FİZK 104-202Ders 7

ELEKTRIKSEL POTANSIYEL

Dr.AliÖVGÜNDAÜFizikBölümü

www.aovgun.com 1

Kaynaklar: -Fizik 2. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temelleri 2.Kitap (HALLIDAY & RESNIK) -Üniversite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY)

2

3

4

5

6

7

8

Elektrikpotansiyelenerji

qİki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi

• r uzaklığındaki deneme yükü üzerindeki kuvvet

+q

q0

rb

r

ra

20

041

rqqFr πε

=

• Deneme yükü üzerinde yapılan iş

∫∫ −===→b

a

b

a

r

rba

r

r rba rrqqdr

rqqdrFW )11(

441

0

020

0 πεπε

E!

E!

a

b

9

Elektrikpotansiyelenerji

qİki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi• Daha genel durumda

a

b

r

!"d

rd!F!

E!

∫ ∫∫ ==⋅=→b

a

b

a

b

a

r

r

r

r

r

rba drrqqdFdFW 2

0

041cosπε

φ !!""

Yolun eğimi

dr

φ

baba

UUrr

qq −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 11

4 0

0

πε

Elektrik potansiyelin doğal ve uygun ifadesirqqU 0

041πε

≡10

Elektrikpotansiyelenerji

q İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi•Elektrik potansiyel enerji ifadesi

rqqU 0

041πε

≡

•Elektrik potansiyel enerjinin referans noktası

Potansiyel enerji her zaman U=0 olduğu referans noktasına bağlı olarak ifade edilir. R sonsuza gittiğinde, U sıfıra gider.Bu yüzdenr= referans noktasıdır. Bunun anlamı U ,deneme yükünü başlangıç uzaklığı r den sonsuza hareket ettirmek için yapılan iş olarak tasvir edilir.

∞

Şayet q ve q0 aynı işarete sahipse, bu iş POZİTİF ; değilseİş NEGATİF tir.

qq0>0qq0<0

U U

0

0

11

ElektrikPotansiyelEnerji

q Birçok nokta yükle elektrik potansiyel enerji•Deneme yükü bir çok parçacığın elektrik alanı içine yerleştirilir.

• Konfigürasyondaki parçacıkların elektrik potansiyel enerjileri toplamı

12

Elektrikpotansiyel

qÖrnek 23.2: Nokta yükler sistemi

+

q1=-e q2=+e q3=+e

+-x=0 x=a x=2a

ae

ae

aee

rq

rqqUW

0

2

023

2

13

1

0

3

8244 πεπεπε+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

ae

aee

aee

aee

rqq

rqq

rqq

rqq

Uji ij

ji

00

23

32

13

31

12

21

00

8))((

2))(())((

41

41

41

πεπε

πεπε

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ∑

<

13

14

ElektrikPotansiyel

q Elektrik potansiyel veya potansiyel• Elektrik potansiyel V birim yük başına potansiyel enerjidir.

VqUqUV 0

0

or == 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb

abbababa VqVVqUUW 00 )( ≡−=−=→

a ile b arasındaki potansiyelBirim yük a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvettarafından iş yapılır.

Birim yükü b den a ya yavaş bir şekilde hareket ettirmek için elektrik kuvvete karşı bir iş yapılması gerekir.

15

Elektrikpotansiyel

q Elektrik potansiyel veya potansiyel

•Tek bir nokta yükten dolayı elektrik potansiyel;

rq

qUV

00 41 πε

==

• Nokta yükler yığınından dolayı elektrik potansiyel;

∑==i i

i

rq

qUV

00 41 πε

• Sürekli yük dağılımından dolayı elektrik potansiyel;

∫==rdq

qUV

00 41 πε

16

Elektrikpotansiyel

q E den V ye•Çoğu zaman bilinen bir elektrik alandan potansiyeli hesaplamak daha kolaydır.

∫∫ ⋅=⋅=→

b

a

b

aba dEqdFW !""

!""

0

∫ ∫=⋅=−b

a

b

aba dEdEVV !!""

φcos

∫ ⋅−=−a

bba dEVV !""

Elektrik alan birimi şu şekilde ifade edilir:1 V/m = 1 volt/meter = 1 N/C = 1 Newton / Coulomb

17

Elektrikpotansiyel

qÖrnekler 23.6: ∫ ⋅−=−f

iif sdEVV !!

R r ile yer değiştirmiştir

18

ElektrikPotansiyel

qÖrnekler 23.7:

+ -m, q0q1 q2

a b = 0

qVUmK == ,21 2υ

ba VqmVq 02

0 210 +=+ υ

mVVq ba )(2 0 −=υ

19

ElektrikPotansiyel

qBirim: Elektron volt (atomik ve nükleer fizikte kullanışlı)

• Şayet q yükü e yükü ile eşit büyüklüğe sahipse(1.602 x 10-19 C) ve potansiyel fark Vab= 1 V ise, yükün enerjisi:

• Potansiyeli Va olan noktadan Vb olan noktaya hareket eden q yüklü parçacığıdüşünelim, yükün potansiyel enerjisi:

abbaba qVVVqUU =−=− )(

eV 1 J 10602.1V)1)(C10602.1( 1919

≡×=×=− −−

ba UU

meV, keV, MeV, GeV, TeV,…

20

Elektrikpotansiyelinhesaplanması

q Örnek 23.8: Yüklü iletken bir küre

+++

+ ++

+

+

E

V

0

0

R

r

r

0=E

204

1RqE

πε=

204

1rqE

πε=

RqV

041πε

=

rqV

041πε

=

Gauss kanununu kullanarak örnek 22.5 deki elektrik alanı hesaplarız.Şimdi potansiyeli hesaplamak için bu sonucu kullanabiliriz ve sonsuzda V=0 alabiliriz.

4

1:0 rqVrR

πε=< Nokta yükün potansiyeline

benzer olarak

4

1:0 RqVrR

πε==

4

1:0 RqVrR

πε=>

İletken içindeE sıfırdır. Bu yüzden potansiyel sabit kalır ve yüzeydeki kadardır

21

Eşpotansiyelyüzey

q Eş potansiyel yüzey

• İki farklı potansiyelde olan nokta yoktur, bunun için farklı potansiyeller için Eş potansiyel yüzeyler hiçbir zaman kesişmez.

• Bir eş potansiyel yüzey, elektrik potansiyeli her noktada aynı olan 3-d yüzeydir.

• Bir eş potansiyel yüzey boyunca hareket eden deneme yükü için potansiyel enerji değişmediğinden,elektrik alan iş yapmaz.

• E her noktada yüzeye diktir.

• Alan çizgileri ve eş potansiyel yüzeyler her zaman karşılıklı olarak diktir.

22

Eşpotansiyelyüzey

q Eş potansiyel yüzey örnekleri

23

Eşpotansiyelyüzey

q Eş potansiyeller ve iletkenler

•İletken içinde her yerde- İletken içinde herhangi bir noktada E nin yüzeye teğet bileşeni sıfırdır.- Aynı zamanda E nin teğetsel bileşeni yüzey dışındada sıfırdır.

• Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletkenin yüzeyi her zaman eş potansiyel yüzeydir.

iletken0=E

!

E!

//E⊥E

vakum Şayet böyle olmasaydı, bir yük dikdörtgen yol etrafında bir kısmı içerde bir kısmı dışarda olacak şekilde hareket ederdi üzerine yapılan net bir iş miktarıyla başladığı noktaya geri dönerdi.

•Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletken dışındaki elektrik alanher noktada yüzeye dik olmalıdır.

E = 0

24

Eşpotansiyelyüzey

q Eş potansiyeller ve iletkenler

•İçerisinde herhangi bir yük olmayan oyuklu iletkeni düşünelim- İletken oyuk yüzeyi eş potansiyel bir A yüzeyidir.- Farklı potansiyelde oyuk içinde bir P noktası alalım ve bu B potansiyelinden farklı potansiyelde olsun- Alan yüzey B den A ya ya da A dan B ye ilerler.- Oyuk içindeki B yüzeyini çevreleyen bir gauss yüzeyi çizilir.

İletken

Oyuk yüzeyi

Gauss yüzeyi

P den geçen eş potansiyel yüzey

PA B

- Bu gauss yüzeyinden geçen net akı sıfır değildirçünkü elektrik alan yüzeye diktir.

- Gauss kanunu içerisinde herhangi bir yük olmadığından bu akının, sıfır olduğunu söyler.- Bundan A ve B potansiyelleri aynı potansiyeldedir.

• Elektrostatik konumda, şayet bir iletken bir oyuk içeriyorsa ve oyuk içerisinde yük mevcut değilse, oyuk yüzeyi üzerinde herhangi bir yerde net yük olmayabilir.

25

Eşpotansiyelyüzey

q Elektrostatik Ekranlama

26

Potansiyelgradyent

q Potansiyel gradyent

•Potansiyel fark ve elektrik alan

∫ ⋅=−b

aba dEVV !""

• Potansiyel fark ve elektrik alan

∫∫ −==−a

b

b

aba dVdVVV

∫∫ ⋅=−b

a

b

adEdV !""

dzEdyEdxEdEdV zyx ++=⋅=− !""

kdzjdyidxd

kEjEiEE zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

!"

"

27

Potansiyelgradyent

q Potansiyel gradyent(cont’d)• V den E

zVE

yVE

xVE zyx ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−=

...)()(lim0 x

xfxxfxf

x Δ−Δ+=

∂∂

→Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂−= k

zVj

yVi

xVE ˆˆˆ!

•Fonksiyon f nin gradyenti

fz

ky

jx

if ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇ ˆˆˆ!

VE ∇−=!!

rVEr ∂∂−=

Nokta yada eksende E radyalsa

28

ELEKTRİKALANINELEKTRİKSELPOTANSİYELDENELDEEDİLMESİ

Belirli bir yerde elektriksel potansiyel biliniyorsa bu bölgede elektrik alanıhesaplanabilir.

SÜREKLİYÜKDAĞILIMININOLUŞTURDUĞUELEKTRİKSELPOTANSİYEL

Eğer toplam yük bir yüzeye, hacme veya uzunluğa dağılmışsa öncelikle küçük dqelamanının istenilen noktada oluşturduğu potansiyel bulunur ve dq elamanı tüm yüzey,hacim veya uzunluk üzerinden taranarak (integral) toplam potansiyel elde edilir.

29

Potansiyelgradyent

q Potansiyel gradyent

30

31

AlıştırmalarqAlıştırma 1

32

Alıştırmalar

q Alıştırma1

33

Alıştırmalar

q Alıştırma 1

34

35

AlıştırmalarqAlıştırma 2

36

37

38

Alıştırmalar

qAlıştırma 3

39

Alıştırmalar

qAlıştırma 4

40

Alıştırmalar

qAlıştırma 4

41

42

43

44

Alıştırmalar

q Alıştırma 5

45

Alıştırmalar

q Alıştırma 5

46

Alıştırmalarq Alıştırma 5: Sonsuz bir çizgi yük ve iletken silindir

Sinyal teli

Metal şeritin dışı

r r

Çizgi yük yoğunluğu λ

Q -Q

a

b

b

a

b

ar

b

aba

rr

rdrdrEdEVV

ln2

2

0

0

πελ

πελ

=

==⋅=− ∫ ∫∫ !""

47