. b attēlā.

Attēlojot telpas ķermeņus plaknē, vispirms jāizvēlas ķermeņa stāvoklis attiecībā pret projekciju plaknēm, pie tam tāds, lai ķermeņa raksturīgās īpatnības un izmēri attēlotos nesagrozīti un pēc iespējas skaidrāk parādītu tā veidu un izmērus.



5

1.2. Prizma

Taisnu prizmu no divām pusēm ierobežo vienādi, paralēlās plaknēs novietoti daudzstūri, bet no parējām pusēm – taisnstūri. Daudzstūrus sauca par prizmas pamatnēm, bet taisnstūrus – par sānu skaldnēm. Prizmas mēdz būt trīsstūra, četrstūra, piecstūra utt. atkarībā no tā, kāda figūra veido prizmas pamatni.

2A BC ≡A 3 3B C322

≡A B 33 C3

≡C1 C 1

≡ 1 ≡ 1A B1B

CA B2 22

1A

4. att.

Konstruēsim komplekso rasējumu regulārai taisnai trīsskaldņu prizmai ar augstumu H, kuras pamats ir regulārs trīsstūris, kas ievilkts riņķa līnijā (4. att.).

1. Novelkam riņķa līniju un tajā ievelkam regulāru trīsstūri ABC. Šis trīsstūris arī būs prizmas horizontālā projekcija (virsskats). Tā kā prizmas skaldnes un prizmas šķautnes perpendikulāras plaknei Π1, tad trīsstūra katra mala ir skaldnes horizontālā projekcija un trīsstūra katra virsotne – prizmas šķautnes horizontālā projekcija.

2. Tagad konstruēsim prizmas frontālo projekciju (pretskatu). No katras virsotnes horizontālas projekcijas novelkam vertikālas kārtotājas taisnes. Prizmas pamatne ir horizontāla līmeņa plakne, frontālajā un profilajā projekciju plaknē attēlojas kā horizontālas taisnes. Pamatnes frontālo projekciju A2 B2 C2 novelkam kaut kādā attālumā no prizmas horizontālās projekcijas. Atliekam uz augšu prizmas augstumu un iegūstam prizmas frontālas projekcijas augšējo pamatni A2

l B2l C2

l. 3. Pēc prizmas divām projekcijām konstruējam tās trešo - profilo projekciju

uz plakni Π3.



6

A

3

3A

A

2 2B

2

VV

V

C

1

1

B

C

1

B

2C

V1

B 11A

C

1

1 B 1

1 B 1 B 1 11

V 2 V 3

A

C

C

1V

CA 1A

5. a. att. 5. b. att.

1.3. Piramīda Par piramīdu sauc daudzskaldni, kura pamatne ir daudzstūris, bet sānu

skaldnes – trīsstūri ar kopēju virsotni. Atkarībā no pamatnes formas piramīdas var būt trīsstūra, četrstūra, piecstūra utt. Piramīdu sauc par regulāru, ja pamatne ir regulārs daudzstūris, bet sānu skaldnes – vienādsānu trīsstūri. Regulāras piramīdas augstums iet caur pamatnes centru.

Ja piramīdu nošķeļ ar plakni, kas paralēla trīsstūra pamatnei, un augšējo daļu atmet, iegūst nošķeltu piramīdu, kurai ir divas pamatnes - augšējā un apakšēja. Šīs pamatnes ir līdzīgi daudzstūri; to attiecīgās malas ir paralēlas. Nošķeltas piramīdas skaldnes ir trapeces. 5. a. attēlā parādīta trīsstūra piramīda uzskatāmajā attēlā.

Konstruēsim regulāras trīsstūra piramīdas ortogonālās projekcijas bezasu kompleksajā rasējumā ( 5. b. att.).

1. Plaknē Π1 novelkam riņķa līniju, ievelkam tajā regulāru trīsstūri ABC un ar taisnām līnijām savienojam trīsstūra virsotnes ar riņķa līnijas centru V. Iegūtā figūra plaknē Π1 arī būs piramīdas horizontāla projekcija. Trīsstūris A1 B1 C1 būs piramīdas pamatnes horizontālā projekcija, punkts V1 piramīdas virsotnes horizontālā projekcija, bet taisnes A1V1, B1V1, C1V1- piramīdas šķautņu horizontālās projekcijas.

2. Piramīdas pamatne ir horizontāla līmeņa plakne. Pamatnes frontālā projekcija ir horizontāla taisne, uz kuras ar kārtotāju palīdzību iegūstam pamatnes frontālo projekciju A2 B2 C2 .

3. Piramīdas virsotnes attālums no pamatnes patiesā lielumā redzams frontālajā un profilajā projekciju plaknē, jo piramīdas augstums ir paralēls šīm projekciju plaknēm. Novelkam caur punktu V1 vertikālu līniju, atliekam uz tās no pamatnes frontālas projekcijas A2 B2 C2 uz augšu piramīdas augstumu un dabūjam punktu V2 , kas būs piramīdas virsotnes frontālā projekcija. Savienojot frontālā projekcija punktu V2 ar punktiem A2 B2 un C2 iegūstam piramīdas frontālo projekciju.

4. Piramīdas profilo projekciju konstruējam, izmantojot tās horizontālo un frontālo projekciju.



7

Kontroljautājumi. Kas ir daudzskaldnis? Kādi ir daudzskaldņu veidi? Nosauciet raksturīgākās daudzskaldņu pazīmes un elementus. Kā konstruē prizmas un piramīdas projekcijas?

2. PUNKTI UN LĪNIJAS UZ DAUDZSKALDŅA VIRSMAS

Konstruējot ķermeņa atsevišķu elementu projekcijas, svarīgi prast visās

ķermeņa projekcijās atrast uz tā virsmas esošo punktu, taišņu un līniju projekcijas. Šāda prasme ir nepieciešama arī telpiskā priekšstata veidošanai par priekšmetu pēc tā attēla plaknē, kā arī priekšmeta attēlu pareizības kontrolei.

Visas ķermeņu virsmas dalās divās grupās: virsmas, kas ir perpendikulāras pret kādu no projekciju plaknēm un tāpēc attēlojas tajās kā līnijas, un vispārīga stāvokļa virsmas, kuras nav ne paralēlas, ne perpendikulāras pret kādu no projekciju plaknēm un visās projekciju plaknēs attēlojas kā figūras sagrozītā lielumā.

Pirmajā gadījumā uz virsmas esošie punkti vai līnijas, kas dotas vienā projekcijā, vispirms jāatrod tajā projekcijā, kurā virsma attēlojas kā līnija, bet pēc tam - atlikušajā projekcijā ar kārtotājtaišņu palīdzību, kuras novelk no divām zināmajām projekcijām.

Otrajā gadījumā caur punktu, kas atrodas uz virsmas un ir dots vienā projekcijā, jānovelk uz ķermeņa virsmas palīglīnija un jākonstruē tās projekcijas abās pārējās projekciju plaknēs. Pēc tām jāatrod dotā punkta projekcijas kā virsmas palīglīnijai piederoša punkta projekcijas novelkot attiecīgās kārtotājtaisnes.

y

z

x

3N

D 2

N 2

1N

N2N3

N

≡ ≡B≡B 2 2F≡

≡2 2C E 3 33 3

33

≡3 3≡B F3 3≡B F3 3 F E≡3 3

≡B 3 3CA D

A DF E C

2A 2D

A 2

1N

≡1 1

≡1 1

≡1 1≡1 1

≡1 1

≡ BB1 1

A A

F F E E

D D

C C 6. att.

6. attēlā parādītas taisnas sešstūra prizmas projekcijas un uz tās skaldnes

esošā punkta N frontālā projekcija A2, kas ir redzama. Tā kā prizmas skaldnes horizontālajā projekciju plaknē attēlojas kā taisnes, kuras sakrīt ar prizmas pamata



8

malām, un punkts N frontālajā projekcijā ir redzams, tad tā horizontālā projekcija N1 atrodas taisnes A1 B1 un caur punktu N2 novilktās vertikālās kārtotājas krustpunktā. Punkta N profilo projekciju N3 atrod kā projekciju kārtotājtaišņu krustpunktu, kuras vilkti caur punktiem N2 un N1 .

Tagad konstruēsim punktu M, kas pieder piramīdas skaldnei AVC, horizontālo un profilo projekciju, ja dota šī punkta frontālā projekcija M2 ( 7. att.).

M

M

2

≡B3 3A

A1 1

1

12

13

3

B

C

11

2 2 2 21 C B

2V V

A

2

2

C

3 3 3M2 3

31 3

23

M

M

M

M1

23

7. att.



9

Šim nolūkam plaknē Π2 caur punktu M2 novelkam taisni 22 32, kas paralēla

malai AC; punkta 2 projekcija plaknē Π1 ir 21 uz taisnes A1V1. Caur 21 novelkam taisni 21 31 paralēli A1 C1. Pēc tam projicējam punktu M no plaknes Π2 uz taisni A1 C1. Iegūstam M1, kurš arī būs punkta M horizontālā projekcija. Punkta M profilo projekciju konstruējam parastajā kārtībā – pēc tā horizontālās un frontālās projekcijas. Var izmantot arī palīglīniju V 1.

Kontroljautājumi. Kādu principu izmanto, lai konstruētu punktu projekcijas uz daudzskaldņu virsmām? Kā konstruē prizmas virsmai piederošus punktus vai līnijas visās projekcijās, ja tie doti tikai vienā projekcijā? Kā konstruē piramīdas virsmai piederošus punktus vai līnijas visās projekcijās, ja tie doti tikai vienā projekcijā?

3. DAUDZSKALDŅU ŠĶELŠANA

3.1. Pamatjēdzieni par ģeometrisku ķermeņu šķelšanu

Daudzām mašīnu un mehānismu detaļām ir nošķeltu ģeometrisku ķermeņu forma. Izpildot mašīnu detaļu rasējumus, nereti nākas konstruēt šādu šķēlumu projekcijas.

Šķeļot ķermeņa virsmu ar plakni, veidojas noslēgta lauzta līnija – šķēluma līnija. Plaknes figūru, kuru iegūst, priekšmetu iedomāti šķeļot ar plakni, sauc par šķēlumu.

Daudzskaldņa šķēlums ar plakni ir daudzstūris, kura virsotnes ir daudzskaldņa šķautņu krustpunkti ar šķēlējplakni, bet malas – daudzskaldņa skaldņu un šķēlējplaknes šķēluma taišņu nogriežņi.

Tādēļ daudzskaldņa un plaknes šķēluma noteikšana reducējas uz taisnes un plaknes krustošanās vai arī uz divu plakņu šķelšanās uzdevuma daudzkārtēju risināšanu. Tā kā pirmā uzdevuma risinājums ir vienkāršāks, tad parasti, konstruējot daudzskaldņa šķēlumu, konstruē šķēluma virsotnes kā daudzskaldņa šķautņu krustpunktus ar šķēlējplakni. Pēc šķēluma virsotņu konstruēšanas jāsavieno ar taisnes nogriežņiem katras divas virsotnes, kas atrodas vienā un tajā pašā daudzskaldņa skaldnē. Pie tam tās šķēluma malas, kas atrodas redzamās skaldnēs būs redzamas, bet tās, kas atrodas neredzamās skaldnēs, neredzamas.

Aplūkosim taisnes un plaknes un divu plakņu šķelšanās – uzdevumus.

3.2. Taisnes un plaknes krustošanās

Ja plakne vai taisne ir projicētājā stāvotnē, tad krustpunkta viena projekcija ir redzama un jānosaka tikai otra projekcija.

Vispārīgas stāvotnes taisnei, krustojoties ar speciālas stāvotnes plakni (projicējošu vai līmeņa plakni), risinājums ir acīm redzams tajā projekciju plaknē, kur dotā plakne attēlojas lineāri. Krustpunkta otru projekciju atrod ar kārtotājas līnijas palīdzību (uz taisnes otrās projekcijas).



10

A1

C 1

B 1

a 1

K1

K

C

B

aA

Π1

A 2

A1

B 1

B2

C 1

C2

K1

K2

a 1

a2

x12

K

8. att.

Ja vispārīgas stāvotnes taisne a krustojas ar horizontāli projicējošu plakni ABC

(att. 8) risinājums ir acīm redzams horizontālajā projekciju plaknē: K1 = a1 ∩ A1B1C1. Krustpunkta frontālu projekciju atrod ar kārtotājas līnijas palīdzību: K2 = K1K2 ∩ a2.

Ja horizontāli projicējoša taisne a krustojas ar vispārīgas stāvotnes plakni ABC (att. 9), tad krustpunkta viena projekcija sakrīt ar taisnes punktveida projekciju K1 ≡ a1, bet otru projekciju konstruē ar palīgtaisni 12: velk 1121 caur K1; 12=1112∩A2C2; 22=2122∩B2C2; velk 1222; K2=1222∩a2.

A1

B1

C1

a2

B2

A 2 C2

21

11

22

12

K 2

a ≡1 K1

A1

C1

a

A

B

11

21

2

B1

1

C

a ≡1 K1

Π 1

K

9. att.

Vispārīgas stāvotnes taisnes a un vispārīgas stāvotnes plaknes ABC

krustpunkta noteikšanai (10. att.) izmantosim palīgplaknes metodi. Palīgplaknes metode ir universāla metode divu ģeometrisku elementu krustošanās punktu vai līniju noteikšanai. Tās būtība ir sekojoša:

1. caur doto taisni a velk projicējošu palīgplakni Σ. Palīgplakni izvēlas vai nu horizontāli projicējošu, vai nu frontāli projicējošu;



11

2. nosaka palīgplaknes Σ un dotās plaknes ABC šķēluma taisnes 12 projekcijas: 1121=Σ1∩A1B1C1; 12=1112∩A2C2; 22=2122∩B2C2;

3. nosaka dotās taisnes un šķēluma taisnes 12 krustpunktu, kas ir meklētais krustpunkts: K2=1222∩a2; K2K1∩1112;

4. nosaka redzamību: frontālajā projekcijā no divām taisnēm a un AC būs redzama mala AC (A2C2). Taisne a līdz punktam K būs neredzama, jo salīdzinot šo taišņu horizontālas projekcijas, redzam, ka mala AC atrodas tuvāk, nekā taisne a. No divām taisnēm a un AC plaknē Π1 būs redzama taisne a līdz punktam K1, jo salīdzinot taišņu a un AC frontālas projekcijas, redzam, ka taisne a atrodas augstāk nekā mala AC.

10. att.

Kontroljautājumi. Kādas šķēluma figūras var iegūt, šķeļot daudzskaldņus ar plakni? Kā atrast taisnes un plaknes krustpunktu, ja plakne vai taisne ir projicētājā stāvotnē? Kādas metodes lieto vispārīgas stāvotnes taisnes un vispārīgas stāvotnes plaknes krustpunkta noteikšanai?

3.3. Prizmas šķelšana ar plakni

Jebkuru daudzskaldni šķeļot ar plakni, šķēlumā iegūsim figūru – daudzstūri. Daudzstūrim būs tik daudz virsotņu, cik šķautnes dotā plakne šķeļ.

Ja šķēlējplakne ir projicējošā stāvotnē, tad viena šķēluma projekcija rasējumā vienmēr jau ir redzama – tā attēlojas kā taisne un sakrīt ar šķēlējplaknes lineāro projekciju. Atliek apzīmēt šķēluma figūras virsotnes (uz katras šķautnes pa punktam) un atrast šo virsotņu pārējās projekcijas, izmantojot kārtotājas, palīgtaisnes vai proporcionālo dalīšanu (atkarībā no situācijas).

Šķēluma figūras īsto lielumu var noteikt, pārveidojot to līmeņa stāvotnē. To var izdarīt ar plakņu maiņas un pagriešanas metodēm. Kuru no metodēm katrā gadījumā lietot, students drīkst izvēlēties pats.

22

A 1 C 1

2 1

1 1 a 1

B 1

K 1

A 2

B 2 a 2

K 2

C 2 1 2

C 1

A

C

a1 1 1

A 1

1 Π

K 1

1 B

K 2

1

B Σ

a

1 2



12

Piemērs. Noteikt regulāras sešstūra prizmas šķēluma figūru ar frontāli projicējošo plakni Σ (11. att.).

Dotajā gadījumā šķēlējplakne ir frontāli projicējoša, tādēļ šķēluma figūras frontālā projekcija rasējumā jau ir redzama – tā sakrīt ar šķēlējplaknes lineāro projekciju prizmas projekcijas robežās. Vispirms apzīmējam prizmas šķautnes ar burtiem, lai vēlāk nekļūdītos, konstruējot šķēluma figūras virsotņu projekcijas. Prizmai pietiek apzīmēt šķautņu vienus galapunktus (t.i., prizmas pamatnes virsotnes). Šķēluma figūras punktus apzīmējam ar cipariem uz katras šķautnes pa punktiem: uz šķautnes A punktu 1, uz šķautnēm F un B attiecīgi 2 un 3 (frontālajā projekcijā šķautnes F un B sakrīt), uz prizmas augšējās pamatnes malām – 4 un 5 (šo abu malu frontālās projekcijas sakrīt). Dotajā gadījumā šķēlumā veidojas piecstūris. Punktu 1, 2, 3, 4 un 5 horizontālās un profilās projekcijas atrod ar kārtotāju palīdzību. Šķēluma figūras punktu horizontālās projekcijas sakrīt ar prizmas horizontālo projekciju.

≡1 21F

≡11A1

41 E1

1D

C 15 1≡1B 31

12

A 2

≡322 2

≡2 24 5

≡3 3CB ≡3A D3 ≡3 3EF2 2CE ≡≡ D3≡B2 2F 13

233 3

53 43

Σ2

Σ

3

2

4

1

5

11. att.

Redzamība jānosaka šķēluma figūras, t. i, šķēluma figūras malām un dotās ģeometriskās figūras elementiem visās trijās projekcijās. Jāatceras sekojošais:

1) nosakot redzamību horizontālajā projekcijā, uz doto ģeometrisko figūru jāskatās no augšas (iztēlojoties objekta stāvotni telpā);

2) nosakot redzamību frontālajā projekcijā – jāskatās no priekšpuses; 3) nosakot redzamību profilajā projekcijā – jāskatās no kreisās puses. Dotajā piemērā šķēluma figūra ir pavērsta pret skatītāju, tas nozīmē, ka visas

šķēluma figūras malas horizontālajā un profilajā projekcijās ir redzamas. Profilajā projekcijā šķēluma figūra aizsedz šķautnes D augšējo daļu, tādēļ tā jārasē ar svītrlīniju. Prizmas atšķeltā daļa parādīta ar tievo nepārtraukto līniju, zem šķēlējplaknes paliekošā daļa uzrasēta ar pamatlīniju.



13

Nošķeltas prizmas aksonometrisko attēlu konstruē ortogonālās izometrijas asu sistēmā. Prizmai piekārto aksonometrisko asu sistēmu tā, lai x ass ietu caur pamata virsotnēm A un D, y ass – caur prizmas pamata malām BC un EF viduspunktiem. Tad no pamata virsotnēm velk z asij paralēlas taisnes, uz kurām atliek šķautņu patiesos garumus no prizmas frontālās projekcijas.

Piemērs. Noteikt trīsstūra prizmas šķēluma figūru ar frontāli projicējošu plakni Ψ un tās patieso lielumu (12. att.).

Frontālajā projekcijā redzams, ka plakne Ψ prizmas sānu šķautnes krusto punktos 12, 22 un 32. Tādējādi šķēlumā veidojas trīsstūris, kura projekcija frontālajā projekciju plaknē ir līnija, kas sakrīt ar šķēlējplaknes lineāro projekciju, bet horizontālajā projekciju plaknē tā sakrīt ar prizmas projekciju. Konstruēsim šķēluma profilo projekciju, pārnesot ar projekciju kārtotājām līnijām trīsstūra virsotņu projekcijas uz attiecīgajām prizmas šķautņu projekcijām. Visas trīs šķēluma projekcijas ir sagrozītas, jo šķēlējplakne nav paralēla nevienai no projekciju plaknēm.

P L.P.

≡1 11A

≡1 1B 2

≡1 1C 3

10

02

30

B

23

22

12

≡A3 3C B3

23

31

33

ψ

12

3

x12

≡ψ 2x 24

n

n 2 22A C

12. att.

Šķēluma figūras patieso lielumu var noteikt ar projekciju plakņu maiņas

paņēmienu. Horizontālo projekciju plakni Π1 nomaina ar jaunu plakni Π4, pie tam konstrukcijas vienkāršošanas nolūkā pieņem, ka jaunā ass x24 sakrīt ar Ψ2. No punktiem 12, 22 un 32 velk projekciju asij x24 perpendikulāras līnijas. Uz tām no x24 ass atliek attiecīgi punktu 1, 2 un 3 attālumus no x12 ass, piemēram, punktam 1 – attālumu n. Savienojot atrastos punktus 1o, 2o un 3o, iegūst šķēluma figūras patieso lielumu un formu.

Nošķeltas prizmas aksonometrisko attēlu konstruē ortogonālās izometrijas asu sistēmā. Prizmai piekārto aksonometrisko asu sistēmu tā, lai x ass ietu caur pamata virsotnēm A un C, y un z ass – caur prizmas pamata punktu C. Tad no pamata virsotnēm A un B velk z asij paralēlas taisnes, uz kurām atliek šķautņu patiesos garumus no prizmas frontālās projekcijas.



14

3.4. Piramīdas šķelšana ar plakni Piemērs. Konstruēt trīsstūra piramīdas šķēluma figūru ar horizontāli projicējošu plakni θ.

Neregulāru trīsstūra piramīdu šķeļ horizontāli projicējoša plakne θ, t.i., plakne, kas perpendikulāra horizontālajai projekciju plaknei Π1. 13. attēlā ir parādīta šķēlējplaknes horizontālā šķēlumlīnija θ1. Konstruējot šķēlumu horizontāli projicējošas šķēlējplaknes gadījumā, jāatceras, ka plaknes figūra (šķēlums), kas atrodas šajā plaknē, attēlojas horizontālajā projekciju plaknē vienmēr kā taisne, kura sakrīt ar šķēlējplaknes lineāro projekciju θ1. Tādējādi pēc šķēluma horizontālās projekcijas var konstruēt tā frontālo projekciju. Šīm nolūkam uz horizontālās projekciju plaknes atzīmētiem šķēluma atsevišķiem punktiem 11, 21 un 31 atrod frontālajā projekcijā atbilstošos punktus 12, 22 un 32, un savieno tos noteiktā secībā. Punktu 1 un 3 frontālās projekcijas atrod ar kārtotāju palīdzību, bet punkta 2 – ar palīgtaisnes palīdzību, kura ievilkta skaldnē AVC paralēli tās malai AC: 21N1A1C1; 22N2A2C2

A 1

B1

C1

1V

11

21

31

22 23

C3

1V

θ

A 2

3

2

1

1

2N

1N

12 2C 23 2B ≡A3 3B 13 33

1V

13. att.

Tā kā šķēluma figūra pavērsta pret skatītāju, tā gan frontālajā, gan profilajā

projekcijā visa ir redzama. Visas trīs šķēluma projekcijas ir sagrozītas, jo šķēlējplakne nav paralēla nevienai no projekciju plaknēm.

Punktu 22 var atrast, konstruējot to profilajā projekcijā un tad ar horizontālo kārtotāju palīdzību atrast to frontālajā projekcijā. Nošķeltas piramīdas aksonometrisko attēlu konstruē ortogonālās dimetrijas asu sistēmā.



15

11

21

31

41

51

61

21 ≡22

2≡2≡

2

2

Σ 2

6

13

3

3543

33

23

A1

B1

C

D

1

1

1V

≡B ≡ ≡ 3 ≡3 3 ≡3 3C2 2 2 2 E2 F B F C E DA 33

2

27

7

1E

1F

D A

6 35 4

3V2 V

6

45

2

3

1

14. att.

Ar frontāli projicējošu plakni Σ nošķeltas taisnas regulāras sešstūra piramīdas

projekcijas ir aplūkojamas 14. attēlā. Tāpat kā iepriekšējos piemēros, piramīdas šķēluma figūras frontālā projekcija sakrīt ar šķēluma plaknes lineāro projekciju Σ2.

Piramīdas šķēluma figūras horizontālo un profilo projekciju konstruē pēc šķēlējplaknes un piramīdas šķautņu krustpunktiem. Punktu 3 un 6 horizontālās projekcijas iegūst, velkot no frontālajām projekcijām 32 un 62 horizontālas projekciju kārtotājas un atrod punktu profilās projekcijas 33 un 63. No tām ar projekciju kārtotājām uz attiecīgām piramīdas šķautnēm horizontālajā plaknē atrod punktu projekcijas 31 un 61. Punktu 3 var atrast ar palīgtaisnes 3 7 palīdzību, kuru var ielikt skaldnē AVF paralēli tās malai AF.

Dotajā piemērā šķēluma figūra ir pavērsta pret skatītāju. Horizontālajā un profilajā projekcijās tā ir redzama. Profilajā projekcijā šķēluma figūra aizsedz šķautņu BV un EV augšējo daļu, tādēļ tās jārasē ar svītrlīniju. Piramīdas atšķeltā daļa parādīta ar tievo nepārtraukto līniju, zem šķēlējplaknes paliekošā daļa uzrasēta ar pamatlīniju.



16

Kontroljautājumi. Kā konstruē daudzskaldņa šķēlumu ar projicējošu plakni? Ja šķēlējplakne ir projicējoša, kā nosaka šķēluma līnijas raksturīgo punktu (šķēluma daudzstūra virsotnes) projekcijas? Kā konstruē šķēluma figūru prizmai, kas ir perpendikulāra pret kādu no projekciju plaknēm? Kā noteikt šķēluma figūras redzamību projekcijās? Ar kādam paņēmieniem var noteikt šķēluma figūras patieso lielumu?

3.5. Prizmas šķelšana ar trim plaknēm

2

3

7118

1 21

1

165

31

3

3

43

5 3

3

7 356

4

3 2 72

2 2

1

2

7

8

2 3

1 38382

5 6

1 2

2

11

4

2

15. att.

15. attēlā trīsstūra prizmai ar projicējošām plaknēm atšķelta ķermeņa kāda daļa.

Konstruēsim prizmas trīs projekcijas, kurās parādīsim arī neredzamās ķermeņa un šķēluma līnijas. Prizmas atšķelto daļu projekcijās attēlo ar šaurām līnijām (16. att.). Uzdevuma atrisinājums parādīsim rasējumos pa posmiem un dosim katra posma izpildīšanas aprakstu.



17

1. Posms. Trešās projekcijas konstruēšana (17. att.). Lai nekļūdītos, konstruējot šķēluma figūras virsotņu projekcijas, jāapzīmē prizmas šķautņu galapunkti (prizmas pamatņu galapunkti) A, B, C un Aı, B ı, C ı. Trešās projekcijas konstruēšanai nav obligāti jāizmanto projekciju asis. Jebkurā attālumā pa labi no frontālas projekcijas novelk prizmas šķautņu AAı un BB ı profilo projekciju. Profilās projekcijas platuma izmērus dabū no horizontālas projekcijas, izmērot attiecīgos attālumus Y ass virzienā vai izmantojot rasējuma pastāvīgo taisni.

2. Posms. Šķēluma projekciju konstruēšana (18. att.). Dotajā gadījumā

šķēlējplaknes ir frontāli projicējošas, tādēļ šķēluma figūras frontālā projekcija rasējumā ir redzama – tā sakrīt ar šķēlējplakņu lineārām projekcijām Σ2, Ω2, θ2. Apzīmējam uz katras šķautnes pa punktam: uz šķautnes AAı punktu 12, uz šķautnes CC ı punktu 42, uz prizmas augšējas pamatnes malām – 52 un 62 (šo abu malu frontālas projekcijas sakrīt). Šķēlumā veidojas trīs figūras: Plaknē Σ trīsstūris 1-2-8, plaknē Ω – četrstūris 2-3-7-8 un plaknē Σ – piecstūris 3-4-5-6-7 (uzskatāmais attēls). Punkti 2,3 atrodas uz prizmas skaldnes AAıC ıC. Punkti 7, 8 pieder skaldnei AAıB ıB.

≡ 11 ≡ BB 11

≡

≡B

≡ B

A A

C C

A

A

3 3

3 3

B

BBBB

BAC2 2

2

2 2 2 3

3

16. att. 17. att.



18

≡ 117 8 ≡ 11 BB≡ 1 ≡ 11A A 1

≡ 113 21

1

5

6

≡ 1 ≡ 11C C 4

2 2 B 2 ≡BCA A

4

1≡ 22

≡23 7

2 8

2 B 2CA ≡ 22 65 ≡B 333 CA

3 3

2

2

2

3C

2

Θ2

Σ 2

Ω2

C'B'

AA'B'BA'B'

AA'C'CAA'

CC'

1 ∈2; 3 ∈4 ∈5 ∈6 ∈7; 8 ∈

18. att. Risinājuma 2. posms

3. Posms. Punktu horizontālās projekcijas atrod ar kārtotāju palīdzību. Pēc katra punkta divām projekcijām konstruē punkta trešo projekciju (19. att.). Redzamības noteikšana. Redzamība jānosaka šķēluma figūrai un dotās prizmas elementiem visās trijās projekcijās. Dotajā piemērā divās projekcijās šķēluma figūra ir pavērsta pret skatītāju, tas nozīmē, ka visas šķēluma figūras malas projekcijās ir redzamas. Prizmas atšķelto daļu projekcijās attēlo ar šaurām līnijām, prizmas atlikušo daļu projekcijās attēlo ar biezām līnijām.



19

≡ 117 8 ≡ 11 BB≡ 1 ≡ 11A A 1

≡ 113 21

1

5

6

≡ 1 ≡ 11C C 4

2 2 B 2 ≡BCA A

4

1≡ 22

≡23 7

2 8

2 B 2CA ≡ 22 65 ≡ ≡ B 3 3333 CA6

4

3

2

7

3 3

≡3 3

3

3

8 7

5

2

2

2

3

3

3C

2

19. att. Risinājuma 3. posms

Kontroljautājumi. Kādas šķēluma figūras var iegūt, šķeļot daudzskaldņus ar dažādām plaknēm? Kāda secība ir šķēluma figūras konstruēšanai?

3.6. Izgriezumu konstruēšana

Konstruējot tehniskās detaļas, bieži vien tajās ir jāizveido dažādi izgriezumi. Izgriezumu veido divas, trīs vai vairākas plaknes. Tehniskā detaļa veidota no ģeometriskiem pamatķermeņiem. Apgūstot izgriezumu konstruēšanu ģeometriskos pamatķermeņos var sekmīgi veidot izgriezumus jebkurā tehniskā detaļā.

20. attēlā ir paradīts prizmatisks ķermenis, kuram izgriezumu veido trīs plaknes, kas perpendikulāras frontālajai projekciju plaknei. Šāda izgriezuma rezultātā prizmas sānu skaldnēs izveidojas izgriezuma līnija, kuras virsotnes prizmas labajā skaldnē apzīmētas ar punktiem 1, 2, 3 un 4. Tā kā prizmas sānu skaldnes ir perpendikulāras pret profilo projekciju plakni un attēlojas tajā kā taisnes, punktu profilās projekcijas 13, 43, 23 un 33 atrodas uz vienas taisnes, pie tam punktu 1 un 4, un 2 un 3 profilās projekcijas sakrīt, jo tie atrodas vienādā līmenī. Punktu 1, 2, 3 un 4 horizontālās projekcijas atrod kā projekciju kārtotāju krustpunktus, kuri vilkti caur šo punktu frontālajām un profilajām projekcijām.



20

Ω

Σ

Λ2

2

2

22 ≡ 22 ≡

22 ≡ 22 ≡

1 8 4 5

2 7 3 6

≡3 3 ≡3 3

≡23 3≡3 3

58

7 6

1 4

3

1

1

1

1

1

1

1

1

2 3

58

7 6

14

1

4

2

3

20. att.

Tādi paši punkti kā prizmas labajā sānu skaldnē veidojas arī tās kreisajā sānu skaldnē, un to projekciju konstruēšana ir pilnīgi analoga punktu 1, 2, 3 un 4 projekciju konstruēšanai. Savienojot visus šos punktus ar taisnes nogriežņiem atbilstoši izgriezuma veidojumam, iegūstam izgriezuma attēlus pārējās prizmas projekcijās.

21. attēlā ir parādīta taisna regulāra trīsstūra piramīda, kurai izgriezumu veido

divas plaknes, kas perpendikulāras frontālajai projekciju plaknei. Piramīdas sānu skaldnēs izveidojas izgriezuma līnija, kuras virsotnes apzīmētas ar punktiem 1, 2, 3, B, A un 4. Izgriezuma līnija ir telpiska noslēgta lauzta līnija. Punkti 4, 1, 2 un 3 atrodas šķēlējplaknē Κ, punkti 4, A, B un 3 pieder šķēlējplaknei Σ. Punkti 4 un 3 ir kopīgi punkti abām divām plaknēm Σ un Κ, un sakarā ar to atrodas uz abu plakņu krustošanās līnijas.



21

1V

V V2 3

≡ B

1

B1

2 2 3 3 3

A

C A C

≡2 23 4

12

11

31

4 1

15 1C

2334 33Σ ≡2 2 25 1 3

B A 2

2 12

2Κ

A

B

1 3

4

2

21. att.

4. DAUDZSKALDŅU KRUSTOŠANĀS

Izpildot detaļu rasējumus, bieži jākonstruē daudzskaldņu krustošanās līnija. Atkarībā no daudzskaldņu savstarpējā novietojuma visus krustošanas gadījumus var iedalīt divās grupās: 1) viens daudzskaldnis otru krusto pilnīgi; 2) daudzskaldņi krustojas daļēji. Pirmajā gadījumā veidojas divas atsevišķas, noslēgtas krustošanās līnijas. Otrajā gadījumā veidojas tikai viena noslēgta krustošanās līnija.

Ja abi krustojošies ķermeņi ir daudzskaldņi, tad to krustošanās līnija, ir lauzta telpas līnija, kas savieno punktus, kuros viena daudzskaldņa šķautnes krusto otra daudzskaldņa skaldnes un otrā daudzskaldņa šķautnes krusto pirmā daudzskaldņa skaldnes. Lauztas līnijas atsevišķie posmi ir daudzskaldņu skaldņu krustošanās līnijas. Krustošanās līniju var konstruēt kā pēc krustošanās punktiem, tā arī pēc tās



22

atsevišķiem posmiem. Šos paņēmienus var lietot arī kombinēti. Ja daudzskaldņu krustošanās līniju konstruē pēc šķautņu un skaldņu krustošanās punktiem, tad uzdevumu atrisināšana reducējas uz taisnes un plaknes krustpunkta atrašanu.

4.1. Divu prizmu krustošanās līnijas konstruēšana

2

1

3

4

6

7

8

5B

A

C

E

D

F

G

B 2 B

12

1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

3

E 3F 3

4

1

3 56

7 8

A B C

≡ 33 ≡ 33 ≡ 33

≡ ≡≡

≡

≡ 33

≡

≡ 3≡ 33 ≡ 3≡ 33

≡≡ ≡≡2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2D G 2 3 7 6

A 1 4 C 8 5

E F

G F

D E 11

11

4 5 1 8 A C

G 3 6 D 2 7

22. att. Taisnas četrstūra prizma krustošanās ar trīsstūra prizmu.

22. attēlā parādīta divu prizmu krustošanās līnija 1-2-3-4-5-6-7-8-1. Konstrukcija

saprotama pēc rasējuma. Četrstūra prizmas šķautnes D un G krustojas ar trīsstūra prizmas skaldnēm punktos 2, 3 un 7, 6. Tadu punktu frontālās projekcijas var atzīmēt frontālajā projekciju plaknē, tāpēc ka trīsstūra prizmas skaldnes ir frontāli projicējošas plaknes. Punktu horizontālās projekcijas uz attiecīgajam šķautnēm var atrast ar kārtotājas palīdzību.



23

2

2

≡

≡

≡B 33

≡ 33

≡ 33≡ 33

≡ 33C 4

D 62

E 7 A 1F 3 N 3

K 3 M33 35 3

≡ 52

≡

≡

≡ ≡

≡B

≡

≡ 52

≡2

1

1

1

1

1

≡ ≡ 222

≡ ≡ 222

1111

1111

1111

NMLKF

12A

C

D E 6 7

54

3

A E F 1 7

2 6B D2

K 3 5M

N

2

2

4

L3L

2

A

B

C

E

D

F

K

L

M

N1

3

4

56

7

2C

23 .att.

23. attēlā parādīta māja ar piebūvi. Jānosaka piebūves un mājas krustošanās līnijas. Krustošanās līnija ir noslēgta lauzta telpas līnija 1-2-3-4-5-6-7-1. Konstruēšanai var izvēlēties paņēmienu, kad jāatrod katra daudzskaldņa šķautņu reālos krustpunktus ar otra daudzskaldņa skaldnēm un tos pareizā secībā jāsavieno.

Piebūves šķautne C krusto mājas skaldni punktā 42. Šo punktu var redzēt frontālajā projekciju plaknē (mājas sienas ir frontāli projicējošas plaknes). Punkta 4 horizontālās un profilās projekcijas konstruēšana saprotama no rasējuma. Piebūves sienas ir profili projicējošas plaknes. Punktu 3 un 5 profilās projekcijas 33 un 53 jānosaka vispirms plaknē Π3 un pēc tām var atrast punktu horizontālās projekcijas 31 un 51. Ir jāatzīmē, ka krustošanas līnijas daļa 2-3 ir paralēla šķautnei CB, bet 5-6 – šķautnei CD, jo to horizontālās projekcijas ir paralēlas un tās abas atrodas vienā un tai pašā (piebūves jumta) plaknē. Krustošanās līnijas punkti sakrīt ar mājas projekciju frontālajā projekciju plaknē, bet ar piebūves projekciju – profilajā projekciju plaknē, jo mājas prizma ir frontāli projicējoša, bet piebūves prizma ir profili projicējoša.



24

Kontroljautājumi. Kādas līnijas veidojas pie daudzskaldņu virsmu šķelšanās? Kādas pamatmetodes lieto daudzskaldņu savstarpējās šķelšanās līnijas konstruēšanai? Kādā gadījumā veidojas divas atsevišķas noslēgtas krustošanās līnijas? Kādā gadījumā veidojas viena noslēgta krustošanās līnija? Kā noteikt krustošanās līnijas redzamību projekcijās?

DAUDZSKALDŅI - politeh.lv · lauzta līnija. Šķēluma figūras virsotņu punkti ir dotā...

Documents

Transcript of DAUDZSKALDŅI - politeh.lv · lauzta līnija. Šķēluma figūras virsotņu punkti ir dotā...