Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes ... · Das Problem mit der Optimierung von...
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Das Problem mit derOptimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems
(ORCS)
J. Michael
Fakultat fur Luft und RaumfahrttechnikUniversitat der Bundeswehr Munchen
05.03.2014
Fotos: http://de.wikipedia.org/wiki/MnchenMagnus Manske (Panorama), Luidger (Theatinerkirche), Kurmis (Chin. Turm), Arad Mojtahedi (Olympiapark), Max-k (Deutsches Museum), Oliver Raupach (Friedensengel), Andreas Praefcke (Nationaltheater)
Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems (ORCS)J. Michael
Inhalt
Problembeschreibung
Formulierung impulsiver Systeme
Riemann-Stieltjes-Control-Systems
Optimierung von Riemann-Stieltjes-Control-Systems
Numerisches Beispiel
Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems (ORCS)J. Michael
Ausgangssituation
I Optimale Steuerung von elektro-rheologischen Fahrwerksdampfern mittelsPreview-Sensoren
I Klassisches Viertelfahrzeugmodell (Reifen-Fahrbahn mittelsFeder-Dampfer-Element modelliert)
Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems (ORCS)J. Michael
Betrachtung singularer Ereignisse
Singulare Eregnisse sind z.B.: Schlagloch, Stufe, Bodenwelle.
Kurzfristige schnelle Anderung der Straßenanregung
Negative Kontaktkraft bei Sprung
Problem: Kontaktverlust macht klassisches Modell unbrauchbar
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Betrachtung singularer Ereignisse
Singulare Eregnisse sind z.B.: Schlagloch, Stufe, Bodenwelle.
Kurzfristige schnelle Anderung der Straßenanregung
Negative Kontaktkraft bei Sprung
Problem: Kontaktverlust macht klassisches Modell unbrauchbar
Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems (ORCS)J. Michael
Komplementaritatsformulierung
Ersetzen des Feder-Dampfer-Elements durch eine Signorini-Bedingung
d(q) - Abstandsfunktion zwischen Reifen und Fahrbahnλ - Kontaktkraftε - Restitutionskoeffizient
d(q) ≥ 0, λ ≥ 0, d(q)>λ = 0
Zusatzlich Newtonsches Stoßgesetz bei Kontakt
d′(q)(q+ + εq−) = 0 wenn d(q) = 0
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Komplementaritatsformulierung
Ersetzen des Feder-Dampfer-Elements durch eine Signorini-Bedingung
d(q) - Abstandsfunktion zwischen Reifen und Fahrbahnλ - Kontaktkraftε - Restitutionskoeffizient
d(q) ≥ 0, λ ≥ 0, d(q)>λ = 0
Zusatzlich Newtonsches Stoßgesetz bei Kontakt
d′(q)(q+ + εq−) = 0 wenn d(q) = 0
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Komplementaritatsformulierung
Ersetzen des Feder-Dampfer-Elements durch eine Signorini-Bedingung
d(q) - Abstandsfunktion zwischen Reifen und Fahrbahnλ - Kontaktkraftε - Restitutionskoeffizient
d(q) ≥ 0, λ ≥ 0, d(q)>λ = 0
Zusatzlich Newtonsches Stoßgesetz bei Kontakt
d′(q)(q+ + εq−) = 0 wenn d(q) = 0
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Impulsives Mehrkorpersystem
Betrachtet werde ein Mehrkorpersystem mit der allgemeinen Dynamik
M(q)q + b(q, q) + g(q) = Fi (q)
mitI q ∈ Rn - verallgemeinerte KoordinatenI q ∈ Rn - verallgemeinerte GeschwindigkeitenI b(q, q) ∈ Rn - KopplungskrafteI g(q) ∈ Rn - GewichtskrafteI Fi (q) - Impuls- und Kontaktkrafte
Transformation auf System erster Ordnung mit x = [q, q]> liefert
x = F (x) + Fi (x).
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Impulsives Mehrkorpersystem
Betrachtet werde ein Mehrkorpersystem mit der allgemeinen Dynamik
M(q)q + b(q, q) + g(q) = Fi (q)
mitI q ∈ Rn - verallgemeinerte KoordinatenI q ∈ Rn - verallgemeinerte GeschwindigkeitenI b(q, q) ∈ Rn - KopplungskrafteI g(q) ∈ Rn - GewichtskrafteI Fi (q) - Impuls- und Kontaktkrafte
Transformation auf System erster Ordnung mit x = [q, q]> liefert
x = F (x) + Fi (x).
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Allgemeine Systemgleichung
Darstellung als impulsive System mit Riemann-Stieltjes-Integralen
DefinitionSei α(x(t)) ∈ BV ([a, b],Rn), F : R2n → R2n und G : R2n → (R2n × Rn). Gesuchtwird eine Funktion x : [a, b]→ Rn, welche die Integralgleichung
x(t) = xa +
∫ t
aF (x(τ ))dτ +
∫ t
aG(x(τ ))dα(x(τ ))
xa = x(a)
fur a ≤ t ≤ b lost. Dies bezeichnen wir als impulsives System.
SatzIst G auf [a, b] stetig und α ∈ BV ([a, b],Rn), so existiert das Riemann-StieltjesIntegral.
I Im kontaktlosen Fall gilt dα(x(τ )) = 0I Bei Kontakt muss G(x(τ )) und dα(x(τ )) so bestimmt werden, dass
Sprungbedingung gilt.
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Allgemeine Kontaktformulierung
Frage: Wie wird α fur allgemeine Kontakte mit Coulomb Reibung bestimmt?
Dazu seiI ξi (q) : Rn → R3, i = 1, ..., n die Abbildung der verallgemeinerten Koordinaten
in den Zustandsraum des i-ten Teilkorpers
I Ji (q) =(∂ξi (q)∂qj
)j=1,...n
die Zustands-Jacobi-Matrix
Damit giltddqξi (q) = v(q) = J(q)q
I cj (x, y, z), j = 1, ..., l die Kontaktflachen in Parameterdarstellung
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Allgemeine Kontaktformulierung
Frage: Wie wird α fur allgemeine Kontakte mit Coulomb Reibung bestimmt?
Dazu seiI ξi (q) : Rn → R3, i = 1, ..., n die Abbildung der verallgemeinerten Koordinaten
in den Zustandsraum des i-ten Teilkorpers
I Ji (q) =(∂ξi (q)∂qj
)j=1,...n
die Zustands-Jacobi-Matrix
Damit giltddqξi (q) = v(q) = J(q)q
I cj (x, y, z), j = 1, ..., l die Kontaktflachen in Parameterdarstellung
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Allgemeine Kontaktformulierung
Die Kontaktuberprufung erfolgt mit der Zulassigkeitsmatrix
D =(dij)
i=1,..,nj=1,..,l
mitdij = ν>i ρij = ν>j (ξi (q)− cj (ξi (q))). (1)
νj = ±[1, 1, 1]> stellt hier den zulassigen Bereich bzgl. der Flache j dar.
Existiert dij ≤ 0, so ist das System kontaktbehaftet.
Dann: Berechne Kontaktgeschwindigkeit
vcij = T>(i,j)Ji (q)q
mit T(i,j) lokales Koordinatensystem am Kontaktpunkt des Korpers i mit Flache j .
Ist vcnij < 0 findet Stoß statt (⇒ dα 6= 0), sonst Beruhrpunkt.
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Allgemeine Kontaktformulierung
Die Kontaktuberprufung erfolgt mit der Zulassigkeitsmatrix
D =(dij)
i=1,..,nj=1,..,l
mitdij = ν>i ρij = ν>j (ξi (q)− cj (ξi (q))). (1)
νj = ±[1, 1, 1]> stellt hier den zulassigen Bereich bzgl. der Flache j dar.
Existiert dij ≤ 0, so ist das System kontaktbehaftet.
Dann: Berechne Kontaktgeschwindigkeit
vcij = T>(i,j)Ji (q)q
mit T(i,j) lokales Koordinatensystem am Kontaktpunkt des Korpers i mit Flache j .
Ist vcnij < 0 findet Stoß statt (⇒ dα 6= 0), sonst Beruhrpunkt.
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Update mit Reibung
Sei IA := {(i, j)|dij ≤ 0, vcnij < 0} die Indexmenge der aktiven Kontakte mit m = |IA|,
J(q) =
Ji(1)
...
Ji(m)
, T :=
T(i(1),j(1)) 0 · · · 0
.... . .
. . ....
0 · · · · · · T(i(m),j(m))
.
Dann gilt mit J = T>J
M(q(τ+)− q(τ−)) = J>p
vc+ − vc− = JM−1J>p
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Update mit Reibung
Sei IA := {(i, j)|dij ≤ 0, vcnij < 0} die Indexmenge der aktiven Kontakte mit m = |IA|,
J(q) =
Ji(1)
...
Ji(m)
, T :=
T(i(1),j(1)) 0 · · · 0
.... . .
. . ....
0 · · · · · · T(i(m),j(m))
.
Dann gilt mit J = T>J
M(q(τ+)− q(τ−)) = J>p
vc+ − vc− = JM−1J>p
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Update mit Reibung
Es gilt fur alle Paare (i, j) vc+ij = Eij v
c−ij mit Eij = diag(en
ij , etij , e
t′ij ),
wobei εnij ∈ [−1, 0] vorgegeben und εt
ij , εt′ij unbekannt.
Kontakt Optimierungsproblem
minek
ij , (i,j)∈IA, k∈t,t′K +(E) = q(τ+)>Mq(τ+)
s.t. q(τ+) = (I− JJ + JEJ )q(τ−)
p(E) = (JM−1J>)−1(E − I)J q(τ−)
−pni (E) ≤ 0
‖(pti (E), pt′ i (E))‖22 ≤ (µ(i, j)pni )
2 (Coulomb-Reibung)
Quadratisches Optimierungsproblem mit nichtlinearer Nebenbedingung(Coulomb-Reibung)
Voraussetzung: J(q) ist invertierbar.
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Update mit Reibung
Es gilt fur alle Paare (i, j) vc+ij = Eij v
c−ij mit Eij = diag(en
ij , etij , e
t′ij ),
wobei εnij ∈ [−1, 0] vorgegeben und εt
ij , εt′ij unbekannt.
Kontakt Optimierungsproblem
minek
ij , (i,j)∈IA, k∈t,t′K +(E) = q(τ+)>Mq(τ+)
s.t. q(τ+) = (I− JJ + JEJ )q(τ−)
p(E) = (JM−1J>)−1(E − I)J q(τ−)
−pni (E) ≤ 0
‖(pti (E), pt′ i (E))‖22 ≤ (µ(i, j)pni )
2 (Coulomb-Reibung)
Quadratisches Optimierungsproblem mit nichtlinearer Nebenbedingung(Coulomb-Reibung)
Voraussetzung: J(q) ist invertierbar.
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Beispiel - Ball mit Wanden
Abbildung: Systemenergie eines Balls mit reibungsbehafteten Kontakten
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Beispiel - Halbfahrzeug
Abbildung: Stufenuberfahrt eines Halbfahrzeugmodells
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Riemann-Stieltjes-Control-Systems
DefinitionSei α(x(t)) ∈ BV ([a, b],Rn), F : ([a, b]× R2n×Unu )→ R2n undG : ([a, b]× R2n)→ (R2n × Rn). Gesucht wird eine Funktion x : [a, b]→ Rn,welche die Integralgleichung
x(u)(t) = xa +
∫ t
aF (x(u)(τ ), u)dτ +
∫ t
aG(x(u)(τ ))dα(x(u)(τ ))
xa = x(a)
fur a ≤ t ≤ b lost. Dies bezeichnen wir als impulsives System mit Steuerung.
Bemerkung:I Keine impulsive Steuerung
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Differenzierbarkeit bzgl. u
Existenz von SensitivitatenGegeben sei ein impulsives System mit Steuerung auf dem Intervall [0, T ]. F und Gseien Lipschitzstetig auf [0, T ]. Weiter existiere eine Sprungstelleα(x(τ (u))), τ ∈ (0, T ), die durch die Schaltfunktion ς(x(u)(t)) definiert wird. Diesebesitze fur t = τ einen echten Nulldruchgang. Es giltτ (u) = argmin
s∈(0,T )
{ς(x(u)(τ )) = 0 | d
dt ς(x(u)(τ )) 6= 0}
.
Dann existiert ein S(u) fur das der Grenzwert
lim‖ε‖→0
‖x(u + ε)− x(u)− S(u)ε‖∞‖ε‖∞
= 0
existiert.
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Beweisidee
I Transformiere die Intervalle [0, τ (u)], [τ (u), T ] auf [0, 1], [1, 2]
I Aufgrund der Eigenschaften von ς existiert dτ (u)du in einer Umgebung von u
I Nutze Zerlegungseigenschaft fur Funktionen beschrankter Variation
‖x(u + ε)− x(u)− S(u)ε‖∞= ‖xc(u + ε) + xs(u + ε)− xc(u)− xs(u)− Sc(u)ε− Ss(u)ε‖∞≤ ‖xc(u + ε)− xc(u)− Sc(u)ε‖∞,[0,1] + ‖xc(u + ε)− xc(u)− Sc(u)ε‖∞,[1,2]
+ ‖xs(u + ε)− xcs(u)− Ss(u)ε‖∞
I Summanden einzeln mit Mittelwertsatz der Integralrechnung undGronwall-Lemma abschatzen.
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Diskretisierung
I Diskretisiere x und u mit Kontrollgitter GM
I Steuerung auf jedem Intervall [i, i + 1) KonstantI Integriere mit Einschrittverfahren auf feinerer Subdiskretisierung GN·M
Bsp.: Trapezregel
ηNj+1 = ηN
j + Φ(ηNj , h, F , u,G, α)
= ηNj +
h2
[F (ηN
j , u) + F (ηNj + hF (τj , η
Nj , u))
]+
hα2
[G(ηN
j ) + G(ηNj + hαG(ηN
j ))]
mithα := α(ηN
j+1)− α(ηNj )
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Optimierung von RCS
I Zusatzlicher Zustand xJ fur kontinuierliche KostenI Zustandsvektor x(u) ∈ R2n+1 × RM+1 , Steuervektor u = {u1, ..., uM},I Berechnung der Sensitivitatsmatrix durch
S(u)(·,j) =xJ (u + δuj )− xJ (u)
δj = 1, ...,M
und des Gradienten∇J(x(u)) = S(u)>xJ (u)
I Update mittels projiziertem Gradientenverfahren mit Armijo-Suche.
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Viertelfahrzeug - Ein Beispiel
Viertelfahrzeugmodell ohne Reifen-Boden-Elemente.
x(t) =
q1
q2
q3
q1
q2
q3
xJ
=
x-Position
y-Position Reifen
y-Position Aufbau
x-Geschwindigkeit
y-Geschiwndigkeit Reifen
y-Geschwindigkeit Aufbau
Kontinuierliche Kosten
x(t, x0, u) = x0+
t∫t0
x4(τ )
x5(τ )
x6(τ )
0
−gmw + c2(x2 − x1) + u(x4 − x3)
−gmC − c2(x2 − x1)− u(x4 − x3)
−g − c2(x2 − x1)− u(x4 − x3)
dτ+
t∫t0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
dα(x(τ )),
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Ergebnisse
Oben: Ausgangstrajektorie im Zustandsraum,Unten: Verallgemeinerte Koordinaten der Ausgangstrajektorie
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Ergebnisse
Oben: Optimierte Trajektorie im Zustandsraum,Unten: Verallgemeinerte Koordinaten der optimierten Trajektorie
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Ergebnisse
Oben: Optimale Steuerungsstruktur,Unten: Entwicklung der Zielfunktion fur Ausgangs- und optimierte Trajektorie
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Zusammenfassung
Gezeigt wurdeI Modellierung impulsbehafteter Mehrkorpersysteme mittels
Riemann-Stieltjes-IntegralenI Energiekonsistente Berechnung der Kontaktimpule mittels verallgemeinerten
RestitutionskoeffizientenI Optimierung erster Beispiele mit Gradientenverfahren
Offene Fragen:I Was ist mit Beruhrpunkten? (bisher nur Holder-Stetigkeit bewiesen)I Wie lassen sich andere Kostenfunktionen einbinden (Sicherheitsaspekte,
Endkosten)?I Wie zuverlassig ist das ganze bei komplizierten Kontaktsituationen
(Mehrfachkontakte, Regulatitat von J)?I Vergleich der Rechnungen mit FEM-Modellen zur Parameteridentifikation
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Danke
Danke