Czy potrafisz zgadnąć, jaki fragment Ziemi pokazują?Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy!Przyjrzyj się uważnie tym zdjęciom.

Fraktale

Po raz pierwszy pojęcie fraktali

zostało wprowadzone do matematyki za sprawą francuskiego

matematyka i informatyka polskiego pochodzenia

Benoita Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku

Autor: Zdzisław Jamróz

„Zobaczyć świat w ziarenku piasku,Niebiosa w jednym kwiecie z lasu.W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar,W godzinie – nieskończoność czasu” William Blake

Fraktale są figurami, w których część figury jest podobna do całości.

Fraktal – obiekt samopodobnyFraktalem nazywamy

w znaczeniu potocznym obiekt, którego części są podobne do całości (samopodobny) lub też

ukazujący subtelne detale w wielokrotnym powiększeniu

(nieskończenie subtelny).

:n = 0

:n = 1

:n = 2

:n = 3 Pierwsza krzywa fraktalnaszwedzkiego matematyka Nielsa Kocha.

Krzywa powstaje z odcinka, do którego zamiast środkowej części o długości 1/3 wstawia się dwa boki trójkąta równobocznego.

Jak powstaje śnieżynka Kocha 1904 R.

Płatek Kocha (koch.imp)

stopień 0stopień 1 stopień 2

stopień 3 stopień 4

Drzewo binarne link

Drzewo Pitagorejskie

Trójkąt Sierpińskiego 1915 r.

animacja

Fraktal tworzy się poprzez wyjmowanie mniejszych trójkątów z trójkąta równobocznego.

Dywan Sierpińskiego

Zbiór Mandelbrota – 1975 r. link

W 1975 r. Mandelbrot wprowadza termin „FRAKTAL”

Zbiór Julii

W 1919 r. Julia i Fatou badają fraktalne struktury na płaszczyźnie zespolonej.

Fraktale graficzneFraktale są

ściśle związane z

komputerami. Bez nich nie

byłoby możliwe

wytworzenie tak wielu

przepięknych fraktali, które są swoistymi, jedynymi w

swym rodzaju obrazami.

Fraktalna natura materii link

Fraktale w naturze

Fraktal w praktyce

Fraktal - powstający w procesie chemicznym

Podczas elektrolizy roztworu azotanu (V) srebra w wodzie amoniakalnej jony srebra redukują się do srebra metalicznego.

Fraktale ze srebra pod mikroskopem elektronowym

Zastosowanie fraktali

Pole do zastosowania fraktali jest szerokie. Mogą one stanowić instrument matematyczny służący do modelowania naturalnych procesów, takich jak wzrost roślin czy proces tworzenia się chmur.Zastosowanie:• Opis wzrostu organizmów morskich np. korali i gąbek• Stwierdzono, że rozwój współczesnych miast wykazuje pewne prawdopodobieństwo do wzrostu fraktali• W medycynie fraktale stosuje się w modelach działania mózgu• Ruchy giełdowe wykazują również charakter fraktalny.

Chcesz wiedzieć więcej…1. Najstarsze fraktale – link2. Fraktale Michał Król - 3. Fraktale, co to takiego – 4. Jakże piękne fraktale – 5. Fraktale w sztuce – 6. Fraktale w naturze – 7. Fraktal Kowalski Mateusz – wizualizacja –

Dziękuję za uwagę

Dla zaawansowanychCechy fraktali:

•Samopodobieństwo•Symetria•Wymiar fraktalny nie jest liczbą całkowitą•Brak jednoznacznego kształtu•Nie są określone wzorem matematycznym, tylko zależnością rekurencyjną

Procedura „Płatek Kocha”– program Logo

oto Koch :a :n :alfa jeśli :n=0 [np :a stop] Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa lw :alfa Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa pw 2*:alfa Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa lw :alfa Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfajuż

oto Płatek :a :n :alfa pod ws :a*(pwk 3)/6 lw 90 np :a/2 pw 120 opu powtórz 3 [Koch :a :n :alfa pw 120] pod lw 120 ws :a/2 pw 90 np :a*(pwk 3)/6 opujuż

Rekurencja a fraktale

Rzeki

Wyschnięty fragment delty rzeki Kolorado na pustyni Sonora, blisko Morza Corteza

O fraktalach w Internecie…

Czy potrafisz zgadnąć, jaki fragment Ziemi pokazują?Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy!Przyjrzyj się uważnie tym zdjęciom.

Link

Darmowe obrazy – Fraktal

Wykład o fraktalach… Skąd Afrykańczycy "wiedzieli o

fraktalach" zanim zostały one odkryte?

Wykład o fraktalach i fraktalności obecnych w afrykańskim wzornictwie, zabudowach i... wróżbach.Skąd Afrykańczycy "wiedzieli o fraktalach" zanim zostały one odkryte?

Geometria Fraktalna w działaniu…