curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF
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TEMA 10
Curvas e
Superfícies
2021
IC / UFF
Capitulo 3 – livro texto
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Onde se usa :
No controle de animações como essa ao lado.
O movimento do braço é descrito por curva interpolada atraves do registro de pontos.
No desenho do contorno dos objetos e até nos textos .
Por exemplo caracteres das fontes TrueType são segmentos de curvas
Bézier quadrática.
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Elementos 1D
• Comprimento
• Distancia ao inicio define a posição na curva
• Mas ela pode ser 2D e 3D
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Curvas
• Formas de representação: – Procedural ( exemplo curvas fractais )
– Conjunto de pontos (digitalizadores: xi , yi)
– Analítica: • Explicita : y = f(x)
• Implícita : x+y=0
• Paramétrica : x= f(t) , y = f(t)
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Também podem ser
Mas voltando a forma de representação mais importante Para uso em CG: a Analitica
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Exemplo circunferênciarepresentações paramétricas
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Exemplo circunferênciarepresentações não paramétricas
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E essas?
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Outros exemplos:
• Lemniniscata de Bernoulli => símbolo infinito
Quarto grau!
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Peculiaridades das curvas em CG
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Peculiaridades das curvas em CG
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Reta na forma paramétrica
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Parametrizando polinômios
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Peculiaridades das curvas em CG
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
Independência
dos
eixos
usados
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
Deve
poder
ter
Pontos
com
coordenadas
múltiplas
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
Deve ter uso
intuitivo e
poder ter
Controle local:
i.e. em ajuste finos: alterar um trecho não altera toda a curva
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
O numero de pontos de
Controle localnão deve estar associado ao grau da curva ou sua oscilação
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
Ser possível representar diversos graus de continuidadesque o usuário desejar
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
Ser possível representar curvas abertas, fechadas, com pontos de inflexão, etc. : ter a versatilidade
que o usuário desejar
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Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG
ter pontos
com distâncias ≈constantes ao longo do seu
comprimento: parâmetro
uniformemente
distribuídos.
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Solução em CG
• Curvas de formas livres
• Representadas por uniões
• Descritas por polinômios
• Parametrizadas
• Até grau 3
• Com continuidade paramétrica
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Porque polinômios até terceiro grau?
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9 parâmetros
para cada curva
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Em 3D:
Um coordenada a mais em cada ponto.....E projetar....
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Em 3D
12 parâmetros
para cada
curva
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De forma genérica
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continuidade paramétrica e geométricaFoley et al p. 480 - 483
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Com continuidade paramétrica
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Requisitos para os parâmetros:
Com continuidade paramétrica
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Continuidade geométrica x paramétrica
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Curva de Bezier
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Forma geral:
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Bezier cúbica:
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Polinômios cúbicos de
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A soma dos
resulta:
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Cont.
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Demonstrando essas propriedades para uma Beziercúbica:
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A ordem e posição dos pontos controla a curva!
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Fecho convexo
• Convex hull
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Representação matricial :
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Outras formas de Bezier
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Outras formas de Bezier
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Outras formas de Bezier
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Algoritmo geométrico
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Outras formas de Bezier
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Outras formas de Bezier Cont.
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Curvas de Hermite
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![Page 73: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/73.jpg)
Curvas de Hermite
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Mesmos pontos iniciais e finais, apenas alterando a direção da
tangente
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Mesmos pontos iniciais e finais, apenas alterando a intensidade da
tangente
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Forma matricial
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Funções de mistura
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![Page 80: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/80.jpg)
![Page 81: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/81.jpg)
Funções de mistura de Hermite
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![Page 83: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/83.jpg)
Curvas Splines
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Splines
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• Com maior suavidade que as anteriores (tem curvatura continuas) e são conectadas formando curvas mais complexas (knots).
Spline é uma curva polinomial definida por partes
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Spline física
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Pesos que dão forma = “ducks”
Metal flexível com continuidade de curvatura: C2
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Exemplo de como são usadas
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• Cardinal B-splines têm knots que são eqüidistantes uns dos outros.
• Cúbicas tem m+1 pontos de controle onde, m≥3
B-spline ou basis spline
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![Page 94: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/94.jpg)
Nós:
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1/6
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Funções de mistura
![Page 97: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/97.jpg)
![Page 98: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/98.jpg)
Unido 3 curvas B-Splines
![Page 99: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/99.jpg)
Exemplo de controle local:
Alterando o penúltimo ponto, não se altera o trecho inicial e só parte do trecho intermediário
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Ao ser controlada por 4 pontos, sóse aproxima dos 2 centrais
![Page 101: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/102.jpg)
![Page 103: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/103.jpg)
Funções de mistura
![Page 104: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/104.jpg)
NURBS
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![Page 106: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/107.jpg)
![Page 108: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/108.jpg)
B-Splines
![Page 109: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/109.jpg)
Superfícies
![Page 110: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/110.jpg)
Superfícies
São generalizações
das curvas,
Assim como o R2 é o
produto cartesiano
do RxR , uma
superficie pode ser
vista como o
produto cartesiano de
duas curvas 3D
![Page 111: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/111.jpg)
R2 é o produto cartesiano do
RxR , uma superficie pode ser
vista como o
produto cartesiano de duas
curvas 3D
![Page 112: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/112.jpg)
Assim superficie são entes Bidimensionais :
![Page 113: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/113.jpg)
exemplos
![Page 114: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/114.jpg)
![Page 115: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/115.jpg)
Formas de geração:
![Page 116: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/116.jpg)
Revolução
![Page 117: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/117.jpg)
Quádricas
![Page 118: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/118.jpg)
Geradas por interpolação
![Page 119: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/119.jpg)
Lofting
![Page 120: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/120.jpg)
![Page 121: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/121.jpg)
Patches
![Page 122: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/122.jpg)
de Bezier
![Page 123: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/123.jpg)
• T-spline surface can be thought of as a NURBS surface for which a row of controlpoints is allowed to terminate without traversingthe entire surface. The control net at a terminatedrow resembles the letter "T". Modeling surfaceswith T-splines can reduce the number of controlpoints in comparison to NURBS surfaces andmake pieces easier to merge, but increases thebook-keeping effort to keep track of the irregular connectivity.
Outras Superfície
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![Page 125: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/125.jpg)
![Page 126: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/126.jpg)
Superfície B-Splines
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![Page 128: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/128.jpg)
![Page 129: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/129.jpg)
Nurbs
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![Page 131: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/131.jpg)
![Page 132: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/132.jpg)
Mapeamentos
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Curvas de NívelExiste uma outra técnica útil, para descrever o comportamento
de uma função de duas variáveis.
O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das
equações f(x, y) = k para diferentes valores de k.
Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de
nível da função f.
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Curvas de Nível
Curva de nível tal que .
![Page 135: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/135.jpg)
Exemplo
f(x,y) = z = altura em relação ao nível do mar.
Essas curvas de nível correspondem às linhas de contorno
topográfico.
![Page 136: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/136.jpg)
As curvas de nível são os gráficos das equações .
Exemplo
![Page 137: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/137.jpg)
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
z = x2
+ y2
![Page 138: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/138.jpg)
z = 9
z = x2
+ y2
z = 4
z = 2
z = 0
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
![Page 139: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/139.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
![Page 140: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/140.jpg)
70
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
![Page 141: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/141.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
![Page 142: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/142.jpg)
Curvas de nível: .
3.
Exemplo
![Page 143: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/143.jpg)
Curvas de nível:
- hipérboles
4.
Exemplo
![Page 144: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/144.jpg)
Superfície de Nível
Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as
superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para
diferentes valores de k.
Superfícies de nível tal que .
Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no
ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas
superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas
são chamadas superfícies equipotenciais.
![Page 145: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/145.jpg)
Superfície de Nível
![Page 146: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/146.jpg)
Exemplo
![Page 147: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/147.jpg)
Exemplo
![Page 148: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/148.jpg)
Superfície de Nível
A superfície
É o gráfico de f.
Uma curva de nível típica no domínio da função
Parabolóide
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A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75
é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.
A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 éa circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.
Plano z = 75
Curvas de Nível X Curvas de Contorno
Traço: é a curva definida pelo encontro da superfícief(x,y) com os planos xy, xz e yz.
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Curvas de Nível
![Page 151: curvasSuperficies TEMA 10 - Instituto de Computação - UFF](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071922/62d63454d66f723eb410a025/html5/thumbnails/151.jpg)
Bibliografia
• Abel Gomes, Irina Voiculescu, Joaquim Jorge, Brian Wyvill, Callum GalbraithImplicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures andAlgorithms, Springer, 2009
• “Computer Graphics: Principles andPractice”, Foley,van Dam, Feiner andHughes; Capítulo 11
• “3D Computer Graphics”, A. Watt, Capítulo 6