Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf ·...

30
Dasar Logika Matematika Week 5. Set and Venn Diagrams Oleh: Denny Ganjar Purnama, MTI

Transcript of Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf ·...

Page 1: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Dasar Logika Matematika

Week 5. Set and Venn Diagrams

Oleh: Denny Ganjar Purnama, MTI

Page 2: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Objective

• Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)

• Mahasiswa dapat memodelkan himpunandengan menggunakan diagram venn

Page 3: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

3

Definisi

• Himpunan (set) adalahkumpulan obyek

• Obyek di dalam himpunandisebut elemen, unsur, atauanggota.

• HIMA adalah contoh sebuahhimpunan, di dalamnya berisianggota berupa mahasiswa.Tiap mahasiswa berbeda satusama lain.

George Cantor (1845-1918) seorang matematikawan asalJerman. Ia adalah orangpertama yang menemukanteori himpunan

Page 4: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

4

• Satu set huruf (besar dan kecil)

Page 5: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

5

Cara Penyajian Himpunan

1. Penulisan anggotaSetiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku}- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }- C = {a, {a}, {{a},b} }- K = { {} } himpunan K mempunyai anggota himpunan kosong

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Page 6: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

6

Keanggotaan

Anggota himpunan ditulis dengan Simbol (elemen)

x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

ContohMisalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = {{}}Maka :

3 A{a, b, c} R{} K

Page 7: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

7

2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... }Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }Q = himpunan bilangan rasionalR = himpunan bilangan riilC = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkandengan U.Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalahhimpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Page 8: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

8

3. Notasi Pembentuk Himpunan

• Penulisan Anggota himpunan dibatasi oleh kurungkurawal braces { }, setiap anggota dipisahkan dengankoma

• Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

ContohA adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5Jawab :A = { 1, 2, 3, 4}

Atau penulisan dengan notasi :A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau bisa juga ditulis dengan bentuk seperti ini :A = { x | x P, x < 5 }

Page 9: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

9

4. Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},A = {1, 2, 3, 5} danB = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

John Venn (4 Ags 1834 -4 Apr 1923) seorang matematikawan, ahli logikadan filsuf asal Inggris yang menemukan diagram Venn. Denganmenggunakan diagram Venn ini, relasiantar himpunan menjadi lebih mudahdipahami. Ia yang memperkenalkandiagram Venn, yang dapat digunakandalam berbagai bidang seperti: teoriset, probabilitas, logika, statistik, danilmu komputer.

Page 10: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Relasi Himpunan (set relationships)

• Subset (Himpunan Bagian)

• Disjoint (Himpunan Saling Lepas)

• Overlapping (Himpunan Saling Beririsan)

Page 11: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

11

Himpunan Bagian (Subset)• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan

B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen dari B.

• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

• Notasi: A B

• Diagram Venn:

U

AB

Page 12: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

12

Disjoint (Himpunan Saling Lepas)

• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya

tidak memiliki elemen yang sama.

• Notasi : A // B

• Diagram Venn: U

A B

Contoh

Jika A = { 1,2,3,5 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Misalkan C={a,b,c , 3,5} dan D= {f,g,h} , maka C // D.

Page 13: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

13

Overlapping (Himpunan Saling

Beririsan)

Dua himpunan A dan B dikatakanoverlapping jika keduanya memilikielemen yang sama.

Pada bagian elemen yang sama disebutdengan intersection / irisan

Notasi irisan : A B = { x x A dan x B }

Page 14: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Latihan

• Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakandiagram venn:

- Menteri dan DPR

- Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe

- Bilangan asli (natural number), bilangan cacah(whole number), integer, rasional, dan bilanganreal. Dimanakah letak bilangan irasional dalamdiagram ini.

Page 15: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Latihan

- Menteri dan DPR :

Seorang pejabat hanya boleh memangku satujabatan antara menteri atau DPR sehinggahubungan relasi antara keduanya adalah disjoint

Menteri DPR

Page 16: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Latihan

- Pemenang Oscar dan Golden Globe

Beberapa orang telah memenangkan kedua pialaoscar dan golden globe, maka hubungan relasiantara keduanya adalah overlapping set

PemenangOscar

PemenangGolden Globe

Page 17: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Real

Rational

Integer

Whole number

Latihan- Bilangan asli (natural number), bilangan

cacah (whole number), integer, rasional,dan bilangan real. Dimana letak bilanganirasional dalam diagram ini

- Bilangan asli (natural number) adalahbilangan cacah yang tidak nol sehinggadapat dikatakan bilangan asli subset daribilangan cacah (whole number). Semuabilangan cacah adalah anggota bilanganbulat (integer ) sehingga bilangan cacahsubset dari bilangan integer, bilanganinteger adalah subset dari bilanganrasional. Bilangan rasional adalahanggota dari bilangan real.

- Bilangan irasional adalah bilangan realyang bukan bilangan rasional, maka letakbilangan irasional berada pada bilanganreal

Natural number

irational

Page 18: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

18

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh :

i. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},maka B = 8

ii. T = {kucing, a, Amir, 10, paku},maka T = 5

Page 19: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

19

Himpunan Kosong (null set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).Notasi : atau {}

Contoh :(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

Page 20: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

20

Himpunan yang Sama

• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan

elemen A.

• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B

adalah himpunan bagian dari A.

• Notasi : A = B A B dan B A

Page 21: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

21

Contoh :(i) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksiomaberikut:(a) A = A, B = B, dan C = C(b) jika A = B, maka B = A(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

Page 22: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

22

Himpunan yang Ekivalen

• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B

jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan

tersebut sama.

• Notasi : A ~ B A = B

Contoh :

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka

A ~ B sebab A = B = 4

Page 23: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

23

Operasi Terhadap Himpunan1. Irisan (intersection)

• Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh :

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B

(iii) A={amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A B = {budi}

Page 24: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

24

2. Gabungan (union)

• Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh :

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B =

{ 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

Page 25: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

25

3. Komplemen (complement)

• Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7 }

Page 26: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Misalkan :

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeriB = himpunan semua mobil imporC = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100

jutaE = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi sbb :

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dariluar negeri”

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebihdari Rp 100 juta”

Page 27: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

27

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor

dari luar negeri” → (E A) (E B) atau E (A B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” → A C D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual

lebih dari Rp 100 juta” → BDC

Page 28: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

QUIZ (dikumpulkan):

1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa, diantaranya 18siswa suka IPA, 23 suka IPS, 8 siswa sukakeduanya dan sejumlah siswa tidak sukakeduanya, tentukan:a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanyab. Gambarkan diagram venn

2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa,diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, 15siswa belajar matematika, tentukan:a. Jumlah siswa yang belajar keduanya,b. Gambarkan diagram venn

Page 29: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

QUIZ (dikumpulkan):

3. Survey dari beberapa pembaca surat kabar diJakarta :

SuratKabar

Pembaca SuratKabar

Pembaca

HanyaKompas

24 HanyaKompas danPoskota

14

HanyaPosKota

27 HanyaKompas danSindo

16

Hanya Sindo 26 HanyaPoskota danSindo

13

Tidak baca 15 Semua suratkabar itu

8

a. Gambarkan DiagramVenn dari tabel tersebut

b. Berapa banyak orang yangmembaca kompas danposkota

c. Berapa banyak orang yangmembaca kompas atausindo

d. Berapa banyak orang yangmembaca kompas atausindo atau poskota

e. Berapa banyak orang yangmembaca kompas tapibukan poskota

Page 30: Dasar Logika Matematika - UPJocw.upj.ac.id/files/Slide-CPS105-Sets-Venn-Diagram-Pertemuan-5.pdf · Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil

Terima Kasih