Czy wolno nam klonować stany koherentne?
description
Transcript of Czy wolno nam klonować stany koherentne?
Czy wolno nam klonować stany
koherentne?
Rafał Demkowicz-Dobrzański CFT PAN
• Kwantowy oscylator harmoniczny
• Dobrze zlokalizowany w przestrzeni fazowej
Stany Koherentne
nnn
n
!exp 2
2
21ˆˆˆ aaH
||astan koherentny:
x
p0)exp( *aa 0)( D
tit e ewolucja:
funkcja Wignera:
22exp
2)(
W
Klonowanie oscylatora
• Idealne klonowanie:
stan wejściowy:
stan „pusty”:
odziaływanie
sprzężenie z otoczeniem
- powinno produkować doskonałe kopie- powinno działać dla wszystkich wejściowych stanów
• Dlaczego klonowanie jest ważne:
- pozwala zrozumieć co jest możliwe a co nie w przetwarzaniu kwantowej informacji- może pomóc w rozpoznaniu stanu kwantowego- ważne z punktu widzenia kryptografii kwantowej
Niemożliwość klonowania
1, H - dwa różne, nieortogonalne stany.
Załóżmy że istnieje maszyna klonująca:
AA
AA
U
U
0
0
Dzięki unitarności:
10
stan wejściowy:
stan „pusty”:
odziaływanie
sprzężenie z otoczeniem
AA
01 AA Sprzeczność!
• Ewolucja unitarna w przestrzeni Hilberta AHHH 21
Niedoskonałe klonowanie
• Niedoskonałe maszyny klonujące
• Wierność
- wiernie klonują tylko wybrane stany (wierne, nieuniwersalne)
- wszystkie stany klonują tak samo, ale niedoskonale (niewierne, uniwersalne)
- klonują pewne grupy stanów lepiej niż inne, ale niedoskonale (niewierne, nieuniwersalne)
outUA 0 Aout HHH 21Ψ
outoutA 12
zredukowane macierze gęstości klonów: 21
A122A1 Tr klonowanie symetryczne: A121A2 Tr
wierność klonowania (fidelity): 1F 10 F
Optymalne klonowanie qubitu
• Qubit
0)exp()2/sin(1)2/cos( i
• Optymalne klonowanie qubitu
• Optymalne klonowanie quditu
n 121
Sfera Blocha
(Buzek, Hillery 1996)
stan pusty
stan wejściowy klon 1
klon 2
0
n 321 2
121
65Fwierność:
223 ddFwierność:
Klonowanie stanów koherentnych
• Klonowanie optycznych stanów koherentnych
może płytka światłodzieląca (50%)?
|stan wejściowy
|0stan pusty
klon 1
klon 2
220 U
bardzo złe klonowanie stanów koherentnych:
-niska wierność jak |duży
-różne stany koherentne klonowane z różną wiernością
Klonowanie stanów koherentnych
• Klonowanie optycznych stanów koherentnych
może najpierw trzeba wzmocnić? (Braunstein et al., PRL 86, 4838 2000)
|stan wejściowy
|0stan pusty
klon 1
klon 2
wzmacniacz
|0Ancilla
a1new = a1+1/2(aA
† + a2)
a2new = a1+ 1/2(aA
† - a2)
aAnew = a1
† + 2aA
wierność dla wszystkich stanów koherentnych tak sama:
32F
(Cerf i Iblisdir, PRA 62, 040301 2000).• Czy to jest optymalne?
Spinowe stany koherentne
H – skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta opisująca stany spinowe obiektu o całkowitym spinie j:
d = dimH= 2j+1 |-j|-j+1, ... , |j-1|j- baza w H
Spinowe stany koherentne otrzymuje się poprzez obroty stanu |-j (”stan podstawowy”)
| = R() |-j
R() – obrót wokół osi n = [sin, -cos] o kąt
W przypadku d = 2 (qubit) wszystkie stany czyste są spinowymi koherentnymi. Dla d 2 stany spinowe koherentne stanowią podzbiór w zbiorze wszystkich stanów czystych w H.
Dla d spinowe stany koherentne przechodzą w zwykłe stany koherentne.
R() = exp[-i(JxsinJycos
R()
Klonowanie spinowych stanów koherentnych
• Optymalne klonowanie spinowych stanów koherentnych(Demkowicz-Dobrzański, Kuś, Wódkiewicz, quant-ph/0307061 (accepted in PRA))
20
21113
F
140
697794
F
Analityczne wartości wierności dla d=3, d=4:
Numeryczne wartości wierności dla d 16
• Czy dla dużych d wierność dąży do 2/3?
Klonowanie spinowych stanów koherentnych
• Ocena zachowania asymptotycznego
Dopasowanie funkcji:
d
d(d)F
Asymptotycznie: F 0.681
Wierność klonowania stanów koherentnych > 2/3 !
Navez i Cerf (nieopublikowane) – znaleźli urządzenie klonujące z F=0.682
Czy potrafimy wytworzyć stan koherentny światła?
• Jaki stan światła produkuje laser?