Další typy dopravních problémůDalší typy dopravních problémů

Přiřazovací problémPřiřazovací problém Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m)Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m) Čtvercová matice sazebČtvercová matice sazeb Přiřazení 1:1Přiřazení 1:1 Silně degenerovaná řešeníSilně degenerovaná řešení Maďarská metodaMaďarská metoda

PříkladPříklad

Garáž 1 Garáž 2 Garáž 3 Garáž 4Auto 1 20 25 18 14Auto 2 34 36 28 22Auto 3 15 17 14 14Auto 4 22 25 19 20

Navrhněte plán rozvozu aut do garáží tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. V tabulce jsou vzdálenosti mezi auty a jednotlivými garážemi v kilometrech.

Maďarská metodaMaďarská metoda1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního 1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního

prvkuprvku2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry - nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci- nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé

nulynuly3) Je-li počet krycích čar menší než m =3) Je-li počet krycích čar menší než m =>> sekundární redukce: sekundární redukce: - vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků- vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků

- toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí- toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí- 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny- 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny- 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme- 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme

Zpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven mZpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven m

Okružní dopravní problémOkružní dopravní problém Problém pošťáka, problém obchodního cestujícíhoProblém pošťáka, problém obchodního cestujícího Dána síť míst, která je potřeba projít tak, žeDána síť míst, která je potřeba projít tak, že

do každého místa se jde právě jednoudo každého místa se jde právě jednou skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh)skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh)

Minimalizuje se délka trasyMinimalizuje se délka trasy Přibližné řešeníPřibližné řešení Metoda nejbližšího sousedaMetoda nejbližšího souseda Vogelova aproximační metodaVogelova aproximační metoda

PříkladPříklad

Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:

Brno Jihlava Luhačovice Olomouc Strážnice Svitavy Zlín ZnojmoBrno - 86 104 77 76 71 98 65Jihlava 86 - 190 163 162 103 184 75Luhačovice 104 190 - 86 53 164 23 163Olomouc 77 163 86 - 95 78 63 142Strážnice 76 162 53 95 - 147 52 115Svitavy 71 103 164 78 147 - 141 136Zlín 98 184 23 63 52 141 - 162Znojmo 65 75 163 142 115 136 162 -

Metoda nejbližšího sousedaMetoda nejbližšího souseda Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhuStanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu Přejde se k místu, které je nejbližší místu Přejde se k místu, které je nejbližší místu

aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli)kde už jsme byli)

Postup se opakuje tak dlouho, dokud se Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místanevrátíme do výchozího místa

Prověřit všechna místa jako výchozíPrověřit všechna místa jako výchozí

Vogelova aproximační metodaVogelova aproximační metoda Podobná jako v JDÚPodobná jako v JDÚ Výpočet diferencí v každé řaděVýpočet diferencí v každé řadě Do řešení se zařazuje přednostně Do řešení se zařazuje přednostně

nejvýhodnější trasa z řady s maximální nejvýhodnější trasa z řady s maximální diferencídiferencí

Pozor na předčasné uzavírání okruhuPozor na předčasné uzavírání okruhu

MODELY TEORIE MODELY TEORIE GRAFGRAFŮŮ

ObsahObsah Graf - základní pojmyGraf - základní pojmy Základy grafových algoritmůZáklady grafových algoritmů Základní modelyZákladní modely

GrafGraf GG = ( = ( V, EV, E ) ) VV je množina vrcholů (uzlů) grafu je množina vrcholů (uzlů) grafu EE je množina hran grafu je množina hran grafu

Graf - základní pojmyGraf - základní pojmy sousednost vrcholů - incidence vrcholu s sousednost vrcholů - incidence vrcholu s

hranouhranou souvislý grafsouvislý graf orientovaný graforientovaný graf cesta a kružnice cesta a kružnice strom a síťstrom a síť ohodnocený grafohodnocený graf

Základy grafových algoritmůZáklady grafových algoritmů zobrazení grafůzobrazení grafů prohledávání grafu do hloubkyprohledávání grafu do hloubky prohledávání grafu do šířkyprohledávání grafu do šířky topologické číslování vrcholů orientovaného topologické číslování vrcholů orientovaného

grafugrafu

Prohledávání grafu do Prohledávání grafu do šířkyšířky v každém kroku všechny další hrany do ještě v každém kroku všechny další hrany do ještě

nenavštívených uzlůnenavštívených uzlů

Prohledávání grafu do hloubkyProhledávání grafu do hloubky v každém kroku jedna hrana do ještě v každém kroku jedna hrana do ještě

nenavštíveného uzlunenavštíveného uzlu

Topologické číslování vrcholů Topologické číslování vrcholů orientovaného grafuorientovaného grafu

jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, pak platí pro každou hranu (i,j) že i pak platí pro každou hranu (i,j) že i < j< j

2

3

4

51

Základní modelyZákladní modely

Nejlevnější kostraNejlevnější kostra Nejkratší cestaNejkratší cesta Maximální tok v sítiMaximální tok v síti

Nejlevnější kostraNejlevnější kostra

minimální délky větví síťového propojení počítačůminimální délky větví síťového propojení počítačů kostra: souvislý graf s minimálním počtem hrankostra: souvislý graf s minimálním počtem hran princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak,

aby netvořily kružniciaby netvořily kružnici

Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je na následujícím obrázku:na následujícím obrázku:

Příklad – zapojení el. sítěPříklad – zapojení el. sítě

L1

L2

L3

L5

L7

L8

L4

L6

Zdroj

Příklad – zapojení el. sítěPříklad – zapojení el. sítě

L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 ZdrojL1 10 17 22 14 8 9 15 21L2 10 18 12 8 14 16 19L3 8 7 12 16 15 12L4 8 18 16 12 5L5 7 10 6 7L6 5 9 14L7 7 12L8 6

Matice vzdáleností mezi komponentami v metrech:

Nejkratší cestaNejkratší cesta

nejkratší cesta mezi místem A a Bnejkratší cesta mezi místem A a B maximální délka navazujících činnostímaximální délka navazujících činností princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k)princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k)

(kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu (kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu k přes uzel j) k přes uzel j)

ik

j

Nejkratší cesta v grafuNejkratší cesta v grafu Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místyNalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy Síť cestSíť cest Některé cesty nemusí existovatNěkteré cesty nemusí existovat Postup řešeníPostup řešení

Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálníholze dostat z uzlu aktuálního

Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebylijsme ještě nebyli

Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místaAlgoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa

Příklad – nejkratší cestaPříklad – nejkratší cesta

A

B

D

C

F

E

H

G

A B C D E F G HA ----- 5 7 9 ----- ----- ----- -----B 5 ----- 6 4 9 7 ----- -----C 7 6 ----- 6 ----- 5 ----- 15D 9 4 6 ----- 7 20 8 -----E ----- 9 ----- 7 ----- 6 ----- 6F ----- 7 5 20 6 ----- 6 12G ----- ----- ----- 8 ----- 6 ----- 4H ----- ----- 15 ----- 6 12 4 -----

Najděte nejkratší cestu z místa A do místa H:

Maximální tok v sítiMaximální tok v síti

proputnost produktovodůproputnost produktovodů Ford Fulkersonova větaFord Fulkersonova věta

maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezumaximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu

PříkladPříklad

U1

U2

U3

U4

U7

U6

U5

U8

U9

U10

6

7

83

4

3

5 7

2

21

3

4

8

4

Jaké maximální množství plynu lze pustit do následující sítě? Kapacity hran jsou dány v m3.

Projektové plánováníProjektové plánování

Dva typy pohledů a) Manažerský (Co je reálné) b) Systémově analytický (Co je teoreticky možné)

Ad a) Personalistika, teorie organizace - Především lidské zdroje (motivace, odpovědnost) - Důraz na realizaci projektu

Ad b) Operační výzkum, systémová analýza - Především exaktní realizace (analýza rezerv, optimalizace

využití zdrojů, minimalizace nákladů - Důraz na projektovou osnovu

Projektové řízeníProjektové řízení"Plánování organizování a řízení úkolů a jejich zdrojů v rámci uceleného projektu za respektování časových, zdrojových a nákladových omezení" - obvykle s cílem dosažení maximálního ekonomického efektu)

Uplatnění postupů projektového Uplatnění postupů projektového řízenířízení

ANO Jedinečné projekty s jasně daným počátkem a koncem (stavebnictví, marketing) Typové projekty s jasně daným počátkem a koncem (výrobní linky, sériová výroba)

NE Kontinuální procesy, procesy s velkým podílem operativního řízení (služby, zásobování)

Projekt a jeho komponentyProjekt a jeho komponentyDefinice projektuDefinice projektu„„Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle"dosažení stanoveného cíle"

ČinnostČinnostnapř. : Kopání základů domu, Cesta Praha - Brno, Pracovní např. : Kopání základů domu, Cesta Praha - Brno, Pracovní směna, ale i Zahájení projektu, Odpočinek směna, ale i Zahájení projektu, Odpočinek

Zdroj (Resource) Zdroj (Resource) Faktor zabezpečující činnost, v průběhu projektu se využívá nebo Faktor zabezpečující činnost, v průběhu projektu se využívá nebo spotřebovává, např. : Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i spotřebovává, např. : Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i Osobní automobil, Kancelář nebo písek, PHMOsobní automobil, Kancelář nebo písek, PHM

Nástroje projektového řízeníNástroje projektového řízeníZakladatel - Henry L. Gantt (1861 - 1919) Zakladatel - Henry L. Gantt (1861 - 1919) • • 1901 - první společnost pro řízení projektů 1901 - první společnost pro řízení projektů • • od řízení lidí k řízení projektů od řízení lidí k řízení projektů • • první postupy - Ganttův diagram, časová osa, lineární diagram první postupy - Ganttův diagram, časová osa, lineární diagram

Hranově orientované grafyHranově orientované grafy Metoda kritické cesty - CPM (Critical Path Method) Metoda kritické cesty - CPM (Critical Path Method) Technika hodnocení a kontroly programů - PERT (Program Technika hodnocení a kontroly programů - PERT (Program Evaluation and Review Technique)Evaluation and Review Technique) Grafická technika hodnocení a kontroly GERT (Graphical Evaluation Grafická technika hodnocení a kontroly GERT (Graphical Evaluation and Review Technique) and Review Technique)

Uzlově orientované grafyUzlově orientované grafy Metoda měření potenciálů v sítích - MPM (Metra Potential Method) Metoda měření potenciálů v sítích - MPM (Metra Potential Method)

GrafGraf= >Dvojice {U,V} = >Dvojice {U,V} U..množina vrcholů U={uU..množina vrcholů U={u11,u,u22,…,u,…,unn} } V..množina neuspořádaných dvojic prvků {uV..množina neuspořádaných dvojic prvků {uii,u,ujj} z U .. tj. } z U .. tj. hrana hrana

Graf Graf -konečný x nekonečný -konečný x nekonečný -cesta v grafu (posloupnost navazujících hran mezi uzly u-cesta v grafu (posloupnost navazujících hran mezi uzly u ii a a uujj) ) -souvislý x nesouvislý (resp. spojitý x nespojitý) -souvislý x nesouvislý (resp. spojitý x nespojitý) -orientovaný x neorientovaný -orientovaný x neorientovaný -cyklický x acyklický-cyklický x acyklický

SíťSíťSíť je graf, který je:Síť je graf, který je: spojitýspojitý orientovanýorientovaný acyklickýacyklický má jeden počáteční a jeden koncový uzelmá jeden počáteční a jeden koncový uzel

Časová analýza projektuČasová analýza projektuMetoda CPMMetoda CPMPro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministickáPro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministická

Výpočet Výpočet Celkové doby trvání projektuCelkové doby trvání projektu Termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby Termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby

realizace uzlůrealizace uzlů Časových rezerv pro uzly a činnostiČasových rezerv pro uzly a činnosti Určení kritické cestyUrčení kritické cesty

Grafické zobrazení činnostíGrafické zobrazení činností

i

ti0 ti

1

j

tj0 tj

1

tij

Činnost A

PříkladPříkladRekonstrukce výrobního provozu

Postup řešení metodou CPMPostup řešení metodou CPM Tvorba hranově orientovaného grafuTvorba hranově orientovaného grafu Výpočet nejdříve možných počátků činnostíVýpočet nejdříve možných počátků činností Výpočet nejpozději přípustných počátků Výpočet nejpozději přípustných počátků

činnostíčinností Určení kritických činností a kritické cestyUrčení kritických činností a kritické cesty Výpočet časových rezerv činností a uzlůVýpočet časových rezerv činností a uzlů

Výpočet časových rezervVýpočet časových rezerv

i

ti0 ti

1

j

tj0 tj

1

tij

celková rezerva činnosti

nezávislá rezerva činnosti

zvláštní rezerva činnosti

volná rezerva činnosti

ŘešeníŘešení

Časová a pravděpodobnostní Časová a pravděpodobnostní analýza projektuanalýza projektu

Metoda PERTMetoda PERTPro hranově orientované grafy, konjunktivě stochastickáPro hranově orientované grafy, konjunktivě stochastická

Výpočet Výpočet Celkové průměrné doby trvání projektuCelkové průměrné doby trvání projektu Průměrných termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné Průměrných termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné

doby realizace uzlůdoby realizace uzlů Průměrných časových rezerv pro uzly a činnostiPrůměrných časových rezerv pro uzly a činnosti Určení pravděpodobné kritické cestyUrčení pravděpodobné kritické cesty Pravděpodobnosti, že projekt skončí dříve/později než je Pravděpodobnosti, že projekt skončí dříve/později než je

stanovený časstanovený čas V jakém čase projekt skončí s danou pravděpodobnostíV jakém čase projekt skončí s danou pravděpodobností

PříkladPříkladRekonstrukce výrobního provozu

Činnost Optimistický Realistický Pesimistickýa 3 8 9b 3 6 10c 1 2 6d 2 4 8e 5 10 12f 9 12 12g 4 5 10h 4 4 4i 2 3 5

Grafické zobrazení uzlůGrafické zobrazení uzlů

i

Ti0

0i2

Ti1

1i2

Postup řešení metodou PERTPostup řešení metodou PERT Tvorba hranově orientovaného grafuTvorba hranově orientovaného grafu Výpočet nejpravděpodobnějších dob trvání Výpočet nejpravděpodobnějších dob trvání

činnostíčinností Časová analýza pravděpodobnostního Časová analýza pravděpodobnostního

charakteru (viz CPM)charakteru (viz CPM) Pravděpodobnostní analýza projektuPravděpodobnostní analýza projektu

PERT – pravděpodobnostní analýzaPERT – pravděpodobnostní analýza Pravděpodobnost, že projekt skončí do stanoveného času = Pravděpodobnost, že projekt skončí do stanoveného času =

P(x), kdeP(x), kde

Interval skutečného konce projektu s požadovanou Interval skutečného konce projektu s požadovanou pravděpodobnostípravděpodobností

resp. resp.

2n

nS TTx

i0

0i

0i T

x

i1

1i

1i T

x