Dans Les Mains Du Temps LE GRAND JOUR DES MATHS 2006 · 2016-02-15 · Dans Les Mains Du Temps LE...
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Dans Les Mains Du Temps
LE GRAND JOUR DES MATHS 20061
INTRODUCTION
La thématique de Grand Jour des Maths2 est entièrement dédiée au temps.
Le temps est représenté par une horloge avec une petite aiguille pour les heures, une, plus
grande, pour les minutes, et parfois une troisième, la trotteuse pour les secondes, qui bouge plus
rapidement que les autres.
Nous considérerons une horloge sur laquelle le mouvement des aiguilles se fait sans à-coups de
manière parfaitement régulière. Pas une horloge qui saute et tressaute comme celle que l’on
peut trouver dans une gare, celle où l’aiguille des heures sautille de temps en temps, attend
ensuite sagement jusqu'à ce que celle des minutes la rejoigne puis saute un peu plus loin.
1 En anglais « hands » signifie les mains mais désigne aussi les aiguilles des horloges. Il y a donc dans le titre
anglais un jeu de mot intraduisible en français. 2 Les Maths Big Days (que nous traduisons ici par Grands jours des Maths) sont proposés tous les ans par
l’université d’Utrecht – celui-ci a été réalisé le 24 novembre 2006 -
http://www.fisme.science.uu.nl/rekenweb/groterekendag/
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Voici ci-dessous l’horloge dont nous parlons. Dénuée de toutes décorations qui la rendent plus
attirante au consommateur.
Cette horloge montre qu’il est exactement une heure. Bientôt, la grande aiguille dépassera la
petite ! Cela ce produira à une heure et cinq minutes.
L’aiguille des minutes commence sa course derrière celle des heures, mais comme elle avance
beaucoup plus vite que celle des heures, elle prendra très vite la tête par rapport à la petite
aiguille.
En guise d’échauffement pour le thème d’aujourd’hui, voici deux questions d’introduction :
A. Combien de fois, en l’espace de 12 heures, l’aiguille des heures et celle des
minutes sont-elles parfaitement superposées ?
B. Quand l’aiguille des minutes dépasse-t-elle celle des heures sur l’horloge ci-
dessus ?
Nous nous exprimons sur la base de « 12 heures » et non pas « un jour », car la seconde partie
d’une journée de 24 heures (un jour entier) est une réplique identique de la première partie.
Donc, lorsque l’on étudie une horloge normale, nous nous limitons à une durée de 12 heures, qui
commence exactement à 12h, jusqu’à ce qu’il soit 12h une nouvelle fois.
Nous ne prenons pas en compte la trotteuse pour commencer. Elle le sera lors en dernière partie
de cette activité.
En quoi consiste ce Grand Jour des Maths ?
Les problématiques de l’introduction nous donnent
déjà une idée de ce en quoi consiste la thématique :
les aiguilles d’une horloge et les différentes
positions qu’elles peuvent avoir.
Qui s’intéresse aux réponses des questions du type
de celles présentées dans l’introduction ?
Certainement pas le passager du train, ni le
propriétaire d’une montre design comme celle sur
l’image de droite. Ce sont les gens comme vous et
moi du Grand jour des Maths : car les
mathématiques s’attaquent à des questions
étonnantes et produisent des réponses tout aussi
déconcertantes.
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Les réponses ne sont pas les seules choses qui peuvent être déconcertantes, mais l’explication
aussi. Une explication telle que « c’est parce que vous pouvez le voir si vous le calculez » n’est
pas très claire.
Une bonne explication devient l’équivalent d’une lumière dans une salle aux trésors trop
sombre. Vous clignez des yeux et vous soupirez : « Bien sûr, c’est comme cela que ça marche.
Super ! »
Le contenu de la tâche
La partie A développe l’idée de la question A de l’introduction. Il y a beaucoup d’autres exemples
de questions utiles qui produisent des réponses intéressantes.
Centre d’intérêt : l’observation et le raisonnement.
La partie B est plus théorique et développe l’idée de la question B de l’introduction, avec des
calculs et un raisonnement exacts. L’utilisation de graphiques et de l’algèbre peut vous aider.
Centre d’intérêt : la précision.
Dans la partie C, les aiguilles de l’horloge changent de position. Essayez de voir comment vous
pouvez utiliser les connaissances acquises dans les parties A et B, ou essayez de trouver une
autre approche.
Centre d’intérêt : appliquer vos acquis tirés des parties A et B dans une nouvelle
situation, ou soyez rebelle et développez votre propre stratégie.
La partie D appartient aux « accros » du temps réel. Ils peuvent enfin faire preuve de leurs
connaissances ! Ne vous inquiétez pas si vous n’arrivez pas jusque là.
Centre d’intérêt : prendre son temps et se concentrer sur ses idées et son approche.
Le résultat final
Vous avez étudié l’idée de la lecture du temps de différentes façons. Vous avez suivi les questions
ou (de manière rebelle) trouvé votre propre démarche.
Le résultat final devient alors :
Un projet dans lequel les aiguilles d’une horloge représentent le cœur de vos
interrogations et où vous proposez des solutions avec des réponses les plus
claires et les plus belles possibles.
Ne soyez pas tentés par l’idée de donner des réponses à des questions individuelles mais essayez
de créer un rapport cohérent de vos résultats obtenus aujourd’hui, qui sera facile à lire par ceux
qui n’ont pas les questions précises sous les yeux.
Conseils
Utilisez des stylos noirs et du matériel pour dessins afin que le travail puisse être
photocopié.
Pensez au fait que vous travaillez en temps limité ! Rédiger un rapport peut prendre
beaucoup de temps. Commencez à l’heure !
Divisez les tâches entre vous si vous êtes d’accord sur votre approche au sein d’un
groupe.
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Partie A : En tenant compte de la position des aiguilles
La question A de l’introduction peut être développée en examinant d’autres positions spéciales
des deux aiguilles.
A1 Si les deux aiguilles se tiennent comme si l’une était la rallonge de l’autre, par exemple à
6 heures pile, alors les deux aiguilles forment un angle de 180 degrés.
Combien de fois en l’espace de 12 heures les aiguilles sont-elles séparées par un angle de
180 degrés ?
La différence entre un angle de 0 degré et de 180 degrés n’est pas ambiguë : vous savez
exactement ce que cela veut dire. Mais si l’on vous demande combien de fois les aiguilles
forment un angle de 90 degrés, vous devriez demander : « Qu’entendez-vous par un angle de
90 degrés ? ». Il y a en réalité toujours deux angles que l’on peut voir : si un angle est de
90 degrés, alors il y a aussi un angle de 270 degrés.
Dans cet exercice nous sommes d’accord sur le fait que l’angle entre les deux aiguilles est
toujours le plus petit possible.
Donc lorsqu’il est 3 heures pile et 9 heures pile les deux aiguilles forment un angle de 90 degrés,
mais il y a d’autres positions des aiguilles qui forment un angle de 90 degrés.
A2 Combien de fois en l’espace de 12 heures, les aiguilles forment-elles un angle de
90 degrés, de 120 degrés, de 30 degrés ?
Si vous voulez communiquer vos réponses aux questions ci-dessus de manière claire aux
personnes qui ne connaissent pas le contenu de cet exercice, c’est une bonne idée de penser à la
manière dont vous allez le faire. Vous devez prendre en compte les illustrations avec des
graphiques, et une notation numérique, ou… (à remplir par vous-même !)
Certaines positions des aiguilles sont clairement plausibles et d’autres paraissent (presque)
impossibles. Les questions suivantes étudient ces (im)possibilités.
A3 On vous pose quatre fois la même question « Quelle heure est-il ? » et deux fois, il est
possible de trouver une réponse alors que deux fois c’est impossible. A vous de jouer…
Vous n’avez pas à calculer l’heure effective, vous devez seulement déterminer pourquoi la
position des deux aiguilles est possible ou non.
a. Les aiguilles se tiennent comme si l’une était la rallonge de l’autre et celle des minutes
est très proche du ‘11’. Quelle heure est-il ?
b. Les aiguilles forment un angle de 90 degrés et celle des minutes est parfaitement
horizontale. Quelle heure est –il ?
c. Les aiguilles sont symétriques par rapport à la ligne horizontale qui passe entre le pivot
des aiguilles et celle des heures est proche du ‘8’. Quelle heure est-il ?
d. Les deux aiguilles sont horizontales. Quelle heure est-il ?
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L’horloge chez le coiffeur
Chez le coiffeur vous regardez le miroir. S’il y a une horloge normale derrière vous accrochée au
mur, vous pouvez la voir mais selon une image inversée. Imaginez que c’est une horloge sans
numéros. Faites le vide dans votre esprit et regardez ce que vous voyez sans l’interprétation de
votre esprit qui vous indique la réalité.
A4
a. Dans le miroir, vous voyez qu’il est environ 2h05. Quelle heure est-il en réalité ?
b. Y a-t-il des heures dans la journée pour lesquelles il n’y a pas de différence entre une
image réelle ou celle projetée par le miroir ?
c. Si vous regardez l’horloge pendant longtemps, vous verrez l’horloge dans le miroir
marcher dans le sens inverse. Bizarre. Mais si vous ne regardez l’heure que de temps en
temps, vous verrez toujours une position des aiguilles qui peut apparaître sur une vraie
horloge. Expliquez pourquoi.
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Partie B : Calculer les positions des aiguilles
Dans la partie A, vous avez déjà été confrontés à l’idée selon laquelle certaines positions des
aiguilles sont impossibles. Les trois horloges suivantes illustrent certaines de ces impossibilités.
Si l’aiguille des minutes indique exactement le 9, celle des heures ne peut pas indiquer
exactement le 10. Nous ne travaillons qu’avec des horloges ultra précises aujourd’hui.
Dans ces exemples, l’explication est simple : l’aiguille des heures indique une heure pile, donc
celle des minutes doit indiquer exactement le 12.
Mais qu’est-ce qui est possible ?
B1 Ci-dessous, vous pouvez voir deux horloges différentes.
a. Sur l’horloge de gauche vous ne pouvez voir que l’aiguille des heures. Elle indique
exactement la marque de 8 minutes.
a. Trouvez la(es) position(s) que l’aiguille des minutes peut avoir.
b. Sur celle de droite vous ne pouvez voir que l’aiguille des minutes. Elle indique
exactement 6 minutes.
c. Trouvez la(es) position(s) que l’aiguille des heures peut avoir.
« La grande aiguille indique 6 minutes » cela veut dire qu’il est une certaine heure et 6 minutes.
Si la petite aiguille indique 8 minutes, alors cela n’a rien à voir avec 8 heures. Il nous faut plus de
précision. L’horloge est divisée en 60 indicateurs de minutes ; les 12 indicateurs plus gras sont
les indicateurs pour les heures (de 1 à 12). La combinaison entre la position de la minute et la
position corrélative de l’heure nous donne l’heure qu’il est.
Nous allons nous intéresser aux positions de l’aiguille des heures et de l’aiguille des minutes ainsi
qu’à l’heure correspondante.
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Afin de faire la différence entre les deux (positions des aiguilles et heure qu’il est), nous devons
nous mettre d’accord sur le fait que :
Les positions des aiguilles sont exprimées en degrés par rapport à la ligne
verticale orientée vers le haut.
Lorsqu’il est exactement 3h10, la grande aiguille est à un angle de 60 degrés et la petite est à un
angle d’un peu plus de 90 degrés.
B2
a. L’angle entre les deux aiguilles change constamment. Quel angle retrouve-t-on le plus
souvent : celui qui apparaît à 3h10 ou celui qui apparaît à 3h40 ?
b. Quel est l’angle entre les deux aiguilles à 4h22 ?
La grande aiguille fait un cercle de 360 degrés en une heure et recommence sa course ; la petite a
besoin d’exactement 12 heures avant de recommencer. De ce fait, il y a une autre différence qu’il
faut prendre en compte.
Si l’on ne considère que la position de la petite aiguille (en degrés par rapport à la ligne
verticale), nous ne prenons alors pas en compte le nombre de tours de 360 degrés que l’aiguille
a déjà effectués. Il y a donc une différence entre la position de l’aiguille par rapport à la ligne
verticale et l’angle qu’elle a effectué depuis l’heure de départ 12 heures (ou 0 heure).
Lorsqu’il est 3h10 la grande aiguille a déjà fait 3 tours complets.
Pour la grande aiguille (celle des minutes) nous utilisons la lettre ‘g’ de deux façons :
g correspond à l’angle effectué par la grande aiguille depuis l’heure de
départ 0 heure ;
G correspond à la position de la grande aiguille (en degrés) par rapport à la
ligne verticale.
Lorsqu’il est 3h10 alors : g = 1140 degrés et G = 60 degrés.
Sur le graphique ci-dessous, les positions des aiguilles (en degrés) sont tracées en fonction du
temps (en heures).
Les positions de la grande aiguille G (en bleu) et celles de la petite aiguille P (en rouge) sont
représentées pour chaque instant t entre 3 heures et 4 heures.
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Notez que 12 (heures) sur l’axe horizontale et 360 (degrés) sur l’axe verticale ont été tous les deux
remplacés par le 0. Cela montre que l’heure et la position des aiguilles ont recommencé un nouveau
tour.
Les formules algébriques suivantes font référence au graphique :
G = 360t – 1080
P = 30t pour
Les graphiques complets de G et P ainsi que toutes formules algébriques (pour toutes valeurs de
t à partir de t = 0 jusqu’à t = 12) sont utiles lorsqu’on calcule la position des aiguilles.
Bien sûr, vous pouvez choisir votre propre méthode. La seule condition étant que vous devez
pouvoir défendre votre position.
Dans la partie A, on vous a demandé combien de fois certaines positions des aiguilles
apparaissaient pendant une période de 12 heures. Une question logique pour continuer est :
B3 A quelles heures précises les aiguilles sont-elles :
exactement superposées ?
exactement à l’opposées l’une de l’autre ?
à un angle de 90 degrés, 120 degrés, 30 degrés ?
Notez que lorsqu’on dit « exactement » on ne veut pas dire « en minutes ou en secondes ou en
dixième de secondes exactement ».
Vous pouvez aussi utilisez des fractions pour l’heure exacte, par exemple 2 heures et 12
minutes.
Les graphiques et les formules algébriques peuvent aussi être utiles pour d’autres types de
questions. Mais, encore une fois, si vous avez votre propre moyen de répondre à ces questions
utilisez-le, mais faites attention à bien avoir une explication claire des choix que vous faites.
B4 Voici une montre qui est souvent présentée dans des
publicités. Les aiguilles sont à des angles exactement égaux par
rapport à l’axe vertical entre le point de pivot des aiguilles,
comme des bras qui invitent le consommateur. Prenez-en note !
a. Quelle est l’heure exacte sur cette montre ?
b. Il y a un plus grand nombre de positions symétriques
par rapport à l’axe vertical (même si elles sont moins
habituelles dans les publicités). A quelles heures est-ce
le cas ?
c. Les aiguilles sont symétriques par rapport à l’axe
horizontal entre le pivot des aiguilles et la petite aiguille
est proche du 8. Quelle est l’heure exacte ?
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B5 A cause d’un problème de montage, la petite aiguille commence à aller dans le mauvais sens au milieu de la nuit à 0 heures (minuit). La grande aiguille, par contre, continue à avancer dans la bonne direction. Calculez à quelle heure les aiguilles de cette horloge seront exactement superposées.
B6 Inventez au moins deux problèmes vous-mêmes que vous pouvez résoudre en utilisant le
graphique et les formules algébriques. Il est évident que ce serait préférable si vous pouviez
avoir les solutions aussi.
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Partie C : Cauchemar ?
Durant la nuit, vous vous réveillez et voyez sur votre réveil qu’il est juste minuit passé. Vous
vous rendormez mais une heure après environ, vous vous réveillez de nouveau. Vous êtes
sidéré ! C’est comme si le temps s’était arrêté. Par chance, vous réalisez votre erreur : la grande
et la petite aiguille ont échangé leur place.
Il est clair qu’au moment juste avant que les deux aiguilles échangent leurs places, les positions
des aiguilles étaient possibles, comme dans le cas ci-dessus. La question est, toutefois, lorsque
les aiguilles ont échangé leurs places, est-ce que les nouvelles positions sont possibles ?
Le raisonnement suivant devrait vous aider à comprendre.
Examinez les positions de la grande et la petite aiguille sur l’horloge de gauche (appelons-les G1
et P1 pour le moment).
Puisque la grande aiguille tourne 12 fois plus vite que la petite aiguille, l’angle effectué par les
aiguilles en degrés correspond à : g = 12P.
Puisque G1 est égal à un peu plus de 30 degrés, alors P1 doit être égal à un peu plus de 2,5 degrés.
Sur l’horloge de droite ça doit être l’inverse : G2 est égal à un peu plus de 2,5 degrés et P2 à un
peu plus de 30 degrés. Mais l’aiguille des minutes a fait un cercle de plus de 360 degrés ! Donc G2
doit être égal à un peu plus de 362,5 degrés.
Une première approche afin de déterminer l’heure exacte en utilisant une estimation initiale
peut être schématisée comme ci dessous.
Avec une première estimation :
P1 = 2,52 pour l’horloge de gauche, les autres valeurs peuvent être calculées :
Juste après 12 heures : Mais juste après 1 heures
(quand les deux aiguilles changent de place)
P1 = 2,52 P2 = 30,24
12 12
b1 = 30,24 b2 = 362,88
Donc la position de la grande aiguille après 1 heure est alors G2 = 2,88 degrés. Pas mal, mais ça
pourrait être mieux ! L’écart entre P1 et G2 pourrait être réduit.
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Examinez avec attention le calcul dans le diagramme ci-dessus et essayez une nouvelle fois en
utilisant une autre estimation pour P1 sur l’horloge de gauche afin que la valeur de G2 sur
l’horloge de gauche soit égale à P1.
Maintenant prêtez attention à la manière dont vous avez procédé dans vos calculs.
Essayez d’en faire une description à un niveau plus général et de l’utiliser pour répondre aux
deux questions suivantes :
C1 Combien y a-t-il de positions exactes des aiguilles sur une période de 12 heures telles que
lorsque les aiguilles sont échangées, cela produise encore une position correcte des
aiguilles ?
C2 Calculez certaines de ces positions exactes des aiguilles.
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Part D : Heures, minutes et secondes : un challenge pour les
« accros » du temps réel
La trotteuse, qui mesure les secondes, n’a pas joué de rôle pour l’instant. Toutefois, dans cette
partie, nous allons l’inclure ! La trotteuse fait le tour de l’horloge en une minute. Sur une période
de 12 heures, elle fait donc 720 tours.
Donc, pour la trotteuse comme pour l’aiguille des minutes, il est nécessaire de faire la différence
entre la position des aiguilles par rapport à la ligne verticale (qui pointe vers le haut) et l’angle
qu’elle a effectué depuis 0 heures.
Nous sommes d’accord sur le fait que :
s est l’angle effectué depuis l’heure de départ = 0 heures.
S correspond à la position de la trotteuse (en degrés) par rapport à la ligne verticale.
A t = 0 (12 heures) toutes les aiguilles sont superposées.
D1 Déterminez s’il y a d’autres moments où les trois aiguilles sont superposées. Vous pouvez
vous aider des résultats obtenus dans la partie B.
D2 Y a-t-il un (des) moment(s) où l’aiguille des heures, celle des minutes, et celle des
secondes sont toutes séparées par un angle de 120 degrés?
Une autre division du temps ; de nouvelles opportunités ?
Jusqu’à maintenant nous avons utilisé une division standard du temps :
Lorsque l’aiguille des heures fait un tour complet, celle des minutes fait 12 tours
complets ;
Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait 60 tours
complets.
Cette division du temps peut s’appeler la division (12, 60). Peut-être êtes-vous déçus par les
réponses que vous avez trouvées pour D1 et D2 avec cette division du temps. En effet, le
positionnement parfait des trois aiguilles n’arrive pas souvent. Mais peut-être qu’une autre
division du temps serait la solution à nos problèmes !
Définissons la division (p, q) du temps ainsi :
Lorsque l’aiguille des heures fait un tour complet, celle des minutes fait p tours
complets ;
Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait q tours
complets.
Donc pour une division (10,10) on obtient :
Lorsque l’aiguille des heures fait 1 tour complet, celle des minutes fait 10 tours complets.
Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait 10 tours
complets.
La dernière question de notre activité sera alors :
D3 Pour quelle division (p, q) du temps peut-on trouver des moments où les trois aiguilles
sont séparées par un angle de 120 degrés ?