Dal triangolo alle coniche

8/8/2019 Dal triangolo alle coniche

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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit

Dal triangolo alle conicheal calcolatore

Norberto Gavioli

Universit degli Studi dellAquila

Seminari giugno 2008
http://find/http://goback/


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Argomenti

1Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo

Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson

I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit

Coordinate afni sulla rettaAfnit

Coordinate afni e baricentriche nel piano3 Proiettivit

BirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane


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Argomenti








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Il cerchio degli otto punti

TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.

Dim.


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Dim.Le congiungenti i punti medi dellati consecutivi del quadrilate-ro sono parallele alle diagona-li, pertanto MNPQ un ret-tangolo

Il hi d i i l i i l i l i l C i di f i P i i i


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Dim.Le congiungenti i punti medi dellati consecutivi del quadrilate-ro sono parallele alle diagona-li, pertanto MNPQ un ret-tangolo ed inscritto in unacirconferenza.

Il hi d i ti lt t i i l ti l t i l C t i di f it P i tti it


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Dim.

Detto H il piede della perpen-dicolare mandata daQ al lato

AB si ha che gli angoliNHQ e NMQ sono retti...



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Dim.

. . . e pertanto N , H , M eQ appartengono alla stessa

circonferenza di diametroNQ .



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Argomenti









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Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...

TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.

Dim.Nel triangolo ABC sono da-ti lortocentroO ed i piedi delle

altezze I , J ed L.



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Dim.Il quadrilateroABCO



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Dim.Il quadrilatero ABCO ha lediagonali AC e BO tra loro

perpendicolari.



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Dim.Sappiamo allora che per i puntimedi N , M , P e Q e per i pie-

di J ed L delle perpendicolaricondotte da P e Q passa unacirconferenza



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p g



Dim.Considerando invece il quadri-latero OACB si trova che la cir-

conferenza perP , Q ed L pas-sa anche per il punto medioR diAC ed il punto medioT di OB .



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p g


DenizioneLa circonferenza indicata nel precedente teorema dettacerchio dei nove punti. Si pu mostrare che il suo centroX giace assieme al baricentroU , al circocentroV e allortocentroO su di una retta detta retta di Eulero.

(dimostrazione interattivaanimazione.zir )



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Argomenti

1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo



Coordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano

3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane



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La retta di Simpson

TeoremaSe P un punto del circoncerchio del triangolo ABC , allora i tre piedi X , Y , e Z delle perpendicolari mandate da P alle tre rette AB , BC e CA sono allineati.

Dim.Dimostrazione animata lesimpson2.zir



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Argomenti








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il teorema di Ceva

Teorema [di Ceva]Siano dati i punti X , Y e Z rispettivamente sulle rette AB , BC e CA. Le tre rette CX , BZ e AY sono concorrenti in un medesimo punto P se e solo se

AX XB

BY Y C

CZ ZA

= 1

(le lunghezze vanno intese come lunghezze di segmenti orientati)

La dimostrazione lasciata per esercizio



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Triangolo ceviano e ceviane

In generale dato un puntoP ed un triangolo ABC chiameremoproiezioni ceviane del puntoP i puntoAP := P A BC , BP := P B CA, C P := P C AB .Il triangolo AP BP C P anche detto triangolo ceviano del

punto P relativamente al triangolo ABC .



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Triangolo ceviano e ceviane

In generale dato un puntoP ed un triangolo ABC chiameremo proiezioni ceviane del puntoP i puntoAP := P A BC , BP := P B CA, C P := P C AB .Il triangolo AP BP C P anche dettotriangolo ceviano del

punto P relativamente al triangolo ABC .



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il teorema di Menelao

Teorema [di Menelao]Tre punti X , Y e Z rispettivamente sulle rette AB , BC e CAsono allineati se e solo se

AX

XB

BY

Y C

CZ

ZA= 1

(le lunghezze vanno intese come lunghezze di segmenti orientati)

La dimostrazione lasciata per esercizio



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Argomenti








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Sistema di riferimento afne sulla rettaPunti base

Due puntiA e B , detti punti base, su di una rettar determinanoun sistema di riferimento afne.

Supporremo che la retta sia orientata e cheA preceda B(scriveremoA < B ). Ad un puntoC della rettar associata lacoordinata afne

tC =AC AB

,

dove il quoziente inteso essere calcolato tra lunghezze disegmenti orientati (con segno).La coppia(A, B ) detta riferimento afne per la rettar .



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tC =AC AB

,




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tC =AC AB

,




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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinata afne

tC =AC AB

In particolaretC < 0 se C < A < BtC = 0 se C = A0 < t C < 1 se A < C < BtC = 1 se C = BtC > 1 se C > B


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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinate baricentriche

Dati due puntiA, B in R n si ha che il puntoP di coordinataafne t nel sistema di riferimento(A, B ) della rettaAB datoda

P = A + t(B A) = (1 t)A + tB

Posto = (1 t) e = t, si ha che + = 1 e

P = A + B.

In generale per ogni puntoP della rettaAB esistono duenumeri reali e , con + = 1 , tali cheP = A + B . Inumeri e sono detti coordinate baricentriche del puntoP nel sistema di riferimento(A, B ).



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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinate baricentriche

Dati due puntiA, B in R n si ha che il puntoP di coordinataafne t nel sistema di riferimento(A, B ) della rettaAB datoda

P = A + t(B A) = (1 t)A + tB

Posto = (1 t) e = t, si ha che + = 1 e

P = A + B.

In generale per ogni puntoP della rettaAB esistono duenumeri reali e , con + = 1 , tali cheP = A + B . Inumeri e sono detticoordinate baricentriche del puntoP nel sistema di riferimento(A, B ).



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Sistema di riferimento afne sulla rettaCambiamento di coordinate afni

Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate connuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo

tC A B = A C = AC AA = ( tC tA )AB

Poich A B = AB AA = ( tB tA )AB , si ha la

formula di cambiamento di coordinata afnetC =

tC tAtB tA



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Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate con nuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo




tC tAtB tA


d f f ll


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Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate con nuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo




tC tAtB tA



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Argomenti








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Afnit e mappe afni

DenizioneSupponiamo che siano date due retter ed s. Una mappainiettivaf : r s detta afnitse per ogni puntoP r edogni coppia di punti distintiA, B r , la coordinata afne dif (P ) relativamente ai punti basef (A) ed f (B ) uguale allacoordinata afne diP relativamente ai punti baseA e B :

f (P )f (B )

f (A)f (B )=

P B

ABPi semplicementef unafnit se preserva i rapporti trasegmenti orientati.


f f


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Afnit e mappe afni

DenizioneSupponiamo che siano date due retter ed s. Una mappainiettivaf : r s detta afnit se per ogni puntoP r edogni coppia di punti distintiA, B r , la coordinata afne dif (P ) relativamente ai punti basef (A) ed f (B ) uguale allacoordinata afne diP relativamente ai punti baseA e B :

f (P )f (B )

f (A)f (B )=

P B

ABPi semplicementef unafnit se preserva i rapporti trasegmenti orientati.


Af i f i


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Afnit e mappe afni

Pi in generale

DenizioneUna mappaf : R n R m detta mappa afnese ogni coppiadi puntiA, B R n per ogni coppia di numeri reali e , tali che + = 1 , si ha che

f (A + B ) = f (A) + f (B )

Meno precisamentef una mappa afne se preserva lecoordinate baricentriche sulle rette afni


Af i f i


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Afnit e mappe afni

Pi in generale

DenizioneUna mappaf : R n R m detta mappa afne se ogni coppiadi puntiA, B R n per ogni coppia di numeri reali e , tali che + = 1 , si ha che

f (A + B ) = f (A) + f (B )

Meno precisamentef una mappa afne se preserva lecoordinate baricentriche sulle rette afni


Esempio di afnit tra rette


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Esempio di afnit tra retteProiezione parallela

Date due retter ed s ed una terza rettat, che non sia parallelaa nessuna delle prime due, si costruisce unapplicazionef : r S nel seguente modo: si manda per un puntoP di r laretta l parallela at, il puntof (P ) si ottiene quindi intersecandolcon s.

Tale mappa unafnit ed dettaproiezione parallela.


Afnit tra rette


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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele

Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .

Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.


Afnit tra rette


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Afnit tra rette


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Afnit tra rette


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Afnit tra rette


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Afnit piane


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Afnit piane

Unafnit piana manda rette parallele in rette parallele ed pertanto completamente determinata una volta specicata sutre punti non allineati.


Argomenti


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Argomenti


Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao

2 Costruzione di afnitCoordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano



Coordinate baricentriche nel piano


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Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentriche diP nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).




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Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentrichedi P nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).




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Argomenti


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Argomenti

1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangoloIl cerchio degli otto punti

Il cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao




Proiezioni e birapporti


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pp

Con riferimento alla gura deniamo il birapporto di quattropunti allineati(A,B,C,D ) = AC ADBC BD =

sin( AOC ) sin( BOD )sin( AOD ) sin( BOC )

.Tale numero dipende solo dalle rettea, b, c e d concorrenti epertanto possiamo chiamarlo loro birapporto e scrivere(A,B,C,D ) = ( A , B , C , D ) = ( A , B , C , D ) =(a,b,c,d), doveD il punto allinnito della rettaA B .

Il birapporto invariante per proiezioni e sezioni.




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pp








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pp






Proiezioni e birapportiP i d l bi


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Propriet del birapporto

posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )

(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) =

1(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E

Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto


Proiezioni e birapportiP i t d l bi t
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratiohttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapportohttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapportohttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratiohttp://find/http://goback/


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(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) = 1

(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da

0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto


Proiezioni e birapportiPropriet del birapporto


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(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) = 1






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(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) = 1






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(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) = 1






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(A,B,D,C ) =1

(A,C,B,D ) = 1

(A,D,C,B ) = 1




Argomenti


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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al

triangoloIl cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao




Proiettivit tra rette (fasci)Denizione


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Denizione

DenizioneUna proiettivit tra due rette (fasci di rette)r ed s una mappabiunivocaf : r s che conserva i birapporti delle quaterne dipunti (rette):(ABCD ) = ( f (A), f (B ), f (C ), f (D )) .

EsempioUn esempio di proiettivit tra rette la proiezione centrale diuna retta su di unaltra.

EsempioUn esempio di proiettivit tra fasci quella che si ottienesecando le rette dei due fasci con una retta ssao eassociando ad una rettar di un fascio la rettar dellaltro fascioche soddisfa la condizioner o = r o.




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Denizione







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Denizione





Proiettivit tra rettecome composizione di proiezioni


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p p

TeoremaSe r ed s sono due rette distinte, allora comunque siano assegnati tre punti distinti A,B,C r e tre punti distinti A , B , C s esiste una ed una sola proiettivit f : r s tale che f (A) = A , f (B ) = B e f (C ) = C , inoltre f si ottiene

come prodotto di due proiettivit.

Dim.Si supponga cheB = r s = f (B ). Si scelganoO = O sulla rettaBf (B )e non sulla rettar n sullaretta s.




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p p



Dim.Si ponga A = OA Of (A) e C = OB Of (C ).




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p p



Dim.Limmaginef (P ) del pun-to P si trova proiettandoP da O sulla retta AC (si trovaP ) e successi-vamente proiettando P da Osu s.


Argomenti


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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al

triangoloIl cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao




Proiettivit piane


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DenizioneUna applicazione biunivocaf : tra due piani (proiettivi) detta essere una proiettivit se manda rette (proiettive) in rettee preserva i birapporti delle quaterne di punti allineati.

Una proiettivit piana completamente determinata una voltache sia assegnata su quattro punti a tre a tre non allineati (inposizione generale).

Esercizio

Date due quaterne di punti nel piano etrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).


Proiettivit piane


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Esercizio

Date due quaterne di punti nel piano etrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).


Proiettivit piane


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Esercizio

Date due quaterne di punti nel pianoetrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).


Teorema di Steiner


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Teorema1 Unapplicazione f : r s tra due rette distinte del piano

proiettivo una proiettivit se e solo se le rette P f (P ), al variare di P r , inviluppano una conica (eventualmente singolare).

2 Unapplicazione f : F G tra due fasci distinti di rette del piano proiettivo una proiettivit se e solo se i punti r f (r ), al variare di r F , giacciono su di una conica

(eventualmente singolare).


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Teorema di Steiner


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Teorema1 Unapplicazione f : r s tra due rette distinte del piano

proiettivo una proiettivit se e solo se le rette P f (P ), al variare di P r , inviluppano una conica (eventualmente singolare).

2 Unapplicazione f : F G tra due fasci distinti di rette del piano proiettivo una proiettivit se e solo se i punti r f (r ), al variare di r F , giacciono su di una conica

(eventualmente singolare).

Vedi animazione

Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti

Argomenti


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4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritte

Triangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche

5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione


Argomenti


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Quaterne armoniche


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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.

Quattro punti distinti allineatiA, B , C e D formano unaqueterna armonica se e solo se vale una delle seguentieguaglianze

(A,B,C,D ) = ( A,B,D,C ) = ( B,A,C,D ) = ( B,A,D,C )


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Quaterne armoniche


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Se quattro punti allineatiA, B , C e D formano una quaternaarmonica si usa anche dire che:

le coppie di punti(A, B ) e (C, D ) si separanoarmonicamente,I puntiC e D sono coniugati armonici rispetto alla coppia(A, B ),I puntiA e B sono coniugati armonici rispetto alla coppia(C, D ).


Quaterne armoniche


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Quaterne armoniche


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Quaterne armoniche


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Teorema del quadrangolo


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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .

Dim.

Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),

proiettando daN si ha (M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .




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Dim.

Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),proiettando da

N si ha

(M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .




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Dim.

Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),proiettando da

N si ha

(M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .




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Dim.Pertanto

(A,B,C,D ) = ( B,A,C,D ) = 1




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Dim.Limplicazione opposta viene dalluni-cit del puntoD allineato conA, B eC tale che (A,B,C,D ) = 1.


Argomenti


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La coppia tripolo tripolare


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Consideriamo un triangoloABC ed un punto P del

piano.Poniamo

X = CP AB,Y = AP BC,Z = AP BC.

Nota: il triangolo XY Z il triangolo ceviano di P rispetto al triangolo ABC .




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DeterminiamoX = Y Z AB .Per il teorema del quadrangoloX il coniugato armonico diX

relativamente al segmentoAB :(X, X ,A,B ) = 1.




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DeterminiamoX = Y Z AB .Per il teorema del quadrangoloX il coniugato armonico diX

relativamente al segmentoAB :(X, X ,A,B ) = 1.




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Analogamente deniamo

Y = XZ BC e Z = XY AC.

Anche in questo caso si trova(Y, Y ,B ,C ) = ( Z, Z ,C ,A) = 1.I punti X , Y e Z sonoallineati (perch?).




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Analogamente deniamo

Y = XZ BC e Z = XY AC.

Anche in questo caso si trova(Y, Y ,B ,C ) = ( Z, Z ,C ,A) = 1.I punti X , Y e Z sonoallineati(perch?).




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La rettaT (P ) := X Y Z vienedettatripolare del puntoP e P dettotripolo della rettaX Y Z .


Costruzione del tripolo

Ci proponiamo ora didetermi-


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p p

nare il tripolo della rettache in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e

X

C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .


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Ci proponiamo ora di determi-


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nare il tripolo della retta che in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e

X






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X






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X




Ci proponiamo ora di determi-l l d ll h


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X



Argomenti


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Circumconiche


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Una circumconicadel triangolo ABC una qualunque conicapassante per i tre puntiA, B e C . una circumconica il cerchio circoscritto al triangoloABC


Circumconiche


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Una circumconica del triangoloABC una qualunque conicapassante per i tre puntiA, B e C . una circumconica il cerchio circoscritto al triangoloABC


Costruzione di circumconiche

Con CaRMetal[1]proviamo ad eseguire un:


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[ ]p g

EsperimentoFissiamo un puntoP nel piano e consideriamo il luogo di tutti itripoli delle rette che passano perP

file://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.html



http://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://find/http://goback/


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p g







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p g







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Problemi


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ProblemaLa curva costruita in questo modo una conica associata alpunto P (che dora in poi chiameremoconica dei tripoli del fascio con centro P ): perch?


Problemi


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Problema

Posso usare questa costruzione per determinare la conica chepassa per 5 punti preassegnati?


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Problemi


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ProblemaPosso usare questa costruzione per determinare la conica chepassa per 4 punti preassegnati ed in uno di essi tangente auna retta preassegnata?


Coniche inscritte.

La costruzione duale di quella appena presentata serve a


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q pp pcostruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.

Mostrate che lua curva determinata una conica e che i punti di tangenzaX , Y e Z si sono le proiezioni ceviane

del tripoloQ della rettar . Deducete ilteorema delle tre tangenti (vedi lucidosuccessivo).


Coniche inscritte.



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q pp pcostruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.




Coniche inscritte.



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costruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.




Teorema delle tre tangenti


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Teorema delle tre tangentiEsiste una conica tangente alle tre rette AB , BC e CDrispettivamente nei punti X , Y e Z se e solo se le tre rette AY ,BZ e CX sono concorrenti.


Argomenti


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4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche

5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimento

DualitUna costruzione


Triangolo ceviano di un punto

Teorema del triangolo ceviano


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Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.

Dim.

Tracciamo il triangolo cevianodi P relativamente al triango-lo ABC . Poniamo G :=AP C P AC .





120/169


Dim.

Tracciamo il triangolo cevianodi P relativamente al triango-lo ABC . Poniamo G :=AP C P AC .





121/169


Dim.

Il Teorema del quadrango-lo applicato al quadrangoloAP P C P B mostra che laquaterna CAB P G armonica.





122/169


Dim.Proiettando con centroAP laretta AC sulla retta BC trovia-mo...





123/169


Dim.

(B,P,E,B P ) = ( C,A,G,B P ) =1/ (C,A,B P , G) = 1.





124/169


Dim.Cosicch la quaternaBPEB P armonica. Con un ragio-namento analogo si vede che

le restanti quaterneAPDA P eCPFC P sono armoniche.


Triangolo preceviano

DenizioneP P P


125/169

Un triangolo AP B P C P detto preceviano del puntoP relativamente al triangolo ABC se ABC il triangoloceviano diP relativamente al triangolo AP B P C P .


Triangolo preceviano

Esercizio


126/169

Dati nel piano un triangoloABC ed un puntoP si determininoi puntiAP , B P e C P tali che le quaterneAAP P A P , BB P P B P eCC P P C P siano armoniche. Dimostrare che AP B P C P lunico triangolo preceviano diP relativamente a ABC .


Argomenti

4 G i i i d l i l


127/169

4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche




Involuzioni di Cremona


128/169

Consideriamo quattro puntiA, B , C , P , nel piano proiettivo, atre a tre non allineati (formano pertanto un riferimentoproiettivo)




129/169




130/169

Con le notazioni gi utilizzate determiniamo la tripolare

T (P ) = X

Y

Z

del puntoP




131/169




132/169

Scegliamo ora un puntoQ del piano e consideriamo le sueproiezioni ceviane:L = AB CQ , M = BC AQ eN = CA BQ (in blu nella prossima gura).




133/169




134/169

Si determinano i puntiL , M , ed N coniugati armonici diL, M ed N rispetto alle coppie(X, X ), (Y, Y ) e (Z, Z ) (in cianonella prossima gura).




135/169




136/169

Le tre retteAM , BN e CM si incontrano in un puntoQ(dimostratelo). Il puntoQ detto trasformato di Cremona diQrelativamente al riferimento proiettivoABCP .




137/169



Lapplicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica di


138/169

L applicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica diCremona relativamente al riferimento proiettivoABCP e non denita nei puntiA, B e C . La mappa una trasformazionedel piano privato delle tre retteAB , BC e AC in s ed

involutoria: 2

= Id .La mappa trasforma rette in coniche circoscritte al triangoloABC . Dimostrate che, nel caso in cuiP sia lincentro diABC (e la traformazione viene allora detta coniugio

isogonale), il circoncerchio diABC si ottiene come

trasformato della retta impropria tramite .



Lapplicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica di


139/169

L applicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica diCremona relativamente al riferimento proiettivoABCP e non denita nei puntiA, B e C . La mappa una trasformazionedel piano privato delle tre retteAB , BC e AC in s ed

involutoria: 2

= Id .La mappa trasforma rette in coniche circoscritte al triangoloABC . Dimostrate che, nel caso in cuiP sia lincentro diABC (e la traformazione viene allora detta coniugio

isogonale), il circoncerchio diABC si ottiene come

trasformato della retta impropria tramite .


Tangenti nei vertici del triangoloNella gura appare in verde la conica trasformata di Cremonadella rettar (in blu),Q = (Q).

Posto U = r AC Preso un punto qualunqueS sulla rettaBUt t h l tt l tt t t ll


140/169

Posto U r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU mostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .



Posto U = r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU t t h l tt BS B (S) l tt t g t ll


141/169

Posto . Preso un punto qualunque sulla rettamostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .



Posto U = r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU mostrate che la rettaBS B (S) la retta tangente alla


142/169

Posto . Preso un punto qualunque sulla rettamostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .


Il cerchio dei nove punti


143/169

EsercizioIn un triangolo ABC di cosiderino lortocentroH ed i piediR ,S e T delle altezze. Mostrate che la trasformata di Cremonadella retta impropria relativamento al riferimento proiettivodeterminato dai puntiR , S , T e H il cerchio dei nove punti deltriangolo ABC .


Argomenti

4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche


144/169

p gQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche




Proposte di approfondimento


145/169

EsercizioDeterminate geometricamente le tangenti nei vertici deltriangolo ABC della conica dei tripoli delle rette passanti perP .




146/169

EsercizioUtilizzando la conica dei tripoli delle rette passanti per per un

punto (o altra costruzione illustrata), determinategeometricamente le coniche passanti per tre punti preassegnatia tangenti in due di essi a due rette preassegnate.




147/169

EsercizioUtilizzando la conica dei tripoli delle rette passanti per per un

punto (o altra costruzione illustrata), determinategeometricamente il fascio delle coniche passanti per quattropunti preassegnati.




148/169

EsercizioDimostrate che le costruzioni illustrate determinanoeffettivamente delle coniche.




149/169

EsercizioTentate di dare una classicazione afne delle conichecostruite con i metodi illustrati.




150/169

EsercizioMostrate che la tripolare di un puntoP rispetto al triangolo

ABC coincide con la tripolare diP rispetto al triangoloceviano AP BP C P


Argomenti

4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche


151/169

QLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche



Dualit


152/169

Consideriamo il triangolo cevianoAP BP C P del puntoP rispetto al triangolo ABC .


Dualit


153/169

Cosrtruiamo la conica (in blu in gura) dei poli di tutte le retteper P relativamente al triangolo cevianoAP BP C P del puntoP rispetto al triangolo ABC .


Dualit


154/169

Tale conica circoscritta al triangolo cevianoAP BP C P erisulta essere inscritta al triangolo ABC (perch?).


Dualit


155/169

Consideriamo la retta tripolareT (P ) del puntoP relativamenteal triangolo ABC ed un suo puntoQ.


Dualit


156/169

La rettaT (Q), tripolare diQ rispetto al triangolo ABC , risultaesse tangente alla conica (perch?).


Dualit


157/169

Posto F = T (Q) AB e G := T Q BC denianoH := F A P GC P .


Dualit


158/169

Il puntoT := BH T (Q) il punto in cui la rettaT Q tangentealla conica (a voi il compito di dimostrarlo. . .).


Argomenti

4Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche

L i t i l t i l


159/169

La coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e preceviani

involuzioni quadratiche



Una costruzione

Il lettore invitato a dimostrareche


160/169

Il lettore invitato a dimostrarechela costruzione che verr illustrata per-mette effettivamente di determinarelaconica che passa per i puntiA, B e C ed tangente inD alla rettat.


Una costruzione

C id i il i l


161/169

Consideriamo il triangoloABC .Costruiamo il triangolo AD BD C Dceviano di D relativamente a

ABC . . .


Una costruzione

C id i il i l


162/169

Consideriamo il triangoloABC .Costruiamo il triangolo AD BD C Dceviano di D relativamente a

ABC . . .


Una costruzione

i t hi i i l ti l tt


163/169

e intersechiamo i suoi lati con la rettat, ottenendo in tal modo i puntiG, F e H . Consideriamo ora il triangolo

IJK delimitato dalle retteBF , AG eCH .


Una costruzione

e intersechiamo i suoi lati con la retta


164/169

e intersechiamo i suoi lati con la rettat, ottenendo in tal modo i puntiG, F e H . Consideriamo ora il triangolo

IJK delimitato dalle retteBF , AG eCH .


Una costruzione

Le tre retteIB JC e KA si incontrano


165/169

Le tre retteIB , JC e KA si incontranoin un puntoP .


Una costruzione

La conica dei tripoli delle rette perP


166/169

rispetto al triangolo ABC . . .


Una costruzione

La conica dei tripoli delle rette perP


167/169

rispetto al triangolo ABC . . .

la conica cercata.

Bibliograa

Bibliograa

[CaRMetal] Rene Grothmann,CaRMetal sitehtt
http://find/http://goback/http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.html


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[Coxeter, Greitzer, 1967] H. S. M. Coxeter, S. L. GreitzerGeometry Revisited1967 The Mathematical Association of America[Enriques, 1904] Federigo Enriques,Lezioni di Geometria Proiettiva,1904 II ed. Zanichelli (Bologna) Ristampa del 2000

Bibliograa

Bibliograa

[Hyacinthos] Yahoo Group,Hyacinthos We discuss themes on Triangle Geometryhttp://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/
http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://find/http://goback/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/


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[Honsberger, 1995] Ross Honsberger,Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean

Geometry1995 The Mathematical Association of AmericaNew Mathematical Library[Yiu, 2001] Paul Yiu,

Introduction to the Geometry of the Triangle,http://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.ps ,2001.
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Dal triangolo alle coniche

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