CĐ KINH TẾ - CÔNG NGHỆ HCM ĐÁP ÁN ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016

http://hiast.edu.vn Môn thi: TOÁN.

ĐỀ THI THỬ SỐ 7 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

----------------------------

Câu 1. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx +1.

2. Tìm m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Ta có ′y = 3x2 − 6x + m; ′Δ ′y = −3( )2− 3m = 9− 3m. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi

′Δ ′y > 0 ⇔ 9− 3m > 0 ⇔ m < 3.

Thực hiện phép chia y cho ′y ta được y = 1

3x − 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′y + 23

m− 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x + 13

m+1.

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = 2

3m− 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x + 13

m+1, m < 3.

Câu 2. 1. Ta có cos2x +5= 2 2− cos x( ) sin x − cos x( )⇔ 2cos2 x + 4 = 4sin x − 4cos x + sin2x + 2cos2 x.

⇔ 4 sin x − cos x( ) + sin2x − 4 = 0. 1( )

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, t ≤ 2; t2 = 1− sin2x ⇔ sin2x = 1− t2. Khi đó

1( )⇔ 4t +1− t2 − 4 = 0 ⇔ t2 − 4t + 3= 0 ⇔

t = 1 n( )t = 3 l( )⎡

⎣⎢⎢

Với t = 1⇔ 2 sin x − π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1⇔ sin x − π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

2⇔ sin x − π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= sin π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇔x − π

4= π

4+ k2π

x − π4= π − π

4+ k2π

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⇔ x = π2+ k2π

x = π + k2π

⎡

⎣

⎢⎢

.

2. Điều kiện xác định x > 0.

2log12

2 x −5log2 x + 3log3 2 = 0 ⇔ 2log22 x −5log2 x + 2 = 0 ⇔

log2 x = 12

log2 x = 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⇔ x = 2x = 4

⎡

⎣⎢ .

Câu 3. Tích tích phân

I = x2 −1

x2 +1( )2 dx−1

0

∫ =

Đặt x = tan t ⇒ dx = 1+ tan2 t( )dt.

Đổi cận: khi x = −1 thì t = − π

4; khi x = 0 thì t = 0.

I = tan2 x −1

tan2 x +1( )2 tan2 x +1( )dt−π

4

0

∫ = tan2 x −1tan2 x +1

dt−π

4

0

∫ = 1− 2tan2 x +1

dt−π

4

0

∫

= 1− 2cos2 t( )dt−π

4

0

∫ = cos2t dt0

−π4

∫ = sin2t2 0

π4

= − 12

.

Câu 4. [1 điểm] 1. Tìm môđun của số phức z thoả điều kiện z + 2+ i( ) z = 3+5i.

Giả sử z = a + bi, khi đó

a + bi + 2+ i( ) a − bi( ) = 3+5i ⇔ a + bi + 2a − 2bi + ai + b = 3+5i

⇔ 3a + b+ a − b( )i = 3+5i ⇔3a + b = 3a − b = 5

⎧⎨⎩

⇔a = 2b = −3

⎧⎨⎩

⇒ z = 2− 3i ⇒ z = 13.

2. Số cần lập có dạng abcdefg. Ta có 7 vị trí để đặt các chữ số đã cho vào.

Có hai vị trí (không phân biệt thứ tự) dành cho chữ số 2 nên có C72 cách đặt số 2.

Sau khi đã chọn cho chữ số 2, ta còn 5 vị trí trống. Có 3 vị trí (không phân biệt thứ tự) cho chữ số 3 nên có C5

3 cách đặt số 3.

Số cách đặt các số khác nhau 1, 4, 5 vào hai vị trí (có phân biệt thứ tự) còn lại là A32 cách.

Theo quy tắc nhân số cách lập số thoả mãn đề bài là C72C5

3 A32 = 1260.

Câu 5. Ta có

d( ) :x = 2+ ty = 1− tz = 1− 3t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

. Đường thẳng d cắt mặt phẳng P( ) khi phương trình sau có nghiệm

2+ t +1− t − 1− 3t( ) +1= 0 ⇔ 3t + 3= 0 ⇔ t = −1⇒ I 1;2;4( ).

Gọi Q( ) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với d. Ta có !nQ = !ud = 1;−1;−3( ). Suy ra

Q( ) : x −1− y − 2( )− 3 z − 2( ) = 0 ⇔ x − y − 3z + 7 = 0.

Rõ ràng Δ = P( )∩ Q( ). Ta có !nP = 1;1;−1( ); !nQ = 1;−1;−3( )⇒ !uΔ =

!nP , !nQ⎡⎣ ⎤⎦ = −4;2;−2( ) = −2 2;−1;1( ).

Đường thẳng Δ qua I 1;2;−2( ) và có chỉ phương là 2;−1;1( ) nên có phương trình là

x −12

= y − 2−1

= z − 41

.

Câu 6. [1 điểm] Cho hình lăn trụ ABC. ′A ′B ′C có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

AC = a, ACB! = 60o , A ′C = 3a. Tính thể tích khối lăn trụ và góc hợp bởi B ′C và AC ′C ′A( ).

Ta có AB = AC tan60o = a 3.

SΔABC = 1

2AB ⋅ AC = a2 3

2.

C ′C = A ′C 2 − AC 2 = 9a2 − a2 = 8a2 = 2a 2.

VABC . ′A ′B ′C = C ′C ⋅SΔABC = 2a 2 ⋅ a2 32

= a3 6.

Vì AB ⊥ AC ′C ′A( ) nên góc hợp bởi B ′C và AC ′C ′A( ) là α .

Ta có tanα = AB

A ′C= a 3

3a= 1

3⇒α = 300.

Câu 7. [1 điểm] Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

, A 2;−3( ), B 3;−2( ). Tìm toạ

độ điểm C biết rằng điểm C nằm trên đường thẳng d( ) :3x − y − 4 = 0.

Ta có AB! "!!

= 1;1( )⇒ "nAB = 1;−1( ); AB = 12 +12 = 2. Phương trình đường thẳng AB :

AB : x − 2( )− y + 3( ) = 0 ⇔ x − y −5= 0.

Vì C ∈ d( ) : y = 3x − 4 nên C c;3c − 4( ). Khoảng cách từ C đến AB là

CH = d C; AB( ) = 2c +1

2.

Từ giả thiết ta có SΔABC = 1

2CH ⋅ AB = 3

2⇔ 1

2⋅

2c +1

22 = 3

2

⇔ 2c +1 = 3⇔

2c +1= 32c +1= −3⎡

⎣⎢ ⇔

c = 1⇒ C 1;−1( )c = −2⇒ −2;−10( )⎡

⎣⎢⎢

.

Câu 8. [1 điểm] Giải bất phương trình 8x3 + 2x < x + 2( ) x +1,x ∈! 1( )

Điều kiện xác định x +1> 0 ⇔ x > −1.

1( )⇔ 2x( )3

+ 2x < x +1( )3+ x +1.

Xét hàm số f t( ) = t3 + t ⇒ ′f t( ) = 3t2 +1> 0,∀t ∈!. Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên !.

1( )⇔ f 2x( ) < f x +1( )⇔ 2x < x +1 ⇔2x < 0

2x ≥ 04x2 < x +1

⎧⎨⎩

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⇔x < 0

x ≥ 04x2 − x −1< 0

⎧⎨⎩

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⇔

x < 0x ≥ 0

1− 178

< x < 1+ 178

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⇔x < 0

0 ≤ x < 1+ 178

.

⎡

⎣

⎢⎢⎢

Kết hợp với điều kiện đề bài ta được nghiệm của bất phương trình là −1< x < 1+ 17

8.

Oxy