Da Al-Khoresmi a Luca Pacioli

Appunti di Storia dell’Informatica

Timeline

Geografia degli algorismi

Baghdad….VIII secolo d.C.

• Baghdad divenne un vivace centro culturale grazie all’opera di tre mecenati (al-Mansur, Harun ar-Rashid e al-Mamun),

• fu fondata una "Casa del Sapere“ (Bait al-hikma), che accolse scienziati e filosofi mediorientali e cristiani.

Al-Khoresmi• Figura di spicco era Abu Jafar

Mohammed ibn-Musa al-Khoresmi, esperto di matematica, geografia, storia araba e astronomia, originario della Khoresmia

• Le sue opere sono state apprezzate nel mondo arabo per lungo tempo, grazie alla precisione con cui l’autore riusciva a risolvere le intricatissime questioni di eredità

De numero IndorumDe numero Indorum

• (Sul calcolo numerico indiano), in cui l’autore presenta il sistema di numerazione indiano (Brahmagupta). La nuova notazione si diffuse in Europa con il nome di al-Koresmi o algorismi, perché la completezza dell’esposizione fece pensare che al-Khoresmi ne fosse anche l’ideatore

Hisab al-jabr* w’al-Hisab al-jabr* w’al-muqabalah**muqabalah**• (Calcolo con completamento * e

riduzione **) è un’esposizione chiara e semplice delle soluzioni delle equazioni di secondo grado attraverso una casistica di equazioni lineari e di secondo grado;

• * Completamento: spostamento di un termine da un membro all’altro

• ** Riduzione: cancellazione di termini simili presenti in ambo i membri

Esempi a due termini• Cap I: quadrati uguali a radici

NB: è esclusa la radice x=0 • Cap. II: quadrati uguali a

numeri• Cap. III: radici uguali a numeri

NB: il quadrato ha sempre coefficiente unitario (al-hatt), il determinante deve essere sempre positivo

2 5x x

Esempi a tre termini• Cap. IV: quadrati e radici uguali

a numeri

Il metodo risolutivo consiste in suggerimenti per completare il quadrato; non sono contemplate la radici negative

• Cap. V: quadrati e numeri uguali a radici

• Cap. VI: radici e numeri uguali a quadrati

2 10 39x x

Soluzione di x2 + 10x = 39

Si disegnano

• 1 quadrato di area a·b (a=b) che rappresenta x2

• 4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni a, 2 unità e ½

Per completare il quadrato maggiore, si devono aggiungere i quattro quadrati con perimetro tratteggiato di area 6 unità e ¼

Quindi per risolvere l’equazione

Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e ¼ (=25) a 39, ottenendo x2 = 25+39 = 64

Da ciò si ricava che il lato del quadrato maggiore misura 8; si sottrae il doppio di 2 unità e ½ (=5) e si ottiene la misura di a (=b), cioè 3

L’espansione islamica

'White Fathers - White Sisters' magazine June-July, 1998, issue (No. 340)

Vie di diffusione del sapere arabo

Vie principali: • Ifriqiya (Tunisia, Algeria orientale e Tripolitania)

alla Sicilia e alla scuola di Salerno (soprattutto medicina);

• Sicilia e Italia meridionale; si sviluppa grazie alla tolleranza e all'interesse culturale dei re normanni, degli Svevi e degli Angioini – Michele Scoto, di Toledo, vive alla corte di

Federico II e per lui compila una sintesi in latino del De animalibus di Ibn Sina (Avicenna) e di altre opere.

– Leonardo Fibonacci dedica ai cortigiani imperiali i suoi scritti: a Michele Scoto, ad esempio, il Liber abbaci (1202; 1228), a maestro Teodoro l'Epistola e a maestro Dominicus, forse Hispanus, astronomo e astrologo suo contemporaneo, la Practica geometriae (1220) e il Liber quadratorum (1225).

• Spagna e Portogallo: i re e i principi musulmani e cristiani incoraggiano gli studi scientifici e le traduzioni dall'arabo.

La Spagna

centri di traduzioni: Maiorca, Barcellona, Saragozza, Almeria, Granada, Toledo, Segovia, Malaga, Cordova, Siviglia, Coimbra e Lisbona.

I numeri indo-arabici in Europa• Manoscritto Vigilianus (976)il manoscritto latino più antico contenente numeri “arabi”E così dobbiamo riconoscere che gli Indiani hanno un’intelligenza acutissima e le altre

nazioni sono molto arretrate rispetto all’aritmetica, alla geometria ed alle altre arti liberali. E ciò è manifesto nelle 9 figure con i quali essi rappresentano ogni ordine di numeri. E queste sono le forme

Gerbert d’Aurillac (? -1003)• Prima precettore dell’imperatore

Ottone III di Sassonia, poi papa nel 999 con il nome di Silvestro II, favorisce la diffusione del sistema di numerazione posizionale (zero escluso)

• Non ha profonda conoscenza della geometria e dell'astronomia

• Scrive un gran numero di manoscritti di argomento matematico e astronomico, segno evidente della rinascita cultura dell’epoca ottoniana

Le traduzioni

Agli inizi del XII secolo la situazione cambia grazie alla diffusione delle traduzioni delle opere dei matematici greci conservate nella versione in lingua araba (Elementi di Euclide)

Nessun europeo sarebbe potuto essere un buon matematico senza una buona conoscenza dell’arabo.

Le traduzioni• Nel 1126 lo scrittore Adelardo di

Bath porta in Occidente le tavole di al-Khoresmi.

• Al-gabr viene tradotta in latino nel 1145 da Roberto di Chester (arcivescovo di Pamplona) e si diffondono nell'Europa cristiana il nome (dixit al-Khoresmi) e i suoi metodi risolutivi.

• Gherardo da Cremona si dedica all'edizione latina dell'Almagesto di Tolomeo e a molte altre traduzioni (87!)

Il ruolo degli Ebrei

• Abraham ibm-Ezra (1090-1167), ebreo spagnolo, diffonde tra gli Ebrei l’uso delle prime nove lettere dell’alfabeto ebraico più un circoletto per rappresentare lo zero e introduce il sistema posizionale

Abacisti e algebristi

• In Europa l’utilizzo dei simboli “arabi” stenta ad affermarsi per – Diffusione capillare del rapidissimo

calcolo con l’abaco, che limitava i vantaggi del passaggio al nuovo sistema;

– Divieti dovuti a varie ragioni di carattere religioso (in Francia nell’XI secolo) o contabile (maggiore ambiguità grafica → rischio di falso).

• Solo nel XVI secolo la numerazione romana sarà soppiantata, almeno nel calcolo

Leonardo Pisano (1170? – 1241?)• Era figlio di un funzionario del Comune di

Pisa, di nome Guglielmo dei Bonacci e, per seguire il padre nei suoi impegni, aveva viaggiato in Egitto, Siria, Grecia e Algeria, da cui il soprannome di Bigollo

• La sua opera più importante, Liber abaciLiber abaci, completata nel 12021202, affronta metodi e problemi dell’algebra, propalando l'uso delle cifre indo-arabiche.

• Il testo descrive "le nove figure indiane" insieme al segno 0 e le regole elementari per sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere, oltre all’estrazione di radicePoi passa a problemi relativi a transazioni commerciali e cambiarie, usando un complesso sistema di frazioni a numeratore unitario e comuni, e contiene tavole di conversione dalle une alle altre.

Il Liber Abaci (1202)• Nel titolo abaco è sinonimo di “far di conto”. • Il trattato si divide naturalmente in quattro parti.

1.1. aritmeticaaritmetica: si introducono le cifre indo-arabe e la numerazione posizionale, e gli algoritmi delle operazioni con i numeri interi e con le frazioni. Segue la matematica mercantile (4 capitoli), nei quali vengono affrontati i problemi tipici dell'esercizio della mercatura: acquisti e vendite, baratti, società, e monete.

2.2. Matematica divertenteMatematica divertente: problemi su borse di monete cavalli, conigli che si moltiplicano senza limite.

3. Il tredicesimo capitolo è dedicato per intero al metodo della falsa posizionemetodo della falsa posizione, una delle tecniche più potenti dell'aritmetica araba e medievale.

4.4. Estrazione di radici quadrate e cubicheEstrazione di radici quadrate e cubiche, un trattatello dei binomi e recisitrattatello dei binomi e recisi e teoria delle teoria delle proporzioni geometriche e dell'algebraproporzioni geometriche e dell'algebra.

Metodo della falsa posizione (regula falsi)• Questo metodo opera nella soluzione di

equazioni di primo grado, del tipo cioè a x = ba x = b

• Si pone x=A (la falsa posizione); in generale il risultato aA sarà diverso da b. Si dice allora: per A che avevo posto, viene aA; quanto dovrò porre affinché venga b?

bA b

aA a

Esempio dell’albero• C'è un albero, del quale un terzo e un

quarto sono 21 palmi; si chiede quale sia la sua lunghezza

• Per ricondurre il problema ad un’equazione bisogna sommare 1/3 + 1/4 = 7/12 , per trovare un numero tale che 7/12 x = 21.

• Poniamo A =12 (che è 3*4), sommando 1/3 e 1/4 di 12 si ottiene 4+3=7.

• se A=12 dà 7, quanto occorrerà per avere 21? La risposta si ottiene grazie all'applicazione della regola del tre: (12*21)/7= 36.

• La semplificazione ottenuta grazie al metodo della falsa posizione è tale che fu ideata una sua estensione, detta doppia falsa posizione (in arabo elcataym), adatta ad equazioni del tipo ax+c=b.

Algebra verbale• La mancanza di una notazione

letterale (algebra verbale) rende difficile vedere il permanere della struttura dietro la molteplicità dei problemi, apparentemente tutti diversi tra loro; Fibonacci chiama l’incognita la “cosa”

• Oggi formalizzeremmo così: 12 : 7 = x : 21 arrivando alla stessa conclusione (regola del quarto proporzionale)

Conigli e vecchie• Il Liber abaci contiene alcuni famosi

problemi:– Quante coppie di conigli verranno

prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese? (serie di Fibonacci)

– Sette vecchie donne andarono a Roma; ciascuna donna aveva sette muli; ciascun mulo portava sette sacchi, ciascun sacco conteneva sette forme di pane; e con ciascuna forma di pane vi erano sette coltelli; ciascun coltello era infilato in sette guaine (somma di una progressione geometrica di ragione 7)

Serie di Fibonacci e

• Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) n>1• Il rapporto tra due elementi consecutivi di tale

sequenza tende a

= = 1,618033988…

• È chiamato – sezione aurea, – rapporto aureo, – numero aureo, – costante di Fidia – proporzione divina (dopo Pacioli)

1 5

2

1 5

2

La spirale

Il Liber Abaci nel medioevo e oltre• I mercanti pisani portarono con sé le

nuove tecniche di calcolo nei loro viaggi da una sponda all’altra del Mediterraneo

• la nuova matematica si diffuse anche in altri Paesi,quali la Germania, dove venne trasmessa dai cosiddetti “cossisti” (dalla corruzione della parola “cosa”, l’incognita).

• Per circa tre secoli il Liber abaci rimase un testo di riferimento nelle scuole d’abaco della Toscana, dove si formavano giovani che intendevano diventare commercianti o imparare la matematica.

• I suoi esercizi e i suoi metodi di soluzione vennero adottati in libri italiani, tedeschi, francesi e inglesi (alcuni si ritrovano ancora nell’Algebra di Leonhard Euler, del 1768).

Le scuole d’abaco• Per impieghi commerciali, i vantaggi

dell’utilizzo di numeri arabi sono molteplici:– consentono di usare penna e inchiostro– di avere traccia dei calcoli mentre con l’abaco

si avevo solo la soluzione finale, – un più facile calcolo con le frazioni, molto utile

nel mercato dei cambi.– la nascita della partita doppia.

• Con lo sviluppo del commercio nacquero ed ebbero ampia diffusione le scuole d’abaco e di mercatura. Solitamente gli studenti erano figli di mercanti o di pubblici ufficiali, i quali avevano già una conoscenza adeguata di grammatica e latino.

• Anche nelle università s’insegnava l’aritmetica (era una delle arti liberali, inserita nel quadrivio con geometria, astronomia e musica), ma l’approccio era teorico.

Sacrobosco• L’Algorismus (1250), chiamato anche

Algorismus de integris o vulgaris, è un breve e semplice trattato di matematica, peraltro diffusissimo nel Medioevo come libro di testo universitario, il primo con i numerali indo-arabi per semplificare le operazioni di calcolo.

• Tratta di addizione, sottrazione, media aritmetica, duplicazione, moltiplicazione, divisione, somma di serie aritmetiche ed estrazione di radici (quadrate e cubiche).

• Peter NightingalePeter Nightingale (Petrus Philomenus), che nel 1291 commenta l’opera, è convinto che Sacrobosco abbia in mente di offrire uno strumento utile per l’astronomia, per via della presenza di riferimenti a frazioni sessagesimali, tipiche di quella disciplina.

Hauksbòk (1310)• Il libro di Haukr è uno dei rarissimi

manoscritti medievali norvegesi non adespoti. L’autore è Haukr Erlendsson (?-1334), e l’opera ha da sempre preso nome dall’autore, con cui hanno collaborato altre mani, come è evidente dall’analisi del documento.

• Tra testi antichi sull’Islanda, compare una sezione sulla matematica chiamata AlgorismusAlgorismus. È il più antico testo norvegese sulla matematica in una lingua scandinava.

Paolo Dagomari (1329-1367)• Tra gli abacisti di Firenze spicca Paolo, che fu

allievo del M° Biagio "il vecchio", morto verso il 1340, ed ebbe a sua volta tra i suoi discepoli Jacopo di Dante Alighieri, che lo chiamò il "mio caro maestro", e il futuro abacista Antonio di Giusto Mazzinghi.

• Uomo di vasti interessi, ha lasciato varie composizioni poetiche e diversi lavori di contenuto matematico, tra cui ricordiamo le Regoluzze e un Trattato di tutta l'arte dell'abacho (c.1340), pervenuti in diverse copie.

• Due problemi– Un cane insegue una volpe che sta fuggendo

con una gallina in bocca.La volpe dista dal cane 40 balzi-volpe.Si sa che 3 balzi-cane = 5 balzi-volpe.Quanti balzi dovrà fare il cane per raggiungere la volpe?

– Problema sull’area occupata da Roma (quadrata) con lato di 18 unità e dalla città triangolare di Costantinopoli con lato di 18 unità

Dopo Gutemberg• L'invenzione della stampa a caratteri

mobili, compiuta verso la metà del XV secolo, rinnovò la produzione e la diffusione della cultura. Essa amplificava i vantaggi economici dell'adozione della carta come materiale di supporto rispetto alla pergamena (molto più costosa), rivoluzionava la circolazione delle idee: – la rapidità di realizzazione di un alto

numero di copie riduceva fortemente il prezzo dei libri, ampliando il pubblico potenziale;

– l'accertamento della correttezza dei testi sulla composizione offriva un livello omogeneo di attendibilità;

– la qualità delle illustrazioni, essenziale per le opere scientifiche, era garantita in ogni copia.

Euclide e Fibonacci• Gli Elementi di Euclide, nella

traduzione latina dall'arabo rielaborata del Campano, sono il primo testo capitale della scienza classica ad essere stampato a Venezia nel 1482.

• L’opera di Fibonacci rimase invece manoscritta e fu perciò rimpiazzata da altri testi, ad esempio la Summa de Arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità di Luca Pacioli. Nel Cinquecento è ancora noto e citato, ma già dal secolo successivo se ne perde la memoria al punto che non si ricorda più nemmeno l’epoca in cui è vissuto.

Larte de l’abbacho (1478)

• Primo manuale di matematica (finanziaria) stampato al mondo

• Definizioni di concetti e di operazioni, regole del due e del tre

• Manca ancora il simbolismo algebrico

Luca Pacioli (1445-1514)• Nel 1494 pubblica a Venezia la

Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalità, in volgare

• L’opera è un trattato generale di aritmetica e di algebra, elementi di aritmetica utilizzata dai mercanti (con riferimento alle monete, pesi e misure utilizzate nei diversi stati italiani).

• Contiene il Tractatus de computis et scripturis, in cui compare per la prima volta la partita doppia, il cosiddetto metodo veneziano.

• Comincia ad essere utilizzata l’algebra sincopata: co (cosa, incognita), ce (=censo, quadrato dell’incognita), aequalis