Journal of Geometry

Vol. 38 (1990)

0047-2468/90/020001-1151.50+0.20/0

(c) 1990 Birkh~user Verlag, Basel

DAS KINEMATISCHE BILD EINER REGELFLACHE DES EINFACH ISOTROPEN RAUMES

Randolf Arnold

The Clifford parallelism of the three-dimensional isotropic space j(1) induces the kinematic mapping of an element of surface in j(1) onto a pair 30f points

3 in a fixed plane z . By identifying a regular surface ~ with the manifold of �9 0 its osculating elements of surface the kinematic image of ~ is defined and equivalent to an area preserving transformation of the plane ~ . In this paper

�9 0 we will examine the connections between the isotropic lnvarlants of a skew ruled surface ~ and its kinematic image. Since the striction line y of

exactly consists of the singular points of ~ the kinematic images of the osculating planes of y are considered in addition. In this way we obtain a

correspondence between the theory of ruled surfaces and the elementary geometry of two pairs of plane curves with a common middle curve.

I. Unter dem einfach isotropen Raum j(1) versteht man nach STRUBECKER[7] einen 3

dreidlmensionalen affinen Raum mit den Koordinaten xl,x2, x3, dessen Bogen-

element ds ~ber die quadratisehe Differentialform

= )2 + (dx2)2 ( i ) ds 2 (dx I

definiert ist. Zwei Punkte x = (Xl,X2, X 3) und y = (xl,x2, Y3), deren Grundrisse

= y := (Xl,X2,0) zusammenfallen, haben nach (I) verschwindenden Abstand. Die

Differenz s = Y3 - x3 heist dann Spanne yon x und y. Fallen die Grundrisse

= zweier Geraden x 3 = ax2, x I = 0 und x 3 a x2, x I = 0 zusammen, so

verschwindet nach (I) deren isotroper Neigungswinkel. In diesem Fall wird a ~

= - a als Sperrun E der Geraden bezeichnet. Diejenigen Affinit~ten, die

neben (1) auch noeh Spanne und Sperrung invariant lassen, bilden die Gruppe

2 Arnold

= + x cos ~ - x sin Yl al 1 2

= Gs : Yz a2 + xl sin ~ + x 2 cos ~ ( 2 )

Y3 + x b + x b + x = a3 I I 2 2 3

der einfach isotropen Bewegungen. Im Sinne yon F. KLEIN /st die Geometrie des

einfach isotropen Raumes die Invari~ntentheorie der Bewegungsgruppe G . 6

Eine systematische Untersuchung und Klassifizierung der Regelfl~chen des j(1) 3

wurde zuerst yon VOGEL[If] vorgenommen. Weiterentwicklungen dieser Theorie,

insbesondere die ObertFagungen zahlreicher Resultate vom Euklidischen in den

einfach isotropen Raum, findet man bei SACHS[3,4,S], HOSCHEK[2] und ARNOLD[I].

In der vorliegenden Note werden ausschlieBlich windschiefe Regelfl~chen und

(als Grenzfall) Tangentenfl~chen betrachtet. Nach VOGEL besitzt eine

windsehiefe ReEelfllche ~ des j(1) eine Parameterdarstellung 3

x(s,u) = y(s) + u.e(s) , s �9 I (I reelles Intervall), u �9 ~, (3)

in der y(s) die auf Bogenl~nge parametrisierte Striktionslinie darstellt und

e(s) einen EinheitsvektoF in Richtung der ErzeuEenden im Punkt y(s). Alle

auftretenden vektorwertigen Funktionen seien dabei beliebig oft differen-

zierbar. Wird die Ableitung naeh s dutch einen StFich angezeigt, so gilt

17' I = lel = 1 sowie le' I > 0 , da zylindrische Fl~chen und Regelfl~chen,

deren Erzeugende in parallelen isotFopen Ebenen liegen, ausgeschlossen sind.

Dabei heist eine Ebene des j(1) isotrop, wenn ihr GrundFiS zu e~ner Geraden 3

entartet.

]]as begleitende Dreibein l~ngs der Striktionslinie wird yon den Vektoren e

(Erzeugendenvektor), n := e'/le' I (Zentralnormalenvektor) und b := (0,0, i)

(vollisotroper Vektor der Spanne Eins) gebildet, wobei n so orientiert sei,

dab [e,n,b] = i gilt. Es entstehen Ableitungsgleichungen der Form

e' = ~ n , n' = - K e + T b , b' = 0 , (4)

dutch die die Invarianten ~ > 0 (Krummung) und T (Torsion) der Regelfl&che

definiert sind. Eine weitere, von ~ und T unabh&ngige Invariante ergibt sich

aus der Tatsache, dab der GrundriB der Striktionslinie die H~llkurve des

GrundFisses der Erzeugenden ist (siehe [11]), DeF TangentenvektoF der Strik-

tionslinie besitzt somit die Darstellung

Arnold 3

y' = e + ~ b , (S)

in der die Sperrung ~ als Striktion bezeichnet wird. Das System (~,T,~) bildet

ein vollst~ndiges Invariantensystem der einfach isotropen Geometrie der wind-

schiefen Regelfl~chen, in der als Grenzfall ~ = 0 die Geometrie der regul~ren

Raumkurven und zugehSrigen Tangentenfl~chen enthalten ist. Der Drall ~ yon @

besitzt in diesen Invariantensystem die Darstellung ~ = -.

2. Ein Flachenelement E des einfach isotropen Raumes ist ein Punkt x =

(xl,x2, x 3) m[t inzidenter nicht[sotroper Ebene ~. Es ist dutch ein $-Tupel

(xl,x2, xs, Xl,X 2) festgelegt, in dem neben dem Punkt x der GrundriB X =

(XI,X2,0) des sph~rischen Bildpunktes X von ~ auf der isotropen Einheitskugel

I 2 + X 2) (6) X3 = 2 (Xl 2

eingetragen ist. Die yon STRUBECKER[8,9] eingeffihrte kinematische (oder

parataktische) Abbildung ordnet nun jedem Fl[chenelement E =(xl,x2, x3, Xi,X 2)

des j(1) dutch 3

XL = ~ -- ~i , XR : ~ + ~i (~i := (_X2, XI,0) ] (7)

ein Punktepaar (XL, X R) der GrundriBebene ~0 : x3 = 0 zu. Die Abb[idung ist

invariant gegen~ber TFanslationen in vollisotroper R[chtung und besitzt

folgende (nut [m GFundri8 e[ndeutige) Umkehrung :

_ x L + XR (XL - XR)• X -- X - , x beliebig. (8) 3

2 2

Die Punkte x und x heiSen linker und reehter kinematischer Bildpunkt.von E. L R

Aus (8) ist ersichtlich, dab der Grundri~ x des Fl~chenelementes E der Mittel-

punkt seiner kinematischen Bildpunkte ist.

Die kinematisehe Abbildung hat ihren Ursprung im Cliffordschen Parallelismus

des einfach isotropen Raumes. Die Cliffordschen Schiebungen (iinkssehiebung,

RechtsschiebunE) , die ja ein Gegenst~ek zu den euklidischen ParallelveFschie-

bungen dzrstellen, bilden invaFiante dFeigliedrige UnteFgPuppen L und R dep 3 3

BewegungsgFuppe G . Aus der DaFstellung (2) der Gpuppe G entsteht i duFch 6 6 3

= = = = (~ = O, b I = -a2, b 2 a I) und R 3 durch (~ O, b I a 2, b 2 -al). Zwei

Fl~chenelemente heiBen rechtsparallel [bzw. linksparallel], wenn sie durch

Linksschiebung [bzw. Rechtsschiebung] auseinander hervorgehen. Nun existieren

4 Arnold

genau eine Linksschiebung und genau eine Rechtsschiebung, die die Ebene ~ des

Fl~chenelementes E in die feste Ebene ~ transformieren. In ~ entstehen so 0 o

zwei Bildelemente E Lund E R, deren Punkte x L u n d x R dutch die Vorschrift (7)

bestimmt sind. Die kinematische Abbildung ordnet also dem Fl[chenelement E die

eindeutig bestimmten rechts- und linksparallelen Fl[chenelemente E und E der L R

festen Ebene ~ zu. Diese sind nat~rlich durch ihre Punkte x und x fest- o L R

gelegt.

Identifiziert man eine regulgre Fl[che ~ : x = x(s,u) des j(1) mit der 3

Mannigfaltigkeit ihrer berHhrenden Fl[chenelemente, so ist fiber diesen zwel-

dimensionalen "Elementverein" im Sinne yon LIE das kinematische Bild der

Flache ~ definiert. Die Abbildung xu(s,u) ~-~ xR(s,u) des linken Flgchenbildes

~u auf das rechte Fl[chenbild #R definlert eine Transformation der Ebene T 0 ,

deren Kennzeichnung der folgende, bereits von SCHEFFERS[6] angegebene $atz

beinhaltet:

Die kinematischen Bilder ~ und ~ einer regullren Fliche �9 sind eigentlich L R

flichentreu aufeinander bezogen, Umgekehrt kann jede eigentlich flichentreue

Transformation der Ebene mit fllchenhaftem (d.h. zweidimensionalem) Mittenort

als kinematisches Bild einer reguliren F1iche ~ (und ihrer dutch vollisotrope

Translationen entstehenden Parallelflichen) aufgefa~t werden.

Allgemein genNgen berHhrende Flichenelemente eines Punktes, einer Raumkurve

oder einer Fl[che der aus (8) flie~enden Inzidenzbedingung

dx = X dx + X dx (9) 3 1 I ~ 2

Zur B e s t i m m u n g d e r H S h e n k o o r d i n a t e x 3 ( s , u ) d e r U r b i l d f l ~ c h e x ( s , u ) e i n e r d u t c h

XL(S,U) ~ XR(S,U) gegebenen eigentlich fl~chentreuen Transformation ist (9)

zu integrieren:

ax 8x ax 8x xS(s,u) = J [ ( ~ X + 2 X ) ds + ( ~ X + e Xz ) du

8S 1 8S Z 8U 1 8U + C . [iO)

Aus (8) und (I0) folgt die Eindeutigkeit der kinematischen Urbildfl[che x(s,u)

bis auf vollisotrope Translationen.

3. Die Wirkung der kinematischen Abbildung auf eine regul&re Regelfl&che �9 des

j(1) wird bei VOGEL[II] beschrieben: 3

Arnold 5

Die Zuordnung zwischen dem linken und rechten kinematischen Blld yon @

induziert eine eigentlich fllchentreue Transformation der Ebene, bei welcher

eine einparametrige Geradenschar einer dazu parallelen Geradenschar zugeord-

net ist. Umgekehrt kann jede derartige Transformation als Zuordnung der kine-

matischen Bilder der beruhrenden Fliehenelemente eines Punktes, einer Raum-

kurve oder einer Regelfllche aufgefa~t werden.

Das erste Z i e l der vorliegenden Arbeit besteht darin, Beziehungen zwischen dem

kinematischen Bild einer wlndschiefen Regelfl[che ~ und ihren isotropen In-

varianten herzulelten.

Zun[chst folgt aus (5], da8 die Tangentialebene in einem Striktionspunkt

x(s,O) yon �9 isotFop ist. Die Striktionspunkte sind aber auch die einzigen

singul~ren Punkte yon @, denn nach [11] wird die Tangentialebene lm Punkt

x[s,u~O) yen den orthonormierten Vektoren e und n + (6/u)b aufgespannt. Die

jeder Erzeugenden zugeordnete asymptotische Ebene ~ ber~hrt die Fl~che im Un-

endlichen und wird daher yon e und n aufgespannt. Die sph[rischen Bildpunkte

Xa(s] der asymptotischen Ebenen beschreiben eine Kurve auf der isotropen

Einheitskugel (6), die nach [3] als spharisches Bild der Regelfl&che

bezeichnet wird. Unter Verwendung des ~blichen Vektorproduktes x gilt

= , x ~ ~ 1 [ b , (11) X~ b - e x n = + 2 I~ 2

(X~] ' = T n (12]

(siehe [3]).

Maximale zusammenh~ngende Definitionsbereiche dee kinematischen Abbildung

(eingeschr~nkt auf #) sind also die durch u < 0 und u > 0 defin~erten Teil-

fl~chen yon @. F~r den GrundriS des sph~rischen Bildes X eines Punktes x =

x ( s , u ~ O ) g i l t n a c h ( 1 1 )

= b - e x ( n + - b ) = + - n . ( 1 3 ) u u

D u t c h E i n s e t z e n y o n ( 3 ) u n d ( 1 3 ) i n d i e D e f i n i t i o n ( 7 ) e r g i b t s i c h

x = (y + u ~) - ((~)i _ ~ ~) : ~_ (~)i + (u + ~) L U U

R U U

als kinematisches Bildpunktpaar yon x. Wit setzen noch

ZL := }_ (~)i , zR :: } + (~)i (14)

6 Arnold

und erhalten

X = Z + (U + Z) e , x = z + (u - Z) �9 . (15) L L U R R U

Die Gleichungen (15) zeigen, dab das kinematische Bild einer Erzeugenden

X(So, U) (s o f e s t ) au f den p a r a l l e l e n Geraden

XL(So, ~) = ZL(S o) + ~ e(s o) , ~ �9 R (linke Bildgerade der Erzeugenden)

(16)

XR(So, n) = ZR(S o) + n e(s o) , n �9 ~ (rechte Bildgerade der Erzeugenden)

liegt. Aus (u + 8)2 (u - 6)2 = 4 3 folgt der U U

SATZ I. Der Drall 6 einer windschiefen Regelfllche ~ des j(1) steuert die 3

Parameterzuordnung zwischen den kinematischen Bildgeraden XL(S, ~) und XR(S, W)

der Erzeugenden uber

~2 2 - n = 4 8 ( s ) . ( 1 7 )

Geht man umgekehrt von zwei Geradenscharen der Form (16) aus, wobel s durch O

den freien Parameter s e I zu ersetzen ist, so wird durch XL(S, ~) ~ XR(S,~)

und die Vorgabe einer Cleichung F(s,~,~) = 0 (F beliebig oft differen-

zierbar) eine Transformation T der Ebene definiert, die eine einparametrige

Schar yon Geraden(sti]cken) einer dazu parallelen Schar yon Geraden(stt~cken)

zuordnet und einen flgchenhaften Mittenort besitzt (sofern F gewisse Regulari-

t~itsbedingungen erfi]llt). Die Transformation T ist genau dann eigentlich

f l~ichentreu, wenn

as a~ as a~

gilt, was unter Bert~cksichtigung yon

8F ax -- ax

R a~ R

aF a~ a~ a~

auf die partlelle Differentialgleichung

aF aF ~ + ~ : o (is)

ftihrt. Da sich ~is allgeme~ne L~sung yon (18]

F(s,~,n) = f(s) (~2 _ n2) + g(s)

mit beliebig oft differenzierbaren Funktionen f(s),g(s) ergibt, ist die

Arnold 7

Fl&chentreue yon T durch die spezielle Gestalt der Gleichung (17)

gekennzeiehnet.

Die K u r v e n z ( s ) und z ( s ) s i n d d i e H f i l l k u r v e n d e r B i l d g e r a d e n d e r E r z e u - L R

g e n d e n , d e n n &us ( 1 4 ) , ( 5 ) und (12) f o l g t

- ~ ) z " = e (T • - = (1 + T) e

L (19)

Z ' = e + (T n)• = ( i - z ) e . R

Die M i t t e n k u r v e d i e s e r H f i l l k u r v e n i s t nach (14) der G r u n d r i g y ( s ) der S t r i k -

tionslinie, dessen euklidische KrQmmung mit der Kr~mmung m der Regelfl~che @

Qbereinstimmt (siehe (4) und (5)). Die drei Kurven ZL(S), ZR(S) und y(s) sind

aufgrund von (19) paarweise parallelbezogen (durch parallele Tangenten auf-

einander bezogen). Erffillt die Torsion �9 yon @ die Bedingung ITI < i, so sind

die drei Kurven sogar paarweise richtungstreu (jeweils regul&r und paarweise

gleichsinnig parallelbezogen). In diesem Fall besitzen alle den gleichen

Kontingenzwinkel d~, so dag sich die KrQmmungen K und ~ der HGllkurven z L R L

und z nach (19) Qber R

_ K , K R K ( 2 0 ) KL 1 + T 1 - T

bereehnen. Eine einfache Deutung der isotropen Invarianten K und T der Regel-

fl&che mittels der HQllkurven ihrer kinematischen Bildgeraden ergibt sich

d u r c h d i e Umkehrung d e r F o r m e l n ( 2 0 ) :

2 ~ K. K - K L R R L

- , z - (21) K + ~ K + K

L R L R

Die b e i d e r B e t r a c h t u n g d e r H ~ l l k u r v e n d e r B i l d g e r a d e n g e w o n n e n e n F o r m e l n (19)

- (21) s t e l l e n e i n e V e r a l l g e m e i n e r u n g yon R e s u l t a t e n y o n STRUBECKER[IO],

S . 5 3 8 - 5 4 1 d a r , d i e b e i d e r U n t e r s u c h u n g d e s k i n e m a t i s c h e n B i l d e s e i n e s

Schmiegstreifens erzielt wurden. Wendet man n~mlich die kinematische Abbildung

auf die Schmiegebenen der Gratlinie einer Tangentenfl&che (G = 8 = O) an, so

ergeben sich als Bildkurven genau die HNllkurven der kinematischen Bildgeraden

der Erzeugenden der Tangentenfl&che.

4. B e r Q h r e n d e F l ~ c h e n e l e m e n t e E ( s ) e i n e r r e g u l & r e n Raumkurve x ( s ) d e s j (1) 3

b i l d e n e i n e n S t r e i f e n , d a b e i w i r d x ( s ) a l s S t r e i f e n k u r v e y o n E ( s ) b e z e i c h n e t .

Die k i n e m a t i s e h e n S t r e i f e n b i l d e r XL(S) und XR(S) s i n d K u r v e n d e r Ebene n ~ und

8 Arnold

wurden in [8,10] eingehend untersucht. Folgendes Resultat ist als zentral an-

zusehen:

(i) E(s) ist genau dann ein Schmies wenn XL(S) und xR(s) parallel-

bezogen sind.

(ii) E(s) ist genau dann ein Krummungsstreifen, wenn x (s) und x (s) llngen- L R

treu aufeinander bezogen sind.

(iii) E(s) ist Eenau dann gesehlossen, wenn x (s) und x (s) Eesehlossen und L R

periodisch aufeinander bezogen sind sowie gleiche Flieheninhalte um-

schlie~en.

Die Integration

s

x3(s ) = f + X dx (22) xa(So) + Xldxl 2 2

s o

der G l e i c h u n g (9) z e i g t , dab e i n S t r e i f e n durch d i e Vorgabe s e i n e r k inema-

t i s e h e n B i l d k u r v e n b i s au f v o l l i s o t r o p e T r a n s l a t i o n e n f e s t g e l e g t i s t .

Da ein Schmiegstreifen durch eine Streifenkurve nichtverschwindender KrOmmung

bestimmt ist, gestattet (i) nach STRUBECKER[8] folgende Deutung:

Die T h e o r i e d e r Kurven x ( s ) n i c h t v e r s c h w i n d e n d e r Krummung d e s e i n f a c h i s o -

t r o p e n Raumes s t i m m t ~ b e r e i n mit d e r e l e m e n t a r e n O e o m e t r i e d e r p a r a l l e l b e z o -

gen en K u r v e n p a a r e (XL(S), XR(S)) d e r Ebene.

Da das kinematische Bild des vonder Striktionslinie y(s) einer windschiefen

RegelflSche ~ erzeugten Fl~chengtreifens nicht definiert ist, betrachten wit

im folgenden als "Ersatz" das kinematische Bild des yon y(s) erzeugten

Schmiegstreifens. Auf diese Weise li~t sich sowohl eine elementare Deutung der

Striktion ~ von@ als auch eine Verallgemeinerung der soeben beschriebenen

Korrespondenz zwischen Raumkurven und ebenen paral]elbezogenen Kurvenpaaren

herleiten.

Die Differentiation yon (5) zeigt, dab die Schmiegebene aim Striktionspunkt y 0-'

von den orthonormierten Vektoren e + ~ b und n + - b aufgespannt wird. F~]r den

GrundriS Y des sph~irischen Bildes Y yon e gilt somit unter BerOcksichtigung

yon (ii)

= b ( e + o" b ) x ( n + G - ' b ) = R e: + - m ' - - m e + - n . ( 2 3 ] K K.

Arnold 9

Die kinematischen Bildkurven YL(S) und yR(s) des dutch y(s) bestimmten

Schmiegstreifens lassen sich nach (23) und (14) durch die HLillkurven z (s) und L

z (s) der kinematischen Bildgeraden deP EPzeugenden yon ~ ausdPiicken : R

o~,_ = - = + -e - o-n YL Y ~ZJ" ZL K:

~, _ _ (24)

y~ y + ~ • = z R = -- -- e + (T n

Geht man in (24) zum Kontingenzwinkel d~ = K.ds des Striktionsliniengrund-

Pisses y Qber, so folgt

d~ - - d~ - - YL = ZL + ~ e - ~ n ' YR = ZR d-~ e + ~ n . ( 2 5 )

D i e v i e r K u r v e n Z u ( S ) , z R ( s ) , YL(S) und y R ( s ) s i n d o f f e n s i c h t l i c h p a a r w e i s e

para l l e lbezogen m i t d e r g e m e i n s a m e n T a n g e n t e n r i c h t u n g e ( s ) u n d d u r c h

+ z YL + YR ZL R

2 2 (26)

miteinander verknfipft. Eine elementare Deutung der Striktion ~ ist den Glei-

chungen (26) zu entnehmen:

SATZ 2. Die Striktion ~ [-~] einer windschiefen ReEelflache ~ des j(1) ist der 3

Stutzabstand zwischen der Hullkurve der linken [rechten] kinematischen

BildEeraden der ErzeuEenden und der linken [rechten] kinematisehen Bildkurve

des SchmieEstreifens der Striktionslinie.

Wir bezeichnen die Kurven ZL(S), ZR(S), YL(S), und YR(S) kurz als die vier

kinematischen Bildkurven yon r Eine windschiefe Regelfl~che ist aufgrund yon

(26) dutch die Vorgabe yon drei ihrer vier kinematischen Bildkurven fest-

gelegt (bis auf vollisotrope Translationen). Da der Grenzfall der Tangenten-

fl~che durch z L YL und z R YR gekennzeichnet ist, stellt der folgende Satz

eine Verallgemeinerung der yon STRUBECKER formulierten Korrespondenz zwischen

Raumkurven und parallelbezogenen Kurvenpaaren dar:

SATZ 3. Die Theorie der windschiefen ReEelflachen des einfach isotropen Raumes

stimmt uberein mit der elementaren Geometrie zweier Kurvenpaare (ZL(S), ZR(S))

und (YL(S), YR(S)) der Ebene, die eine Eemeinsame reEullre und positiv

Eekrummte Mittenkurve (26) besitzen und fur die alle vier auftretenden Kurven

paarweise parallelbezoEen sind.

i0 Arnold

Wir verfolgen die Beziehung zwischen einer windschiefen Regelfl&che und ihren

vier kinematischen Bildkurven noch anhand einiger spezieller Fl&chen:

Ca) Regelfl&chen konstanter Striktion ~ sind nach (24) dadurch gekennzeichnet,

dab z L und YL [zR und yR] Parallelkurven mit dem Abstand r [-r sind.

(b) Der ( i s o t r o p e ) Winkel ~ z w i s c h e n d e r a s y m p t o t i s c h e n Ebene a und d e r

S c h m i e g e b e n e r d e r S t r i k t i o n s l i n i e b e r e e h n e t s i e h n a e h [ i ] f iber

2 = 2 + (~,/K)2 . (27)

Wegen

d (2) = 2 d~ [ d2~ ]

d~ ~ ~ + d~ schlieBen die Schar der asymptotischen Ebenen und die Schmiegebenenschar der

Striktionslinie genau dann einen konstanten Winkel ~ ein, wenn z L und YL

[z R und yR ] Parallelkurven mit dem Abstand ~ [-~] oder schiebungskongruent

(YL = ZL + C , YR = ZR - C , C = const.) sind.

(c) Boschungsflichen (~ = const. ) sind dadurch gekennzeichnet, daS z ein R

Translat der Parallelkurve yon z zum Abstand 2 ~ ist. In diesem Fall ist der L K

(2a I 2a2), = + a x die nichtisotrope Translationsvektor gleich , wenn x 3 alx i 2 2

B6sehungsebene darstellt. Eine Boschungsflache konstanter Striktion besitzt

also vier kinematische Bildkurven, die (bis auf Translationen) paarweise

parallel sind.

LITERATUR

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Arnold ii

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Randolf Arnold Fachbereich Mathematik Unlversit~t Dortmund Postfach 500 500 D-4600 Dortmund, Bundesrepublik Deutschland

( E i n g e g a n g e n am 3 . N o v e m b e r 1 9 8 9 )