Linearna funkcija

DefinicijaLinearna funkcija :f je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,n .k…smerni koeficientn…začetna vrednost

Df , ZfDefinicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila.Zaloga vrednosti so vsa realna števila, če je k 0, za k = 0 pa jezaloga vrednosti le realno število n.

Oblike enačbe premiceEksplicitna: y kx n

Implicitna: 0; ,,axbyc abc

a in b nista hkrati enaka 0

Odsekovna: 1; , 0

x ymn

mn

Lastnosti Začetna vrednost f(0) = n določa presečišče grafa linearne

funkcije z ordinatno osjo.

Diferenčni količnik linearne funkcije je 2 1

2 1

f x f xkx x

. Če je k > 0, je funkcija naraščajoča, če je k < 0, je funkcija

padajoča, če je k = 0, je funkcija konstantna. Ničla linearne funkcije f x kx n je vrednost spremenljivke x, za

katero je f(x) = 0.

1

Graf

Graf linearne funkcije je premica, podana z enačbo y kx n .

k > 0

k < 0

Posebnosti

Enačba premice skozi točki 1 1,A x y in 2 2,B x y je:

2 11 1 2 1

21

, ;yy

yykxxk xxxx

Premici z enačbama 1 1y kx n in 2 2y kx n sta vzporedni natanko takrat, koje 1 2k k in pravokotni natanko takrat, ko je 1 2 1k k .

2

Kvadratna funkcija

Definicija

Kvadratna funkcija :f je definirana s predpisom 2 ;,, , 0fxaxbxcabca .

a…vodilni koeficientb…koeficient linearnega členac…svobodni ali prosti člen

Df , Zf

Definicijsko območje je množica vseh realnih števil.Zaloga vrednosti je za a > 0 interval ,q ter za a < 0 interval ,q , kjer je (p,q) teme dane parabole.

Lastnosti

3

f(0) = c je presečišče grafa z ordinatno osjo. Število a določa razteg grafa v smeri ordinatne osi in odprtost

grafa navzgor, če je a > 0, oziroma navzdol, če je a < 0. V temenu doseže funkcija največjo vrednost (maksimum), če je

a < 0, oziroma najmanjšo vrednost (minimum), če je a > 0.

24,

2 4

b bacTpq p q

a a

Ničli kvadratne funkcije 2f x ax bxc sta vrednosti spremenljivke

x, pri katerih je f(x)=0. 2 2

1,20 ; 42

bDaxbxc x Dbac

a

D > 0 kvadratna funkcija ima dve različni realni ničliD = 0 kvadratna funkcija ima eno dvakratno realno ničloD < 0 kvadratna funkcija nima realnih ničel

Graf Graf kvadratne funkcije je parabola, podana

z enačbo 2y ax bx c .

a>0 a < 0

4

5

Oblike kvadratne funkcije

Splošna: 2f x ax bxc

, , ; 0abc a

Temenska: 2

f x axp q

, , ; 0apq a

T(p,q)…teme parabole

Ničelna: 1 2fx axxxx

x1, x2…ničli kvadratne funkcije

Eksponentna funkcija

6

Definicija

Eksponentna funkcija :f je definirana s predpisom , , 1xfx aa a . (a…osnova eksponentne funkcije)

Df , Zf

Definicijsko območje je množica vseh realnih števil.Zaloga vrednosti je množica vseh pozitivnih realnih števil.Lastnosti

Graf funkcije gre skozi točko T(0,1) (f(0) = 1). Funkcija je povsod pozitivna ( , 0x f x ). Za a>1 je funkcija naraščajoča, za 0<a<1 pa je funkcija

padajoča. Funkcija je navzgor neomejena, navzdol pa omejena z

vrednostjo 0 (asimptota y = 0).

Graf

Graf eksponentne funkcije je krivulja, podana z enačbo

xy a.

a >1 0 < a < 1

Logaritemska funkcija

7

DefinicijaLogaritemska funkcija :f je definirana s predpisom

log, , 1afx xa a .a…osnova logaritemske funkcije, x…logaritmand

Df , Zf

Definicijsko območje je množica vseh pozitivnih realnih števil.Zaloga vrednosti je množica vseh realnih števil.Lastnosti

1 log1 0af (funkcija ima ničlo pri x=1). log 1af a a

Za a>1 je funkcija naraščajoča. 01 0, 1 0x fx x fx Za 0<a<1 je funkcija padajoča.

01 0, 1 0x fx x fx

Funkcija je navzgor in navzdol neomejena.

Graf logaritemske funkcije je krivulja, podana zenačbo logay x .a>1

0<a<1

Kotne funkcije8

Definicija

Sinus kota x je ordinata točke A, v katerigibljivi krak kota x seka enotsko krožnico.

Definicija

Kosinus kota x je abscisa točke A, v katerigibljivi krak kota x seka enotsko krožnico.

Df , Zf

Definicijsko območje so vsa realnaštevila.

Zaloga vrednosti je interval 1,1 .

Df , Zf

Definicijsko območje so vsa realna števila.

Zaloga vrednosti je interval 1,1 .

Graf Graf

Lastnosti Je periodična funkcija z osnovno

periodo 2

( sin 2 sin,xk xk ).

Je liha funkcija ( sin sinx x ). Je pozitivna za kote v prvem in

drugem kvadrantu in negativna zakote v tretjem in četrtemkvadrantu.

Ničle: ,x k k

Maksimumi: 2 ,

2x k k

Minimumi:

32 ,

2x k k

Je omejena funkcija, navzgor zvrednostjo 1 in navzdol z vrednostjo–1.

Definicija

Lastnosti

Je periodična funkcija z osnovno periodo2

( cos 2 cos,xk xk ).

Je soda funkcija ( cos cosx x ). Je pozitivna za kote v prvem in četrtem

kvadrantu in negativna za kote v drugemin tretjem kvadrantu.

Ničle: ,

2x k k

Maksimumi: 2 ,x k k

Minimumi: 2 ,x k k

Je omejena funkcija, navzgor z vrednostjo1 in navzdol z vrednostjo –1.

Definicija9

Tangens kota x je ordinata točke B, vkateri nosilka gibljivega kraka kota x sekatangento na enotsko krožnico v točki (1,0).

Kotangens kota x je abscisa točke B, v katerinosilka gibljivega kraka kota x seka tangento naenotsko krožnico v točki (0,1).

Df , Zf

Definirana je za vsa realna števila, razen vpolih.Zaloga vrednosti so vsa realna števila.

Df , Zf

Definirana je za vsa realna števila, razen v polih.Zaloga vrednosti so vsa realna števila.

Graf

Graf

Lastnosti

Je periodična z osnovno periodo ( ,tgxk tgxk ).

Je liha funkcija ( tg x tgx ). Je pozitivna za kote v prvem in

tretjem kvadrantu in negativna zakote v drugem in četrtemkvadrantu.

Ničle: ,x k k

Poli: ,

2x k k

Je naraščajoča funkcija na vsemdefinicijskem območju.

Je neomejena funkcija.

Lastnosti

Je periodična z osnovno periodo ( ,ctgxk ctgxk ).

Je liha funkcija ( ctg x ctgx ). Je pozitivna za kote v prvem in tretjem

kvadrantu in negativna za kote v drugemin četrtem kvadrantu.

Ničle: ,

2x k k

Poli: ,x k k

Je padajoča funkcija na vsemdefinicijskem območju.

Je neomejena funkcija.

Polinomi

10

Definicija

Polinom je funkcija :p , definirana s predpisom 1

1 1 0...n nn npxaxax axa

; 1 100, , ,..., ,n nna aa aa

an…vodilni koeficienta0…konstantni člen (začetna vrednost polinoma)n…stopnja polinoma

Lastnosti Polinom ni omejena funkcija. Ni periodična funkcija. Na nekaterih podintervalih je padajoča, na drugih naraščajoča

funkcija. Nekateri polinomi so lihe, drugi sode funkcije, nekateri pa niti

sode niti lihe funkcije.

Graf

Graf polinoma je nepretrgana krivulja, ki seka abscisno os vničlah lihe stopnje (spremeni predznak). V ničlah sode stopnje se dotakne abscisne osi (ohrani predznak).

Vedenje polinoma daleč od izhodišča določa vodilni člen n

na x .

11

Polinomi-posebnosti

Polinoma sta enaka, če sta enake stopnje in se ujemata v vseh istoležnih koeficientih.

Osnovni izrek o deljenju polinomov:

pxkxqxrx

k(x)…količnikr(x)…ostanek

Osnovni izrek algebre: Vsak nekonstanten polinom s kompleksnimi koeficienti imvsajeno kompleksno ničlo.

Posledice:Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih.

Polinom lihe stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo.

Polinom n – te stopnje ima n ničel. 1 2...n npxaxxxx xx

Če je racionalno število

c

d ničla polinoma p(x), potem c deli prosti člen a0, d pa vodilni koeficient an.

12

Racionalne funkcije

Definicija

Racionalna funkcija

pxf x

qx

je količnik polinomov p in q.p in q nimata skupnih ničel, q(x) ni identično enak 0.

Lastnosti

Definicijsko območje so vsa realna števila razen ničel polinomaq(x).

Ničle racionalne funkcije so ničle števca. Poli racionalne funkcije so ničle imenovalca.

(V vsakem polu ima graf racionalne funkcije navpično asimptoto.)

GrafRacionalna funkcija spremeni predznak le v ničlah ali polih lihestopnje.Vedenje v neskončnosti:

Naj bo 11 1 0...n n

n npxaxax axa

in 11 1 0...m m

m mqxbxbx bxb

.a) n<m y=0 vodoravna asimptota grafa racionalne funkcije

13

b) n=m

n

m

ayb

vodoravna asimptota grafa racionalne funkcijec) n>m števec p delimo z imenovalcem q

pxkxqxrx

Krivulja y = k(x) je asimptota grafa racionalne funkcije.(y = k(x) je premica poševna asimptota grafa racionalne funkcije f.

14

15