Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3:...
Transcript of Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3:...
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Curso Propedéutico de CálculoSesión 3: Derivadas
Joaquín Ortega Sánchez
Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasIntroducción
La derivada busca resolver dos problemas de laantigüedad, uno de ellos, de caracter geométrico, fueplanteado por los griegos y busca hallar la pendiente de larecta tangente a una curva.
El segundo es un problema físico y es posterior. Se trata dela determinación de la velocidad instantánea de un móvilque se desplaza con velocidad no uniforme.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDefinición
DefiniciónLa derivada de una función f (x) en un punto x = a es elvalor del límite,
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h(1)
siempre que este límite exista. En este caso decimos que fes diferenciable en x = a.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDefinición
Observamos que a cada valor de a le corresponde un valordeterminado de la derivada f ′(a), de modo que la derivadatambién es una función de x .
Las notaciones usuales para esta función son
f ′(x),df (x)
dxo Dx f (x)
y el valor de la derivada en el punto a es
f ′(a),df (x)
dx
∣∣∣x=a
o Dx f (a)
Si ponemos y = f (x) también usamos la notación y ′ para laderivada dy/dx .
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplo
EjemploVeamos cómo se obtiene la derivada de la funciónf (x) = x2 a partir de la definición. Iniciamos con elincremento de la función en x:
f (x +h)− f (x) = (x +h)2−x2 = x2 +2xh+h2−x2 = 2xh+h2
y ahora tenemos que dividir esta expresión por h y tomar ellímite cuando h→ 0:
limh→0
f (x + h)− f (x)
h= lim
h→0
2xh + h2
h= lim
h→0(2x + h) = 2x ,
de modo que f ′(x) = 2x.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Geométrica
Cuando h tiende a cero, el punto Q se acerca al punto P yla recta secante tiende a superponerse con la rectatangente a la función f (x) en el punto P, y por lo tanto elángulo α tiende a ser el ángulo β.
tanβ = f ′(a)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Geométrica
La pendiente de la tangente a la curva que representa lafunción f (x) en un punto es igual a la derivada de la funciónen ese punto.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Física
Consideramos un móvil que se desplaza linealmente apartir de un punto dado y supongamos que la función x(t)describe la distancia del móvil al origen en el instante t .
La velocidad promedio del móvil desde el instante t alinstante t + ∆t está dada por el cociente
vm(t) =∆x∆t
=x(t + ∆t)− x(t)
∆t
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Física
Sin embargo, si queremos un valor más preciso de lavelocidad que tiene el móvil en el instante t , es necesariohacer ∆t más y más pequeño, es decir, tenemos que tomarel límite cuando ∆t tiende a cero, es decir, llamando v(t) lavelocidad instantánea en el instante t ,
v(t) = lim∆t→0
x(t + ∆t)− x(t)∆t
= x ′(t).
O sea que la velocidad en el punto t es la derivada de x(t).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
EjemploSi n ≥ 1 es un entero y f (x) = xn entonces
df (x)
dx= f ′(x) = nxn−1.
Para ver eso observamos que
f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)
donde el factor se repite n veces.
Veamos cómo son los términos de este producto
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)
• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.
• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.
• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).
f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)
• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.
• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.
• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).
f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)
• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.
• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.
• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).
f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)
• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.
• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.
• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).
f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
El cociente incremental es
f (x + h)− f (x)
h=
xn + nxn−1h + h2g(x ,h)− xn
h= nxn − 1 + hg(x ,h)
Cuando h→ 0 el segundo término tiene a cero yobtenemos el resultado.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
EjemploLa función f (x) = |x | es diferenciable salvo en x = 0.
Veamos primero que la función es diferenciable si x 6= 0,para lo cual vamos a suponer que x < 0. Tomamos δ > 0de modo que x + δ < 0 y consideremos |h| < δ.El incremento de la función en este caso es
f (x + h)− f (x) = |x + h| − |x | = −x − h − (−x) = −h
Dividiendo por h y haciendo h→ 0
f ′(x) = −1 para x < 0.
De manera similar se tiene que
f ′(x) = 1 para x > 0.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
Veamos ahora que ocurre en x = 0. El cociente incrementalen este caso es igual a
f (0 + h)− f (0)
h=|h|h
=
{+1 si h > 0,−1 si h < 0.
En consecuencia los límites laterales cuando h→ 0 existenpero son distintos, y la derivada en 0 no está definida.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasEjemplos
La gráfica de la función nos da una idea clara de lo queocurre.
−3 −1 0 1 2 3−
10
12
3
x
f(x)
Si nos aproximamos a 0 por la derecha, la pendiente de lafunción es positiva e igual a 1 siempre, mientras que por laizquierda es negativa e igual a -1, de modo que los límiteslaterales son distintos.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Propiedad 1Si f (x) es diferenciable en el punto a, también es continuaen ese punto.Para ver esto observamos que como la función esdiferenciable, el límite
limh→0
f (a + h)− f (a)
h
existe, y lo denotamos por f ′(a). Por lo tanto, como
f (a + h) = f (a) + hf (a + h)− f (a)
h
Si tomamos el límite cuando h→ 0 obtenemos que
limh→0
f (a + h) = f (a)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Sin embargo, el recíproco no es cierto: Una función puedeser continua en el punto a y no ser diferenciable allí.
Un ejemplo de esto esla función f (x) = |x |,que es continua enx = 0 pero no esdiferenciable en esepunto.
−3 −1 0 1 2 3
−1
01
23
xf(
x)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Propiedad 2La derivada de una constante es 0.La derivada de una constante multiplicada por una funcióndiferenciable es la constante multiplicada por la derivada dela función.
Si c ∈ R es una constante,
dcdx
= 0
d(cf )
dx= c
dfdx
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Propiedad 3La derivada de la suma o diferencia de funcionesdiferenciables es la suma o la diferencia de la derivadas
ddx
(f (x)± g(x)) =df (x)
dx± dg(x)
dx(f ± g)′ = f ′ ± g′
Ejemplo
(3x3 + 2x)′ = (3x3)′ + (2x)′ = 9x2 + 2.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Propiedad 4La derivada del producto de dos funciones diferenciablesf ,g existe y está dada por la siguiente fórmula
ddx
(f (x)g(x)) =df (x)
dxg(x) + f (x)
dg(x)
dx
(fg)′ = f ′g + fg′
Ejemplo
(xex )′ = x ′ex + x(ex )′ = ex + xex = (1 + x)ex
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Propiedad 5Si f y g son dos funciones con derivadas f ′(x) y g′(x) talesque g′(x) 6= 0, entonces la derivada del cociente f (x)/g(x)existe y está dada por la siguiente fórmula(
f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
g2(x)
Ejemplo
(x/ex )′ =x ′ex − xex
(ex )2 =1− x
ex
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
Un caso particular interesante de la propiedad anteriorocurre cuando la función en el numerador es igual a 1, yqueremos hallar la derivada de 1/g(x).
La fórmula anterior nos dice que esta derivada existe sig(x) 6= 0 y vale ( 1
g(x)
)′=−1
g2(x)g′(x)
Ejemplo ( 1x3 − 3x
)′=
−1(x3 − 3x)2 (3x2 − 3)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
EjemploHallar la derivada de
3x − 5x2 + 7
.
Dx
(3x − 5x2 + 7
)=
(x2 + 7)Dx (3x − 5)− (3x − 5)Dx (x2 + 7)
(x2 + 7)2
=(x2 + 7)(3)− (3x − 5)(2x)
(x2 + 7)2
=−3x2 + 10x + 21
(x2 + 7)2
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPropiedades
EjemploDemostrar que la regla para la potencia se cumple paraexponentes enteros negativos, es decir,
Dx (x−n) = −nx−n−1
Dx (x−n) = Dx
( 1xn
)=−1x2n nx−n−1
= −nx−n−1.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasRegla de la Cadena
Recordamos la noción de composición de funciones:Si tenemos dos funciones f y g de modo que los valores def caen dentro del dominio de g, definimos la funcióncompuesta g ◦ f como
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasRegla de la Cadena
Propiedad 6: Regla de la CadenaSean f y g dos funciones diferenciables tales que losvalores de f caen en el dominio de g. La derivada de lafunción compuesta g ◦ f se obtiene mediante la fórmula
(g ◦ f )′(x) = g′(f (x)
)f ′(x)
Si usamos la notación u = f (x) entonces podemos resumirla regla de la cadena con la fórmula
d(g ◦ f )
dx=
dgdu
dudx
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasRegla de la Cadena
EjemploSea f (x) = x2 + 1 y g(u) = u5, entonces la composición es
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) = (x2 + 1)5.
Las derivadas f y g son f ′(x) = 2x y g′(u) = 5u4 por laregla de la cadena
(g ◦ f )′(x) = 5(x2 + 1)42x = 10x(x2 + 1)4
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasRegla de la Cadena
La regla de la cadena se puede extender a la composiciónde un número mayor de funciones. Por ejemplo, si tenemostres funciones f ,g y h de modo que la imagen de f está enel dominio de g y la imagen de g está en el dominio de h,podemos definir la función compuesta (h ◦ g ◦ f ).
Tenemos que
(h ◦ g ◦ f )′(x) = h′((g ◦ f )(x)
)g′(f (x)
)f ′(x)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasRegla de la Cadena
EjemploHallar la derivada de (la densidad gaussiana)
ϕ(x) = exp(−(x − µ)2/σ2)
Esta función es la composición de tres funciones h(x) = ex ,g(x) = −x2 y f (x) = (x − µ)/σ.La derivada es
ϕ′(x) = exp(− (x − µ)2/σ2)(−2)
x − µσ
1σ
=−2σ2 (x − µ) exp
(− (x − µ)2/σ2)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Física
En general podemos interpretar la derivada de unamagnitud y = f (x) como la razón o tasa de cambiode y con respecto de x .
Si x está dada como función del tiempo, por ejemplox = g(t) entonces podemos determinar la tasa de cambiode y respecto de t usando la regla de la cadena:
dydt
=dydx
dxdt
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Física
EjemploUn cuadrado se expande de modo que su lado cambia arazón de 2cm. por segundo. Cuando el lado del cuadradoes 6cm. ¿cuál es la tasa de cambio de su área?
El área de un cuadrado de lado x está dada por A(x) = x2.Si el lado x es función del tiempo t , x = x(t), entonces larazón de cambio del área con respecto del tiempo es
d(A(x(t)))
dt.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasInterpretación Física
Usamos la regla de la cadena y obtenemos que
dAdt
=dAdx
dxdt.
Sabemos que dx/dt = 2 y dA/dx = 2x . Cuando x(t) = 6encontramos que
dAdt
= 2 · 6 · 2 = 24cm2/seg.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
Vamos a considerar una función f y supongamos que estafunción es diferenciable en todo su dominio de modo que laderivada de esta función f ′(x) es otra función sobre elmismo dominio.Supongamos ahora que la función f ′(x) es, a su vez,diferenciable. La derivada de f ′ se conoce como la segundaderivada de f . La notación es
f ′′(x)d2f (x)
dx2 , D2x f (x) y ′′
si y = f (x).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
Este procedimiento se puede continuar indefinidamente,siempre que las funciones que vayamos obteniendo comoderivadas sean, a su vez, diferenciables.
Las notaciones para la derivada n-ésima en este esquemaes
f (n)(x)dnf (x)
dxn , Dnf (x), y (n)
si y = f (x).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
EjemploConsideremos la función f (x) = 3x3 + 5x2 y calculemossus derivadas:
f ′(x) = 9x2 + 10xf ′′(x) = 18x + 10f ′′′(x) = 18
f (iv)(x) = 0
y de ahí en adelante todas las derivadas superiores sonnulas.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
EjemploUn objeto se mueve a lo largo de un eje coordenadohorizontal de modo que su posición en el instante t estádada por
x = t3 − 12t2 + 36t − 30
a) ¿Cuándo es cero la velocidad?b) ¿Cuándo es positiva la velocidad?c) ¿Cuándo se está moviendo el objeto hacia la izquierda?d) ¿Cuándo es positiva la aceleración?Aquí x se mide en centímetros y t en segundos.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
Ejemploa) v =
dxdt
= 3t2 − 24t + 36 = 3(t − 2)(t − 6). Por lo tanto lavelocidad se anula en t = 2 y t = 6.
b) La velocidad es positiva cuando (t − 2)(t − 6) > 0. Paraesto necesitamos que ambos factores sean positivos oambos negativos. Esto ocurre si t < 2 ó t > 6, que entérminos de intervalos es (−∞,2) ∪ (6,∞)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasDerivadas de Orden Superior
Ejemploc) El objeto está moviéndose hacia la izquierda cuando lavelocidad es negativa, o sea cuando (t − 2)(t − 6) < 0. Estoocurre en el intervalo (2,6).
d) La aceleración es la derivada de la velocidad, es decir,es la segunda derivada de la distancia al origen comofunción del tiempo.
a =dvdt
= 6t − 24 = 6(t − 4).
Por lo tanto la aceleración es positiva cuando t > 4
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Trigonométricas
Las derivadas de las funciones sen x y cos x son
d sen xdx
= cos x
d cos xdx
= − sen x
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Trigonométricas
Veamos cómo se obtiene la primera de estas derivadas.Recordemos los siguientes límites
limx→0
sen xx
= 1 limx→0
1− cos xx
= 0
y la relación sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y .
El cociente incremental es
sen(x + h)− sen(x)
h=
sen(x) cos(h) + cos x sen h − sen(x)
h
= cos xsen h
h+ sen x
(cos h − 1)
h
Si hacemos ahora h→ 0 obtenemos el resultado.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Trigonométricas
Veamos la derivada de la tangente
Dx tan x = Dx
(sen xcos x
)=
cos x Dx sen x − sen x Dx cos xcos2 x
=cos x cos x + sen x sen x
cos2 x
=1
cos2 x= sec2 x
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Trigonométricas
EjemploHallar la recta tangente a la curva y = sen 4x en x = π/16.Comenzamos por la derivada de la función:f ′(x) = 4 cos 4x. Por lo tanto la pendiente de la rectatangente en x = π/16 es igual a
f ′(π/16) = 4 cos(4π/16) = 4 cos(π/4) = 4/√
2
y la recta tiene ecuación y = (4/√
2)x + b. Falta hallar b
Como la recta pasa por el punto (π/16,1/√
2),necesariamente
1√2
=4√2π
16+ b
de dondeb =
1√2− π
4√
2
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Trigonométricas
EjemploHallar la derivada de la función
1 + sen xcos x
ddx
(1 + sen xcos x
)=
cos x ddx (1 + sen x)− (1 + sen x)
(ddx cos x
)cos2 x
=cos2 x + sen x + sen2 x
cos2 x
=1 + sen x
cos2 x
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasPotencias
Hemos visto que para potencias enteras, positivas onegativas, la regla de derivación es
(xn)′ = nxn−1
Esta regla es cierta aun para potencias reales: Si a ∈ R
(xa)′ = axa−1
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunción Exponencial
Sea f (x) = ax para a 6= 0 una función exponencial. Veamoscual es la derivada de esta función.
f ′(x) = limh→0
ax+h − axh
= limh→0
ax (ah − 1)
h
= ax limh→0
ah − 1h
= ax f ′(0)
Por lo tanto, si escogemos a de modo que f ′(0) = 1,tenemos que f ′(x) = f (x).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunción Exponencial
El número que satisface f ′(0) = 1 se conoce como e y lafunción f (x) = ex se conoce como la función exponencial.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunción Exponencial
¿Cuál es la derivada de la función f (x) = ax si a 6= e?
Para ver esto usamos el hecho de que
ax = (elog a)x = ex log a.
Usando la regla de la cadena
dax
dx= ex log a(log a) = ax (log a).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
Consideremos una función f definida en un intervalo (a,b)de modo que su derivada existe y no se anula.Supongamos que f ′(x) > 0 para todo x en este intervalo,entonces la función inversa x = g(y) existe:
f (g(y)) = y .
Supongamos que g es diferenciable, derivando y usando laregla de la cadena tenemos que
f ′(g(y))g′(y) = 1
De donde obtenemos
g′(y) =1
f ′(g(y))=
1f ′(x)
Otra manera de escribir esta relación esdxdy
=1
dy/dx
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
El LogaritmoLas funciones logaritmo y exponencial son funcionesinversas, y podemos obtener la derivada de la funcióny = log x usando los resultados anteriores: Sea y = log x yen consecuencia x = ey . Por consiguiente
dydx
=1
dx/dy=
1ey =
1x
Es decir qued log x
dx=
1x.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
El ArcosenoEsta es la función inversa del seno. Sabemos que estafunción no es invectiva, pues sus valores se repitenperiódicamente.
Para garantizar que lafunción sea biyectivaes necesario limitar sudominio. Escogemosel intervalo [−π
2 ,π2 ].
−10 −5 0 5 10
−1.
00.
00.
51.
0
La función seno
tsi
n(t)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
sen(x)
x
f(x)
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.
5−
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
arcsen(x)
x
f(x)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
Sea y = f (x) = sen x y x = arcsen y la función inversa.
Como f (0) = 0, tenemos que arcsen(0) = 0.
Además como sen(π/2) = −1 y sen(π/2) = 1, sabemosque el dominio de la función arcoseno será el intervalo[−1,1].
Observamos que para cualquier valor de x que no esté enel intervalo −π2 ≤ x ≤ π
2 , no se tiene la relaciónarcsen(sen(x)) = x
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
Usando la fórmula general para la derivada de lasfunciones inversas tenemos que si y = sen x yx = arcsen y , la derivada de x respecto de y es
dxdy
=1
dy/dx=
1cos x
.
Para expresar esta derivada explícitamente en función de yusamos la relación
sen2 x + cos2 x = 1,
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasFunciones Inversas
A partir de esta relación obtenemos, usando que el cosenoes positivo en el intervalo de definición del arcoseno
cos x =√
1− sen2 x
Usando esta relación en la fórmula de la derivadaobtenemos
dxdy
=arcsen y
dy=
1√1− y2
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
Esquema
1 Derivadas
2 Propiedades
3 Regla de la Cadena
4 Derivadas de Orden Superior
5 Derivadas de Funciones Elementales
6 Derivadas de Funciones Inversas
7 Teorema del Valor Medio
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema de Rolle
Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado[a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Supongamosque f (a) = f (b) = 0.
Entonces existe un punto c con a < c < b y f ′(c) = 0.
Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema de Rolle
Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado[a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Supongamosque f (a) = f (b) = 0.
Entonces existe un punto c con a < c < b y f ′(c) = 0.
Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema de Rolle
Si la función es constante en el intervalo, entonces suderivada es 0 en cualquier punto de (a,b).
En caso contrario existe algún punto en donde la función noes 0, y este punto no puede ser un extremo. Supongamosque hay un valor positivo, entonces como la función escontinua la función tiene un máximo en algún punto c,a < c < b.
Si la derivada existe en un máximo o en un mínimo de unafunción f entonces la derivada se anula en este punto. Estodemuestra el resultado.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
Teorema del Valor Medio
Si f es una función diferenciable en el intervalo [a,b], existeun punto c en este intervalo tal que la pendiente de la rectatangente en (c, f (c)) es igual a la pendiente de la recta queune los puntos extremos de la gráfica
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
La recta que une los puntos extremos de la gráfica tienependiente
f (b)− f (a)
b − ay pasa por el punto (a, f (a)), de modo que la ecuación deesta recta es
g(x) = f (a) +f (b)− f (a)
b − a(x − a)
Consideramos ahora la función s(x) = g(x)− f (x), quesatisface g(a) = g(b) = 0 y tiene derivada
s′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)
b − a
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
Por el Teorema de Rolle existe un punto c en (a,b) tal ques′(c) = 0, esto es,
s′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a= 0
y despejando obtenemos
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
Supongamos que la función f es diferenciable en elintervalo I y su derivada f ′(x) > 0 para todo x ∈ I (salvoquizás en los extremos). Entonces f es creciente en I.
Tomemos dos puntos x < y en I y aplicamos el TVM a f en[x , y ]: Existe un número c en (x , y) tal que
f (y)− f (x)
y − x= f ′(c)
y despejando obtenemos
f (y) = f (x) + f ′(c)(y − x) > f (x)
porque f ′(c)(y − x) > 0.
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
De manera similar si la derivada de la función esestrictamente negativa, la función es decreciente:
Si f’(x) < 0,x < y ⇒ f (x) > f (y).
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
EjemploEncuentre el numero c que satisface el TVM para la funciónf (x) = 2
√x en [1,4]
La pendiente del segmento de recta que une los extremoses
f (4)− f (1)
4− 1=
4− 23
=23
y la derivada de la función es
f ′(x) = 212
x−1/2 =1√x
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
Por lo tanto queremos resolver
1√c
=23
cuya solución es c = 9/4.
0 1 2 3 4 5
01
23
4
x
f(x)
Derivadas
Derivadas
Propiedades
Regla de laCadena
Derivadas deOrdenSuperior
Derivadas deFuncionesElementales
Derivadas deFuncionesInversas
Teorema delValor Medio
DerivadasTeorema del Valor Medio
EjemploSuponga que la posición de un objeto está dada por lafunción x(t) = t2 − t − 2. Determine la velocidad promedioen el intervalo [3,6] y encuentre el instante en el cual lavelocidad instantánea es igual a la velocidad promedioLa velocidad promedio en [3,6] es
x(6)− x(3)
6− 3=
243
= 8
y la velocidad instantánea es x ′(t) = 2t − 1. Resolviendo laecuación 2t − 1 = 8 obtenemos t = 9/2.