Część I - Politechnika Gdańska · 2015-06-20 · urządzenie, grupa urządze ... Sytuacja...
Transcript of Część I - Politechnika Gdańska · 2015-06-20 · urządzenie, grupa urządze ... Sytuacja...
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1
Wielokryterialne problemy decyzyjne
Część I - problemy wielocelowe
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2
Plan:
decyzje a sterowanie
sterowanie a automatyka i wspomaganie decyzji
zagadnienia wielokryterialne wspomagania decyzji – rodzaje
zagadnienia wielocelowe – jak można je rozwiązać
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Decyzja:
pojęcie popularne w naszym języku
...... zdecydowałem się – będę studiował automatykę
....... zarząd przyjął plan strategicznego rozwoju firmy
Decyzja:
pojęcie kluczowe w wielu naukach
...... teoria decyzji
....... optymalizacja decyzji
....... decyzje wielokryterialne
........ decyzje w warunkach ryzyka i niepewności
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Oblicza decyzji?
* decyzja sędziego na boisku – był faul? rzut wolny? żółta kartka? czerwona kartka?
* decyzja Trybunału Konstytucyjnego – akt prawny zgodny z Konstytucją? częściowo zgodny?
* decyzja zakochanego? – wziąć ślub?
* decyzja szefa firmy – dobry projekt marketingowy? sfinansować w całości? dobry projekt nowego wyrobu? dobry program produkcji?
* decyzja rady miasta – dobry projekt budżetu? o ile zmniejszyć wydatki? co usunąć?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Oblicza decyzji? c.d.
* decyzja dowódcy na polu walki – atakować? wycofać się? bronić się? którędy atakować, aby zaskoczyć wroga?
* decyzja kierowcy w samochodzie – którędy jechać, aby najszybciej dotrzeć do celu?
* decyzja robota domowego? sprzątać? włączyć ogrzewanie?
* decyzja zespołu robotów – jak poruszać się w terenie, aby razem najszybciej dotrzeć do celu?
* decyzja regulatora – ile gazu do pieca, aby osiągnąć pożądaną temperaturę?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Co łączy wymienione sytuacje decyzyjne?
- istnieje jednostka dostrzegająca potrzebę dążenia do określonego celu lub mająca wskazany określony cel do jakiego ma dążyć i będąca na pozycji umożliwiającej jej podjecie decyzji co zrobić, aby ten cel osiągnąć – mówimy ISTNIEJE DECYDENT mający cel i możliwości działania dla jego osiągnięcia
- istnieje możliwość działania w różny sposób – mówimy ISTNIEJĄ OPCJE DECYZYJNE
- działania mogą być oceniane – mówimy ISTNIEJĄ KRYTERIA OCENY
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Co różni wymienione sytuacje decyzyjne?
- rozważane działanie może być skierowane na
samego decydenta
obiekty z otoczenia
osoba, ludzie, urządzenie, zespół urządzeń, środowisko naturalne, ….
- Decydentem może być:
pojedyncza osoba – człowiek, grupa osób
urządzenie, grupa urządzeń
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Decydent jednostka, która podejmuje decyzję wskazując jedną z opcji do zrealizowania
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
Podsumowując – sytuacja decyzyjna:
Istnieje jednostka mająca określony cel/cele działania, możliwość wyboru i realizacji sposobu jego osiągnięcia i
możliwości oceny możliwych do podjęcia działań
Sterowanie – jaki jest związek tego pojęcia z pojęciem sytuacji decyzyjnej?
Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś
Decyzja jest wyborem sterowania
Sterowanie – jaka jest jego istota?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10
Krótka analiza pojęcia „sterowanie”
Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/ kogoś
KTOŚ
COŚ
COŚ
KTOŚ
Celowe oddziaływanie
Celowe oddziaływanie
???
???
SSiWD
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11
Automatyczne sterowanie (celowe oddziaływanie czegoś na coś) jest dziedziną wiedzy,
która zajmuje się możliwościami (proponowanie struktur sterowania,
proponowanie metod sterowania, komputerowa realizacja struktur i
metod) eliminowania udziału człowieka z procesów sterowania
różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem
Wspomaganie decyzji (celowe oddziaływanie kogoś na coś) jest dziedziną wiedzy,
która zajmuje się możliwościami (proponowanie modeli decyzyjnych
typowych problemów decyzyjnych, proponowanie metod znajdowania
opcji spełniających preferencje decydenta, komputerowa realizacja
systemów wspomagania decyzji) pomagania człowiekowi w
procesach podejmowania różnorodnych decyzji związanych z
oddziaływaniem na obiekty bądź środowisko
Dwie płaszczyzny inżynierii sterowania
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12
Coś co celowo oddziałuje – układ/system sterujący
Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt/system sterowany
Połączenie - układ/system sterujący oraz obiekt/system sterowany tworzy układ/system sterowania
System/obiekt sterowany
System/układ sterujący
DECYDENT
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13
Urządzenia i grupy urządzeń jako decydenci – automatyczne sterowanie, automatyka
Człowiek i grupy ludzi jako decydenci – wspomaganie decyzji
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14
Automatyka (w znaczeniu sterowanie automatyczne) jest dziedziną wiedzy, która zajmuje się możliwościami ograniczania udziału lub eliminowania udziału człowieka w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15
Wspomaganie decyzji jest dziedziną wiedzy, która zajmuje się możliwościami pomagania człowiekowi w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem, w sterowaniu w którym jest on istotnie zaangażowany, a pomaganie skupione jest na procesie podejmowania decyzji
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16
Czy zawsze będziemy mówić o wspomaganiu decyzji – charakter decyzji?
Czy powinienem kupić nowy komputer?
Czy powinienem tej jesieni podróżować samolotami?
Jaki jest najbardziej odpowiedni profil produkcji fabryki?
Który rynek powinien być najbardziej dochodowy?
Jaką terapię zastosować?
Jak przeciwdziałać skutkom ataku terrorystycznego?
Jak monitorować środowisko przeciw skażeniom?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17
Rozróżnienie:
decyzje indywidualne (osobnicze)
decyzje instytucjonalne
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18
Kiedy pojawia się decyzja?
Decyzja pojawia się jako wynik procesu nazywanego procesem decyzyjnym
proces decyzyjny
proces podejmowania decyzji
podejmowanie decyzji
Terminy tożsame:
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19
Podejmowanie decyzji to każdy ciąg operacji o charakterze mentalnym i obliczeniowych tworzących proces przetwarzania, w który włączone są informacja, wiedza, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyzji
Czym jest proces podejmowania decyzji, w szcaególności instytucjonalnej?
Po podjęciu decyzji mówimy – rozwiązaliśmy problem decyzyjny
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20
Podejmowanie decyzji to każdy ciąg operacji o charakterze mentalnym i obliczeniowych tworzących proces przetwarzania, w który włączone są informacja, wiedza, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyzji
Czym jest proces podejmowania decyzji instytucjonalnej?
Po podjęciu decyzji mówimy – rozwiązaliśmy problem decyzyjny
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21
Czy tylko decydent uczestniczy w procesie decyzyjnym?
- w procesie decyzyjnym występują różni jego uczestnicy; na dwóch zwracamy uwagę – decydent i analityk
- decydent - D (Decision Maker – DM) jest tym uczestnikiem procesu podejmowania decyzji – PPD (Decision Making Prosess – DMP), do którego adresowane jest wspomaganie decyzji (osoba, ciało kolegialne, zbiorowość); krótko, ten, któremu pomagamy
- analityk A jest tym uczestnikiem procesu podejmowania decyzji, który zajmuje się wspomaganiem decyzji; krótko, ten, który pomaga decydentowi
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22
W procesie decyzyjnym można wyróżnić umownie kilka kolejnych faz
1. identyfikacja sytuacji decyzyjnej
2. sformułowanie problemu decyzyjnego
3. zbudowanie modelu decyzyjnego
4. wyznaczenie różnych podzbiorów zbioru opcji (dopuszczalnych, zadowalających, optymalnych, .....)
5. podjęcie/wybór decyzji
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23
Sytuacja decyzyjna określana jest przez zestaw wszystkich czynników, które mają wpływ na decyzję, jakiej dokona decydent
Jak można określić poszczególne z tych faz?
Sformułowanie problemu decyzyjnego powinno definiować:
1. decydenta,
2. opcje decyzyjne,
3. czynniki ograniczające przestrzeń decyzyjną,
4. czynniki kształtujące ocenę opcji decyzyjnych
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24
Dwie pierwsze fazy procesu decyzyjnego (podejmowania decyzji) mają na ogół charakter opisowy. Charakteru takiego nie ma kolejna faza tego procesu – budowanie modelu decyzyjnego
Model decyzyjny to wyrażona najczęściej w języku matematyki reprezentacja rozważanego problemu decyzyjnego. Z pomocą modelu powinno być możliwe określenie elementów zbioru dopuszczalnych opcji decyzyjnych a także wskazanie opcji optymalnych
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25
Wyznaczenie różnych podzbiorów zbioru opcji opiera się na stosowaniu różnorodnych metod
metod optymalizacji jednokryterialnych
metod optymalizacji wielokryterialnych
metod klasyfikacji
metod porządkowania
........
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26
W przypadku decyzji instytucjonalnych pojawiają się:
Systemy wspomagania decyzji - SWD (Decision Support System - DSS) są klasą skomputeryzowanych systemów informacyjnych, które wspomagają działalność podejmowania decyzji
Dwa obszary:
podejmowanie decyzji,
systemy informacyjne
Płaszczyzna spotkania:
technika komputerowa
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27
Wielokryterialne problemy decyzyjne
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28
Problemy podejmowania decyzji wielokryterialnych mogą być ogólnie zakwalifikowane do dwóch kategorii:
problemy decyzji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP)
problemy decyzji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP)
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29
Problemy decyzji wieloatrybutowych
Cechą wyróżniającą problemy decyzji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ograniczona (i przeliczalnie mała) liczba ustalonych wcześniej opcji decyzyjnych. Każda opcja posiada określony, związany z nią, poziom osiągnięcia uznanych za istotne przez decydenta atrybutów/cech (które niekoniecznie muszą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyzja
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30
Zagadnienie wieloatrybutowe – przykład
(Problem wyboru samolotów myśliwskich) Pewne państwo zdecydowało się
zakupić flotę odrzutowych myśliwców w USA. Urzędnicy Pentagonu przedstawili
informację o właściwościach czterech modeli, które mogą być sprzedane do tego
kraju. Zespół analityków Sił Powietrznych zainteresowanego kraju zgodził się, że
należy rozważać sześć charakterystyk (atrybutów). Są to: maksymalna prędkość
(A1), zasięg latania (A2), maksymalny ładunek użyteczny (A3), koszt zakupu (A4),
niezawodność (A5), manewrowalność (A6). Wartości tych atrybutów zostały
przedstawione w tablicy
Myśliwiec Atrybut
A1 A2 A3 A4 A5 A6
M1 2.0 1500 20000 5.5 średnia b. wysoka
M2 2.5 2700 18000 6.5 niska średnia
M3 1.8 2000 21000 4.5 wysoka wysoka
M4 2.2 1800 20000 5.0 średnia średnia
Który z samolotów powinien wybrać zainteresowany kraj, jeżeli chciałby mieć
samolot jak najszybszy, o jak największym zasięgu, jak największej
ładowności, jak najtańszy, jak najbardziej niezawodny i jak najwyższych
zdolnościach manewrowych?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31
Problemy decyzji wielocelowych
W przypadku problemów decyzji wielocelowych MODP nie określana jest wcześniej liczba opcji z wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: (1) zbiór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyzja o wyborze określonej opcji decyzyjnej; (2) zbiór dobrze określonych ograniczeń na wartości różnorakich czynników kształtujących możliwości wyboru możliwych opcji (zmiennych decyzyjnych)
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32
Zadanie, które posłuży do ilustrowania różnych podejść optymalizacji wielocelowej
Firma produkuje dwa produkty. Zarząd wyraził życzenie, aby znaleźć program produkcji, który: maksymalizuje całkowity zysk, maksymalizuje spodziewaną ,,przechwytywaną” część rynku (udziały na rynku), spełnia ograniczenia procesu produkcji (tzn. dostępności surowców), nie doprowadza do nasycenia rynku (tzn. mamy możliwość sprzedania całej wytworzonej produkcji). Ponadto wiadomo: jedna jednostka produktu 1. zapewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu 2. - 1 jp.; oszacowano, że każda sprzedana jednostka produktu 1. powiększy rynek o dwie jednostki udziału na rynku, a jedna jednostka produktu 2. - o 3 jednostki; wytworzenie jednostki produktu 1. wymaga zużycia 2 jednostek surowca, a jednostki produktu 2. - 1 jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w rozważanym okresie czasu; badania rynku wskazują, że nie więcej niż 20 jednostek produktu pierwszego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego.
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33
Analityczne sformułowanie zagadnienia:
1xOznaczmy: - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 1
2x
- liczba wyprodukowanych jednostek produktu 2
Znaleźć wartości 1x i takie, które:
(czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu)
maksymalizują
spełniając:
(czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały w rynku)
211 3 xxz
maksymalizują 212 32 xxz
2x
502 21 xx
201 x
302 x
00 21 x,x
(ograniczenie dostępności surowca)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.)
(warunki nieujemności)
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34
60
50
30
40
50 40 30 20 0
10
20
10 60 1
x
2x
2z
1z
A
B
C
D
Graficzne rozwiązanie zagadnienia
30
0
0
20
10
20
30
10
0
00
D
C
B
A
x
x
x
x
x
Punkty wierzchołkowe:
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35
Ogólne sformułowanie wielocelowego zagadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniczeń
xCxzT
Δ
imalizowacmin
0xbAxxx ,:Xiajaclnspe nΔ
gdzie
T
k
T
i
T
1
T
k
T
i
T
1
k
i
1
,
z
z
z
c
c
c
C
xc
xc
xc
x
x
x
xz
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36
Wielość funkcji celu
Nie będą nas interesowały przypadki, kiedy możliwe jest znalezienie całkowicie optymalnego rozwiązania
212
211
xx2z
x4xz
Np. jeżeli dla przykładowego zagadnienia
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37
Wielość funkcji celu
Rozwiązanie całkowicie optymalne (przypadek minimalizacji)
Mówi się, że jest rozwiązaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje takie, że
x
Xx
xxx ii zz:X,k,1i
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38
Optymalizacja z jedną funkcją celu (jednocelowa)
Funkcja celu z odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość skalarną w R
W R istnieje naturalny kanoniczny porządek
Zdefiniowanie optymalnego rozwiązania np. minimalizacji jest proste
Konsekwencja:
xxxx zzXeoptymajestX n :lnR
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39
Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)
Funkcja celu z=[z1, z2, ......, zK] odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość wektorową w RK, K>1
Problem: W RK nie istnieje naturalny kanoniczny porządek
Istnieją różne pojęcia optymalności, które zależą od wybranego w RK porządku
Konsekwencja:
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40
Wielość funkcji celu
Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego
212
211
x2x3z
x2xzimalizowacmin
0x,0x
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
21
21
21
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41
Przedstawienie w przestrzeni opcji decyzyjnych (w przestrzeni decyzji)
212
211
x2x3z
x2xzimalizowacmin
0x,0x
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
21
21
21
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42
x1 z1
z2 x2 Przestrzeń
decyzji
Przestrzeń celów
Transformacja
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43
z2
z1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
1
2
3
4
5
6
A(0,0)
B(-5,15)
C(-7.5,16.5)
D(-10,16)
E(-9,9)
7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-10 -11 -12
z
Przedstawienie w przestrzeni kryteriów (w przestrzeni celów)
212
211
x2x3z
x2xzimalizowacmin
0x,0x
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
21
21
21
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44
Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)
Wybór porządku zależy od problemu decyzyjnego
Jeżeli można podać ranking funkcji celu – np. z1 jest ważniejsza niż z2 , wybrany zostanie porządek leksykograficzny
2
m
1
m
2
i
1
i
2L1 zzzz:mi:0m zz
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45
Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)
Jeżeli interesują nas rozwiązania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. z1 nie może się odbyć bez pogorszenia co najmniej jednej z pozostałych, wybrany zostanie porządek Pareto
2
i
1
i
2P1 zz:i zz
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46
Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)
Ilustracja nierówności Pareto
z2
z1
z*
zz
zz
Stożki nierówności Pareto
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47
Graficzne wyznaczenie zbioru Pareto dla rozważanego przykładu
a) w przestrzeni decyzji
212
211
x2x3z
x2xzimalizowacmin
0x,0x
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
21
21
21
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48
b) w przestrzeni celów
X:z,zZ 21 xxx
212
211
x2x3z
x2xzimalizowacmin
0x,0x
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
21
21
21
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49
Alternatywy postępowania – porządek Pareto
I. Wykorzystanie klasycznych metod optymalizacji jednocelowej operujących na pojedynczych punktach przestrzeni decyzyjnej – poszukiwany jest jeden punkt zbioru Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się przed optymalizacją
II. Wykorzystanie metod optymalizacji operujących na populacjach punktów przestrzeni decyzyjnej (np.. algorytmy genetyczne) – poszukiwanie zbioru punktów Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się po optymalizacji
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50
Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych
1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zamianę wszystkich funkcji celu poza jedną w ograniczenia
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51
Przykład
Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest 100. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać
1x2x
211 3 xxz
100x3x2 21
502 21 xx
201 x302 x
00 21 x,x
Znaleźć wartości i taki, które:
maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu)
spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku)
(ograniczenie dostępności surowca)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.)
(warunki nieujemności)
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52
60
50
30
40
50 40 30 20 0
10
20
10 60 1
x
2x
1z
A
B
C
D
F
E
Graficzne rozwiązanie
Punkty wierzchołkowe
25
512
30
10
30
5 .FAE xxx
Rozwiązanie optymalne
10056225
51221
*** z,.z,
.xxxx F
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53
Zalety
Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu.
Wady
Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny
(np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54
Wady
Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL
Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55
60
50
30
40
50 40 30 20 0
10
20
10 60 1
x
2x
2z
1z
A
B
C
D
Graficzna ilustracja
Znalezione rozwiązanie
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56
Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych
Czy ten wynik ma cechy ogólności?
Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method) lub metodą
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57
0xbAxxx ,:Xiajaclnspe nΔ
Tki1
Δ
z,,z,,zimalizowacmin xxxxz
Sformułowanie oryginalne (WCPL)
Sformułowanie metody ograniczenia
xjzimalizowacmin
X
ji,k,1i;ziajaclnspe ii
x
x
Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia (MO)
Xx
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58
Twierdzenie MO1
Jeżeli
Xx
jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości
ji,k,1i;i
to x jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL
Jeżeli unikatowość rozwiązania Xx zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59
Twierdzenie MO2
Jeżeli
Xx
jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to
ji,k,1i;i
jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości
x
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60
Przykład:
211 x2xzimalizowacmin
0x,0x
x2x3z
15xx3
45x6x8
27x6x2iajaclnspe
21
212
21
21
21
2
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61
Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych
2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację funkcji celu (metoda ważenia (ang. weighting method))
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62
Przykład
Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara ,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63
Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, wybrać wagi: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia:
1x
502 21 xx
201 x302 x
00 21 x,x
Znaleźć wartości i takie, które:
maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności)
spełniając: (ograniczenie dostępności surowca)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.)
(ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.)
(warunki nieujemności)
2x
213 8162 x.x.z
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64
60
50
30
40
50 40 30 20 0
10
20
10 60 1
x
2x
3z
A
B
C
D
Graficzne rozwiązanie
Rozwiązanie optymalne
30
0
0
20
10
20
30
10
0
00 DCBA xxxxx
,110z,60z,80z,30
10*
2
*
1
*
3
*
xxxxx A
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65
Zalety
Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu.
Wady
Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiednich wag
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66
60
50
30
40
50 40 30 20 0
10
20
10 60 1
x
2x
2z
1z
A
B
C
D
Graficzna ilustracja
Znalezione rozwiązanie
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67
Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych
Czy ten wynik ma cechy ogólności?
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68
0xbAxxx ,:Xiajaclnspe nΔ
Tki1
Δ
z,,z,,zimalizowacmin xxxxz
Sformułowanie oryginalne (WCPL)
Sformułowanie metody ważenia (MW)
Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia
Xx
k
1i
ii
ΔT zwimalizowacmin xxzw
Xxiajaclnspe gdzie 0w
k
i
1
w
w
w
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69
Twierdzenie MW1
Jeżeli
Xx
jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości
k,1i;0wi
to x jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL
Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości
k,1i;0wi
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70
Twierdzenie MW2
Jeżeli Xx
jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to
0w T
ki1 www
jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości
x
Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71
Dziękuję za uwagę
Zapraszam na kolejny wykład