BUKU AJAR MATEMATIKA SMA3 IPA

UNTUK KELAS XII

DISUSUN OLEH:FIKRI ULUL ALBABMAMLUATUL HIKMAHSRI KODARIAH

PENERBIT DADAR GULUNG PRODUCTION

Jalan Perjuangan No. 01 Cirebon2012-2013

KATA PENGATAR

1

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang mana dengan rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan buku ajar yang berjudul “BUKU AJAR MATEMATIKA SMA 3 IPA”

Adapun isi dari buku ajar ini diantaranya adalah Inspirasi, Materi Pembahasan, Contoh Soal dan Pemecahannya, dan Latihan. Tujuannya adalah agar tercapai kompetensi dasar yang diharapkan.INSPIRASI

Sebagai pembuka bab yang berisi informasi tentang penerapan materi pada suatu bidang dengan tujuan agar siswa termotivasi untuk memperdalam materi yang bersangkutan.MATERI BAHASAN

Mencangkup teori teori tentang sejarah dan kegunaan integral, integral tak tentu, integral tentu, integral substitusi, integral parsial, menentukan luas daerah, menentukan volume benda putar serta Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari.CONTOH SOAL DAN PEMECAHANNYA

Bertujuan agar siswa lebih mengerti penerapan konsep materi kedalam soal-soal dan sebagai latihan awal mengukur pemahaman siswa terhadap materi sebelum siswa mencoba soal-soal latihan dalam buku ajar ini.

LATIHAN Bertuan untuk mengukur sejauh mana

pemahaman siswa terhapad konsep yang telah disampaikan.

Dalam kesempatan kali ini, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada:

2

1. Prof. DR. Djohan Rochanda Wiradinata, MP. Selaku Dekan FKIP.

2. Ibu Fatonah, selaku Ketua Jurusan FKIP Matematika.3. Bapak Dede Trie Kurniawan, M.Si., M.Pd., sebagai

dosen pembimbing sekaligus dosen mata kuliah Program Komputer 1 yang telah membimbing kami.

4. Ibu Dina Pratiwi D.S., S.Pd. selaku Dosen Wali.5. Kedua orangtua dan keluarga yang senantiasa

mendukung dan senantiasa mendoakan kami. 6. Dan semua rekan-rekan kelas 2 H.

Kami menyadari bahwa buku ajar ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan buku ajar ini terutama dosen pembiming sekaligus dosen mata kuliah Belajar dan Pembelajaran dan para pembaca. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada umumnya dan kami selaku penulis pada khususnya.

Cirebon, Mei 2012

PenulisDAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI iii

SEKAPUR SIRIH DARI PENULIS iv

INTEGRAL .................................................................................

1

3

INSPIRASI ...............................................................................

2

A. Sejarah dan Kegunaan ..............................................

4

B. Pengertian Integral ....................................................

4

1. Integral Tak Tentu ...............................................

6

2. Integral Tentu ........................................................

11

3. Integral Substitusi ...............................................

13

4. Integral Parsial .....................................................

18

C. Menentukan Luas Daerah ........................................

20

D. Menentukan Volume Benda Putar ..........................

27

E. Aplikasi Integral dalam Kehidupan .......................

35

DAFTAR PUSTAKAPETUNJUK PENGGUNAAN PROGRAM QUIZ MAKKERBIODATA KELOMPOKDESKRIPSI KERJAPERANAN KOMPUTER TERHADAP PROSES

4

PEMBELAJARAN MATEMATIKASEKAPUR SIRIH DARI PENULIS

Sebagian orang belum sepenuhnya mengerti tentang arti belajar. Pada hakekatnya belajar itu merupakan suatu proses menuju perubahan tingkah laku. Belajar itu jangan dijadikan sebagai beban. Namun, jadikan belajar sebagai kebutuhan.

Jangan pernah merasa cukup sampai disini ataupun cepat merasa puas dengan apa yang ananda dapatkan sekarang, karena masih banyak yang belum ananda ketahui diluar sana. Coba perhatikan kata-kata dibawah ini!

Tiada kebaikan ibadah tanpa ilmu dan tiada kebaikan ilmu tanpa faham dan tidak ada kebaikan bacaan kalau tidak perhatian. (Sayyidina Ali bin Abi Thalib R.A)Belajar tanpa berfikir adalah sia-sia, berfikir tanpa belajar adalah bahaya. (Confucius 551-479 SM)

Begitu banyak kata-kata motivasi seperti di atas. Namun, semua takan berpengaruh banyak jika diri ananda sendiri tidak memiliki kesadaran akan pentingnya belajar.

Belajar itu tidak sulit, belajar itu sangatlah sederhana. Mulailah tancapkan niat dalam diri ananda untuk mulai membuka jendela dunia. Jadikanlah diri ananda sebagai individu yang tangguh dalam menghadapi tantangan zaman.

Salam Hangat

PenulisINTEGRAL

5

Standar Kompetensi:Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.Kompetensi Dasar: Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume benda putar.

6

INSPIRASI

Perkah kalian memikirkan bagaimana cara menghitung luas suatu daerah? Misalkan luas layang-layang atau sebuah bidang datar tidak beraturan. Apakah kalian pernah memikirkan cara menghitung volume dari sebuah kaleng susu atau vas bunga atau luas daerah bidang datar tidak beraturan dan volume dari sebuah benda? Kadua hal tersebut memiliki bentuk yang tidak beraturan. Sepertinya akan cukup sulit untuk mengetahui luas atau volumenya. Namun, ada sebuah metode yang dapat digunakan untuk mengukur luas ataupun volume dari benda yang tidak beraturan, yaitu dengan menggunakan integral.

Bagaimana cara kita menggunakan integral untuk menghitung luas atau volume sebuah benda?

7

Pada integral, kita perlu mengetahui fungsi dari benda tersebut, yang dapat dinyatakan sebagai y = f(x) atau x = g(y). Selanjutnya dengan menggunakan batas-batas tertentu, kita baru dapat menentukan luas atau volume dari benda yang kita inginkan.

Integral memiliki simbol ∫ f ( x )dxatau ∫ g ( y ) dy . Semua ini tergantung dari apa yang akan kita cari. Integral disebut juga sebagai anti turunan. Hal ini disebabkan antara turunan dan integral masih ada kaitan yang erat. Misalkan, y = 6x2 + 3x + 4, maka

turunannya adalah dydx = 12x + 3. Sekarang, jika kita

hubungkan dengan ∫12 x+3 dx=6 x ²+3 x+c . perhatikan bahwa terlihat sekali ada hubungan antara integral dan turunan fungsi.

Jadi, untuk memahami integral, diperlukan kemampuan dalam turunan fungsi, sehingga kalian tidak akan terlalu sulit untuk mengerti. Agar kalian mengetahui lebih rinci dan lebih dalam tentang integral, silakan pelajari buku ajar ini dengan seksama.

INTEGRAL

F. Sejarah dan Kegunaan

8

Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich Benhard Riemann (1826–1866).

G. Pengertian IntegralDi Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep

turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

f1 (x) = 3 x3+4 f2 (x) = 3 x3+9 f3 (x) = 3 x3- 1 f4 (x) = 3 x3 -10

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umumf (x) = 3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f’(x)= 9x2.

Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari F’(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f’(x), berarti menentukan antiturunan dari f’(x). Sehingga, integral merupakan

9

antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x yang ditulis dalam bentuk ∫ f ( x )dx dinamakan sebagai integral tak tentu dari fungsi f(x) terhadap x. Integral tak tentu fungsi f(x) terhadap x adalah sebagai fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan:

∫ f ( x )dx=F ( x)+cdengan:F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat F’(x) =f(x)f(x) disebut fungsi integranC konstanta real sembarang dan sering disebut dengan konstanta pengintegralan.Catatan:Istilah anti-pendiferensialan, anti-turunan, pengintegralan, integral tak tentu mempunyai maksud yang sama. Leibniz menambahkan kata sifat tak tentu merupakan petunjuk bahwa dalam menentukan hasil integral tak tentu selalu melibatkan adanya konstanta C yang sembarang.

10

Jika F(x) adalah fungsi umum yng bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral f(x).

2. Integral Tak TentuPada bagian sebelumnya, kalian telah

mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [a,b] sedemikian hingga d (F ( x ))

dx = f (x ) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c.

Secara matematis, dapat ditulis :∫ f ( x )dx=F ( x)+cContoh:

∫ x2 dx= x3

3+c

Karena, d ( x3

3+c)

dx=x2

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta (c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

a. Integral Tak Tentu dari Fungsi AljabarBerikut diberikan rumus-rumus integral tak tentu dari fungsi aljabar. Teorema 1Jika n bilangan rasional dan n ≠ -1, maka:

11

(i) ∫ xn dx= 1n+1

xn+1+c ,

(ii) ∫ a xn dx= an+1

xn+1+c ,

di mana c adalah konstanta.Teorema 2

(i) ∫ dx=x+C

(ii) ∫ a dx=ax+C

Teorema 3Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka:

∫ k xn dx=k∫ xn dx

Teorema 4Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka:∫ ( f ( x )+g ( x ) ) dx=∫ f (x ) dx+∫ g (x ) dxTeorema 5

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka:

∫ ( f ( x )−g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx−∫g ( x ) dx Contoh:Tentukan integral-integral tak tentu berikut ini.

a .∫5 x4 dx b .∫ x5−1x ²

dx

c .∫ (x¿¿3¿+x)dx¿¿

Jawab:

12

a. ∫5 x4 dx= 54+1

x5+C=x ⁵+C

b. ∫ x5−1x ²

dx=∫ x5

x ²dx−¿∫ 1

x2 dx ¿

¿∫ x3dx−¿∫ x̄2 dx=14

x4+ 1x¿ + C

c .∫(x¿¿3¿+x)dx=14

x4+ 12

x2+c¿¿

LATIHAN 1Tentukan integral-integral tak tentu berikut ini.

a. ∫ 4 x dx

b. ∫ 2x ³

dx

c. ∫(1−36 x2)dx

d. ∫( 3√ x2¿− ⁴√x3)dx ¿

e. ∫ (1+√ x )23√ x

dx

f. ∫2 x ² dx

g. ∫ (x3−1) ²x ³

dx

b. Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

13

Integral tak tentu dari fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

∫cos xdx=sin x+c ∫ csc ² x dx=−cot x+c

∫sin x dx=−cos x+c ∫ tan x sec x dx=sec x+c

∫ sec ² xdx=tan x+c ∫cot x csc xdx=−csc x+cDimana c adalah konstanta.

Aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax + b dapat dirumuskan sebagai berikut.

∫cos (ax+b ) dx=1a

sin (ax+b )+C

∫sin ( ax+b ) dx=−1a

cos (ax+b )+C

∫ sec ² (ax+b ) dx=1a

tan (ax+b )+C

∫ csc ² ( ax+b ) dx=−1a

cot (ax+b )+C

∫ tan (ax+b ) sec (ax+b )dx=1a

sec (ax+b )+c

∫cot ( ax+b ) csc (ax+b ) dx=−1a

csc (ax+b )+c

Dimana a dan b masing-masing bilangan real dengan a ≠ 0.

14

Contoh:a. ∫¿¿ c .∫ (sin x−cos x )dx

b. ∫2 sec ² x dxJawab:

a. ∫¿¿

¿ 13

x ³−cos x+c

b. ∫2 sec ² x dx=2∫ sec ² x dx=2 tan x+c

c. ∫(sin x−cos x )dx=−cos x−sin x+c

LATIHAN 2Tentukn integral tak tentu berikut ini.

a .∫¿¿

b .∫ 4 cosec ² x dx

c .∫¿¿

d .∫ ¿¿

e .∫(tan ² x¿−3)dx¿

f .∫( tan 2 x¿+sec 2 x )² dx ¿

g .∫ ¿¿

h .∫ ¿¿

3. Integral TentuSifat-sifat Integral Tentu

∫a

a

f ( x )dx=0

15

∫a

b

f ( x )dx=¿−∫b

a

f (x ) dx ¿

∫a

b

k f ( x )dx=¿k∫a

b

f ( x )dx ¿

k adalah konstantareal sembarang

∫a

b

[ f ( x ) ± g ( x ) ] dx=¿∫a

b

f ( x ) dx ±∫a

b

g ( x )dx ¿

∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f ( x ) dx=∫a

b

f ( x ) dx

Untuk a < c < b.a. Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka

∫a

b

f ( x )dx ≥0

b. Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka

∫a

b

f ( x )dx ≤0

Contoh

a .∫0

2

2 x ³ dx

b .∫1

3

( x ²−1 ) dx

c .∫3

3

( x ²−1 )dx

Jawab :16

a .∫0

2

2 x ³ dx=2∫0

2

x ³ dx=[ 12 ¿¿ x4] ²

⁰=12

(2 )4−12

(0 )4 ¿¿

¿ 12

(16 )= 8b .∫

1

3

( x2−1 ) dx=[13

x3−x ] ³¹

¿ [ 13(3)3−(3)]−[ 1

3(1)3−(1)]= 6 2

3

c .∫3

3

( x2−1 ) dx=[ 13

x3−x ] ³³¿ [ 1

3(3)3−(3)]−[ 1

3(3)3−(3)]=0

LATIHAN 3

a .∫1

3

(2x−1 )dx d .∫1

2

(x2− 1x2 )dx

b .∫0

16

√ xdx e .∫0

2

( x+1 )² dx

c .∫1

4 1x ³

dx f .∫1

3

(4 t ³−3 t ²+2t ) dt

4. Integral SubstitusiTerkadang penyelesaian integral ∫ f ( x )dx

memerlukan teknik-teknik yang khusus. Satu diantara

17

teknik khusus itu adalah dengan menggunakan rumus integral substitusi diantaranya:

a. Pengintegralan yang dapat diubah ke

∫ f (u ) du

TeoremaMisalkan dengan menggunakan substitusi u = g(x), dengan g adalah fungsi yang mempunyai turunan sehingga ∫ f ( g (x ) ) g' (x ) dxdapat diubah menjadi ∫ f (u ) du

. Jika f (u) adalah anti-pendiferensialan dari f(x), maka:

∫ f ( g (x ) ) g' (x ) dx=∫ f (u ) du=F ( g ( x ) )+C

Teknik penghitungan pengintegralan dengan menggunakan rumus integral substitusi memerlukan dua langkah sebagai berikut:

1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f ( g (x ) ) g' (x ) dx dapat diubah menjadi ∫ f (u ) du

2. Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F’(du) = f(u)

Rumus-rumus1. Pengintegralan Fungsi Aljabar

∫uⁿ du= 1n+1

uⁿ+1

n bilangan rasionaldan n≠ 1

2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

∫cos udu=sin u+c

18

∫sin u du=−cosu+c

∫ sec ² u du=tan u+c

∫ csc ² u du=−cot u+c

∫ tan u sec u du=sec u+c

∫cot u csc udu=−csc u+c

Contoh Tentukan integral-integral berikut.a. ∫ (2 x+5 )9 dx c .∫ x √x2+9 dx

b. ∫ (2 x+3 ) cos(x2+3 x)dxJawab

a. ∫ (2 x+5 )9 dx

Misal u = 2x + 5 du2 = dx

du = 2 dx

∫ (2 x+5 )9 dx=∫u9 du2

=12∫ u9 dx= 1

20u 10 + C

= 1

20 (2x + 5)10 + C

b .∫ (2 x+3 )cos (x2+3 x )dx

19

Misal u = x2+3 x

du = 2 x+3 dx∫ (2 x+3 ) cos(x2+3 x)dx=∫cosu du

= sin u + C= sin (x2 + 3x) + C

c .∫ x √x2+9 dxMisal u = x2+9

du = 2x dx atau du2 = x dx

∫ x √x2+9dx=12 ∫√udu=1

3 √u3+C

¿ 13 √(x2+9)3+C

LATIHAN 4 Tentukan integral-integral tak tentu berikut ini.a. ∫ ( 4 x+5 )⁶ dx

b. ∫ 2(2x−1) ²

dx

c. ∫ x ² ( x ³+5 )9 dx

d. ∫10 x (8 x ²−1) ⁴ dx

e. ∫ x ² ( x ³+1 ) cos ( x ³+1 )9 dx

f. ∫√sin x cos x dx

20

g. ∫ si n6 x cos x dx

h. ∫ sin xcos ² x

dx

b. Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk √a ²−x ² ,√a ²+x ² dan√ x ²−a ².

Hasil Substitusi terhadap fungsi integralFungsi Integral

Substitusi dengan

Hasil Substitusi

√a ²−x ² x = a sin θ a √1−sin2 θ¿a cosθ

√a ²+x ² x = a tan θ a √1+tan2 θ¿a secθ

√ x ²−a ² x = a sec θ a √sec2 θ−1¿a tanθ

Contoh∫√a ²−x ² dxJawabx = a sin θ dx = a cosθ dθ

∫√a ²−x ² dx = ∫√a ²−(a sin θ)² . acos θ dθ

¿∫√a ²−a ² sin ² θ .a cosθ dθ

¿∫√a ²(1−sin2 θ). acosθ dθ

21

¿∫√a ² cos ² θ . a cosθ dθ

¿∫a cosθ . a cos θ dθ

¿∫a cosθ . acosθ dθ

¿a ²∫cos ² θ dθ

¿ a ²2 ∫1+cos 2θ dθ

¿ a ²2 (θ+ 1

2sin 2 θ)+C

LATIHAN 5 Tentukan integral-integral berikut.

a. ∫ √4−x ² dx c. ∫ dx√4−x ²

b. ∫ x ²√4−x ² dx d. ∫ dx√25−16 x ²

4. Integral ParsialMisalkan diketahui fungsi u = v(x). Hasil kali

kedua fungsi itu ditentukan oleh y = uv. Berdasarkan aturan hasil kali fungsi-fungsi, maka diperoleh hubungan.

y’ = u’ v + u v’

↔ dydx

=dudx

v+u dvdx

↔ dy = v du + u dv

22

Dengan menerapkan operasi pengintegralan pada masing-masing ruas persamaan diperoleh:∫ dy = ∫(v du+u dv)

↔ y = ∫ v du+∫ udv

↔ uv = ∫ v du+∫ u dv

↔∫uv=uv−∫ v duMisalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah

fungsi dari variabel x, maka pengintegralan ∫udv ditentukan oleh hubungan:

∫uv=uv−∫ v du

Hubungan diatas menunjukan bahwa pengintegralan ∫u dv dapat diubah menjadi ∫ v du, dan sebaliknya. Berhasil atau tidaknya pengintegralan dengan menggunakan rumus integral parsial ditentukan oleh dua hal berikut.

1. Memilih bagian dv sehingga v dengan segera dapat ditentukan melalui hubungan v = ∫ dv .

2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibanding dengan ∫udv

Contoh∫ x sin xdxJawab:Misal u = x dv = sin x dx du = dx v = ∫sin x dx v = -cos x

∫ x sin xdx=¿∫uv ¿

23

¿uv−∫ v du

= x (-cos x) - ∫−cos x dx

= -x cos x + ∫cos xdx

= -x cos x + sin x + C

LATIHAN 6Dengan menggunakan rumus integral parsial ∫uv=uv−∫ v du, tentukan integral-integral berikut ini.

a. ∫ x sin 2x dx

b. ∫ x sin 3 x dx

c. ∫ x sin(x−π )dx

d. ∫ x √x+1 dx

e. ∫ x ²√4−2 xdx

f. ∫ x ²√ x+6 dxH. Menentukan Luas Daerah

a. Luas sebagai Limit Suatu Jumlah Berbicara tentang luas suatu bidang datar, akan

teringat beberapa aturan atau konsep menentukan luas suatu bangun datar sebagai mana telah dipelajari mualai jenjang SLTP s/d SLTA diantaranya luas segitia, segi empat, segi lima, dst.

Bagimana jika kita berhadapan dengan suatu bangun datar yang sebagian batas (sisinya) berbentuk kurva (garis lengkung), tentunya perlu pendekatan konsep baru guna mendapatkan cara menentukan luas daerah suatu bangun yang tak teratur.

24

fo

X

Y Y= f(x)

a b

fn

ba X

Y Y= f(x)

Perhatikan dan diskusikan beberapa hal berikut ini: Gambar dibawah ini menunjukan daerah yang

diarsir Merupakan daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva Defferensiabel (ada anti turunannya) y = f(x), garis x = a, x = b dan sumbu x, berapakah Luas Daerah yang diarir

(LR) ...... ?LR akan didekati dengan Jumlah Luas segi-4 yang dibuat dalam selang tertutup a ≤ x ≤ b, dengan lebar Δx (perhatikan gambar dibawah ini) sehingga didapat:

LR = fo Δx + f1 Δx + f2 Δx + ….. + fn Δx

= ( fo + f1 + f2 + … + fn ) . Δx = ∑a

b

fx .∆ x

25

L (R )=−∫a

b

f (x ) dx

L (R )=∫a

b

f (x ) dx

Guna mendekati Luas maksimum, Δx 0 sehingga didapat: Dikenal dengan Luas sebagai limit suatu jumlah. Bentuk disederhanakan menjadi ∫, sehingga :

LR = lim∆ x→ 0

∑ fx . ∆ x↔ LR = ∫a

b

f ( x )dx

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut.

b. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y =f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) 0 pada [a, b], maka luas daerah S adalah

26

c. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y =f(x) dan sumbu-x

Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) 0 pada [a, b] dan f(x) 0 pada [b, c], maka luas daerah T adalah

Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masing-masing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x.

27

d. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Luas daerah U pada gambar di bawah adalah L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga

Luas ABEF=∫a

b

f ( x ) dx

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga

Luas ABCD=∫a

b

g ( x ) dx

Dengan demikian, luas daerah U adalah

Contoh1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis

x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah…

Jawab:

28

L (U )=∫a

b

f (x ) dx−∫a

b

g ( x ) dx=∫a

a

( f (x )−g (x)¿)dx¿

Mencari batas atas dan bawah:y = x² dan x + y – 2 = 0x + x² - 2 = 0x² + x - 2 = 0(x + 2)(x - 1) = 0x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas)

V=π∫−2

1

( y2 atas− y2bawah ) dx

V=π∫−2

1

( (2−x )2−( x ²) ² )dx

V=π∫−2

1

((4−4 x+x ²)−x ⁴ ) dx

V=π∫−2

1

( – x4+x ²−4 x+4¿ ) dx

V=π ( – 15

x ⁵+ 13

x3−2 x2+4 x)

V=π ( – 15(1)⁵+ 1

3(1)3−2(1)2+4(1))−( – 1

5(−2)⁵+ 1

3(−2)3−2(−2)2+4 (−2))

V=725

π

V=14 25

π

29

2. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x²

+ 4 dan y = -2x + 4 diputar 360 0

mengelilingi sumbu y adalah….Jawab:

Persamaan y = -x² + 4 ↔ x² = 4 – y ...(1)Persamaan y = -2x + 4 ↔ x = 4 – y

2 ...(2)Substitusi (1) dan (2)x² = 4 – y ↔ (4 – y ) ²

4 = 4 – y

16 – 8y + y² = 16 – 4y16 – 16 - 8y + 4y + y² = 0y² - 4y = 0y (y - 4) = 0y = 0 atau y = 4

V=π∫0

4

( x2 atas−x2bawah ) dy

V=π∫0

4

((4− y)− (4 – y) ²4 )dy

V=π∫0

4 (16−4 y−16+8 y− y ² )4

dy

30

V= π4∫0

4

(4 y− y ²)dy

V= π4 (2 y2−1

3y3)

V= π4 (2(4 )2−1

3(4)3)−(2(0)2−1

3(0)3)

V= π4

323

V=83

π

LATIHAN 7

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:a. Kurva y = f(x) = 3x2 + 6x, sumbu X, dan garis-

garis x = 0 dan x = 2.b. Kurva y = f(x) = x3 - x, sumbu X.c. Kurva y = f(x) = 16 – x2, sumbu X.d. Kurva y = f(x) = x2 + 2x, sumbu X.e. Kurva x = f(y) = 3y2 - 9, sumbu Y, garis x = 0

dan garis y = 1.

I. Menentukan Volume Benda PutarDalam menentukan volume benda putar yang

harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi: Metode cakram, Metode cincin dan Metode kulit tabung.

31y

0 x

y

x0 x1 2-

2-1

y

1234

y

xa

y

0 x

1. Metode CakramMetode cakram yang

digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Bentuk cakram di bawah ini dapat dianggap

sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = Dx. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai

DV » pr2h atau DV » p f(x)2Dx.

32

y

h=Dx x

x

1xr

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:V » å p f(x)2 Dx V = lim å p f(x)2 Dx

Contoh:1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.Jawab:Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.DV » pr2h DV » p(x2 + 1)2 Dx V » å p(x2 + 1)2 Dx V = lim å p(x2 + 1)2 Dx

33

v=π∫0

a

[ f ( x ) ]2 dx

V=∫0

2

π ( x2+1)2 dx

V=∫0

2

π ( x4+2 x2+1) dx

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab:Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

DV » pr2h DV » p(Öy)2 Dy V » å py Dy V = lim å py Dy

34

xy h

=Dy

y

2

V=π [ 15 x5+ 2

3 x3+ x ] 0

2

V=π ( 325 + 16

3 +2−0)=13 1115 π

V=∫0

2

πy dy

V=π∫0

2

y dy

V=π [ 12 y2] 0

2

hr

R

2. Metode CincinMetode cincin yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di bawah, yaitu V= p(R2 – r2)h

Contoh Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya

35

V=π ( 12×4−0 )

V=2 π

2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

DV » p(R2 – r2) h DV » p [ (2x)2 – (x2)2 ] Dx DV » p (4x2 – x4) Dx V » å p (4x2 – x4) Dx V = lim å p (4x2 – x4) Dx

3. Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung yang digunakan untuk

menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Contoh:

36

y

xV=π∫

0

2

(4 x2−x4 ) dx

V=π [ 43 x3− 1

5 x5 ] 0

2

V=π ( 323 − 32

5 )

V=π ( 160−9615 )

V= 6415 π

0x

1 2x

xy

y

1234

Dy

r=xR = 2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

DV » 2prhDx DV » 2p(x)(x2)Dx V » å 2px3Dx V = lim å 2px3Dx

LATIHAN 8

1. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2, sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 2, diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.

37

V=2 π∫0

2

x3 dx

V=2π [ 14 x4 ]

0

2

V=8 π

2. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, sumbu Y, garis Y = 1 dan garis y = 2, diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu Y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.

3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2x, x = 1 dan x = 2 sumbu Y, garis Y = 1 dan garis y = 2, diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X.

4. Hitung volume benda putar yang terjadi, jika daerah-daerah berikut ini diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X.a. y = x – 1, sumbu X, sumbu Y, dan y = 2.b. y = 2x2, sumbu Y dan garis y = 8.c. y = x2 - 1, sumbu Y dan garis y = 0 dan garis y

= 2.d. Y = 2x, y = x,dan sumbu Y

5. Hitung volume benda putar yang terjadi, jika daerah-daerah berikut ini diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu Y.a. y = x – 1, sumbu X, sumbu Y, dan y = 2.b. y = 2x2, sumbu Y dan garis y = 8.c. y = x2 - 1, sumbu Y dan garis y = 0 dan garis y =

2.d. Y = 2x, y = x,dan sumbu Y.J. Aplikasi Integral dalam Kehidupan

38

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Bola lampu di bawah ini dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Aplikasi integral dalam bidang teknolgi industri dapat digambarkan sebagai berikut

39

Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu

Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

DAFTAR PUSTAKA

Buku Catatan SMA Kelas XII Tentang Integralhttp://as-rohman.blogspot.com/2012/07/aplikasi-integral-dalam-kehidupan-nyata.htmlPower Point oleh Bapak Kastolan, S.Pd. tentang

Penggunaan Integral.40

Pesta. Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta: Erlangga

PETUNJUK PENGGUNAAN PROGRAM QUIZ MAKKER

1. Buka folder uji kompetensi integral.2. Klik file flash bernama uji kompetensi integral 3. Masukkan password (dadargulung)4. -> untuk soal true or false = pilih jawaban benar

atau salah

41

Untuk soal multiple choice = pilih salah satu jawaban yang benar

Untuk soal multiple response = pilih jawaban-jawaban yang benar (boleh lebih dari satu jawaban)

Untuk jawaban fill the blank = isikan jawaban yang benar pada kotak yang disediakan

5. Jawab setiap pertanyaan, dan klik next untuk melanjutkan menjawab pertanyaan.

6. Untuk pertanyaan terakhir klik submit setelah mengisikan jawaban anda

7. Nilai kelulusan adalah 80% bernilai benar dari soal yang tersedia (35 soal)

8. Untuk melihat pembahasan ataupun jawaban yang benar untuk semua soal klik preview,dan klik preview feedback untuk melihat apakah jawaban anda benar atau salah. klik next untuk melihat jawaban yang benar dari soal selanjutnya.

9. Klik ikon bergambar orang untuk melihat author pembuat quismaker uji kompetensi integral

10.Klik ikon bergambar printer untuk mencetak uji kompetensi integral

42

11.Klilk ikon bergambar spiker untuk mengatur volume suara dari backsong uji kompetensi integral

12.Selamat mengerjakan…^-^

PEMBAHASAN SOAL -SOALTRUE OR FALSE1.∫ 6 xdx adalah3 x ² Jawaban benar

∫6 x dx=6∫ x dx=62

x ²+C=3 x ²+C

2.∫ ( x2+3 sin x ) dx=13

x ³−3 cos x+C

Jawaban benar

43

∫ ( x2+3 sin x ) dx=¿∫ x ² dx+3∫sin x dx¿

¿ 13

x ³−3 cos x+C

3.∫ (4 x+3 )4 dx= 120

(4 x+3 )5+C

Jawaban benar

∫ ( 4 x+3 )4 dx=…Misal u = 4x + 3du = 4 dxdu4 = dx

∫ ( 4 x+3 )4 dx=∫u4 du4

=14∫u4 du= 1

20(4 x+3 )5+C

4.∫0

2

2 x ³ dx=8

Jawaban benar

∫0

2

2 x ³ dx=2∫0

2

x ³ dx=[ 12¿¿ x4] ²

⁰=12

(2 )4−12

(0 )4=12

(16 )=8¿¿

5.∫−π

2 π

(cos x−sin x ) dx=sin x+cos x

Jawaban benar

∫−π

2 π

(cos x−sin x ) dx=¿

44

¿ (sin 360 °+cos360 ° )−(sin (−180 )°+cos (−180 )° )¿ (0+1 )−(0−1 )=2

6.∫ ¿¿

Jawaban yang benar adalah

∫¿¿

¿ 13

x ³−cos x+c

7. Apakah 7687 π satuan volume merupakan volume

dari benda putar yang diperoleh dari daerah yang dibatasi oleh y = x³, y = 8 dan diputar terhadap sumbu y?

Jawaban benar

V=π∫0

2

( y2atas− y2bawah)dx

V=π∫0

2

((8 )2−(x ³) ² )dy

V=π∫0

2

64− y ⁶ dy

V=π [64 x−17

y7] ²⁰

V=π (64(2)−17

(2 )7−64 (0)−17(0)7)

V=π (448−1287 )

45

V=7687

π

8. Apakah 1287

π satuan volume merupakan volume dari benda putar yang diperoleh dari daerah yang dibatasi oleh y³ = x, y = 2 dan sumbu y serta diputar mengelilingi sumbu y?

Jawaban benar

V=π∫0

2

(x2 kanan− x2 kiri)dy

V=π∫0

2

(( y3 )2−0) dy

V=π∫0

2

y ⁶dy

V=π [17

y7] ²⁰

V=π ( 17

27−0)

V=1287

π

9. 72 π satuan volume merupakan volume dari benda putar, yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi oleh x = -y dan dibatasi oleh x = 6 dan y = -6.

Jawaban benar

V=π∫−6

0

(x2 kanan−x2 kiri)dy

V=π∫−6

0

( (6 )2−(− y ²))dy

46

V=π∫−6

0

(36− y ² ) dy

V=π [36 y−13

y3] ⁰⁻ ⁶

V=0−π (36 (−6)−13(−6) ³)

V=0−π (−216+72)V=0−π (−144 )V=144 π satuan volume

10.Apakah 20 satuan luas merupakan jawaban dari luas kurva y = 3x² + 6x, sumbu x, dan garis-garis x = 0 dan x = 2.

Jawaban benar

∫0

2

3 x2+6 x dx=x3+3 x2=(2 )3+3 (2 )2−0

¿20 satuan luas

MULTIPLE CHOICE1.∫ cos xdx=…

Jawaban benar

∫cos xdx=sin x+C

2.∫ 2 x sin xdx=¿ …¿Misal u = 2x dv = sinx dxdu = 2dx v = ∫ sinx dx v = - cos x

47

∫2 x sin x dx=uv−∫ vdu

¿2 x (−cos x )−∫ (−cos x )2 dx

¿2 x (−cos x )−∫ (−cos x )2dx

¿−2x cos x+2∫ cos x dx¿−2 x cos x+2 sin x+C¿2 sinx−2 xcos x+C

3.∫0

2

3 x ²−3x+7 dx=…

Jawaban benar

∫0

2

3 x ²−3 x+7dx=[x¿¿ ³−32

x ²+7 x ] ²⁰ ¿

¿ [(2)¿¿ ³−32(2)²+7(2)]−[(0)¿¿ ³−3

2(0)²+7(0)]¿ ¿

¿ [8−32

(4 )+14 ]−0

¿ [ 8−6+14 ]=16

4.∫2 sec ² x dx

Jawaban benar]11. ∫2 sec ² x dx=2∫ sec ² x dx=2 tan x+c12.

5.∫⁰

²

2 x ³ dx

Jawaban benar]

∫0

2

2 x ³ dx=2∫0

2

x ³ dx=[ 12¿¿ x4 ] ²

⁰=12

(2 )4−12

(0 )4 ¿¿

48

¿ 12

(16 )= 86.∫ (2 x+3 ) cos ( x2+3 x ) dx

Jawaban benar]Misal u = x2+3 x

du = 2 x+3 dx

∫ (2 x+3 ) cos(x2+3 x)dx=∫cosu du

= sin u + C= sin (x2 + 3x) + C

7. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu X dan garis x = 5 !Jawaban benar]

L=∫0

5

4 xdx=[2 x2 ] ⁵⁰=2 (5 )2=50 satuanluas

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = - x² + 2x dan sumbu X untuk 0 ≤ x ≤ 3!

Jawaban benar

L=∫⁰

²

(−x2+2 x ) dx−¿∫²

³

(−x2+2x ) dx¿

¿ [−13

x ³+x ²] ²⁰−[−1

3x ³+ x ² ]³²=2 2

3

4. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah…

Jawaban benar

49

Mencari batas atas dan bawah:y = x² dan x + y – 2 = 0x + x² - 2 = 0x² + x - 2 = 0(x + 2)(x - 1) = 0x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas)

V=π∫−2

1

( y2 atas− y2bawah ) dx

V=π∫−2

1

( (2−x )2−( x ²) ² )dx

V=π∫−2

1

((4−4 x+x ²)−x ⁴ ) dx

V=π∫−2

1

( – x4+x ²−4 x+4¿ ) dx

V=π ( – 15

x ⁵+ 13

x3−2 x2+4 x)

V=π ( – 15(1)⁵+ 1

3(1)3−2(1)2+4(1))−( – 1

5(−2)⁵+ 1

3(−2)3−2(−2)2+4 (−2))

V=725

π

V=14 25

π

50

5. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x² + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360 0 mengelilingi sumbu y adalah….

Jawaban benar Persamaan y = -x² + 4 ↔ x² = 4 – y ...(1)Persamaan y = -2x + 4 ↔ x = 4 – y

2 ...(2)Substitusi (1) dan (2)x² = 4 – y ↔ (4 – y ) ²

4 = 4 – y

16 – 8y + y² = 16 – 4y16 – 16 - 8y + 4y + y² = 0y² - 4y = 0y (y - 4) = 0y = 0 atau y = 4

V=π∫0

4

( x2 atas−x2bawah ) dy

V=π∫0

4

((4− y)− (4 – y) ²4 )dy

V=π∫0

4 (16−4 y−16+8 y− y ² )4

dy

V= π4∫0

4

(4 y− y ²)dy

V= π4 (2 y2−1

3y3)

V= π4 (2(4 )2−1

3(4)3)−(2(0)2−1

3(0)3)

V= π4

323

V=83

π

51

MULTIPLE RESPON1. Manasajakah jawaban yang tidak tepatdari

∫sin (2 x−3 ) dx=…

Jawaban benarMisal u = 2x -3 du = 2 dx

du2 = dx

∫sin (2 x−3 ) dx=¿∫sin u du2

=12∫sin u du=−1

2cosu+C=−1

2cos (2 x−3 )+C ¿

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x² dan y = x² - 2x. Mana sajakah jawaban yang tidak tepat...?

Jawaban benar

y₂ - y₁ = (6x - x²) – (x² - 2x) = -2x² + 8x

D = 64 – 0 = 64

L = 64√646(−2) ²

= 643

3. Mana jawaban yang tepat dari

∫ ( x ⁵+4 )dx= 16

x6+4 x+…

Jawaban benar

∫ ( x ⁵+4 )dx=∫ x5 dx+¿∫ 4 dx=¿ 16

x⁶+4 x+C ¿¿

Dengan c adalah konstanta4. Mana jawaban yang salah dari

52

∫6 x ² dx=…Jawaban benar

∫6 x ² dx=6∫ x ² dx=63

x ³+C=2 x ³+C

5. Carilah jawaban yang salah

∫⁰

π²

sin x dx

Jawaban benar

∫⁰

π

sin x dx=[−cos x ] π⁰=−cos π− (−cos0 )=−0+1=1

FILL THE BLANK1.∫…dx=5 x+C

Jawaban benar

∫5dx=5 x+C

2.∫ xdx=12

x ²+…

Jawaban benar

∫ x dx=12

x ²+C

Keterangan: C adalah konstanta3.∫…dx=3 x+C

Jawaban benar

53

∫3 dx=3x+C

4.∫0

π ²4

sin √ x√x

dx=…

Jawaban benar

Misal u = √ x

du = 12√ x

dx

dx = 2√ x du = 2u du

∫0

π ²4

sin√x√ x

dx=∫0

π ²4

sinuu

2udu=2u∫0

π ²4

sin uu

du

¿2∫0

π ²4

sin udu=¿

¿−2cos√x+C=−2 cos√ π ²4

−(−2 cos√0)

¿−2 cos π2

+2cos0 °=−2 (0 )+2 (1 )=2

5.∫0

1 x ²−7 x+6x−1

dx=…

Jawaban benar

∫0

1 x2−7 x+6x−1

dx=∫0

1 ( x−6 ) ( x−1 )x−1

dx=∫0

1

x−6 dx=[12

x2−6 x] ¹⁰

54

¿ 12(1)2−6 (1 )−1

2(0)2+6 (0 )=−11

2=−5,5

6. L=∫0

5

(3 x−(x ²−2 x))dx

Jawaban benar

L=∫0

5

(3 x−( x2−2 x )) dx=¿∫0

5

5x−x2 dx=52

x2−13

x3 ¿

¿ 52

(5 )2−13

(5 )3−0=1252

−1253

=62,5−41,67

¿20,83 satuan luas

7. V=2 π∫0

1

x [ (2−x2 )−x2 ] dx=¿…¿

Jawaban benar

V=2 π∫0

1

x [ (2−x2 )−x2 ]dx=¿2 π∫0

1

(2 x−2 x3 ) dx=2 π (x2− 12

x4)¿¿2 π ((1)2−1

2(1)4)−0=2 π (1

2 )=π satuan volume

8. V=2 π∫−1

0

(1+ x )(1−x ²)dx=¿…¿

Jawaban benar

V=2 π∫−1

0

(1+x )(1−x ²)dx=¿2 π∫−1

0

(1+x−x ²−x ³ ) dx ¿

¿2 π (x+ 12

x2−13

x3−14

x4)55

¿0−2π ((−1)+ 12(−1)2−1

3(−1)3− 1

4(−1)4)

¿0−2 π (−1+ 12+1

3− 1

4 )¿0−2 π (−12+6+4−3

12 )¿0−2π (−5

12 )¿ 5

6π satuan volume=0,83 π satuan volume

9.∫1

3

( x2−1 ) dx=…

Jawaban benar

∫1

3

( x2−1 ) dx=[ 13

x3−x ]³¹¿ [ 1

3(3)3−(3)]−[ 1

3(1)3−(1)]= 6 2

310.∫ x sin xdx=…

Jawaban benarMisal u = x dv = sin x dx du = dx v = ∫sin x dx v = -cos x

∫ x sin xdx=¿∫uv ¿

¿uv−∫ v du

= x (-cos x) - ∫−cos x dx

56

= -x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x + C

BIODATA KELOMPOK

Nama : Sri Kodariah TTL : Majalengka, 23 Desember 1992Alamat: Desa Cisoka Kec. Cikijing Kab. MajalengkaAgama: IslamHobi : Kuliner, nganyam

bulu panon n_nMotto : Menunggu

kesuksesan adalah tindakan sia-sia yang bodoh

Nama : Mamluatul Hikmah TTL : Cirebon, 30 Juli 1993Alamat: Buntet Pesantren Astanajapura Cirebon

57

Agama : IslamHobi : Traveling plus

makanMotto : Hidup untuk mati.

Nama : Fikri Ulul AlbabTTL :Kuningan, 27 Desember

1992Alamat : Dusun Pahing Rt/Rw: 08/04 Desa/Kel Japara

Kec. Japara Kab/kota Kuningan Agama : IslamHobi : Bermain yang MenyenangkanMotto : Tekun Ibadah, Rajin Belajar, Giat Bekerja

DESKRIPSI KERJA KELOMPOKBuku Ajar

58

Desain Cover : Create by Fikri Ulul Albab and Mamluatul Hikmah

Desain Isi Buku : Create by Sri KodariahPencarian Materi : Semua Anggota Pengetikan : Semua AnggotaPengeditan : Create by Sri KodariahPercetakan : Mamluatul HikmahDeskripsi Petunjuk Penggunaan Quiz Makker:Create by Mamluatul HikmahPemeriksa Isi Buku Ajar : semua anggota

Quiz MakkerPencarian Soal-soal : Sri Kodariah

Mamluatul HikmahPengetikan Soal-soal : Sri Kodariah

Mamluatul HikmahPenulisan pembahasan : Sri KodariahBurning : Fikri Ulul AlbabPendesain Cover CD : Mamluatul Hikmah

Peranan Komputer Terhadap Proses Pembelajaran Matematika

Komputer merupakan salah satu hasil dari perkembangan teknologi, sudah mulai dikenal sejak abad 19. Pada awalnya, komputer diciptakan dengan tujuan untuk menciptakan mesin perhitungan yang otomatis (Sharp,1996). Komputer adalah alat elektronik yang dapat mengelola data dengan

59

perantaraan program dan dapat memberikan atau menampilkan hasil pengolahannya (Suryanto dan Rusmali, 1985).

Pembelajaran berbasis komputer (PBK) berkaitan langsung dengan pemanfaatan komputer dalam proses belajar mengajar didalam maupun diluar kelas, secara individu maupun secara keompok PBK dapat diartikan sebagai bentuk pembelajaran yang menempatkan komputer dalam peran guru. Cara umum PBK berlangsung dengan cara sebagai berikut: (1) Komputer menyampaikan materi, (2) Komputer memberikan pertanyaan berkaitan dengan materi dan sesuai dengan jawaban siswa, (3) Komputer membuat keputusan apakah siswa harus mengikuti remidi atau melanjutkan kemateri lainnya. PBK dibagi menjadi 5 kelompok yaitu : tutorial, latihan dan praktik, simulasi, permainan dan pemecahan masalah. Dalam dunia pendidikan, komputer memiliki potensi yang besar untuk meningkatkan kualitas pembelajaran, khususnya dalam pembelajaran matematika. Banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit dipikirkan siswa dapat dipresentasikan melalui simulasi komputer. Hal ini tentu saja akan lebih menyederhanakan jalan pikir siswa dalam memahami matematika. Dengan demikian proses pembelajaran matematika dapat dilakukan guru dengan memberdayakan komputer. Tentu saja hal ini menuntut kreativitas guru harus bagaimana mempresentasikan matematika dalam pembelajaran berbasis komputer.

Dalam pembelajaran matematika, computer banyak digunakan untuk materi yang memerlukan gambar, animasi, visualisasi dan warna, misalnya Integral. Salah satu hal yang paling penting adalah komputer dapat membuat konsep matematika yang abstrak dan sulit menjadi lebih kongkrit dan jelas. National Council of supervisor, menyatakan bahwa komputer lebih baik digunakan untuk mengembangkan

60

10 kemampuan dasar dalam matematika, yaitu (1) Problem Solving, (2) Aplikasi Matematiaka dalam kehidupan sehari-hari, (3) Peluang, (4) Estimasi dan Aproksimasi, (5) Kemampuan berhitung, (6) Geometri, (7) Pengukuran, (8) Membaca, menginterpretasi dan mengkonstruksi table, diagram dan grafik, (9) Penggunaan matematika untuk prediksi dan (10) “Melek” Komputer.

Komputer telah memainkan peranan penting dalam pembelajaran matematika. Berdasarkan berbagai study tentang penggunaan komputer dalam pembelajaran matematika ditemukan bahwa hasil belajar siswa yang belajar matematika dengan komputer lebih baik daripada yang tidak menggunakan komputer.

Sumber :

61

Amin127.wordpress.com/about/kompoter-dalam-pembelajaran-matematika.

62