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DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE A QUELLO DELLA SUA DERIVATA

Per passare dal grafico di 𝑓 𝑥 al grafico di 𝑓′ 𝑥 si considera che:

1. nei punti di max/min di 𝑓 𝑥 , si ha 𝑓′ 𝑥 =0; 2. negli intervalli in cui 𝑓 𝑥 è crescente, si ha 𝑓′ 𝑥 > 0 e negli intervalli in cui 𝑓 𝑥 è decrescente, si ha

𝑓′ 𝑥 < 0; 3. nei punti di flesso si ha 𝑓′′ 𝑥 =0 e quindi 𝑓′ 𝑥 ha la tangente orizzontale (può avere sia un max che un

min).

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DAL GRAFICO DELLA DERIVATA A QUELLO DELLA SUA FUNZIONE PRIMITIVA Dato il grafico di 𝑓′ 𝑥 , non si può univocamente determinare il grafico di 𝑓 𝑥 (vedi esempio seguente)

Dove 𝑓′ 𝑥 è positiva, segue che 𝑓 𝑥 è crescente; Dove 𝑓′ 𝑥 è negativa, segue che 𝑓 𝑥 è decrescente; Dove 𝑓′ 𝑥 è nulla, segue che 𝑓 𝑥 ha punti a tangente orizzontale (max/min/flessi a tg orizz). Dove 𝑓′ 𝑥 è crescente, segue che 𝑓 𝑥 ha la concavità verso l’alto; Dove 𝑓′ 𝑥 è decrescente, segue che 𝑓 𝑥 ha la concavità verso il basso; Dove 𝑓′ 𝑥 ha punti a tangente orizzontale (max/min/flessi a tg orizz), segue che 𝑓 𝑥 ha punti di flesso.

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RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

Uno tra i problemi più importanti della matematica è quello della ricerca delle soluzioni (o radici) di un’equazione. Risolvere un’equazione ad una sola incognita 𝑓 𝑥 = 0 vuol dire calcolarne le radici reali, ossia determinare, se esistono, i valori numerici che rendono vera l’uguaglianza 𝑓 𝑥 = 0. Non sempre si è in grado di risolvere un’equazione con metodi e formule algebriche. Occorre dunque ricercare un metodo numerico per trovare la soluzione, che sarà, di conseguenza, una soluzione approssimata. Il procedimento risolutivo si può sostanzialmente distinguere in due fasi:

1. determinare gli intervalli dell’asse reale all'interno dei quali esiste ed è unica la radice dell’equazione 𝑓 𝑥 = 0 (separazione delle radici).

2. applicare un algoritmo opportuno che permette di determinare la radice con l’approssimazione voluta.

SEPARAZIONE DELLE RADICI Sia f x = 0 un’equazione ad una sola incognita: se ci è una sua soluzione, allora f 𝑐! = 0. Separare le radici di un'equazione significa individuare, per ogni radice ci , un intervallo [a,b] che la contenga e che non contenga alcun’altra radice. Il modo più efficace per separare le radici di un’equazione è quello di ricorrere ad una opportuna interpretazione grafica. PRIMO METODO GRAFICO

Risolvere l'equazione f x = 0 equivale, graficamente, a determinare, nel piano cartesiano, le intersezioni del grafico della funzione 𝑦 = f x con l’asse delle ascisse di equazione y = 0.

SECONDO METODO GRAFICO La risoluzione di un’equazione si può anche interpretare come la ricerca dei punti di intersezione tra due curve nel piano cartesiano. L'equazione F x − G 𝑥 = 0 equivale infatti al sistema formato dalle equazioni 𝑌 = F x e 𝑌 = G x . Osservando il grafico, si può affermare che una soluzione dell’equazione F x − G 𝑥 = 0 appartiene all’intervallo [ 1 , 2 ].

Richiamiamo alcuni TEOREMI relativi alle funzioni continue che garantiscono l’unicità dello zero per f x = 0, dietro condizioni particolari. Richiamo:

N.B. non è garantita l’unicità!

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N.B. 𝑓′ 𝑥 ≠ 0

N.B. 𝑓!!(𝑥) < 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 > 0

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METODO DI BISEZIONE

Il metodo iterativo più semplice è il metodo di bisezione che utilizza il teorema di esistenza degli zeri (sopra richiamato); supponiamo di avere già separato le radici e di sapere che l’equazione 𝑓 𝑥 = 0 ha una sola soluzione c nell’intervallo 𝑎; 𝑏 . Si divide allora 𝑎; 𝑏 in due parti tramite il punto medio c in due intervalli [𝑎; 𝑐] e [𝑐; 𝑏] . La divisione in due parti suggerisce il titolo bisezione dato al metodo. Calcolato il valore f (c) possono verificarsi tre casi:

• f(c)=0, allora c è la radice esatta (e il procedimento si arresta); • f(c)≠0 ed ha segno opposto a quello di f(a), allora c’è la radice in [a;c]; • f(c)≠0 ed ha segno opposto a quello di f(b), allora c’è la radice in [c;b].

In questi ultimi due casi, il valore di c trovato è già una soluzione approssimata (a meno della quantità ε0 =

b − a2

)

Supponendo di voler conoscere il valore approssimato della soluzione con migliore approssimazione, si seleziona il primo o il secondo dei due semi-intervalli e si ripete il procedimento su di esso. Ci si ferma quando l’approssimazione della soluzione parziale trovata è quella desiderata. Se l’ultimo intervallo individuato è 𝑎!; 𝑏! , l’approssimazione con cui si è trovata la soluzione è εn =

b0 − a02n

Esempio 1 Consideriamo l’equazione x + 2! = 0 con −1 ≤ x ≤ 1 La funzione y = x + 2! è continua per qualunque x appartenente a R e dunque è continua nell’intervallo considerato, e si ha f(−1) = − ½ e f(1) = 3. Deve quindi esistere un punto c interno all’intervallo in cui si ha f(c) = 0; ciò significa che l’equazione considerata ha almeno una soluzione interna all’intervallo [−1, 1] A questo punto cerchiamo un modo per valutare la radice dell’equazione.

Tale equazione equivale all’equazione 2! = − x che a sua volta equivale al sistema y = 2!y = −x

L’interpretazione grafica del sistema è immediata: le sue soluzioni corrispondono alle coordinate degli eventuali punti d’intersezione tra la curva esponenziale d’equazione 𝑦 = 2! e la retta d’equazione y = -x.

y

x- 1 c

Come si vede vi è un solo punto di intersezione e la sua ascissa è compresa tra –1 e 0. Per averne la conferma, ricorriamo al teorema di esistenza degli zeri. La funzione y = x + 2! è continua in [−1, 0] e inoltre f(−1) < 0 e f(0) > 0, perciò l’equazione data ha almeno una soluzione c tale che – 1 < x < 0 dunque questi due valori sono un’approssimazione per difetto e per eccesso della soluzione. Se vogliamo conoscere la soluzione con un’approssimazione migliore dobbiamo procedere con il metodo in esame. Il punto medio dell’intervallo [−1, 0] è – 0.5, calcoliamo il valore della f(x) in tale punto: f(−0.5) > 0, dunque per il teorema di esistenza degli zeri la soluzione della equazione appartiene all’intervallo [−1,−0.5]. Si ripete tale metodo finché non si giunge all’approssimazione desiderata.

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Esempio 2 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥𝑒! − 1 = 0 con il metodo di bisezione. Per separare le radici, usiamo il metodo grafico. Scriviamo 𝑒! = 1/𝑥 e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di 𝑒! ed il grafico di 1/𝑥.

Esiste una sola intersezione tra i 2 grafici e quindi una sola soluzione c dell’equazione 𝑥𝑒! − 1 = 0 e tale soluzione è compresa fra 0 e 1: 0 < 𝑐 < 1 Metodo di bisezione • Dividiamo a metà l’intervallo [0,1] e prendiamo in considerazione il punto 0.5 e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = 0, 𝑥 = 0.5 e 𝑥 = 1: 𝑓(0) = −1 < 0, 𝑓(0.5) ≈ −0.17563 < 0, 𝑓(1) = 𝑒 − 1 > 0 Quindi avremo che 0.5 < 𝑐 < 1 • Dividiamo a metà l’intervallo [0.5,1] e calcoliamo la 𝑓(𝑥) in 𝑥 = (0.5+ 1)/2 = 0.75: 𝑓(0.5) < 0, 𝑓(0.75) ≈ 0.58775 > 0, 𝑓(1) > 0 Quindi avremo che 0.5 < 𝑐 < 0.75 Procedendo in questo modo, dopo 14 iterazioni del metodo descritto, si avrà

0<c<1 0.5<c<1

0.5<c<0.75 .....

0.56689<c<0.56738 0.56714<c<0.56738

Possiamo perciò assumere il valore 0.567 come approssimazione della soluzione c dell’equazione 𝑥𝑒! − 1 = 0, esatta fino alla terza cifra decimale. • L’errore assoluto commesso in questa approssimazione sarà sicuramente inferiore a

1− 02!" ≅ 0.00006

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METODO DELLE TANGENTI DI NEWTON

Supponiamo f(x) continua in [a,b], derivabile 2 volte in (a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b). Sappiamo allora, per il secondo teorema di unicità della radice, che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica. Una prima approssimazione di c, dopo aver disegnato il grafico di f, sarà data dall’intersezione x1 della retta tangente alla curva nel suo punto B(b,f(b)) con l’asse x. L’equazione della tangente suddetta è 𝑦 − 𝑦! = 𝑚(𝑥 − 𝑥!) → 𝑦 − 𝑓(𝑏) = 𝑓’(𝑏)(𝑥 − 𝑏) Ponendo y=0 nell’ultima equazione scritta, si ottiene x1:

𝑥 ! = 𝑏 − 𝑓 (𝑏) 𝑓 ′(𝑏)

Possiamo applicare nuovamente il procedimento prima descritto al punto 𝐵!(𝑥!, 𝑓(𝑥!)), per ottenere una seconda approssimazione x2. Si ricava

𝑥 ! = 𝑥! − 𝑓 (𝑥!) 𝑓 ′(𝑥!)

e risulta 𝑎 < 𝑐 < 𝑥! < 𝑥! < 𝑏. Continuando in questo modo si costruisce una successione ricorsiva xn così definita:

𝑥! = 𝑏

𝑥!!! = 𝑥! − 𝑓 (𝑥!) 𝑓 ′(𝑥!)

Ovviamente avremo 𝑎 <. . .< 𝑥! < 𝑥! < 𝑥! <. . .< 𝑏 = 𝑥! Si dimostra che la successione xn converge, quando n tende a infinito, proprio alla soluzione esatta c che vogliamo approssimare:

lim!→!

𝑥! = 𝑐

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Osservazioni La nostra formula è valida anche quando f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b).

Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)<0 in (a,b)....

...oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0 in (a,b)...

...allora la formula del metodo delle tangenti diventa

𝑥! = 𝑎

𝑥!!! = 𝑥! − 𝑓 (𝑥!) 𝑓 ′(𝑥!)

In definitiva vale la seguente regola pratica: Il metodo delle tangenti parte dall’estremo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda.

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Esempio 3 Risolvere in maniera approssimata l’equazione 𝑥! − 2− 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 0 con il metodo delle tangenti. Per separare le radici, usiamo il metodo grafico. Scriviamo l’equazione data come 𝑥! − 2 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di 𝑥! − 2 ed il grafico di 𝑙𝑜𝑔(𝑥)

Esistono 2 punti di intersezione tra i 2 grafici. A noi interessa quello compreso fra √2 e 2. Cerchiamo dunque un’approssimazione di c, con √2 <c<2. Metodo delle tangenti • Cominciamo a calcolare f(√2), f(2) e f’’(x): 𝑓(√2) = (√2)! − 2− 𝑙𝑜𝑔 √2 ≈ −0.346574 < 0 𝑓(2) = 4− 2− 𝑙𝑜𝑔2 ≈ 1,30685 > 0 𝑓’ 𝑥 = 2𝑥 − !

!= 2𝑥 − 𝑥!!

𝑓’’(𝑥) = 2+ 1/𝑥! > 0 𝑖𝑛 (√2,2) Il metodo dunque parte da x0=b=2 Applichiamo la formula del metodo delle tangenti:

𝑥! = 2

𝑥!!! = 𝑥! − 𝑓 (𝑥!) 𝑓 ′(𝑥!)

Otteniamo così:

𝑥! = 𝑥! − 𝑓 𝑥!𝑓 ′ 𝑥!

= 2− 𝑓 2𝑓 ′ 2 ≅ 2−

1.306853.5 ≅ 1.62661

𝑥! = 𝑥! − 𝑓 𝑥!𝑓 ′ 𝑥!

= 1.62661− 𝑓 1.62661𝑓 ′ 1.62661 ≅ 1.62661−

0.1593622.63844 ≅ 1.56621

Proseguendo in questo modo si ha x3≈1.56446 x4≈1.56446 Come si vede, le prime 4 cifre decimali si sono “stabilizzate” dopo solo 4 iterazioni. E’ perciò ragionevole assumere il valore 1.5644 come approssimazione, esatta fino alla quarta cifra decimale, della soluzione c dell’equazione 𝑥! − 2− 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 0 nell’intervallo (√2,2).