DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI … …. ALLA ... · La soluzione di sistemi di disequazioni...
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UniversitUniversitàà del Salentodel SalentoDipartimento di MatematicaDipartimento di Matematica
DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI ……
……. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE
Chefi Chefi TrikiTriki
La Ricerca OperativaLa Ricerca Operativa
Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali
Per gestire e coordinare attività con risorse limitate
Al fine di massimizzare un profitto o minimizzareun costo (obiettivo)
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Un poUn po’’ di di storiastoria……. .
1935 1935 --U.K. U.K. --Progetto Progetto difesadifesa antiaereaantiaereaBawdseyBawdsey Research Station radarResearch Station radar
localizzazione degli aerei nemicilocalizzazione degli aerei nemici
intercettazioneintercettazione
rientro a terra degli aerei inglesi rientro a terra degli aerei inglesi
1938 1938 –– Relazione del soprintendente RoweRelazione del soprintendente RoweCompare per la prima volta lCompare per la prima volta l’’espressione espressione OperationalOperational
ResearchResearch (ricerca operativa)(ricerca operativa)
ottimizzare la distribuzione ottimizzare la distribuzione delle apparecchiature radar delle apparecchiature radar sul territoriosul territorio
Un poUn po’’ di di storiastoria……. .
1939 1939 -- P. M. S. P. M. S. BlackettBlackettcostituzione di un gruppo di ricerca di scienziati e costituzione di un gruppo di ricerca di scienziati e militari lotta contro i sommergibili tedeschimilitari lotta contro i sommergibili tedeschi
1943 USA gruppi di Ricerca Operativa per:1943 USA gruppi di Ricerca Operativa per:guerra antisommergibile guerra antisommergibile dimensionamento dei convogli navalidimensionamento dei convogli navaliscelta dei bersagli nelle incursioni aereescelta dei bersagli nelle incursioni aereeavvistamento ed intercettazione degli aerei nemiciavvistamento ed intercettazione degli aerei nemici
19451945----2010 Problemi di tipo civile2010 Problemi di tipo civileLocalizzazione dei depositi industrialiLocalizzazione dei depositi industrialiProblemi di produzione, di trasposto Problemi di produzione, di trasposto ……..
1961 in Italia viene fondata l1961 in Italia viene fondata l’’AIROAIRO
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Individuazione del problema
Le fasi di uno studio di ricerca operativaLe fasi di uno studio di ricerca operativa
Raccolta e analisi dei dati
Costruzione del modello
Ricerca della soluzione
Interpretazione dei risultati
Problema di decisioneProblema di decisione
UnUn’’ azienda automobilistica produce due modelli di azienda automobilistica produce due modelli di auto, uno a auto, uno a benzina Bbenzina B che vende al prezzo di 10 mila euro che vende al prezzo di 10 mila euro
e uno e uno diesel Ddiesel D che vende a 12 mila euro. Ogni che vende a 12 mila euro. Ogni autovettura autovettura èè realizzata da due robot R1 e R2. realizzata da due robot R1 e R2.
I tempi di lavorazione dei robot in ore per realizzare le I tempi di lavorazione dei robot in ore per realizzare le auto sono:auto sono:
B DB DR1 2 3R1 2 3R2 2 1R2 2 1
La disponibilitLa disponibilitàà al giorno di R1 al giorno di R1 èè di 24 ore, mentre quella di 24 ore, mentre quella di R2 di R2 èè di 10 ore.di 10 ore.
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Problema di decisioneProblema di decisione
LL’’azienda ha effettuato unazienda ha effettuato un’’indagine di mercato indagine di mercato con i seguenti esiti:con i seguenti esiti:
•• la domanda giornaliera di B la domanda giornaliera di B èè al pial piùù il doppioil doppio di quella di quella della macchina Ddella macchina D
•• la la domanda minimadomanda minima giornaliera di auto giornaliera di auto èè di 4. di 4.
ProblemaProblema: determinare le quantit: determinare le quantitàà dei due modelli di dei due modelli di auto che devono essere prodotte giornalmente in modo auto che devono essere prodotte giornalmente in modo
da da rendere massimo il guadagnorendere massimo il guadagno. .
Supponiamo che tutte le auto prodotte siano vendute.Supponiamo che tutte le auto prodotte siano vendute.
Formulazione del modello matematicoFormulazione del modello matematico
Definizione delle variabili
Definizione della Funzione obiettivo
Definizione dei vincoli
FormulazioneMatematica
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Definizione delle variabiliDefinizione delle variabili
Si introducono due variabili che rappresentano leSi introducono due variabili che rappresentano lequantitquantitàà prodotte (e vendute) ogni giorno per i due prodotte (e vendute) ogni giorno per i due modelli di automodelli di auto
Variabili x: Variabili x: Numero di auto a benzina Numero di auto a benzina y: y: Numero di auto dieselNumero di auto diesel
•• Cosa devo decidere?Cosa devo decidere?
Definizione della funzione obiettivoDefinizione della funzione obiettivo
•• Cosa voglio massimizzare?Cosa voglio massimizzare?
Il guadagno giornaliero dipende Il guadagno giornaliero dipende ((èè funzione)funzione) dalla dalla decisione di quante auto D e B voglio produrredecisione di quante auto D e B voglio produrre
La funzione obiettivoLa funzione obiettivo
F(x,y)=10 x+12 y F(x,y)=10 x+12 y
èè una funzione lineare !una funzione lineare !
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Definizione dei vincoliDefinizione dei vincoli
•• Quali sono le restrizioni sulle variabili?Quali sono le restrizioni sulle variabili?
Vincoli sul tempo di utilizzo dei robot:
Vincoli conseguenti l’indagine di mercato:
Non si può produrre un numero negativo di auto:
2 x +3 y 2 x +3 y ≤≤ 24242 x + y 2 x + y ≤≤ 1010
2 y 2 y ≥≥ xxx + y x + y ≥≥ 44
x x ≥≥ 0, y 0, y ≥≥ 00
Formulazione del problemaFormulazione del problema
Max F(x,y)=10 x+12 yMax F(x,y)=10 x+12 y
soggetto a:soggetto a:
2 x +3 y 2 x +3 y ≤≤ 24242 x + y 2 x + y ≤≤ 10 10
2 y 2 y ≥≥ xxx + y x + y ≥≥ 44
x x ≥≥ 00y y ≥≥ 00
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Problema di programmazione lineare Problema di programmazione lineare
I problemi che hanno per modello matematico sistemi di disequazioni (o equazioni) lineari
vincoliabbinati ad una funzione lineare da massimizzare o minimizzare
funzione obiettivoprendono il nome di problemi di
Programmazione Lineare (PL)
Ma Ma adessoadesso……..
Qual Qual èè la soluzione?la soluzione?
Quante auto a benzina e diesel si devono Quante auto a benzina e diesel si devono produrre?produrre?
Qual Qual èè il guadagno massimo?il guadagno massimo?
Che si faceva con i sistemi di disequazioni?Che si faceva con i sistemi di disequazioni?
Problema di programmazione lineare Problema di programmazione lineare
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Metodo grafico Metodo grafico
Un problema di PL in due Un problema di PL in due variabili può essere risolto variabili può essere risolto attraverso semplici attraverso semplici considerazioni di tipo considerazioni di tipo geometrico, a partire geometrico, a partire dalldall’’individuazione su di individuazione su di un piano cartesiano del un piano cartesiano del poligono ammissibile poligono ammissibile
Regione AmmissibileRegione Ammissibile
determinata dai vincoli.determinata dai vincoli.
x
y
Ogni retta f(x,y)= Ogni retta f(x,y)= axax + + byby + c = 0 divide il piano + c = 0 divide il piano cartesiano in due semipiani rappresentati dalle cartesiano in due semipiani rappresentati dalle disequazioni: disequazioni: axax + + byby + c + c << 00
axax + + byby + c + c > > 00
Individuare il semipiano: f(x, y) = ax + by + c > 0Individuare il semipiano: f(x, y) = ax + by + c > 0Si sceglie P(xSi sceglie P(x’’, y, y’’) non appartenente alla retta) non appartenente alla retta
•• Se f(xSe f(x’’, y, y’’) > 0 ) > 0 il semipiano che contiene ilil semipiano che contiene ilpunto P punto P èè quello cercato;quello cercato;
•• Se f(xSe f(x’’, y, y’’) < 0 ) < 0 il semipiano che non contieneil semipiano che non contieneil punto P il punto P èè quello cercato.quello cercato.
Metodo grafico Metodo grafico
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Metodo grafico Metodo grafico
Ogni vincolo del mio problema rappresenta un Ogni vincolo del mio problema rappresenta un semipiano o una retta semipiano o una retta …… e siccome tutti i vincoli e siccome tutti i vincoli devono essere rispettati la soluzione apparterrdevono essere rispettati la soluzione apparterrààalla parte di piano che alla parte di piano che èè intersezioneintersezione di tutti di tutti i semipiani!!!i semipiani!!!
Per trovare la Regione Ammissibile del nostro problema allora … cerchiamo dove si intersecano i semipiani … ma questo non voleva dire risolvere un
sistema di disequazioni ???
Regione ammissibileRegione ammissibile
Max F(x,y)=10 x+12 yMax F(x,y)=10 x+12 y
soggetto a:soggetto a:
2 x +3 y 2 x +3 y ≤≤ 24242 x + y 2 x + y ≤≤ 10 10
2 y 2 y ≥≥ xxx + y x + y ≥≥ 44
x x ≥≥ 00y y ≥≥ 00
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Vincoli: x Vincoli: x ≥≥ 0, y 0, y ≥≥ 00
x
y
Regione ammissibileRegione ammissibile
x
y
Vincolo: 2 x +3 y Vincolo: 2 x +3 y ≤≤ 2424
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Regione ammissibileRegione ammissibile
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x
y
Vincolo: 2x + y Vincolo: 2x + y ≤≤ 1010
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8
5
10
Regione ammissibileRegione ammissibile
x
y
Vincolo: 2y Vincolo: 2y ≥≥ x x
12
8
5
10
Regione ammissibileRegione ammissibile
12
x
y
Vincolo: x + y Vincolo: x + y ≥≥ 4 4
Regione ammissibileRegione ammissibile
Dai sistemi lineari alla regione ammissibileDai sistemi lineari alla regione ammissibile
La regione ammissibile èuna figura convessa
Che vuol dire convessa?
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Dai sistemi lineari alla regione ammissibileDai sistemi lineari alla regione ammissibile
La soluzione di sistemi di disequazioni lineari La soluzione di sistemi di disequazioni lineari in due incognite coincide con la parte di piano in due incognite coincide con la parte di piano comune ai semipiani individuati dalle singole comune ai semipiani individuati dalle singole disequazioni. disequazioni.
Questa regione può essere Questa regione può essere limitatalimitata o o illimitataillimitata. .
Se le disequazioni del sistema non hanno Se le disequazioni del sistema non hanno soluzioni comuni (i semipiani non si soluzioni comuni (i semipiani non si intersecano) il sistema intersecano) il sistema èè detto detto impossibileimpossibile..
Dai sistemi lineari alla regione ammissibileDai sistemi lineari alla regione ammissibile
x
x1
2
3
2
-3
-2
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Dai sistemi lineari alla regione ammissibileDai sistemi lineari alla regione ammissibile
La regione ammissibile è
un poliedro!!!
Esempi di RetiEsempi di Reti
Risolvere un problema di PL significa determinare Risolvere un problema di PL significa determinare se il problema se il problema èè: :
InammissibileInammissibile(il sistema di disequazioni (il sistema di disequazioni èè impossibile)impossibile)
Illimitato inferiormente o superiormente Illimitato inferiormente o superiormente
Ammette una soluzione ottima Ammette una soluzione ottima che massimizza o minimizza la funzione obiettivo.che massimizza o minimizza la funzione obiettivo.
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Teorema fondamentaleTeorema fondamentale
Se il problema di PL ammette minimo o massimo, Se il problema di PL ammette minimo o massimo, allora la funzione obiettivoallora la funzione obiettivo
F(x, y) = ax+by+c F(x, y) = ax+by+c assume il suo valore massimo o minimo solo su un assume il suo valore massimo o minimo solo su un
VERTICEVERTICEo su tutti i punti di un o su tutti i punti di un
LATOLATOdella frontiera della regione ammissibile.della frontiera della regione ammissibile.
..
Ma allora….come si trova una soluzione per il problema delle auto???
Metodo enumerativoMetodo enumerativo
Determinata la regione ammissibile:Determinata la regione ammissibile:Calcola le coordinate dei vertici del poligono;Calcola le coordinate dei vertici del poligono;Calcola il valore della funzione obiettivo su ogniCalcola il valore della funzione obiettivo su ogniverticeverticeLa soluzione La soluzione èè data dalle coordinate del verticedata dalle coordinate del verticeche rende massima o minima la funzione obiettivoche rende massima o minima la funzione obiettivo
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Metodo enumerativoMetodo enumerativo
x
y
A(0,8)
E(0,4)
B(3/2,7)
C(4,2)
D(8/3,4/3)
F(0,8)=10*0+12*8=96F(3/2,7)=10*3/2+12*7=99
F(4,2)=10*4+12*2=64
F(8/3,4/3)=10*8/3+12*4/3=42,7
F(0,4)=10*0+12*4=48
Il metodo del Il metodo del SimplessoSimplesso
Il metodo del simplesso Il metodo del simplesso èè un algoritmo che un algoritmo che permette, attraverso un numero finito di permette, attraverso un numero finito di iterazioni, di passare, se il problema ammette iterazioni, di passare, se il problema ammette soluzione, da un qualsiasi vertice del poliedro al soluzione, da un qualsiasi vertice del poliedro al vertice ottimo. vertice ottimo. L'algoritmo del L'algoritmo del SimplessoSimplesso, ideato dall'americano , ideato dall'americano George George DantzigDantzig nel 1947, nel 1947, èè un metodo numerico un metodo numerico per risolvere problemi di per risolvere problemi di PLPL
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E per i piE per i piùù pigri: il pigri: il LingoLingo
LINGO è un pacchetto software che consente di formulare e risolvere problemi di ottimizzazione (Programmazione Lineare e non) anche a grandi dimensioni, e di analizzarne le rispettive soluzioni.
Altro esempio: Gestione del PersonaleAltro esempio: Gestione del Personale
Il responsabile della gestione del personale di un’azienda manifatturiera ha il compito di organizzare i turni di lavoro ad una catena di montaggio a ciclo continuo.
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Gestione del PersonaleGestione del Personale
Sono previste sei fasce orarie per ognuna delle quali è richiesto un numero minimo di unità lavorative, come riassunto dalla seguente tabella:
Gestione del PersonaleGestione del Personale
A seguito di accordi sindacali sono stati individuati sei turni di lavoro ciascuno dei quali di 8 ore lavorative:
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Gestione del PersonaleGestione del Personale
Si vuole determinare il numero di unitàlavorative da assegnare ad ogni turno in modo tale da impiegare la minor forza lavoro complessiva.
SoluzioneSoluzione: : Si indichi con:Si indichi con:
xixi = numero di unit= numero di unitàà di personale da di personale da assegnare al turno iassegnare al turno i--esimo (i = 1, , 6).esimo (i = 1, , 6).
Gestione del PersonaleGestione del Personale
E' evidente che la fascia oraria E' evidente che la fascia oraria compresa tra le 00.00 e le 04.00 sarcompresa tra le 00.00 e le 04.00 sarààcoperta dalle unitcoperta dalle unitàà lavorative del primo lavorative del primo e del secondo turno. Dovendo garantire e del secondo turno. Dovendo garantire una disponibilituna disponibilitàà di personale di almeno di personale di almeno 6 unit6 unitàà, si impone il vincolo: x1 + x2 6. , si impone il vincolo: x1 + x2 6.
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Gestione del PersonaleGestione del Personale
E' evidente che la fascia oraria E' evidente che la fascia oraria compresa tra le 00.00 e le 04.00 sarcompresa tra le 00.00 e le 04.00 sarààcoperta dalle unitcoperta dalle unitàà lavorative del primo lavorative del primo e del secondo turno. Dovendo garantire e del secondo turno. Dovendo garantire una disponibilituna disponibilitàà di personale di almeno di personale di almeno 6 unit6 unitàà, si impone il vincolo: x1 + x2 6. , si impone il vincolo: x1 + x2 6.
Gestione del PersonaleGestione del Personale
Analogamente, per le altre fasce orarie:Analogamente, per le altre fasce orarie:
x2 + x3 x2 + x3 99x3 + x4 x3 + x4 1414x4 + x5 x4 + x5 99x5 + x6 x5 + x6 1111x6 + x1 x6 + x1 8 8
Obiettivo: minimizzare il numero di unitObiettivo: minimizzare il numero di unitàà z z impiegate: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6. impiegate: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6.
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Gestione del PersonaleGestione del Personale
Modello Matematico:Modello Matematico:
Gestione del PersonaleGestione del Personale
La soluzione ottimale prevede:La soluzione ottimale prevede:
per un numero complessivo di unitper un numero complessivo di unitàà lavorative lavorative utilizzate pari a: utilizzate pari a: z*z* = 31.= 31.Nota:Nota: soltanto per la fascia oraria compresa soltanto per la fascia oraria compresa tra le 12.00 e le 16.00 saranno utilizzate tra le 12.00 e le 16.00 saranno utilizzate unitunitàà di personale in un numero superiore di personale in un numero superiore rispetto al minimo richiesto.rispetto al minimo richiesto.
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Modello dello zainoModello dello zaino
Decisione:
Quali materie preparare:
•• avendo a disposizione un totale di 27 giorni
•• volendo massimizzare il profitto?
Materia Giorni prep. ProfittoItaliano 10 20,00Latino 12 22,50Greco 15 25,00Inglese 9 15,00Fisica 7 12,50Scienze 6 12,50Storia 6 12,00Geografia 6 12,00Disegno 4 7,50
Modello dello zainoModello dello zaino
Strategia (algoritmo) massimo profitto:Strategia (algoritmo) massimo profitto:•• scelgo le materie piscelgo le materie piùù remunerative remunerative
(rispettando il vincolo di 27 giorni)(rispettando il vincolo di 27 giorni)
tempotempo: 27 giorni : 27 giorni profittoprofitto: : 47,5047,50
Materia Giorni prep. ProfittoItaliano 10 20,00Latino 12 22,50Greco 15 25,00Inglese 9 15,00Fisica 7 12,50Scienze 6 12,50Storia 6 12,00Geografia 6 12,00Disegno 4 7,50
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Modello dello zainoModello dello zaino
tempotempo: 22 giorni : 22 giorni profittoprofitto:: 44, 0044, 00
Strategie minimo tempo:Strategie minimo tempo:•• scelgo le materie che richiedono meno scelgo le materie che richiedono meno tempo di preparazionetempo di preparazione
Materia Giorni prep. ProfittoItaliano 10 20,00Latino 12 22,50Greco 15 25,00Inglese 9 15,00Fisica 7 12,50Scienze 6 12,50Storia 6 12,00Geografia 6 12,00Disegno 4 7,50
Modello dello zainoModello dello zaino
tempotempo: 26 giorni : 26 giorni profittoprofitto:: 5252
Altre Strategie?Altre Strategie?
Materia Giorni prep. ProfittoItaliano 10 20,00Latino 12 22,50Greco 15 25,00Inglese 9 15,00Fisica 7 12,50Scienze 6 12,50Storia 6 12,00Geografia 6 12,00Disegno 4 7,50
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Modello dello zainoModello dello zaino
tempotempo: 27 giorni: 27 giorni profittoprofitto: : 52, 5052, 50
Risolvo un problema di PL con 9 variabili allRisolvo un problema di PL con 9 variabili all’’ottimoottimo
Materia Giorni prep. ProfittoItaliano 10 20,00Latino 12 22,50Greco 15 25,00Inglese 9 15,00Fisica 7 12,50Scienze 6 12,50Storia 6 12,00Geografia 6 12,00Disegno 4 7,50
Compiti: Problema di TrasportoCompiti: Problema di Trasporto
UnUn’’azienda possiede due centri di azienda possiede due centri di distribuzione e tre punti vendita dislocati sul distribuzione e tre punti vendita dislocati sul territorio. Di un prodotto sono disponibili al territorio. Di un prodotto sono disponibili al pipiùù 250 unit250 unitàà presso il primo centro di presso il primo centro di distribuzione e al pidistribuzione e al piùù 400 presso il secondo.400 presso il secondo.Alla direzione centrale risulta una richiesta Alla direzione centrale risulta una richiesta di rifornimento dai tre punti vendita pari ad di rifornimento dai tre punti vendita pari ad almeno 120, 270, 130 unitalmeno 120, 270, 130 unitàà rispettivamente. rispettivamente. Presso tali centri ciascuna unitPresso tali centri ciascuna unitàà di prodotto di prodotto viene venduta a Euro 14, 17 e 16.viene venduta a Euro 14, 17 e 16.
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Compiti: Problema di TrasportoCompiti: Problema di Trasporto
I costi unitari di trasporto, legati alla I costi unitari di trasporto, legati alla distanza tra i centri di distribuzione e i distanza tra i centri di distribuzione e i punti vendita, sono cospunti vendita, sono cosìì riassumibili:riassumibili:
ObiettivoObiettivo: massimizzare il profitto : massimizzare il profitto ipotizzando che sia possibile vendere tutto il ipotizzando che sia possibile vendere tutto il quantitativo di prodotto disponibile presso i quantitativo di prodotto disponibile presso i punti vendita. punti vendita.
Compiti: Problema di TrasportoCompiti: Problema di Trasporto
Suggerimento:Suggerimento:
Indicare con:Indicare con:
xijxij = quantitativo di prodotto inviato = quantitativo di prodotto inviato dal centro di distribuzione i (i = 1, 2) dal centro di distribuzione i (i = 1, 2) al punto di vendita j (j = 1, 2, 3).al punto di vendita j (j = 1, 2, 3).