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Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren

für Zwangsbedingungen(Tobias Hofmann)

Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren

für Zwangsbedingungen

1

Mittwoch, 26. Januar 2011


für Zwangsbedingungen(Tobias Hofmann) 2

Gliederung:

1. Wiederholung

2. Das SHAKE-Verfahren

3.Spezialisierung/Vorbereitung

4. Berechnung der Lagrange-Multiplikatoren

5. Potentialtheorie/Programmbeispiele




Wiederholung des RATTLE-Algorithmus

pn+14 = pn − ∆t

2·GT(qn) · λn

(pn+34 , qn+1) = Ψ∆t(p

n+ 14 , qn)

0 = g(qn+1)

pn+1 = pn+34 − ∆t

2·GT(qn+1) · λn+1




Das SHAKE-Mehrschrittverfahren

qn+1 − 2qn + qn−1 = −∆t2 ·M−1 · (GT(qn)λn +Uq(qn))

0 = g(qn+1)




Eine Beschränkung

gij :�Rd

�N→ R(q1, q2, . . . , qN) �→ �qi − qj�2 − d2ij

gij(q) = 0




Versteckte Bedingung

gij = 2· < qi − qj, qi − qj >= 0




Die Beschränkungen

g :�Rd

�N→ RM

(q1, q2, . . . , qN) �→

�qi1 − qj1�2 − d2i1j1�qi1 − qj1�2 − d2i1j1

. . .�qiM − qjM�2 − d2iMjM

g(q) = 0




Spezieller RATTLE-Algorithmus(gewohnte Hamilton, Störmer-Verlet, spezielle Beschränkungen)

pn+14 = pn − ∆t

2·GT(qn) · λn

pn+12 = pn+

14 − ∆t

2·Uq(q

n)

qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12

pn+34 = pn+

12 − ∆t

2·Uq(q

n+1)

0 = g(qn+1)

pn+1 = pn+34 − ∆t

2·GT(qn+1) · λn+1

0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1




Die erste nichtlineare Gleichung

0 = g(qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t

2·GT(qn) · λn − ∆t

2·Uq(q

n)))

0 = g(qn+1 − ∆t2

2·M−1 ·GT(qn) · λn)

qn+1 = qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t

2Uq(q

n))

pn+34 = pn − ∆t

2Uq(q

n)− ∆t

2Uq(q

n+1)




Hilfsrechnung:(GT(qn) · λn)k =

=

(∇qgi1j1 . . .∇qgiMjM) ·

λni1j1...

λniMjM

k

=

∂q1(gi1j1) · · · ∂q1(giMjM)∂qk(gi1j1) · · · ∂qk(giMjM)∂qN(gi1j1) · · · ∂qN(giMjM)

·

λni1j1...

λniMjM

k

=�

(i,j)∈I,i<j

∂qkgijλnij

=�

(i,j)∈I,i=k

2 · (qni − qnj )λnij +

�

(i,j)∈I,j=k

2 · (qni − qnj )λnij · (−1)

= 2�

(k,l)∈I∪I∗

(qnk − qnl )λnkl




Die Gleichung, betrachtet in einer Komponenten:

�qn+1i − qn+1

j −∆t2 · ( 1

mi+

1

mj)(qni − qnj )λ

ij�2 ≈ d2ij

Genäherte Komponente:

�qn+1i − qn+1

j −∆t2 · ( 1

mi

�

l:(i,l)∈I∪I∗

(qni − qnl )λil − 1

mj

�

l:(l,j)∈I∪I∗

(qnj − qnl )λlj)�2 = d2ij




Die Näherungslösung für den Lagrange-Multiplikator

λij ≈d2ij − �qn+1

i − qn+1j �2

−2∆t2 · ( 1mi

+ 1mj

)�qni − qnj , qn+1i − qn+1

j �




Spezieller RATTLE-Algorithmus

pn+14 = pn − ∆t

2·GT(qn) · λn

pn+12 = pn+

14 − ∆t

2·Uq(q

n)

qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12

pn+34 = pn+

12 − ∆t

2·Uq(q

n+1)

0 = g(qn+1)

pn+1 = pn+34 − ∆t

2·GT(qn+1) · λn+1

0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1




Die resultierenden Aktualisierungen

qn+1i = qn+1

i +∆t2

2mi· (qni − qnj )λ

ij

qn+1j = qn+1

j − ∆t2

2mj· (qni − qnj )λ

ij

pn+ 3

4i = p

n+ 34

i +∆t

2· (qni − qnj )λ

ij

pn+ 3

4j = p

n+ 34

j − ∆t

2· (qni − qnj )λ

ij




Die zweite nichtlineare Gleichung

G(qn+1) ·M−1 · (pn+1 − ∆t

2·GT(qn+1)λn+1)) = 0




Lösung der zweiten nichtlinearen Gleichung

�qn+1i − qn+1

j ,1

mipn+1i − 1

mjpn+1j − ∆t

2(1

mi

�

l:(i,l)∈I∪I∗

(qn+1i − qn+1

l )λil − 1

mj

�

l:(l,j)∈I∪I∗

(qn+1l − qn+1

j )λlj)� = 0

�qn+1i − qn+1

j ,1

mipn+1i − 1

mjpn+1j − ∆t

2(1

mi+

1

mj)(qn+1

i − qn+1j )λij� ≈ 0

λij ≈ 2

∆t·�qn+1

i − qn+1j , 1

mipn+1i − 1

mjpn+1j �

( 1mi

+ 1mj

) · d2ij




Spezieller RATTLE-Algorithmus

pn+14 = pn − ∆t

2·GT(qn) · λn

pn+12 = pn+

14 − ∆t

2·Uq(q

n)

qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12

pn+34 = pn+

12 − ∆t

2·Uq(q

n+1)

0 = g(qn+1)

pn+1 = pn+34 − ∆t

2·GT(qn+1) · λn+1

0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1




Die resultierenden AktualisierungenAbschließende Anmerkungen

pn+1i = pn+1

i +∆t

2· (qn+1

i − qn+1j )λij

pn+1j = pn+1

j − ∆t

2· (qn+1

i − qn+1j )λij




Das Lennard-Jones-Potential im Vergleich zum Gravitationspotential


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